Tớnh trự mắt
Không gian C[a, b] là tập hợp các hàm liên tục trên khoảng hữu hạn (a, b), với tính liên tục tại điểm a và b Không gian này có tích vô hạn cho bãi.
( f , g) = ∫ b f (x)g ∗ (x)dx,f , g ∈ C[a, b], ó đú g ∗ (x) là liờn hap phỳc cua g(x) Cho D(L) là tắp con cua C[a, b] xỏc đ%nh bãi
Đối với hàm BC b (y) = y(b)cos(β) + y J (b)sin(β) = 0 (α, β ∈ R), không gian C 2 [a, b] bao gồm các hàm giá trị thực, khả vi liên tục cấp hai trong khoảng (a, b) và khả vi liên tục cấp hai bên phải tại a và bên trái tại b Điều này dẫn đến một khẳng định quan trọng trong phân tích hàm số.
Bo đe 1.1.1 ([2]) D(L) là trự mắt trong khụng gian C[a, b] vỏi chuan cóm sinh tn tích vô hưáng. a
M®t so đ%nh lý cua phương trình vi phân thưàng
1.2 M®t so đ%nh lý cúa phương trình vi phân thưàng
Bo đe 1.2.1 (Công thúc Liouville) ([4]) Xét phương trình y JJ (x) + p(x)y J (x) + q(x)y(x) = 0, vỏi p(x), q(x) ∈ C[a, b] Gió su y 1(x) và y 2(x) là hai nghiắm cua phương trình.
Khi đó đ%nh thnc W{y 1, y 2 }(x) = y 1(x)y J (x) − y J (x)y 2(x) Wronskian cua
2 1 y 1(x) và y 2(x) đưac cho bãi công thnc Liouville:
W{y 1, y 2 }(x) = c.exp ∫ x p(t)dt Σ ∀x ∈ [a, b], (1.2.1) vái c là hang so.
Bo đe 1.2.2 (Bất đẳng thức Gronwall dạng vi phân) nêu rằng cho hàm không âm η(.) liên tục trên đoạn [0, T], nếu thỏa mãn bất đẳng thức vi phân η j (t) ≤ φ(t)η(t) + ψ(t) với φ(t) và ψ(t) là các hàm không âm liên tục trên [0, T], thì ta có kết quả η(t) ≤ e ∫ t φ(r)dr [η(0) + ∫ t 0 ψ(s)ds] cho mọi t trong khoảng [0, T].
Bo đề 1.2.3 trình bày về một phương trình tích phân liên quan đến hàm không âm ξ(t) trên khoảng [0, T], thỏa mãn điều kiện ξ(t) ≤ C ∫ t ξ(s)ds + C với các hằng số C1, C2 ≥ 0 Kết quả cho thấy ξ(t) ≤ C2(1 + C1 te^(C1 t)) trong khoảng 0 ≤ t ≤ T Định lý 1.2.1 khẳng định tính tồn tại và duy nhất của nghiệm cho bài toán Cauchy với hàm q(x) liên tục trên đoạn [a, b], cho mọi α ∈ R và λ ∈ C, với phương trình y''(x) + (λ - q(x))y(x) = 0 và điều kiện biên ϕ(x0, λ) = sin(α), ϕ'(x0, λ) = -cos(α), với x0 thuộc [a, b].
(1.2.2) cú mđt nghiắm duy nhat ϕ(x, λ), x ∈ [a, b] Vỏi mői x co đ%nh thuđc [a, b] hàm ϕ(x, λ) là mđt hàm nguyờn cua λ, tnc là hàm chinh hỡnh trờn toàn mắt phang phnc C.
M®t so đ%nh lý cua giãi tích phúc
Định lý 1.3 M®t so đ%nh lý cúa giái tích phúc f(z) thuộc H(Ω) là một hàm chính hình trong miền Ω ⊂ C Nếu f(z) thỏa mãn Đ%nh lý 1.3.1 (Đ%nh lý duy nhất của hàm chính hình), thì f(z) đồng nhất bằng 0 trong miền này.
Ω trên m®t dãy cua các điem khác nhau mà dãy này có m®t điem giái han trong
Hắ quỏ 1.3.2 Mđt hàm nguyờn (hàm chinh hỡnh trờn C) khụng đong nhat bang 0 chi có nhieu nhat đem đưac không điem.
Bo đề 1.3.1 nêu rõ rằng hàm phức f(z) là hàm chính hình tại điểm z₀, với z₀ là một điểm không có đặc điểm bậc m của f(z) Khi đó, f'(z)/f(z) trở thành hàm phân hình tại z₀, và z₀ được coi là điểm đơn và thắng dư của f'(z)/f(z) tại điểm z₀ là Res(f'(z)/f(z), z₀) Hằng đẳng thức 1.3.3 (Nguyên lý Argument) chỉ ra rằng nếu f(z) thuộc H(Ω) là hàm chính hình trong miền Ω ⊂ C, và γ là đường cong đóng, đơn, trơn, có hướng dương, với phần trong của nó nằm hoàn toàn trong Ω, thì nếu f không có không điểm nào nằm trên γ, số không điểm của f (tính cả bờ) bên trong γ sẽ được xác định.
1 2π i f J (z) dz. γ f (z) Đ%nh lý 1.3.4 (đ%nh lý Rouche) ([3]) Cho f , g ∈ H(Ω) và γ là m®t đưàng cong đóng, đơn, trơn tnng khúc, đ%nh hưáng dương sao cho phan trong cua nó nam trong
Khi đó f và g có cùng so không điem tính cã b®i bên trong γ.
1.4 M®t so ket quá ve tích phân
Bo đe 1.4.1 ([1]) Neu f (x) ∈ C[a, b], g(x) đơn điắu trờn [a, b] Khi đú ton tai ξ ∈ [a, b] sao cho
Hắ quỏ 1.4.1 (đ%nh lý giỏ tr% trung bỡnh dang Bonnet) ([1]) Cho f (x) thu®c C[a, b].
M®t so ket quã ve tích phân
1.Neu g(x) 0 và g(x) đơn điắu tăng trờn [a, b] thỡ ton tai ξ [a, b] sao cho
2.Neu g(x) 0 và g(x) đơn điắu tăng trờn [a, b] thỡ ton tai ξ [a, b] sao cho
3.Neu g(x) 0 và g(x) đơn điắu gióm trờn [a, b] thỡ ton tai ξ [a, b] sao cho
4.Neu g(x) 0 và g(x) đơn điắu gióm trờn [a, b] thỡ ton tai ξ [a, b] sao cho
Bo đe 1.4.2 ([12]) Giã su f ∈ L(R) Khi đó vái MQI G > 0 ton tai δ > 0 sao cho
Cho σ 1(λ), σ 2(λ), ã ã ã là mđt dóy vụ han cua cỏc hàm đơn điắu khụng giãm Sau đây là các đ%nh lý lna CHQN Helly, chúng đưac dùng trong chương
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xác định hàm đơn điệu trên khoảng đóng hữu hạn [a, b] Giả sử rằng, tất cả các hàm đều liên tục trái, tức là σ_n(λ) = σ_n(λ) Nếu dãy hàm σ_n(λ) hội tụ tại một điểm nào đó, thì hàm σ(λ) sẽ liên tục Định lý Helly thứ nhất khẳng định rằng nếu dãy hàm và một dãy con σ_nk(λ) hội tụ tại điểm tái σ(λ) có MQI điểm mà σ(λ) liên tục, thì điều này là đúng Định lý Helly thứ hai chỉ ra rằng cho khoảng [a, b] và hàm f liên tục trên [a, b], nếu dãy hàm σ_n(λ) là dãy đơn điệu không giới hạn xác định trên [a, b] hội tụ tới hàm σ(λ), thì tại các điểm liên tục của σ(λ), nếu thêm điều kiện lim σ_n(a) = σ(a) và lim σ_n(b) = σ(b) khi n→∞, ta có thể kết luận về giới hạn tích phân ∫ b f.
Định lý lna CHQN Helly tổng quát hóa các hàm đơn điệu không giới hạn σ n (λ) xác định trên khoảng (-∞, +∞) Theo định lý 1.4.4, nếu hàm đơn điệu không giới hạn σ(λ) được xác định trên (-∞, +∞), thì sẽ tồn tại những điểm mà
M®t so ket quã ve tích phân cho thấy rằng nếu σ(λ) và f(λ) là hai hàm liên tục trên (-∞, +∞), thì với bất kỳ G > 0, tồn tại một số A = A(G) sao cho với mọi MQI a, b > A và MQI n, ta có kết quả cần thiết.
Khai trien trên khoáng huu han
Giỏi thiắu và mđt so tớnh chat
Toán tu Sturm-Liouville là m®t toán tu vi phân thưàng L có dang d 2
L = dx 2 +q(x), trong đó q(x) là hàm giá tr% thnc liên tnc trên đoan huu han [a, b] Toán tu tuyen tính L tác đ®ng lên không gian hàm như sau
Trong đó mien xác đ%nh cua toán tu L là D(L) cho bãi:
BC b (y) = y(b)cos(β) + y J (b)sin(β) = 0, (α, β ∈ R). Đ%nh nghĩa 2.1.1 Neu có m®t hàm khác hàm không y(x) ∈ D(L) sao cho Ly(x) = λy(x) vái λ ∈ C nào đó thì ta nói λ là giá tr% riêng cua
L và hàm y(x) được GQI là hàm riêng với giá trị riêng λ Tập hợp các giá trị riêng của L được GQI là phổ điểm của L, ký hiệu là σp(L) Một giá trị riêng λ được GQI là đơn nếu hai hàm riêng bất kỳ tương ứng với nó là phân thuộc tuyến tính.
2.1 Giỏi thiắu và mđt so tớnh chat 12
Bo đe 2.1.1 (công thúc Green) ([9]) Neu f , g ∈ C 2 [a, b] thì ta có công thnc
Chnng minh Su dnng tích phân tùng phan hai lan ta đưac b (L f )(x)g ∗ (x)dx a
%nh lý 2.1.1 ([9]) L là toỏn tu đoi xnng , tnc là D(L) trự mắt trong C[a,b] và vỏi
Chnng minh Vì f , g ∈ D(L) nên W{f,g*}(a)=W{f,g*}(b)=0 Tù công thúc
Để chứng minh tính chất của các giá trị riêng khác nhau trong không gian vector, ta cần xem xét mối quan hệ giữa các hàm riêng tương ứng với các giá trị riêng λ1 và λ2 Các giá trị riêng này đóng vai trò quan trọng trong việc xác định các hàm riêng của toán tử L, và các hàm riêng này sẽ là nghiệm của phương trình đặc trưng Việc hiểu rõ các hàm riêng và giá trị riêng sẽ giúp chúng ta phân tích sâu hơn về các đặc điểm của toán tử trong không gian vector.
Chnng minh Giã su y(x, λ) là m®t hàm riêng úng vái giá tr% riêng λ Tù tính đoi xúng cua L ta có:
Cũng tù tính đoi xúng ta có: λ ∫ b y(x, λ
2.1 Giỏi thiắu và mđt so tớnh chat 13
Vỡ vắy neu λ 1 ƒ= λ 2 thỡ b y(x, λ 1)y(x, λ 2) ∗ dx = 0.
Tự đ%nh lý 1.2.1 ta GQI ϕ(x, λ) và ψ(x, λ) là hai nghiắm cua cựng phương trỡnh y JJ (x) + (λ − q(x))y(x) = 0 thừa món cỏc đieu kiắn Cauchy như sau: ϕ(0, λ) = sin(α), ϕ j (0, λ) = − cos(α); ψ(π, λ) = sin(β), ψ j (π, λ) − cos(β).
Khi đú ϕ(x, λ) và ψ(x, λ) thừa món BC 0(ϕ) = BC π (ψ) = 0 Kớ hiắu
W(λ) = ϕ(x, λ)ψ j (x, λ) − ψ(x, λ)ϕ j (x, λ) (2.1.3) là Wronskian cua ϕ(x, λ) và ψ(x, λ) Tù công thúc cua Liouville ta có
Wron- skian cua ϕ(x, λ) và ψ(x, λ) không phn thu®c vào x chi phn thu®c λ Thay x = 0 và x = π vào phương trình (2.1.3) ta đưac:
W(λ) = −BC 0(ψ) = BC π (ϕ) (2.1.4) Vái mői x co đ%nh ϕ(x, λ) và ψ(x, λ) là hàm nguyên theo λ do đó
Hàm W(λ) có thể được xác định qua định lý 2.1.3, trong đó G QI {λ n } ∞ là tập hợp các khuyết điểm của hàm nguyên W(λ) Tập hợp này chứa các giá trị riêng của toán tử Sturm-Liouville σ p (L) = {λ n } ∞ Đối với mỗi giá trị riêng λ n, các hàm ϕ(x, λ n ) và ψ(x, λ n ) là các hàm riêng tương ứng với giá trị riêng λ n, và tồn tại một dãy β n ≠ 0 sao cho ψ(x, λ n ) = β n ϕ(x, λ n ).
Chứng minh rằng cho λ₀ là một không điểm của W(λ), tồn tại β₀ ≠ 0 sao cho ψ(x, λ₀) = β₀ ϕ(x, λ₀) với mọi x ∈ [a, b] Do đó, các hàm ψ(x, λ₀) và ϕ(x, λ₀) là các hàm riêng tương ứng với giá trị riêng λ₀ Khi đó, điều kiện biên BC a (y₀) = BC b (y₀) phải được thỏa mãn Ngược lại, nếu λ₀ là một giá trị riêng của toán tử Sturm-Liouville, y₀ sẽ là một hàm riêng tương ứng.
Xét trường hợp hàm số y 0(0) ƒ= 0 và y 0(0) = 0, ta có y J (0) = 0 theo định lý tồn tại duy nhất Khi y 0 đồng nhất với y 0(0) = sin(α), thì y J (0) sẽ bằng -cos(α) Theo định lý tồn tại duy nhất, mâu thuẫn với y 0 là hàm riêng Do đó, nếu nhân với hằng số cần thiết, ta có thể viết y 0(x) = ϕ(x, λ 0).
Vỏi cỏc đieu kiắn biờn khỏc lắp luắn tương tn. a
2.2 Cụng thnc tiắm cắn cho cỏc giỏ tr% riờng và hàm riêng
)dx, (2.1.6) vái λ n là m®t giá tr% riêng cua toán tu Sturm-Liouville Khi đó vái mői n đang thnc sau xãy ra β n α n = −W J (λ n ), (2.1.7) trong đó β n đ%nh nghĩa như trong (2.1.5) và W J (λ) = d
W(λ) Khi đó ta λ thay các không điem cua W(λ) là không điem đơn.
−ψ jj (x, λ) + q(x)ψ(x, λ) = λψ(x, λ), −ϕ jj (x, λ n ) + q(x)ϕ(x, λ n ) = λ n ϕ(x, λ n ), nên ta có: d W{ψ(x, λ), ϕ(x, λ n )} = (λ − λ n )ψ(x, λ)ϕ(x, λ n ).
Lay tích phân đang thúc trên ta đưac:
Su dnng (2.1.5) và (2.1.6) ta thu đưac (2.1.7) Ta có W J (λ n ) ƒ= 0 do α n , β n ƒ= 0 Vỡ vắy λ n là khụng điem đơn cua W(λ).
Cụng thỳc tiắm cắn cho cỏc giỏ tr% riờng và hàm riờng
2.2 Cụng thnc tiắm cắn cho cỏc giỏ tr% riờng và hàm riêng
15 Đắt cot(α) = −h, cot(β) = H, khi đú d 2
Điều kiện biên được xác định bởi BC 0(y) = y J (0) − hy(0) và BC π (y) = y J (π) + Hy(π) Trong đó, khi H ƒ= ∞, G QI ϕ(x, λ) và ψ(x, λ) là các nghiệm của phương trình y JJ (x) + (λ − q(x))y(x) = 0 Các điều kiện ban đầu được đặt ra là ϕ(0, λ) = 1, ϕ j (0, λ) = h; và ψ(0, λ) = 0, ψ j (0, λ) = 1 Do đó, ϕ(x, λ) và ψ(x, λ) sẽ thỏa mãn các ràng buộc đã nêu.
Bo đe 2.2.1 ([9]) Cho λ = s 2 Khi đó ϕ(x, λ) = cos(sx) + h sin(sx) + 1
Chnng minh Ta đi chúng minh ràng bu®c (2.2.6) Do ϕ(x, λ) thõa mãn 0 phương trình (2.2.3) nên x x sin{s(x − τ)}q(τ)ϕ(τ, λ)dτ 0 0 sin{s(x − τ)}ϕ jj (τ, λ)dτ x
Su dnng tích phân tùng phan hai lan ta có: x sin{s(x − τ)}ϕ jj (τ, λ)dτ
Tù đó ta thu đưac ràng bu®c (2.2.6) Ràng bu®c (2.2.7) đưac chúng minh tương tn.
Mắnh đe 2.2.1 ([9]) Cho s = σ + it Khi đú cú s 0 > 0 sao cho vỏi |s| > s 0 ta có các ưác lưang: chính xác hơn ϕ(x, λ) = O(e |t|x ), ψ(x, λ) = O(|s| −1 e |t|x ), (2.2.8) ϕ(x, λ) = cos(sx) + O(|s| −1 e |t|x ), (2.2.9) ψ(x, λ) = sin ( sx )
+ O(|s| −2 e |t|x ), (2.2.10) các ưác lưang này xãy ra đeu theo x ∈ [0, π].
Chnng minh Đắt ϕ(x, λ) = e |t|x F(x, λ) Khi đú tự (2.2.6) ta cú:
| 0 | Áp dnng bat đang thúc Gronwall dang tích phân ta có:
Lay s 0 = max{|h|, π sup τ∈[0,π] |q(τ)|}, khi đó vái |s| > s 0 ta có:
Tiep theo ta đi chỳng minh (2.2.8) vỏi hàm ψ(x, λ) Ta đắt ψ(x, λ) = |s| −1 e |t|x f (x, λ).
Vỡ vắy, ta đưac f (x, λ) = | s | sin(sx)e −|t|x + 1
0 | Áp dnng bat đang thúc Gronwall dang tích phân ta đưac: π
Lay s 0 = π sup τ∈[0,π] |q(τ)|, vái |s| > s 0 ta có: | f (x, λ)| ≤ 1 + e Do đó ta đưac f (x, λ) = O(1), nên ψ(x, λ) = O(|s| −1 e |t|x ).
Thay (2.2.8) vào (2.2.6) ta đưac (2.2.9) Thắt vắy, tự (2.2.6) ta cú: ϕ(x, λ) − cos(sx) = h sin(sx) + 1
Tóm lai ϕ(x, λ) − cos(sx) = O(|s| −1 e |t|x ) đeu theo x M®t cách tương tn thay (2.2.8) vào (2.2.7) ta đưac (2.2.10).
Sau đây là định lý chính của mạch này, chúng tôi đưa ra công thức tiệm cận cho các giá trị riêng và hàm riêng của toán tử Sturm-Liouville Định lý 2.2.1 (Công thức tiệm cận) liên quan đến toán tử Sturm-Liouville.
L = −d 2 /dx 2 + q(x) vái D(L) = {y ∈ C 2 [0, π] : BC 0(y) = BC π (y) = 0} f x, 1 sup| s|
Ngoài ra, ta có: τ và giã thiet q(x) là hàm thnc liên tnc trên [0, π] và h, H ƒ= ∞ Khi đó (L,
D(L)) s n = λ n gan n, chính xác hơn cú mđt tắp đem đưac cỏc giỏ tr% riờng {λ n } n≥0 sao cho vỏi n đu lỏn cú đúng m®t s n = √ λ n = n + O 1 Σ (2.2.11)
Neu giã thiet manh hơn, q(x) là hàm thnc khã vi liên tnc cap m®t trên [0, π] ta cú cụng thnc tiắm cắn tot hơn s n = √ λ n = n + c
+ O 1 Σ (2.2.12) trong đó c = h + H + h 1 vái h 1 = 1 ∫ π q(τ)dτ Ngoài ra, ta cú cụng thnc tiắm cắn cho cỏc hàm riờng đó đưac chuan húa như sau v n (x) = 2
cos(nx) + β ( x ) s i n ( n x ) Σ + O 1 Σ , (2.2.13) π n n 2 trong đó β(x) = −cx + h + 1 ∫ x q(τ)dτ.
Chnng minh Nhac lai, hàm ϕ(x, λ) là nghiắm cua phương trỡnh (2.2.3) thừa món đieu kiắn ban đau (2.2.4) do đú ϕ(x, λ) thừa món BC 0(ϕ(x, λ)) = 0.
Tù đ%nh lý 2.1.3 các giá tr% riêng cua toán tu Sturm-Liouville là không điem cua
W(λ) = BC π (ϕ(x, λ)) = ϕ x (π, λ) + H ϕ(π, λ) = 0 (2.2.14) Vái x = π, (2.2.9) trã thành: ϕ(π, λ) = cos(sπ) + O(|s| −1 e |t|π ) (2.2.15) Đao hàm (2.2.6) theo x ta đưac: ϕ (x, λ) = −s sin(sx) + h cos(sx) + ∫ x cos{s(x − τ)}q(τ)ϕ(τ, λ)dτ.
(2.2.16) Thay (2.2.9) vào (2.2.16) và su dnng tích phân tùng phan ta đưac: ϕ x (x, λ) = − s sin(sx) + q 1(x) cos(sx)+
The (2.2.15) và (2.2.17) (lay tai x = π) vào (2.2.14) ta đưac:
1/4 co đ%nh Vái MQI s ∈ G δ , s = σ + it, ta se chúng minh rang ton tai C δ
Do | sin(sπ)| = | sin(s ∗ π)| và | sin(sπ)| = | sin{(s + 1)π}| nên ta chi can chỳng minh (2.2.19) trờn tắp
, 1 Σ , t ≥ 0}. Đắt η(s) = |e |t|π / sin(sπ)|, vỏi s ∈ D δ mà t ≤ 1 ta cú η(s) là hàm liờn tnc trờn tắp compact nờn b% chắn trờn đú, vỡ vắy |η(s)| ≤ C δ Vỏi t ≥ 1 ta có e |t|π
1 − e −2tπ ≤ 4. sau đây: (vái t 0 ∈ [0, π] bat kì ) Như vắy ta đó chỳng minh (2.2.19) Tiep theo ta de thay cỏc bat đang thỳc
Do đó vái s ∈ G δ ta có:
| cos(sπ)| ≤ C δ | sin(sπ)| và | cos{s(π − 2t 0)}| ≤ C δ | sin(sπ)|.(2.2.20) Như vắy tự (2.2.18), (2.2.19), (2.2.20) vỏi s ∈ G δ ta cú:
Trong s-phang xét các đưàng tròn γ n := {s : |s| = n + 1/2} Vái δ 0 cho mọi x ∈ [a, b] Đạo hàm của các biểu thức này theo x cho ra kết quả r'J(x) = (1 − q(x))r(x) sin θ(x) cos θ(x) và θ'J(x) = cos² θ(x) + q(x) sin² θ(x) Với mỗi nghiệm không tam thức ϕ(x) của biểu thức (2.3.1), ta có mối quan hệ với các nghiệm r(x) và θ(x) từ (2.3.4) và (2.3.5) Vì r(x) > 0 nên ϕ(x) = r(x) sin θ(x) = 0 chỉ xảy ra khi θ(x) là bội nguyên của π.
Tù (2.3.2) và (2.3.3) ta có: y(x) cos θ(x) − y J (x) sin θ(x) = 0 (2.3.6)
Tự đú ta cú nhắn xột:
Mđt nghiắm khụng tam thưàng y(x) cua (2.3.1) thừa món đieu kiắn biờn
BC a (y) = y(a) cos(α) + y J (a) sin(α) = 0 (2.3.7) khi và chi khi θ(a) = −α + kπ, k ∈ Z. Đ%nh lý 2.3.1 (đ%nh lý so sánh) ([4]) Cho L j y = y JJ + q j (x)y, (j = 1, 2), giã su rang q j (x), (j = 1, 2) là các hàm thnc liên tnc trên [a, b] sao cho q 2(x)
2) Vỏi mői ϕ j (j = 1, 2) cho ta mđt nghiắm (r j , θ j ) cua hắ (2.3.4), (2.3.5) trong đó q(x) đưac thay bãi q j (x) Giã su, θ j (j = 1, 2) đưac c HQN thõa mãn θ 2(a) ≥ θ 1(a) Khi đó: θ 2(x) ≥ θ 1(x), a ≤ x ≤ b (2.3.8)
Ngoài ra, neu q 2(x) > q 1(x) trên (a, b) thì θ 2(x) > θ 1(x), a < x ≤ b (2.3.9)
Chúng ta cần chứng minh rằng hàm g(x) = θ1(x) - θ2(x) không dương trong khoảng [a, b] Giả sử tồn tại một điểm c trong khoảng (a, b) sao cho g(c) > 0 Xét tập S = {x ∈ [a, c] : g(x) ≤ 0}, tập S là một tập không rỗng và chứa a Do đó, trong tập S, tồn tại một điểm x1 sao cho g(x1) = 0 và g(x) > 0 với mọi x thuộc (x1, c].
Ta có θ j (x) = cos 2 θ j (x) + q j (x) sin 2 θ j (x), (j = 1, 2) Do đó (vái j = 1, 2)
Ta có | sin θ 2(s) − sin θ 1(s)| ≤ |θ 2(s) − θ 1(s)| = |g(s)| Vái s ∈ (x 1, c] ta có g(s) > 0 và đắt L = 2 sup{|1 − q 1(s)| : s ∈ [a, b]} tự (2.3.10) ta đưac: g(x) L x g(s)ds, x x 1 < x ≤ c (2.3.11)
Theo bat đang thúc Gronwall ta phãi có g(x) ≤ 0 trên (x 1, c] ,mâu thuan.
Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng nếu (2.3.9) không xảy ra, thì tồn tại x₀ > a sao cho θ₁(x₀) = θ₂(x₀) Khi đó, ta khẳng định rằng θ₁(x) = θ₂(x) với x ∈ [a, x₀] (2.3.12) Để đơn giản, đặt x = x₀ - ξ với 0 ≤ ξ ≤ x₀ - a Khi đó, ta có x ∈ [a, x₀] và định nghĩa η₁(ξ) = θ₁(x) = θ₁(x₀ - ξ), ξ ∈ [0, x₀ - a], j = 1, 2.
Khi đó ta có (j=1,2) η j (ξ) = −cos 2 η j (ξ) − q j (x 0 − ξ) sin 2 η j (ξ).
Ta có η 1(0) = θ 1(x 0) = θ 2(x 0) = η 2(0) và −q 2(x 0 − ξ) ≤ −q 1(x 0 − ξ) vỏi ξ ∈ [0, x 0 − a] Do đú lắp lai chỳng minh trưỏc ta phói cú η 1(ξ)
Mắt khỏc ta đó cú θ 2(x) ≥ θ 1(x) vỏi x ∈ [a, b] Do đú ta đưac θ 2(x) θ 1(x) trờn [a, x 0] Như vắy ta đó chỳng minh neu (2.3.9) khụng xóy ra thỡ
(2.3.12) phói xóy ra Mắt khác ta có
Do đó, neu su dnng (2.3.12) vái x ∈ [a, x 0] thì 0 = (q 2(x) − q 1(x)) sin 2 θ 2(x). Khi đó ta có: j
1 neu q 2(x) > q 1(x) thì θ 2(x) = θ 1(x) = kπ, k ∈ Z vái MQI x ∈ [a, x 0] Khi đó trên [a, x 0] ta có θ j (x) = 0 ƒ= 1 = cos 2 (θ j (x)) + q j (x) sin 2 (θ 1(x)).
Mâu thuan này chúng minh (2.3.9). Đ%nh lý 2.3.2 (đ%nh lý so sánh Sturm) ([4]) Ta xét hai phương trình trên đoan
Trong khoảng [a, b], chúng ta có hai phương trình vi phân JJ + q 1(x)y = 0 và JJ + q 2(x)y = 0, với q 1(x) và q 2(x) là các hàm liên tục và q 2(x) ≥ q 1(x) Các nghiệm phi (ϕ(x)) và psi (ψ(x)) của phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai không thể đồng thời tồn tại Nếu ϕ(x) có k điểm cực tiểu tại các điểm x 1, x 2 trong [a, b], thì ψ(x) sẽ có ít nhất một điểm cực tiểu trong khoảng [x 1, x 2] Hơn nữa, nếu ϕ(x) có k ≥ 2 điểm cực tiểu không nằm trong [x 1, x 2] (bao gồm cả hai đầu mút), thì ψ(x) sẽ có ít nhất k − 1 điểm cực tiểu không nằm trong khoảng [x 1, x 2].
Chnng minh Các hàm θ j (x) thõa mãn các phương trình vi phân θ j = cos 2 θ j (x) + q j (x) sin 2 θ j (x).
Vỡ vắy vỏi x k mà θ j (x k ) = kπ, k ∈ Z ta cú θ j (x k ) > 0 Do đú cỏc hàm θ j (x k ) đơn điắu tăng tai nhung x k mà θ j (x) = kπ, k ∈ Z Hắ quó là vỏi x
Ta có ϕ(x 1) = 0 dẫn đến sin θ 1(x 1) = 0, từ đó suy ra θ 1(x 1) = mπ với m ∈ N Tương tự, ϕ(x 2) = 0 cũng cho sin θ 1(x 2) = 0, và ta có θ 1(x 2) = mπ Qua phép biến đổi, ta có θ 2(x 1) ∈ [0, π), do đó theo định lý 2.3.1, θ 2(x 2) ≥ θ 1(x 2) = mπ (với m ≥ 1) Vì vậy, với x ∈ [x 1, x 2] mà θ 2(x) = π, hàm ψ(x) có một không điểm trong khoảng [x 1, x 2] Nếu ϕ(x) có k không điểm trong [x 1, x 2] (bao gồm cả hai đầu mút), thì m = k −.
1 Trong đoan [x 1, x 2] ta có θ 2(x) là b®i nguyên cua π ít nhat k − 1 lan, do đó ψ(x) có ít nhat k − 1 không điem trong [x 1, x 2].
Bài viết này sẽ áp dụng các định lý so sánh để chứng minh sự tồn tại của một dãy tăng vô hạn các giá trị riêng của toán tử Sturm-Liouville Cụ thể, chúng ta sẽ xem xét phương trình JJ + (λ − q(x))y = 0 trong khoảng a ≤ x ≤ b.
Cho ϕ(x, λ) là nghiắm cua phương trỡnh (2.3.13) thừa
Cauchy: ϕ(a, λ) = sin(α), ϕ(x, λ) = − cos(α). món đieu kiắn
Xét phép đői bien tQA đ® cnc như trong (2.3.3), tù (2.3.5) ta có: θ j (x) = cos 2 θ(x) + (λ − q(x)) sin 2 θ(x) (2.3.17)
GQI θ(x, λ) là nghiệm của phương trình (2.3.17) với điều kiện ban đầu θ(a, λ) = γ, trong đó γ = −α + kπ và k ∈ Z, đảm bảo γ ∈ [0, π) Hàm θ(x, λ) tồn tại duy nhất cho mỗi x trong khoảng [a, b], và nó là hàm liên tục theo x, θ, λ, cũng như khả vi liên tục theo θ và λ Theo định lý so sánh 2.3.1, hàm θ(x, λ) là đơn điệu tăng theo λ cho mọi x ∈ (a, b].
Tiep theo ta ký hiắu x n (λ) là khụng điem thỳ n cua ϕ(x, λ) trong khoóng (a, b) neu nó ton tai Ta có bő đe sau đây.
Bo đe 2.3.1 ([11]) Vái bat kì n ≥ 1 và λ đu lán, x n (λ) ton tai và x n (λ) → a λ → ∞ khi
Chnng minh Đắt q M := max{q(x) : x ∈ [a, b]} Ta se ỏp dnng đ%nh lý so sỏnh Sturm cho phương trỡnh (2.3.13) và phương trỡnh hắ so hang dưỏi đây y JJ + (λ − q M )y = 0 (2.3.18)
Tù đ%nh nghĩa q M ta có λ − q(x) ≥ λ − q M , a ≤ x ≤ b Vái λ đu lán ta có λ − q M := k 2 > 0 Khi đú phương trỡnh (2.3.18) cú mđt nghiắm y(x) = sin(k(x − a)), k = √ λ − q M
Trong khoảng (a, b), hàm ϕ(x, λ) có ít nhất n điểm hội tụ λ khi điều kiện k(b − a) > (n + 1)π được thỏa mãn Khi đó, hàm y(x) sẽ có ít nhất n + 1 điểm trong khoảng (a, b) Do đó, khi λ đủ lớn, x n (λ) sẽ tồn tại.
Ta GQI không điem thú n cua y(x) là x n ∗ a + nπ k Tù đ%nh lý so sánh Sturm ta có a ≤ x n−1(λ) ≤ x n ∗ = a + n π
Mắnh đe tiep theo đõy cho ta dỏng điắu cua hàm θ(x, λ) khi λ → ±∞. k
Mắnh đe 2.3.1 ([11]) Vỏi bat kỡ x > a co đ%nh, θ(x, λ) → +∞ khi λ → +∞ và θ(x, λ) → 0 khi λ → −∞.
Chnng minh Vái n co đ%nh tù bő đe 2.3.1 ta có x n (λ) → a khi λ →
+∞ Do đó bat kì x > a ta có x n (λ) < x khi λ đu lán Tù đó ta đưac θ(x, λ) > nπ khi λ đu lỏn Vắy θ(x, λ) → +∞ khi λ → +∞.
Tiep theo, ta đi chúng minh khang đ%nh thú hai Vái c ∈ (a, b] co đ%nh, cho trưác G > 0 ta can chi ra có m®t so A = A(c, G ) phn thu®c vào c, G đe θ(c, λ) < G khi λ < A.
Nhac lai, θ(x, λ) thõa mãn phương trình θ j = cos 2 θ + (λ − q(x)) sin 2 θ. Đắt K = 1 + max{|q(x)| : x ∈ [a, b]} Khi đú : θ j ≤ λ sin 2 θ + K.
Ta có θ(a, λ) = γ ∈ [0, π) và θ j ≤ K khi λ âm Tù đ%nh lý giá tr% trung bình ta có θ(x, λ) ≤ γ + K(x − a).
Do đó, vái G > 0 đu bé đe γ + 2 G < π ta tìm đưac a 1( G ) ∈ (a, c) chi phn thu®c vào G không phn thu®c vào λ sao cho vái λ âm: θ(a 1, λ) < γ 1 = γ + G < π − G
Tiep theo trong (x, θ)-phang xét đưàng thang θ = s(x) noi điem (a 1, γ 1) vái (c, G ) vái đ® doc m = − γ 1 − G
Khi ta xét λ < A, với c − a 1 sin 2 (G) và Vái x = a 1, ta có θ(x, λ) = γ < γ 1 = γ + G = s(x) Nếu tồn tại một giá trị x trong khoảng [a 1, c] mà θ(x, λ) > s(x), thì sẽ có ít nhất một giá trị x 0 ∈ (a 1, x) sao cho θ(x 0, λ) = s(x 0) và θ j (x 0, λ) ≥ m Trong trường hợp này, θ(x 0, λ) và s(x 0) sẽ nằm trong khoảng [G, π − G], dẫn đến sin θ(x 0, λ) ≥ sin(G) Từ đó, ta có thể suy ra rằng m ≤ θ j (x 0, λ) ≤ λ sin 2 θ(x 0, λ) + K ≤ λ sin 2 G + K < m, khi λ.
< A Mâu thuan này chúng tõ không có x trong [a 1, c] đe θ(x, λ) > s(x), λ < A Nói riêng, θ(c, λ) ≤ s(c) = G khi λ < A.
Hàm Green, toán tu compact đoi xúng
Bài toán Sturm-Liouville liên quan đến các giá trị riêng λ trong khoảng 0 < λ₁ < λ₂ < < λₙ và λₙ → ∞ khi n → ∞ Đặc biệt, hàm riêng tương ứng với giá trị riêng λₙ có đúng n không điểm trong khoảng (a, b).
Chnng minh Hàm ϕ(x, λ) thừa món đieu kiắn ban đau (2.3.16) nên BC a (ϕ(x, λ)) = 0 Ta se xác đ%nh đưac các giá tr% riêng λ khi mà BC b (ϕ(x, λ)) = 0, đieu kiắn này tương đương vỏi θ(b, λ) = −β
] + 1 đe δ := −β + kπ ∈ (0, π] Tự mắnh đe 2.3.1 và θ(b, λ) là hàm liờn tnc đơn điắu tăng theo λ ta tìm đưac duy nhat λ 0 thõa mãn phương trình θ(b, λ) = δ Do θ(a, λ 0)
= γ ∈ [0, π), θ(b, λ 0) = δ ∈ (0, π] nờn ϕ(x, λ 0) khụng triắt tiờu trong (a, b).
Tiếp theo, chúng ta tìm λ₁ sao cho θ(b, λ₁) = δ + π Do δ + π ≤ 2π, hàm riêng ϕ(x, λ₁) có đúng n điểm trong (a, b) ứng với θ(x, λ₁) = π Tiếp tục như vậy, ta tìm λₙ sao cho θ(b, λₙ) = δ + nπ ≤ (n + 1)π Hàm ϕ(x, λₙ) có đúng n điểm trong (a, b) ứng với θ(b, λ) = π, 2π, , nπ Như vậy, ta thu được mối liên hệ giữa các giá trị riêng tăng dần của toán tử Sturm.
Hàm Green và toán tử compact đôi xứng cho thấy sự tồn tại của các giá trị riêng của toán tử Sturm-Liouville thông qua định lý Rouche và định lý so sánh Sturm Điều này cung cấp một góc nhìn mới, cho thấy có mối liên hệ giữa các giá trị riêng của toán tử Sturm-Liouville và các giá trị riêng của một toán tử đôi xứng compact bền vững.
Nhac lai, ta xem xét toán tu Sturm-Liouville L : D(L) ⊂ H 0 → H 0 cho bãi
Ly := −y JJ + q(x)y(x ∈ [0, π]), (2.4.1) trong đó q(x) là hàm thnc liên tnc trên [0, π], mien xác đ%nh cua L
Ta co đ%nh m®t λ ∈ C không phãi là giá tr% riêng cua L, xem xét phương trình
GQI ϕ(x, λ) và ψ(x, λ) là cỏc nghiắm cua phương trỡnh thuan nhat y JJ + (λ − q(x))y = 0, (2.4.6) lan lưat thừa món cỏc đieu kiắn ban đau ϕ(0, λ) = sin(α), ϕ j (0, λ) = − cos(α) (2.4.7) ψ(π, λ) = sin(β), ψ j (π, λ) = − cos(β) (2.4.8)
Tù mnc trưác ta đã biet λ là m®t giá tr% riêng cua L khi và chi khi
Vỡ vắy vỏi λ khụng phói là giỏ tr% riờng W(λ) ƒ= 0 ta xõy dnng hàm
Hàm G(x, t, λ) đưac GQI là hàm Green Rõ ràng G(x, t, λ) đoi xúng theo (x, t) túc là G(x, t, λ) = G(t, x, λ) và là hàm giá tr% thnc khi λ giá tr% thnc.
Ta se chỳng minh rang phương trỡnh (2.4.5) cú nghiắm duy nhat thuđc vào D(L) cho bãi y(x, ) = π G(x, t, 0 λ) f (t)dt (2.4.11)
Thắt vắy, tự đ%nh nghĩa cua G(x, t, λ) ta cú y(x
) f (t)dt (2.4.12) Đao hàm y(x, λ) theo x m®t, hai lan ta đưac y J
Do ϕ(x, λ), ψ(x, λ) thõa mãn phương trình (2.4.6) nên ta đưac y JJ (x, λ) + (λ − q(x)) = f (x).
Nghiệm y(x, λ) thỏa mãn các điều kiện biên (2.4.3) và (2.4.4) theo (2.4.7) và (2.4.8) Ngoài ra, từ (2.4.12) và (2.4.13), cùng với ϕ, ψ, nghiệm y(x, λ) cũng thỏa mãn các điều kiện ban đầu y(x, λ) ∈ D(L) Tính duy nhất của nghiệm y(x, λ) được thể hiện như sau: theo (2.4.5), tồn tại hai nghiệm y1(x, λ) và y2(x, λ) nằm trong cùng một không gian.
D(L) là một không gian mà trong đó u(x, λ) = y1(x, λ) - y2(x, λ) là nghiệm của phương trình thuần nhất (2.4.6) và thuộc D(L) Tuy nhiên, nếu λ không phải là giá trị riêng của L, thì u(x, λ) sẽ đồng nhất bằng 0, nghĩa là y1(x, λ) và y2(x, λ) trùng nhau.
Liouville L, vái f (x) không tam thưàng thu®c H 0 ton tai duy nhat y(x, λ) Như vắy ta đó chỳng minh vỏi λ khụng là giỏ tr% riờng cua toỏn tu
Sturm- thu®c D(L) thõa mãn phương trình (λ − L)y(x, λ) = f (x). Nói cách khác, vái λ không phãi giá tr% riêng cua L ta có toán tù R λ : H 0
Mắt khỏc vỏi y ∈ D(L) ta cú (λ − L)y ∈ H 0 vỡ vắy
Do λ không là giá tr% riêng cua L nên
Do đó, R λ = (λ − L) −1 được GQI là giải thích của L Khi λ thỏa mãn điều kiện, R λ cũng sẽ thay đổi tương ứng Tiếp theo, để đơn giản hóa, ta giả sử λ = 0 không phải là giá trị riêng của L Điều này là hợp lý vì L sẽ luôn có hằng số thỏa mãn không phải là giá trị riêng của L Do đó, nếu ta xét L 1 y = Ly − cy, D(L 1).
Khi D(L) có λ = 0, đây không phải là giá trị riêng của L1 Nếu λ là một giá trị riêng của L1, thì λ + c cũng là một giá trị riêng của L, và ngược lại Các hàm riêng của L và L1 là giống nhau.
Ta ký hiắu hàm Green G(x, t) = G(x, t, 0) Giói thỳc R : H 0 → D(L) ⊂ H 0 cho bãi
Vì 0 ∈/ σ p (L) nên ta có (−L)R f = f , f ∈ H 0 0 và R(−L)y = y, y ∈ D(L)
Ta có khang đ%nh sau đây:
Bo đe 2.4.1 ([4]) Neu λ ƒ= 0 là m®t giá tr% riêng cua L thì −λ −1 là m®t giá tr
% riêng cua R và ngưac lai.
Chnng minh Giã su ϕ ∈ D(L) là m®t hàm riêng úng vái giá tr% riêng λ cua
L Khi đó Lϕ = λϕ Tù đó ta đưac Rϕ = −λ −1 ϕ, hay ϕ là hàm riêng cua R úng vái giá tr% riêng −λ −1
Ngưac lai, neu ϕ ∈ H 0 là hàm riêng úng vái giá tr% riêng λ ƒ= 0 cua R Khi đó Rϕ = λϕ Do Rϕ ∈ D(L) nên ϕ ∈ D(L), ngoài ra Lϕ = −λ −1 ϕ.
Vắy ϕ lai là hàm riờng ỳng vỏi giỏ tr% riờng −λ −1 cua L.
Bài viết này trình bày quy tắc xem xét các giá trị riêng của toán tử L và R Chúng ta đã biết rằng R là một toán tử đối xứng Tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng minh rằng R là một toán tử compact.
Bo đe 2.4.2 ([4]) Tắp {R f : || f || ≤ 1} là mđt tắp cỏc hàm liờn tnc đong bắc và b% chắn đeu trong H 0.
Chúng ta có hàm G(x, t) liên tục theo hai biến x và t trên hình vuông [0, π] x [0, π] Do đó, G(x, t) cũng liên tục trên miền này Với điều kiện G > 0, tồn tại một hằng số δ(G) > 0 đảm bảo tính chất của hàm.
Tù đieu này ta có, neu f ∈ H 0, || f || = 1 và |x 1 − x 2 | < δ thì
≤ G π 2 || f || = G π 2 Đieu này chỳng từ {R f } là tắp cỏc hàm liờn tnc đong bắc Ta đắt γ := sup{|G(x, t)| : 0 ≤ x, t ≤ π}.
Khi đó vái MQI x ∈ [0, π] ta có
|(R f )(x)| = | ∫ π G(x, t) f (t)dt| ≤ || f ||, (2.4.19) γπ 2 tự đú ta đưac {R f } b% chắn đeu.
Chuan cua R ký hiắu bói ||R|| đưac đ%nh nghĩa
Tù (2.4.19) và bat đang thúc Cauchy-Schwarz ta đưac và do đó ||R|| < ∞ Ngoài ra, ||R|| > 0 do
LR f = f vỏi MQI f ∈ H 0 Vắy R ||R f || ≤ γπ|| f || (2.4.21) là toỏn tu tuyen tớnh khụng tam thưàng, đoi xỳng, compact, b% chắn.
Bo đe 2.4.3 ([4]) Su dnng tính đoi xnng cua R ta có
Chnng minh Do R đoi xúng nên (R f , f ) là thnc Neu || f || = 1 ta có
|(R f , f )| ≤ ||R f || ã || f || ≤ ||R|| và do đú đắt η = sup{|(R f , f )| : || f || = 1} thỡ η ≤ ||R|| Ta đi chúng minh bat đang thúc ngưac lai Tù đ%nh nghĩa η ta có
(R( f − g), f − g) = (R f , f ) + (Rg, g) − 2Re(R f , g) ≥ −η|| f − g|| 2 Trù hai bat đang thúc cho nhau ta đưac
Vái || f || = 1, g = R f /||R f || ta đưac ||R f || ≤ η. Đ%nh lý 2.4.1 ([4]) ||R|| hoắc −||R|| là mđt giỏ tr% riờng cua R.
Chnng minh Do ||R|| = sup{|(R f , f )| : || f || = 1} nên ta có
Giã su ||R|| = sup{(R f , f ) : || f || = 1} Khi đó ton tai m®t dãy các hàm f n ∈ H 0, || f n || = 1 sao cho
Cho λ 0 = ||R|| Do {R f n } là liờn tnc đong bắc và b% chắn đeu theo đ%nh lý
Ascoli là một không gian hàm liên tục, và chúng ta sẽ chứng minh rằng hàm ϕ₀ là hàm riêng tương ứng với giá trị riêng λ₀ của toán tử R Điều này cho thấy mối liên hệ giữa các hàm trong không gian này và các giá trị riêng của toán tử.
.||R fn|| − ||ϕ0|| ≤ ||R fn − ϕ0|| nên ta cũng có ||R f n || → ||ϕ 0 || khi n → ∞ Ta có
Ve phãi cua (2.4.24) tien tái ||ϕ 0 || 2 − λ 2 khi n → ∞ Do đó ||ϕ 0 || 2 ≥ λ 2 > 0,
0 0 vắy ϕ khụng đong nhat bang khụng trờn [0, π] Ta cú
||R f n || 2 ≤ ||R|| 2 || f n || 2 = λ 2 , vỡ vắy tự (2.4.23) ta thu đưac
0 ≤ ||Rϕ 0 − λ 0 ϕ 0 || ≤ ||Rϕ 0 − R(R f n )|| + ||R(R f n ) − λ 0 R f n || + ||λ 0 R f n − λ 0 ϕ 0 ||, su dnng (2.4.23) ,(2.4.25) và bat đang thỳc ||R f || ≤ ||R|| ã || f || ta thu đưac
||Rϕ 0 − λ 0 ϕ 0 || = 0. Đieu đó chúng minh Rϕ 0 = λ 0 ϕ 0 Trưàng hap −||R|| = inf{(R f , f )} xãy ra đưac chúng minh tương tn.
Tự định lý trên cho thấy rằng R sẽ thay đổi các giá trị riêng như sau Từ chứng minh, chúng ta có thể thấy rằng một hàm riêng của R cũng chính là một hàm riêng của R.
L Ta lay m®t hàm riêng cua L giá tr% thnc là ϕ 0(x) Ta chuan hóa hàm riêng ϕ 0(x) bói đắt v 0(x) = ϕ 0(x)/||ϕ 0(x)|| Cho
Khi đó G 1(x, t) cũng là hàm giá tr% thnc, đoi xúng theo x, t Ta đ%nh nghĩa toán tu
Do v 0(x) ∈ D(L) và ónh cua R là D(L) vỡ vắy ónh cua R 1 cũng là D(L).
Ngoài ra R 1 cũng là toán tu đoi xúng, compact giong như R Do đó neu||R 1 || > 0, và cho
|λ 1 | = sup{(R 1 f , f ) : || f || = 1} hóa ϕ 1 bãi cho v 1(x) = ϕ 1(x)/||ϕ 1(x)|| Su dnng (2.4.27) vái bat kỳ f ∈ H 0 thì λ 1 là m®t giá tr% riêng cua R 1, và có m®t hàm riêng ϕ 1 tương úng Chuan ta có
(R 1 f , v 0) = (R f , v 0) − λ 0( f , v 0)(v 0, v 0) = 0 (2.4.28) Vỏi f = v 1 ta thu đưac v 1 trnc giao vỏi v 0, vỡ vắy
Do đó v 1 cũng là hàm riêng cua R Ngoài ra, ta có |λ 1 | ≤ |λ 0 | bãi vì
Đối với bài toán liên quan đến giá trị riêng, ta có mối quan hệ giữa các giá trị riêng và vectơ riêng như sau: |λ 1 | = ||λ 1 v 1 || = ||Rv 1 || ≤ ||R|| ã ||v 1 || = |λ 0 | Tiếp tục với G 2(x, t) = G 1(x, t) − λ 1 v 1(x)v 1(t), ta có thể xác định v 2(x) và λ 2 sao cho |λ 2 | ≤ |λ 1 | và v 2(x) vuông góc với v 1(x) và v 0(x) Qua quá trình này, ta thu được các hàm riêng chuẩn v k (x) với k = 0, 1, 2, của R.
Quá trình trên chi có the dùng lai khi vái n nào đó ||R n || = 0 Nhưng đieu này se khụng xóy ra Thắt vắy, vỏi f ∈ H 0 ta cú
Do đó tác đ®ng −L vào hai ve ta đưac n−1
Đ%nh lý khai trien và đang thúc Parseval
Nhưng (2.4.31) se không the xãy ra do f chi thu®c láp C còn các hàm riêng v i thu®c láp C 2 Do đó ||R n || > 0 vái MQI n.
Như vắy ta đó chỳng minh R cú mđt tắp vụ han cỏc giỏ tr% riờng {λ n } n≥0 thõa mãn
2.5 Đ%nh lý khai trien và đang thúc Parseval
Không gian các hàm đo đạc Lebesgue, giá trị phức, bình phương khả tích trên đoạn (0, π) được ký hiệu là L²(0, π) Chúng ta muốn khai triển một hàm f trong L²(0, π) thông qua các hàm riêng của toán tử Sturm-Liouville L Trong nghiên cứu này, ta giả thiết rằng 0 không thuộc vào phổ σ(L) và R là giải tích của L như đã trình bày trong nghiên cứu trước Đầu tiên, chúng ta sẽ bắt đầu với bất đẳng thức Bessel.
Bo đe 2.5.1 ([4]) Neu f ∈ L 2 (0, π) và {v k } là dãy các hàm riêng trnc chuan cua toán tu Sturm-Liouville L Khi đó, chuői so
Chnng minh Vái bat kỳ n ≥ 0 huu han ta có n n
0 ≤ || f − ∑ ( f , v k )v k || 2 = || f || 2 − ∑ |( f , v k )| 2 k=0 k=0 đieu này chúng minh sn h®i tn cua chuői và bat đang thúc Bessel.
Hắ so ( f , v k ) đưac GQI là hắ so Fourier thỳ k cua f vỏi tương ỳng tự hắ trnc chuan v k
|| k= Đ%nh lý 2.5.1 (khai trien cua giãi thúc) ([4]) Cho λ k , v k (x) là các giá tr% riêng và hàm riêng cua R Khi đó:
|λ k | → 0 khi k → ∞ (2.5.1) và vái MQI f ∈ H 0 ta có khai trien:
(R f )(x) chuői hàm là h®i tn đeu trên [0, π].
Chnng minh Ta có: (Rv k )(x) = π G(x, t)v k (t)dt = λ k v k (x) Do đó vái mői x ∈ [0, π] co đ%nh hắ so Fourier thỳ k cua hàm g(t) = G(x, t) tương ỳng vỏi hắ trnc chuan {v k (t)} chớnh là λ k v k (x) Vỏi n > 0, x co đ
%nh, su dnng bat đang thúc Bessel ta có: n 2 2
Lay tích phân theo x tù 0 đen π, su dnng tính trnc chuan cua v k (x) ta đưac n 2
2 2 2 ã đó γ := sup{|G(x, t)| : x, t ∈ [0, π]} Cho n → ∞ ta đưac:
Nói riêng, |λ k | → 0 khi k → ∞ Nhac lai, vái f ∈ H k=0 0 ta có: n 1
Vái bat kỳ n > m ta có
Su dnng bat đang thúc |R f | ≤ γπ 2 || f || (xem(2.4.16)) ta đưac
Dùng bat đang thúc Bessel, ve phãi cua bat đang thúc trên tien tái 0 khi m, n → ∞ Do đó chuői hàm
∑ λ k ( f , v k )v k (x) k=0 hđi tn đeu trờn [0, π], do đú bieu dien mđt hàm liờn tnc Mắt khỏc, tự (2.5.4) nú lai hđi tn trung bỡnh tỏi hàm liờn tnc R f Vỡ vắy
(R f )(x) ∑ λ k ( f , v k )v k (x). k=0 Đ%nh lý 2.5.2 (đ%nh lý khai trien) ([4]) Cho f ∈ D(L) Khi đó vái x ∈ [0, π] ta có f (x) ∞
∑ ( f , v k )v k (x) (2.5.5) k=0 ã đó chuői hàm là h®i tn đeu trên [0, π].
Chứng minh rằng nếu f ∈ D(L), thì R(−L)f = f và λk là giá trị riêng của R khi và chỉ khi λ − k1 là giá trị riêng của −L Do đó, áp dụng định lý khai triển của giải tích, ta có f = R(−L f).
Bãi nhân (2.5.5) vái f ∗ (x) và lay tích phân tù 0 đen π ta thu đưac đang thúc Parseval như sau.
Ta có the mã r®ng đ%nh lý khai trien và đang thúc Parseval cho L 2 (0, π) như sau. Đ%nh lý 2.5.4 ([4]) Neu f ∈ L 2 (0, π) thì n lim || f − ∑ ( f , v k )v k || = 0 (2.5.7) n→∞
Hơn nủa, ta cú đang thnc
Chnng minh Vái f ∈ L 2 (0, π), cho trưác G > 0 có f G ∈ D(L) thõa mãn
Su dnng tính trnc chuan cua v k so hang cuoi cua (2.5.9) là bang n
, (2.5.10) vái f G ∈ D(L) ton tai N( G ) sao cho theo bat đang thúc Bessel nó nhõ hơn || f G − f || Su dnng đ%nh lý khai trien n
Vỡ vắy tự (2.5.8), (2.5.9), (2.5.10) và (2.5.11) ta đưac n
Vắy ta đó chỳng minh (2.5.7) Đang thỳc Parseval là hắ quó trnc tiep cua
2.6 Chnng minh đ%nh lý khai trien bang tích phân
Nhắn xột: Định lý Parseval cho biết rằng nếu hàm f thuộc L2(0, π) và các tích phân (f, vk) = 0 với k = 0, 1, 2, thì f sẽ bằng 0 trên toàn bộ khoảng Nếu f liên tục, thì f chính là hàm 0 Ta có định lý sau đây Định lý 2.5.5 ([9]) Nếu tồn tại một hàm liên tục f(x) mà chuỗi hàm
∑ ∞ ( f , v k )v k (x) (2.5.12) k=0 h®i tn đeu trên [0, π] thì chuői này se bieu dien hàm f (x) :
Chnng minh Đắt h(x) = f (x) − ∑ ∞ ( f , vk)vk(x) Tự gió thiet ta cú h(x) là hàm liờn tnc trờn [0, π] Do đú vỏi mői n = 1, 2, ã ã ã ta cú:
Tù đang thúc Parseval ta đưac h(x) đong nhat bang 0.
Chúng minh đ%nh lý khai trien bang tích phân Cauchy
MNC này cung cấp chứng minh khác cho định lý khai triển DNA vào định lý thắng dư Cauchy Tiếp theo, chúng ta sẽ nhắc lại các công thức tiệm cận trong MNC 2.2 để xây dựng cho việc ước lượng các tích phân đúng.
BC π (y) = y J (π) − Hy(π) = 0, (2.6.3) giã su h, H ƒ= ∞ GQI ϕ(x, λ), ψ(x, λ) thõa mãn phương trình (2.6.1) vỏi cỏc đieu kiắn Cauchy ϕ(0, λ) = 1, ϕ j (0, λ) = h, (2.6.4) ψ(π, λ) = 1, ψ j (π, λ) = H (2.6.5) k=
Nhac lai, ϕ(x, λ) và ψ(x, λ) thừa món cỏc cụng thỳc tiắm cắn như sau
Tù các ưác lưang trên ta có ưác lưang cho Wronskian
Ta có hàm Green G(x, t, λ) thõa mãn ưác lưang sau đây.
Bo đe 2.6.1 ([8]) Cho λ = s 2 Ton tai các hang so C 4, C 5 > 0 sao cho vái |s| >
Chnng minh Vái x ≤ t tu so cua hàm Green là ϕ(x, λ)ψ(t, λ) Tù (2.6.6) và
|ϕ(x, λ)ψ(t, λ)| ≤ Ce |Im(s)|x e |Im(s)|(π−t) ≤ Ce |Im(s)|π do x ≤ t. (2.6.19) Vái x ≥ t ta cũng có ưác lưang như trên Tiep theo ta đi xét mau so cua hàm
≥ e |Im(s)|π Do đó neu lay C 8C thì vái s C ta có
Tù (2.6.19) và (2.6.21) ta đưac đieu phãi chúng minh.
Tù bő đe trên ta có đ%nh lý khai trien cho hàm Green G(x, t, λ) như sau. Đ%nh lý 2.6.1 ([8]) Cho {λ n } n≥0 là các giá tr% riêng cua toán tu Sturm-Liouville
L Khi đó vái λ ∈ C không là giá tr% riêng cua L thì
, (2.6.22) λ − λ n chuői trên h®i tn đeu vái x, t ∈ [0, π], α n = ||ϕ(x, λ n )|| 2
Chnng minh Trong λ−phang xét γ1 1 N là biên cua hình vuông vái 4 đinh:1 1
2 )(−1 + i) Xét λ co đ%nh không là giá tr% riêng cua L Vái N đu lán (nói riêng N > 2|λ|), su dnng bő đe 2.6.1 ta có:
Hàm G(x, t, ζ) là hàm giói tớch theo ζ trờn toàn mắt phang chi trự ζ = λ và ζ − λ ζ = λ n , n = 0, 1, ã ã ã là cỏc giỏ tr% riờng cua L Su dnng đ%nh lý thắng dư ta có0 lim
= G(x, t, λ) Do các λ n là không điem đơn cua W(λ) nên vái x ≤ t, ta có Res
(λ n ) Ta cũng có đang thúc tương tn vái x ≥ t.
Tù mnc trưác ta có ψ(t, λ n ) = β n ϕ(t, λ n ), β n ƒ= 0 và W J (λ n ) = α n β n , trong đó α n = ||ϕ(x, λ n )|| 2 Do đó ta thu đưac
, (λ − λ n )α n chuői hàm h®i tn đeu theo x, t ∈ [0, π] do tích phân cua G(x, t, ζ) trên γ N
= ζ= ζ=λ tien ve 0 đeu theo x, t khi
Định lý khai triển cho hàm Green cho phép thu được định lý 2.6.2 Cụ thể, với hàm f thuộc D(L) và các giá trị riêng {λ n } của L, ta có thể xác định giá trị của f(x).
∑ a n v n (x), (2.6.23) n=0 ã đó a n = π f (x)v n (x)dx, v n (x) = ϕ(x, λ n )/||ϕ(x, λ n )||, chuői là h®i tn đeu vái x ∈ [0, π].
Chnng minh Chuan hóa v n (x) = ϕ(x, λ n )/||ϕ(x, λ n )||, khai trien hàm Green đưac viet lai thành
G(x, t, λ) ∑ n≥0 v n ( x ) v n ( t λ − λ) n , chuői h®i tn đeu vái x, t ∈ [0, π], λ ∈ R co đ%nh không là giá tr% riêng cua L Vỏi f (x) ∈ D(L) đắt h(x) = f JJ + (λ − q(x)) f (x) Khi đú f (x) π
Dùng tích phân tùng phan hai lan ta đưac π h(t)v
Để chứng minh (2.6.25) vào trong (2.6.24), ta cần xác định rằng hàm f(x) thuộc không gian H = L²[0, π], trong đó ϕ(t, λ) f(t) và ψ(t, λ) f(t) đều thuộc L¹[0, π] Do đó, các tích phân ∫ x ϕ(t, λ) f(t)dt và ∫ π ψ(t, λ) f(t)dt sẽ thuộc không gian AC[0, π], tức là không gian các hàm liên tục tuyết đối trên [0, π] Hơn nữa, ta có công thức d ∫ x ϕ(t, λ) f(t)dt = ϕ(x, λ) f(x) và d ∫ π các đang thức trên x được xác định cho mọi x ∈ [0, π] Vì vậy, nếu f ∈ H và λ không phải là giá trị riêng của L, ta có y(x).
, ) f (t)dt thu®c vào AC[0, π] và vái hau khap x ∈ [0, π] ta đưac y J
, ) f (t)dt, hàm y J (x, λ) cũng thu®c vào AC[0, π] Tiep tnc đao hàm ta có y JJ
) f (t)dt + f (x), hàm y JJ (x, λ) thuđc vào L 2 [0, π] Vỡ vắy, neu ta mó rđng L đen mien xỏc đ%nh
{y(x) ∈ AC[0, π] : y J (x) ∈ AC[0, π], y JJ (x) ∈ L 2 [0, π], BC 0(y) = BC π (y) = 0} thì ta xác đ%nh R λ : H → D 1(L) ⊂ H thõa mãn
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các hàm f(x) thuộc không gian BV[0, π] ⊂ L²(0, π), với BV[0, π] là không gian các hàm có biến phân chắc chắn trên đoạn [0, π] Ta cũng nghiên cứu tích phân 2 1 i C y(x, λ)dλ, trong đó C là chu trình đóng trong mặt phẳng λ Hơn nữa, trong không gian s-phang, ta phân tích đường gấp khúc γ n = γ 1,n ∪ γ 2,n ∪ γ 3,n.
Khi s chay trên γ n trong s−phang thì λ = s 2 chay trên chu tuyen đóng
Ta có bő đe sau đây.
Bo đe 2.6.2 ([9]) Cho f (x) ∈ L 2 [0, π], khi đó ψ ( x , λ )
( x , λ ) ∫ π cos sx ∫ π trong đóW(λ) x ψ(t, λ) f (t)dt s sin sπ x cos s(π − t) f (t)dt + R 2(x, s),
27 ) vái K 1, K 2 là các hang so không phn thu®c x và s ∈ γ n vái n đu lán.
Chnng minh Tù (2.6.7) và (2.6.12) ta có ψ ( x , λ )
Su dnng (2.6.20) và (2.6.21) ta có
Su dnng (2.6.13) và (2.6.21) ta có
Su dnng (2.6.6), (2.6.13) và (2.6.21) ta có
Su dnng (2.6.6) và (2.6.21) ta có
Tù các đánh giá trên ta thu đưac ưác lưang (2.6.27) đoi vái R 1(x, s).
Làm tương tn như trưác ta thu đưac ưác lưang (2.6.27) đoi vái R 2(x, s).
Bo đe 2.6.3 ([9]) Cho f (x) ∈ L 2 [0, π], C n là chu tuyen đóng trong λ−phang như mô tã trưác Khi đó vái mői x ∈ [0, π] ta có
2.6 Chnng minh đ%nh lý khai trien bang tích phân
Chnng minh Tù bő đe trưác ta có
∫ x ϕ(t, λ) f (t)dt Σ dλ = ∫.∫ x cos s ( π − x ) cos(st) f (t)dt Σ dλ
Vái s = √ λ ta có Tù (2.6.27) ta có
Do đó vái 0 < δ n < x ta có γ n 0 |s|
| ds | b% chắn đeu theo n Ngoài ra tự gió thiet f L 2 [0, ], vỏi
|s| x ∈ (0, π] cho trưác ta có the CHQN δ n = 1 đó ∫ x khi
2.6 Chnng minh đ%nh lý khai trien bang tích phân
2.6 Chnng minh đ%nh lý khai trien bang tích phân
Trờn γ 1,n ta cú s = σ − (n + 2 1 )i vỏi σ ∈ [0, n + 2 1 ] vỡ vắy
2.6 Chnng minh đ%nh lý khai trien bang tích phân
Trên γ 3,n ta có s = σ + (n + 1 )i vái σ ∈ [0, n + 1 ] Ta cũng có
Trên γ 2,n ta có s = (n + 1 ) + iσ vái σ ∈ [−(n + 1 ), (n + 1 )], do đó
Tù các ưác lưang trên vái mői x ∈ (0, π] ta có C n R 1(x, s)dλ → 0 khi n → ∞ Làm tương tn như trưác vái mői x ∈ [0, π) ta cũng thu đưac C n R 2(x, s)dλ → 0 khi n → ∞.
Bo đe 2.6.4 Giã su f (t) ∈ BV[x − δ, x], δ > 0 Khi đó f (t) có bieu dien f (t) = f (x − 0) + g(t) − h(t), trong đú f (x − 0) = lim t→x − f (t), và g(t), h(t) là cỏc hàm đơn điắu gióm, không âm vái MQI t ∈ [x − δ, x) , lim t→x− g(t) = 0, lim t→x− h(t) = 0.
Chnng minh Theo đ%nh lý khai trien Jordan hàm cú bien phõn b% chắn f (t) cú the viet thành hiắu cua hai hàm khụng õm, đơn điắu tăng f (t) = k(t) − r(t).
Tù đó ta có f (t) = (r(x − 0) − r(t)) − (k(x − 0) − k(t)) + f (x − 0). Đắt g(t) = r(x − 0) − r(t), h(t) = k(x − 0) − k(t) khi đú ta thu đưac đieu phãi chúng minh.
Bo đe 2.6.5 ([9]) Cho f (x) ∈ BV[0, π], khi đó
∫ ∫ x cos s ( π − x ) cos(st) f (t)dt + ∫ π cos ( s x ) cos s(− t) f (t)dt Σ d
(2.6.30) h®i tn tái f (x − 0) + f (x + 0) khi n → ∞ vái mői x ∈ (0, π).
2.6 Chnng minh đ%nh lý khai trien bang tích phân
Chnng minh Vái 0 ≤ δ n ≤ x ta viet
∫ x cos s ( π − x ) cos(st) f (t)dt = ∫ x−δn cos s ( π − x ) cos(st) f (t)dt
2.6 Chnng minh đ%nh lý khai trien bang tích phân
+ x−δ n x s sin(sπ) cos s(π − x) cos(st) f (t)dt.
2.6 Chnng minh đ%nh lý khai trien bang tích phân
, n ∈ N, vì f (t) ∈ L 1 [0, π] nên có the tìm dãy hàm trơn có giá compact k 2) ∈ C ∞ (0, π) sao cho
∫ x−δn cos s ( π − x ) cos(st) f (t)dt = ∫ x−δn cos s ( π − x ) cos(st)
Vái tích phân thú nhat ta có 0 s sin(sπ) n
∫ x−δ n cos s ( π − x ) cos st f t k tdt 4e −|Im(s)|δ n ∫ x−δ n f t k t dt
2.6 Chnng minh đ%nh lý khai trien bang tích phân
2.6 Chnng minh đ%nh lý khai trien bang tích phân
= , khi đó trên γ và γ ta có n n + 1
2.6 Chnng minh đ%nh lý khai trien bang tích phân
2.6 Chnng minh đ%nh lý khai trien bang tích phân
2.6 Chnng minh đ%nh lý khai trien bang tích phân
Vái tích phân thú hai, su dnng tích phân tùng phan ta có
Giong như trong chúng minh bő đe 2.6.3 ta có
∫ ∫ x−δ cos s ( π − x ) cos(st) f (t)dt = o(1) khi n → ∞. λ C n 0 s sin(sπ)
Trong khoảng t ∈ [x − δ, x], ta có công thức f(t) = f(x − 0) + g(t) − h(t), với g(t) và h(t) là các hàm dương trên đoạn [x − δ, x) và đều có xu hướng tiến về 0 khi t tiến đến x từ bên trái Áp dụng định lý giá trị trung bình dạng Bonnet, ta nhận được các kết quả liên quan đến hàm f trong khoảng này.
2πi C n x−δ n s sin(sπ) n se bộ tựy ý khi δ n tien tỏi 0 Tương tn đoi vỏi hàm h(t) cũng vắy Đoi vỏi tích phân chúa f (x − 0) ta có x x−δ n cos s ( π − x ) f (x0) cos(st)dt s sin(sπ)
H®i tn điem cua khai trien hàm riêng
2.7 H®i tn điem cua khai trien hàm riêng
∫ x cos s ( π − x ) cos(st) f (t)dtdλ → f ( x − 0) khi n → ∞ (2.6.32) Đoi vái phan tích phân mà t ≥ x đưac chúng minh tương tn.
Định lý 2.6.3 khẳng định rằng, với f ∈ BV[0, π] và v_n(x) là hàm riêng được chuẩn hóa tương ứng với giá trị riêng λ_n của bài toán Sturm-Liouville, chuỗi hàm sẽ có những đặc điểm quan trọng trong phân tích toán học.
2.7 H®i tn điem cúa khai trien hàm riêng
Trong mnc này ta se đưa ra m®t chúng minh khác cơ bãn hơn cho sn h®i tn điem cua khai trien hàm riêng Ta xem xét bài toán Sturm-Liouville
(2.6.1), (2.6.2), (2.6.3) vái h, H ƒ= ∞ Giã su q(x) khã vi liên tnc trên [0, π] Khi
Như vắy ta đó chỳng minh
C n n đú ta cú cụng thỳc tiắm cắn (2.2.29) cho hàm riờng đưac chuan húa v n (x). Cho f (x) ∈ L 1 [0, π], ta đắt
1 2 π n cos kx cos kt Σ , khi đó n ( )
Bo đe 2.7.1 ([9]) Ton tai m®t hang so M sao cho vái MQI x, t ∈ [0, π], vái MQI n ta có
Chnng minh Tự cụng thỳc tiắm cắn (2.2.29) ta cú v k (x)v k (t) − 2 cos kx cos kt
β ( t ) cos kx sin kt + β ( x ) sin kx cos kt Σ + O 1 Σ
Ta se chúng minh rang τ n (x) ∑n sin kx k là b% chắn đeu trong khoóng
Tù đó, vái MQI n, vái MQI x ∈ [0, π] ta có
Tự tớnh b% chắn đeu cua τ n (x), β(x), và (2.7.1) ta cú đieu phói chỳng minh.
Bo đe 2.7.2 ([9]) Neu ϕ(x) ∈ C 2 [0, π] thừa món cỏc đieu kiắn biờn ϕ(0) cos α + ϕ j (0) sin(α) = 0, ϕ(π) cos β + ϕ j (π) sin β = 0 (2.7.2) thì s n, ϕ (x)
0 (x, t) ϕ(t)dt → 0 khi n → ∞, (2.7.3) đeu theo x ∈ [0, π]. Đ%nh lý 2.7.1 ([9]) Vái bat kỳ hàm f (x) ∈ L 1 [0, π] ta có s n, f (x) − σ n, f (x) → 0, khi n → ∞ (2.7.4) đeu theo x ∈ [0, π].
Chnng minh Vì f (x) ∈ L 1 [0, π], vái bat kỳ G > 0 ta có the tìm m®t hàm ϕ G (x) ∈ C 2 [0, π] thừa món đieu kiắn biờn (2.7.2) sao cho
2M vái M trong bő đe 2.7.1 Ta viet s n, f (x)
Tù bő đe 2.7.2 ta có vái n đu lán, vái MQI x ∈ [0, π]
Tù bő đe 2.7.1 ta có
Tù đó ta đưac đieu phãi chúng minh.
Như vắy, vỏi h, H ƒ= ∞ chuői hàm riờng cua bài toỏn Sturm-
Liouville có cùng tích chat h®i tn và phân kỳ vái chuői Fourier cosin thông thưàng.
Vỏi trưàng hap h = H = ∞, ta cú cụng thỳc tiắm cắn
Tù đó ta đưac v k (x) = 2 sin(kx) +
) (2.7.8) v k (x)v k (t) − 2 sin kx sin kt = O 1 Σ sin kx + O 1 Σ sin kt + O 1 Σ π
Ta có τ n (x) ∑n k k k 2 sin kx b% chắn đeu, vỡ vắy k Φ x, t n
2 sin kx sin kt Σ cũng b% chắn đeu Tương tn như trưỏc vỏi f ∈ L 1 [0, π] ta cú s n, f (x) − σ n, f (x) → 0 khi n → ∞ đeu trên [0, π], trong đó σ n, f (x) π f
2sin kt sin πkx dt.
Như vắy trong trưàng hap h = H = ∞ chuői hàm riờng cua bài toỏn Sturm- Liouville và chuői Fourier sin thông thưàng cùng h®i tn và phân kỳ.
Vỏi trưàng hap h = ∞, H ƒ= ∞ ta cú cụng thỳc tiắm cắn v k (x) = 2 sin(k + 1
Trong bài toán Sturm-Liouville, hàm sin((n + 1)x) là hàm riêng với điều kiện biên y(0) = 0 và y'(π) = 0, trong đó MQI x thuộc khoảng [0, π] Đối với hàm ϕ ∈ C²[0, π], sự hội tụ s_n,ϕ(x) − σ_n,ϕ(x) → 0 xảy ra khi n tiến tới vô cực, cho mọi x trong khoảng [0, π].
Tương tn như trưác ta cũng thu đưac ket quã trên vái f ∈ L[0, π].
Khai trien trên núa đưàng thang
Trong phần 3.1, chúng ta nghiên cứu về định lý Parseval cho các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn [a, b] Định lý này liên quan đến bài toán Sturm-Liouville, mà chúng ta đã thảo luận trong chương trước Chúng ta sẽ áp dụng định lý Parseval để khai triển một hàm số trong không gian này.
L2(a, b) được chuyển đổi thành chuỗi các hàm riêng tương ứng thông qua khai triển chuỗi Fourier trên khoảng [a, b], thay thế bằng nửa trục dương [0, ∞) và hàm thế q(x) liên tục Chương tiếp theo sẽ thảo luận về bài toán Sturm.
Liouville kỳ tnc trên đó Mong muon cua ta là có đưac các dang tương tn ve đang thúc
Bài toán Parseval và định lý khai triển tương tự như trường hợp hấp dẫn chính quy Chúng ta xem xét phương trình y'' + {λ - q(x)}y = 0 trên khoảng [0, ∞) Ký hiệu α là một số thực bất kỳ và y(x, λ) là nghiệm của phương trình này với điều kiện ban đầu y(0, λ) = sin(α) và y'(0, λ) = -cos(α) Hàm y(x, λ) thỏa mãn điều kiện biên y(0, λ) cos(α) + y'(0, λ) sin(α) = 0 trên khoảng [0, ∞) Bài toán này được xem như là giải hạn của các bài toán Sturm-Liouville, với bài toán (3.1.1) và (3.1.3) là một bài toán Sturm-Liouville kỳ dị trên miền Liouville chính quy.
Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét bài toán Sturm-Liouville chính quy, bao gồm phương trình (3.1.1) cùng với điều kiện biên (3.1.3) và điều kiện biên bổ sung (3.1.4) Đã biết rằng bài toán Sturm-Liouville chính quy có một dãy các giá trị riêng được sắp xếp theo thứ tự tăng dần λ n,b Các giá trị riêng λ n,b là đơn, nghĩa là các hàm riêng tương ứng với mỗi giá trị riêng λ n,b là khác nhau và không trùng lặp.
Ta GQI y n,b (x) = y(x, λ n,b ) là hàm riêng úng vái giá tr% riêng λ n,b và thõa mãn đieu kiắn ban đau (3.1.2).
Bây già neu f (x) ∈ L 2 (0, b) và α 2 = ∫ b y 2 (x)dx, tù đang thúc Parseval ta
Ta xây dnng m®t hàm bưác nhãy không giãm b ρ b (λ)
∑ 0 0), thì (3.1.5) có the viet lai dưái dang m®t tích phân Stieltjes như sau
Trong bài toán Sturm-Liouville, ta có công thức F(λ) = ∫ b f(x)y(x, λ)dx, với b nằm trong khoảng 0 đến vô cực Để chứng minh định lý Parseval, chúng ta cần xem xét các điều kiện của bài toán (3.1.1) và (3.1.3), cũng như thu được kết quả từ (3.1.6) khi b tăng lên vô hạn.
Bo đe 3.1.1 ([9]) Vái bat kỳ so nguyên dương N ton tai m®t hang so dương
A(N) không phn thu®c b, sao cho bien phân cua hàm ρ b (λ) trên đoan [−N, N] b% chắn bói A(N), tnc là:
3.1 Đang thnc Parseval vái nua đưàng thang 59
Chnng minh Đau tiên ta xem xét trưàng hap sin(α) ƒ= 0 Do hàm y(x, λ) là kỳ), và bói đieu kiắn y(0, λ) = sin(α) ta có: liên tnc trong mien −N ≤ λ ≤ N, 0 ≤ x ≤ a (ã đó a là m®t so co đ
Vỡ vắy vỏi h > 0 đu bộ, |λ| ≤ N ta đưac
Bây già ta áp dnng (3.1.6) cho hàm
, 0 ≤ x ≤ h, f h (x) 0h , x > h, sau đó su dnng bat đang thúc (3.1.8), ta thu đưac
Vái trưàng hap sin(α) = 0 ta làm như sau Ta có lim 1 ∫ h y(x, λ)dx = lim y( h λ, )
Vỡ vắy vỏi h > 0 đu bộ và |λ| ≤ N ta cú y x, dx 2 > h 0 2 cos2(α)
16 Lai áp dnng (3.1.6) cho hàm f h (x) 1 h 2 , 0 ≤ x ≤ h,
(α) (3.1.8) sau đó su dnng (3.1.9) ta đưac
> 16 cos 2 (α) −N dρ b (λ) tù đó ta hoàn thành chúng minh 16 {ρ b (N) − ρ b (−N)} ,
Tù bő đe 3.1.1 và việc giải hạn dưới tích phân Stieltjes dẫn đến kết quả Parseval cho bài toán (3.1.1) và (3.1.3) Định lý 3.1.1 ([9]) cho rằng, với f(x) ∈ L²(0, ∞), tồn tại một hàm không giảm ρ(λ), không phụ thuộc vào f(x) và một hàm F(λ) (GQI là biến đổi Fourier tổng quát của f(x)) sao cho.
Hàm F(λ) là giái han bình phương trung bình (theo dρ(λ)) cua dãy các hàm liên tnc F n (λ) = ∫ n f (x)y(x, λ)dx, tnc là lim n→
Chúng ta xem xét hàm f_n(x) khả vi liên tục cấp 2 trên R+, với giá trị nằm trong khoảng [0, n] Nếu n < b, thì cả f_n(x) và f_J(x) đều triệt tiêu tại 0, do đó f_n(x) thỏa mãn điều kiện biên (3.1.3) Áp dụng định lý Parseval (3.1.6) cho hàm này, ta thu được kết quả mong muốn.
0 −∞ ã đó F n (λ) = n f n (x)y(x, λ)dx Do cã f n (x) và y(x, λ) thõa mãn đieu kiắn biờn (3.1.3) và f n (x) triắt tiờu trong lõn cắn cua b, su dnng tớch phân tùng phan ta đưac
Bói vắy vỏi bat kỳ N > 0 ta cú
Tù bat đang thúc trên và tù (3.1.10) ta thu đưac
Tự bő đe 3.1.1 tắp cỏc hàm {ρ b (λ)} trong khoảng (−N ≤ λ ≤ N) là đơn điắu tăng theo λ, nhờ vào {b k} Điều này dẫn đến việc hàm {ρ bk (λ)} hoạt động tại điểm đen, đồng thời hàm đơn điắu trên có biến phân phối b% chắn đều theo b Theo bő đe Helly, chúng ta có thể
Trên đoạn [−N, N], dãy hàm đơn điếu {ρ bk (λ)} có biến phân b% chắn theo b Theo định lý Helly, có thể lấy được một dãy con của dãy hàm này trên đoạn [−(N + 1), N + 1], đảm bảo hàm đơn điếu Tiếp tục quá trình LQC trên các khoảng lớn hơn, ta tìm được một dãy các hàm {ρ bk (λ)} hội tụ đến hàm đơn điếu ρ(λ) trên toàn trục thực (−∞, ∞) Khi thực hiện giới hạn trong (3.1.11) với b k tiến ra vô cùng, ta thu được kết quả mong muốn.
Cuoi cùng cho N chay ra vô cùng ta đưac
Bây già, xét f (x) thu®c L 2 (0, ∞), ta có the tìm đưac m®t dãy f n (x) khã vi liên tnc cap 2, f n (x) có giá nam trong [0, n], sao cho lim ∫ ∞ { f (x) − f (x)} 2 dx = 0.
Ta có vái f n (x) có giá nam trong [0, n] bien đői Fourier cua nó là n n n (x)y(x, λ)dx.
Vái m > n, f m (x) có giá nam trong [0, m] thì f n (x) − f m (x) có giá nam trong
[0, m] và bien đői Fourier cua nó chính là m ( f
Do không gian các hàm bình phương khã tích (theo dρ(λ)) là đay đu nên ton tai hàm giái han F(λ) sao cho
F 2 (λ)dρ(λ) khi n → ∞ Cho n → ∞ trong đang thúc (3.1.12) ta đưac
Cuối cùng, chúng ta cần chứng minh phần còn lại của định lý F(λ) là giới hạn bình phương trung bình (theo dρ(λ)) của F n (λ) = ∫ n f(x)y(x, λ)dx, mà chúng ta vẫn ký hiệu là F n (λ).
Cho g(x) là hàm thuộc L²(0, ∞), g_n(x) là dãy các hàm khả vi cấp 2 có giá trị nằm trong [0, n] hội tụ về g(x) trong L²(0, ∞) Với mỗi g_n(x), ta có biến đổi Fourier tương ứng G_n(λ) = ∫ n g_n(x)y(x, λ)dx và G(λ) là giá trị hạn.
Khi đó hàm f n (x) − g n (x) h®i tn tái f (x) − g(x) trong L 2 (0, ∞) , bien đői Fourier cua f n (x) − g n (x) chính là F n (λ) − G n (λ) h®i tn tái F(λ) − G(λ) trong L 2 (−∞, ∞) Vì the bien đői Fourier cua f (x) − g(x) chính là
F(λ) − G(λ) Tù đang Parseval ta có:
Lay g(x) = f (x) neu 0 ≤ x ≤ n và g(x) = 0 neu x > n ta đưac
Vớ dn 3.1.2 Ta xột q(x) = 0, cos(α) = −1, sin(α) = 0 Bő sung đieu kiắn y(b, λ) = 0, b > 0 ta xem xét bài toán biên chính quy y JJ + λy = 0; y(0, λ) = 0, y(b, λ) = 0.
Các giá tr% riêng cua bài toán này λ n, b = n π Σ2 , n ≥ 1, các hàm riêng tương nng vỏi giỏ tr% riờng λ n,b và thừa món đieu kiắn ban đau y n,b (0) = 0, y J (0) = 1 y b n π x
Cho b → ∞ thỡ ρ b (λ) hđi tn tỏi hàm đơn điắu
Khi đó đang thnc Parseval có dang
Vái λ > 0 thì y(x, λ) = √ λ là nghiắm cua bài toỏn giỏ tr% ban đau y JJ + λy = 0, y(0, λ) = 0, y√ J (0, λ) = 1.
√λ dx và F(λ) là giái han bình phương trung bình cua F n (λ) theo dρ(λ).
Biến đổi Fourier tổng quát F(λ) của hàm f(x) tương ứng với một hàm không giảm ρ(λ) là duy nhất, vì nó là giải hàm bình phương trung bình theo dρ(λ) của F n(λ) = ∫ n f(x)y(x, λ)dx Từ đây về sau, chúng ta sẽ xây dựng khái niệm này.
F(λ) = l.i.m ∫ n f (x)y(x, λ)dx là công thức dùng để tính trung bình bình phương của F n (λ) tái F(λ) theo dρ(λ) Nếu f(x) và g(x) thuộc L²(0, ∞), thì F(λ) và G(λ) là biến đổi Fourier tương ứng theo dρ(λ), và F(λ) ± G(λ) sẽ là biến đổi Fourier của f(x) ± g(x) Ngoài ra, chúng ta có hai định lý Parseval quan trọng trong lĩnh vực này.
Trù hai đang thúc trên ta đưac