Phân chia khái niệm là một thao tác ta thường gặp. Cịn trong giải tốn thì thường xuyên ta phải xét trường hợp này, xét trường hợp kia, hay ta có thể gọi chung là phân chia trường hợp.
Mặc dù việc thực hiện đổi mới chương trình và sách giáo khoa hiện nay đã tinh giảm rất nhiều những bài tốn có chứa tham số; nhưng phải hiểu một cách chính xác rằng chỉ tinh giảm những bài tốn q khó mà thơi. Do đó, trong q trình giải tốn phổ thơng, học sinh cịn phải gặp khá nhiều bài tốn liên quan đến hoạt động phân chia trường hợp, đặc biệt là những bài toán có chứa tham số.
Nhìn nhận từ góc độ tổng qt thì việc phân chia trường hợp trong quá trình giải tốn vơ cùng phong phú và đa dạng, nó khơng theo một khn mẫu cố định nào. Do đó, khi thực hiện học sinh gặp rất nhiều khó khăn, mắc phải rất nhiều sai lầm, thậm chí khơng tìm ra được cơ sở để phân chia trường hợp.
Chẳng hạn, ta thử bắt đầu từ một bài tốn rất đơn giản sau để hình dung cho độ phức tạp của việc phân chia trường hợp:
Ví dụ 33: Cho a, b là hai số thực tùy ý. Hãy so sánh: a + b với
a+b.
Vì có dấu trị tuyệt đối cho nên ta nghĩ đến việc khử dấu trị tuyệt đối, do đó phải xét dấu của a và b.
* Trường hợp đầu tiên: Nếu a và b đồng thời không âm (a, b ≥ 0)
a + b=a+b
* Trường hợp thứ hai: Nếu một số khơng âm, cịn một số khơng dương, chẳng hạn a ≥ 0 và b ≤ 0 thì ta có ngay: a+b= a – b; nhưng
còn đối với a + b mà ta kết luận ngay rằng a + b= a + b hoặc
a + b= – a – b thì ta đã có sự thiếu xót về chia trường hợp.
Như vậy, dù rằng ban đầu ta đã ý thức về việc chia trường hợp nhưng quá trình thực hiện việc phân chia vẫn khơng được đầy đủ.
Trong giải toán, nhiều khi ta chia ra một số trường hợp, có thể hầu hết mọi trường hợp đều dễ dàng kết luận được, nhưng bên cạnh đó lại có một trường hợp rất khó. Chất lượng của việc giải một bài tốn, trong đó có phân chia trường hợp, là khơng phụ thuộc vào số trường hợp mình đã xét; bởi vì đơi khi chỉ một trường hợp nào đó thơi lại là bước khó nhất của bài toán.