Ảnh hưởng của trường bức xạ laser lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần tán xạ điện tử phonon âm

Khái quát về siêu mạng hợp phần

Siêu mạng hợp phần là cấu trúc tuần hoàn nhân tạo của các lớp vật liệu có hằng số mạng gần bằng nhau, nơi các điện tử ngoài chịu ảnh hưởng của thế tuần hoàn tinh thể và thế phụ tuần hoàn do siêu mạng tạo ra Thế phụ này hình thành từ sự chênh lệch năng lượng giữa các cận điểm đáy vùng dẫn của hai bán dẫn Các tham số như chu kỳ siêu mạng và nồng độ hạt tải có thể điều chỉnh, dẫn đến sự thay đổi trong thế phụ tuần hoàn và phổ năng lượng của điện tử, tạo ra những tính chất ưu việt cho bán dẫn siêu mạng so với bán dẫn thông thường Kể từ khi mẫu bán dẫn siêu mạng được phát triển vào những năm 1960, chúng đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà vật lý và dẫn đến hàng loạt nghiên cứu cùng với các thiết bị mới Bán dẫn siêu mạng hợp phần được chia thành ba loại dựa trên mức chênh lệch năng lượng giữa các lớp bán dẫn.

Loại I: Siêu mạng hợp phần loại này được tạo ra từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm hoàn toàn bao nhau, điểm hình là siêu mạng GaAs/GaAlAs Trong loại siêu mạng này, các tương tác giữa các hạt tải từ các lớp riêng biệt chỉ xảy ra giữa các vùng năng lượng cùng loại.

Loại II: Siêu mạng hợp phần loại này được tạo ra từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm nằm gần nhau nhưng không bao nhau hoặc chỉ trùng nhau một phần, điển hình là siêu mạng GaAs/AlAs Trong loại siêu mạng này, có thể xảy ra tương tác giữa các hạt tải nằm trong các vùng khác nhau, tức là các điện tử của bán dẫn này tương tác với lỗ trống của bán dẫn kia.

Loại III: Siêu mạng hợp phần loại này được tạo ra từ một bán dẫn thông thường và một bán dẫn khác với khe năng lượng bằng không, điển hình là siêu mạng InAs/GaSb. Đối với siêu mạng hợp phần chu kì của siêu mạng lớn hơn rất nhiều so với hằng số mạng và biên độ của thế siêu mạng lại nhỏ hơn rất nhiều so với biên độ của thế mạng tinh thể nên ảnh hưởng của thế tuần hoàn của siêu mạng chỉ thể hiện ở các mép vùng năng lượng Tại mép vùng năng lượng quy luật tán sắc của điện tử có thể coi là dạng bậc hai và phổ năng lượng của điện tử có thể được xác định bằng phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng Đối với các vùng năng lượng đẳng hướng không suy biến phương trình Schrodinger có dạng:

Trong bài viết này, chúng tôi xem xét khối lượng hiệu dụng của điện tử (lỗ trống) trong siêu mạng, ký hiệu là m* Thế tuần hoàn của siêu mạng, được ký hiệu là η, được phân tích trong bối cảnh siêu mạng một chiều với thế tuần hoàn theo chiều z Bằng cách giải phương trình Schrodinger với thế tuần hoàn một chiều có dạng hình chữ nhật, chúng tôi thu được phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần.

 trong đó d là chu kì siêu mạng, n là thành phần véc tơ sóng theo trục z và được

Trong vùng Brillouin mini thứ nhất, n được xác định và thỏa mãn điều kiện d ≤ kη ≤ d Độ rộng của vùng mini thứ n, ký hiệu là Δn, được xác định bởi các tham số siêu mạng thông qua một biểu thức cụ thể.

Trong siêu mạng hợp phần, chu kỳ siêu mạng d được xác định bởi d0, độ rộng và độ sâu của hố thế cô lập Do cấu trúc tuần hoàn một chiều của siêu mạng, hàm sóng của điện tử trong mini vùng n là sự kết hợp của hàm sóng phẳng theo mặt phẳng (xy) và hàm Block theo trục siêu mạng Theo gần đúng liên kết mạnh, hàm sóng trong siêu mạng hợp phần có dạng đặc trưng.

 1 N d ψ  (r) = exp{i(k x x + k y y)} exp(ik Z jz)  n (z - jd) (1.3) n,k L x L y N d j=1 trong đó L x là độ dài chuẩn theo phương x, L y là độ dài chuẩn theo phương y, N d là số chu kì siêu mạng, n

(z) là hàm sóng của điện tử trong hố thế biệt lập.

Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong bán dẫn khối khi có mặt trường laser

1.2.1 Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong bán dẫn khối.

Ta có Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối là:

Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng:

Vế phải của (1.5) có tương ứng ba số hạng với toán tử Hamilton Ta lần lượt tính từng số hạng.

 0 do toán tử a, b la hai loại độc lập

 t thì chúng giao hoán với nhau.

Vậy phương trình (1.5) trở thành: i n p (t)

 a  a b p 1 p 2 q t Để giải (1.6) ta cần tính F p ,q 1 , p 2 (t) thông qua phương trình:

Vế phải của (1.7) chứa ba số hạng tương ứng ba số hạng của hàm Hamilton.

Ta lần lượt tính từng số hạng.

   a   a  b  b      a  a  a  p 1 , p pq 1 p 2 q 1 q q,q 1 p 1 p p 2 Đặt vào số hạng thứ ba ta được:

Thay các số hạng vào (1.7) ta được phương trình: i F p 1 , p 2 ,q (t)

Phương trình vi phân không thuần nhất (1.8) được giải bằng phương pháp biến thiên hằng số Trước hết ta giải phương trình vi phân thuần nhất tương ứng.

Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt tương tác phương trình vi phân thuần nhất có dạng: F p ,q 1 , p 2 (t  ) 

Do đó, nghiệm của phương trình vi phân không thuần nhất có dạng:

t Thay vào phương trình không thuần nhất và giải ra nghiệm ta được:

Thay (1.9) vào (1.6) ta đưa vào toán tử số hạt của điện tử và phonon ta được:

1 2 và áp dụng khai triển: exp(iz sin )

 ie t  ieE q ieE q  exp  mc  q A(t 1 )dt 1   exp   m o1 2 sin  1 t'sin  1 t      o m 2 sin  2 2 t'sin  2 t  

Thay kết quả này vào (1.10) và đưa vào thừa số e -δ(t-t’) (δ→ + 0) ta có:

Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố không cân bằng của điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt hai song điện từ

E 1 (t) và E 2 (t) Ta giải (1.11) bằng phương pháp xấp xỉ gần đúng lặp, ta xem n (t)  n p và tính các tích phân sau: p t  i         

Với các tích phân K1 và K2 đã tính ta được:

Mật độ dòng được cho bởi biểu thức: J (t)  e  p  e

J (t) mc p A(t)n p (t) pn (t) p p o A(t) mc pn (t) p p với  n p (t)  n o p

Ta xét số hạng thứ hai: e  pn  (t)

Thực hiện các bước chuyển đổi: q 

q, m  m và sử dụng tính chất hàm Bessel

 i Áp dụng công thức sau:

Lưu ý chỉ lấy phần thực của mật độ dòng J (t) , ta có: e 

Thay kết quả này vào biểu thức mật độ dòng (1.13) ta thu được:

Biểu thức véc tơ mật độ dòng (1.17) cho phép xác định hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu do điện tử giam cầm trong bán dẫn khối Biểu thức giải tích cho hệ số này được trình bày chi tiết dưới đây.

1.2.2 Tính hệ số hấp thụ

Ta có hệ số hấp thụ phi tuyến song điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối với giả thiết 

Với thế vectơ trường sóng điện từ: A(t) 

Ta tính số hạng thứ nhất.

 en 2 1 T  E c E c  o A(t)E o2 sin 2t o   o1 cos 1t  o 2 cos 2t E o2 sin 2tdt mc mc

 2 là chu kỳ của hai sóng điện từ T là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.

Sử dụng tích phân: sin(ax) cos(bx)dx cos( a  b ) x

Số hạng thứ hai trong phương trình (1.19) chứa thành phần cos[(kΩ1 + rΩ2)t] sẽ dẫn đến kết quả tích phân bằng không Do đó, ta có thể kết luận rằng eη ηη ηη.

0 kh i k 1  r 2   2 Lưu ý: sin (k1  r2 )t sin2tdt 

Thay (1.21) vao (1.18) ta được hệ số hấp thụ:

Từ biểu thức hàm Bessel:

Giới hạn gần đúng của hàm Bessel và sử dụng giả thiết

E o1  E o2 ta cho r=1; k=0 (thoả mãn giả thiết k 1  r 2   2 ) ta được:

Viết dãy theo k, l trong công thức (1.24) dễ thấy các thành phần ứng với s 1  m 2 

0 tương hỗ triệt tiêu Trong trường hợp khi  1 ,  2 lớn so với năng lượng trung bình điện tử (  p ) thì hàm trong (1.24) được viết lại là:

Từ đó ta tìm được thứ tự của  k  1/ 2 theo các giá trị của q.

Sử dụng điều kiện tần số phonon    p rút ra

 1,2  p với s là ms 2 tốc độ sóng âm Như vậy tổng theo p không còn phụ thuộc vào phần đối số của

, ta thực hiện lấy tổng

Xét tán xạ điện tử - phonon âm ta có:   và q

2 c  E v V  o 2 22 s 0 Áp dụng gần đúng: 1,2   p , ta có:

Xét trường hợp hấp thụ một photon của sóng điện từ yếu  2 chế gần đúng bậc hai của hàm Bessel ta có:

Hệ số chỉ tồn tại các giá trị và s thoả mãn: q 2        suy ra: q  q 2m  o

Lấy trung bình các phần tử ma trận trên các góc, ta thay thế: c  E v V  22 o 2 s 0

Bằng cách sử dụng phương trình động lượng tử và véc tơ mật độ dòng, chúng tôi đã phát triển một biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu do điện tử giam cầm trong bán dẫn khối Biểu thức này cho thấy sự phụ thuộc phi tuyến vào cường độ điện trường, tần số của sóng điện từ và nhiệt độ T của môi trường.

Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng hợp phần

Khảo sát hệ tương tác giữa điện tử và phonon trong siêu mạng hợp phần được thực hiện khi có sự xuất hiện của hai sóng điện từ Các sóng này được mô tả thông qua véc tơ cường độ điện trường E(t) = E01 sin(Ω1t) + E02 sin(Ω2t), trong đó E01 và E02 là các thông số quan trọng liên quan đến cường độ của từng sóng Nghiên cứu này góp phần làm rõ cơ chế tương tác trong các hệ vật liệu phức tạp, mở ra hướng đi mới cho các ứng dụng công nghệ trong tương lai.

1 tương ứng là biên độ điện tường và tần số vủa sóng điện từ yếu, 

E 02 và  2 tương ứng là biên độ và tần số của bức xạ laser, t là thời gian) Trong trường hợp gần ngưỡng có thế véc tơ tương ứng là

Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng hợp phần

 a  : Toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái n ,k 

 n, k  c  , c  : Toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái q q q

: Xung lượng của điện tử trong mặt phẳng vuông góc với trục của siêu mạng hợp phần.

 : Tần số của phonon âm. q

 : Thế vecto của trường điện từ.

(z)e iq z z dz : Thừa số dạng điện tử trong siêu mạng hợp phần.

  : Năng lượng của điện tử trong siêu mạng phợp phần. n,k 

: Hằng số tương tác điện tử-phonon cho trường hợp tán xạ điện tử-phonon âm. trong đó:

V O : Thể tích chuẩn hóa (chọn V O  1)

 : Hằng số điện biến dạng.

 : Mật độ tinh thể v s : Vận tốc truyền âm.

Xây dựng phương trình động lượng tử trong siêu mạng hợp phần

Gọi n  (t)  a   a  là số điện tử trung bình tại thời điểm t. n,k  n,k  n,k  t

Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần có dạng:

Ta đi xây dựng biểu thức tính hàm F(t) bằng cách viết phương trình động lượng tử cho nó:

Do a  n ,k   a  q n ,k  a  n ,k  a   n 2  1 nên ta bỏ qua số hạng này (2.10)

Trước hết ta đi giải phương trình vi phân thuần nhất sau:

Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt ln F    (t) t   0 , ta dễ dàng tính được n1,k 1 ,n2 ,k 2 ,q nghiệm của phương trình thuần nhất trên có dạng:

1 2 Để giải phương trình vi phân không thuần nhất trên ta dùng phương pháp biến thiên hằng số Đặt:

Thay (2.14) vào (2.11), thay (2.12), (2.13) vào (2.15) và đồng nhất số hạng của (2.11) và (2.15) ta được kết quả sau:

Thay (2.13) và (2.16) và (2.14) ta được kết quả sau: i t   

Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà

27 m c t 2  Đối với số hạng thứ nhất và thứ ba của (18) ta đổi chỉ số 

, số hạng thứ hai và thứ tư của (2.18) ta đổi chỉ số 

Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị

  n,k  n ,k  q q m c t 2  Toán tử số hạt của điện tử: n  (t )  a   a  n   (t )  a    a   n,k  2 n,k

Toán tử số hạt của phonon: N  q 

Do tính đối xứng mạng tinh thể nên 

Bỏ qua số hạng chứa c  c  và q q t c  c  q q t

Khi đó phương trình (19) được viết lại dưới dạng:

Ta xét thế véc tơ của trường điện từ trong trường hợp tồn tại hai sóng điện từ

  1 1  2  1 1 2   2  2 2 2  t 2 1 2 Áp dụng khai triển: exp izsin    

 exp ieq  E 01  sin   t   sin  sin   t   t    ieq  E 02 c   sin   t    

Thay vào trên ta được:

 ie t             exp - m  c  q A(t1)dt1   Jl  a 1 q  Js  a 1 q  Jm  a 2 q  J f  a 2 q  

Thay vào biểu thức (2.20) và thêm vào thừa số e   (tt 2

) thiết đoạn nhiệt của tương tác, ta được: với   0 xuất hiện do giả

Biểu thức (2.21) là phương trình động lượng tử trong siêu mạng hợp phần trong trường hợp điện tử bị giam cầm khi có mặt của hai sóng điện từ 

2 có biên độ và tần số lần lượt là 

E (t) E E 1 2 Để giải phương trình (21) một cách tổng quát rất khó khăn nên ta sử dụng phương pháp xấp xỉ gần đúng lặp bằng cách cho: n  (t 2 )  n 

Khi đó chú ý tới tích phân sau: t  i    

  1 2  Đặt: p=l-s nên l=p+s với p :   ; r=f-m nên f=m+r với r :   

Thay vào biểu thức (21) ta được: n  (t)    D 

Từ Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng hợp phần, chúng tôi đã xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần bằng cách sử dụng gần đúng lặp Phương trình (2.22) được thu nhận lần đầu tiên cho điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần, từ đó cho phép tính toán mật độ dòng và hệ số hấp thụ phi tuyến của sóng điện từ Những tính toán chi tiết sẽ được trình bày trong chương sau.

Tính hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần khi có mặt trường laser

Mật độ dòng của hạt tải trong siêu mạng hợp phần được cho bởi công thức: e   e   e 2  e  j  t 

Với thế véc tơ của trường điện từ là: A(t)  E

Nồng độ hạt tải trong siêu mạng là: n 0   n

Do điện tử bị giam cầm dọc theo trục z trong siêu mạng hợp phần, chúng ta chỉ xem xét vectơ dòng hạt tải trong mặt phẳng (x,y) Nồng độ hạt tải được mô tả qua công thức (2.23), dẫn đến việc xác định j ⊥ (t).

 và thay biểu thức thế véc tơ,

Xét số hạng cuối cùng của (2.23) và thay biểu thức của hàm phân bố (2.21) vào có: m  m c m e   e 2 2       

Trong biểu thức (2.25) ta đổi nhất và thứ hai ta được:

 m cho số hạng thứ e   e 2 2  exp -i  p 1  r 2  t 

Sử dụng tính chất của hàm

Thay vào (2.26) ta được: e   e 2 2  exp -i  p 1  r 2  t  

 n ,k  q n,k  q n ,k q  n,k  q  Áp dụng công thức: exp -i  p 1  r 2  t   cos   p 1  r 2  t   isin   p 1  r 2  t 

Chúng ta chỉ xem xét phần thực của mật độ dòng, trong đó có thành phần chứa cos(pΩ1 + rΩ2)t Khi thực hiện tích phân, kết quả thu được bằng không, do đó ta có e^η e^2 + ∞ sin(pΩ1 + rΩ2)t η.

    rồi sau đó lại tiếp tục đổi q    q  , s   s , m   m , n '  n cho số hạng đầu của (2.28) ta được: k k q  e  

1 2  Áp dụng tính chất của hàm Bessel J (x)  J (x)   1   J

(x) thì biểu thức (2.29) được viết lại: e  

Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần được cho bởi biểu thức:

Xét số hạng thứ nhất của (2.31) ta có: n e 2 T     sh1   0

 1 2  Thay (2.30) vào số hạng thứ hai của (2.31) ta có: sh2

Vậy với p 1  r 2   2 thì biểu thức (2.33) được viết lại là: sh2   e

Thay (2.32) và (2.34) vào (2.31) ta được biểu thức hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ:

Ta chọn r=1, p=0 thì điều kiện p 

1  r  2   2 được thỏa mãn và áp dụng tính chất của hàm

Xét trường tán xạ điện tử-phonon âm.

Hạn chế trong gần đúng bậc hai của hạm Bessel ta có:

Khai triển trong gần đúng của hàm

Xét trường hợp hấp thụ gần ngưỡng tức thỏa mãn s 1  m 2     

Ta có hàm phân bố điện tử không cân bằng:

Vậy hệ số hấp thụ có dạng:

2    s,m  m   (2.40) k , q     Thực hiện chuyển tổng thành tích phân:

 dk dk dq dq dq I ' (q )  n

Thay (2.42a), (2.42b) và (2.42c) vào (2.41) ta được: m  n 

 đồng thời chuyển sang tọa độ cực thì biểu thức (2.43) trở thành:

   2 Áp dụng công thức:  x 1 exp  -   x  dx  2  K   2 

Tương tự ta xét tổng:

Thực hiện chuyển tổng thành tích phân rồi chuyển sang tọa độ cực ta được:

Ta có: cos2      cos2      d   cos2

Vậy ta được kết quả: q

Tương tự ta xét tổng:

Thực hiện các bước biến đổi hoàn toàn như đối với hai tồng trên ta được kết quả:

Vậy ta được biểu thức hệ số hấp thụ:

Công thức tính hệ số hấp thụ sóng điện từ α trong siêu mạng hợp phần phụ thuộc vào cường độ điện trường, độ dài, tần số và nhiệt độ T đặc trưng cho siêu mạng hợp phần Các biểu thức liên quan đến D, H và G được xác định theo các công thức (2.46), (2.49) và (2.51).

Chúng tôi trình bày kết quả khảo sát số cho siêu mạng hợp phần GaAs - Al0.3Ga0.7As, trong đó hệ số hấp thụ đạt giá trị 2.52 gần ngưỡng Cơ chế tán xạ điện tử-phonon âm được xem như một hàm số phụ thuộc vào các yếu tố liên quan.

1 c tham số nhiệt độ, cấu trúc Các tham số được sử dụng trong khảo sát là:    10.9;

; với mo là khối lượng của điện tử tự do, d4A o là chu kỳ của siêu mạng.

Chúng tôi cũng tiến hành khảo sát sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào năm tham số khác nhau cụ thể như sau:

Hình 3.1: sự phụ thuộc của hệ số hấp hấp thụ vào nhiệt độ.

Hệ số hấp thụ phụ thuộc vào nhiệt độ, với vùng ảnh hưởng mạnh từ 200K đến 320K Từ khoảng 365K trở lên, hệ số hấp thụ bắt đầu nhận giá trị âm.

Hình 3.2: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào cường độ sóng điện từ yếu Eo1.

Khi nhiệt độ dưới 365K, hệ số hấp thụ có giá trị dương và tỉ lệ thuận với biên độ sóng điện từ yếu Ngược lại, khi nhiệt độ vượt qua 365K, hệ số hấp thụ trở thành âm và tỉ lệ nghịch với biên độ sóng điện từ yếu.

Hình 3.3 sự phụ thuộc hệ số hấp thụ vào chiều dài siêu mạng

Mỗi giá trị nhiệt độ đều có một điểm cực đại, nơi hiệu ứng thể hiện rõ nhất Tại cùng một nhiệt độ, hệ số hấp thụ có thể nhận cả giá trị âm và dương, cho thấy hệ số hấp thụ đã chuyển thành hệ số gia tăng, điều này tạo ra sự khác biệt so với các loại bán dẫn thông thường.

Hình 3.4: Sự phụ thuộc hệ hấp thụ vào năng lượng sóng điện từ yếu.

Hệ số hấp thụ của vật liệu bị ảnh hưởng bởi năng lượng sóng điện từ yếu, với sự tỉ lệ nghịch khi nhiệt độ dưới 365K, cho giá trị dương Ngược lại, khi nhiệt độ vượt quá 365K, hệ số hấp thụ tỉ lệ thuận với năng lượng sóng điện từ yếu và cho giá trị âm.

Hình 3.5: Ảnh hưởng của trường bức xạ laser lên hệ số hấp thụ.

Hình 3.5 cho thấy mối quan hệ giữa trường laser và hệ số hấp thụ Hệ số hấp thụ có giá trị dương tỉ lệ nghịch với năng lượng sóng điện từ mạnh, trong khi giá trị âm lại tỉ lệ thuận Tại mỗi nhiệt độ xác định, hệ số hấp thụ chỉ có thể nhận một trong hai giá trị: dương hoặc âm.

Định dạng
Số trang	162
Dung lượng	584,85 KB