TỔNG QUAN
Cấu trúc vùng năng lượng
Cấu trúc vùng năng lượng của Graphene được xác định thông qua phương pháp gần đúng liên kết mạnh và so sánh với kết quả từ phương pháp ab-initio Hàm sóng của electron trong phương pháp gần đúng liên kết mạnh được biểu diễn một cách cụ thể, cho phép hiểu rõ hơn về đặc tính điện của Graphene.
� � ,� là hệ số khai triển Có M dãy năng lượng khác nhau và năng lượng của trạng thái điện tử E của dãy thứ j được tính :
� � � = � � � � � / � � � � Dưới dạng đơn giản nhất, năng lượng � � với hệ số khai triển � � tạo thành :
Trong đó: � � là vecto cột, � � = (� � 1 , � � 2 , … , � �� ) (1.1.2)
Ma trận tích phân chuyển đổi H và ma trận tích phân chéo S là MxM với các nhân tố được xác định như sau :
(1.1.3) Dãy năng lượng � � được xác định bởi phương trình giá trị riêng suy rộng (1.1.2) bằng cách giải phương trình : Ở đây „det‟ được gọi là định thức của ma trận.
Các yếu tố ma trận sẽ được tính trực tiếp theo định nghĩa :
3 2 3 Đặt tham số � � = � � (� − � �,� ) � � � (� − � �,� ) Đây được coi như phép tổng của các tham số � � � � mang giá trị như nhau trong mỗi ô đơn vị.
Do đó nguyên tố ma trận có thể có thể được diễn đạt là H AA =.є A Tương tự như vậy, ma trận chéo
Orbital ở vị trí B được ký hiệu là HBB = є B, và trong trường hợp của Graphene tinh khiết, có sự tương đương giữa є A và є B khi hai mạng con giống nhau Để tính toán các phần tử chéo trong ma trận tích phân chéo S, phương trình (1.1.4) được áp dụng tương tự như đối với ma trận H, với nghịch đảo của một orbital cùng với phần tử đơn vị của nó.
Phần tử ngoài đường chéo góc
AB của ma trận tích phân chuyển đổi H mô tả khả năng di chuyển linh hoạt giữa những orbital ở các vị trí A và B Thay hàm Bloch
� � ,� vào ma trận (1.1.3) tạo ra phép toán của những vị trí tại A và những phép toán của những vị trí tại B.
Ta giả sử rằng các vị trí phát sinh từ sự linh hoạt giữa các điểm lân cận Nếu xem xét vị trí A đã cho, ta có thể tính toán khả năng di chuyển đến 3 vị trí gần B nhất, được ký hiệu là l = 1, 2, 3.
AB ∑∑ i =1 l =1 A A,i B A,i l Ở đây, δ1 là vị trí của 3 nguyên tử B gần nhất so với nguyên tử A cho trước δ= (0, a
Phép toán đối với 3 vị trí gần điểm B nhất thì giống hệt điểm A , tham số này được tính như sau:
(1.1.6) với γ 0 > 0 Do đó phần tử ma trận được viết lại thành :
Phần tử ma trận ngoài đường chéo góc còn lại được tính:
) chỉ sự dịch chuyển của điểm gần nhất ,phương trình (7) được viết : k
Việc tính toán nhữ ng
B x phần tử ngoài đường chéo góc của ma trận tích phân chéo S tương tự như ma trận H Hàm số s 0
= φ A (r − R A,i ) φ B (r − R B,l mô tả các khả năng của các phần tử chéo có thể >0 hoặc < 0 giữa các orbital trên những vị trí lân cận Khi đó
Tập hợp các phần tử ma trận , các ma trận tích phân lớp được viết như sau :
Năng lượng tương ứng được xác định bằng cách giải phương trình (4) Ví dụ đối với Graphene tinh khiết є A = є B =0 , ta có :
E f (1.1.11) Ở phương trình (1.1.8) không tương đương nhau. γ 0 = 3.033eV , s 0 = 0.129 f (k) = 0 tại góc của vùng Brillouin, hai trong số chúng
Hình 1.1 Các vecto cơ sở của vùng Brillouin của Graphene
K = ±( 4π ± 3a ,0) được kí hiệu trong bảng
Các vị trí lồi và lõm K trong cấu trúc graphene được xác định bằng chỉ số lõm ξ = ±1, giúp phân biệt các điểm K ξ Tại những điểm này, các kết quả từ phương trình (15) có cùng mức năng lượng, với năng lượng vùng cấm bằng 0 giữa vùng hóa trị và vùng dẫn Ma trận chuyển đổi Hm tương tự như phương trình Dirac-Hamilton gần điểm K, mô tả các hạt không có khối lượng với độ tán sắc dài Những điểm này rất quan trọng vì mức Fermi nằm gần chúng trong lớp graphene tinh khiết.
Phương trình Dirac
Trong các bài toán truyền dẫn, chúng ta chủ yếu quan tâm đến các electron gần bề mặt Fermi Thông thường, phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng được áp dụng Kết quả của phương pháp này đối với Graphene là phương trình Dirac hai chiều cho electron trong mạng Graphene.
Bằng cách sử dụng khai triển K.P tại điểm K và viết hàm song đầy đủ (tích của hàm vỏ và hàm lõi), chúng ta có thể thay thế vào phương trình Schrödinger, từ đó khai triển và giữ lại hạng bậc nhất của k để thu được phương trình tựa Dirac cho electron trong Graphene Nghiên cứu này đã được DI Vincenzo và Mele thực hiện vào năm 1984 Bài viết này tóm tắt lập luận nguyên văn của các tác giả nhằm rút ra phương trình tựa Dirac hai chiều.
Khi không có thế tạp, khối lượng hiệu dụng có thể được khai triển gần đúng tương đương với khai triển K.P tại điểm K Trong lý thuyết khai triển K.P, hàm sóng của electron tại vector sóng k = K + k được xác định bởi các phương trình liên quan.
Thế Ψvào phương trình Schrodinger, giữ lại số hạng cáp một của k và lấy EF =0 ta đượpc phương trình trị riêng:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét công thức P ij = ∫ Ψ * (K, r ) p ψ j (K, r )d r, cho thấy sự liên kết giữa các hàm sóng Theo lý thuyết nhóm hoặc từ phương trình gần đúng liên kết mạnh, ma trận của toán tử xung lượng có cấu trúc đặc biệt: p 0 e +� e � e −� e �.
Trong đó, \( e_x \) và \( e_y \) là các vector đơn vị trong mặt phẳng, còn \( p \) là hệ số liên quan đến cấu trúc vùng của Graphene Nhờ đó, chúng ta có thể dễ dàng chéo hóa ma trận và thu được kết quả mong muốn.
Như vậy thực chất của kết quả của phép khai triển K.P là thay thế câu trúc vùng Graphene bằng hệ thức tán sắc hình nón tại mặt Fermi.
Khi đặt trường ngoài liên hệ, đối xứng tịnh tiến thường bị phá vỡ, dẫn đến trạng thái lượng tử của electron không còn được đặc trưng bởi số lượng k Do đó, chúng ta cần sử dụng một sự mở rộng nhỏ của hàm thử.
(1.2.14) f 1 (K ) � � k, r ψ (K, r )+ � k (K ) � � k, r ψ 2 (K, r ) Đặt hàm thủ vào phương trình Schrodinger ta đi đến phương trình tích phân:
U(q) = ∫ dz ρ(z) (∫ dqe^(-i qr) U(r)) là biến đổi Fourier của thế tạp lấy trung bình theo trục Oz Để rút ra phương trình này, chúng ta đã áp dụng gần đúng tiêu chuẩn của lý thuyết khối lượng hiệu dụng, cho rằng thế tạp biến thiên chậm so với khoảng cách đặc trưng của ô mạng Cuối cùng, để hoàn tất việc rút ra phương trình Dirac, chúng ta thực hiện biến đổi Fourier phương trình trên, dẫn đến việc chuyển đổi phương trình tích phân thành phương trình vi phân.
Và phương trình sóng trong biêủ diễn tọa độ là: Ψ(r) = �1(� ) Ψ 1 (�, � ) + �2(� ) Ψ 2 (K , r)
Phương trình sóng có dạng tích của hàm vỏ (envelope- function) biến đổi chậm và hàm Bloch như quen thuộc trong vật lý chất rắn….”
Hàm sóng thu được từ phương trình tựa Dirac, trong đó v0 là vận tốc Fermi với giá trị khoảng 10^6, thể hiện hai trạng thái của electron trên hai mạng thành phần Hai trạng thái này đóng vai trò là thành phần Spin và giả Spin (pseudo-spin), được gọi là giả spin vì chúng không liên quan đến spin thực của electron.
Khi các điểm Dirac bị tách suy biến, xuất hiện một khe năng lượng nhỏ giữa vùng dẫn và vùng hóa trị Để hiệu chỉnh phương trình Dirac, ta chỉ cần thêm vào số hạng khối lượng nghỉ của electron Kết quả là phương trình Dirac sẽ có dạng đầy đủ như sau.
Trong đó học lượng tử. ο = (σ x ,σ y
, z là các ma trận Pauli quen thuộc trong cơ
Trong Graphene, có một mặt Fermi với sáu điểm, bao gồm hai điểm không tương đương là K và K' Việc khai triển K.P tại hai điểm này là tương đương, và thông qua một phép biến đổi biểu diễn, điểm K có thể chuyển đổi thành điểm K'.
Trong các bài toán vật lý, thường chỉ xem xét trường hợp electron chịu tác dụng của thế không đổi trong từng đoạn Khi đó, phương trình Dirac sẽ có lời giải phân tích đơn giản.
Như đã nói ở trên ,phương trình Dirac có dạng:
Ta viết lại hàm sóng dưới dạng hai thành phần spinnor Ψ = Ψ và thay vào
2 phương trình trên ta được:
(thực chất đây là một phép đổi đơn vị), đồng thời rút thế Ψ 2từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có:
Trong trường hợp cụ thể của chúng ta, hàm u(x,y) không thay đổi theo trục Oy, do đó nghiệm có thể được xác định dưới dạng hàm riêng của xung lượng theo trục Oy.
= ta có phương trình cho
Ox, khi đó phương trình đơn giản thu về:
1 đơn giản là phương trình kiểu dao động điều hòa, nghiệm tổng quát được cho duới dạng: χB (1.2.26)
Trong trường hợp các giá trị ,un, o là thực, ta có thể đơn giản hóa công thức bằng cách đặt các tham số mới:
Vậy nghiệm đầy đủ là hàm song spinor 2 thành phần:
Giả spinor và Chirality
Trong giới hạn liên tục và gần đúng khối lượng hiệu dụng, Hamiltonian cho electron trong graphene ở lân cận điểm K và K‟:
,σ ) là các ma trận Pauli.
Hamilton này có dạng giống với Hamiltonian
Dirac hai chiều cho hạt không khối lượng Do đó hàm sóng của điện tử trong graphene có cấu trúc spinor hai thành phần, với điểm K ψ
Dấu ± tương ứng với năng lượng E = ±ν
F k cho vùng dẫn và vùng hóa trị và θ = arctan( k x
Trong nghiên cứu về spin, cần lưu ý rằng σₕ (σ, σ) không phải là đặc trưng cho spin thực, mà chỉ xuất hiện khi xem xét sự đóng góp của hai mạng con, vì vậy σₕ được gọi là giả spin Hai thành phần trên và dưới của hàm sóng liên quan đến biên độ xác suất tìm thấy hạt trong hai mạng con tương ứng, dẫn đến việc gọi hàm sóng là các giả spinor.
Graphene có một đặc trưng thú vị liên quan đến hướng của các giả spin, mà điều này gắn liền với xung lượng của hạt Cụ thể, hàm sóng của các electron gần điểm Dirac trong graphene thể hiện tính chirality hay helicity, cho thấy sự tương quan giữa spin và hướng xung lượng Toán tử helicity là công cụ để mô tả đặc tính này.
Theo định nghĩa này thì các trạng thái ψ K
) cũng là vector riêng của toán tử
, t o á n t ử h ∧ chỉ có hai trị riêng là
Trong các trạng thái riêng của năng lượng gần điểm Dirac, giả spin có xu hướng song song hoặc đối song với xung lượng.
K,electron có helicity dương và lỗ trống có helicity âm, dấu helicity ngược lại khi electron electron ở gần K‟ Tính chất này thể hiện tính đối xứng giữa electron và lỗ trống tương tự như đối xứng liên hợp điện tích trong điện động lực học lượng tử.
Bản chất chirality của electron trong graphene là nguồn gốc cho nhiều hiện tượng thú vị, khác biệt so với electron trong vật liệu thông thường Hai hiện tượng đặc trưng nhất của tính chirality là hiệu ứng chui ngầm Klein và hiệu ứng Hall lượng tử trong graphene.
Truyền dẫn ballistic
Trong các hệ nano, quãng đường tự do trung bình l e, tức là quãng đường mà electron có thể di chuyển mà không bị va chạm, là một thông số quan trọng Kích thước của hệ ảnh hưởng đáng kể đến giá trị của tham số này.
Khi l nhỏ hơn l e, electron có khả năng di chuyển toàn bộ chiều dài của hệ mà vẫn duy trì moomen động lượng không đổi Hiện tượng này được gọi là truyền dẫn ballistic, trái ngược với truyền dẫn khuếch tán.
Với grap hene , l e đóng vai trò quan trọng
1.4.1 Ch ui ngầ m Kle in cú thể rất lớn (cỡ 1 à m
Hình 1.2.(a) Cơ chế truyền dẫn khuếch tán và (b) cơ chế truyền dẫn ballistic
Hiện tượng chui ngầm Klein được đề xuất năm
Hiện tượng chui ngầm, được O Klein phát hiện vào năm 1929 dựa trên phương trình Dirac, mô tả sự chuyển động của electron vào vùng có bờ thế cao hơn năng lượng của chúng, mà theo cơ học cổ điển, đây lẽ ra là vùng cấm Trong cơ học lượng tử, chui ngầm lượng tử cho phép hàm sóng của hạt không tương đối tính lọt vào vùng cấm với xác suất giảm theo hàm mũ e, phụ thuộc vào chiều cao và độ rộng của bờ thế Đối với hạt Dirac, xác suất truyền qua chỉ phụ thuộc yếu vào chiều cao bờ thế và gần như bằng 1 khi bờ thế vô hạn, điều này được giải thích bởi tính chất của phương trình Dirac, cho phép tồn tại cả trạng thái năng lượng âm (electron) và dương (lỗ trống).
Trạng thái bên ngoài và bên trong bờ thế được kết nối với nhau, và chiều cao của bờ thế ảnh hưởng đến khả năng kết nối này Khi chiều cao bờ thế tăng, xác suất nối giữa electron và lỗ trống cũng tăng theo Đặc biệt, trong trường hợp bờ thế cao vô hạn, xác suất truyền qua đạt giá trị tối đa, được gọi là hiện tượng chui ngầm Klein.
Hình 1.3 Mô hình chui ngầm Klein
Nghiên cứu sự phản xạ và truyền qua trong chuyển tiếp p-n và p-n-p cho thấy xác suất chui ngầm của electron trong graphene phụ thuộc vào góc tới θ và hình dạng của bờ thế Đặc biệt, khi bờ thế có dạng bậc thang, xác suất truyền qua sẽ có một dạng cụ thể.
Nếu bờ thế có dạng nghiêng như trong chuyển tiếp p-n được tạo ra bởi thế tĩnh điện thì dạng của xác suất truyền qua:
Trong đó d là độ rộng của bờ thế lớp chuyển tiếp.
Khi góc tới bờ thế θ = 0 và xung lượng ngang bằng không, xác suất chui ngầm của electron trong graphene luôn bằng một, không phụ thuộc vào độ cao, độ rộng hay hình dạng của bờ thế Kết quả này xuất phát từ tính chất chirality của graphene Hình 1.8 minh họa quá trình chui ngầm của electron có xung lượng ngang bằng không qua bờ thế với độ cao V và độ rộng D, đồng thời thể hiện phổ năng lượng với hai nhánh năng lượng tương ứng cho hai trạng thái giả spin của các mạng con A và B.
Một electron với giả spin σ
Khi xung lượng k di chuyển trong nhánh máu đỏ đến bờ thế, năng lượng của electron (đường chấm chấm) nằm trong vùng dẫn bên ngoài và vùng hóa trị bên trong bờ thế Do tính chất chirality của hàm sóng, trạng thái electron (σ, k) khi vào bờ thế sẽ chuyển thành trạng thái lỗ trống (σ, -k) trong cùng nhánh màu đỏ, không thể chuyển sang nhánh màu xanh vì yêu cầu giả spin phải đổi hướng Sự liên tục về trạng thái giả spin đảm bảo rằng xác suất truyền qua bờ thế của electron luôn bằng một, không phụ thuộc vào độ cao, độ rộng hay hình dạng của bờ thế.
Hệ số truyền qua của vật liệu phụ thuộc vào độ rộng bờ thế, với đường màu đỏ đại diện cho mẫu graphene đơn lớp, đường màu xanh đậm cho mẫu graphene hai lớp, và đường màu xanh lá cây thể hiện đặc tính của bán dẫn thông thường có vùng cấm.
Chui ngầm Klein trong graphene do tính chirality của hàm sóng ở lân cận điểm Dirac , được kiểm chứng thông qua so sánh chui ngầm Klein của ba mẫu: hình
1.9 mẫu 1 là graphene đơn lớp xác suất chui ngầm luôn bằng 1; mẫu 2 là graphene 2 lớp, xác suất này giảm theo hàm mũ với độ rộng của bờ thế; và mẫu 3 là bán dẫn thông thường không có vùng cấm, truyền qua hoàn toàn chỉ trong trường hợp có cộng hưởng (chui ngầm cộng hưởng) Sự khác biệt của 3 vật liệu này ở chỗ: graphene đơn lớp có tính chirality, không có vùng cấm trong phổ năng lượng; graphene 2 lớp có tính chirality, có xuất hiện vùng cấm; cuối cùng là bán dẫn thường không có vùng cấm và không có tính chirality Tính chirality giữa graphene đơn lớp và hai lớp cũng khác nhau vì có sự khác nhau về giả spin trong hai mẫu tương tự như sự khỏc nhau giữa hạt spin ẵ và 1, do đú trong graphene đơn lớp cú 2 mạng con còn graphene 2 lớp thì có 4 mạng con.
Chui ngầm Klein là hiện tượng quan trọng trong điện động lực học lượng tử, đã được nghiên cứu lý thuyết từ lâu nhưng chưa có khả năng kiểm chứng Sự phát hiện chui ngầm Klein trong graphene mang ý nghĩa lớn, mở ra hướng nghiên cứu mới cho các hiện tượng vật lý trong lý thuyết trường lượng tử mà không cần sử dụng máy gia tốc lớn để tăng tốc electron đến vận tốc tương đối tính.
1.4.2 Giới hạn độ dẫn lượng tử
Do chui ngầm Klein, việc giam cầm electron trong graphene gặp nhiều khó khăn, dẫn đến sự quan tâm đến độ dẫn suất giới hạn lượng tử Trong nghiên cứu này, chúng ta chỉ xem xét trường hợp không có tương tác giữa các electron ở nhiệt độ 0K và không có mất trật tự, tức là quá trình truyền dẫn diễn ra theo kiểu ballistic, tạo ra độ dẫn suất ballistic cho mẫu đo Đối với kim loại thông thường, theo phương pháp bán cổ điển, nếu không có tán xạ, chuyển động của electron không bị cản trở và độ dẫn điện là vô hạn Tuy nhiên, đối với graphene, điều này không đúng; trong mô hình chuyển tiếp n-p-n, việc điều chỉnh điện áp ở vùng giữa giúp thay đổi vị trí của mức Fermi tương đối so với điểm Dirac, từ đó điều chỉnh vùng dẫn loại p.
1 cosh(q n L) để trở thành vùng dẫn loại n‟ (nghĩa là n-n‟-n) Nghiên cứu về chui ngầm klein cho cả 2 chuyển tiếp này đều có hệ số truyền qua hữu hạn.
Bằng cách sử dụng phương trình tựa Dirac cho điện tử trong graphene ta đi tìm độ dẫn suất giới hạn lượng tử của graphene tại điểm Dirac.
Với điều kiện V(xL) = V ∞ và V(x) = Vg trong khoảng 00 thì hạt tải trong miền này là electron, khi đó tương tự như bán dẫn thường: A1= 1,B1= r,A2= t,B2= 0 Ta có:
T 22 và hệ số truyền qua là:
2 Trường hợp 2: t2