CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Đ ẶT HỆ TRỤC TỌA ĐỘ CHO HỆ CON LẮC NGƯỢC XE
Ta đặt hệ trục cho con lắc như hình 2.1
Hình 2.1: Hệ trục tọa độ cho hệ xe con lắc ngược
Bảng 2.1: Kí hiệu và ý nghĩa của các tham số trong con lắc ngược
M Ô HÌNH HOÁ HỆ THỐNG
Có nhiều phương pháp để toán học hóa hệ con lắc ngược, trong đó phương pháp Euler – Lagrangian được lựa chọn nhờ tính phổ biến, quy tắc và đơn giản của nó Hệ IPC được minh họa trong Hình 1 Đề tài này nhằm mục đích làm cho quá trình nghiên cứu trở nên dễ dàng hơn.
Khi thiết kế mô hình thực, cần xem xét việc loại bỏ khối lượng nặng ở cuối thanh con lắc và coi thanh như một khối đồng chất Từ đó, chúng ta cần rút ra phương trình vi phân mô tả chuyển động của nó Một trong những phương pháp đơn giản có thể sử dụng là phương trình Lagrange.
T là tổng các thành phần động năng của hệ
V là tổng các thành phần thế năng của hệ lagrange
k là tọa độ tổng quát
F k là tổng ngoại lực tác động lên hệ (moment).
Do chọn mốc thế năng tại vị trí y=0, thế năng của xe luôn bằng không, vì vậy thế năng của hệ chỉ phụ thuộc vào con lắc.
V = m g y k = mgL Động năng của xe là:
T cart = M x Động năng của thanh con lắc là:
Vị trí cuối của thanh con lắc chiếu lên hệ trục tọa độ là:
Đạo hàm của vị trí con lắc chính là vận tốc của con lắc trên hệ trục tọa độ: cos( ) sin( ) (7) xk yk v x L v L
Bình phương vận tốc trung bình của thanh con lắc là:
Vậy động năng của thanh con lắc là:
Vậy toàn bộ động năng của hệ là:
Vậy Hàm Euler-Lagrange có dạng như sau:
0 cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) sin( )
L mlx ml d L ml x x ml dt
Thay vào hệ phương trình Euler-Lagrange ta được hệ xe con lắc ngược như sau:
( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) 0 (13) m M x ml ml F mlx ml mgl
Ta lần lượt rút x và ra để chúng không còn phụ thuộc vào nhau ta được:
2 sin( ) cos( )sin( ) cos ( ) cos( )sin( ) cos( ) ( ) sin( )
Tuyến tính hóa quanh các điểm làm việc tĩnh:
Giá trị cụ thể của con lắc trên mô hình như bảng sau:
Tên thông số Ký hiệu Giá trị Đơn vị
Góc nghiên của con lắc φ - rad
Vị trí của xe trên trục X 𝓍 - m
Lực tác dụng lên xe F - N
Khối lượng của xe M 0.238 kg
Khối lượng của thanh con lắc m 0.1 kg
Khối lượng của quả nặng m ball 0 kg
Chiều dài của con lắc ℓ 0.4 m
Mômen quán tính của con lắc I - kg/m2
Để thiết kế các bộ điều khiển và bộ quan sát tuyến tính cho hệ xe con lắc ngược, cần xác định phương trình trạng thái cụ thể của hệ thống Dựa trên giá trị trong bảng 2.2, quá trình tuyến tính hóa sẽ được thực hiện quanh hai điểm làm việc tĩnh của hệ thống bằng cách thiết lập các biến trạng thái phù hợp.
Tiến hành hạ bậc hệ thống ta được phương trình trạng thái hệ thống như sau:
Ta có hệ phương trình biến trạng thái như sau:
Tuyến tính hệ thống tại 2 điểm làm việc tĩnh Bot (trái) và TOP (phải) như sau:
Hình 2.2: Các vị trí làm việc tĩnh của hệ xe con lắc ngược
THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN VÀ BỘ QUAN SÁT CHO HỆ THỐNG CON LẮC NGƯỢC
CHO HỆ THỐNG CON LẮC NGƯỢC
Trong chương này, bộ quan sát và bộ điều khiển được thiết kế để ước lượng các biến trạng thái của hệ thống con lắc ngược và điều khiển con lắc ở trạng thái cân bằng Hai trường hợp cụ thể được nghiên cứu và thiết kế trong chương này.
Hệ thống con lắc ngược bị ảnh hưởng và không bị ảnh hưởng của các thành phần bất định
3.1 Thiết kế bộ quan sát cho hệ con lắc ngược
Trong phần này, bộ quan sát được thiết kế nhằm ước lượng các biến trạng thái của hệ thống con lắc ngược Cấu trúc hệ thống được minh họa trong Hình 3.1.
Hình 3.1:Cấu trúc hệ thống con lắc ngược với bộ quan sát
Bộ quan sát cho hệ con lắc ngược (18) có dạng như sau:
Trong đó: x ˆ là tín hiệu ước lượng trạng thái, có cùng kích thước với x y ˆ là tín hiệu ước lượng trạng thái, có cùng kích thước với y
L là độ lợi của bộ quan sát ˆ ˆ ( ˆ ) ˆ ˆ (37) x Ax Bu L y y y Cx
18 Đặt e là sai số ước lượng:
( ) ˆ (38) e t = − x x Đạo hàm hai vế của (23) ta có:
Thế (22) và (23) vào (24) ta thu được: ˆ ˆ
Để xác định các thông số của bộ quan sát trong hệ con lắc ngược, ta áp dụng định lý cho sai số ước lượng Theo Định lý 1, sai số ước lượng sẽ hội tụ về 0 nếu tồn tại các ma trận L và ma trận đối xứng xác định dương P thỏa mãn điều kiện nhất định.
Ch ứng minh đị nh lý 1:
Chọn hàm Lyapomov như sau:
Với P là ma trận đối xứng và xác định dương
Ta dễ dàng nhận thấy
V t ( ) 0 ( t ) (43) Đạo hàm 2 vế của (27) ta có:
Ta dễ dàng nhận thấy rằng nếu điều kiện (26) của Định lý 1 thỏa mãn thì ta có thể kết luận rằng
𝑉̇(𝑡) < 0 Vậy theo Lyapunov thì ( ) V t → 0 khi t → và ( ) e t → 0 khi t →
=>Hoàn t ấ t ch ứ ng minh đị nh lý 1
Điều kiện (26) là một BMI (Bilinear Matrix Inequality) không thể giải nhanh chóng bằng các công cụ hỗ trợ trên Matlab Do đó, cần biến đổi (41) thành LMI (Linear Matrix Inequality) bằng cách thêm biến W.
Sử dụng công cụ LMI Toolbox trong Matlab để giải bất phương trình LMI (38), chúng ta thu được giá trị của ma trận P và biến phụ W Từ những giá trị này, ta có thể suy ra ma trận L, hoàn thiện quá trình thiết kế bộ quan sát.
3.2 Thiết kế bộ điều khiển kết hợp với bộ quan sát cho hệ thống con lắc ngược khi không có ảnh hưởng của thành phần bất định
Trong nghiên cứu này, bộ điều khiển và bộ quan sát được thiết kế đồng thời để điều khiển hệ thống con lắc ngược Cấu trúc của hệ thống này, kết hợp giữa bộ điều khiển và bộ quan sát, được minh họa trong hình 2.
Hình 3 2: Cấu trúc hệ thống con lắc ngược với bộ điều khiển kết hợp với bộ quan sát
Xét bộ quan sát cho hệ thống con lắc ngược (18) có cấu trúc như sau:
𝑦̂ = 𝐶𝑥̂ (32) trong đó 𝑥̂ và 𝑦̂ lần lượt là giá trị ước lượng của các biến trạng thái 𝑥 và đầu ra 𝑦
𝑇 là tham số của bộ quan sát sẽ được xác định ở phần sau
Bộ điều khiển cho hệ thống con lắc ngược được mô tả bởi công thức toán như sau:
𝑢 = −𝐾𝑥̂ (33) Định nghĩa sai số ước lượng như sau
Mô tả ước đặc tính động học của sai số ước lượng như sau
Kết hợp (32) và (35) ta thu được như sau
Thay biểu thức (33) vào biểu thức (18), hệ thống kín với bộ điều khiển thu được 𝑥̇ = (𝐴 − 𝐵𝐾)𝑥 + 𝐵𝐾𝑒 (37)
Từ biểu thức (36) và biểu thức (37), ta suy ra được
0 𝐴 − 𝑇𝐶 ], do đó biểu thức (10) trở thành 𝑥̃̇ = 𝐴̃𝑥̃ (39) Định lý 1: Sai số ước lượng 𝑒 và các biến trạng thái 𝑥 của hệ thống con lắc ngược
Để đảm bảo điều kiện hôi tụ về không, cần có bộ quan sát (32) và bộ điều khiển (33) với sự tồn tại của các ma trận 𝑇, 𝐾, cùng với các ma trận xác định dương đối xứng 𝑃 1 và 𝑃 2.
Ch ứ ng minh : Lựa chọn hàm Lyapunov như sau
Thực hiện lấy đạo hàm hai vế của (41) thu được kết quả
Kết hợp biểu thức (39) và biểu thức (42) ta thu được kết quả như sau
Từ biểu thức (43) ta dễ dàng thấy rằng, nếu điều kiện (40) trong định lý 1 được thoả mãn thì đạo hàm bậc nhất của hàm Lyapunov 𝑉̇(𝑡) < 0, điều này hàm ý rằng
𝑥 và 𝑒 hội tụ về gốc khi 𝑡 → ∞ Chứng minh được hoàn thành
Biểu thức (40) trong Định lý 1 là một bất phương trình ma trận phi tuyến (BMI), và việc giải các bất phương trình này vẫn là một thách thức lớn Hiện tại, giải trực tiếp các điều kiện liên quan đến BMI vẫn gặp nhiều khó khăn.
Để xác định các biến ma trận 𝑇, 𝐾, 𝑃₁ và 𝑃₂ là một nhiệm vụ khó khăn Do đó, Định lý 2 là cần thiết để biến đổi biểu thức (12) thành bất phương trình ma trận tuyến tính (LMI) Nhóm tác giả đã sử dụng công cụ LMI của Matlab để giải quyết bất phương trình tuyến tính, từ đó thu được các tham số cho bộ điều khiển và bộ quan sát Định lý 2 liên quan đến sai số ước lượng 𝑒 và các biến trạng thái 𝑥 của hệ thống con lắc ngược.
Để đảm bảo sự ổn định của hệ thống, cần có bộ quan sát và bộ điều khiển hội tụ về không, với sự tồn tại của các ma trận 𝑇, 𝐾, cùng với các ma trận xác định dương đối xứng 𝑃 1 và 𝑃 2, nhằm thỏa mãn các điều kiện cần thiết.
Tham số bộ điều khiển và bộ quan sát được xác định bởi các biểu thức sau
Dựa theo bổ để Schur, biểu thức (40) tương đương với những biểu thức sau:
(𝐴 − 𝑇𝐶) 𝑇 𝑃 2 + 𝑃 2 (𝐴 − 𝑇𝐶) < 0 (48𝑏) Nhân hai phía của biểu thức (48a) với ma trận 𝑃 1 , sau đó and đặt 𝑍 = 𝐾𝑃 1 , khi đó biểu thức (48a) trở thành
𝑃 1 𝐴 𝑇 − 𝑍 𝑇 𝐵 𝑇 + 𝐴𝑃 1 − 𝐵𝑍 < 0 (49) Đặt 𝑊 = 𝑃 2 𝑇, khi đó biểu thức (48b) được viết lại như sau
Từ các biểu thức (49) và (50), chúng ta nhận thấy rằng chúng đã được chuyển đổi thành các bất phương trình ma trận phi tuyến (LMIs), tương tự như biểu thức (44) và (45) trong Định lý 2 Điều này cho thấy bất phương trình ma trận phi tuyến (40) đã được chuyển đổi thành các bất phương trình ma trận tuyến tính (44) và (45), từ đó hoàn thành chứng minh.
4.2 Thiết kế bộ điều khiển kết hợp với bộ quan sát với ảnh hưởng của thành phần bất định
Hệ thống con lắc ngược chịu ảnh hưởng của các thành phần bất định biến đổi theo thời gian, như thể hiện trong Hình 3.3 Những thành phần bất định này xuất phát từ sai số trong quá trình mô hình hóa hoặc sai số về tham số của hệ thống Sự tác động của các thành phần bất định đến mô hình toán của hệ thống con lắc ngược được mô tả chi tiết trong bài viết.
𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) (51) trong đó ∆𝐴(𝑡) và ∆𝐵(𝑡) là thành phần bất định biến đổi theo thời gian
Sự tồn tại của thành phần bất định ảnh hưởng đến chất lượng điều khiển của hệ thống con lắc ngược Mục tiêu của phần này là thiết kế bộ điều khiển kết hợp với bộ quan sát nhằm loại bỏ tác động của thành phần bất định và ổn định hóa hệ thống Do ảnh hưởng của thành phần bất định, các phương pháp nghiên cứu trước đây không thể áp dụng cho việc thiết kế bộ quan sát và bộ điều khiển cho hệ thống con lắc ngược Vì vậy, phần này đề xuất một cách tiếp cận mới dựa trên bộ quan sát nhiễu để ổn định hóa hệ thống con lắc ngược.
Hình 3.3: Cấu trúc hệ thống điều khiển con lắc ngược với sự tồn tại của thành phần bất định
Giả định 1: Giả đinh rằng các thành phần bất định ∆𝐴(𝑡) và ∆𝐵(𝑡)) phải thoả mãn điều kiện sau:
Chú ý 2: chú ý rằng thành phần bất định ∆𝐴(𝑡) và ∆𝐵(𝑡)) trong phương trình
Nhóm tác giả đề xuất một phương pháp mới để thiết kế bộ điều khiển kết hợp với bộ quan sát nhiễu, nhằm loại bỏ ảnh hưởng của thành phần bất định không xác định Phương pháp này không yêu cầu phải thỏa mãn các điều kiện giới hạn trên và dưới của thành phần bất định, điều này giúp duy trì sự cân bằng cho con lắc ngược.
Điều kiện trong Giả định 1 là cần thiết để chuyển các thành phần bất định thành nhiễu đầu vào, từ đó thiết kế bộ điều khiển ước lượng nhiễu nhằm ước lượng đồng thời các biến trạng thái và nhiễu Mặc dù giả định này đã được đề cập trong một số nghiên cứu trước đây như [15], [16], và [34], nhưng vẫn còn hạn chế khi chỉ sử dụng ma trận B để tách các thành phần bất định ∆𝐴(𝑡) và ∆𝐵(𝑡) Đây là một hướng nghiên cứu mở cho tương lai.
Bổ đề 1 [33] : Xét phương trình ma trận 𝑋𝐴 = 𝐵 trong đó ma trận 𝐴 ∈ ℝ 𝑚×𝑛 ,
KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
K ẾT QUẢ MÔ PHỎNG CHO BỘ QUAN SÁT
Trong phần này, chỉ có bộ quan sát được thiết kế, trong khi bộ điều khiển không được thiết kế Bằng cách sử dụng công cụ LMI của Matlab, chúng ta giải quyết các điều kiện của Định lý 1 để thu được các tham số cho bộ quan sát.
Hình 4.1: Vị trí 𝑥 1 (𝑡), tín hiệu ước lượng vị trí 𝑥̂ 1 (𝑡), và sai số ước lượng 𝑒 1 (𝑡)
Hình 4.2: Vận 𝑥 2 (𝑡), tín hiệu ước lượng vận tốc 𝑥̂ 2 (𝑡), và sai số ước lượng 𝑒 2 (𝑡)
Hình 4.3: Góc 𝑥 3 (𝑡), tín hiệu ước lượng góc 𝑥̂ 3 (𝑡), và sai số ước lượng 𝑒 3 (𝑡)
Hình 4 4: Vận tóc góc 𝑥 4 (𝑡), tín hiệu ước lượng vận tốc góc 𝑥̂ 4 (𝑡), và sai số ước lượng
Trong phần nhận xét, nhóm tác giả đã thiết kế bộ quan sát sử dụng tín hiệu điều khiển từ bộ điều khiển LQR Kết quả mô phỏng cho thấy các biến ước lượng bám sát tín hiệu thực tế, với sai số ước lượng hội tụ về không Điều này cho thấy bộ quan sát được thiết kế có khả năng ước lượng chính xác các biến trạng thái của hệ thống con lắc ngược.
K ẾT QUẢ MÔ PHỎNG CHO TRƯỜNG HỢP KHÔNG CÓ THÀNH PHẦN BẤT ĐỊNH
Sử dụng các thông số của hệ thống con lắc ngược từ bảng 1, các tham số của bộ quan sát và bộ điều khiển được xác định thông qua việc giải các điều kiện trong Định lý 2.
Tham số bộ quan sát 𝐿 = [
Tham số bộ điều khiển 𝐾 = [−4.1540 −5.2156 −52.1325 −7.1705]Kết quả mô phỏng như sau:
Hình 4.5: Vị trí 𝑥 1 (𝑡), tín hiệu ước lượng vị trí 𝑥̂ 1 (𝑡), và sai số ước lượng 𝑒 1 (𝑡)
Hình 4.6: Vận 𝑥 2 (𝑡), tín hiệu ước lượng vận tốc 𝑥̂ 2 (𝑡), và sai số ước lượng 𝑒 2 (𝑡)
Hình 4.7:Góc 𝑥 3 (𝑡), tín hiệu ước lượng góc 𝑥̂ 3 (𝑡), và sai số ước lượng 𝑒 3 (𝑡)
Hình 4.8: Vận tóc góc 𝑥 4 (𝑡), tín hiệu ước lượng vận tốc góc 𝑥̂ 4 (𝑡), và sai số ước lượng
Kết quả mô phỏng từ hình 4.5-4.8 cho thấy bộ điều khiển kết hợp với bộ quan sát có khả năng ước lượng chính xác các biến trạng thái và ổn định hóa hệ thống con lắc ngược Sai số ước lượng giảm dần về không trong thời gian ngắn, dưới 10 giây.
K ẾT QUẢ MÔ PHỎNG CHO TRƯỜNG HỢP CÓ THÀNH PHẦN BẤT ĐỊNH
Hệ thống con lắc ngược có sự ảnh hưởng của thành phần bất định ∆𝐴(𝑡) và
∆𝐵(𝑡) Với Giả định 1, những thành phần bất định được tách thành như sau:
𝛾(𝑡) = [−3sin (𝑡) 1 + cos (𝑡) 2 sin(𝑡) cos (𝑡) 1 + cos (𝑡)]
Sử dụng công cụ LMI tool của MATLAB để giải các bất phương trình ma trận tuyến tính theo Định lý 4, chúng ta thu được các tham số cho bộ điều khiển và bộ quan sát như sau:
𝐾 = [−5.3037 −6.0658 −55.1568 −8.2875] Sau đó thực hiện mô phỏng hệ thống bằng Simulink ta thu được kết quả như trong hình sau:
Hình 4.9: Vị trí 𝑥 1 (𝑡), tín hiệu ước lượng vị trí 𝑥̂ 1 (𝑡), và sai số ước lượng 𝑒 1 (𝑡)
Hình 4.10: Vận 𝑥 2 (𝑡), tín hiệu ước lượng vận tốc 𝑥̂ 2 (𝑡), và sai số ước lượng 𝑒 2 (𝑡)
Hình 4.11: Góc 𝑥 3 (𝑡), tín hiệu ước lượng góc 𝑥̂ 3 (𝑡), và sai số ước lượng 𝑒 3 (𝑡)
Hình 4.12Vận tóc góc 𝑥 4 (𝑡), tín hiệu ước lượng vận tốc góc 𝑥̂ 4 (𝑡), và sai số ước lượng
Dựa trên các kết quả mô phỏng trong hình 4.9-4.12, chúng ta có thể kết luận rằng bộ điều khiển kết hợp với bộ ước lượng nhiễu đã hoàn thành xuất sắc các nhiệm vụ được giao.
• Loại bỏ được hoàn toàn ảnh hưởng của thành phần bất định
• Ước lượng được các biến trang thái của hệ con lắc ngược
• Ổn địn hóa được hệ thống, điều khiển hệ thống cân bằng tại gốc
