Tẵch chêp
Trong không gian R^n, tích chập của hai hàm số f và g được định nghĩa bởi công thức ∫ f(y)g(x − y)dy, với x thuộc R^n Tích chập này được ký hiệu là f ∗ g Đặc biệt, trong trường hợp này, tích chập của hàm f theo hàm g và tích chập của hàm g theo hàm f là tương đương nhau Điều này được chứng minh thông qua định lý Fubini.
≤ ∫ Rn |g(y)| ∫ |f (x − y)| dx Σ dy ≤ ǁfǁL 1 (R n ) ǁgǁL 1 (R n ) nản f ∗ g ∈ L 1 ( R n ) v ǁf ∗ gǁL 1 (R n ) ≤ ǁfǁL 1 (R n ) ǁgǁL 1 (R n )
Tờng quĂt, vợi f ∈ L 1 ( R n ), g ∈ L p ( R n )(1 ≤ p ≤ ∞) ta cõ bĐt ¯ng thực Young nh÷ sau ǁf ∗ gǁ p ≤ ǁfǁ p ǁgǁ 1
1.3 Khổng gian cĂc h m giÊm nhanh S (R n ) ành nghắa 1.2 Khổng gian S ( R n ) l têp hủp
Vẵ dử 1.1 Khổng gian C 0 ∞ ( R n ) l khổng gian con cừa khổng gian cĂc h m giÊm nhanh S ( R n ).
Vẵ dử 1.2 Cho h m số ϕ (x) = e −ǁxǁ 2 , x
∈ R n Khi õ ϕ l h m số thuởc khổng gian c¡c h m gi£m nhanh S ( R n ).
1.4.1 Ph²p bián ời Fourier trong khổng gian c¡c h m gi£m nhanh
S (R n ) ành nghắa 1.3 Cho h m f ∈ S ( R n ) Bián ời Fourier cừa h m f kỵ hiằu l f ^ (ξ) hay F (f ) (ξ), l h m ữủc x¡c ành bði
∫ e −i(x,ξ) f (x) dx trong â x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n , ξ = (ξ 1 , ξ 2 , , ξ n ) ∈ R n ành nghắa 1.4 Bián ời Fourier ngữủc cừa h m f ∈ S ( R n ) l h m ữủc xĂc ành bði
Tứ ành nghắa trản ta dạ d ng suy ra: Bián ời Fourier (v ngữủc cừa nõ) l tuyán tẵnh, nghắa l :
BƠy giớ ta x²t cĂc tẵnh chĐt cừa bián ời Fourier, bián ời Fourier ngữủc cừa h m thuởc khổng gian c¡c h m gi£m nhanh S ( R n ). ành lþ 1.2 Cho h m ϕ ∈ S ( R n ) Khi â Fϕ, F −1 ϕ ∈ S ( R n ) v
Chựng minh Theo ành nghắa ph²p bián ời Fourier cừa h m ϕ thuởc khổng gian c¡c h m gi£m nhanh S ( R n ) câ
R n p dửng ành lỵ vã tẵnh khÊ vi cĂc tẵch phƠn phử thuởc tham số, ta cõ Ôo h m
= (−i) |α| F (x α ϕ (x)) (ξ) ∀ϕ ∈ S ( R n ) , e −i(x,ξ) x α ϕ (x) dx ∀ϕ ∈ S ( R n ) hởi tử tuyằt ối v ãu theo ξ trong R n v mồi α
Do h m ϕ ∈ S ( R n ) nản ∫ hởi tử tuyằt ối v ãu theo ξ trong R n
Do õ, tỗn tÔi Ôo h m D α (Fϕ) (ξ) , dăn án Fϕ ∈ C ∞
( R n ) Vẳ thá mội ξ ∈ R n , β, γ ∈ Z n , cõ ǁxǁ→ lim
Sỷ dửng ph²p tẵnh tẵch phƠn tứng phƯn |β| lƯn cho (1.2), ta ữủc
Nhữ vêy, vợi mội α, β ∈ Z n , cõ ξ β D α ( ϕ) (ξ) = (2π) −n/2
(−ix) α ϕ (x) Σ dx, (1.3) nhên thĐy rơng
Tứ cổng thực (1.3), cho α = 0, β ∈ Z n ta nhên ữủc ξ β F ϕ
Vêy ph²p bián ời Fourier l Ănh xÔ tuyán tẵnh liản tửc trản khổng gian cĂc h m giÊm nhanh S ( R n ) ối vợi ξ x x∈R n
Σ ph²p bián ời Fourier ngữủc F −1 ta chùng minh t÷ìng tü.
Chựng minh ữủc ho n th nh ành lþ 1.3 Cho h m ϕ ∈ S
Tứ õ suy ra ph²p bián ời Fourier(cụng nhữ ngữủc cừa nõ) l ph²p ùng 1-1.
Chựng minh Sỷ dửng ành nghắa bián ời Fourier cho h m ψ (x) trong khổng gian c¡c h m gi£m nhanh S ( R n ), câ ψ (x) = (2π) −n/2
R n ϕ (x) Fψ (x) dx (1.5) Tữỡng tỹ, ta nhên ữủc
M°t khĂc, vợi cĂc h m ϕ, ψ ∈ S ( R n ) theo ành lỵ Fubini, cõ
Kát hủp (1.5), (1.6) v (1.7), ta Ôt ữủc
∫ ϕ (x) Fψ (x) dx = ∫ ψ (ξ) (Fϕ) (ξ) dξ ∀ϕ, ψ ∈ S ( R n ) (1.8) Bơng cĂch cho h m ta thĐy rơng
F −1 ϕ = Fϕ, ϕ = Fψ v sỷ dửng (1.8), ta nhên ữủc ϕ (x) 2 dx = ∫ |Fϕ (ξ)| dξ ∀ϕ ∈ S ( R )
Nhữ vêy, ph²p bián ời Fourier F l mởt ¯ng cĐu tuyán tẵnh, tỹ liản hủp, ¯ng cỹ trản khổng gian cĂc h m giÊm nhanh S ( R n ) vợi khổng gian metric L 2 ( R n ).
Chựng minh ữủc ho n th nh
Dữợi Ơy ta s³ trẳnh b y mởt số tẵnh chĐt cừa ph²p bián ời Fourier vã tẵch chêp trong khổng gian cĂc h m giÊm nhanh S ( R n ).
1.4.2 Bián ời Fourier trong khổng gian L 1 (R n ) ành nghắa 1.5 Cho h m f ∈ L 1 ( R n ) ƒnh Fourier cừa h m f kỵ hiằu l f ^ (ξ) hay
Mằnh ã 1.5 Bián ời Fourier cừa mởt h m khÊ tẵch tuyằt ối trản R n l mởt h m bà ch°n trản R n Hỡn nỳa f (y) (2π) −n/2
Chựng minh Tứ ành nghắa ta suy ra
Kát hủp iãu n y vợi e −ixy = 1 , suy ra
Chựng minh ữủc ho n th nh ^ |f (x)| dx∀y ∈ R n
Ch÷ìng 2 Ănh giĂ tẵch phƠn dao ởng
Cho P d l têp hủp tĐt cÊ cĂc a thực vợi hằ số thỹc cõ bêc khổng vữủt quĂ d Cho
P ∈ P d ta x²t giĂ trà chẵnh cừa tẵch phƠn sau
Mửc ẵch cừa chữỡng n y l Ănh giĂ cên trản v cên dữợi cừa I (P ) bơng cĂc hơng số ch¿ phử thuởc v o bêc d cừa a thực P (x) Nởi dung chữỡng 2 n y dỹa trản t i liằu số [4].
2.1 Ănh giĂ cên dữợi cừa tẵch phƠn dao ởng ành lỵ 2.1 Cho d ∈ N Khi õ, tỗn tÔi hơng số dữỡng c 1 khổng phử thuởc v o d sao cho c 1 log d sup
Trữợc khi ữa ra chựng minh ành lỵ trản, ta nhc lÔi bờ º Vander Corput.
Mằnh ã 2.1 Cho φ : [a, b] → R l h m số khÊ vi liản tửc cĐp k thọa mÂn φ (k)
(t) ≥ 1 vợi mồi t ∈ [a, b] (náu k = 1 ta giÊ sỷ thảm φ j l h m ỡn iằu) v cho ψ l h m khÊ vi cĐp 1 trản [a, b] Khi õ vợi mồi λ ∈ R , ta luổn cõ
a |λ| k trong õ hơng số C k khổng phử thuởc v o a, b v φ, ψ
Tiáp theo, ta chựng minh bờ ã sau.
Bờ ã 2.1 Cho n ≥ 3, f l h m số liản tửc trản R thọa mÂn f (t) = 1 náu 1
≤ t ≤ 1− 1 , f (t) = −1 náu −1 + 1 ≤ t ≤ − 1 , f (t) = 0 náu |t| ≥ 1 v tuyán tẵnh trong mội kho£ng n n n sao cho I (f ) = n
p.v ∫ e if(t) dt ≥ c log n (2.1) Chựng minh Tứ giÊ thiát, ta suy ra f l h m l´ v f (t) = 0 ∀ |t| ≥ 1, do õ
∫ 1 sin f ( t ) dt iãu n y dăn án
Khi õ tỗn tÔi hơng số c khổng phử thuởc v o n
Kát hủp (2.2), (2.3), (2.4) v (2.5), ta thu ữủc
Chựng minh ữủc ho n th nh
Vợi mội k ∈ N, ta xĂc ành h m φ k : R → R nhữ sau:
, (2.6) trong õ hơng số C k ữủc chồn thọa mÂn ¯ng thực
0 ) ð Ơy B(., ) l h m beta Sỷ dửng cĂc tẵnh cỡ bÊn cừa h m beta, ta suy ra
Vợi h m f xĂc ành nhữ trong Bờ ã 2.1, ta xƠy dỹng h m P k xĂc ành trản R nh÷ sau
Ró r ng h m P k l a thực bêc khổng vữủt quĂ 2k 2 Ta cõ bờ ã sau vã cĂc tẵnh chĐt cừa cĂc a thực P k
Bờ ã 2.2 Cho P k l h m số ữủc ành nghắa nhữ trong cổng thực (2.8) ð trản Khi â ta câ c¡c kh¯ng ành sau
(i) P k l mởt a thực l´ bêc 2k 2 − 1 vợi hằ số Ưu tiản ữủc tẵnh theo cổng thực
Nõi riảng, ∀t ∈ R ta luổn cõ
Chựng minh (i) Sỷ dửng (2.8) ta cõ
−1 f (x)dx = 0, kát hủp iãu n y vợi (2.9), ta nhên ữủc ¯ng thùc sau
X²t số hÔng gn vợi bêc cao nhĐt trong cổng thực trản ta cõ a k = = (−1) k 2 +1
Kát hủp vợi φ k l h m chđn, ta nhên ữủc
Chựng minh ữủc ho n th nh
Bờ ã 2.3 Cho h m f xĂc ành nhữ trong
Chựng minh Tứ giÊ thiát ta suy ra
Hỡn nỳa, do |f| bà ch°n bði 1, nản
Kát hủp iãu n y vợi (2.10), (2.11), ta suy ra
Hỡn nỳa, tứ giÊ thiát ta suy ra
Ta Ănh giĂ riảng tứng tẵch phƠn nhữ sau
Ta tĂch tẵch phƠn ∫ 2 ∫ 1 A(x,t) φ n (x) dtdx th nh bÊy tẵch ph¥n sau n
( x , t ) n n n n t dtφ n (x) dx n n t dtφ n (x) dx = n 4nxlog (1 + nx )φ n (x) dx
1 − v Ăp dửng cổng thực (2.13), ta ữủc A(x, t) = 0 Do õ
Ta công câ ¡nh gi¡ sau
Chùng minh ữủc ho n th nh
B¥y gií ta chùng minh ành lþ 2.1.
Chùng minh ành lþ 2.1 X²t P n l a thực ữủc ành nghắa trong (2.8), n
0 t p dửng Bờ ã 2.1 thẳ tỗn tÔi hơng sè c 2 sao cho I(f ) ≥ c 2 log n Do â
X²t R ≥ 1 Sỷ dửng phƯn (i) cừa bờ ã 2.2 v Ăp dửng Mằnh ã 2.1 ta thu ữủc
Sỷ dửng phƯn (ii) cừa Bờ ã 2.2 v b§t ¯ng thùc
Kát hủp iãu n y vợi Bờ ã 2.3, ta suy ra
(2.17) Chùng minh ữủc ho n th nh bơng c¡ch ¡p dửng (2.14), (2.15) (2.16) , v (2.17).
2.2 Ănh giĂ cên trản cừa tẵch phƠn dao ởng ành lỵ 2.2 Cho d ∈ N Khi õ, tỗn tÔi hơng số dữỡng c 2 khổng phử thuởc v o d sao cho su p
Trữợc khi chựng minh kát quÊ trản, ta cƯn kát quÊ vã têp mực dữợi cừa mởt a thực trong bờ ã sau ữủc chựng minh bði Vinogradov [5].
Bờ ã 2.4 Cho h(t) = b 0 + b 1 t + + b 1 t n l a thực bêc n Khi õ
Chứng minh rằng tập hợp E α = {t ∈ [1, 2] : |h(t)| ≤ α} là hợp của các khoảng rời nhau Ta sẽ phân chia các khoảng này thành n khoảng mở I, với chiều dài |E α| và chia đều mỗi khoảng thành n + 1 điểm Tiếp theo, ta phân chia các khoảng mới thành lối và trắc ban ưu của chúng, tạo ra n + 1 điểm x0, x1, x2, , xn ∈ E α thỏa mãn điều kiện cần thiết.
(2.18) n a thực Lagrange vợi cĂc giĂ trà nởi suy h (x 0 ) , h (x 1 ) , , h(x n ) chẵnh l a thùc h(x) : n h (x) = h
Vẳ vêy, ta cõ cổng thực tẵnh cĂc hằ số cừa a thực h(x) nhữ sau: b k = Σ h(x j ) (−1) n−k σ n− k
Trong cổng thực trản, σ n−k (x 0 , , xˆ j , , x n ) l h m số ối xựng cỡ bÊn thự
(n−k) cừa x 0 , , xˆ j , , x n ð Ơy x j bà lữủc bọ Kát hủp (2.18) v σ n−k
≤ c√ n , ta cõ bĐt ¯ng thực sau cho mồi k = 0, 1, , n,
8 n n n α iãu n y dăn án = n − k 2 n ≤ c√ n n! |E α | n n! |E | do vêy ma x
Chựng minh ữủc ho n th nh
Chùng minh ành lþ 2.2 Ta °t
Ta lĐy a thực bĐt ký P bêc khổng vữủt quĂ d , giÊ ành rơng bĐt ¯ng thực n y khổng cõ hằ số tỹ do, tực l P (0) = 0 Ta °t k = Σ d Σ v biºu diạn
+ a 2d t d °t |a l | = max k+1≤j≤d |a j | vợi k + 1 ≤ l ≤ d Ta cõ thº giÊ sỷ |a l | = 1 v vẳ vêy |a j | ≤ 1 vợi ∀k + 1 ≤ j ≤ d BƠy giớ tĂch tẵch phƠn ð (2.19) th nh hai th nh phƯn nhữ sau:
Vợi I 1ta câ I ≤ ∫ Σ e iP (t) − e iQ(t) Σ dt +
Vợi tẵch phƠn thự hai ð (2.20) ta câ
Vợi α > 0 ữủc xĂc ành sau, ta t¡ch I + th nh hai th nh ph¦n nh÷ sau
Vẳ vêy ta ¢ chù ng tọ rơng
X²t a thực P J (2 m t) vợi cĂc hằ số ja j 2 m(j−1) , 1 ≤ j ≤ d Rã r ng
Sỷ dửng Bờ ã 2.4 v (2.21) ta cõ
Hiºn nhiản, tẵnh toĂn tữỡng tỹ văn úng vợi I 2 − Kát hủp cĂc Ănh giĂ ð trản, ta cõ
Tối ữu hõa theo bián α , ta câ
Sỷ dửng ph²p quy nÔp trản n ta cõ K 2 n ≤ cn BƠy giớ, viằc chựng tọ bĐt ¯ng thực vợi d bĐt kẳ l hiºn nhiản, vẳ vợi 2 n−1 < 2 n , thẳ
Chựng minh ữủc ho n th nh
Ch÷ìng 3 ìợc lữủng chuân cừa toĂn tỷ tẵch phƠn dao ởng
Trong chữỡng n y, chúng ta s³ Ănh giĂ chuân cừa toĂn tỷ tẵch phƠn dao ởng Fourier
R e iλS(x,y) ψ(x, y)φ(y)dy, (3.1) trong đó S(x, y) là một hàm phân hình giá trị thực, ψ(x, y) là hàm khả vi với giá trị compact và λ là một tham số lớn Chúng ta sẽ tập trung vào dạng điều kiện của chuẩn toán tỷ ǁ T λ ǁ L p →L 2 khi λ → ∞ với hàm phân S(x, y) có nội dung.
S(x, y) = ax j 1 y k 1 + bx j 2 y k 2 + H(x, y), (3.2) trong õ k 1 , j 1 , k 2 , j 2 ∈ N, a, b ∈ R Nởi dung chữỡng 3 n y dỹa trản t i liằu số [3].
Ta có phương trình ta x²t 1 p 2, với r = 2q = p p−1 Để xác định mối quan hệ giữa các biến, ta xem xét v viát ǁ T λ ǁ L p →L 2 = O Từ đó, tồn tại một hằng số C > 0 sao cho ǁ T λ ǁ L p →L 2 ≤ C|λ| γ Trong phần tiếp theo, chúng ta chỉ cần xem xét trường hợp λ > 0, vì trường hợp λ < 0 đã được chứng minh trước đó Cuối cùng, toán tỷ T λ sẽ được xác định trong (3.1), cho thấy rằng toán tỷ liền hợp được xác lập.
( T ∗ λ φ)(z) = ∫R e −iλS(y,z) ψ(y, z)φ(y)dy v hÔt nhƠn K (x, y) cừa T λ T ∗ λ ữủc ữa ra bði
Ta kẵ hiằu M := sup{|x| + |y| (x, y) ∈ supp ψ},
Trong cĂc Ănh giĂ sau, mởt hơng số chung C s³ ữủc sỷ dửng trong tĐt cÊ cĂc ữợc tẵnh cừa K(x, y)
Bờ ã 3.1 Cho x, y ∈ R l cĂc số thỹc, v cho j ∈
N Khi â ta câ c¡c kh¯ng ành sau
Chùng minh ¦u tiản, ta cõ :
• Chựng minh (3.6) vợi j := 2m + 2 Sỷ dửng (3.8), ta th§y m
Chùng minh ữủc ho n th nh
(3.6) trð th nh ¯ng thùc khi v ch¿ khi x = y , ho°c x = −y,
Gi£ sû x, y ð xa gốc toÔ ở tỗn tÔi mởt hơng sè C sao cho
Chựng minh GiÊ sỷ cõ mởt số dữỡng δ sao cho |x| ≥ δ v |y| ≥ δ p dửng b§t ¯ng thùc (3.9), (3.10) ta câ:
2 ≥ δ |x − y | nản ta chựng minh ữủc ữợc tẵnh C = δ −2m Chựng minh ữủc ho n th nh
Bờ ã tiáp theo s³ chựng minh cho kát quÊ chẵnh ð b i viát n y.
1 T λ ∗ T λ xĂc ành mởt toĂn tỷ rơng buởc tứ L p ( R ) án L r ( R ) vợi mởt giợi hÔn trản cừa chuân l C K,q
2 T λ xĂc ành mởt toĂn tỷ rơng buởc tứ L p ( R ) tợi L 2 ( R ) vợi mởt giợi hÔn trản cõa chu©n l (C K,q ) 1/2
Chựng minh Tứ giÊ thiát, ta suy ra rơng 1 ≤ q, r ≤ ∞, (1/r) + (1/p) = 1, v
1 = 1 + 1 − 1 X²t φ ∈ L p ( R ) Bơng cĂch ời bián số trong tẵch phƠn v Ăp dửng bĐt ¯ng thùc Holder cho (1/r) + (1/p) = 1, ta câ
Tứ ành nghắa cừa toĂn tỷ T λ v T λ ∗ ta thĐy
Tứ õ, toĂn tỷ T λ ∗ T λ l mởt toĂn tỷ tẵch phƠn vợi K (x, y) ữủc xĂc ành nhữ sau dy
Kát hủp (3.3), bĐt ¯ng thực dÔng Young trong chữỡng 1 v 1 = 1 + 1 − 1 ta ữủc ǁT λ ∗ T λ φǁ r ≤ C K,q ǁφǁ p (3.14)
Kát hủp (3.12) v (3.14) ữủc thoÊ mÂn (3.11).
Chựng minh ữủc ho n th nh
3.2 Tẵch phƠn dao ởng vợi h m pha lai a thực
Ta °t Q (x,y) (z) := S(x, z) − S(y, z), ữủc xem nhữ mởt h m cừa bián z ∈
Ta quan tƠm án cĂc iãu kiằn sau trong h m số Q (x,y) (z). d k 1 j j dz k
Ta xĂc ành β thổng qua cĂc số k 1 , j 1 , k 2 , j 2 nhữ sau
Q (x,y) (z) ≥ C 1 |x 1 − y 1 | vợi hơng số C 1 > 0, (3.15) v thảm v o õ Q J (x,y) (z) l h m ỡn iằu khi k 1 = 1
Q (x,y) (z) ≥ C 2 |x 2 − y 2 | vợi hơng số C 2 > 0, (3.16) v thảm v o õ Q J (x,y) (z) l h m ỡn iằu khi k 2 = 1
Khi â ta câ c¡c kh¯ng ành sau (1)Náu ẵt nhĐt mởt trong 2 iãu kiằn
< k 2 ữủc t h o £ m ¢ n , t h ẳ q q ǁ T λ ǁ L p →L 2 = O λ −β Σ , tÔi õ β ữủc ữa ra bði cổng thùc (3.18).
(2)Náu ẵt nhĐt mởt trong 2 iãu kiằn (3.15) vợi j 1 = k 1 , v (3.16) vợi j 2 = k 2 ữủc th o£ m ¢n , th ẳ q q
2 tÔi õ β ữủc ữa ra bði (3.18). log 2 λ ,
(3) Náu cÊ (3.15)-(3.16) ãu úng vợi ( k 1
≤ q q tÔi õ β ữủc ữa ra bði (3.17).
(4) Náu cÊ (3.15)-(3.16) ãu úng vợi ( k 1 − j 1 )( k 2 − j 2 ) = 0, thẳ q ǁ T λ ǁ L p →L 2 = O tÔi õ β ữủc ữa ra bði (3.18). q
Chựng minh °t γ 1 = k 1 , γ 2 = k 2 Ta biát rơng, hÔt nhƠn K (x, y) cừa toĂn tỷ T λ T ∗ λ q q ÷a ra bði (3.3) nh÷ sau
Chùng minh cho (1) Ta ch¿ cƯn chựng minh cho trữớng hủp
(3.15) ữủc thoÊ mÂn vợi j 1 < γ 1 p dửng (3.15) v bờ ã Vander Corput, ta câ
• Trữớng hủp 1 j 1 l số l´ Sỷ dửng bờ ã 3.1 ta cõ
Ta th§y, do j 1 < γ 1, nản λ γ 1 M |x 1 − y 1 | γ 1 λ γ 1 M |x − y| γ 1 dy j 1
Kát hủp iãu n y vợi (3.20), ta nhên ữủc
• Trữớng hủp 2 j 1 l số chđn p dửng (3.19) v bờ ã 3.1, ta cõ
Kát hủp iãu n y vợi (3.22), ta nhên
Tõm lÔi, vợi mồi j ∈ N, ta luổn cõ
T÷ìng tü ¡nh gi¡ n y công óng khi ta thay M |K(x, y)| q dy bði
∫ ∫ Ăp dửng Bờ ã 3.2 ta suy ra
Chựng minh (2) Dạ d ng thĐy rơng sup
Kát hủp vợi (3.19), ta ữủc γ 1 γ 1
• Trữớng hủp 1 γ 1l số l´ p dửng (3.24), ta cõ
Sỷ dửng Bờ ã 3.1 ta ữủc
• Trữớng hủp 2 γ 1l số chđn p dửng (3.24), ta thu ữủc
Tõm lÔi, vợi mồi j ∈ N, ta luổn cõ
T÷ìng tü ¡nh gi¡ n y công óng khi ta thay M |K(x, y)| q dy bði
M |K(x, y)| q dx , v Ăp dửng Bờ ã 3.2 ta suy ra
Chựng minh (3) Cõ hai khÊ nông j 1 < γ 1 v j 2 > γ 2, ho°c j 1 > γ 1 v j 2 < γ 2 Ta s³ chựng minh cho trữớng hủp khi j 1 < γ 1 v j 2 > γ 2, trữớng hủp cỏn lÔi câ thº coi l t÷ìng tü Theo gi£ ành (3.15)-(3.16):
|Q (z)| ≥ C 1 |x − y |; |Q (z)| ≥ C 2 |x − y |, nản Ăp dửng Bờ ã Vander Corput, ta nhên ữủc
∫ |K(x, y)| q dy ≤ Cλ −2β (3.26) bơng cĂch chia l m 4 trữớng hủp º chựng minh iãu n y, ta sỷ dửng Bờ ã 3.1 º câ b§t ¯ng thùc d¤ng sau
−j2 , (3.27) vợi mồi x ∈ M, v vợi mồi y trong D 1 v D 2 , dỹa trản tẵnh chđn ho°c l´ cừa j 1 , j 2 Cử thº nhữ sau.
• Trữớng hủp 1 j 1 , j 2 l số l´ Kát hủp (3.25) v Bờ ã 3.1 ta cõ
Ta ¡nh gi¡ tron g (3.29) bơng c¡ch chồn α thọa m ¢n α
Vander Corput v Bờ ã 3.1 ta câ
M Vợi y ∈ D 1 ta câ ¡nh gi¡
Tối ữu hõa Ănh giĂ trản ta ữủc
• Trữớng hủp 3 j 1 l số l´, j 2 l số chđn Tứ Bờ ã 3.1 ta câ
Tữỡng tỹ nhữ Trữớng hủp
2, ta câ thº chùng minh rơng
Tữỡng tỹ nhữ Trữớng hủp 2 ta cõ
Trong trường hợp 4, j1 là số chẵn và j2 là số lẻ Bằng cách hoàn thành vai trò của j1 và j2, chúng ta có thể tranh cự cho trường hợp này Tóm lại, với tất cả các trường hợp của j1 và j2, chúng ta có thể đưa ra các kết luận rõ ràng.
T÷ìng tü ¡nh gi¡ n y công óng khi ta thay M |K(x, y)| q dy bði
M |K(x, y)| q dx , v Ăp dửng Bờ ã 3.2 ta suy ra
Chựng minh (4) Chúng ta ch¿ chựng minh trữớng hủp j 1 < γ 1 v j 2 = γ 2 v cĂc trữớng hủp cỏn lÔi cõ thº ữủc chựng minh tữỡng tỹ.
T÷ìng tü ¡nh gi¡ n y công óng khi ta thay M |K(x, y)| q dy bði
M |K(x, y)| q dx , v Ăp dửng Bờ ã 3.2 ta suy ra
C 1 ǁ T λ ǁ L p →L 2 ≤ 1 log 2 λ λ 2γ 1 kát hủp vợi Bờ ã 3.2 ta chựng minh ữủc trữớng hủp n y.
Trường hợp hợp cừa j1 và j2 được xem xét, với các trường hợp còn lại có thể chứng minh và tiến hành theo các trường hợp đã xác định Những yếu tố logarit cần được thẩm định và đưa vào trong quá trình đánh giá Bước 3.1 đã được chứng minh hoàn tất, và việc chứng minh này sẽ hoàn thiện thành một hệ thống logic chặt chẽ.
Chú ỵ 3.1 Trồng tƠm cừa ành lỵ nơm ð (3) v (4) Theo õ, vợi giÊ thiát (3.15)- (3.16) thọa mÂn vợi q ( k 1 − j 1 )( k 2 − j 2 ) ≤ 0 Bơng ph²p tẵnh ỡn giÊn ta cõ Σ 1 Σ Σ q
Do õ, náu 2 iãu kiằn (3.15)-(3.16) cõ thº kát hủp, tốc ở hởi tử cừa chuân toĂn tỷ tợi 0 ữủc Ănh giĂ chẵnh xĂc hỡn Theo õ kát quÊ cho pha a thực ỗng nhĐt ữủc chẵnh minh ð ành lẵ 3.1.
Ta x²t cĂc h m pha a thực ỗng nhĐt dữợi Ơy k 0
S 3 (x, y) = a 2j x 2n−2j+1 y 2j (3.36) j=j 0 é Ơy cõ thº giÊ ành rơng a 2j 0 a 2k 0
0 GiÊ sỷ mồi hằ số trong
S(x, y) cũng dĐu, tực l , a A a A+2 ≥ 0 vợi tĐt cÊ A = j 0 , Ta cõ thº dạ d ng kiºm tra rơng tứng a thực S 1 (x, y), S 2 (x, y), v S 3 (x, y) thọa mÂn 2 iãu kiằn (3.15) v (3.16) Cử thº, S 1 (x, y), S 2 (x, y), v S 3 (x, y) cũng nhau thọa mÂn(3.15)- (3.16) theo cĂc c°p ổi
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các biểu thức toán học liên quan đến các điểm (2j₀, 2n - 2j₀) và (2k₀, 2n - 2k₀), cũng như các biến thể của chúng như (2j₀ + 1, 2n - 2j₀ + 1) và (2k₀ + 1, 2n - 2k₀ + 1) Chúng ta cũng nghiên cứu sự khác biệt giữa các giá trị v(2j₀, 2n - 2j₀ + 1) và (2k₀, 2n - 2k₀ + 1) Các biểu thức này được diễn tả qua các công thức (3.34) - (3.36), trong đó có những hằng số cụ thể Đặc biệt, khi δ = 2n, các biểu thức (3.34) - (3.35) và δ = 2n + 1 cho (3.36) sẽ được áp dụng để phân tích sâu hơn.
Hằ quÊ 3.2 ToĂn tỷ T λ vợi h m pha S(x, y) ∈ S l L 2 bà giợi hÔn vợi ành mùc quy ành nh÷ sau:
(2) H m pha (3.34) vợi mởt trong hai trữớng hủp ho°c l 0 ≤ j 0 = n/2 < k 0 ≤ n, ho°c 0 ≤ j 0 < n/2 = k 0 ≤ n; h m pha (3.35) vợi mởt trong hai trữớng hủp ho°c l 0 ≤ j 0 = (n − 1)/2 < k 0 ≤ n, or 0 ≤ j 0 < (n − 1)/2 = k 0 ≤ n;
Vẵ dử 3.1 GiÊ sỷ S(x, y) thọa mÂn giÊ ành (3.15)-(3.16), m tÔi õ (j 1 , k 1 )
= (m − 1, 1); (j 2 , k 2 ) = (1, n − 1) Ta thĐy rơng trữớng hủp n y thọa mÂn (3) cõa ành lþ 3.1.Thảm v o õ, cổng thực (3.17) cho β = ( j 2 − k 2 ) − ( j 1 − k 1 )
= m + n − 4 2(k 1 j 2 − k 2 j 1 ) 2(mn − m − n) , Ơy chẵnh l tốc ở ữủc thiát lêp trong [5, 6].
Luên vôn  trẳnh b y mởt số kát quÊ vã tẵch phƠn dao ởng Nởi dung chẵnh cừa luên vôn bao gỗm:
• KhĂi niằm, tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa phƠn hoÔch ỡn và, tẵch chêp, khổng gian cĂc h m giÊm nhanh S ( R n ) v mởt số ành lẵ quan trồng cừa ph²p bián ời Fourier.
• Uợc lữủng tẵch phƠn dao ởng Stein-Wainger thổng qua bêc cừa a thực.
• ữa ra Ănh giĂ chuân cừa toĂn tỷ dao ởng tứ khổng gian L p ( R ) v o khổng gian L 2 ( R ).
Tổi xin chƠn th nh cÊm ỡn!
Ph²p bián ời Fourier
Ph²p bián ời Fourier trong khổng gian cĂc h m giÊm
S (R n ) ành nghắa 1.3 Cho h m f ∈ S ( R n ) Bián ời Fourier cừa h m f kỵ hiằu l f ^ (ξ) hay F (f ) (ξ), l h m ữủc x¡c ành bði
∫ e −i(x,ξ) f (x) dx trong â x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n , ξ = (ξ 1 , ξ 2 , , ξ n ) ∈ R n ành nghắa 1.4 Bián ời Fourier ngữủc cừa h m f ∈ S ( R n ) l h m ữủc xĂc ành bði
Tứ ành nghắa trản ta dạ d ng suy ra: Bián ời Fourier (v ngữủc cừa nõ) l tuyán tẵnh, nghắa l :
BƠy giớ ta x²t cĂc tẵnh chĐt cừa bián ời Fourier, bián ời Fourier ngữủc cừa h m thuởc khổng gian c¡c h m gi£m nhanh S ( R n ). ành lþ 1.2 Cho h m ϕ ∈ S ( R n ) Khi â Fϕ, F −1 ϕ ∈ S ( R n ) v
Chựng minh Theo ành nghắa ph²p bián ời Fourier cừa h m ϕ thuởc khổng gian c¡c h m gi£m nhanh S ( R n ) câ
R n p dửng ành lỵ vã tẵnh khÊ vi cĂc tẵch phƠn phử thuởc tham số, ta cõ Ôo h m
= (−i) |α| F (x α ϕ (x)) (ξ) ∀ϕ ∈ S ( R n ) , e −i(x,ξ) x α ϕ (x) dx ∀ϕ ∈ S ( R n ) hởi tử tuyằt ối v ãu theo ξ trong R n v mồi α
Do h m ϕ ∈ S ( R n ) nản ∫ hởi tử tuyằt ối v ãu theo ξ trong R n
Do õ, tỗn tÔi Ôo h m D α (Fϕ) (ξ) , dăn án Fϕ ∈ C ∞
( R n ) Vẳ thá mội ξ ∈ R n , β, γ ∈ Z n , cõ ǁxǁ→ lim
Sỷ dửng ph²p tẵnh tẵch phƠn tứng phƯn |β| lƯn cho (1.2), ta ữủc
Nhữ vêy, vợi mội α, β ∈ Z n , cõ ξ β D α ( ϕ) (ξ) = (2π) −n/2
(−ix) α ϕ (x) Σ dx, (1.3) nhên thĐy rơng
Tứ cổng thực (1.3), cho α = 0, β ∈ Z n ta nhên ữủc ξ β F ϕ
Vêy ph²p bián ời Fourier l Ănh xÔ tuyán tẵnh liản tửc trản khổng gian cĂc h m giÊm nhanh S ( R n ) ối vợi ξ x x∈R n
Σ ph²p bián ời Fourier ngữủc F −1 ta chùng minh t÷ìng tü.
Chựng minh ữủc ho n th nh ành lþ 1.3 Cho h m ϕ ∈ S
Tứ õ suy ra ph²p bián ời Fourier(cụng nhữ ngữủc cừa nõ) l ph²p ùng 1-1.
Chựng minh Sỷ dửng ành nghắa bián ời Fourier cho h m ψ (x) trong khổng gian c¡c h m gi£m nhanh S ( R n ), câ ψ (x) = (2π) −n/2
R n ϕ (x) Fψ (x) dx (1.5) Tữỡng tỹ, ta nhên ữủc
M°t khĂc, vợi cĂc h m ϕ, ψ ∈ S ( R n ) theo ành lỵ Fubini, cõ
Kát hủp (1.5), (1.6) v (1.7), ta Ôt ữủc
∫ ϕ (x) Fψ (x) dx = ∫ ψ (ξ) (Fϕ) (ξ) dξ ∀ϕ, ψ ∈ S ( R n ) (1.8) Bơng cĂch cho h m ta thĐy rơng
F −1 ϕ = Fϕ, ϕ = Fψ v sỷ dửng (1.8), ta nhên ữủc ϕ (x) 2 dx = ∫ |Fϕ (ξ)| dξ ∀ϕ ∈ S ( R )
Nhữ vêy, ph²p bián ời Fourier F l mởt ¯ng cĐu tuyán tẵnh, tỹ liản hủp, ¯ng cỹ trản khổng gian cĂc h m giÊm nhanh S ( R n ) vợi khổng gian metric L 2 ( R n ).
Chựng minh ữủc ho n th nh
Dữợi Ơy ta s³ trẳnh b y mởt số tẵnh chĐt cừa ph²p bián ời Fourier vã tẵch chêp trong khổng gian cĂc h m giÊm nhanh S ( R n ).
Bián ời Fourier trong khổng gian L 1 (R n )
ành nghắa 1.5 Cho h m f ∈ L 1 ( R n ) ƒnh Fourier cừa h m f kỵ hiằu l f ^ (ξ) hay
Mằnh ã 1.5 Bián ời Fourier cừa mởt h m khÊ tẵch tuyằt ối trản R n l mởt h m bà ch°n trản R n Hỡn nỳa f (y) (2π) −n/2
Chựng minh Tứ ành nghắa ta suy ra
Kát hủp iãu n y vợi e −ixy = 1 , suy ra
Chựng minh ữủc ho n th nh ^ |f (x)| dx∀y ∈ R n
Ch÷ìng 2 Ănh giĂ tẵch phƠn dao ởng
Cho P d l têp hủp tĐt cÊ cĂc a thực vợi hằ số thỹc cõ bêc khổng vữủt quĂ d Cho
P ∈ P d ta x²t giĂ trà chẵnh cừa tẵch phƠn sau
Mửc ẵch cừa chữỡng n y l Ănh giĂ cên trản v cên dữợi cừa I (P ) bơng cĂc hơng số ch¿ phử thuởc v o bêc d cừa a thực P (x) Nởi dung chữỡng 2 n y dỹa trản t i liằu số [4].
Ănh giĂ cên dữợi cừa tẵch phƠn dao ởng
ành lỵ 2.1 Cho d ∈ N Khi õ, tỗn tÔi hơng số dữỡng c 1 khổng phử thuởc v o d sao cho c 1 log d sup
Trữợc khi ữa ra chựng minh ành lỵ trản, ta nhc lÔi bờ º Vander Corput.
Mằnh ã 2.1 Cho φ : [a, b] → R l h m số khÊ vi liản tửc cĐp k thọa mÂn φ (k)
(t) ≥ 1 vợi mồi t ∈ [a, b] (náu k = 1 ta giÊ sỷ thảm φ j l h m ỡn iằu) v cho ψ l h m khÊ vi cĐp 1 trản [a, b] Khi õ vợi mồi λ ∈ R , ta luổn cõ
a |λ| k trong õ hơng số C k khổng phử thuởc v o a, b v φ, ψ
Tiáp theo, ta chựng minh bờ ã sau.
Bờ ã 2.1 Cho n ≥ 3, f l h m số liản tửc trản R thọa mÂn f (t) = 1 náu 1
≤ t ≤ 1− 1 , f (t) = −1 náu −1 + 1 ≤ t ≤ − 1 , f (t) = 0 náu |t| ≥ 1 v tuyán tẵnh trong mội kho£ng n n n sao cho I (f ) = n
p.v ∫ e if(t) dt ≥ c log n (2.1) Chựng minh Tứ giÊ thiát, ta suy ra f l h m l´ v f (t) = 0 ∀ |t| ≥ 1, do õ
∫ 1 sin f ( t ) dt iãu n y dăn án
Khi õ tỗn tÔi hơng số c khổng phử thuởc v o n
Kát hủp (2.2), (2.3), (2.4) v (2.5), ta thu ữủc
Chựng minh ữủc ho n th nh
Vợi mội k ∈ N, ta xĂc ành h m φ k : R → R nhữ sau:
, (2.6) trong õ hơng số C k ữủc chồn thọa mÂn ¯ng thực
0 ) ð Ơy B(., ) l h m beta Sỷ dửng cĂc tẵnh cỡ bÊn cừa h m beta, ta suy ra
Vợi h m f xĂc ành nhữ trong Bờ ã 2.1, ta xƠy dỹng h m P k xĂc ành trản R nh÷ sau
Ró r ng h m P k l a thực bêc khổng vữủt quĂ 2k 2 Ta cõ bờ ã sau vã cĂc tẵnh chĐt cừa cĂc a thực P k
Bờ ã 2.2 Cho P k l h m số ữủc ành nghắa nhữ trong cổng thực (2.8) ð trản Khi â ta câ c¡c kh¯ng ành sau
(i) P k l mởt a thực l´ bêc 2k 2 − 1 vợi hằ số Ưu tiản ữủc tẵnh theo cổng thực
Nõi riảng, ∀t ∈ R ta luổn cõ
Chựng minh (i) Sỷ dửng (2.8) ta cõ
−1 f (x)dx = 0, kát hủp iãu n y vợi (2.9), ta nhên ữủc ¯ng thùc sau
X²t số hÔng gn vợi bêc cao nhĐt trong cổng thực trản ta cõ a k = = (−1) k 2 +1
Kát hủp vợi φ k l h m chđn, ta nhên ữủc
Chựng minh ữủc ho n th nh
Bờ ã 2.3 Cho h m f xĂc ành nhữ trong
Chựng minh Tứ giÊ thiát ta suy ra
Hỡn nỳa, do |f| bà ch°n bði 1, nản
Kát hủp iãu n y vợi (2.10), (2.11), ta suy ra
Hỡn nỳa, tứ giÊ thiát ta suy ra
Ta Ănh giĂ riảng tứng tẵch phƠn nhữ sau
Ta tĂch tẵch phƠn ∫ 2 ∫ 1 A(x,t) φ n (x) dtdx th nh bÊy tẵch ph¥n sau n
( x , t ) n n n n t dtφ n (x) dx n n t dtφ n (x) dx = n 4nxlog (1 + nx )φ n (x) dx
1 − v Ăp dửng cổng thực (2.13), ta ữủc A(x, t) = 0 Do õ
Ta công câ ¡nh gi¡ sau
Chùng minh ữủc ho n th nh
B¥y gií ta chùng minh ành lþ 2.1.
Chùng minh ành lþ 2.1 X²t P n l a thực ữủc ành nghắa trong (2.8), n
0 t p dửng Bờ ã 2.1 thẳ tỗn tÔi hơng sè c 2 sao cho I(f ) ≥ c 2 log n Do â
X²t R ≥ 1 Sỷ dửng phƯn (i) cừa bờ ã 2.2 v Ăp dửng Mằnh ã 2.1 ta thu ữủc
Sỷ dửng phƯn (ii) cừa Bờ ã 2.2 v b§t ¯ng thùc
Kát hủp iãu n y vợi Bờ ã 2.3, ta suy ra
(2.17) Chùng minh ữủc ho n th nh bơng c¡ch ¡p dửng (2.14), (2.15) (2.16) , v (2.17).
Ănh giĂ cên trản cừa tẵch phƠn dao ởng
ành lỵ 2.2 Cho d ∈ N Khi õ, tỗn tÔi hơng số dữỡng c 2 khổng phử thuởc v o d sao cho su p
Trữợc khi chựng minh kát quÊ trản, ta cƯn kát quÊ vã têp mực dữợi cừa mởt a thực trong bờ ã sau ữủc chựng minh bði Vinogradov [5].
Bờ ã 2.4 Cho h(t) = b 0 + b 1 t + + b 1 t n l a thực bêc n Khi õ
Chứng minh rằng tập hợp E α = {t ∈ [1, 2] : |h(t)| ≤ α} là hợp của các khoảng rời nhau Ta sẽ phân chia các khoảng này thành n khoảng, với chiều dài |E α| và chia đều vào n + 1 điểm cố định Tiếp theo, ta phân chia các khoảng mới thành lối và tạo ra một chuỗi các điểm x0, x1, x2, , xn ∈ E α thỏa mãn điều kiện cần thiết.
(2.18) n a thực Lagrange vợi cĂc giĂ trà nởi suy h (x 0 ) , h (x 1 ) , , h(x n ) chẵnh l a thùc h(x) : n h (x) = h
Vẳ vêy, ta cõ cổng thực tẵnh cĂc hằ số cừa a thực h(x) nhữ sau: b k = Σ h(x j ) (−1) n−k σ n− k
Trong cổng thực trản, σ n−k (x 0 , , xˆ j , , x n ) l h m số ối xựng cỡ bÊn thự
(n−k) cừa x 0 , , xˆ j , , x n ð Ơy x j bà lữủc bọ Kát hủp (2.18) v σ n−k
≤ c√ n , ta cõ bĐt ¯ng thực sau cho mồi k = 0, 1, , n,
8 n n n α iãu n y dăn án = n − k 2 n ≤ c√ n n! |E α | n n! |E | do vêy ma x
Chựng minh ữủc ho n th nh
Chùng minh ành lþ 2.2 Ta °t
Ta lĐy a thực bĐt ký P bêc khổng vữủt quĂ d , giÊ ành rơng bĐt ¯ng thực n y khổng cõ hằ số tỹ do, tực l P (0) = 0 Ta °t k = Σ d Σ v biºu diạn
+ a 2d t d °t |a l | = max k+1≤j≤d |a j | vợi k + 1 ≤ l ≤ d Ta cõ thº giÊ sỷ |a l | = 1 v vẳ vêy |a j | ≤ 1 vợi ∀k + 1 ≤ j ≤ d BƠy giớ tĂch tẵch phƠn ð (2.19) th nh hai th nh phƯn nhữ sau:
Vợi I 1ta câ I ≤ ∫ Σ e iP (t) − e iQ(t) Σ dt +
Vợi tẵch phƠn thự hai ð (2.20) ta câ
Vợi α > 0 ữủc xĂc ành sau, ta t¡ch I + th nh hai th nh ph¦n nh÷ sau
Vẳ vêy ta ¢ chù ng tọ rơng
X²t a thực P J (2 m t) vợi cĂc hằ số ja j 2 m(j−1) , 1 ≤ j ≤ d Rã r ng
Sỷ dửng Bờ ã 2.4 v (2.21) ta cõ
Hiºn nhiản, tẵnh toĂn tữỡng tỹ văn úng vợi I 2 − Kát hủp cĂc Ănh giĂ ð trản, ta cõ
Tối ữu hõa theo bián α , ta câ
Sỷ dửng ph²p quy nÔp trản n ta cõ K 2 n ≤ cn BƠy giớ, viằc chựng tọ bĐt ¯ng thực vợi d bĐt kẳ l hiºn nhiản, vẳ vợi 2 n−1 < 2 n , thẳ
Chựng minh ữủc ho n th nh
Ch÷ìng 3 ìợc lữủng chuân cừa toĂn tỷ tẵch phƠn dao ởng
Trong chữỡng n y, chúng ta s³ Ănh giĂ chuân cừa toĂn tỷ tẵch phƠn dao ởng Fourier
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét hàm R e iλS(x,y) ψ(x, y)φ(y)dy, trong đó S(x, y) là một hàm phân nhánh thực, ψ(x, y) là hàm khả vi với giá trị compact và λ là một tham số lớn Chúng ta sẽ tìm hiểu dạng tiệm cận của chuẩn toán tỷ ǁ T λ ǁ L p →L 2 khi λ tiến tới vô cùng với hàm phân S(x, y) có dấu hiệu cụ thể.
S(x, y) = ax j 1 y k 1 + bx j 2 y k 2 + H(x, y), (3.2) trong õ k 1 , j 1 , k 2 , j 2 ∈ N, a, b ∈ R Nởi dung chữỡng 3 n y dỹa trản t i liằu số [3].
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các tính chất của toán tử T λ với λ > 0, trong đó r = 2q = p p−1 và v viát ǁ T λ ǁ L p →L 2 = O Chúng ta chứng minh rằng tồn tại một hằng số C > 0 sao cho ǁ T λ ǁ L p →L 2 ≤ C|λ| γ Đặc biệt, đối với λ < 0, chúng ta cần chỉ ra rằng điều này không xảy ra Việc phân tích toán tử T λ được thực hiện theo định nghĩa trong (3.1), từ đó dẫn đến các kết quả chính xác về tính chất của nó.
( T ∗ λ φ)(z) = ∫R e −iλS(y,z) ψ(y, z)φ(y)dy v hÔt nhƠn K (x, y) cừa T λ T ∗ λ ữủc ữa ra bði
Ta kẵ hiằu M := sup{|x| + |y| (x, y) ∈ supp ψ},
Trong cĂc Ănh giĂ sau, mởt hơng số chung C s³ ữủc sỷ dửng trong tĐt cÊ cĂc ữợc tẵnh cừa K(x, y)
Bờ ã 3.1 Cho x, y ∈ R l cĂc số thỹc, v cho j ∈
N Khi â ta câ c¡c kh¯ng ành sau
Chùng minh ¦u tiản, ta cõ :
• Chựng minh (3.6) vợi j := 2m + 2 Sỷ dửng (3.8), ta th§y m
Chùng minh ữủc ho n th nh
(3.6) trð th nh ¯ng thùc khi v ch¿ khi x = y , ho°c x = −y,
Gi£ sû x, y ð xa gốc toÔ ở tỗn tÔi mởt hơng sè C sao cho
Chựng minh GiÊ sỷ cõ mởt số dữỡng δ sao cho |x| ≥ δ v |y| ≥ δ p dửng b§t ¯ng thùc (3.9), (3.10) ta câ:
2 ≥ δ |x − y | nản ta chựng minh ữủc ữợc tẵnh C = δ −2m Chựng minh ữủc ho n th nh
Bờ ã tiáp theo s³ chựng minh cho kát quÊ chẵnh ð b i viát n y.
1 T λ ∗ T λ xĂc ành mởt toĂn tỷ rơng buởc tứ L p ( R ) án L r ( R ) vợi mởt giợi hÔn trản cừa chuân l C K,q
2 T λ xĂc ành mởt toĂn tỷ rơng buởc tứ L p ( R ) tợi L 2 ( R ) vợi mởt giợi hÔn trản cõa chu©n l (C K,q ) 1/2
Chựng minh Tứ giÊ thiát, ta suy ra rơng 1 ≤ q, r ≤ ∞, (1/r) + (1/p) = 1, v
1 = 1 + 1 − 1 X²t φ ∈ L p ( R ) Bơng cĂch ời bián số trong tẵch phƠn v Ăp dửng bĐt ¯ng thùc Holder cho (1/r) + (1/p) = 1, ta câ
Tứ ành nghắa cừa toĂn tỷ T λ v T λ ∗ ta thĐy
Tứ õ, toĂn tỷ T λ ∗ T λ l mởt toĂn tỷ tẵch phƠn vợi K (x, y) ữủc xĂc ành nhữ sau dy
Kát hủp (3.3), bĐt ¯ng thực dÔng Young trong chữỡng 1 v 1 = 1 + 1 − 1 ta ữủc ǁT λ ∗ T λ φǁ r ≤ C K,q ǁφǁ p (3.14)
Kát hủp (3.12) v (3.14) ữủc thoÊ mÂn (3.11).
Chựng minh ữủc ho n th nh
Tẵch phƠn dao ởng vợi h m pha lai a thùc
Ta °t Q (x,y) (z) := S(x, z) − S(y, z), ữủc xem nhữ mởt h m cừa bián z ∈
Ta quan tƠm án cĂc iãu kiằn sau trong h m số Q (x,y) (z). d k 1 j j dz k
Ta xĂc ành β thổng qua cĂc số k 1 , j 1 , k 2 , j 2 nhữ sau
Q (x,y) (z) ≥ C 1 |x 1 − y 1 | vợi hơng số C 1 > 0, (3.15) v thảm v o õ Q J (x,y) (z) l h m ỡn iằu khi k 1 = 1
Q (x,y) (z) ≥ C 2 |x 2 − y 2 | vợi hơng số C 2 > 0, (3.16) v thảm v o õ Q J (x,y) (z) l h m ỡn iằu khi k 2 = 1
Khi â ta câ c¡c kh¯ng ành sau (1)Náu ẵt nhĐt mởt trong 2 iãu kiằn
< k 2 ữủc t h o £ m ¢ n , t h ẳ q q ǁ T λ ǁ L p →L 2 = O λ −β Σ , tÔi õ β ữủc ữa ra bði cổng thùc (3.18).
(2)Náu ẵt nhĐt mởt trong 2 iãu kiằn (3.15) vợi j 1 = k 1 , v (3.16) vợi j 2 = k 2 ữủc th o£ m ¢n , th ẳ q q
2 tÔi õ β ữủc ữa ra bði (3.18). log 2 λ ,
(3) Náu cÊ (3.15)-(3.16) ãu úng vợi ( k 1
≤ q q tÔi õ β ữủc ữa ra bði (3.17).
(4) Náu cÊ (3.15)-(3.16) ãu úng vợi ( k 1 − j 1 )( k 2 − j 2 ) = 0, thẳ q ǁ T λ ǁ L p →L 2 = O tÔi õ β ữủc ữa ra bði (3.18). q
Chựng minh °t γ 1 = k 1 , γ 2 = k 2 Ta biát rơng, hÔt nhƠn K (x, y) cừa toĂn tỷ T λ T ∗ λ q q ÷a ra bði (3.3) nh÷ sau
Chùng minh cho (1) Ta ch¿ cƯn chựng minh cho trữớng hủp
(3.15) ữủc thoÊ mÂn vợi j 1 < γ 1 p dửng (3.15) v bờ ã Vander Corput, ta câ
• Trữớng hủp 1 j 1 l số l´ Sỷ dửng bờ ã 3.1 ta cõ
Ta th§y, do j 1 < γ 1, nản λ γ 1 M |x 1 − y 1 | γ 1 λ γ 1 M |x − y| γ 1 dy j 1
Kát hủp iãu n y vợi (3.20), ta nhên ữủc
• Trữớng hủp 2 j 1 l số chđn p dửng (3.19) v bờ ã 3.1, ta cõ
Kát hủp iãu n y vợi (3.22), ta nhên
Tõm lÔi, vợi mồi j ∈ N, ta luổn cõ
T÷ìng tü ¡nh gi¡ n y công óng khi ta thay M |K(x, y)| q dy bði
∫ ∫ Ăp dửng Bờ ã 3.2 ta suy ra
Chựng minh (2) Dạ d ng thĐy rơng sup
Kát hủp vợi (3.19), ta ữủc γ 1 γ 1
• Trữớng hủp 1 γ 1l số l´ p dửng (3.24), ta cõ
Sỷ dửng Bờ ã 3.1 ta ữủc
• Trữớng hủp 2 γ 1l số chđn p dửng (3.24), ta thu ữủc
Tõm lÔi, vợi mồi j ∈ N, ta luổn cõ
T÷ìng tü ¡nh gi¡ n y công óng khi ta thay M |K(x, y)| q dy bði
M |K(x, y)| q dx , v Ăp dửng Bờ ã 3.2 ta suy ra
Chựng minh (3) Cõ hai khÊ nông j 1 < γ 1 v j 2 > γ 2, ho°c j 1 > γ 1 v j 2 < γ 2 Ta s³ chựng minh cho trữớng hủp khi j 1 < γ 1 v j 2 > γ 2, trữớng hủp cỏn lÔi câ thº coi l t÷ìng tü Theo gi£ ành (3.15)-(3.16):
|Q (z)| ≥ C 1 |x − y |; |Q (z)| ≥ C 2 |x − y |, nản Ăp dửng Bờ ã Vander Corput, ta nhên ữủc
∫ |K(x, y)| q dy ≤ Cλ −2β (3.26) bơng cĂch chia l m 4 trữớng hủp º chựng minh iãu n y, ta sỷ dửng Bờ ã 3.1 º câ b§t ¯ng thùc d¤ng sau
−j2 , (3.27) vợi mồi x ∈ M, v vợi mồi y trong D 1 v D 2 , dỹa trản tẵnh chđn ho°c l´ cừa j 1 , j 2 Cử thº nhữ sau.
• Trữớng hủp 1 j 1 , j 2 l số l´ Kát hủp (3.25) v Bờ ã 3.1 ta cõ
Ta ¡nh gi¡ tron g (3.29) bơng c¡ch chồn α thọa m ¢n α
Vander Corput v Bờ ã 3.1 ta câ
M Vợi y ∈ D 1 ta câ ¡nh gi¡
Tối ữu hõa Ănh giĂ trản ta ữủc
• Trữớng hủp 3 j 1 l số l´, j 2 l số chđn Tứ Bờ ã 3.1 ta câ
Tữỡng tỹ nhữ Trữớng hủp
2, ta câ thº chùng minh rơng
Tữỡng tỹ nhữ Trữớng hủp 2 ta cõ
Trường hợp 4 liên quan đến số chẵn và số lẻ, trong đó việc hoàn thành vai trò của j1 và j2 cho phép chúng ta tranh cự cho trường hợp này Trường hợp 3 tập trung vào việc kết hợp các trường hợp của j1 và j2, nhằm đạt được kết quả tối ưu.
T÷ìng tü ¡nh gi¡ n y công óng khi ta thay M |K(x, y)| q dy bði
M |K(x, y)| q dx , v Ăp dửng Bờ ã 3.2 ta suy ra
Chựng minh (4) Chúng ta ch¿ chựng minh trữớng hủp j 1 < γ 1 v j 2 = γ 2 v cĂc trữớng hủp cỏn lÔi cõ thº ữủc chựng minh tữỡng tỹ.
T÷ìng tü ¡nh gi¡ n y công óng khi ta thay M |K(x, y)| q dy bði
M |K(x, y)| q dx , v Ăp dửng Bờ ã 3.2 ta suy ra
C 1 ǁ T λ ǁ L p →L 2 ≤ 1 log 2 λ λ 2γ 1 kát hủp vợi Bờ ã 3.2 ta chựng minh ữủc trữớng hủp n y.
Trường hợp khắc cừa j1, j2 là những trường hợp có thể chứng minh và tiến hành theo các trường hợp (3) Các yếu tố logarit cũng cần được thẩm định và đưa vào trong quá trình tính toán Chứng minh này sẽ hoàn thành và được thể hiện trong phần 3.1.
Chú ỵ 3.1 Trồng tƠm cừa ành lỵ nơm ð (3) v (4) Theo õ, vợi giÊ thiát (3.15)- (3.16) thọa mÂn vợi q ( k 1 − j 1 )( k 2 − j 2 ) ≤ 0 Bơng ph²p tẵnh ỡn giÊn ta cõ Σ 1 Σ Σ q
Theo kết quả nghiên cứu từ các số liệu (3.15)-(3.16), có thể thấy rằng tốc độ hủy tử của chuỗi toán tỷ lệ 0 được đánh giá chính xác hơn Điều này cho thấy rằng phương pháp phân tích này mang lại sự minh bạch hơn trong việc thực hiện các phép toán, như được thể hiện trong phần 3.1.
Ta x²t cĂc h m pha a thực ỗng nhĐt dữợi Ơy k 0
S 3 (x, y) = a 2j x 2n−2j+1 y 2j (3.36) j=j 0 é Ơy cõ thº giÊ ành rơng a 2j 0 a 2k 0
0 GiÊ sỷ mồi hằ số trong
S(x, y) cũng dĐu, tực l , a A a A+2 ≥ 0 vợi tĐt cÊ A = j 0 , Ta cõ thº dạ d ng kiºm tra rơng tứng a thực S 1 (x, y), S 2 (x, y), v S 3 (x, y) thọa mÂn 2 iãu kiằn (3.15) v (3.16) Cử thº, S 1 (x, y), S 2 (x, y), v S 3 (x, y) cũng nhau thọa mÂn(3.15)- (3.16) theo cĂc c°p ổi
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các biểu thức toán học liên quan đến các cặp số (2j₀, 2n - 2j₀) và (2k₀, 2n - 2k₀), cũng như các biến thể của chúng Các biểu thức này thể hiện sự tương đồng trong cách mà các giá trị được sắp xếp và phân loại, đặc biệt là khi δ = 2n cho các biểu thức (3.34)-(3.35) hoặc δ = 2n + 1 cho biểu thức (3.36) Việc phân tích này cho thấy mối liên hệ sâu sắc giữa các số hằng và cách chúng tương tác trong không gian toán học.
Hằ quÊ 3.2 ToĂn tỷ T λ vợi h m pha S(x, y) ∈ S l L 2 bà giợi hÔn vợi ành mùc quy ành nh÷ sau:
(2) H m pha (3.34) vợi mởt trong hai trữớng hủp ho°c l 0 ≤ j 0 = n/2 < k 0 ≤ n, ho°c 0 ≤ j 0 < n/2 = k 0 ≤ n; h m pha (3.35) vợi mởt trong hai trữớng hủp ho°c l 0 ≤ j 0 = (n − 1)/2 < k 0 ≤ n, or 0 ≤ j 0 < (n − 1)/2 = k 0 ≤ n;
Vẵ dử 3.1 GiÊ sỷ S(x, y) thọa mÂn giÊ ành (3.15)-(3.16), m tÔi õ (j 1 , k 1 )
= (m − 1, 1); (j 2 , k 2 ) = (1, n − 1) Ta thĐy rơng trữớng hủp n y thọa mÂn (3) cõa ành lþ 3.1.Thảm v o õ, cổng thực (3.17) cho β = ( j 2 − k 2 ) − ( j 1 − k 1 )
= m + n − 4 2(k 1 j 2 − k 2 j 1 ) 2(mn − m − n) , Ơy chẵnh l tốc ở ữủc thiát lêp trong [5, 6].
Luên vôn  trẳnh b y mởt số kát quÊ vã tẵch phƠn dao ởng Nởi dung chẵnh cừa luên vôn bao gỗm:
• KhĂi niằm, tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa phƠn hoÔch ỡn và, tẵch chêp, khổng gian cĂc h m giÊm nhanh S ( R n ) v mởt số ành lẵ quan trồng cừa ph²p bián ời Fourier.
• Uợc lữủng tẵch phƠn dao ởng Stein-Wainger thổng qua bêc cừa a thực.
• ữa ra Ănh giĂ chuân cừa toĂn tỷ dao ởng tứ khổng gian L p ( R ) v o khổng gian L 2 ( R ).
Tổi xin chƠn th nh cÊm ỡn!