CHƯƠNG II. MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ
1. Nhận biết số nguyên tố và sự phân bố số nguyên tố
1.1. Kiểm tra một số có phải là số nguyên tố không
Để giải quyết bài toán này ta phải dựa vào kiến thức về các dấu hiệu chia hết đã học.
1.1.1. Kiến thức cần nhớ
Để kiểm tra một số có phải là số nguyên tố không thông thường chúng ta s sử dụng hai cách sau
Cách 1. Chia số đó lần lƣợt cho các số nguyên tố t nhỏ đến lớn 2, 3, 5, 7,...
+ Nếu có một phép chia hết thì số đó không nguyên tố.
+ Nếu thực hiện ph p chia cho đến lúc thương số nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn có số dƣ thì số đó là nguyên tố.
Cách 2. Một số có nhiều hơn hai ƣớc thì số đó không phải là số nguyên tố.
Một số dấu hiệu chia hết cơ bản trong tập hợp số tự nhiên
Dấu hiệu chia hết cho 2 : Các số có chữ số tận cùng là số chẵn (0, 2, 4, 6, 8).
Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3. Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Dấu hiệu chia hết cho 9: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9.
Dấu hiệu chia hết cho 11: Các số có tổng các chữ số hàng chẵn tr đi tổng các chữ số hàng lẻ (tính t trái sang phải) chia hết cho 11 thì số đó chia hết cho 11 . 1.1.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Kiểm tra xem 131 có phải là số nguyên tố không?
Giải
ƣớc 1. Tìm các số nguyên tố 2
(132= 269>131 nên ta d ng lại ở số nguyên tố 11).
ƣớc 2. Thử các ph p chia 131 cho các số nguyên tố trên. R ràng 131 không chia hết cho số nguyên tố nào trong các số 2, 3, 5, 7,11. ậy 131 là số nguyên tố.
Ví dụ 2. Các số sau là số nguyên tố hay hợp số?
312; 213; 435; 417; 3311; 67
Nhận xét. Để làm các bài tập về kiểm tra một số có phải là số nguyên tố không, trước hết ta nên xác định xem số đó có chia hết cho các số nhỏ (t 1 tới 11) hay không b ng cách sử dụng các dấu hiệu chia hết.
Giải
Các số 312; 213; 435; 417 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên chúng chia hết cho 3 . o đó các số này là hợp số.
Số 3311 chia hết cho 11 nên số này là hợp số.
Số 67 không chia hết cho các số nguyên tố 2, 3, 5, 7 nên số 67 là số nguyên tố.
Ví dụ 3. Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số?
)
a 3.4.5+ 6.7
)
b 3.5.7+ 11.13.17
)
c 7 .9.11.13- 2.3.4.7
)
d 16354+ 67541
Giải )
a Vì 3.4.5 2M và 6.7 2M nên (3.4.5+ 6.7) 2M Vậy 3.4.5+ 6.7 là hợp số.
)
b Vì cả hai tích 3.5.7 và 11.13.17 đều là các số lẻ nên tổng
3.5.7+ 11.13.17 là một số chẵn. o đó (3.5.7+ 11.13.17) 2M . Vậy 3.5.7+11.13.17 là hợp số
)
c Vì 7 .9.11.13 7M và 2.3.4.7 7M nên
(7 .9.11.13- 2.3.4.7) 7M . Vậy 7 .9.11.13- 2.3.4.7 là hợp số.
)
d Vì tổng 16354+ 67541 có chữ số tận cùng b ng 5(4+ =1 5) nên chia hết cho 5.
Vậy 16354+ 67541 là hợp số.
Ví dụ 4 )
a Tìm số tự nhiên k để 3.klà số nguyên tố.
)
b Tìm số tự nhiên k để 7 .k là số nguyên tố.
Giải )
a Nếu k = 0 thì 3.k = 3.0= 0 không phải là số nguyên tố.
Nếu k = 1 thì 3.k = 3.1= 3 là số nguyên tố.
Nếu k = 2 thì 3.k = 3.2 = 6 chia hết cho 1, 2, 3, 6 nên không phải là số nguyên tố.
Tương tự, nếu k> 2 thì 3.k s có t nhất ba ước là 1, 3 và k nên 3.k không phải là số nguyên tố.
ậy để 3.k là số nguyên tố thì k = 1. )
b Nếu k = 0 thì 7 .k = 7 .0= 0 không phải là số nguyên tố.
Nếu k = 1 thì 7 .k = 7 .1= 7 là số nguyên tố.
Nếu k = 2 thì 7 .k = 7 .2 = 14 chia hết cho 1, 2, 7,14 nên không phải là số
nguyên tố.
Tương tự, nếu k > 2 thì 7 .k s có ít nhất ba ước là 1, 7 và k nên 7 .k không phải là số nguyên tố.
Vậy để 7 .k là số nguyên tố thì k = 1.
V ụ 5. Hãy x t các số tự nhiên t 1991 đến 2005 số nào là số nguyên tố?
Giải
+ Trước hết ta loại bỏ các số chẵn: 1992,1994,..., 2004. + Loại bỏ tiếp các số chia hết cho 3 : 1995, 2001 .
+ Ta còn phải xét các số: 1991,1993,1997,1999, 2003, số nguyên tố p mà
2 2005
p < là 11,13,17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43. + Số 1991 chia hết cho1 1 nên ta loại.
+ Các số c n lại đều không chia hết cho các số nguyên tố trên.
Vậy t 1991 đến 2005 chỉ có bốn số nguyên tố là: 1993,1997,1999, 3003 . Ví dụ 6. Nếu p là số nguyên tố và một trong hai số 8p+ 1 và 8p- 1 là số nguyên tố thì số còn lại là số nguyên tố hay hợp số?
Giải
+ Nếup= 2 thỡ 8p+ =1 17 ẻ Ã, 8p- =1 15ẽ Ã . + Nếup= 3 thỡ 8p- =1 23 ẻ Ã, 8p+ =1 25 ẽ Ã .
+ Nếu pạ 3, xột ba số tự nhiờn liờn tiếp: 8p- 1, 8p và 8p+ 1. Trong ba số này chắc chắn s có một số chia hết cho 3 , p nguyên tố khác 3 nên một trong hai số 8p- 1 và 8p+ 1 chia hết cho 3 .
Vậy nếu p là số nguyên tố và một trong hai số 8p- 1 và 8p+ 1 là số nguyên tố thì số còn lại phải là hợp số.
1.1.3. Bài tập áp dụng
Bài 1. Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số?
) 11.23.35 5.7.19
a +
) 23.27.29 1
b +
) 2 – 15
c
) 1 3 5 7 13 20
d ´ ´ ´ ´ ẳ ´ +
) 147.247.347 – 13 e
) 8765487654 f
) 976397639763 g
h) 5+ 52 + 53 + ẳ + 52016
Bài 2. Thay chữ số vào dấu * để đƣợc các số sau là số nguyên tố 7* ; 8* ; 1* ; 9* ; 99* ; *7 ; *1 ; 5* ; 6* Bài 3. Thay chữ số vào dấu * để đƣợc các số sau là số hợp số