CHƯƠNG II. MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ
2. Sử dụng phương pháp phân t ch để giải quyết các bài toán về ước
2.2. Bài toán về ƣớc chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất
2.2.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tìm ƢCLN; BCNN của 56 ; 140 và 84 Giải
Ta có 56= 2 73. 140 = 22.5.7
84 = 22.3.7
Các th a số nguyên tố chung là 2 ; 7. Các th a số nguyên tố riêng là 3; 5. ƢCLN (56,140, 84)= 22.7 = 28. BCNN[56,140, 84]= 23.3.5.7 = 840.
Ví dụ 2. Tìm ƣớc chung, bội chung của 56 ; 140 và 84 .
Nhận xét. Để tìm ƣớc chung và bội chung của các số trên ta không cần lập tập hợp các ƣớc và bội của các số mà thông qua ƢCLN; CNN để tìm.
Giải
Ta có ƢCLN(56,140, 84)= 28
Suy ra ƢC(56,140, 84) = Ƣ(28) = {1;2; 4;7;14;28}
Ta có BCNN[56,140, 84]= 840
Suy ra BC[56,140, 84] = B[840]= {0; 840;1680... .}
Ví dụ 3. Đội văn nghệ của 1 trường có 48 nam và 72 nữ. Muốn phục vụ tại nhiều địa điểm, đội dự định s chia thành các tổ gồm cả nam và nữ. Số nam và nữ đƣợc chia đều. Có thể chia đƣợc nhiều nhất thành bao nhiêu tổ? hi đó mỗi tổ có bao nhiêu nam; bao nhiêu nữ.
Giải
Gọi số tổ là a a( ẻ Ơ*).
Vì muốn phục vụ tại nhiều địa điểm, đội dự định s chia thành các tổ gồm cả nam và nữ. Số nam và nữ đƣợc chia đều nên a là ƣớc chung của 48 và 72. Mà cần tìm số tổ là nhiều nhất nên a = ƢCLN(48, 72)
Ta có 48= 2 . 34
3 2
72= 2 . 3
Suy ra ƢCLN (48, 72) = 24 (tổ)
Mỗi tổ có 48 : 24= 2 (nam) và 72 : 24 = 3 (nữ).
Đáp số: 24 tổ; mỗi tổ 2 nam và 3 nữ.
Ví dụ 4. Hai bạn An và Bách cùng học một trường nhưng ở hai lớp khác nhau. An cứ 10 ngày lại trực nhật 1 lần; Bách cứ 12 ngày lại trực nhật một lần. Lần đầu cả hai người cùng trực nhật vào một ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì hai bạn lại cùng trực nhật? Lúc đó mỗi bạn đã trực nhật đƣợc mấy lần?
Giải
Gọi số ngày mà ớt nhất hai bạn lại cựng trực nhật là a a( ẻ Ơ *).
Vì An cứ 10 ngày lại trực nhật một lần; Bách cứ 12 ngày lại trực nhật một lần. Lần đầu cả hai người cùng trực nhật vào một ngày nên a là bội chung của 10 và 12 .
Mà cần tìm số ngày ít nhất mà hai bạn lại cùng trực nhật nên a = BCNN[10,12]
Ta có 10= 2. 5 12= 2 . 32
Suy ra BCNN[10,12]= 60 (ngày)
Lúc đó An đã trực nhật đƣợc 60 : 10= 6 (lần ) ách đã trực nhật đƣợc 60 : 12= 5 (lần )
Đáp số: 60 ngày; An đã trực nhật đƣợc 6 lần ách đã trực nhật đƣợc 5 lần.
Ví dụ 5 )
a Tìm số tự nhiên x biết r ng 112M ; x 140Mx và 1< x < 25 )
b Tìm số tự nhiên x biết r ng xM12 ; xM21 ; xM28 và 150 < x < 305
Nhận xét. Đây là dạng bài toán tìm ƣớc chung và bội chung của hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trước. Để giải bài toán này ta s thông qua ƯCLN
Giải )
a Do x là số tự nhiờn. Mà 112M vàx 140Mx nờn: x ẻ ƢC(112,140) Ta cú ƢCLN(112,140)= 28 nờn x ẻ {1;2; 4;7;14;28}
Mà 1< x < 25 nờn x ẻ {2; 4;7;14}
)
b Do x là số tự nhiờn. Mà xM12 ; xM21 ; xM28 nờn x ẻ BC[12, 21, 28]
Ta cú BCNN[12, 21, 28]= 84 nờn x ẻ {0; 84;168;252; 336...}. Mà 150 < x < 305 nờn x ẻ {168;252}.
2.2.3. Bài tập áp dụng Bài 1. Tìm ƢCLN của
)
a 12 ; 80 và 56 )
b 144 ; 120 và 155 )
c 150 và 50
Bài 2. (SBT – Toán 6 t p 1) Tìm ƢCLN của )
a 40 và 60 )
b 36, 60, 72
)
c 13 và 20 )
d 28, 39, 35
Bài 3 )
a Tìm số tự nhiên x biết r ng 126Mx, 210M và x 5 < x < 30 )
b Tìm số tự nhiên x nhỏ nhất khác 0 biết r ng xM126 và xM198 Bài 4. (SBT – Toán 6 t p 1) Tìm BCNN của
)
a 40 và 52 )
b 42, 70,180
)
c 9,10,11 Bài 5
)
a Tìm số tự nhiên a lớn nhất biết r ng 318 chia cho a dƣ 3 và 73 chia cho a cũng dƣ 3.
)
b Tìm số lẻ b biết ƢCLN(120, )b = 15 và b < 120.
Bài 6. Có 760 quả v a cam, v a táo, v a chuối. Số chuối nhiều hơn số táo 80 quả, số táo nhiều hơn số cam 40 quả. Số cam, táo, chuối đƣợc chia đều cho các bạn trong lớp. Hỏi chia nhƣ vậy thì số học sinh nhiều nhất của lớp phải là bao nhiêu? Mỗi phần có bao nhiêu quả mỗi loại?
Bài 7. Ba chị em Thái Anh, Linh Anh và Tùng Anh thường đến thăm bà ngoại. Chị Thái Anh cứ 15 ngày đến thăm à một lần. Em Linh Anh cứ 22 ngày đến thăm à một lần. Em Tùng Anh cứ 36 ngày đến thăm bà một lần.
Ba chị em cùng đến thăm à vào chủ nhật tuần này. Hỏi bao nhiêu ngày nữa ba chị em lại cùng đến thăm bà vào chủ nhật tuần gần nhất.
Bài 8. Tìm hai số tự nhiên lớn nhất và nhỏ nhất trong khoảng t 20000 đến 30000 sao cho sau khi chia hai số đó cho 36 ; 54 ; 90 đều có số dƣ là 12 . Bài 9. Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng, mỗi hàng 20 người, hoặc 25 người, hoặc 20 người đều th a 15 người. Nếu xếp mỗi hàng 41 người thì v a đủ (không có hàng nào thiếu, không có ai ở ngoài hàng). Hỏi đơn vị có bao nhiêu người, biết r ng số người của đơn vị chưa đến 1000 .
Bài 10. Lớp 6A có 54 học sinh, lớp 6B có 42 học sinh, lớp 6C có 48 học sinh. Trong ngày khai giảng, ba lớp cùng xếp thành một số hàng dọc nhƣ nhau để di u hành mà không lớp nào có người lẻ hàng. Tính số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp đƣợc.
Kết luận. Sử dụng phương pháp phân t ch để tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất là dạng bài tập phổ biến dành cho học sinh đại trà, xuất hiện