Liên quan đến Bài 3.2.3 ta có nhận xét sau:
Nhận xét 3.3.1. Nếun=2h+1là một số nguyên tố thìhlà một lũy thừa của2.
Chứng minh. Thật vậy nếu n=2h+1là một số nguyên tố, thì22h≡1 (mod n), suy ra2hchia hết cho ordn(2)là cấp của2theo modulo n. Nếuordn(2)|2, thìn=3, và h=1 thỏa mãn. Trường hợp còn lại ordn(2) =2h, kết hợp với Định lý Fermat nhỏ (2n−1 ≡1 (mod n)) ta có
2h=ordn(2)|2h=n−1.
Từ đó suy rahlà một lũy thừa của2.
Do đó Bài 3.2.3 có thể phát biểu lại ở dạng
Bài tập 3.3.1. Cho k=2m+1 với m≥2 nguyên dương. Chứng minh rằng klà một số nguyên tố khi và chỉ khiklà ước của3k−12 +1.
Nhận xét 3.3.2. Trong bài tập trên, nhận thấy điều kiện m≥2 là quan trọng vì với m=1, thìk=2m+1=3là một số nguyên tố nhưng33−12 +1=4không chia hết cho k=3.
Lấy mô hình từ Bài 3.1.1 ta có
Bài tập 3.3.2. Tìm tất cả các số nguyên tố psao cho7là bình phương modulo p, hay nói cách khác phương trìnhx2≡7 (mod p)có nghiệm nguyên.
Lời giải. Nhận thấy với p=7thì chọnx=7ta cóx2≡7 (mod p). Do đó p=7thỏa mãn đề bài.
Với p6=7, thì ta xét các trường hợp p≡1 (mod 4)và p≡3 (mod 4). Trường hợp 1: p≡1 (mod 4). Luật thuận nghịch bậc hai suy ra 7p
=1. Do đó p≡1,4,2 (mod 7).
Nếu p≡1 (mod 7)thì kết hợp với p≡1 (mod 4)ta có p≡1 (mod 28).
Nếu p≡4 (mod 7)thì kết hợp với p≡1 (mod 4)ta có p≡25 (mod 28).
Nếu p≡2 (mod 7), thì kết hợp với p≡1 (mod 4)ta có p≡9 (mod 28).
Trường hợp 1: p≡3 (mod 4).Luật thuận nghịch bậc hai suy ra 7p
=−1. Do đó p≡3,5,6 (mod 7). Xét lần lượt ba trường hợp này và kết hợp với p≡3 (mod 4), ta có p≡3,19,27 (mod 28).
Vậy tóm lại đáp số là p=7hoặc p≡1,25,9,3,19,27 (mod 28).
Liên quan với Bài 3.1.5, ta có thể tổng quát thành
Bài tập 3.3.3. Cho p≡13 (mod 20)là một số nguyên tố. Chứng minh rằng phương trìnhx4≡25 (mod p)không có nghiệm.
Lời giải. Nếux40≡25 (mod p), thìx20≡ ±5 (mod p). Do đó ±5
p
=1.
Tuy nhiên do tính chất nhân tính của ký hiệu Legendre và p≡ 1 (mod 4), suy ra (−1)p−12 =1, và p≡3 (mod 5)nên
±5 p
= 5
p
=p 5
= 3
5
=−1,
suy ra vô lý. Chứng minh được hoàn tất.
Nhận xét 3.3.3. Trong Bài 3.1.4, điều kiệnUCLN(x,y) =1là cần thiết vì chẳng hạn khin=3, ta có thể chọnx=y=6,z=4, và ta có đẳng thứcx2+y2=zn+2n. Nhận xét 3.3.4. Liên quan đến Ví dụ 1.3.2, giả thiết cả hai số nguyên tố đều chia 4 dư3là cần thiết. Thật vậy xét p=61là số nguyên tố chia4dư1,q=3là số nguyên tố chia4dư3. Thế thì phương trìnhx2−61y2=3có nghiệm (x,y) = (8,1).
Nhận xét 3.3.5. Liên quan đến Bài 3.1.6, ta xét phương trình n2+7= m2. Khi đó (m−n)(m+n) =7. Do đó chỉ có các nghiệm (m,n) = (±4,±3). Từ đó suy ra các phương trìnhn4+7=m2, hayn6+7=m2 đều không có nghiệm.
Ví dụ 3.3.6. Liên quan đến Mệnh đề 2.2.9, ta có phương trình Pell (âm)x2−493y2=
−1cú nghiệm vỡ d=493=17ã29là tớch của hai số nguyờn tố chia 4dư1và 17
29
= 29
17
= 12
17
= 3
17
= 17
3
= 2
3
=−1.
Ở đây ta đã dùng luật thuận nghịch với lưu ý17 là số nguyên tố chia4dư1.
Kết luận
Trong luận văn này, tác giả thực hiện một số công việc như sau:
1. Trình bày một số hiểu biết cơ bản về:
a) Thặng dư bậc hai, ký hiệu Legendre và một vài tính chất cơ bản.
b) Luật thuận nghịch bậc hai của Gauss.
2. Trình bày ứng dụng trong việc tìm hiểu phương trình Pell (âm), phương trình Mordell, cũng như một số bài thi học sinh giỏi trong nước, ngoài nước, trong kỳ thi Olympic Toán Quốc tế, và đề dự tuyển của kỳ thi này.
3. Đưa ra một số bài tập tương tự (Mục 3.3), nhận xét cho bài đã có (chẳng hạn Nhận xét 2.3.2).
Để học sinh tiếp thu hiệu quả kiến thức mới này và có định hướng áp dụng khi giải quyết bài toán, tác giả xin đưa ra một số kiến nghị và đề xuất như sau:
1. Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên khi dạy chuyên đề số học phục vụ thi học sinh giỏi.
2. Thông qua quá trình giảng dạy thực tiễn và rút kinh nghiệm, giáo viên cần có những đánh giá, cải tiến sản phẩm nghiên cứu nhằm phát huy tối đa khả năng của học sinh trong tiếp thu và làm chủ kiến thức.
3. Giáo viên cần không ngừng bồi dưỡng, nâng cao năng lực chuyên môn và kĩ năng sư phạm, luôn cập nhật, tham khảo các tài liệu mới về “thặng dư bậc hai” để mở rộng kiến thức và tiếp thu những nội dung mới, và quan trọng hơn nữa là sáng tạo thêm những bài toán thuộc chủ đề này.
Tài liệu tham khảo
[1] Các bài dự tuyển thi toán quốc tế, phần lý thuyết số từ 2001 đến 2010.
[2] Saban Alaca and Kenneth S. Williams. Introductory algebraic number theory.
Cambridge University Press, Cambridge, 2004.
[3] Titu Andreescu and Dorin Andrica. Number theory. Structures, examples, and problems. Birkh¨auser Boston, Inc., Boston, MA, 2009.
[4] Titu Andreescu, Dorin Andrica, and Ion Cucurezeanu. An Introduction to Dio- phantine equations. A problem-based approach. Birkh¨auser Verlag, New York, 2010.
[5] K. Conrad. Examples of mordell’s equations, n.d. Available at https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/mordelleqn1.pdf.
[6] David Cox.Primes of the formx2+ny2: Fermat, class field theory, and complex multiplication. Pure and Applied Mathematics (Hoboken). John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ, 2nd edition, 2013.
[7] A. Granville. Rational and integral points on curves, n.d. Course available at https://dms.umontreal.ca/ andrew/Courses/RationalPtsOnCurves.pdf.
[8] https://imomath.com/index.cgi?page=quadraticCongruencesProblems.
[9] K. Ireland and M. Rosen. A classical introduction to modern number theory.
Graduate Texts in Mathematics, 84. Springer-Verlag, New York, 2nd edition, 1990.