Bất đẳng thức Cauchy
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản
Cho n số không âm: x 1 ; x 2 ; … ; x n Khi đó: x 1 + x 2 + ⋯ + x n ≥ n n x1x 2 … x n
2.1.2 Bất đẳng thức Cauchy cơ bản.
Ta gọi hai bất đẳng thức thông dụng sau là bất đẳng thức Cauchy cơ bản:
Chú ý : Dạng tương đương của 2 bất đẳng thức trên là:
Dạng bất đẳng thức Cauchy cơ bản tổng quát
2.1.3 Các bài toán minh họa.
> 0; y > 0; z > 0 và thỏa mãn điều kiện + x y+ z
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản cho 4 số x; x; y; z ta được:
Cộng 2 vế của 3 bất đẳng thức trên ta được:
Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng: a b +c
≥. a + b 2 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản ta có:
Cho x > 0; y > 0; z > 0 và thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 Chứng minh rằng: x x + 1
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản cho các số x+1; y+1; z+1 ta được: 1 x +
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
⟺ 1 − x + 1 − y + x + y bất đẳng thức luôn đúng
Cho 3 số dương a, b, c và abc = ab + bc + ca Chứng minh rằng:
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản ta được:
⟺ a = b = c = 0 mâu thuẫn giả thiết a, b, c dương.
⟹ Dấu “ = “ không xảy ra do đó ta có Tương tự ta có:
Cộng 2 vế các bất phương trình trên ta có
Cho ∆ABC là tam giác nhọn Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1 cosA + cosB + cosC ≥ sin A + sin B + sin C
⟹ cos A, cosB, cosC > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản ta được:
1 1 4 4 2 2 cosA + cosB > cosA + cosB 2 cos
Dấu “ = “ xảy ra khi cos 2
1 1 2 B − C cosB + cosC ≥ sin A Dấu “ = “ xảy ra khi cos
1 1 2 C − A cosC + cosA ≥ sin B Dấu “ = “ xảy ra khi cos
Cộng 2 vế của 3 bất đẳng thức trên 2 ta có:
2 cosA + cosB + cosC ≥ sin A + sin B + sin C
⟺ cosA + cosB + cosC ≥ sin A + sin B + sin C
Dấu “ = “ xảy ra khi A = B = C hay ∆ABC đều.
Chứng minh rằng: Trong mọi ∆ABC ta có: ab C sin 2
≥ 2S 3 Với S là diện tích ∆ABC.
Xét vế trái = ab sin 2
Trong ∆ABC ta luôn có
2> 0. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản ta có:
Mà mọi ∆ABC thì A cos 2
Do đó cos A + cos B + cos C
Dấu “ = “ xảy ra khi cos 2
2.1.4 Một số bài tập tương tự.
Bài 1: Cho x > 0, y > 0 và x + y 5 Chứng minh rằng:
Bài 2: Giả sử x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện: x 2 + y 2 + z 2 = 3xyz.
≥ z + 1 2 Bài 3: Cho các số thực dương x, y, z sao cho xyz = 1.
Bài 4: Cho 3 số dương x, y, z Chứng minh rằng:
Bài 5: Chứng minh rằng: trong mọi ∆ABC ta có ∶ ab + bc + ca ≥ 4 3S với S là diện tích ∆ABC
Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy
Cho n số không âm a 1 , a 2 , … , a n khi đó:
2.2.2 Các bài toán minh họa
Cho 3 số dương x, y, z và xyz=1 Chứng minh rằng:
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số 1, x 3 , y 3 ta được:
= xy Dấu “ = “ xảy ra khi 1 = x 3 = y 3 ⟺ x = y = 1
= 1 Cộng 2 vế các bất đẳng thức ta có ∶
P ≥ xy + yzzx+ ≥ 3 3 xy yz zx
Chứng minh rằng: ∀x ∈ ℝ ta có:
3 > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
Cộng 2 vế các bất đẳng thức ta có:
Cho 3 số không âm x, y, z và
Từ giả thiết ta có
⟺ y = z. zx Tương tự ta có 1 + y ≥ 2 x + 1 z + 1 Dấu “ = “ xảy ra ⟺ x
Các vế đều không âm, nhân các vế với nhau ta có ∶
Cho 3 số dương x, y, z và xy xy + xz xz + yz yz = 1. x 6 y 6 z6 1
Khi đó bài toán đã cho trở thành:
Cho X, Y, Z là 3 số dương thỏa mãn XY + YZ + ZX = 1
Z + X 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu “ = “ xảy ra khi Tương tự ta có
X + Y + Z Cộng các vế ta có S +
Ta thấy X + Y + Z ≥ XY + YZ + ZX = 1.
= 1 nên ta đưa bài toán về chứng minh rằng x y z 3 3
2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Tương tự ta có: y ≥ 3 3 y 2 Dấu “ = “ xảy ra ⟺ y = 3
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có: x + y + z ≥ 3 3x 2 + y 2 + z 2 = 3 3
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x + 1
Cho 3 số dương x, y, z và xyz = 1 Chứng minh rằng: x 3 y 3 z3 3
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x 3 1 + y 1 + z 3 x 3 1 + y 1 + z 3
Cộng từng vế các bất đẳng thức ta được: 3
Lời giải: x > � > 0 ⟹ x − y > 0 y + 1 > 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: y + 1 y + 1 4 x − y
Từ giả thiết ta có + xy yz+ zx
Nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu “ = “ xảy ra ⟺ x z Tương tự ta có:
Dấu “ = “ xảy ra khi z = y. z y zy
Do đó cộng các vế bất đẳng thức ta có ∶ y − 2 z −
Chứng minh rằng trong mọi ΔABC ta luôn có:
Với mọi ΔABC ta luôn có 0 < A, B, C <
Nhân cả 2 vế của bất đẳng thức cần chứng minh với 8 cos
Mà trong mọi ΔABC ta luôn dễ dàng chứng minh được các hệ thức lượng sau: sin A + sin B + sin C
Trong tam giác ABC, có một bất đẳng thức quan trọng liên quan đến các sin của các góc: \( \sin A + \sin B + \sin C \geq 3 \sqrt[3]{\sin A \sin B \sin C} \) và \( \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C \geq 3 \sqrt[3]{\sin^2 A \sin^2 B \sin^2 C} \) Bên cạnh đó, từ công thức \( B C \cos A + 2 \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2(1 + \cos A) \cos B \cos C \), ta có thể suy ra rằng \( \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C \) cũng có những đặc tính đáng chú ý Điều này cho thấy rằng trong bất kỳ tam giác nào, các giá trị sin đều dương và tuân theo các bất đẳng thức đã nêu.
B sin 2 C Nhân 2 vế ta được điều cần chứng minh.
Dấu “ = “ xảy ra khi sin A = sin B = sin C ⟺ A = B = C hay ΔABC đều.
Bài 1: Cho 3 số dương x, y, z và xyz = 1.
Bài 2: Cho 3 số dương x, y, z và xyz = 1.
Chứng minh rằng xy+ yz
Bài 3: Cho 2 số dương x, y và xy = 1.
+ 9 x 2 + y 2 + 1 Bài 4: Cho 3 số dương a, b, c và abc = 1.
Bài 5:Chứng minh rằng trong mọi ΔABC ta có:
Phương pháp thêm bớt hằng số
Nhiều bài ta nhìn ra ngay bất đẳng thức Cauchy mà phải thêm bớt hằng số để xuất hiện bất đẳng thức Cauchy.
2.3.2 Các bài toán minh họa:
Cho 3 số không âm a, b, c Chứng minh rằng: ab + 3 bc + 3 ca − 1 ≤ 2 a + b + c 3
Ta có 3 ab = 3 ab 1 ≤ 1 a + b + 1 Dấu “ = “ xảy ra khi a = b = 1. 3
3 bc ≤ 1 b + c + 1 Dấu “ = “ xảy ra khi b = c = 1.
3 ca ≤ 1 c + a + 1 Dấu “ = “ xảy ra khi c = a = 1.
3 Cộng các vế ta có: ab
Cho x ≥ 2, y ≥ 3, z ≥ 1 Chứng minh rằng: xy z − 1 + yz x − 2 + zx y − 3 xy ≤ z
Ta có: VT xy z − 1 + yz x − 2 + zx y
⟺ y = 6 Cộng các vế ta có ∶ z − 1 z + x − 2 x + y −
Chứng minh rằng: x + xy + 3 xyz ≤ 4
Ta biến đổi vế trái: VT = x + xy + 3 xyz = x + Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x 4y
Dấu “ = “ xảy ra ⟺ x = 4y x = 4y = 16zmà x + y + z = 1 nên ⟹
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng các vế ta có: b + 3c
Vì − 1 ≤ x ≤ 1 → 1 − x 2 , 1 − x, 1 + x ≥ 0. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
Cộng các vế ta được VT ≤
Cho 3 số dương a, b, c và a 4 + b 4 + c 4 = 48 Chứng minh rằng: ab 2 + bc 2 + ca 2 ≤ 24.
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: a 4 + b 4 + b 4 + 2 4 ≥ 44 a 4 b 4 b 4 2 4
= 8ab 2 Tương tự ta có:
Cộng các vế ta có: b 4 + c 4 + c 4 + 2 4 ≥ 8bc 2 c 4 + a 4 + a 4 +
= 24. a = b = 28 Dấu “ = “ xảy ra khi b = c = 2 c = a = 2 vậy a = b = c = 2.
Cho 3 số dương a, b, c và a + b + c = 3abc.
Từ giả thiết a, b, c là 3 số dương và a + b + c = 3abc ta có:
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
Công các vế ta được: c 3 + a 3 + 1 ≥.
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: a 6 b 6 3 a 6 b 6 3a 2 b b
Cho 3 số dương x, y, z Chứng minh rằng: x 3 y 3 z 3 x 2 y 2 z 2 y 3 + z 3 + x 3 ≥ y 2 + z 2 + x 2
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x 3 x 3 3 x 3 x 3 3x 2 y 3 + y 3 + 1 ≥ 3 y 3 y 3 1 y 2 Tương tự ta có: y 3 y 3 y 2 z 3 + z 3 + 1 ≥ 3 z 2 z 3 z 3 z 2 x 3 + x 3 + 1 ≥ 3 x 2 x 3 y 3 z 3 x 2 y 2 z 2
Cộng các vế ta có 2 y 3 + z 3 + x 3 + 3 ≥ 3 y 2 + z 2 + x 2 x 3 yz 3 3 x 3 yz 3 3 x 3 y 3 z 3
Vậy kết hợp 2 bất đẳng thức ta có y 3 + z 3 + x 3 ≥ y 2 + z 2 + x 2
2.3.3 Một số bài toán tương tự:
Bài1: Cho 3 số dương x, y, z và x + y + z 1 Chứng minh rằng: 1 − x + 1 − y + 1
− z ≤ 6 Bài 2: Cho 0 < x < 1 Chứng minh rằng:
Bài 3: Cho 3 số dương a, b, c và a 3 + b 3
Bài 4: Cho 3 số dương a, b, c và a 3 b 3 + b 3 c 3 + c 3 a 3 = 1.
Bài 5: Cho x, y, z là 3 số thỏa mãn: x + y + z = 0.Chứng minh rằng: 2 + 4 x + 2 + 4 y + 2 + 4 z ≥ 3 3
Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến
Trong phương pháp được trình bày ở mục III, điều khác biệt là thay vì sử dụng hằng số, chúng ta sẽ thực hiện việc thêm hoặc bớt các biểu thức chưa biến vào bất đẳng thức cần chứng minh.
2.4.2 Các bài toán minh họa:
Lời giải: a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số 5 dương b
2 và ab 2 ta được: a + ab 2 ≥ 2 a b 2 b 2
Tương tự ta có ∶ b 5 + bc 2 ≥ 2b 3 c 2 c 5 + ca 2 ≥ 2c 3 a 2 Cộng từng vế ta được:
Ta sẽ chứng minh a 3 + b 3 + c 3 ≥ ab 2 + bc 2 + ca 2
Thật vậy, ta có a + a + c ≥ 3 a a c = 3a c. Tương tự: b 3 + b 3 + a 3 ≥ 33 b 3 b 3 a 3 = 3b 2 a.
Cộng các vế ta có 3 a 3 + b 3 + c 3 ≥ 3 a 2 c + b 2 a + c 2 b a 3 + b 3 + c 3 ≥ a 2 c + b 2 a + c 2 b Dấu “ = “ xảy ra khi a = b = c Do đó: S + a 3 + b 3 + c 3 ≥ S + ab 2 + bc 2 + ca 2 ≥ 2 a 3 + b 3 + c 3
Vậy S ≥ a 3 + b 3 + c 3 Dấu “ = “ xảy ra khi a = b = c.
Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng: a 5 b 5 c 5 a 3 b 3 c 3
Cộng từng vế ta có b+ c
Mà ta lại có a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca. a 3 b 3
⇒ + b c c 3 + + ab + bc + ca ≥+ bc + ca a 2 ab a 3 = ab a 3 b 3 c 3 b
Vậy b + c + a ≥ ab + bc + ca Dấu “ = “ xảy ra khi c = bc c 3 a = ca
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có b 3 + ab ≥ 2 b 3 ab b
Cộng từng vế ta có b 3 + c 3 + a 3 + ab + bc + ca
Theo chứng minh trên ta có a 3 b 3 c 3 b+ +c a
Cộng 2 bất đẳng thức ta có + + ≥ + + b 3 c 3 a 3 b c a a 5 b 3 = ab
Dấu “ = “ xảy ra khi b 5 c 3 bc c 5 a 3 = ca b
Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng: a 3 b 3 c 3 a + b + c b + c 2 + c + a 2 + a + b 2 ≥
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có ∶
Cộng từng vế ta có: a 3 b 3 c 3
Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3abc Chứng minh rằng: bc ca ab a 3 c + 2b + b 3 a + 2c + c 3 b + 2a ≥ 1.
Vì a, b, c là các số dương nên ta 1 đặt x a
, z =1 c cũng là các số dương.
Bài toán đã cho trở thành:
1 1 1 Cho 3 số dương: x, y, z thỏa mãn
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
Công 2 vế các bất đẳng thức trên ta có:
Hơn nữa x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx.
Do đó: 9S + 3 xy + yz + zx ≥ 6 x 2 + y 2 + z 2 ≥ 6 xy + yz + zx
Cho x, y, z là các số dương và x + y + z ≥ 3.
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x 2 2x
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được: x 2 yz 2 2 y+ +z x
Cho 3 số thực dương x, y, z sao cho:
Chứng minh rằng: a 2 a + bc b+ 2 b + ca+ c 2 ≥ c +ab a + b + c 4
= a + bc + b + ca + c + ab a 2 + abc + b 2 + abc + c 2 + abc a 3 b 3 c 3
= a 2 + ab + bc + ca + b 2 + ab + bc + ca + c 2 + ab + bc + ca a 3 b 3 c 3
= a + b a + c + b + a b + c + c + a c + b Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: a 3 a + b a + c 3 a 3 a + b a + c 3a a + b a + c +
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có: a 3 b 3 c 3 a + b
Cho x > 0, y > 0, z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng: x 2
Ta biến đổi tương đương như sau: x 2
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức thứ 2 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x 2 + 1 + y 1 + y
Cộng từng vế bất đẳng thức ta được: x 2
Như vậy ta sẽ chứng minh x + y + z ≥
Thật vậy, theo bất đẳng thức
Chứng minh rằng: trong ∀ΔABC ta có: sinA
≤sin A +sin A sin B + sin B sin C + sin C 8 6
. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Thay vào bất đẳng thức trên ta được:
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có:
1 sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A +
Asin22Mặt khác, ta dễ dàng chứng minh được ∶ tanA
Thay vào ta có được điều phải chứng minh Dấu “ = “ xảy ra khi:
Chứng minh rằng: trong ΔABC ta có: cos 2 A + cos 2
Trước khi chứng minh bất đẳng thức trên ta biến đổi tương đương như sau: cos 2 A + cos 2
+ sin C A sin 2 2 Bây giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức trên:
2 > 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: cos A cos B
A B sin 2 2 Tương tự ta có:
C A sin 2 2 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có:
2 Xét vế phải ta có:
22 sin B + B sin C + tan 2 sin C + sin A + tan
≤ co s A + co s B + co s C. 2 cos 2 A + co s
Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2 = 2 ⇔ cos cos = cos cos C cos C 2 cosB cos 2 A
2.4.3 Một số bài toán tương tự
Chứng minh rằng: S a 5 b 5 c 5 bc ca+ + ab
Bài 2: Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng: a 3 b 3 c 3 a + b + c b c + a + c a + b + a b + c ≥
Bài 3: Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng: a 4 b 4 c 4 bc 2 + ca 2 + ab 2 ≥ a + b + c Bài 4: Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng: a 3 b 3 c3 9 a + b b + c + b + c c + a + c + a a + b ≥ a + b + c. Bài 5: Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng: a2 b2 c2 9 b 3 + c 3 + a 3 ≥ a + b + c
Phương pháp nhóm các số hạng
Trong phần này ta xét 2 phương pháp sau:
Trong một số bài chứng minh bất đẳng thức, cần sử dụng nhiều bất đẳng thức phụ để đảm bảo rằng dấu "=" trong bất đẳng thức chính xuất hiện đồng thời với dấu "=" trong tất cả các bất đẳng thức phụ Việc nhóm các số hạng trong biểu thức của bất đẳng thức phải tuân thủ tiêu chí này để đạt được kết quả chính xác.
2.5.1.2 Các ví dụ minh họa:
Cho 3 số dương x, y, z Chứng minh:
Ta dễ dàng chứng minh được: x + y + z y + z + x z 3
≥ x + y 2Thật vậy bất đẳng thức trên
1 z +x ≥ 9. Đây là bất đẳng thức luôn đúng theo bất đẳng thức
Cauchy cơ bản Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x + y = y + z = z + x
Hơn nữa theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x y y
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
+ ≥ 2 Dấu “ = “ xảy ra khi yxy y
+ ≥ ≥ = 2 2 Dấu “ = “ xảy ra khi x y ⇔ x = y. x y xy x 2 +y 2 2 x = y
Vậy S ≥ 6 6 + 36 − 3 6 = 36 + 3 6. a 2 18 Dấu “ = “ xảy ra khi 2 6 a ⇔ a = 6. a = 6
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
Trong khi nhóm các số hạng của biểu thức trong bất đẳng thức cần chứng minh, giống như trong phương pháp 1, việc nhóm đúng có vai trò quyết định.
Việc nhóm này thường dựa vào giả thiết của đầu bài và dĩ nhiên tuân thủ theo yêu cầu đề ra trong phương pháp 1.
2.5.2.2 Các ví dụ minh họa.
Cho a ≥ 3, ab ≥ 6; abc ≥ 6 Chứng minh rằng: S = a + b + c ≥ 6.
Ta có a ≥ 3; ab ≥ 6; abc ≥ 6 ⇒ a; b; c dương.
Cho a, b, c là các số sao cho:
3 ab ≤ 6 ab ≤ c Chứng minh rằng: a + b − c ≤ 4.
Từ giả thiết suy ra a, b, c dương.
Mà theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cho 3 số dương a, b, c sao cho b+ c ≤ 2 a b2
Theo bất đẳng thức Cauchy cơ bản ta có:
Cho 3 số dương a, b, c sao cho: b c a +b c≥ 3 23 +. + ≥ 2
Từ giả thiết ⇒ a, b, c là các số dương. b
Ta chứng minh bổ đề sau: a 2 + b 2 ≥ 2 a + b 2
⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab (luôn đúng với mọi a, b )
Theo kết quả trên ta được:
Cho x > 0; y > 0; z > 0 và xy = 1 Chứng minh rằng:
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x 2 + y 2 ≥ 2xy
2 xy + y + 1 Dấu “ = “ xảy ra ⇔ y = 1. Tương tự:
1 zx + x + 1 Hơn nữa ta thấy:
1 xz xz xy + y + 1 x 2 yz + xyz + yz x + 1 + xz
2.5.3 Một số bài toán tương tự
1 17 Bài 2: Cho a > 0; b > 0 và a + b ≤ 1 Chứng minh rằng: S ab + ≥ ab 4 Bài 3: Cho 2 số dương a, b, c và a + b + c3
2 Bài 4: Cho 0 < a ≤ b ≤ c ; bc ≤ 6; abc ≤ 6 Chứng minh rằng: a + b
Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cô-si ngược dấu
Thông thường, bất đẳng thức Cô si được áp dụng với dấu thuận chiều, nhưng trong một số trường hợp, việc sử dụng nó với mẫu số có thể dẫn đến kết quả tốt hơn, mặc dù có dấu ngược chiều Đây chính là nguyên lý của phương pháp mà nhiều người gọi là kỹ thuật Cô-si ngược dấu.
2.6.2 Các bài toán minh họa:
Bài toán 1 Với a+b+c=3 Chứng minh rằng: a b c 3
Lời giải: a ab 2 ab 2 ab
Tương tự ta có: a b c ab + bc + ca
Mà ta dễ dàng chứng minh được ab + bc
+ ca ≤ 3 nên ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có: a 3 b 3 c 3 a + b + c a 2 + b 2 + b 2 + c 2 + c 2 + a 2 ≥
2 Tương tự với các biểu thức còn lại, ta có: b 3 c b 2 + c 2 ≥ b −
2. Cộng các vế của các bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh.
Cộng các vế của các bất đẳng thức trên ta có:
2.6.3 Các bài tập tương tự:
Bài 1: Cho a, b, c, d là các số dương: a 4 b 4 c 4 a + b + c + d
3 Bài 2: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: a 3 +
Bài 3: Cho a, b, c, d là các số dương Chứng minh rằng:
≥ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 đúng khi mẫu số dương.
Phương pháp miền giá trị hàm số
Nội dung phương pháp
Giả sử ta phải chứng minh một bất đẳng thức có dạng: α ≤ f x ≤ β với x ∈ D.
Khi đó để sử dụng phương pháp miền giá trị hàm số chứng minh bất đẳng thức trên ta làm như sau:
Gọi m là giá trị tùy ý của f x trên miền x ∈ D Khi đó phương trình f x m x ∈
D có nghiệm, và từ đó ta có điều kiện để phương trình có nghiệm.
Phương pháp này thích hợp để giải các bất đẳng thức dạng:
A sin x + B cos x + C ≤ β Ở đây P x , Q x là các đa thức của x
Các bài toán minh họa
∗ Với y = 0 ⇒ x = 1 ; bất đẳng thức trên ⇔ −6 < 2 < 3 luôn đúng.
∗ Với y ≠ 0 khi đó bất đẳng thức ⇔ −6 ≤ 2
⇔ −6 ≤ t 2 + 2t + 3 ≤ 3 với t y ∈ R 2t 2 + 12t Gọi m là giá trị tùy ý của hàm f t = t 2 + 2t + 3. Điều đó có nghĩa là phương trình ẩn t sau có nghiệm.
Do t 2 + 2t + 3 > 0 với ∀t nên phương trình trên
4 Vậy m = 2 là một giá trị của hàm f t
∗ Nếu m ≠ 2 Do phương trình 3 có nghiệm nên Δ ′ = m − 6 2 − 3m m − 2 ≥
Vậy nếu m là giá trị tùy ý của f t thì − 6 ≤ m ≤ 3.
Bài toán 2: chứng minh rằng với ∀x ∈ R, ta có:
Gọi m là giá trị tùy ý của hàm số f x 2 sin x cos x + 1 sin x − 2 cos x + 3
Khi đó phương trình ẩn x
Với m = 2 ta có 5 cos x = 1 ⇒ có nghiệm.
5 Với m ≠ 2 để phương trình có nghiệm thì:
⇔ − ≤ m < 2 ⇒ ta có điều phải chứng minh.1
Các bài tập tương tự
1 x 2 + x + 1 Bài 1: Chứng minh rằng với ∀x ∈ R, ta luôn có
Bài 4: Chứng minh rằng với α ∈ 0; π ta luôn có:
Phương pháp lượng giác hóa
Nội dung phương pháp
Bằng cách sử dụng các phép biến đổi lượng giác như x = sin t hoặc x = tan t, chúng ta có thể chuyển đổi bất đẳng thức ban đầu thành một bất đẳng thức có dạng lượng giác Dưới dạng này, việc chứng minh các bất đẳng thức trở nên dễ dàng hơn.
Các bất đẳng thức dạng này thường có dấu hiệu:
− Điều kiện của bất đẳng thức có dạng x 2 + y 2 = a 2 …
−Biểu thức gắn liền với một hệ thức lượng giác nào đó.
Các ví dụ minh họa
Do x 2 + y 2 = 1 nên có thể đặt x = sin t , y cos t Bất đẳng thức đã cho có dạng tương đương như sau:
≤ Đặt m sin 2t + cos 2t + 2 1 − cos 2t + 6 sin 2t sin 2t + cos 2t + 2
1 − cos 2t + 6 sin 2t điều này chứng tỏ phương trình sin 2t + cos
Do sin 2t + cos 2t + 2 ≥ 0 với ∀t nên ta có phương trình
Vì phương trình trên có nghiệm nên theo lý thuyết phương trình: a sin x + bcos x + c = 0 ta có: m − 6 2 + m + 1 2 ≥ 2m − 1 2
⇔ −6 ≤ m ≤ 3 ⇒ bất đẳng thức đã cho là đúng.
Do x 2 + y 2 = 1 nên đặt x = sin t , y = cos t
Ta có: sin 5t = sin 2t cos 3t + sin 3t cos 2t
= 2 sin t cos t 4 cos 3 t − 3 cos t + 3 sin t − 4 sin 3 t 1 − 2 sin 2 t
= 2 sin t cos 2 t 4 cos 2 t − 3 + 3 sin t − 10 sin 3 t + 6 sin 5 t
= 2 sin t 1 − sin 2 t 1 − 4 sin 2 t + 3 sin t − 10 sin 3 t + 6 sin 5 t
Biến đổi tương tự ta có: cos5t = 16y 5 − 20y 3 + 5y
Thay vào biểu thức ban đầu ta có: sin 5t + cos 5t ≤ 2. Áp dụng bất đẳng thức a sin x + b cos x ≤ a 2 + b 2 ta có đpcm. π + kπ Dấu “ = “ xảy ra ⇔ sin 5t = cos 5t ⇔ tan 5t = 1 ⇔ t = 4 với k ∈ Ζ.
5 Vậy ta có tương ứng 10 họ nghiệm thỏa mãn.
Giả sử x, y không đồng thời bằng 0 Chứng minh rằng: x 2 − x − 4y 2
Lời giải: x 2 − x 2 Xét y = 0 Ta có biểu thức ⇔ x 2 = 0 thỏa mãn bất đẳng thức.
Với y ≠ 0 Khi đo biểu thức có dạng tương đương như sau: x 2 − x − 2 2
⇔ − 2 ≤ sin 2t − cos 2t ≤ 2 luôn đúng nên bất đẳng thức đã cho luôn đúng.
⇔ sin2t = − cos 2t 22 ⇔ tan 2t = −1 ⇔ tan t = ± 2 − 1. 2 sin 2t = − cos 2t = −
Cho x, y, z ∈ 0; 1 và xy + yz + zx = 1 Chứng minh rằng: x y z 3 3
Do x, y, z ∈ 0; 1 nên ta có thể chọn a, b, c ∈ 0; π sao cho:
Từ xy + yz + zx = 1 ⇒ tan a tan b + tan b tan c + tan c tan a = 1.
⇒ tan a tan b + tan c = 1 − tan b tan c
⇒ tan a 1 − tan b tan c tan b + tan c π
Ta lại có: tan 2a + tan 2b + tan 2c = tan 2a tan 2b tan 2c
Dấu “ = “ xảy ra ⇔ tan 2a = tan 2b = tan 2c.
1 + cos t 1 1 + cos t 2 1 + cos t 3 ≥ 1 + cos t 1 cos t 2 cos t 3 Áp dụng công thức lượng giác:
Thay vào bất đẳng thức trên ta có ∶ i
Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta luôn có: a − c a − b b − c
Lời giải: Đặt tan x = a; tan y = b; tan z = c với x, y, zπ π
Ta có bất đẳng thức đã cho tương đương với: tan x − tan z tan x − tan y tan y − tan z
1 + tan2 x 1 + tan2 z 1 + tan 2 x 1 + tan 2 y 1 + tan 2 y 1 + tan 2 z
− z Mà ta có sin x − z = sin x − y + y − z
= sin x − y cos y − z + sin y − z cos x − y ≤ sin x − y + sin y − z Vậy ta có điều phải chứng minh
Dấu “ = “ xảy ra ⇔ cos y − z = 1 cos x − y = 1
Bài tập tương tự
Bài 1: Cho 4 số dương a 1 , a 2 , a 3 , a 4 Chứng minh rằng trong bốn số ấy bao giờ cũng chọn được hai số a i , a j i ≠ j sao cho: a i − a j
Bài 2: Cho 3 số x, y, z thỏa mãn hệ thức xyz + x + z = y.
Phương pháp dùng chiều biến thiên hàm số
Nội dung phương pháp
Để chứng minh các bất đẳng thức, cần chọn một hàm số thích hợp tương ứng với từng bất đẳng thức Việc phân tích chiều biến thiên của hàm số này sẽ giúp chứng minh tính đúng đắn của bất đẳng thức Thông thường, đạo hàm được sử dụng để thiết lập bảng biến thiên, từ đó rút ra kết luận cần thiết.
Các bài toán minh họa: 63Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Chứng minh rằng: sin α < � < tan α. b.Chứng minh rằng: e x ≥ 1 + x với mọi x.
Lời giải: a.Xét hàm số f x = x − sin x với 0 � 0 với ∀α ∈ 22 Vậy tan α − α > 0 hay tan α > � � ⇒ ó � � sin α < � < tan α. b.Xét hàm f t = e t − t − 1 với t ∈ R.
Ta có f ′ t = e t − 1 vì thế ta có bảng biến thiên t −∞ 0 +
Ta có f x = 1 − 4 − x 2 4 − x 2 Xét tử số với x ≤ 0 ta có f ′ x > 0
Với x > 0 ta có 4 − x 2 ≥ x ⇔ x ≤ 2 vậy f ′ x ≥ 0 với x ≤ 2
Ta có bảng biến thiên: x -2 0 2 2 f ′
Từ bảng biến thiên ta suy ra − 2 ≤ f x ≤ 2 2
Dấu bằng xảy ra tương ứng tạix = −2 vàx = 2
Lời giải: x3 a.Xét hàm số f x = sin x − x
Theo bài toán 1 ta có x ≥ sin x x nên 2
6 b.Xét hàm số f x = xsin x + cos x với x ∈ π 0;
Ta có f ′ x = x cos x + sin x − sin x = x cos x ≥ 0 vậy f x đồng biến trong 0; π
Vậy α sin α + cos α ≥ cos 0 = 1. c.Xét hàm số f x sin x x với x ∈ 0;.π 2
′ x xcosx − sin x x 2 cos x x − tan x x 2 < 0 với x ∈
Vì f x liên tục π tại 2 nên ta có fπ
; π d.Xét hàm số f x = sin x + tan x − 2x. ta có f ′ x = cos x +
Vậy f x đồng biến hay f α > � 0 = 0 vậy sin α + tan α − 2α > 0
⇒ 2sin α+tan α > 2 2α mà 2 sin α + 2 tan α ≥ 2 2sin α+tan α > 2.2 2 = 2 α+1
Không dùng máy tính và bảng tính, chứng minh tan 55 o > 1.4.
= 2 vì thế ta có bảng biến thiên:
Cho 3 số dương x, y, z Chứng minh:
Ta viết lại S dưới dạng: x 2 yz 2 2
Dấu “ = “ xảy ra khi x = y = z. t 2 1 xét hàm số f t =+2 t 1 với t > 0 ⇒ f ′ t = t
Ta có bảng biến thiên:
Cho ΔABC nhọn với A là góc lớn nhất, chứng minh rằng: x 3
Do ΔABC nhọn và A lớn nhất nênπ ta có
Xét f x = 2x +Với x ∈2 ; 1 ⇒ f ′ t = 2 − ta có bảng biến thiên sau: x 2 t 2
Các bài tập tương tự
Bài 3: Cho x > 0 Chứng minh rằng: lnx < x.
Bài 4: Cho n là số nguyên dương, a ≥ 0, b ≥ 0 và a + b = 1 Chứng minh rằng: a n + b n ≥1
Bài 5: Chứng minh rằng trong mọi ΔABC ta luôn có:
Phương pháp sử dụng hình học
Nội dung phương pháp
Sử dụng các tính chất hình học sơ cấp như:
- Trong các đường nối 2 điểm A và B thì đoạn thẳng AB có độ dài bé nhất.
- Trong một tam giác tổng 2 cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại.
- Cho M ngoài đường thẳng, đoạn thẳng kẻ từ M vuông góc với đường thẳng là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng kẻ từ M đến đường thẳng.
- Trong mọi tam giác cùng nội tiếp đường tròn thì tam giác đều là tam giác có chu vi và diện tích lớn nhất.
Các bài toán minh họa
Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng: a 2 − ab + b 2 + b 2 − bc + c 2 ≥ a 2 + ac + c 2
Lời giải: Đặt OA = a, OB = b, OC = c và A OB = B OC = 60 o vậy A OC = 120 o
Theo định lý hàm cosin ta có: C
Vì AC ≤ AB + BC nên a 2 − ab + b 2 + b 2 − bc + c 2 ≥ a 2 + ac + c 2
Dấu “ = “ xảy ra ⇔ A, B, C thẳng hàng.
Khi A, B, C thẳng hàng b ta có a c − b 1 1 1
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng: a 2 + ab + b 2 + b 2 + bc + c 2 > c 2 + ca + a 2
Lời giải: Đặt OA = a, OB = b, OC = c
Với A OB = 120 o , B OC = 120 o , C OA = 120 o Áp dụng định lý hàm cosin ta có: A
Mà trong ΔABC ta luôn có AC < �� + �� �ê� ��� �� đ�ề� ��ả� ��ứ�� ����.
Cho 3 số dương a, b, c a ≥ c, b ≥ c Chứng minh rằng: c a + c + c b − c ≤ ab.
Dựng 2 tam giác cân ABC và ABD chung đáy AB = 2 c; AC = a; AD = b.
C Với H là trung điểm của AB.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
DMột số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Dấu “ = “ xảy ra ⇔ sin C BD = 90 o
Cho 3 số dương x, y, z và thỏa mãn hệ thức xy x + y
Xét ΔABC với ba cạnh AB = x + y, AC = x + z, BC = y + z Gọi p là nửa chu vi ta có p = x
+ y + z Đường tròn nội tiếp lần lượt tiếp xúc BC, CA, AB tại M, N, P A
Ta có AN = AP = p − BC = x + y + z − y + z
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Dấu “ = “ xảy ra ⇔ sin B AC = 90 o
⇔ y + z 2 = x + y 2 + x + z 2. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Theo công thức Heron ta có ∶
Dấu “ = “ xảy ra khi yz = x 2 + x y + z = 1
Cho 4 số dương x, y, z, t Chứng minh rằng: x 2 + z 2 y 2 + z 2 + x 2 + t 2 y 2 + t 2 ≥ x + y z + t
Dựng tứ giác ABCD có AC ⊥ BD.
Giả sử AC ∩ BD = O. Đặt OA = x, OC = y; OB = z; OD = t B
Dấu “ = “ xảy ra ⇔ AB ⊥ BC
Các bài tập tương tự
Bài 1: Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh: a 2 − 2ab + b 2 + b 2 − 3bc + c 2 ≥ a 2 + 2 −
3ac + c 2 Bài 2: Cho x 1 , x 2 , x 3 , x 4 là các số ∈ 0; 1
Bài 4: Chứng minh với mọi x ∈ R , thì:
≤ 4 Bài 5: Cho số tự nhiên n ≥ 2