Cỏc hắ thỳc cơ ban
Trong bài toán này, chúng ta ký hiệu các biến như vúi h(k), ρ(k), c(k) với i, j = 1, 6 để biểu thị độ dày, mắt đđ và các hang Xột n lúp thuan nhat trên hưúng đắt Các hang này được xác định trên một bề mặt không gian, đồng thời cũng thuan nhat so với các liên kết của lúp thỳ k (k = 0, n) Hình 1.1 minh họa mô hình bài toán, trong đó các súng phang được gia thiết là truyền trong mắt phang (x1, x2) Do đó, các thành phần i, j được xem xét trong quá trình phân tích.
8 phan chuyen d%ch cua sóng phang trong môi trưòng đang xét là các hàm phn thu®c vào (x 1 , x 2 , t) có dang u i = u i (x 1 , x 2 , t), i = 1, 2, 3 (1.1) trong đó u i là các thành phan cua vector chuyen d%ch. x 2 x (n) 2 x (n-1) (n)
Hình 1.1 minh họa mụ hình n lúp vắt liếu trên bề mặt không gian, trong đó không gian được xác định là lớp 0 Các trục chính của các lớp và bán không gian được thiết kế theo cùng một hướng.
Phương trình căng thẳng biểu diễn mối liên hệ giữa các thành phần của ứng suất và các thành phần gradient của chuyển dịch trong vật liệu đàn hồi được mô tả bởi các công thức sau: σ₁₁ = c₁₁ u₁,₁ + c₁₂ u₂,₂; σ₂₂ = c₁₂ u₁,₁ + c₂₂ u₂,₂; và σ₁₂ = c₆₆ (u₁,₂ + u₂,₁).
(1.2) trong đó, σ i j là úng suat cua lóp, dau "," tương úng vói đao hàm theo bien không gian x
CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP MA TRắN
Phương trình chuyen đ®ng khi bo qua lnc khoi có dang σ 11,1 + σ 12,2 = ρu¨ 1 , σ 12,1 + σ 22,2 = ρu¨ 2 ,
CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP MA TRắN
10 trong đó, dau "." bieu th% đao hàm theo bien thòi gian t.
Xột súng mắt truyen trong mđt lúp vúi hắ so vắt liắu là (ρ, c i j ) Các thành phần chuyển dịch được biểu diễn dưới dạng hàm mũ, theo nghiên cứu của Takeuchi và Saito.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các thành phần của một hệ thống sóng, được mô tả bởi các phương trình u 1 = −iy 2 (x 2; ω, k) e i(ωt−kx 1 ) và u 2 = y 1 (x 2; ω, k) e i(ωt−kx 1 ) Các thông số ω, k và t lần lượt đại diện cho tần số góc, số sóng và thời gian Các thành phần ứng suất cũng được biểu diễn tương ứng dưới dạng σ 22 = y 3(x 2; ω, k)e i(ωt−kx 1 ) và σ 12 = −iy 4(x 2; ω, k)e i(ωt−kx 1 ) Qua việc đạo hàm các phương trình này theo x 1 và x 2, chúng ta thu được các biểu thức u 1,1 = −ky 2 e i(ωt−kx 1 ) và u 1,2 = −idy 2 e i(ωt−kx 1 ).
Thay (1.6) vào (1.2), ta đưoc u 2,1 = −iky 1 e i(ωt−kx 1 ) σ 11 = −kc 11 y 2 + c 12 d y 1 e i(ωt−kx 1 ) , σ 22 = −kc 12 y 2 + c 22 Σ d y 1 Σ e i(ωt−kx 1 ) , σ 12 = −c 66 d y 2 ky 1 Σ ie i(ωt−kx 1 ) + Ket hop (1.5), (1.7)2 và (1.7)3, thu đưoc y 3 = c 22 dy 1
(1.8) dx 2 dx 2 dx 2 dx 2 dx 2
, dy 2 tù hai phương trình này ta đưoc dx 2 dx 2 dy 1
Sau đó lay đao hàm theo x 1 phương trình (1.7)1, ta có
, Đao hàm (1.5) theo x 1 và x 2, nhắn đưoc dx 2 σ 22,1 = −iky 3 e i(ωt−kx 1 ) , σ 22,2
Lay đao hàm bắc hai (1.4) theo bien thũi gian t, thu đưoc u¨ 1 = iω 2 y 2 e i(ωt−kx 1 ) , u¨ 2 = −ω 2 y 1 e i(ωt−kx 1 )
Thay (1.10), (1.11) và (1.12) vào (1.3), ta có k c 12 d y 1
Thay dy 1 tù phương trình (1.9) vào (1.13)1, sau đó rút ra dy 3
,dx 2 dx 2 dx 2 σ 11 1 = ik 2 c 11 y 2 −ikc 12 d y 1 Σ e i(ωt−kx 1 ) (1.10) dy 3
Phương trỡnh (1.9) và (1.14) cú the viet dưúi dang ma trắn như dưúi đõy d y dx 2 = Uy , (1.15) trong đú y = [y 1 , y 2 , y 3 , y 4] T (ký hiắu “T ” là chuyen v%) và
Phương trình (1.15) là một phương trình vi phân tuyến tính đối với biến trạng thái y Để tìm ma trận nghiệm tổng quát của phương trình này, chúng ta cần xác định điều kiện ban đầu và ma trận nghiệm tổng quát của nó Phần tiếp theo của nội dung này sẽ tìm ma trận "matrizant", được xác định trong toán học HQC là ma trận nghiệm tổng quát của phương trình trên Ma trận matrizant của lớp sẽ được biểu diễn bởi định lý Sylvester, và do đó yêu cầu các giá trị riêng của ma trận hằng số U Điều kiện ban đầu của bài toán truyền sóng mắt Rayleigh sẽ được nhấn mạnh thông qua điều kiện tắt dần tại vụ cựng trong không gian và có thể nhấn được thông qua các vector nghiệm riêng của phương trình (1.15) đối với không gian.
Tiếp theo, chúng ta tìm các giá trị riêng của ma trận U trong phương trình (1.15) và phương trình det(U − λI) = 0, trong đó λ = kb là giá trị riêng của ma trận Chúng ta có bốn vector riêng tương ứng Các giá trị riêng của ma trận U là nghiệm của phương trình.
Khai trien các đ%nh thúc ta thu đưoc λ λ
CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP MA TRắN
Do λ = kb, tù đó suy ra c 22
(1.19) trong đú X = ρc 2 Đõy là phương trỡnh bắc hai cua b 2 vúi nghiắm b 2 và b 2 thoa món
CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP MA TRắN
Khi S 2 − 4P > 0 thỡ bon nghiắm này thnc hoắc thuan ao Ngưoc lai, chỳng là phỳc liờn hop theo cắp vúi b 2 = (b 2 ) ∗ , (1.22)
1 2 trong đú ký hiắu "*" là phỳc liờn hop.
Vector riờng v = [v 1 , v 2 , v 3 , v 4] T cua ma trắn U tương ỳng vúi giỏ tr% riêng λ i = kb i , i = 1, 4, cú cỏc thành phan là nghiắm cua hắ c 22
CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP MA TRắN
Phương trỡnh (1.19) cú 4 nghiắm ±.b 2 và ±.b 2 cú dang
Rút v 3 tù (1.23)1 và v 4 tù (1.23)2 ta đưoc c 2
Thay (1.24) vào phương trỡnh (1.23)3 ta thu đưoc moi liờn hắ giua v 1 và v 2 là
Ta c HQN v 1 = b i (c 12 + c 66) và v 2 = b 2 c 22 −c 66 + X , sau đó thay vào v 3 và v 4 o phương trỡnh (1.24) ta thu đưoc vector riờng cua ma trắn U tương ỳng vúi cỏc giỏ tr
CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP MA TRắN
Xột bài toán súng mắt Rayleigh truyền trong bốn không gian phân lớp, mô hình DQC theo trục x1 Hình 1.1 minh họa cấu trúc phân lớp được tạo bởi các loại vật liệu khác nhau Do đó, phương trình vi phân chuyển động trong mô hình này có dạng d²y/dx² = U(x₂)y, với ma trận hằng số được định nghĩa như sau.
U (x 2) = U (0) , (x 2 ∈ [−∞, 0]) , trong đú U (i) cú dang (1.16) vúi tat ca cỏc tham so vắt liắu đưoc thay the boi lúp thỳ i.
Điều kiện biên của bài toán này bao gồm điều kiện biên tần số do ứng suất tại bề mặt trên cùng, điều kiện liên tục tại mắt phân cách của các lớp và điều kiện tất dần trong không gian Cụ thể, điều kiện biên tần số tại bề mặt trên cùng được biểu diễn bằng phương trình H có dạng y3(H; ω, k) = y4(H; ω, k) = 0 Điều kiện liên tục của chuyển vị và ứng suất tại mỗi mắt phân cách được mô tả bởi phương trình y(i)(x(i); ω, k) = y(i+1)(x(i); ω, k), với i = 0, n−1 Trong đó, y(i)(x2; ω, k) = y(x2; ω, k) tại x2 = [x(i−1), x(i)], với i = 1, n Cuối cùng, điều kiện tất dần cũng cần được thỏa mãn.
2 2 trong bán không gian là i Σ i
Khi x2 tiến tới âm vô cực, phương trình (1.31) sẽ đưa ra giá trị 0 Phương trình (1.27) cùng với các điều kiện (1.29), (1.30) và (1.31) sẽ xác định phương trình tán sắc của sóng mắt Rayleigh Tiếp theo, chúng ta sẽ xác định ma trận nghiêng cơ bản của phương trình vi phân tuyến tính (1.27).
Phương phỏp tỡm ma trắn matrizant
Xột phương trỡnh vi phõn (1.27), nghiắm cua phương trỡnh này cú the xỏc đ
%nh bang phương pháp Peano-Barker (xem Frazer và các c®ng sn [6], Chương VII) y (x 2) = Ω x 2 , x 2 J Σ y x 2 J Σ
, (1.32) trong đó y (x 2 J ) là giá tr% cua y khi x 2 = x 2 J và Ω (x 2 , x 2 J ) là matrizant cua U đưoc đ%nhnghĩa như sau x 2
U (ξ 2)dξ 2 dξ 1 + ã ã ã (1.33) trong đú I kớ hiắu ma trắn đơn v% cú cựng hang U.
Khi U là ma trắn hang so, thỡ matrizant cú dang đơn gian là
Trong trường hợp này, GQI n là hạng của ma trận U và λ i (i = 1, 2, , n) là giá trị riêng của U Theo định lý Sylvester (xem Frazer và cộng sự, 1963), ta có một dạng biểu diễn của ma trận với độ dày h.
Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm dạng hiện của biểu diễn ma trận E(h) tự biểu của ma trận hắc số với n = 4 Biểu thức (1.35) được chuyển thành dạng (1.35) Trong bài toán truyền sóng Rayleigh, chúng ta xem xét hàm E(h) = e λ1 h λ2 I - U λ3 I - U λ4 I - U.
−b 1 + b 2 b 2 + b 2 trong đú, U¯ = U /k và b 1 , b 2 = −b 1 , b 3 = b 2 , b 4 = −b 2 là bon nghiắm cua phương trỡnh đắc trưng (1.19) Tự đú suy ra
Ta xét hai trưòng hop: b 2 I − U
Xột trưỡng hop Sta cho phương trình đắc trưng (1.19) với điều kiện 2 − 4P < 0 cho thấy rằng b 2 có giá trị phức, cụ thể là b 1 = f + ig và b 2 = f − ig Đồng thời, b 2 cũng có thể được biểu diễn dưới dạng b 2 = F + iG và b 2 = F − iG (1.38).
Bieu dien cua ma trắn matrizant E(h) trong ngoắc cua (1.37) là mđt đa thỳc bắc
3 cua ma trắn hắ so U¯ Ta se đi tỡm dang tưũng minh cua tựng so hang cua đa thỳc này So hang bắc 0 cua đa thỳc này cú dang
= (F + iG) e kh f (cos(khg) −isin(khg) + e −kh f (cos(khg) −isin(khg)
2 e kh f (cos(khg) + isin(khg) + e −kh f (cos(khg)
= 2i [−sinh(kh f )sin(khg)F + cosh(kh f ) cos(khg)G] Đoi vúi so hang bắc mđt, hắ so cua nú là
= f −ig [cos(khg)sinh(khg) −isin(khg)cosh(khg)]
[cos(khg)sinh(khg) + isin(khg)cosh(khg)] f + ig
= √P [sinh(kh f )cos(khg)( f G + gF) − cosh(kh f )sin(khg)( f F
Xột hắ so cua so hang bắc hai, tương tn ta cú
A 2(h) = 2i sin(khg) sinh(khg) (1.42) Xột hắ so cua so hang bắc ba, ta thu đưoc2i
P (−g sinh(khg) cos(khg) + f cosh(khg) sin(khg)) (1.43)
Tù (1.40), (1.41), (1.42) và (1.43), ta thu đưoc
(1.44) m = −sinh(kh f )sin(khg)F + cosh(kh f )cos(khg)G, n = sinh(kh f )cos(khg)( f G + gF) − cosh(kh f )sin(khg)( f F −gG) , p = sin(khg) sinh(khg) ,1 q = √
P (−g sinh(khg) cos(khg) + f cosh(khg) sin(khg))
• Xột trưũng hop S 2 − 4P > 0: Khi đú b 2 là thnc nờn b se là thnc hoắc thuan ao.
Tương tn như trờn, ta tỡm đưoc bieu dien tưũng minh cua ma trắn matrizant E(h) có dang trong đó
S 2 − 4P m = cosh(khb 2) b 2 − cosh(khb 1) b 2 , n = sinh ( khb 2 ) b 2 − sinh ( khb 1 ) b 2 , b 2 1 b 1 2 (1.47) p = cosh(khb 1) − cosh(khb 2) , q = sinh ( khb 1 )
2 Đoi vúi ca hai trưũng hop trờn, dang bieu dien tưũng minh cua ma trắn ma- trizant cua lóp thú (i) trong phương trình (1.35) có dang
Cỏc ma trắn E (i) j = 1, 4Σ là cỏc ma trắn cap 2x2 cú dang
1.Neu S0, và mnhư sau i , n i , p i , q (i)2 i tùy theo hai trưòng hop đưoc xét o trên đưoc xác đ%nh − 4P (i) < m i = − sinh εh¯ i f i Σ sin εh¯ i g i Σ F i + cosh εh¯ i f i Σ cos εh¯ i g i Σ G i , n i = √
P (i) Σ cosh εh¯ i f i Σ sin εh¯ i g i Σ f i − sinh εh¯ i f i Σ cos εh¯ i g i Σ g i Σ , trong đó
(1.54) và ε = kh, h¯ i = h i /h (i = 1, n) là các đai lưong vô hưóng h ∑n h i là tong đ® dày cua các lóp trên bán không gian.
Dang tưỡng minh của ma trận matrizant trong các lớp và bồn không gian sẽ được sử dụng để khảo sát bài toán tìm phương trình tán sắc của sóng mắt Rayleigh và tỷ số H/V của nó trong môi trường phân lớp ở chương tiếp theo.
PHƯƠNG TRÌNH TÁN SAC VÀ TY
Nội dung chính của chương này sẽ sử dụng dạng hiện của ma trận đã tìm được ở Chương 1 để thiết lập phương trình tán sắc và tỷ số H/V của súng mắt Rayleigh truyền trong môi trường phân lớp theo hướng.
Phương trình tán sac
Áp dụng công thức (1.32) và (1.35) vào lớp thứ nhất, ta có y.x(1) Σ = E(1)(h1) y.x(0) Σ = E(1)(h1) y(0) trong đó E(1)(h1) = exp(h1 U(1)) được tính theo ma trận U(1) Vector y(0) là trạng thái tại mắt trên cùng của bốn không gian Việc áp dụng tương tự biểu thức trên cho các lớp khác nhau và sử dụng điều kiện liên tục tại mắt biến các lớp sẽ tạo ra kết quả mong muốn.
Chúng ta đã tìm ra mối liên hệ giữa vector trạng thái tại mắt biên và vector trạng thái trên bề mặt không gian thông qua tích của các ma trận ma trắn của các lớp Phương pháp này tương tự như phương pháp ma trận chuyển, trong đó ma trận chuyển có ý nghĩa tương đương với tích của các ma trận ma trắn trên Tuy nhiên, có sự khác biệt giữa hai phương pháp; cụ thể, vector trạng thái được định nghĩa trong luận văn khác với vector trạng thái được sử dụng trong phương pháp ma trận chuyển Cách tiếp cận trong luận văn này cho phép trình bày rõ ràng hơn ma trận so với cách tiếp cận của phương pháp ma trận chuyển Hơn nữa, với cách tiếp cận này, phương trình tán sắc của sóng mắt Rayleigh có thể được đưa về dạng tương đương, cho phép phân tích rõ ràng hơn Để xác định y(0), có ý nghĩa như là giá trị đầu của hệ phương trình vi phân liên quan đến mũ hình phần lớp, chúng ta xem xét hệ thống truyền trên bề mặt không gian Hệ thống này được xác định từ phương trình (1.15) với U thay thế bởi U(0) Trong trường hợp tổng quát, phương trình (1.15) có bốn nghiệm cơ bản là y(0)(x²; ω, k) = v(0) exp λ(0)x² Σ, (j = 1, 4), trong đó λ(0) là giá trị riêng của ma trận U(0) xác định từ (1.19) và v(0) tương ứng là vector riêng tính từ (1.26) Để đơn giản, ta ký hiệu y(i)(x²; ω, k) bằng y(i)(x²).
Trong không gian vui vẻ này, chỉ có hai giá trị riêng quan trọng, đó là kb(0) và kb(1.19) Những giá trị này đóng vai trò quyết định trong việc xác định các đặc điểm của không gian.
1 2 vắy, trưũng chuyen v% cua súng mắt Rayleigh trong bỏn khụng gian là y (0) (x
2 1 1 1 2 2 2 trong đó C 1 và C 2 là các hang so Tai x 2 = 0, ta có y (0) = y (0) (0) = C 1 v (0) + C 2 v (0) (2.5)
Giỏ tr% đau y (0) của phương trình vi phân chuyển động của mụ hình đã được xác định và phụ thuộc vào hai hằng số tích phân Phương trình tán sắc của sóng mắt Rayleigh sẽ được liên kết giữa hai vector trạng thái tại mặt biên và tại mặt trên của bồn không gian, đồng thời tuân theo điều kiện biên tương ứng.
CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH TÁN SAC VÀ TY SO H/V
36 là ma trắn matrizant cua toàn hắ Tự phương trỡnh (2.2) ta thu đưoc y (H) = C 1 E (h) v (0) + C 2 E (h) v (0) (2.7)
Tự đieu kiắn tn do ỳng suat (1.29) ta cú y 3 (H) = 0, y 4 (H) = 0.
Như vắy ta nhắn đưoc hai phương trỡnh thuan nhat đoi vúi hai bien C 1 và C 2 Đe hắ cúnghiắm khụng tam thưũng ta cú
− Σ E 3i (H) v (0) (i) ΣΣ E 4i (H) v (0) (i) Σ = 0. Đõy chớnh là phương trỡnh tỏn sac cua súng mắt Rayleigh truyen trong mụi trưũng phõn lúp Chỳ ý rang phương trỡnh này đó đưoc nhắn trong Takeuchi và Saito (1972)
Mặc dù ma trận matrizant không được xác định, trong cuốn sách, tính toán tán sắc của sóng mắt Rayleigh đã được xác định bằng một số phương pháp tích phân trực tiếp từ hệ phương trình vi phân chuyển động Các phương pháp tính toán gần đúng gặp nhiều khó khăn, đặc biệt là trong việc xác định hai trong số bốn nghiệm trong không gian thoả mãn điều kiện tất đẳng Điều này xuất phát từ giá trị riêng của phương trình chuyển động trong bán không gian ở dạng số phức tổng quát Trong phần tiếp theo, phương trình tán sắc sẽ được viết ở một dạng mới nhằm tránh những khó khăn đã nêu.
Phương trình (2.9) có the đưoc bieu dien dưói dang
∆(ω, k) = M ã V = 0, (2.10) trong đó M và V là hai vector sáu thành phan đưoc đ%nh nghĩa như sau
T trong đó V¯ = [V¯ 1 ,V¯ 2 ,V¯ 3 ,V¯ 4 ,V¯ 5 ,V¯ 6 ] là vector không thú nguyên và có thành phan là
Chú ý rang b (0) = b (0) Σ∗ Vì the, v (0) = v (0) Σ ∗ và tù (2.11) ta có the viet vector VΣ
Trong các phương trình này, ta đã su dnng các đai lưong không thú nguyên đưoc đ%nh nghĩa như sau
Sóng Rayleigh tồn tại trong bán không gian với các đại lượng S(0) và P(0) được xác định tùy thuộc vào b (0) và b (0) Các đại lượng này được tính toán theo bán không gian, với giá trị 66 và S(0) cùng P(0) được xác định tại (1.20).
1 2 dương thì (xem Pham Chí Vĩnh và Ogden, 2004)
0 < X (0) < min{c (0) , c (0) } (2.16) Đieu kiắn này se làm cho P (0) cú giỏ tr% thnc dương.
Chú ý rằng trong cả hai trường hợp S(i)² − 4P(i) có thể dương hoặc âm, các đại lượng m_i, n_i, p_i, q_i luôn là số thực, do đó ma trận E(i) cũng là ma trận thực Điều này dẫn đến đặc điểm quan trọng của ma trận E(i) trong phương trình (1.48), cho phép tích của chúng được xác định bởi ma trận.
E trong phương trình (2.6) có dang tương tn Đieu này có the đưoc chúng minh m®t cách de dàng bang cỏch nhõn ma trắn trnc tiep Cn the là,
Đây là ma trận không thù nguyên và luôn nhận giá trị thực Ma trận này sẽ được sử dụng để tìm phương trình toán học của sự tán xạ Rayleigh, vì sử dụng ma trận E(H), là ma trận không thù nguyên và có thể nhận giá trị phức gây ra bởi các hằng số ∏ n α(i)Σ và kc(0).
So sánh hai phương trình (2.12) và phương trình (2.17), ta có the thay rang
66 (0) trong đó vector không thú nguyên M¯ = [M¯ 1 , M¯ 2 , M¯ 3 , M¯ 4 , M¯ 5 , M¯ 6 ] T đưoc đ%nh nghĩa tương tn như vector M trong phương trỡnh (2.12) vúi ma trắn E đưoc thay the boi ma trắn khụng thỳ nguyờn
Thay vector M và V tù phương trình (2.19) và (2.13) vào phương trình tán
2 3 3 sac (2.10), ta thu đưoc dang sau
Boi vì b (0) − b (0) ƒ= 0 và α (i) ƒ= 0, phương tình tán sac này có the đưoc bieu dien
Phương trình tán sắc (2.10) tương đương với phương trình 2, trong đó tần số không phải nguyên ε và vận tốc không phải nguyên x(0) đóng vai trò quan trọng Hệ số này phụ thuộc vào các tham số không nguyên của lớp và bán không gian.
Tý so H/V
Công thức tính tỉ số H/V của sóng mặt Rayleigh trong các mũi trũng có ý nghĩa quan trọng để nghiên cứu nền tảng lý thuyết của phương pháp này, như đã đề cập trong các nghiên cứu của Nakamura (1989, 2000, 2008) và Bard (1998) Đây là một phương pháp không phá hủy để xác định các tính chất vật liệu và đã được áp dụng rộng rãi trong lĩnh vực địa vật lý trong vài thập kỷ gần đây Mặc dù đã được sử dụng hiệu quả, nhưng nền tảng lý thuyết của phương pháp này vẫn chưa đầy đủ và hiện nay vẫn có nhiều bài báo tập trung vào khai thác các tính chất của tỉ số này Công thức dạng hiện tại của tỉ số H/V của sóng mặt Rayleigh trong mô hình lớp đất trên bán không gian được đưa ra trong nghiên cứu của Malischewsky và Scherbaum.
Năm 2004, một số nghiên cứu đã được công bố, ví dụ như của Trần Thanh Tuấn (2009) Tuy nhiên, các công thức hiện có chủ yếu chỉ được xây dựng cho những trường hợp đang có xu hướng rõ ràng Đối với những trường hợp chưa có xu hướng cụ thể, hiện tại vẫn chưa có công thức nào được đề xuất.
Trong lĩnh vực tính toán sóng địa chấn, tỷ số H/V được xác định cho mọi trường phân lớp và thường hướng tới việc phân tích các phương pháp khác nhau (ví dụ: xem Crampin, 1970) Tuy nhiên, các công thức tính toán tỷ số H/V hiện tại không phù hợp cho việc nghiên cứu các tính chất của đường cong tỷ số H/V Để nghiên cứu tính chất giải tích của tỷ số H/V trong môi trường phân lớp, mô hình này thường được đưa về mô hình một lớp đất trên bề mặt không gian Bằng cách này, một số tính chất giải tích của đường cong tỷ số H/V chỉ có thể tìm ra thông qua việc sử dụng công thức hiện tại của Malischewsky và Scherbaum.
Theo Malischewsky và các cộng sự (2008) cũng như Tran Thanh Tuan và các cộng sự (2011), việc sử dụng công thức dạng hiện của tỷ số H/V cho mô hình lớp đất trên bề mặt không gian là cần thiết Trong nghiên cứu này, dạng biểu diễn của ma trận matrizant sẽ được sử dụng để thiết lập các công thức dạng hiện của tỷ số H/V trong súng mắt.
Rayleigh trong môi trường phân lớp là một khái niệm quan trọng Các công thức này được sử dụng để khảo sát ảnh hưởng của tính bất động lên tần số của điểm cực đại và điểm cực tiểu của đường cong tần số H/V trong chương sau.
Tỷ số H/V là tỷ số giữa biên độ của chuyển động theo phương ngang và biên độ của chuyển động theo phương thẳng đứng tại bề mặt trên cùng Do đó, tỷ số H/V của sóng rất quan trọng trong việc đánh giá đặc tính của sóng.
(2.22) iu 2(H) Thay thành phan chuyen d%ch theo bieu dien (1.4), khi đó công thúc (2.22) tro thành χu 1 ( H ) iy 2 (H) e i(ωt−kx 1 ) y 2 ( H )
Tù phương trình (2.7) ta có đưoc y 1(H) = C 1 E 1i v (0) (i) + C 2 E 1i v (0) (i), (2.24)
Theo đieu kiắn tn do ỳng suat (1.29) ta cú y 3(H) = 0, rỳt ra đưoc C 1 theo C 2 cú dang sau
Cũng theo (1.29) ta có y 4(H) = 0, và rút ra đưoc C 1 theo C 2 dưói dang
Thay (2.28) và (2.29) vào (2.24) và (2.25), sau đó lay tý so theo (2.22) Tù đó thu đưoc hai công thúc ti so H/V có dang
, (2.31) trong đó, V đưoc bieu dien qua
V¯dang cn the sau như trong công thúc (2.14) và N 1 , N 2 , N 3 , N 4 có
E 43 (H) E 14 (H) − E 13 (H) E 44 (H) Các công thúc tý so H/V đưoc su dnng đe tính toán so trong chương sau.
KET QUA MINH HOA SO
Chương này sẽ trình bày một số kết quả minh họa so sánh phương trình tán sắc và công thức tỷ số H/V được đề cập trong Chương 2 Phần đầu của chương sẽ giới thiệu các bước trong thuật toán tính toán sóng mắt Rayleigh Phần hai sẽ xem xét một ví dụ minh họa so sánh sử dụng công thức tỷ số H/V để khảo sát ảnh hưởng của tính chất bất thường của vật liệu lên giá trị tần số CNC đại và CNC tiểu của đường cong tỷ số H/V Đây là hai thông tin quan trọng trong kỹ thuật tỷ số H/V.
Phương trình tán sac 31 3.2 Ânh hưóng cua tính chat bat đang hưóng cua vắt liắu lên tý so H/V .33
Trong Chương 1, chúng ta đã đề cập đến các tham số liên quan đến lưới và bán không gian Tất cả các tham số cần thiết cho phương trình tán sắc đã được tính toán bằng các công thức (2.15) và (1.51) Mục tiêu của chúng ta là tính toán vận tốc pha khung nguyên của sóng mắt Rayleigh dưới dạng x(0) đối với sóng khung nguyên được cho dưới dạng ε Các bước cần thiết trong thuật toán bao gồm việc tính toán vector ban đầu.
Vecto M¯ được tính toán từ phương trình (2.21) bằng cách sử dụng công thức (2.14) Để xác định vecto M¯, cần tính tất cả các ma trận matrizant của các lớp ở dạng không thú nguyên theo phương trình (2.6), sau đó áp dụng phương trình (2.18) để xác định ma trận matrizant tích E¯.
49 sau đó đưoc tính boi phương trình
Ma trận E được thay thế bằng ma trận E¯ trong bối cảnh này Cuối cùng, vận tốc pha khủng thì nguyên x (0) được xác định thông qua việc giải phương trình tích vô hướng của vector.
Bang 3.1: Cỏc tham so vắt liắu cua mụ hỡnh khao sỏt so.
Vắt liắu E 1 (GPa) E 2 (GPa) G 12 (GPa
Hỡnh 3.1: Đưũng cong tỏn sac cua mđt so mode đau tiờn cua súng mắt
Rayleigh trong mô hình phân lớp trnc hưóng là một khái niệm quan trọng Để minh họa cho thuật toán này, chúng ta xem xét một mô hình phân lớp trnc hưóng bao gồm ba lớp đất trên bề mặt không gian, với các tham số liên quan được trình bày trong bảng 3.1 (xem Liu và ).
Tất cả các lớp được gia sức đều có độ dày như nhau Đường cong tán sắc của mụ hình được thể hiện ở Hình 3.1 với một số mô đun đầu tiên Trong đó, tần số không thú nguyên ε = kh, với h là tổng độ dày của tất cả các lớp Tỷ số của vận tốc pha và vận tốc sóng ngang của bức không gian theo trục chính x 1 được ký hiệu bởi c 0 = c (0) /ρ (0) Từ đó, ta có thể thấy vận tốc túi hạn của các mode bắc cao là c 0 như là kết quả của điều kiện cho bội (2.16).
CHƯƠNG 3 KET QUÃ MINH HOA
Bài viết này đề cập đến 51 cua bỏn khụng gian và ký hiệu là c(0) Khi nghiên cứu các tham số liên quan đến bỏn khụng, cần chú ý rằng khi tần số là đủ nhỏ, tốc độ pha sẽ tiến tới tốc độ sóng Rayleigh trong không gian này Tốc độ sóng Rayleigh của bỏn khụng gian có thể được tính bằng công thức do Vinh và Ogden (2004) đưa ra.
Ket qua tính toán này phù hop vói ket qua tính toán so trong hình ve trên.
3.2 Anh hưỏng cua tớnh chat bat đang hưỏng cua vắt liắu lờn tý so H/V
Xột mụ hỡnh mđt lúp hiện đang thu hút sự chú ý trên thị trường với các thông số nghiên cứu như ν 1 = 0.4375, ν 2 = 0.2506, β 1 /β 2 = 0.1667, và σ 1 /σ 2 = 0.7406, theo nghiên cứu của Tran Thanh Tuan năm 2009 Các hệ số này liên quan đến các yếu tố như hàm số Poisson, vận tốc súng ngang và khối lượng của vật liệu Các giá trị e 1 = 9, e 3 = 7, e¯1 = 3.021, e¯3 = 1.021, r à = 1/36, r ν = 26.66 và e 2 = 1/e 1 cho thấy sự tương ứng với các tham số không thuộc nguyên liệu sử dụng trong luận văn, cho thấy vật liệu đang được khảo sát là đang hưúng.
Trong một số trường hợp, do quá trình cấu tạo địa chất và tác động của lực trường, lớp có tính chất đang hướng ngang với λ = c22, trong khi hắc so vắt liệu c11 không đổi Điều này làm cho công thức tính tỷ số H/V của mô hình đang hướng không còn chính xác nữa Tỷ số H/V cần được tính bằng công thức cho môi trường đang hướng theo phương trình (2.30) Hình 3.2 biểu diễn đường cong tỷ số H/V của mô hình đang hướng và mô hình đang hướng ngang Tần số của điểm cực đại và điểm cực tiểu của đường cong tỷ số H/V tăng theo độ cứng của lớp phương vuông góc với lớp Tần số của điểm cực đại trong trường hợp đang hướng có giá trị khoảng 0.2472, gần với giá trị thông dụng 1/4, theo nguyên lý một phần tư bước sóng Tuy nhiên, khi vật liệu trở thành đang hướng ngang, giá trị tần số cực đại này sẽ thay đổi.
Hình 3.2 mô tả đường cong tỷ số H/V trong trường hợp đang hướng và đang hướng ngang Khoảng 0.3 cho thấy sự khác biệt so với giá trị lý thuyết được đưa ra bởi công thức của Nakamura Điều này cho thấy tần số của điểm CNC đại diện cho đường cong tỷ số H/V chịu ảnh hưởng bởi tính bất định của vắt liếu.
Để khảo sát sự thay đổi của tần số điểm CNC đại và điểm CNC tiêu của đường cong tỷ số H/V, chúng ta sử dụng vật liệu C của lớp và điều chỉnh giá trị phần trăm của nó tăng lên 5 lần trong mô hình phân lớp Giá trị phần trăm của các tham số khác trong lớp và bán không gian được giữ nguyên Hình 3.3 minh họa pha vặn tốc của mô hình trong quá trình này.
Dang huong Dang huong ngang
Tan so diem cuc dai Tan so diem cuc tieu fh/β
Hình 3.3 thể hiện sự thay đổi tần số của điểm CNC đại và CNC tiểu theo sự thay đổi của hệ số c22 Từ hình ảnh, ta có thể nhận thấy rằng tần số của điểm CNC tiểu bị ảnh hưởng nhiều hơn bởi tính bất định hướng so với tần số của điểm CNC đại.
Chúng ta nhận thấy rằng ảnh hưởng của tính chất bất định trong vật lý lên tỷ số H/V là khá lớn Do đó, nguyên lý thụng dụng Nakamura, vốn phát biểu rằng tần số không phụ thuộc vào điểm CNC đại bằng 1/4, sẽ không còn chính xác nữa Trong trường hợp môi trường là bất định, nguyên lý này cần được nghiên cứu và phát biểu lại.
Bài toán truyền sóng của sóng mắt Rayleigh trong môi trường phân lớp được nghiên cứu thông qua ma trận nghiêm cơ bản và phương trình vi phân tuyến tính Các phương trình tán sắc và tỷ số H/V cho môi trường phân lớp được trình bày dưới dạng phương trình tương đương, thể hiện tính chất không hữu hạn và luôn có giá trị dương Điều này giúp việc lập trình tính toán sóng trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn Các công thức này được sử dụng để tính toán tỷ số H/V nhằm đánh giá mức độ ảnh hưởng của tính chất vật liệu đến tần số của điểm cực đại và điểm cực tiểu của đường cong tỷ số H/V, hai thông tin quan trọng trong phương pháp tỷ số H/V Kết quả tính toán cho thấy, hai tần số này chịu sự ảnh hưởng lớn từ tính chất vật liệu.
[1] Bard, P Y (1998), "Microtremor Measurements: A Tool For Site Effect Esti- mation", Manuscript for Proc of 2nd International Symposium on the Effect of
Surface Geology on Seismic Motion, Yokohama, Japan, 1-3 Dec, 1998.
[2] Chen X (1993), "A systematic and efficient method of computing normal modes for multilayered half-space", Geophysical Journal International,
[3] Crampin S (1970), "The dispersion of surface waves in multilayered anisotropic media", Geophysical Journal International, 21(3), pp 387–402.
[4] Crampin S and Taylor D B (1971), "The propagation of surface waves in anisotropic media", Geophysical Journal International, 25(1-3), pp 71–87.
[5] Dunkin J W (1965), "Computation of modal solutions in layered, elastic media at high frequencies", Bulletin of the Seismological Society of America, 55(2), pp 335–358.
[6] Frazer R A., Duncan W J., and Collar A R (1938), Elementary matrices and some applications to dynamics and differential equations Cambridge
[7] Haskell N A (1953), "The dispersion of surface waves on multilayered media",
Bulletin of the Seismological Society of America, 43(1), pp 17–34.
[8] Kennett B L (1983), Seismic wave propagation in stratified media,Cambridge University Press.
[9] Knopoff L (1964), "A matrix method for elastic wave problems", Bulletin of the Seismological Society of America, 54(1), pp 431–438.
[10] Liu G R and Xi Z C (2002), Elastic waves in anisotropic laminates, CRC press.
[11] Malischewsky, Peter G and Scherbaum, Frank (2004), "Love’s formula and H/V- ratio (ellipticity) of Rayleigh waves", Wave motion, 40(1), pp 57–67.
[12] Malischewsky, P G., Scherbaum, F., Lomnitz, C., Tuan, T T., Wuttke, F., and Shamir, G (2008), "The domain of existence of prograde Rayleigh-wave particle motion for simple models", Wave motion, 45(4), pp 556–564.
[13] Nakamura, Y (1989), "A Method for Dynamic Characteristics Estimation of Subsurface using Microtremor on the Ground Surface", Quarterly Report of
Railway Technical Research Institute (RTRI), 30(1), pp 25–33.
[14] Nakamura, Y (2000), "Clear identification of fundamental idea of
Nakamura’s technique and its applications", Proceedings of the 12th World
Conference on Earthquake Engineering, Aucklan, New Zealand.
[15] Nakamura, Y (2008), "On the H/V spectrum", Proceedings of the 14th
World Conference on Earthquake Engineering, Beijing, China.
[16] Solyanik, F I (1977), "Transmission of plane-waves through a layered medium of anisotropic materials", Soviet Physics Acoustics-USSR, 23(6), pp 533–536.
[17] Rokhlin, S I., and Wang, Y J (1992), "Equivalent boundary conditions for thin orthotropic layer between two solids: Reflection, refraction, and interface waves", The Journal of the Acoustical Society of America, 91(4), pp 1875–1887.
[18] Takeuchi H and Saito M (1972), "Seismic surface waves", Methods in
[19] Thomson W T (1950), "Transmission of elastic waves through a stratified solid medium", Journal of Applied Physics, 21(2), pp 89–93.
[20] Ting T C T and Horgan C O (1996), Anisotropic elasticity: Theory and appli- cations, Vol 405 Oxford University Press New York.
[21] Tran Thanh Tuan (2009), The ellipticity (H/V-ratio) of Rayleigh surface waves, Dissertation in GeoPhysics, Friedrich-Schiller-University Jena,
In their 2011 study, Tran Thanh Tuan, Frank Scherbaum, and Malischewsky P G explore the correlation between the peaks and troughs of Rayleigh wave ellipticity (H/V) and the transmission response of single-layer models over half-spaces Their findings contribute to the understanding of seismic wave behavior and its implications for geophysical modeling.
[23] Vinh P C and Ogden R W (2004), "Formulas for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids", Archives of Mechanics, 56(3), pp 247–265.
