Luận văn thạc sĩ tính toán ngẫu nhiên trong tài chính

Chuyen đ®ng Brown và các tính chat

1.1.1 Chuyen đ®ng Brown Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho (Ω, F, P) là không gian xác suat, quá trình ngau nhiờn B (t, w) : [0, ∞) ì Ω → R thoa món cỏc đieu kiắn sau: i) B (0) = 0, túc là P{ω : B (0, ω) = 0} = 1, ii) B (t) là m®t hàm liên tuc theo t, iii) Neu

(t n−1), phoi chuan Y j ∼ N (0, t j − t j−1) ∀j thỡ cỏc gia so Y 1 , Y 2 , , Y n là cỏc bien ngau nhiờn đđc lắp, cú phân

1.1.2 Bien phõn và bien phõn bắc hai xột ve bien phõn (hay bien phõn bắc nhat), FV (f ) cna mđt hàm f (t) Bien phõn bắc hai là mđt thưúc đo cho sn bien đđng Đau tiờn ta se xem

Hình 1.1: Hàm f (t) Đoi vói hàm f (t) trong hình trên, bien phân trong khoang [0, T ] đưoc cho boi:

Biến phân là một khái niệm quan trọng trong toán học, liên quan đến việc phân chia một đoạn [0, T] thành các khoảng nhỏ Định nghĩa chung về biến phân được thể hiện qua phân hoạch π = {t0, t1, , tn}, trong đó các điểm t0, t1, , tn tạo thành các phân đoạn để nghiên cứu sự chuyển động và thay đổi trong các hàm số.

Bien phân cna m®t hàm f trên đoan [0, T ] xác đ%nh boi: n−1

Gia su f kha vi Đ%nh lý giá tr% trung bình o đây nghĩa là trong moi đoan con [t k , t k+1] có m®t điem t ∗ k đe mà f (t k+1) − f (t k ) = f J (t ∗ k )(t k+1 − t k ).

0 Đ%nh nghĩa 1.1.3.(Bien phõn bẳc hai) Bien phõn bắc hai cna hàm f trên đoan [0, T ] xác đ%nh boi công thúc:

Nhẳn xột Neu f là hàm kha vi thỡ (f)(T ) = 0 boi vỡ: n−1

| | Đ%nh lý 1.1.1 (B (t))(T ) = T hay chính xác hơn

P{w ∈ Ω, (B (., w)) (T ) = T} = 1. Đắc biắt, nhung quy đao cua chuyen đđng Brown là khụng kha vi.

Nhẳn xột (Bieu dien vi phõn): Ta biet rang

Khi hiắu (t k+1 − t k ) nho thỡ (t k+1 − t k ) 2 là rat nho, vỡ the ta cú the lay xap xi bang hay dB (t)dB (t) dt.

1.1.3 Chuyen đ®ng Brown nhieu chieu Đ%nh nghĩa 1.1.4 M®t chuyen đ®ng Brown-d chieu là m®t quá trình

B (t) = (B 1(t), B 2(t) B d (t)) thoa mãn các tính chat sau: i) Moi B k (t) là chuyen đ®ng Brown m®t chieu; ii) Neu i ƒ= j thỡ hai quỏ trỡnh B i (t) và B j (t) là đđc lắp.

Ket hop vói m®t chuyen đ®ng Brown-d chieu chúng ta có m®t b® LQ c

{F (t)} cho như sau: i) Vói moi t, vectơ ngau nhiên B (t) là F(t)-đo đưoc; ii) Vói moi t ≤ t 1 ≤ ≤ t n , các gia so

B (t 1) − B (t), , B (t n ) − B (t n−1) là đđc lắp đoi vúi bđ LQ c F(t).

1.1.4 Bien phân chéo cua chuyen đ®ng Brown

Vì moi thành phan B i là m®t chuyen đ®ng Brown m®t chieu, nên ta có dang thúc sau dB i (t)dB i (t) = dt. Đ%nh lý 1.1.2 Neu i ƒ= j thì dB i (t)dB j (t) = 0

Chúng minh Lay π = t 0 , t n là m®t phân hoach cna [0, T ] Vói moi i ƒ= j ta đ%nh nghĩa bien phân chéo cna B i và B j trên đoan [0, T ] là: n−1

C π = B i (t k+1 − B i (t k ) B j (t k+1) − B j (t k ) Cỏc gia so xuat hiắn bờn ve phai cna phương trỡnh trờn là đđc lắp vúi nhau k=0 và tat ca có giá tr% trung bình bang 0 Do đó

Cỏc gia so xuat trong tőng thỳ hai cna ve phai đđc lắp vúi nhau và cú giỏ tr% trung bình bang 0. Σ Σ ΣΣ Σ n− 1 l< k

)Σ 2 là đđc lắp và cú kỳ v QNG bang (t k+1 − t k ).

Cho ǁπǁ → 0, ta cú V ar(C π ) → 0 vỡ vắy C π hđi tu đen hang so EC π = 0.

1.1.5 Nhắn diắn chuyen đđng Brown Đ%nh lý 1.1.3 (Levy) Cho B (t), 0 ≤ t ≤ T là m®t quá trình trên không gian xác suat (Ω, F, P ) thích nghi vái b® LQ c F(t), 0 ≤ t ≤ T , thóa mãn i)Quy đao cua B (t) là liên tnc. ii) B là martingale. iii)(B) (t) = t, 0 ≤ t ≤ T, thì B là m®t chuyen đ®ng Brown.

Xác đ%nh các bien và moi tương quan

Cho B 1 và B 2 là cỏc chuyen đđng Brown đđc lắp và dS 1

Quá trình W 1 và W 2 cho boi công thúc

Thì W 1 và W 2 có quy đao liên tuc, là martingale và dW 1 d W

2 dB 2) tươn g tn dW 2 dW 2 = dt.

Vỡ vắy, W 1 và W 2 là chuyen đđng Brown Giỏ cő phieu cú các bieu dien sau dS

Chuyen đđng Brown W 1 và W 2 cú tương quan Thắt vắy dW 1 dW 1 σ11 σ 2 σ11 σ 2

(σ 11 dB 1 + σ 12 dB 2)(σ 21 dB 1 + σ 22 dB 2) (σ 11 σ 21 + σ 12 σ 22)dt

= ρdt. Đao ngưac quá trình

Gia su ta có dS 1

S 2 = rdt + σ 2 dW 2 , o đõy W 1 và W 2 là chuyen đđng Brown vúi hắ so tương quan ρ Ta muon tỡm Σ = σ 11 σ 12 σ 21 σ 22 đe ΣΣ J =  σ 11 σ 12 

 σ2 ρσ 1 σ 2  ρσ 1 σ 2 σ 2  M®t lòi giai cho phương trình này là σ 11 = σ 1 , σ 12 = 0, σ 21 = ρσ 2 , σ 22 = √

1 − ρ 2 σ 2 Đieu này tương úng vói

= 1 σ 1 dW 1 = σ 1 dB 1 ⇒ dB 1 = dW 1 , σ 2 dW 2 = ρσ 2 dB 1 + 1 − ρ 2 σ 2 dB 2 dW 2 − ρdW 1

Neu ρ = ±1, thì không có B 2 và dW 2 = ρdB 1 = ρdW 1.

Tính tiep trong trưòng hop ρ ƒ= ±1 , ta có dB 1 dB 1 = dW 1 dW 1 = dt, dB 2 dB 2

= dt, vỡ vắy ca B 1 và B 2 là chuyen đđng Brown.

Hiện nay, chúng ta có thể áp dụng mô hình lý thuyết Levy để khẳng định rằng một chuyển động Brown nếu không có biến đổi chậm là hợp lệ Từ đó, chúng ta kết luận rằng B1 và B2 là hai chuyển động Brown hợp lệ.

1.1.6 Nguyên lý phan xa cho chuyen đ®ng Brown

Vỡ vắy mắt đđ đong thũi là:

Brown không cú hắ so d%ch chuyen

Trưàng hap cú hẳ so d%ch chuyen: Đắt

Bt, vói B (t), 0 ≤ t ≤ T là m®t chuyen đ®ng

Brown (khụng cú hắ so d%ch chuyen) trên không gian xác suat

Dưói đ® đo P˜, B˜ là chuyen đ®ng Brown (không cú hắ so d%ch chuyen), vỡ ˜ ˜ ˜ ˜

Lay h(m, ˜b) là m®t hàm hai bien Thì

Tích phân Itô, công thúc Itô

1.2.1 Xây dEng tích phân Itô

Hàm dưói dau tích phân là chuyen đ®ng Brown B (t), t ≥ 0 vói b® LQ c

F(t), t ≥ 0 và thoa món cỏc đieu kiắn sau: i) s ≤ t thì F(s) ⊂ F(t), ii) B (t) là F(t)-đo đưoc vói MQI t, iii)Cho 0 = t 0 ≤ t 1 ≤ ≤ t n , thì các gia so B (t 1) − B (t 0), , B (t n ) −

Khi đó tích phân f (t), t ≥ 0 thoa mãn: i) f (t) là F(t)-đo đưoc ∀t ii) f là bình phương kha tích, túc là:

Khi đó tích phân Itô xác đ%nh boi:

Nhẳn xột Neu g(t) là mđt hàm kha vi, thỡ ta cú the xỏc đ%nh t f (u)dg(u) 0 t f (u)g J (u)du.

∫ ∫ Đieu này se không còn đúng khi tích phân là chuyen đ®ng Brown vì quy đao cna chuyen đ®ng Brown không kha vi.

1.2.2 Tớch phõn Itụ cua hàm ngau nhiờn bắc thang

Cho π = {t 0 , t 1 , , t n } là phân hoach cna đoan [0, T ], túc là

Gia su f (t) là không đői trên moi đoan con [t k , t k+1] (như hình 1.3) Ta GQI f như vắy là hàm ngau nhiờn bắc thang.

Hỡnh 1.3: Hàm ngau nhiờn bắc thang f

• Coi B (t) là m®t đơn giá cő phieu cna tài san tai thòi điem t.

• Các giá tr% t 0 , t 1 , , t n là ngày giao d%ch đoi vói tài san.

• Còn f (tgiu cho đen giao d%ch ngày t k ) là so cő phan cna tài san đưoc giao d%ch o thòi điem t k+1 k và

Khi đó tích phân Itô I(t) đưoc hieu là loi túc đat đưoc tù giao d%ch tai thòi điem t; loi túc này là:

Trưòng hop tőng quát, neu t k ≤ t ≤ t k+1, k−1

1.2.3 M®t so tính chat ve tích phân Itô cua hàm ngau nhiờn bắc thang

Vói moi t, I(t) là F(t)-đo đưoc Gia su thì I(t) t f (u)dB (u), J(t)

0 Đ%nh lý 1.2.1 Tính chat martingale k−1

I(t) = f (t j ) [B (t j+1) − B (t j )] + f (t k )[B (t) − B (t k )], t k ≤ t ≤ t k+1 j=0 là m®t martingale. Đ%nh lý 1.2.2 Tính đang cn Itô

1.2.4 Tích phân Itô cua hàm ngau nhiên Đ%nh lý 1.2.3 Co đ%nh T, cho δ là m®t hàm ngau nhiên, thóa mãn:

Khi đú ton tai mđt dóy cỏc hàm ngau nhiờn bắc thang {δ n } ∞ n=1 thúa món lim n→∞ E

Từ đó, ta có thể định nghĩa tích phân Itô cho hàm ngẫu nhiên như sau: Định nghĩa 1.2.1 Tích phân Itô cho hàm ngẫu nhiên được xác định bởi công thức.

1.2.5 Tính chat ve tích phân Itô cua hàm ngau nhiên

Tính thích nghi: Vói moi t, I(t) là F(t)-đo đưoc.

Tính tuyen tính: Neu thì I(t) t δ(u)dB (u), J(t)

Tính đang cE Itô EI 2 (t) = E ∫ t δ 2 (u)du.

1.2.6 Bien phõn bắc hai cua tớch phõn Itụ Đ%nh lý 1.2.4 Cho I(t) = ∫ t δ(u)dB (u) thỡ bien phõn bắc hai cua tớch phõn Itô là

Thông thưòng ta có the viet dI(t)dI(t) = δ 2 (t)dt.

1.2.7 Công thÉc Itô hàm ngau nhiên

Hàm f (B (t)) kha vi, vói B (t) là m®t chuyen đ®ng Brown Khi đó bien ngau nhiên Y (t) = f (B (t)) có vi phân ngau nhiên: dY (t) = f J (B (t))dB (t)

Do đó tích phân Itô cna Y (t) xác đ%nh boi: f (B (t)) − f (B

Xét công thúc Itô cho hàm hop.

Gia su u(t, X(t)) là hàm hop vói các đao hàm riêng u t , u x , u xx liên tuc.

X(t) có vi phân ngau nhiên: dX(t) = f (t, ω)dt + g(t, ω)dB (t),

∫ khi đó quá trình ngau nhiên Y (t) = u(t, X(t)) có vi phân Itô cho boi: dY (t)

Công thúc có the viet GQN :

1 2 Σ Đây là công thúc vi phân Itô cho hàm hop.

Ví dn 1.2.1 Cho hàm ngau nhiên cna Y (t) = W 2 (t)

Vi phân Itô cna dY (t) = du(t, X(t)) = dt + 2B (t)dB (t).

Ví dn 1.2.2.(Chuyen đ®ng Brown hình HQC )

Chuyen đ®ng Brown hình HQc đưoc cho boi bieu thúc

S(t) S 0 expΣ trong đú à, σ > 0 là hang so Đắt

2 )u, u x = σu, u xx = σ u. Áp dung công thúc Itô, vi phân cna S(t) là: dS(t) = du(t, B (t))

Vỡ vắy vi phõn Itụ cna chuyen đđng Brown hỡnh HQ c là: dS(t) = àS(t)dt + σS(t)dB (t), và chuyen đ®ng Brown hình HQc có dang:

Bien phõn bẳc hai cua chuyen đđng Brown hỡnh HQC

Bien phõn bắc hai cna chuyen đđng Brown hỡnh HQc đưoc xỏc đ%nh như sau:

Tích phân Riemman F (t) = ∫ t àS(u)du cú đao hàm F J (t) = àS(t) và cú bien phõn bắc 2 bang 0.

Khi đó tích phân Itô G(t) = ∫ t σS(u)dB (u) cú bien phõn bắc hai

Như vắy dS(t)dS(t) = (àS(t)dt + σS(t)dB (t)) 2 = σ 2 S 2 (t)dt

1.2.8 Giá tr% trung bình và phương sai cua quá trình

Mô hình Cox-Ingersoll-Ross cho lãi suất được biểu diễn bằng phương trình: dr(t) = a(b − cr(t))dt + σ√ r(t)dB(t), trong đó các tham số a, b, c, σ và r(0) đều là các hằng số dương Khi thực hiện tích phân phương trình này, ta có thể xác định được lãi suất tại thời điểm t là: r(t) = r(0) + a t.

√ Áp dung công thúc Itô đe tính dr 2 (t) Đắt f (x) = x 2 dr 2 (t) = df (r(t))

Giá tr% trung bình cua r(t) Do kỳ v QNG cna tích phân Itô bang 0 nên

Vi phân cna loi túc này là:a d

Er(t) = a(b − cEr(t)) = ab − acEr(t). dt

Như vắy, d Σ e act Er(t) Σ = e act Σ acEr(t) + d

Tích phân cna loi túc là: e act Er(t) − r(0) Suy ra ab dt t e acu du 0

Neu r(0) ƒ b thì Er(t) = b thì c c vói MQI t. b t→ lim

Phương sai cua r(t) Dang tích phân cho phương trình tù dr 2 (t) là: r 2 (t) = r 2 (0) + (2ab + σ 2 ) t r(u)du

Vi phân cna loi túc này là: t

2acEr 2 (t), dt d e 2act Er 2 (t) = e 2act Σ2acEr 2 (t) + d

Thay giá tr% Er(t) đã biet vào phương trình vi phân trên ta tính đưoc:

1.2.9 Công thÉc Itô nhieu chieu

Cho u(t, x 1 , x 2 , x n ) là hàm liên tuc xác đ%nh trên [0, T ] ∈ R n vói các đao hàm riờng u t , u x i , u x i x j liờn tuc vúi MQI i, j ≤ n Đắt X(t) = (X 1(t), ,

X n (t)) Xét hàm ngau nhiên Y = Y (t), t ∈ [0, T ] xác đ%nh boi

Khi đó Y(t) có vi phân ngau nhiên

Công thúc có the viet GQN n dY (t) = u t (t, X(t))dt + u x i (t, X(t))dX i (t) i=1 n n hoắc

Ví dn 1.2.3 Xét hàm u(t, x, y) = xy Neu thì áp dung công thúc Itô tőng quát ta đưoc: d[X 1(t)X 2(t)] = X 1(t)dX 2(t) + X 2(t)dX 1(t) + g 1(t, w)g 2(t, w)dt.

Phương trình vi phân ngau nhiên

1.3.1 Phương trình vi phân ngau nhiên

Phương trình vi phân ngẫu nhiên (SDE) mô tả sự thay đổi của quá trình ngẫu nhiên theo thời gian, được biểu diễn dưới dạng dX(t) = à(t, X(t))dt + σ(t, X(t))dB(t) Trong đó, à(t, x) và σ(t, x) là các hàm xác định, liên tục theo (t, x) và thỏa mãn điều kiện liên tục Lipschitz với hằng số L.

2 i=1 x i x j i j dX 1(t) = f 1(t, w)dt + g 1(t, w)dB (t), dX 2(t) = f 2(t, w)dt + g 2(t, w)dB (t),

Gia su (t 0 , x) cho trưúc, A là mđt nghiắm cna phương trỡnh vi phõn ngau nhiờn vúi đieu kiắn ban đau (t 0 , x) thỡ A là mđt quỏ trỡnh {X(t)} t≥t 0 thoa mãn:

Quá trình {X(t)} với t ≥ t0 sẽ thích nghi với quá trình LQc {F} khi t ≥ 0 trong chuyển động Brown Nếu chúng ta biết quy đạo của chuyển động Brown tại thời điểm t, thì có thể ước lượng được giá trị của X(t).

Vớ dn 1.3.1 Lay à là mđt hang so và σ = 1 đe dX(t) = àdt + dB (t).

Neu (t 0 , x) là xỏc đ%nh và vúi đieu kiắn ban đau thì X(t 0) = x,

Ví dn 1.3.2 Chuyen đ®ng Brown hình HQ c dX(t) = àX(t)dt + σX(t)dB (t), nhắn giỏ tr% ban đau X(t 0) = x.

Nghiắm cna phương trỡnh vi phõn trờn là:

Thắt vắy, coi t 0 và B (t 0) như hang so.

C HQN u(t, z) = x exp σ (z − B (t 0)) + (à − 1 σ 2 )(t − t 0). Áp dung công thúc vi phân Itô, ta có:

Gia su 0 ≤ t 0 ≤ t 1, lay h(y) là mđt hàm Ta ký hiắu

E t 0 ,x h(X(t 1)) là kỳ vQng cna h(X(t 1)), vói X(t 0) = x Bây giò lay m®t giá tr% bat kỳ ξ ∈ R và vúi đieu kiắn ban đau X(0) = ξ

Ta có tính chat Markov sau:

Ký hiắu p(t 0 , t 1; x, y) là hàm mắt đđ cna X(t 1), vúi đieu kiắn X(t 0) = x. Nói cách khác,

Tù tính chat Markov, vói 0 ≤ t 0 ≤ t 1 và MQI ξ ta có:

Vào ngày 1.3.3, chúng ta xem xét phương trình vi phân ngẫu nhiên dX(t) = adt + dB(t) với điều kiện ban đầu X(t0) = x Các biến ngẫu nhiên X(t1) sẽ có phân bố chuẩn với giá trị trung bình là x + a(t1 − t0) và phương sai là (t1 − t0).

(y − (x + a(t 1 − t 0))) 2 Σ tat yeu khi a(t, x) và σ(t, x) không phu thu®c vào t Lưu ý rang p phu thuđc vào t 0 và t 1 chi thụng qua hiắu t 1 − t 0 Đieu này là

Xét phương trình vi phân dX(t) = a(t, X(t))dt + σ(t, X(t))dB (t), và đắt p(t 0 , t 1; x, y) là mắt đđ chuyen thỡ phương trỡnh lựi Kolmogorov (KBE) là:

∂x 2 p(t 0 , t 1; x, y).(KBE) Giá tr% t 0 và x trong (KBE) đưoc GQI là giá tr% lùi.

Trong trưòng hop a và σ là hàm chi phu thu®c vào x, p(t 0 , t 1; x, y) phu thuđc vào t 0 và t 1 thụng qua hiắu τ = t 1 − t 0 Ta cú the viet p(τ ; x, y) thay cho p(t∂ 0 , t 1; x, y) và (KBE) tro thành:∂ 1 2 ∂ 2 J

Vớ dn 1.3.4.Hẳ so d%ch chuyen cua chuyen đđng Brown hỡnh HQC dX(t) = adt + dB (t) p(τ ; x, y)

+ 2τ 2 p Đây chính là phương trình lùi Kolmogorov.

Ví dn 1.3.5.Chuyen đ®ng Brown hình HQC dX(t) = rX(t)dt + σX(t)dB (t),

Tính toán cho thay p thoa mãn phương trình (KBE).

E a t í n h t o á n n g au nhiên và phươ ng trình lùi Kolm ogoro v

(t). Đắt h là mđt hàm Ta đ%nh nghĩa: v(t, x) = E t,x h(X(T

Do đó phương trình lùi Kolmogorov là

Cho (0, ξ) là điều kiện ban đầu cho phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.1 Để đơn giản, ký hiệu ta sẽ viết E thay cho E(0, ξ) Định lý 1.3.1 chỉ ra rằng bắt đầu với giá trị X(0) = ξ, quá trình v(t, X(t)) thỏa mãn tính chất martingale.

E Σ v(t, X(t)) F(s) Σ = v(s, X(s)), 0 ≤ s ≤ t ≤ T (1.2) Đ%nh lý 1.3.2 (Feynman-Kac) Cho v(t, x) = E t,x h(X(T )), 0 ≤ t ≤ T, vái

Phương trình Black-Scholes ta se nghiên cúu o chương 2 là trưòng hop riêng cna đ%nh lý này.

1.3.6 Đ%nh lý Girsanov và đ® đo trung hòa rui ro

Cho B(t), với 0 ≤ t ≤ T, là một quá trình chuyển động Brown trên không gian xác suất (Ω, F, P) có liên quan Định lý Girsanov cung cấp cho chúng ta một phương pháp để chuyển đổi độ đo xác suất, cho phép chuyển từ độ đo P đã cho sang một độ đo khác.

Định lý Girsanov một chiều cho biết rằng nếu ta thay đổi đo lường từ P sang một đo lường mới P˜, thì dưới đo lường P˜, một quá trình ngẫu nhiên X t không phải là martingale dưới P có thể trở thành martingale dưới P˜ Cụ thể, cho B(t) là một chuyển động Brown trên không gian xác suất (Ω, F, P) và F(t) là bộ sigma, cùng với θ(t) là một quá trình thích nghi, chúng ta có thể áp dụng định lý này để phân tích các thuộc tính của quá trình X t trong bối cảnh thay đổi đo lường.

0 2 0 và đ%nh nghĩa m®t đ® đo xác suat như sau:

P˜(A) = ∫ Z(T )dP, ∀A ∈ F. dưái đ® đo P , quá trình B (t), 0 ≤ t ≤ T là m®t chuyen đ®ng Brown.

Chỳ ý: Đ%nh lý này đũi hoi mđt đieu kiắn ky thuắt ve cừ cna θ Neu

2 0 thì MQI trưòng hop đeu thoa mãn.

Ta cú nhung nhắn xột sau đõy Z(t) là mđt martingale thỡ: dZ(t) − θ(t)Z(t)dB (t)

= −θ(t)Z(t)dB (t). trình nào đó se tro thành m®t martingale Đieu này cho phép ta tìm ra m®t ˜ ˜

Tự Z(0)=1, chỳng ta cú EZ(t) = 1 vúi t ≥ 0 bat kỳ Trong trưũng hop đắc biắt

P˜(Ω) = ∫ Ω Z(T )dP = EZ(T ) = 1, vì P˜ là m®t đ® đo xác suat E˜ nam trong E Lay E˜ là kỳ v QNG dưói đ® đo xác suat P˜ Neu X là bien ngau nhiên, thì

E˜Z = E[Z(T )X]. Đe thay đieu này, xem xét trưòng hop đau tiên X = 1 A , vói A ∈ F Ta có

P (A) A là đieu chúng ta muon đe có Z(T )dP ∀A ∈ F

P (w) = Z(T, w)P (w), nhưng tù P (w) = 0 và P (w) = 0 không đem lai ket qua huu ích ve P Do đó chỳng ta se xột cỏc tắp con cna Ω, hơn là tựng phan tu riờng le cna Ω.

Xét phân phoi cna B˜ (T ) Neu θ là hang so thì

Dưới đây là nội dung đã được viết lại: Dưới điều kiện P, B(T) là chuyển động Brown chuẩn với giá trị trung bình bằng 0 và phương sai T Do đó, B(t) có giá trị trung bình là θT và phương sai là T.

(˜b − θT ) 2 Σ ˜ Neu bo qua hắ so d%ch chuyen tự B (T ) Xột sn thay đői cna đđ đo tự P túi

P˜ bo qua hắ so d%ch chuyen tự B˜ (T ).

Dưói đ® đo P˜, B˜ (T ) là chuyen đ®ng Brown chuan vói giá tr% trung bình bang

0 và phương sai T Còn dưói đ® đo xác suat P , trung bình θT và phương sai T B˜ (T ) là chuan vói giá tr%

Kỳ v QNG cú đieu kiẳn dưỏi đđ đo P˜

Bo đe 1.3.1 Cho 0 ≤ t ≤ T Neu X là F(t)− đo đưac, thì ˜˜

1 Tớnh toỏn trnc tiep tự cụng thỳc mắt đđ ta cú E˜B˜ (T )

Bo đe 1.3.2 (Luắt Baye) Neu X là F(t)− đo đưac và 0 ≤ s ≤ t ≤ T, thỡ

Bo đe 1.3.3 Dùng ket qua cua đ%nh lý Girsanov ta có tính chat martingale sau:

E Σ B (t) F(s)Σ= B (s), 0 ≤ s ≤ t ≤ T. Đ%nh nghĩa 1.3.1.(Đ® đo tương đương) Hai đ® đo trên m®t không gian xỏc suat, cú cựng tắp đđ đo-khụng đưoc GQI là tương đương.

Hai đ® đo xác suat P˜ và P trong đ%nh lý Girsanov là tương đương.

A Z(T )dP = 0 Vì Z(T ) > 0 vói MQI w, ta có the đao

Đo trung hòa rủi ro, hay còn gọi là đo martingale, là một phương pháp đo xác suất tương đương với xác suất P trong thị trường, trong đó giá chiết khấu của các tài sản trên thị trường này là martingale.

Ví dn 1.3.6 Cho cő phieu sau:

E Σ XZ(t).F(s) Σ ˜ ˜ ˜ ˜Thắt vắy, đđ đo P xỏc đ%nh boi ngưoc lai công thúc tính cna P˜ đe đưoc ˜ ∈ F

Quỏ trỡnh à(t) và σ(t) thớch nghi vúi bđ LQ c F(t)

G QI r(t), 0 ≤ t ≤ T là lãi xuat, X(0) = x. dX(t) = ∆(t)dS(t) + r(t)[X(t) − ∆(t)S(t)]dt

= r(t)X(t)dt + ∆(t)σ(t)S(t) à(t) − r(t) dt σ(t) phsớ rni˛ráo =θ(xt)

+dB (t) Σ Quá trình chiet khau: d e − , t r(u)du S(t) Σ e − , t r(u)du [−r(t)S(t)d t + dS(t)]

Thay đoi đ® đo Ta xác đ%nh đ® đo mói như sau:

Vỡ vắy dưúi đđ đo xỏc suat P˜, S (t) β(t

(t ) là martingale. Đ%nh lý Girsanov nhieu chieu Đ%nh lý 1.3.4 (Đ%nh lý Girsanov d-chieu)

• Cho B (t) = (Blà m®t chuyen đ®ng Brown d-chieu trên không gian xác suat (Ω, F, P ); 1(t), , B d (t)), 0 ≤ t ≤ T, GQI

• F (t), 0 ≤ t ≤ T là m®t b® hơn b® LQ c đưac xây dnng bái B; LQ c đi kèm, có the r®ng

• θ(t) = (θtrình thích nghi d-chieu Cho 0 ≤ t ≤ T, xác đ%nh 1(t), , θ d (t)), 0 ≤ t ≤ T là m®t quá

Z(T )dP. thì dưái đ® đo P˜, quá trình β(t) β(t) β(t) d X (t) và Σ = ∆(t) σ(t)S(t)dB˜ (t).

1.3.7 Bieu dien Martingale Đ%nh lý bieu dien Martingale m®t chieu Đ%nh lý 1.3.5 Cho B (t), 0 ≤ t ≤ T là m®t chuyen đ®ng Brown trên không gian xác suat (Ω, F, P ) thóa mãn b® LQ c F(t), 0 ≤ t ≤ T Lay X(t), 0

≤ t ≤ T là martingale dưái đ® đo P Khi đó ton tai m®t quá trình thích nghi δ(t), 0 ≤ t ≤ T, sao cho: t

X(t) = X(0) + δ(u)dB (u), 0 ≤ t ≤ T. Đắc biờt quy đao cua X là liờn tnc.

Nếu X(t) là một quá trình thỏa mãn dX(t) = X(0) + δ(u)dB(u) trong khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ T, thì X(t) sẽ là một martingale Ngược lại, nếu X(t) là một martingale thích nghi với bộ LQ và được xây dựng từ chuyển động Brown B(t), thì dX(t) sẽ có dạng dX(t) = δ(t)dB(t).

1.3.8 Đ%nh lý bieu dien Martingale nhieu chieu Đ%nh lý 1.3.6 (Bieu dien Martingale d- chieu)

• Cho B (t) = (BBrown d-chieu trên không gian xác suat (Ω, F, P ); 1(t), , B d (t)), 0 ≤ t ≤ T, GQI là m®t chuyen đ®ng

• F (t), 0 ≤ t ≤ T là m®t b® dnng bái B; LQ c đi kèm, có the r®ng hơn b® LQ c đưac xây Neu X(t), 0 ≤ t ≤ T là m®t martingale dưái đ® đo P và b® LQ c F(t), 0 ≤ t ≤

T , thì có m®t quá trình thích nghi d-chieu θ(t) = (θ 1(t), , θ d (t)), thóa mãn

Hẳ qua 1.3.1 Neu cú mđt quỏ trỡnh thớch nghi d-chieu θ(t) = (θ 1(t), , θ d (t)), ta se xác đ%nh đưac các giá tr% B˜, Z, P˜ như trong đ%nh lý Girsanov Neu

Y (t), 0 ≤ t ≤ T là m®t martingale dưái đ® đo P˜ thích nghi b® LQ c F(t), 0 ≤ t ≤ T thì ton tai quá trình thích nghi d-chieu γ(t) = (γ 1(t), , γ d (t)) thóa mãn t

Tính toán ngau nhiên trong m®t so mô hình tài chính

Mô hình Black-Scholes

Năm 1973, hai nhà toán học người Mỹ, Fisher Black và Myron Scholes, đã công bố một bài báo quan trọng về việc định giá quyền chọn Từ đó, mô hình Black-Scholes ra đời để đánh giá tài sản không rủi ro trong một thị trường với thời gian liên tục Mô hình này được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính: dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dB(t).

Nhà đầu tư có tài sản bán đầu tư vào mỗi thời điểm t mua cổ phiếu Giá cổ phiếu được mô hình bởi chuyển động Brownian hình học như sau: dS(t) = μS(t)dt + σS(t)dB(t).

Phương ỏn đau tư cú lói suat vay hoắc cho vay r GQI X(t) là tài san cna phương án đau tư tai thòi điem t Thì dX(t) = ∆(t)dS(t) + r[X(t) − ∆(t)dS(t)]dt

= ∆(t)[àS(t)dt + σS(t)dB (t)] + r[X(t) − ∆(t)dS(t)]dt

= rX(t)dt + ∆(t)S(t) (à r) pshớ ˛ráni xrodt + ∆(t)S(t)σdB (t).

Giá trị của một quyền chọn châu Âu được xác định bởi giá cổ phiếu tại thời điểm T Hàm giá của quyền chọn cHQN tại thời điểm t được biểu diễn bằng v(t, x), trong đó x là giá cổ phiếu S(t) Nói cách khác, giá trị của quyền chọn cHQN tại mọi thời điểm t trong khoảng [0, T] có thể được tính bằng công thức: v(t, x) = v(t, S(t)).

Vi phân cna giá tr% này là:

S 2 v xx ]dt + σSv x dB. đau là X 0 và phai đau tư sao cho tài san là X(t) tai moi thòi điem giá tr%

Với một phương án đầu tư có phòng hờ khởi điểm và một vài tài sản ban đầu là v(t, S(t)), ta có thể tính toán biến đổi dX(t) = [rX + ∆(à − r)S] + σS∆dB Để X(t) = v(t, S(t)) thỏa mãn điều kiện MQI, ta cần cân bằng các hệ số trong hai phương trình Cân bằng hệ số trong dB cho phép chúng ta tính toán được GQI, với ∆(t) = v x (t, S(t)).

Cõn bang hắ so cna dt ta tớnh đưoc:

Tự trờn ta cú, ∆ = v x , và ta đang can X = v Như vắy,1 2 v t + àSv x +

S v xx = rv + v x (à − r)S, trong đó v = v(t, S(t)) và S = S(t) Do đó1 2 v t + rSv x +

Túm lai, ta coi v là nghiắm cna phương trỡnh đao hàm riờng Black-Scholes

1 2 v t (t, x) + rxv x (t, x) + σ 2 thoa món đieu kiắn cuoi là x 2 v xx (t, x) = rv(t, x). v(T, x) = g(x).

M®t phương án đau tư neu bat đau vói X 0 = v(0, S(0)) và dùng bao h®

∆(t) = v x (t, S(t)) thỡ vúi MQI giỏ tr% t, X(t) = v(t, S(t)) Đắc biắt tai T,

Xét phương trình vi phân ngau nhiên: dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dB (t), vúi đieu kiắn ban đau là:

Nghiắm cna phương trỡnh là: S(t) = x.

= Eh x exp σ(B (T ) − B (t)) + (r − 1 σ 2 )(T − t) ΣΣ , trong đó h là m®t hàm đưoc xác đ%nh sau.

Bo đe 2.1.1 (Tớnh đđc lắp) Neu G là mđt σ−trưàng, X là G-đo đưac và

Y là đđc lắp trong G thỡ:

Vói m®t chuyen đ®ng Brown hình HQc, cho 0 ≤ t ≤ T , ta có:

F (t)− đo đưoc đđc lắp trong F (t)

Theo bő đe tớnh đđc lắp ta cú:

Kỳ v QNG cna bien ngau nhiên h(S(T )) không phu thu®c vào t nên v(t, S(t)), 0 ≤ t ≤ T là martingale.

Vì v(t, S(t)) là martingale nên tőng cna các nhóm chúa dt trong vi phân dv(t, S(t)) phai bang 0 Ta có dv(t, S(t))

Vúi phương trỡnh đao hàm riờng trờn, ta cú cỏc đieu kiắn v(T, x) = h(x), 0 ≥ 0.

Hơn nua, neu S(t) = 0 vói MQI t ∈ [0, T ], thì ta cũng se có S(T ) = 0 Tù đú ta cú đieu kiắn biờn v(t, 0) = h(0), 0 ≤ t ≤ T.

Vỡ vắy, ta thay rang giỏ tr% cna mđt hop đong phỏi sinh phai tra h(S(T )) tai thòi điem t là u(t, x) = e −r(T −t) E t,x h(S(T ))

Khi S(t) = x, ta có v(t, x) = e^(r(T−t)) u(t, x) Từ đó, ta tính được đạo hàm riêng v_t(t, x) = −re^(r(T−t)) u(t, x) + e^(r(T−t)) u_t(t, x) và v_x(t, x) = e^(r(T−t)) u_x(t, x) Đối với v_xx(t, x), ta có v_xx(t, x) = e^(r(T−t)) u_xx(t, x) Khi đưa các phương trình này vào phương trình đạo hàm riêng cho v, ta sẽ thu được phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes.

Tự cú mắt đđ chuyen cna chuyen đđng Brown hỡnh HQc

Ta có bieu dien ngau nhiên sau: u(t, x) = e −r(T −t) E t,x h(S(T )) (SR)

Xét vói m®t quyen cHQN mua, và h(y) = (y − K) + u(t, x) = xN

Neu h(y) là m®t hàm khác (ví du như h(y) = (K − y) + thì ta van tìm đưoc u(t, x) thoa mãn phương trình đao hàm riêng Black-Scholes (BS) như o trên. Σ

2.2 Mô hình th% trưàng nhieu chieu

2.2.1 Mô hình th% trưàng d -chieu

Cho B(t) = (B1(t), , Bd(t)), với 0 ≤ t ≤ T là một quá trình chuyển động Brown d chiều trên không gian xác suất (Ω, F, P) F(t), với 0 ≤ t ≤ T, là một biến ngẫu nhiên LQc được xây dựng bởi B Do đó, một mục hình thức trường nhiều chiều được xác định như sau:

Co phieu d dS i (t) = à i (t)S i (t)dt + S i (t) σ ij (t)dB j (t), i = 1, , m. j=1

Hẳ so tớch lũy (Accumulation factor) β(t) = exp

.∫ t r(u)du Σ e đõy à j (t), σ i,j (t) và r(t) là cỏc quỏ trỡnh thớch nghi.

Giá co phieu chiet khau

(2.1) Đe công thúc 2.1 đưoc thoa mãn, ta can chQn θ 1(t), , θ d (t), đe d σ ij (t)θ j (t) = à i (t) − r(t), i = 1, , m (MPR) j=1 nghi θ(t) = (θ 1(t), , θ d (t)) thoa món hắ cỏc phương trỡnh (MPR) o trờn.

Giá th% trưàng cua rui ro: giá th% trưòng cna rni ro là m®t quá trình thích

Có ba trưòng hop xay ra sau:

Trưàng hap 1: (MPR) cú nghiắm là duy nhat θ(t) Áp dung đ%nh lý Girsanov i i j Σ s ˛á x Σ d- chieu, ta xác đ%nh đưoc duy nhat m®t đ® đo xác suat trung hòa rni ro P

Dưới điều kiện P, MQI giá cổ phiếu chiết khấu là martingale, nghĩa là tỷ lệ thị trường thực tế không có sự chênh lệch tỷ giá Cuối cùng, định lý biểu diễn martingale có thể được sử dụng để chứng minh rằng mọi hợp đồng phái sinh đều có thể xem xét trong bối cảnh thị trường này.

Trưàng hap 2: (MPR) khụng cú nghiắm; nghĩa là khụng cú đđ đo xỏc suat trung hũa rni ro và th% trưũng thựa nhắn cú đđ chờnh th% giỏ.

Trường hợp 3 (MPR) có nhiều nghi vấn, tức là có nhiều điều đo xác suất trung hòa rủi ro Thị trường thực tế không có điều chỉnh thị giá, nhưng có những hợp đồng phái sinh không bao giờ; do đó, thị trường không đầy đủ Định lý 2.2.1 nêu rõ rằng nếu một thị trường có một điều đo xác suất trung hòa rủi ro thì thị trường đó thực tế không có điều chỉnh thị giá Điều đo trung hòa rủi ro là duy nhất khi mà mọi hợp đồng phái sinh có bao giờ.

Sau đây ta đi vào nghiêm cúu chi tiet mô hình này trong trưòng hop hai chieu.

2.2.2 Mô hình th% trưàng hai chieu Đắt B (t) = (B 1(t), B 2(t)), 0 ≤ t ≤ T là chuyen đđng Brown hai chieu trên không gian xác suat (Ω, F, P) thích nghi vói b® LQ c F(t), 0 ≤ t ≤ T

Co phieu: dS 1(t) = S 1[à 1 dt + σ 1 dB 1] dS 2(t) = S 2[à 2 dt + ρσ 2 dB 1 + √

Gia su σ 1 ≥ 0, σ 2 ≥ 0, −1 ≤ ρ ≤ 1 Chú ý rang dS 1 dS 1 = S 2 σ 2 dB 1 dB 1

1 1 dS 2 dS 2 = S 2 ρ 2 σ 2 dB 1 dB 1 + S 2 (1 − ρ 2 )σ 2 dB 2 dB 2

2 2 dS 1 dS 2 = S 1 σ 1 S 2 ρσ 2 dB 1 dB 1 = ρσ 1 σ 2 S 1 S 2 dt.

S 2 có phương sai túc thòi là σ 2 có phương sai túc thòi là σ 2 dS 1

, dS 2 cú hắ so tương quan tỳc thũi là ρσ σ

Hẳ so tớch lũy β(t) exp t rdu.

Phương trình giá th% trưòng cna rni ro là: σ 1 θ 1 = à 1 − r, ρσ 2 θ 1 + √

1 − ρ 2 σ 2 θ 2= à 2 − r (MPR) Nghiắm cna phương trỡnh rni ro này là: θ = à 1 − r

1 , σ 1 σ 1 ( à 2 − r ) − ρσ 2 ( à 1 − r ) vói − 1 < ρ < 1. θ 2 = √ , σ 1 σ 2 (1 − ρ 2 ) Gia su −1 < ρ < 1 thỡ phương trỡnh MPR cú nghiắm duy nhat (θ 1 , θ 2); ta xác đ%nh:

0 dS 1 = S 1[rdt + σ 1 dB 1], dS 2 = S 2[rdt + ρσ 2 dB 1 + √

Do đú ta đưoc sn thay đői ve ti lắ trung bỡnh cna loi nhuắn trong giỏ cő phieu.

SE bao h® (Hedging) khi −1 < ρ < 1 dX = ∆1 dS 1 + ∆2 dS 2 + r(X − ∆1 S 1 − ∆2 S 2)dt

= β ∆1(dS 1 − rS 1 dt) + β ∆2(dS 2 − rS 2 dt)

P˜ là đ® đo trung hòa rni ro duy nhat Ta có: ˜ ˜ ˜

Xét V là F(T )- đo đưoc Ta xác đ%nh P˜- martingale :

= γ 2 cho phương án đau tư bao h® (∆1 , ∆2).

Vúi cỏch cHQN này, ta đắt:

Khi đú X(t) = Y (t), 0 ≤ t ≤ T và X(T ) = V Vỡ vắy vúi MQI giỏ tr% F(T )- đo đưoc đưoc bao h® nên th% trưòng là đay đn.

Xét ρ = 1 Co phieu dS 1 = S 1[à 1 dt + σ 1 dB 1] dS 2 = S 2 [à 2 dt + σ 2 dB 1]

Cő phieu tương quan hoàn toàn

Phương trình giá th% trưòng cna rni ro là: σ 1 θ 1 = à 1 − r σ 2 θ 1 = à 2 − r (MPR)

Quá trình này không phu thu®c vào θ 2 Ta có hai trưòng hop sau:

Khi đú MPR khụng cú nghiắm, tỳc là khụng cú đđ đo trung hũa rni ro Th% trưũng này chap nhắn cú đđ chờnh th% giỏ Thắt vắy, d X Σ = 1

= à 2 − r σ 2 Phương trình giá th% trưòng cna rni ro: có nghiắm là: σ 1 θ 1 = à 1 − r σ 2 θ 1 = à 2 − r (MPR)

Nhắn xột thay, B 2 không xuat hiắn trong công thúc trên.

% bat kỳ F(T )- đo đưoc Neu V phu thu®c B 2 thì h.c.c nó không đưoc bao h®.

. ˜ và σ 1 hoắc σ 2 phu thuđc vào B 2, đieu này là mõu thuan.

Chính xác hơn, ta xác đ%nh P˜-martingale β(T )

2.3 Quyen mua kieu châu Âu up and out Đắt 0 < K < L Chi tra tai thũi điem T là:

S(t). Đe đơn gian cỏc ký hiắu, đắt P là xỏc suat trung hũa rni ro Vỡ vắy giỏ tr% tai thòi điem 0 cna quyen c HQN là v(0, S(0)) = e −rT E[(S(T ) − K) + 1 {S ∗ (T ) 0 và tạo ra sản phẩm bảo hiểm cho mô hình quy đạo có thể S(t), nhằm phân phối hai biến log.

S(t) h®i tu tói σ 2 theo đơn vị % theo thời gian, là những con đường biến đổi theo σ 2 Để xây dựng các quy đạo này, chúng ta sử dụng chuyển động Brown Để chỉ ra chuyển động Brown này, cần một độ đo xác suất Tuy nhiên, vấn đề duy nhất về độ đo xác suất này là tập hợp các quy đạo mà nó gọn xác suất bằng 0.

B (t), 0 ≤ t ≤ T , là m®t chuyen đ®ng Brown xác đ%nh trên không gian xác suat cơ so (Ω, F, P ) Cho MQI ρ ∈ R, quy đao cna ρt + σB (t) h®i tu tói σ 2 theo đơn v% thòi gian Ta muon xác đ%nh đưoc

S(t) = S(0) exp {ρt + σB (t)}, đe quy đao cna log S(t) = log S(0) + ρt + σB (t) hđi tu túi σ 2 theo đơn v% thũi gian Tuy nhiờn, viắc cHQN ρ theo cỏc đ%nh nghĩa này lai không thích hop

C HQN w 1 ∈ Ω thì cho ρ 1 ∈ R, ρ 1 t + σB (t, w 1), 0 ≤ t ≤ T, là m®t hàm liên tuc theo t Neu thay ρ 1 boi ρ 2 thì ρ 2 t + σB (t, w 1) là m®t hàm xác đ%nh Tuy nhiên, ton tai w 2 ∈ Ω đe mà ρ 1 t + σB (t, w 1) = ρ 2 t + σB (t, w 2), 0 ≤ t ≤ T.

Trong bài viết này, chúng ta khám phá cách sử dụng ρ 1 hoặc ρ 2 trong định nghĩa của S(t) để đánh giá giá cổ phiếu có xác suất dương Kết quả tính toán cho S(t) được biểu diễn qua công thức S(t) = S(0) exp {ρ HQ 1 t + σB (t)}, cho thấy rằng nếu mối tương quan giữa các quy đao là dương, thì S(t) sẽ được xác định một cách chính xác.

Quyen mua kieu châu Âu up and out

Đắt 0 < K < L Chi tra tai thũi điem T là:

S(t). Đe đơn gian cỏc ký hiắu, đắt P là xỏc suat trung hũa rni ro Vỡ vắy giỏ tr% tai thòi điem 0 cna quyen c HQN là v(0, S(0)) = e −rT E[(S(T ) − K) + 1 {S ∗ (T ) 0 và có thể tồn tại sản phẩm bảo hiểm cho MQI quy đạo có thể S(t), nhằm biến phân phối hai có thể log.

S(t) h®i tu tói σ 2 theo đơn v% thòi gian, thể hiện sự biến đổi của σ 2 Để xây dựng những quy đạo này, chúng ta sử dụng chuyển động Brown Để chỉ ra chuyển động Brown này, cần có một độ đo xác suất Tuy nhiên, vấn đề duy nhất liên quan đến độ đo xác suất này là tập hợp các quy đạo mà nó gán xác suất bằng 0.

B (t), 0 ≤ t ≤ T , là m®t chuyen đ®ng Brown xác đ%nh trên không gian xác suat cơ so (Ω, F, P ) Cho MQI ρ ∈ R, quy đao cna ρt + σB (t) h®i tu tói σ 2 theo đơn v% thòi gian Ta muon xác đ%nh đưoc

S(t) = S(0) exp {ρt + σB (t)}, đe quy đao cna log S(t) = log S(0) + ρt + σB (t) hđi tu túi σ 2 theo đơn v% thũi gian Tuy nhiờn, viắc cHQN ρ theo cỏc đ%nh nghĩa này lai không thích hop

C HQN w 1 ∈ Ω thì cho ρ 1 ∈ R, ρ 1 t + σB (t, w 1), 0 ≤ t ≤ T, là m®t hàm liên tuc theo t Neu thay ρ 1 boi ρ 2 thì ρ 2 t + σB (t, w 1) là m®t hàm xác đ%nh Tuy nhiên, ton tai w 2 ∈ Ω đe mà ρ 1 t + σB (t, w 1) = ρ 2 t + σB (t, w 2), 0 ≤ t ≤ T.

Khi sử dụng ρ 1 hay ρ 2 trong định nghĩa của S(t), chúng ta quy đổi giá của cổ phiếu có xác suất dương khi S(t) được xác định bởi công thức có chứa các quy đạo cụ thể Kết quả toán học của S(t) = S(0) exp {ρ HQ 1 t + σB (t)} cho thấy rằng nếu một yếu tố nào đó xảy ra, thì các quy đạo sẽ có xác suất dương khi S(t) được xác định.

Chúng ta đang xem xét việc áp dụng quy tắc trong trò chơi MQI với điều kiện cụ thể Đặc biệt, ngoài việc loại trừ các quy tắc có xác suất bằng 0, lựa chọn tỷ lệ p không phải lúc nào cũng phù hợp Tỷ lệ p tối ưu cho trò chơi này được xác định là p = rσ², 2 1.

S(t) = S(0) exp(rt) + σB(t) - (1/2)σ²tΣ, trong đó e^(-rt)S(t) = S(0) exp(σB(t) - (1/2)σ²tΣ là một martingale dưới đo xác suất P Với cách xác định ρ này, ta có dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dB(t), trong đó P là đo trung hòa rủi ro Nếu có cách xác định ρ khác được thực hiện, ta sẽ có kết quả khác.

= rS(t)dt + σ à − r dt + dB (t) σ s dB ˜ ˛á (t) x

B˜ cũng có quy đao như B Chúng ta có the thay đői đ® đo trung hòa rni ro

P , theo đó B là m®t chuyen đ®ng Brown và sau đó tien hành cHQN ρ đe bang r 1 σ 2

2.5.3 Đ%nh giá trung hòa rui ro và bao h®

Lay P˜ là đ® đo trung hòa rni ro Thì dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dB˜ (t),

− trong đú B là chuyen đđng Brown dưúi đđ đo P Đắt β(t) = e rt

S(t) d( β(t) ) = σ β(t) dB˜ (t), vì β(t) là martingale dưói đ® đo P˜.

Giá cna m®t phương án đau tư: dX(t) = ∆(t)dS(t) + r(X(t) − ∆(t)S(t))dt, (2.3) tương đương vói X(t) d( β(t) ) = ∆(t)d(

Các danh mục đầu tư đều có X(t) và β(t) là một martingale dưới xác suất P˜ Hiện tại, biến ngẫu nhiên V F(T) được đo đạc là thu hoạch của một bao h® phái sinh đơn giản kiểu Châu Âu Mục tiêu của chúng ta là tìm một quá trình đầu tư ∆(T) trong khoảng thời gian từ 0 đến T và xác định giá trị đầu tư ban đầu X(0).

X(T ) = V Boi vì β(t) X ( t ) β(t) phai là m®t martingale nên ta có

(2.5) Đây chính là công thúc đ%nh giá trung hòa rni ro Ta có trình tn các bưóc sau đây:

2 X(t), 0 ≤ t ≤ xác đ%nh boi công thúc 2.5. ˜ ˜ ˜

Để thực hiện bước 3 trong việc xác định X(t) từ 2.4 (hoặc tương đương với 2.3), chúng ta cần xây dựng một tài sản thỏa mãn điều kiện X(t) β(t) xác định bởi 2.5 là một martingale dưới xác suất Điều này áp dụng cho khoảng thời gian từ 0 đến T.

Tiep theo ta dùng ket qua cna lý thuye t ve bieu dien Marti ngale đe thayX(t) d( β( t) ) γ( t) dB

(t đoi vói m®t ) so quá trình γ So sánh công thúc 2.6 và công thúc 2.4 ta có ˜ ˜ (2.6) β(t)γ(t)

X(t), 0 ≤ t ≤ T là m®t giá tr% cna quá trình đau tư ∆(t), 0

Trong khoảng thời gian từ t đến T, nếu tuân theo quy tắc 2.5, sẽ dẫn đến kết quả theo quy định 2.6, đồng thời kéo theo 2.4 và 2.3 Điều này định nghĩa X, trong đó phương án đầu tư phòng hộ phải được thực hiện đúng với mức giá trị và kết thúc với giá trị tương ứng.

Nhẳn xột là một quá trình quan trọng trong việc đánh giá các yếu tố như r và σ, với B là biến số chính Khi r và σ thích nghi với B, chúng ta có thể xác định được giá trị trung hòa một cách chính xác Nếu hai giá trị này phụ thuộc vào một trong hai giá trị B hoặc B˜, điều này sẽ ảnh hưởng đến kết quả đánh giá.

S, thì chúng van thích nghi vói b® LQ c cna B Các giá tr% cna công thúc đ%nh giá trung hòa rni ro có nghĩa là:

1.Neu giá tr% ban đau là

, β(T ) thì đó là phương án đau tư bao h® ∆(t), 0 ≤ t ≤ T đe

X(T ) = V ; 2.Tai moi thòi điem t, giá tr% X(t) cna phương án đau tư bao h® trong(1) thoa mãn

2.5.4 ThEc hiắn đ%nh giỏ trung hũa rui ro và bao hđ Đe có m®t ket qua tính toán tù công thúc chung đ%nh giá trung hòa rni ro

X ( t ) β(t) = E˜ Σ V F(t)Σ , Áp dung tính chat Markov, ta can xác đ%nh m®t vài bien trang thái, giá cő phieu và các bien khác nua, đe

Ví dn 2.5.1 Gia su r và σ là hang so và V = h(S(T )) Chúng ta có the lay giá cő phieu là bien trang thái Xác đ%nh v(t, x) = E˜ t,x Σ e −r(T −t) h(S(T )) Σ

= e −rt v(t, S(t)) là martingale dưói đ® đo P˜.

Ví dn 2.5.2 Gia su r và σ là hang so.

S(u)du là bien trang thái Xác đ%nh v(t, x, y) = E˜ t,x,y Σ e −r(T −t) h(Y (T ))Σ , trong đó

) là công thúc cna các bien này. ˜

= e −rt v(t, S(t), Y (t)) là m®t martingale dưói xác suat P˜.

Quyen c HQN ngoài rào can

Cho m®t quá trình có rào can: dY (t)

2 (t), o đây σ 1 > 0, σ 2 > 0, −1 < ρ < 1 và B 1 và B 2 là chuyen đđng Brown đđc lắp trờn khụng gian xỏc suat (Ω, F, P )

Nhẳn xột Cỏc quyen c HQN chi tra phu thuđc vào ca hai quỏ trình Y và

S Đe có sn phòng h® cho quyen cHQN này, ta can th% trưũng tien tắ và hai loai tài san khỏc, mà o đõy xem là Y và S Các đ® đo trung hòa rni ro phai làm cho giá chiet khau cna moi tài san đưoc giao d%ch là m®t martingale, mà trong trưòng hop này là quá trình chiet khau Y và S Ta can tìm θ 1 và θ 2 và xác đ%nh dB 1 = θ 1 dt + dB 1 dB 2 = θ 2 dt + dB 2 , Đe dY

Chúng ta se thay rang công thúc cho θ 1 và θ 2 là không quan TRQNG Cái quan

TRQNG là trong công thúc (0.1) và (0.2) thì θ 1 và θ 2 xác đ%nh duy nhat Đieu này cho thay sn ton tai duy nhat cna đ® đo trung hòa rni ro.

Dưúi xỏc suat P˜, B˜ 1 và B˜ 2 là chuyen đđng Brown đđc lắp (theo đ%nh lý

Girsanov) P˜ là đ® đo trung hòa rni ro duy nhat.

Nhẳn xột Dưúi ca P và đ®ng là σ 2 và

P , Y cú hắ so bien đđng là σ 1, S cú hắ so bien dY dS

Y S = ρσ 1 σ 2 dt, nghĩa là giua dY

Y và dSS cú hắ so tương quan là ρ Giỏ tr% cna quyen c HQN tai thòi điem 0 là v(0, S(0), Y (0)) = E Σ e −rT (S(T ) −

Ta can tỡm đưoc mđt mắt đđ đe tớnh đưoc giỏ tr% ve phai.

Tù quá trình có rào can (barrier process ) dY

Mắt đđ chung cna B^ (T ) và M^(T )

2.6.1 Tính toán các giá tr

Hơn nua cỏc cắp bien ngau nhiên (B^ (T ), M^(T )) là đđc lắp cna B˜ 2 (T ) boi vì

Ta tớnh đưoc mắt đđ chung cna B^ (T ) và M^(T ) Mắt đđ cna

B˜ 1 và B˜ 2 là đđc lắp dưúi xỏc suat P˜ Vì the, mắt đđ chung cna các vector

= P {B 2(T ) ∈ db}.P {B (T ) ∈ db}.P {M (T ) ∈ dm}. Giá cna quyen c HQN tai 0 là v(0, S(0), Y (0))

Đối với công thức 2 θ T dbdbdm^, các tham số như T, S(0) và Y(0) có sự phụ thuộc, cùng với σ 1, σ 2, ρ, r, K và L Tuy nhiên, nú khụng không phụ thuộc vào λ, à, θ 1 và θ 2 Tham số θ xuất hiện trong câu trả lời là θ^ r σ 1 − σ 1.

Nhẳn xột, nếu không coi Y như một tài sản được giao dịch, thì không cần phải cố gắng để bằng r Chúng ta chỉ cần một phương trình để xác định θ1 và θ2, đó là phương trình (1.1): à = r + ρσ²θ1 + (1 - ρ²)σ²θ2 Tính không duy nhất của phương trình này cảnh báo rằng một vài quyền chọn không thể được bảo hiểm Mặc dù vậy, quyền chọn chỉ trả (payoff) phụ thuộc vào Y sẽ không thể được bảo hiểm khi chỉ cho phép mua bán cổ phiếu.

√ tra chi phu thu®c vào S, thì Y là không can thiet Tro lai vói nhung phương trình ban đau cho S. dS

1 − ρ 2 σ 2 dB 2 , ta nờn đắt dW = ρdB 1 + √

1 − ρ 2 dB 2 , vì the W là m®t chuyen đ®ng Brown dưói đ® đo P (theo đ%nh lý Levy) và dS

Bây giò chúng ta chi có duy nhat m®t chuyen đ®ng Brown, nên có duy nhat mđt θ, cu the là à − r θ = , σ 2 đe vói dW = θdt + dW , ta có dS

2.6.2 Các phương trình vi phân ngau nhiên cho quyen c HQN ngoài rao can

Quay lai vói trưòng hop cna quyen cHQN vói chi tra

(S(T ) − K) + 1 {Y ∗ (T )