Chương 13. LÝ THUYẾT TÁN XẠ 197 13.1. Định nghĩa các tiết diện hiệu dụng
13.5. Hai quá trình tán xạ
1. Tán xạ bởi trường Coulomb. Công thức Rutheford
Ta nghiên cứu sự tán xạ của các hạtα (điện tích 2e) bởi trường Coulomb điện tích Ze. Thế năng của hạt α trong trường này có dạng
V(r) = 2Ze2
r , (hệ CGSE) (13.31)
Thay (13.31) vào (13.13) để tính biên độ tán xạ A(Ω) = −mZe2
π~2
Z 1
rei(~ka−~kb)~rdV (13.32) Đưa vào hệ toạ độ cầu, chọn trục Oz trùng hướng của vector ~ka −~kb = K~. Như vậy ta cần tính tích phân
I(Ω) =
Z 1
rei(~ka−~kb)~rdV =
Z
V
1
reiKrcosθr2sinθdrdθdϕ
=
2π Z
0
dϕ
∞ Z
0
rdr
π Z
0
eiKrcosθsinθdθ = 2πi K
∞ Z
0
(eiKrcosθ
π 0
)dr
= 2πi K
∞ Z
0
(e−iKr −eiKr)dr = 4π K
∞ Z
0
sin(Kr)dr
= 4π K lim
α→0
∞ Z
0
e−αrsin(Kr)dr = 4π K lim
α→0
K
α2+K2 = 4π K2 Thành thử
A(Ω) =−4mZe2
~2K2 (13.33)
Chú ý
K =|~ka −~kb| =
r
k2a−2~ka~kb+kb2 =√
2k2−2k2cos Θ = 2ksin Θ 2 Cho nên
A(Ω) =− mZe2
~2k2sin2 Θ2 (13.34)
Còn
σ(Ω) =|A(Ω)|2 = m2Z2e4
~4k4sin4 Θ2 = Z2e4 m2v4
1
sin4 Θ2 (13.35) (13.35) chính là công thức Rutheford mà cơ học cổ điển đã thu được.
2. Tán xạ cộng hưởng
Khi một hệ phức tạp tương tác với các hạt tán xạ, người ta đã quan sát thấy có hiện tượng làm tiết diện tán xạ tăng lên đáng kể. Đó là hiện tượng xảy ra khi năng lượng E của các hạt tán xạ gần với mức năng lượng ε của hệ phức tạp, thí dụ sự tương tác của các neutron với các hạt nhân O8. Người ta gọi đây là hiện tượng tán xạ cộng hưởng.
Đối với một sóng riêng phần ứng với một giá trị l xác định nào đó σl = 4π
k2(2l+ 1) sin2δl (13.36) không thể vượt qua giá trị
(σl)max = 4π
k2(2l+ 1) (13.37)
ứng với δl = π 2.
Giả sử xảy ra tán xạ cộng hưởng, tức là E ở gần mức ε. Ta xét sự biến thiên củaσl theo E bằng phương pháp hình thức sau:
Khi δl = π
2 thì σl đạt giá trị cực đại, cotδl = 0. Khai triển cotδl thành chuỗi luỹ thừa của ε−E, có
cotδl ≈ 2
Γ(ε−E) Vì
sin2δl = 1
1 + cot2δl = 1 4
Γ2
(E−ε)2+ (Γ/2)2 (13.38) Thay (13.38) vào (13.36), ta thu được
σl = π(2l+ 1)λ2Γ2
(E −ε)2+ (Γ/2)2, (λ2 = 1
k2) (13.39)
Công thức (13.39) gọi là công thức Breit-Wigner viết cho tiết diện tán xạ riêng phần khi năng lượng của hạt ở gần giá trị cộng hưởng. Chúng ta thấy khi E ∼ ε thì tiết diện tán xạ σl tăng lên.
Bây giờ ta xét ý nghĩa của Γ.
Nếu năng lượng E của hạt khác giá trị ε (mức cộng hưởng) một lượng Γ/2:
E−ε= Γ/2 (13.40)
thì tiết diện tán xạ riêng phần có giá trị σl = π(2l+ 1)λ2Γ2
Γ2/2 = 2π(2l+ 1) k2 = 1
2(σl)max (13.41) bằng nửa giá trị cực đại của nó.
Như vậy Γ có ý nghĩa như là bề rộng của cộng hưởng.
1. Các tích phân Poisson
Trước hết chúng ta xét tích phân phụ thuộc thông số thực α > 0 có dạng sau:
Ipq(α) =
b Z
a
e−αxqxpdx (p, q ∈N) (0.1) Dễ dàng chứng minh tính chất sau:
Ip+qq (α) =− ∂
∂αIpq(α) (0.2)
Bây giờ chúng ta tính tích phân (0.1) trong các trường hợp:
a) q = 2, p= 2n+ 1:
I2n+1(α) =
Z∞
0
x2n+1e−αx2dx= n!
2αn+1 (0.3)
b) q = 2, p= 2n:
I2n(α) =
Z∞
−∞
x2ne−αx2dx= (2n−1)!!
2n
s π
α(2n+1) (0.4)
c) q = 1, p=n:
Jn(a) =
Z∞
0
e−αrrndr = n!
an+1 (0.5)
Tích phân (0.3) và (0.4) gọi là các tích phân Poisson. Tích phân (0.5) hay được sử dụng trong các bài toán xuyên tâm.
Trước hết chúng ta xét các tích phân xác định,I0(α) =
Z∞
−∞
e−αx2dxvà I0(α) =
∞ Z
−∞
e−αy2dy. Các tích phân này không phụ thuộc vào các biến số dưới dấu tích phân.
Nhân chúng với nhau và chú ý x và y là hai biến số độc lập, nên:
I02(α) =
Z∞
−∞
Z∞
−∞
e−α(x2+y2)dxdy
Đổi sang toạ độ cực dxdy =rdrdϕ:
I02(α) =
2π Z
0
∞ Z
0
e−αr2rdrdϕ = π α suy ra
I0(α) =
∞ Z
−∞
e−αx2dx=
sπ
α (0.6)
Cũng dễ dàng tính được:
I1(α) =
∞ Z
0
xe−αx2dx= 1
2α (0.7)
và
J0(α) =
∞ Z
0
e−αrdr = 1
α (0.8)
Dựa vào (0.2), (0.6), (0.7) và (0.8) có thể chứng minh quy nạp các công thức (0.3), (0.4) và (0.5).
2. Các tích phân dạng:
Is =
Z
eαxsin(βx)dx= eαx
α2+β2(αsinβx−βcosβx) +c (0.9) Ic =
Z
eαxcos(βx)dx= eαx
α2+β2(αcosβx+βsinβx) +c (0.10) Trước hết ta tính tích phân:
I =
Z
eαx(cosβx+isinβx)dx=
Z
eαxeiβxdx=
Z
e(α+iβ)xdx
= e(α+iβ)x
α+iβ +c0 = (α−iβ)eαx
α2+β2 (cosβx+isinβx) +c0
= eαx
α2+β2(acosbx+bsinbx) +i eαx
α2+β2(αsinβx−βcosβx) +c0 Vì Is = Im(I) và Ic = Re(I), chúng ta rút ra (0.9) và (0.10).
3. Tích phân:
2π Z
0
ei(n−m)xdx= 2πδnm; (n, m∈ Z) (0.11) Chúng ta chứng minh cho từng trường hợp, n= m vàn 6=m, dễ dàng suy ra đpcm!
[1] L. Schiff. Quantum Mechanic, New York 1958.
[2] D.I. Blohincev. Osnovy Kvantovo Mehaniki, Tret~e Izdanie. Moskva 1961.
[3] A.S. Davydov. Quantum Mechanics. Pergamon Press, Oxford 1965. (xem bản tiếng Nga “A.S. Davydov. Kvantova Mehanika, Vtoroe Izdanie”, Moskva,1973 và bản dịch tiếng Việt “Cơ học lượng tử” của Đặng Quang Khang, NXB ĐH&THCN Hà Nội 1971).
[4] L.D. Landau, E.M. Lifxic. Kvantova Mehanika, Tret~e Izdanie, Moskva, 1974. (Xem bản tiếng Anh “L.D. Landau, E.M. Lifshitz. Quantum Mechanics, Non-relativistic Theory, 3ed”. Pergamon Press, Oxford 1977 và bản dịch tiếng Việt “L.D. Landau và E.M. Lifsitx. Cơ học lượng tử, lý thuyết không tương đối Tập I và II” của Nguyễn Công Dũng, Nguyễn Tú Uyên, Nguyễn Tiến Nguyên, NXB KH và KT Hà Nội 1976)).
[5] I.I. Goldman, V.D. Krivchenkov. Tuyển tập các bài tập cơ học lượng tử, NXB ĐH&THCN Hà Nội 1974.
[6] Z. Flgge. Zadaqi po Kvantovo Mehanike. Moskva 1974.
[7] A.N. Matveev. Cơ học lượng tử và cấu trúc hạt nhân (dịch), Tập I, II. NXBGD Hà Nội 1975.
[8] P.V. Eltin, V.D. Krivqenkov. Kvantova Mehanika. Moskva 1976.
[9] . Vihman. Kvantova Mehanika. Moskva 1977.
[10] Albert Messia. Kvantova Mehanika. Moskva 1978.
[11] V.V. Ul~nov. Zadaqi po Kvantovo Mehanike i Kvantovo Statistike.
Moskva 1980.