Chương 1. KHÔNG GIAN VECTOR VÀ TOÁN TỬ 7
1.4. Các tính chất của toán tử tuyến tính và Hermite
Những tính chất, định lí cách chứng minh cho các toán tử ở mục này hoàn toàn áp dụng tương tự cho các ma trận của các toán tử.
Dễ dàng chứng minh được các tính chất sau của các toán tử tuyến tính, Her- mite:
1) Tổng và tích của hai toán tử tuyến tính, tích của toán tử tuyến tính với một số là một toán tử tuyến tính.
2) Tổng của hai toán tử Hermite là một toán tử Hermite.
3) Tích của toán tử Hermite với một số là một toán tử Hermite khi số đó là thực.
4) Tích của hai toán tử Hermite là toán tử Hermite khi hai toán tử giao hoán với nhau.
Chẳng hạn ta chứng minh tính chất (4) của toán tử Hermite:
(y,( ˆFG)x) = (y,ˆ Fˆ( ˆGx)) = ( ˆF y,Gx) = ( ˆˆ G( ˆF y), x) = (( ˆGFˆ)y, x)
= (( ˆFG)y, x)ˆ
Vậy ˆFGˆ là toán tử Hermite khi ˆFGˆ = ˆGFˆ (đpcm).
Còn cho các ma trận, giả sử A =A+ và B =B+
(AB)+ =B+A+ =BA=AB (đpcm)
Cũng nên chú ý rằng, tích ˆFGˆ là toán tử Hermite, nhưng chưa chắc ˆF và ˆG đã là các toán tử Hermite.
Định lí 1:
a) Phổ giá trị riêng của toán tử Hermite là thực.
b) Tập các vector riêng của toán tử Hermite trong trường hợp không suy biến là trực giao.
Chứng minh:
Giả sử X0 ⊂ X là tập các vector riêng của toán tử Hermite ˆF nào đó: X0 = {xm}; ˆF xj =fjxj.
Ta có: (xi,F xˆ j) =fj(xi, xj) = ( ˆF xi, xj) =fi∗(xi, xj).
Từ đây suy ra: (fj −fi∗)(xi, xj) = 0.
a) Nếu xi =xj, (xi, xi) >0 với ∀xi 6= 0, cho nên fj =fj∗. b) Nếu xi 6= xj trong trường không suy biến fi6= fj. Do đó (xi, xj) = 0 (đpcm).
Trường hợp suy biến thìxi 6=xj, chưa chắc fi 6=fj cho nên không suy ra được (xi, xj) = 0.
Có thể chứng minh tương tự cho các ma trận Hermite.
Giả sử A=A+ và A(xj) =fj(xj), ta có:
(xi)+A(xj) =fj(xi)+(xj)
Lấy liên hợp hai vế: (xj)+A+(xi) = (xj)+A(xi) =fi(xi)+(xj).
Từ đó:
(fj−fi)(xi)+(xj) = 0 và rút ra những kết luận tương tự như cho các toán tử.
Chú ý 9:
Trong trường hợp suy biến, ta có s vector riêng độc lập tuyến tính cùng ứng với một trị riêng f. Có thể lập s tổ hợp tuyến tính từ s vector riêng trên và có thể trực giao hoá các tổ hợp này bằng phương pháp Gramm - Schmidt. Các tổ hợp tuyến tính trực giao này cũng là những vector riêng cùng ứng với một trị riêng f. Như vậy trong trường hợp suy biến s lần, ta có thể thay s vector riêng độc lập tuyến tính ứng với trị riêng f này bởis vector riêng độc lập tuyến tính khác, trực giao nhau cùng ứng với trị riêng f.
Định lí 2 (Định lí Hilbert): Trong không gian Hilbert mọi toán tử Hermite đều có một hệ trực chuẩn đủ các vector riêng độc lập tuyến tính.
Hệ quả: Trong không gian Hilbert một vector bất kì đều có thể khai triển duy nhất theo hệ đủ các vector riêng trực chuẩn của một toán tử tuyến tính Hermite.
Chú ý cuối cùng:
(1) Nếu ˆF- Hermite : ˆF xn = fnxn (n = 1,2, ...) Trong đó xn ∈X- không gian Hilbert. Một vector tuỳ ý x ∈X:
x= X
n
anxn khi phổ của ˆF rời rạc và x =
Z
afxfdf khi phổ của ˆF liên tục.
Các {xp} là hệ trực chuẩn đủ ((xn, xm) = δnm), an = (xn, x) tương tự (1.11).
Còn các {xp} ∈ X là hệ trực giao đủ và có thể chuẩn hoá về δ-hàm. Do đó:
(xp, x) =
xp,
Z
afxfdf
=
Z
(xp, xf)afdf =
Z
δ(f −p)afdf =ap Thành thử: af = (xf, x) như trường hợp phổ rời rạc.
(2) Chứng minh dễ dàng: X
n
|an|2 =
Z
|af|2df
= 1 tương tự (1.12).
Như vậy, khi x được chuẩn hoá thì |an|2 có tính chất như một xác suất (còn
|af|2 có tính chất như một phân bố xác suất). Ta nói |an|2 là xác suất tìm thấy fn của toán tử ˆF (|af|2 là phân bố xác suất f của toán tử ˆF).
(3) Nếu X- không gian Hilbert các hàm số thoả mãn một số đòi hỏi khá rộng rãi nào đó và ˆF- Hermite, và:
F ϕˆ n =fnϕn (phổ n rời rạc cũng như liên tục)
Có thể lấy {ϕn} làm một hệ cơ sở của X, và một hàm tuỳ ý ψ ∈ X đã được chuẩn hoá có thể khai triển qua hệ cơ sở này:
ψ =X
n
anϕn
hoặc
Z
afϕfdf
Ta có thể tính được các hệ số khai triểnan qua hệ thức an =
Z
ϕ∗nψdq hoặc af =
Z
ϕ∗fψdq
(4) Vìδ(q−q0) là một vector của không gian X các hàm số, do đó có thể khai triển δ-hàm theo hệ các hàm riêng {ϕn(q)} trực chuẩn đủ của toán tử Hermite ˆF:
δ(q −q0) =X
n
anϕn(q)
Nhân hai vế với ϕ∗m(q) và lấy tích phân kết quả vừa có theo biến q:
Z
ϕ∗m(q)X
n
anϕn(q)dq = X
n
an
Z
ϕ∗m(q)ϕn(q)dq =X
n
anδmn = am
=
Z
δ(q−q0)ϕ∗m(q)dq =ϕ∗m(q0).
Nghĩa là an =ϕ∗n(q0) (n = 1,2, ...). Từ đây ta thu được hệ thức đáng chú ý:
X n
ϕ∗n(q0)ϕn(q) =
Z
ϕ∗f(q0)ϕf(q)df
=δ(q −q0) (1.49)
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
1.1. Chứng minh rằng:
a. Tập các đa thức của biến x với các hệ số thực (hoặc phức) bậc 6n, b. Tập các số thực (phức),
c. Tập các số 0,
lập thành không gian vector trên R (C)?
1.2. Chứng minh rằng, trong một không gian vector trên T, nếu hệ các vertor x1, x2, x3 là hệ độc lập tuyến tính thì hệ các vector x1 +x2, x2+x3, x1+x2+x3 và hệ các vertor x1−x2+x3, x1+x2 −x3, −x1+x2+x3 cũng là các hệ độc lập tuyến tính.
1.3. Trong không gian vector R3 chứng minh rằng:
a. Các vector x1(2,1,1), x2(1,3,1), x3(−2,1,3) độc lập tuyến tính.
b. Các vector x1(1,0,3), x2(0,1,2), x3(4,−3,6) phụ thuộc tuyến tính.
1.4. Chứng minh khai triển (1.2) là duy nhất.
Giải:
Giả sử có hai khai triển
x =a1x1+a2x2+...+apxp, x=a01x1 +a02x2+...+a0pxp.
Trừ các vế tương ứng của hai phương trình cho nhau ta có (a1−a01)x1+ (a2−a02)x2 +...+ (ap−a0p)xp = 0 Vì các vector x1, x2, ..., xp độc lập tuyến tính, suy ra:
a1 = a01, a2 =a02, ..., ap =a0p (đpcm)
1.5. Cn(x) là không gian các đa thức một biến x hệ số phức, bậc 6 n.
a. Chứng minh rằng nếu pn(x) là một đa thức bậc n, các đa thức pn(x), p0n(x), ..., p(n)n (x)
lập lên một cơ sở của Cn(x)?
b. a là một hằng số, hãy tính các thành phần của đa thức Q(x) = P(x+a), theo các cơ sở trên?
1.6. Nghiệm lại 4 tính chất của tích vô hướng (chú ý 2) với các định nghĩa (1.3) và (1.4)?
1.7. Chuẩn hoá các hàm số sau:
a. Ae−ax2 (a > 0, −∞< x < ∞) b. Asinnπ
a x (n = 1,2,3, ...,06x6 a) 1.8. Chứng minh rằng hệ các hàm:
a.
sin nπ a x
(n = 1,2,3, ...,06x 6a) b.
e~ipx
(−∞6p6 ∞) là các hệ trực giao?
1.9. Chuẩn hoá hàm ψp =Ae~ipx (−∞6p6 ∞) về δ - hàm?
Giải:
Z
ψp∗0ψpdx=δ(p−p0) Thay dạng của ψp và sử dụng (1.8)
|A|2
∞ Z
−∞
e~i(p−p0)xdx= 2π~|A|2δ(p−p0) =δ(p−p0), suy ra A = 1
√ 2π~ 1.10. Khai triển hàm:
ψn =Asinnπ
a x (n = 1,2,3, ...,06x6 a) theo các hàm
ψp =Be~ipx (−∞< p <∞) bởi:
ψn =
Z
cpψpdp
Hãy tính các hệ số cp với hệ số chuẩn hoá A tính từ bài tập 1.7 (b) và hệ số chuẩn hóaB tính từ bài tập 1.9?
1.11. Chứng minh rằng: Tổng, tích các toán tử tuyến tính, tích của toán tử tuyến tính với một hệ số, toán tử tích phân, toán tử đạo hàm các hàm số... là các toán tử tuyến tính.
1.12. Chứng minh rằng, nếu trong không gian X = Y lấy cơ sở trực chuẩn {ep} thì các số Aij cho bởi (1.15), (1.16) là trường hợp riêng của (1.23).
1.13. Cho ˆA và ˆB là các toán tử Hermite, a. Các toán tử sau có Hermite không?
Aˆ+ ˆB; ˆAB;ˆ aAˆ (a∈ C); ˆA2 và ˆABˆ+ ˆBAˆ b. Điều kiện để các toán tử đó Hermite?
1.15. Dùng các kết quả đã đưa ra ở trên, và bài tập 1.13 hãy chứng minh tính Hermite của các toán tử tác động trong không gian các hàm toàn phương khả tích:
a. ˆH =− ~2 2m
d2
dx2 +f(x),
b. ˆL = [~r×~p], trong đó ˆp=−i~∇.
1.16. Cho các ma trận vuông:
A=
0 1 −2
−1 −i 1
3i 0 1
; B =
−1 1 1
1 −1 1
1 1 −1
; C =
1 −2 1
−2 1 1
1 1 −2
Hãy tính các ma trận:
A+B, A−2B + 3C, AB, AC, ABC, A−1, (BC)−1, (ABC)−1? 1.17. Chứng minh các hệ thức (1.37 - 1.40) và (1.43)?
Giải:
Ta chứng minh cho hệ thức (1.37), còn lại chứng minh tương tự. Cần chứng minh rằng (AB)−1AB ≡ I hay [(AB)−1(AB)]ij =δij. Thật vậy:
[(AB)−1(AB)]ij =X
k
(AB)−1ik (AB)kj =
P
kphần phụ đại số (AB)ki ã(AB)kj
det(AB) =δij
1.18. Cho ma trận
A=
cosϕ −sinϕ sinϕ cosϕ
,
chứng minh rằng A là ma trận trực giao?
1.19. Chứng minh ma trận:
A=
1 eiβ e−iβ −2
là ma trận Hermite?
1.20.Trong không gian các đa thức phức củaxbậc6 3 chọn hệ cơ sở 1, x, x2, x3 (1), xét đa thức:
P(x) = 1 +x2+x3
Ngoài ra cơ sở (1) có thể chọn hệ cơ sở mới P, P0, P00, P000(2).
a. Lập ma trận A chuyển từ hệ cơ sở (1) sang hệ cơ sở (2)?
b. Q(x) là một đa thức bất kì, đặt:
Q(x) =
3 X k=0
akxk =b0P(x) +b1P0(x) +b2P00(x) +b3P000(x)
Tính a0, a1, a2, a3 theo b0, b1, b2, b3 và ngược lại tínhb0, b1, b2, b3 theoa0, a1, a2, a3. Suy ra ma trận ngược A−1?
1.21. Chuẩn hoá các hàm ϕpx và các ma trận cột (x)1, (x)−1 ở các ví dụ trên.
1.22. Tìm hàm riêng trong lớp hàm liên tục, đơn trị và hữu hạn của toán tử Hˆ =− ~2
2m d2
dx2 +u(x) với
u(x) =
0 06x 6a
∞ x > a vàx < 0
1.23. Tìm các vector riêng và các giá trị riêng của các ma trận cấp ba:
a)
1 i 0
0 1 −1 i 0 −1
b)
1 0 0 0 1 0 1 1 1
c)
1 0 −1
0 2 1
0 −1 1
Chuẩn hoá các vector riêng.
1.24. Tìm các vector riêng và các giá trị riêng của các ma trận cấp hai sau:
a) σx =
0 1 1 0
; b) σy =
0 −i i 0
; c) σz =
1 0
0 −1
; d) σxy =
0 1−i 1 +i 0
; e) σyz =
1 −i i −1
; g) σxyz =
1 1−i 1 +i −1
. Chuẩn hóa các vector riêng.
NHẤT CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
2.1. Lưỡng tính sóng hạt của chuyển động vật chất
Vật lí cổ điển là một khoa học xây dựng trên việc đúc kết các kết quả thực nghiệm khi nghiên cứu các hiện tượng vật lí xảy ra đối với các hệ chứa một số rất lớn các nguyên tử, tức là nghiên cứu các tính chất, sự tương tác và dịch chuyển của các hệ vĩ mô trong không gian. Về cơ bản, vật lí học cổ điển hoàn thành vào đầu thế kỉ XX, nó bao gồm cơ học Newton, điện động lực học, nhiệt động lực học..., nội dung chủ yếu của nó là giải thích các tính chất và các hiện tượng vật lí xảy ra trong thế giới vĩ mô.
Nhờ sự hoàn thiện và ứng dụng các phương tiện kỹ thuật (các dụng chân không, các kính ảnh nhạy, kỹ thuật điện tử, các ống đếm vv...) vào việc nghiên cứu các vấn đề vật lí mà cuối thế kỉ XIX, người ta đã khám phá ra các electron, tia R¨oentgen, và tính phóng xạ. Điều đó đã mở ra khả năng nghiên cứu từng nguyên tử và phân tử riêng biệt. Đến lúc đó người ta nhận thấy rằng, vật lí cổ điển không thể giải thích được các tính chất của các nguyên tử và sự tương tác của chúng với các bức xạ điện từ. Thí dụ sau đây cho chúng ta thấy điều ấy.
Ngay từ cuối thế kỉ XVIII, khi nghiên cứu sự phóng điện ở áp suất thấp qua Hydro, người ta đã thu được một phổ đặc biệt đơn giản của các nguyên tử Hydro gồm một dãy vạch hội tụ về một giới hạn nằm ở vùng tử ngoại gần.
Năm 1914, khi nghiên cứu quang phổ của các nguyên tử, Drank và Hentz nhận thấy rằng các trạng thái năng lượng của các nguyên tử có tính gián đoạn. Năm 1922, khi nghiên cứu sự lệch của dòng các nguyên tử trong từ trường không đều, Stern và Gerlach phát hiện ra tính gián đoạn của các giá trị chiếu moment xung trên phương từ trường...
Những cố gắng của vật lí cổ điển nhằm giải thích các tính chất vừa nêu và hàng loạt các tính chất khác của nguyên tử đều dẫn đến thất bại.
Năm 1913, dựa trên hệ các định đề của mình, Nils Bohr đã giải thích thành công một số tính chất của nguyên tử Hydro. Về cơ bản, lí thuyết của ông đã thoát li khỏi các lí thuyết của vật lí học cổ điển.
Từ việc nghiên cứu các điều kiện cân bằng của bức xạ điện từ với vật chất, và các hiện tượng quang điện. M.Plank (1900) và A.Einstein (1905) đã đi đến kết luận là, bức xạ điện từ, ngoài tính chất sóng còn có tính chất hạt, nó bị vật chất hấp thụ và phát xạ từng lượng riêng biệt - các lượng tử hay các photon. Năng lượng và xung lượng của các photon được xác định bởi các hệ thức:
E =~ω (2.1)
~
p=~~k (2.2)
Vậy tính chất sóng và tính chất hạt có phải là phổ biến cho vật chất không?
Năm 1924 De Broglie đã cho rằng tính chất sóng phải có mặt trong bất kì hạt vật chất nào. Trong giả thuyết của mình, ông đã đối ứng chuyển động tự do của một hạt có khối lượng m, năng lượng E và xung lượng ~p với một sóng phẳng đơn sắc lan truyền theo phương chuyển động của hạt mô tả bởi hàm sóng:
ψ(~r, t) =Aexp{i
~(~p~r−Et)} (2.3)
Trong đó ~r là bán kính vector của một điểm tuỳ ý trong không gian, t là thời gian. Theo giả thuyết này, các đại lượng đặc trưng cho quá trình sóng liên hệ với các đại lượng đặc trưng cho chuyển động hạt bởi các hệ thức giống hệt như các phương trình của các lượng tử sáng, tức là:
E =~ω (2.4)
~
p=~~k (2.5)
Trong những năm tiếp theo, nhiều thí nghiệm (Davison, Germer 1927, nghiên cứu sự tán xạ của một dòng electron trên mặt tinh thể; Tartacovski, Thomsom 1928 nghiên cứu sự nhiễu xạ của các electron khi đi qua một lớp mỏng vật liệu đa tinh thể; Stern, Esterman nghiên cứu sự phản xạ của He và H2 trên tinh thể LiF) đã kiểm nghiệm tính đúng đắn của giả thuyết De Broglie.
Môn khoa học dựa trên tính chất sóng - hạt của vật chất để nghiên cứu và giải thích các tính chất và hiện tượng xảy ra trong các không gian có kích thước dài cỡ 10−6cm - 10−13cm được gọi là môn Cơ học lượng tử.
Không gian có kích thước dài như thế gọi là không gian vi mô và đối tượng chủ yếu của cơ học lượng tử là các nguyên tử, phân tử và các hạt cơ bản.
Hình 2.1: (a)Sơ đồ thí nghiệm của G.P. Thomson dùng để thu được hình ảnh nhiễu xạ của (b) chùm tia X, (c) chùm electron bởi bột nhôm. Những nét chính của hai bức tranh trong (b) và (c) là giống nhau. Năng lượng của các electron được chọn sao cho bước sóng De Broglie của chúng trong (c) giống bước sóng của bức xạ X trong (b).
Một trong những đặc thù rất cơ bản của việc quan sát các hiện tượng khách quan xảy ra trong thế giới vi mô, thế giới mà chúng ta không thể dùng trực giác để nhận biết được, là dùng các dụng cụ hay là các máy đo. Các dụng cụ có thể kể ra là các bản kính ảnh nhạy, các ống đếm, buồng bọt vv... Các dụng cụ (máy đo) này, tức là các hệ vĩ mô, khi tương tác với các hệ vi mô, đã chuyển các "ngôn ngữ vi mô" thành "ngôn ngữ vĩ mô" trong các điều kiện vĩ mô xác định, qua các tác động đó người ta nhận biết được các đối tượng vi mô cần nghiên cứu. Chẳng hạn, các vết của các hạt α trong buồng Wilson cho chúng ta hình ảnh quỹ đạo chuyển động của các hạt α, các xung trong mạch điện của ống đếm Geiger - Muller cho chúng ta số đo các hạt rơi vào miền không gian đang xét vv...
Mặt khác, khi chuyển từ thế giới vĩ mô sang thế giới vi mô, là bước thay đổi về "lượng", tất nhiên sẽ kéo theo sự thay đổi về "chất". Ở thế giới này sẽ có hàng loạt quy luật khách quan mới xuất hiện. Các quy luật này làm thay đổi một số quan niệm đã được hình thành trong quá trình xây dựng môn cơ học cổ điển. Ví dụ, trong cơ học cổ điển, trạng thái của hạt được xác định đơn giá bởi toạ độ và xung lượng của nó, còn trong cơ học lượng tử, một hạt có toạ độ xác định thì xung lượng của nó không xác định được và ngược lại. Ngay cả định nghĩa về vận tốc