Nguyên lý Dirichlet cơ ban
Đ%nh lý 1 Neu nhot n + 1 chú thó đưac nhot vào n chuong thì bao già cũng có 2 con thó b% nhot vào cùng m®t chuong.
Nguyên lý Dirichlet mo r®ng
Đ%nh lý 2 Neu nhot n chú thó vào m long mà phép chia n
> k thì ton tai m®t long chúa ít nhat k + 1 chú thó
Chúng minh Ta de dàng chúng minh đưoc bang phan chúng.
Thắt vắt gia su trỗi lại MQI, lòng thỏ đêu chưa so thỏ nhỏ hơn k + 1 con thì so thỏ trong mỗi lòng k Khi đó, suy ra tổng số thỏ là m.k Điều này vụ lý vì cú n con thỏ Vậy gia thiết phần chứng là sai, nguyên lý Dirichlet mở rộng được chứng minh.
Nguyên lý Dirichlet trong toán học là một định lý quan trọng liên quan đến tập hợp Nguyên lý này có các phát biểu khác nhau, bao gồm cả những phiên bản giới hạn cho tập hợp hữu hạn phần tử và mở rộng cho tập hợp vô hạn.
1.3 Nguyờn lý Dirichlet ma rđng cho tắp hEu han
Cho A là tắp huu han phan tu Kớ hiắu A là so lưong cỏc phan tu thuđc
A Khi đó ta có các đ%nh lý sau: m
Định lý 3 phát biểu rằng, cho hai tập hợp hữu hạn A và B, với A lớn hơn B, tồn tại ít nhất hai phần tử của A tương ứng với một phần tử của B Nếu mỗi phần tử của A tương ứng với một phần tử nào đó của B, thì tập hợp A sẽ được bảo toàn.
Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn với A > k B, thì tồn tại ít nhất k + 1 phần tử của A mà không tương ứng với bất kỳ phần tử nào của B Hơn nữa, mỗi phần tử của A sẽ tương ứng với một phần tử duy nhất của B.
Để chứng minh rằng k = 1 là đúng, chúng ta cần chỉ ra rằng mỗi phần tử của tập A có thể tương ứng với nhiều nhất k phần tử của tập B Khi đó, điều kiện |A| ≤ k|B| sẽ trái ngược với giả thiết |A| > k|B| Điều này dẫn đến việc áp dụng Định lý 5, hay còn gọi là Nguyên lý Dirichlet cho tập hữu hạn.
Cho tắp huu han S = và S 1 , S 2 , S 3 , , S n là cỏc tắp con cua S sao cho
S 1 + S 2 + + S n > k S Khi đó ton tai m®t phan tu x S sao cho x là phan tu chung cua k + 1 tắp S i vỏi i = 1, 2, , n. Đ%nh lý 6 Đ%nh lý tương đương
Nguyờn lý Dirichlet (mỏ rđng) và nguyờn lý Dirichlet cho tắp huu han tương đương nhau.
Chỳng minh Thắt vắy chỳng minh thuắn, gia su S cú m phan tu x 1 , x 2 , , x n Xột tắp X = (x i , S j ), i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n
Ta phân bố các phần tử của tập X vào m hộp 1, 2, , m như sau: Nếu x_i thuộc S_j thì (x_i, S_j) được phân vào hộp i với i = 1, 2, , m và j = 1, , n Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất một hộp i có ít nhất k phần tử.
1 phan tu.Tự đú suy ra ton tai phan tu x i là phan tu chung cna k + 1 tắp S i vúi i = 1, 2, , n.
Ngưoc lai chỳng minh đao, kớ hiắu n phan tu là j = 1, 2, , n Ta phõn bo cỏc phan tu j = 1, 2, , n vào m hđp HKớ hiắu S = H i i = 1, 2, , m , S j = H i , i = 1, 2, i j H i vúi MQI , m.j = 1, 2, , n.
Hien nhiên S j = 1 vói MQI j và S = m
.Theo nguyờn lý Dirichlet cho tắp huu han ton tai phan tu H i chung cna k + 1 tắp S j , tỳc là ton tai hđp H i chỳa ớt nhat k + 1 phan tu.
1.4 Nguyờn lý Dirichlet đoi vỏi tắp vụ han phan tE
Nguyên lý Dirichlet là một khái niệm quan trọng trong toán học, liên quan đến việc phân tích các hàm và sự hội tụ của chúng Nguyên lý này áp dụng cho các trường hợp như đường dài, diện tích và thể tích, cho phép chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của các hàm Bằng cách áp dụng nguyên lý Dirichlet, chúng ta có thể xác định các điều kiện cần thiết để một hàm hội tụ theo những cách nhất định Điều này giúp chúng ta phát triển những hiểu biết sâu sắc hơn về cấu trúc và hành vi của các hàm trong không gian toán học.
Khỏi niệm 1: Mặt tắp hấp trong mắt GQI là một yếu tố chắc chắn khi tồn tại một mặt hình tròn chứa toàn bộ các điểm của tắp hấp đó Nếu không tồn tại mặt hình tròn như vậy, thì tắp hấp GQI sẽ không được coi là chắc chắn.
Khỏi niẳm 2 Điểm P GQI là điểm biên của tập hợp A trong mặt phẳng Nếu MQI là hình tròn tâm tại P, thì nó chứa tất cả các điểm thuộc A và cả những điểm không thuộc A Tập hợp tất cả các điểm biên của A GQI là biên của A.
Khỏi niẳm 3 Mđt điem P GQI là điem trong cua tắp hap A trong mắt phang khi ton tai hình tròn tâm P mà nó nam tr QN trong A.
1.4.1 Tắp phan tE là mđt khoang trờn đưàng thang
Ta kớ hiắu d(I) là đđ dài cna cna khoang I ⊂ R. Đ%nh lý 7 (Nguyên lý Dirichlet cho đoan thang)
A(i = 1, 2, , n) và d(A) < d(A 1) + d(A 2) + + d(A n ) Khi đó có ít nhat 2 khoang trong so các khoang trên có m®t điem trong chung Cho A là m®t khoang giái n®i, A 1 , A 2 , , A n là các khoang sao cho A i
Chỳng minh Thắt vắy, gia su khụng cú cắp nào trong nhung khoang đó cho có điem trong chung Khi đó, d(S n
Một đoạn thẳng A i có thể được biểu diễn bằng tổng độ dài của các đoạn A 1, A 2, , A n, với điều kiện là các đoạn này nằm trên một mẫu thuận vúi nhau Trong trường hợp có hai khoảng trong số các khoảng trên có điểm chung, tổng độ dài của các đoạn A i và B i (với i = 1 đến n) sẽ bằng b.
M®t cách phát bieu khác de nhó hơn: Trên đưòng thang cho đoan AB có
- Neu b < a thì bên trong đoan AB có m®t điem M nam bên ngoài tat ca các đoan A i B i
- Neu b > a và đoan AB chúa tat ca các đoan A i B i thì ton tai ít nhat hai đoan con A i B i có điem trong chung.
- Neu b < ka thì bên trong đoan AB ton tai điem M không thu®c quá k − 1 đoan con.
- Neu b > ka và đoan AB chúa tat ca các đoan A i B i thì có ít nhat k + 1 đoan con A i B i có điem trong chung.
Phát bieu trùu tưong cna phát bieu tőng quát như sau: Đ%nh lý 8 (Nguyên lý Dirichlet cho đoan thang ma r®ng)
Cho A là m®t khoang giái n®i, A 1 , A 2 , A n là nhung khoang con cua A, k là so tn nhiên thóa mãn k.d(A) < d(A 1) + d(A 2) + + d(A n ).
Khi đó ton tai ít nhat k + 1 khoang A i (i = 1, 2, , n) có điem chung trong.
Trong trường hợp k = 1, chúng ta có thể chứng minh điều này dựa trên định lý đã nêu Để xác nhận rằng định lý đúng với k, cần phải chứng minh rằng nó cũng đúng với k + 1 Cho A1, A2, , An là các khoảng con của A thỏa mãn điều kiện đã đề ra.
Ta se chi ra rang ton tai điem trong chung cna k + 2 khoang A i (i
= 1, 2, , n).Vì A i A, nên d(A i ) d(A) vói (i = 1, 2, , n), tù đó suy ra d(A 1) + d(A 2) + + d(A n )n.d(A).
Theo (1.1) ta có (k + 1).d(A) < d(A 1) + d(A 2) + + d(A n ) < n.d(A). Suy ra: k + 1 < n.
Ta chỳng minh ton tai điem chung cho ớt nhat k + 2 tắp A 1 , A 2 , , A n thoa mãn (1) bang quy nap theo n.
Ta bat đau tù n = k + 2, túc là
Vỡ cú tat ca k + 1 tắp hop A J i , tự bao hàm thỳc trờn ta đưoc
(k + 1).d(A J ) ≥ d(A J 1 ) + d(A J 2 ) + + d(A J k+1 ) (1.7) Neu lay (1.2) trù đi (1.7) ta có
Từ (1.9) và theo giả thiết quy nạp, ta suy ra rằng A₁ là tập hợp A₁, A₂, , Aₖ₊₂ có điểm chung Do đó, với n = k + 2, từ (1.3) có thể suy ra ít nhất k + 2 tập hợp thỏa mãn (1.1) có điểm chung.
A k+2 , A 2 A k+2 , , A k+1 A k+2 có điem trong chung, đieu này có nghĩa
Bõy giũ chỳng ta gia thiet vúi n k + 2 cú ớt nhat k + 2 tắp hop thoa (1.1) có điem trong chung.Ta se phai chúng minh rang tù
(k + 1).d(A) < d(A 1) + d(A 2) + + d(A n ) + d(A n+1) (1.10) Suy ra cú ớt nhat k + 2 tắp hop trong dóyA 1 , A 2 , , A n+1 cú điem trong chung.Thắt vắy, chỳng ta đắt
Vì A J i ∪A” i = A i , A J i ∩A” i = ∅(i = 1, 2, , n) và A J ∪A” = A, A J ∩A” = ∅ d(A J i ) + d(A” i ) = d(A i )(i = 1, 2, , n), (1.15) d(A J ) + d(A”) = d(A) (1.16) Chúng ta se chúng minh m®t trong các bat đang thúc sau là đúng:
(k + 1).d(A J ) < d(A J 1 ) + d(A J 2 ) + + d(A J n ) (1.17) hoắc là k.d(A JJ ) < d(A”1) + d(A”2) + + d(A” n ) (1.18) Thắt vắy trong trưũng hop ngưoc lai ta cú
C®ng hai ve lai và do(1.15), (1.16) ta có d(A J ) + k.d(A) ≥ d(A 1) + d(A 2) + + d(A n ) (1.19)
C®ng hai ve (1.19)vói d(A”) và tù (1.15), (1.16) ta có
(k + 1).d(A) d(A 1) + d(A 2) + + d(A n ) + d(A n+1). Đieu này trái vói (1.10) nên m®t trong hai bat đang thúc (1.17) và (1.18) phai có ít nhat m®t bat đang thúc đúng.
Theo định lý quy nạp, trong dãy A1, A2, , An tồn tại ít nhất k + 2 tập hợp có điểm chung Từ kết luận này, ta có thể suy ra rằng kết quả cũng đúng cho các dãy A1, A2, , An.
Tự gia thuyết quy nạp, ta có thể chứng minh rằng trong các tập hợp A"1, A"2, , A"n tồn tại ít nhất một điểm chung, phù hợp với (1.12) Từ đó, suy ra rằng tồn tại k + 2 tập hợp A1, A2, , An, An+1 cũng có điểm chung Kết luận này đúng với n + 1 Phương pháp quy nạp cho phép chúng ta chứng minh các mối quan hệ giữa diện tích hình (A) và các hình (A1), (A2), , (An) trong cùng một mặt phẳng hoặc trên mặt cầu, cũng như giữa thể tích V(A) và các hình tương ứng.
1.4.2 Tắp phan tE là mien phang giỏi han bai mđt đưàng cong phang khép kín
Khỏi niẳm 4 Mđt tắp hap b% chắn cỏc điem trong mắt phang GQI là be mắt khi biên cua nó không chúa điem trong (cua biên).
1 Neu A và B là hai be mắt, nhung tắp hop A B , A B , A B cũng là nhung be mắt trong mắt phang.
2 Neu A, B và C là cỏc be mắt và A khụng cú chung điem trong vúi B và C thỡ
A không có điểm chung với B ∪ C Định lý 9 cho biết rằng nếu M là bề mặt A nhưng điểm trong mắt phẳng có thể cho tương ứng một số thể tích không âm S(A), thì: a) S(∆) = 1 với ∆ là một hình vuông có cạnh dài 1 b) Nếu A và B là hai bề mặt không có điểm chung, thì S(A∪B) = S(A) + S(B).
S như trên đưoc xác đ%nh duy nhat.
