Định nghĩa : Phép dời hình là phép dời hình đến một vị trí mới sao cho khoảng cách của hai điểm bất kỳ A và B bằng khoảng cách của hai điểm tương ứng A’, B’.
Tính chất : + Phép dời hình là phép biến đổi một đối một.
+ Phép dời hình bảo tồn tính liên thuộc của điểm và đường thẳng.
2.1. Phép dời hình song song mặt phẳng hình chiếu bằng
Định nghĩa : Phép dời hình song song mặt phẳng hình chiếu bằng là phép dời hình mà các đường thẳng nối các điểm tương ứng đều song song với mặt phẳng hình chiếu bằng.
Tính chất : + Hình chiếu đứng của các đoạn thẳng nối các cặp điểm tương ứng AA’, BB’... đều song song với trục x ( A1A’1 // B1B’1 // ... x ) Thực vậy, trong phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu bằng những đoạn thẳng AA’, BB’ ... đều là những đường bằng.
+ Hình chiếu bằng của hai hình tương ứng trong phép dời hình là bằng nhau. ( A2B2 = A2’B2’ ). ( H 6.7 )
Do đó phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 được thực hiện trên đồ thức như sau:
+ Vẽ hình chiếu bằng Φ2’ = Φ2 ( Vị trí Φ2’ được xác định theo yêu cầu của từng trường hợp )
+ Vẽ Φ1’. Mỗi điểm A1’ của Φ1’ được xác định bằng giao điểm của hai đường gióng. Đường gióng qua A1 và song song với trục x và đường thẳng qua A2’ và vuông góc với trục x. ( H 6.7 )
Ví dụ : Xác định độ dài của đoạn thẳng AB. ( H 6.8 )
Giải : Để xác định độ dài của đoạn thẳng AB ta dời AB đến A’B’ song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 ( A’B’ là đường mặt ) vậy ta dời A2B2 đến A2’B2’ song song với trục x ( A2B2 = A2’B2’ ). Theo A1B1 và A2’B2’, xác định A1’B1’. Độ dài của A1’B1’ chính là độ dài của AB.
2.2. Phép dời hình song song
mặt phẳng hình chiếu đứng
Định nghĩa : Phép dời hình song song mặt phẳng hình chiếu đứng là phép dời hình mà các đường thẳng nối các điểm tương ứng đều song song với mặt phẳng hình chiếu đứng. ( H 6.9 )
Tính chất : + Hình chiếu bằng của các đoạn thẳng nối các cặp điểm tương ứng AA’, BB’... đều song song với trục x ( A2A’2 // B2B’2 // ... x )
Thực vậy, trong phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu đứng những đoạn thẳng AA’, BB’ ... đều là những đường mặt.
+ Hình chiếu đứng của hai hình tương ứng trong phép dời hình là bằng nhau. ( A1B1 = A1’B1’ ). ( H 6.9 )
Do đó phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 được thực hiện trên đồ thức như sau:
+ Vẽ hình chiếu đứng Φ1’ = Φ1 ( Vị trí Φ1’ được xác định theo yêu cầu của từng trường hợp )
+ Vẽ Φ2’. Mỗi điểm A2’ của Φ2’ được xác định bằng giao điểm của hai đường gióng. Đường gióng qua A2 và song song với trục x và đường thẳng qua A1’ và vuông góc với trục x. ( H 6.9 ) A1 B1 A2 B2 x A2’ B2’ A1’ B1’ Hình 6.8 A1 B1 A2 B2 x A2’ B2’ A1’ B1’ Hình 6.9
Ví dụ : Xác định hình dạng thật của tam giác ABC. ( H 6.10 )
Giải :Từ hình vẽ ta thấy A1B1C1 nằm trên một đường thẳng ⇒ Mặt phẳng ABC là mặt phẳng chiếu đứng. Vì vậy phép dời hình song song với măt phẳng hình chiếu đứng có thể đưa mặt phẳng ABC về mặt mặt phẳng bằng. Khi đó hình dạng thật của ABC chính là A2’B2’C2’. Muốn vậy dời A1B1C1 về song song với trục x. ( H 6. 10 )
2.3. Thực hiện liên tiếp các phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu chiếu
Cũng như trong phép thay mặt phẳng hình chiếu, với những bài toán phức tạp ta không thể chỉ dùng một phép dời hình song song với mặt phẳng hình chiếu mà phải dùng liên tiếp hai hoặc nhiều hơn nữa các phép dời ấy.
Ví dụ : Xác định hình dạng thật của tam giác ABC ( H 6.11 ).
Giải : Để xác định được dạng thật của tam giác ABC ta đưa chúng về mặt phẳng bằng. Vì vây để làm được việc này trước tiên ta phải đưa ABC về mặt phẳng chiếu đứng, muốn vậy ta phải dời A2B2C2 đến A2’B2’C2’ sao cho ở vị trí này đường bằng AE là đường thẳng chiếu đứng. ( A2’E2’ vuông góc với trục x ) sau đó
A1 B1 B1 A2 x A2’ B2’ A1’ B1’ Hình 6.10 C1 C2 B2 C2’ C1’
tương tự như ví dụ trên ta đưa ABC về mặt phẳng bằng. Khi đó hình dạng thật của ABC chính là A2”B2”C2”. ( H 6.11 ). Lưu ý tương tự như trên ta có thể giải bài toán bằng việc đưa mặt phẳng ABC về mặt phẳng mặt.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
1. Định nghĩa phép thay mặt phẳng hình chiếu bằnmặt phẳng, phép thay mặt phẳng hình chiếu đứng, và nêu các tính chất ? phẳng hình chiếu đứng, và nêu các tính chất ?
2. Định nghĩa phép dời hình song song măt phẳng hình chiếu bằng, phép dời hình song song mặt phẳng hình chiếu đứng, và nêu các tính chất ? hình song song mặt phẳng hình chiếu đứng, và nêu các tính chất ?
3. Xácđịnh góc nghiêng của mặt phẳng P ( ABC ) đối với mặt phẳng hình chiếu bằng. ( H 6.12 ) bằng. ( H 6.12 )
4. Xác định trọng tâm của tam giác ABC. ( H 6.13 ) A1 C1’ A2’ x E1 E2 B2 B1’ A1’≡E1’ A2 A2” C1 C2 B2 C1” B1” C2” B2” A1” C2’ B2’ Hình 6.11
A1 B1 B1 A2 x C1 C2 B2 Hình 6.12 B1 x C2 B2 A2 A1 C1 Hình 6.13
Chương VII
BIỂU DIỄN MẶT