ìn ¡nh, to n ¡nh, song ¡nh
ành nghắa 1.2 nh xÔ f : A −→ B ữủ gồi l ỡn Ănh náu vợi mồi a 1 , a 2 ∈ A sao ho a 1 ƒ= a 2 ta â f (a 1 ) f (a 2 )
Chú ỵ: nh xÔ f : A −→ B l ỡn Ănh náu f (a 1 ) = f (a 2 ) thẳ a 1 = a 2 ành nghắa 1.3 nh xÔ f : A −→ B ữủ gồi l to n Ănh náu vợi mồi b
∈ B luổn tỗn tÔi a ∈ A sao ho f (a) = b
Chó þ: nh x¤ f : A −→ B l to n ¡nh khi v h¿ khi f (A) = B ành nghắa 1.4 nh xÔ f : A −→ B gồi l song Ănh náu f vứa l ỡn Ănh, vứa l to n ¡nh.
Chức năng f: A → B là một ánh xạ khi với mỗi b ∈ B luôn tồn tại duy nhất a ∈ A sao cho f(a) = b Định nghĩa 1.5: Giả sử f: A → B là một ánh xạ Khi x ∈ A thì tồn tại một phần tử y ∈ B với điều kiện x = f^(-1)(y), và ngược lại, y là hình ảnh của x qua f.
Chữỡng 1 Mởt số tẵnh hĐt ỡ bÊn ừa h m số
H m sè
ành nghắa 1.6 Cho X ⊂ R v Y ⊂ R Khi õ Ănh xÔ f : X −→ Y ữủ gồi l mởt h m số tứ têp X án têp Y
- Têp X gồi l têp xĂ ành ừa h m số f
- Náu x 0 ∈ X thẳ f (x 0 ) gồi l giĂ trà ừa h m f tÔi x 0
- Têp hủp f (X) ữủ gồi l gồi l têp giĂ trà ừa h m số f
- y 0 l mởt giĂ trà ừa h m số f khi v h¿ khi phữỡng trẳnh f (x) = y 0 õ nghiằm
Hay nõi Ă h khĂ l : phữỡng trẳnh f (x) = y 0 õ nghiằm khi v h¿ khi y 0 thuở têp giĂ trà õa h m sè f
- f l to n Ănh ⇔ phữỡng trẳnh (ân x ) y = f (x) (vợi x ∈ X, y ∈ Y ) õ nghiằm.
- f l song Ănh ⇔ phữỡng trẳnh (ân x ) y = f (x) (vợi x ∈ X, y ∈ Y ) õ nghiằm duy nh§t.
1.3.1H m sè h®n, h m sè l´ ành nghắa1.7 a)H m số f : D −→ R ữủ gồi l h m hđn trản M ⊂ D (gồi tt l h m hđn trản
∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M v f (−x) = f (x), ∀x ∈ M b)H m số f : D −→ R ữủ gồi l h m l´ trản M ⊂ D (gồi tt l h m l´ trản
1.3.2H m sè tu n ho n v ph£n tu n ho n ành nghắa1.8 a)H m số f : D −→ R ữủ gồi l h m tu n ho n ( ởng tẵnh) hu ký a (a > 0) trản
Đối với mọi x thuộc M, nếu x ± a thuộc M và f(x + a) = f(x) với mọi x thuộc M, thì hàm số f được xác định trên miền D và có tính chất tuần hoàn Khi T > 0, hàm số f có tính chất tuần hoàn với chu kỳ T, tức là nó lặp lại giá trị của mình sau mỗi khoảng T Điều này có nghĩa là hàm số f là hàm phân tích tuần hoàn, thể hiện sự đối xứng và tính chất tuần hoàn trong miền xác định của nó.
Chương 1 Một số tính chất ở bên dưới hàm số b) Nêu ra hàm số phân tán hoàn hảo với bậc ký hiệu n lớn hơn bậc tràn M Hàm số phân tán hoàn hảo với bậc ký hiệu n nhỏ hơn bậc tràn M thì không tồn tại Mặt khác, nếu hàm số phân tán hoàn hảo có bậc ký hiệu n bằng bậc tràn M thì tồn tại hàm số phân tán hoàn hảo với bậc ký hiệu n.
1.3.3H m số tu n ho n v phÊn tu n ho n nhƠn tẵnh ành nghắa 1.10 H m số f : D −→ R ữủ gồi l h m tu n ho n nhƠn tẵnh hu ký a (a ∈/ {0, 1, −1}) trản M náu M ⊂ D v
∀x ∈ M ⇒ a ±1 ∈ M f (ax) = f (x), ∀x ∈ M ành nghắa 1.11 H m số f : D −→ R ữủ gồi l h m phÊn tu n ho n nhƠn tẵnh hu ký a (a ∈/ {0, 1, −1}) trản M náu M ⊂ D v
1.3.4H m số liản tử ành nghắa 1.12 Cho h m số f xĂ ành trản D ⊂ R v x 0 ∈ D H m số f ữủ gồi l liản tử tÔi iºm x 0 náu lim f (x) = f (x 0 ) ành nghắa
Hàm số f(x) được gọi là hàm số liên tục trên khoảng (a; b) nếu với mọi điểm x ∈ (a; b), giá trị của hàm số f(x) không bị gián đoạn Định nghĩa này cũng áp dụng cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b], nghĩa là hàm số này giữ tính liên tục trong toàn bộ khoảng và đoạn đã cho.
[a; b] náu nõ liản tử trản khoÊng (a; b) v lim x−→a + f (x) = f (a), lim x−→b − f (x) = f (b)
1.3.5H m số ỡn iằu ành nghắa 1.15 H m số f (x) ữủ gồi l tông trản khoÊng (a; b) náu
∀x 1 , x 2 ∈ (a, b) m x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1 ) ≤ f (x 2 ) ành nghắa 1.16 H m số f (x) ữủ gồi l giÊm trản khoÊng (a; b) náu
∀x 1 , x 2 ∈ (a, b) m x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1 ) ≥ f (x 2 ) ành nghắa 1.17 H m số tông ho° giÊm trản khoÊng (a; b) ữủ gồi l h m ìn iằu trản (a; b) ành nghắa 1.18 H m số f (x) ữủ gồi l tông thỹ sỹ ( ỗng bián) trản kho£ng
∀x 1 , x 2 ∈ (a, b) m x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) < f (x 2 ) ành nghắa 1.19 H m số f (x) ữủ gồi l giÊm thỹ sỹ (nghà h bián) trản kho£ng
Chữỡng 1 Mởt số tẵnh hĐt ỡ bÊn ừa h m số ành nghắa 1.20 H m số tông hay giÊm thỹ sỹ trản (a, b) ữủ gồi l h m sè ìn iằu thỹ sỹ trản (a; b)
Mởt số tẵnh hĐt ừa Ă h m số ỡn iằu
- Mồi h m ỡn iằu thỹ sỹ trản khoÊng (a; b) ãu l ỡn Ănh trản khoÊng (a; b)
- Náu f (x) v g(x) l hai h m tông (giÊm) thẳ f (x) + g(x) ng l h m tông (gi£m).
- Náu f (x) v g(x) l hai h m tông v khổng Ơm thẳ f (x)g(x) ng l h m tông.
- Náu f (x) l h m ỡn iằu trản (a; b) thẳ f (f (x)) l h m tông.
Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
B i toĂn 2.1.1 Tẳm tĐt Ê Ă h m số f (x) sao ho f (x) = f (−x), ∀x ∈ R (1)
GiÊi Dạ thĐy (1) tữỡng ữỡng vợi f (x) = 1 [f (x) + f (−x)], ∀x ∈ R (2)
X²t h m sè f (x) = 1 [g(x) + g(−x)], ∀x ∈ R (3) trong õ g l h m số tũy ỵ trản R Khi õ dạ thĐy f thọa mÂn (1) Ngữủ lÔi náu h m số f thọa mÂn (1) thẳ do (2) nản f õ dÔng
B i toĂn 2.1.2 Tẳm tĐt Ê Ă h m số f (x) sao ho f (−x) = −f (x), ∀x ∈ R (1)
GiÊi Dạ thĐy (1) tữỡng ữỡng vợi f (x) = 1 [f (x) − f (−x)], ∀x ∈ R (2)
X²t h m sè f (x) = 1 [g(x) − g(−x)], ∀x ∈ R (3) trong õ g l h m số tũy ỵ trản R Khi õ dạ thĐy f thọa mÂn (1) Ngữủ lÔi náu h m số f thọa mÂn (1) thẳ do (2) nản f õ dÔng
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do trong õ g l h m số tũy ỵ trản R
B i to¡n 2.1.3 Cho x 0 ∈ R X¡ ành t§t £ ¡ h m sè f sao ho f (2x 0 − x) = f (x), ∀x ∈ R (1)
Khi õ (2) õ dÔng g(t) = g(−t), ∀t ∈ R Vêy g(t) l h m hđn trản R
Kát luên: f (x) = g(x − x 0 ), ∀x ∈ R , trong õ g(x) l h m hđn tũy ỵ trản R
B i to¡n 2.1.4 Cho a, b ∈ R X¡ ành t§t £ ¡ h m sè f (x) sao ho f (a − x) + f (x) = 2b, ∀x ∈ R (1)
Khi â (1) â d¤ng f ( a + t) + f ( a − t) = 2b, ∀t ∈ R (2) °t f ( a + t) − b = g(t), ∀t ∈ R Khi õ (2) õ thº viát dữợi dÔng g(t) + g(−t) = 0, ∀t ∈ R
B i toĂn 2.1.5 Tẳm tĐt Ê Ă h m số f (x) sao ho f (x) − f (−x) = 2014 sin x, ∀x ∈ R (1)
GiÊi Ta thĐy (1) tữỡng ữỡng vợi f (x) − f (−x) = 1007 sin x − 1007 sin(−x), ∀x ∈ R
⇔ f (x) − 1007 sin x = f (−x) − 1007 sin(−x), ∀x ∈ R (2) °t g(x) = f (x) − 1007 sin x, ∀x ∈ R Thay v o (2) ta ữủ g(x) = g(−x), ∀x ∈ R
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
Kát luên: f (x) = g(x) + 1007 sin x, ∀x ∈ R , trong õ g(x) l h m hđn tũy ỵ trản R
B i toĂn 2.1.6 Tẳm tĐt Ê Ă h m số f (x) sao ho f (x) + f ( x) = 2 cos x , x R (1) x 2 +1
Gi£i Ta â (1) t÷ìng ữỡng vợi cos x cos x f (x) + f (−x) = √ x 2 + 1 + √ x 2 + 1 , ∀x ∈ R x 2 +1 (−x) 2 +1 °t g(x) = f (x) cos x , x R Thay v o (2) ta ữủ x 2 +1
B i toĂn 2.2.1 XĂ ành tĐt Ê Ă h m số f thọa mÂn iãu kiằn f (x + π) − f (x) = 2 cos x, ∀x ∈ R (1)
GiÊi Ta õ (1) tữỡng ữỡng vợi f (x + π) + cos(x + π) = f (x) + cos x, ∀x ∈ R (2) °t g(x) = f (x) + cos x, ∀x ∈ R thẳ f (x) = g(x) − cos x, ∀x ∈ R Thay v o
Nhữ vêy g l h m tu n ho n hu ký π trản R
Kát luên: f (x) = g(x) − cos x, ∀x ∈ R , trong õ g l h m số tu n ho n hu ký π, tũy ỵ trản R
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
B i toĂn 2.2.2 XĂ ành tĐt Ê Ă h m f thọa mÂn iãu kiằn f (x + 2π) − f (x) = sin x, ∀x ∈ R (1)
Gi£i Ta â sin x = (x + 2 π ) − x sin(x + 2π) = x + 2π sin(x + 2π) − x sin x 2π
Nhữ vêy g l h m số tu n ho n hu ký 2π trản R
2π sin x, ∀x ∈ R , trong õ g l h m số tu n ho n hu ký 2π , tũy ỵ trản R
B i toĂn 2.2.3 XĂ ành tĐt Ê Ă h m số f thọa mÂn iãu kiằn f (x + 1) − f (x) = 2x, ∀x ∈ R (1)
Nhữ vêy g(x) l h m số tu n ho n hu ký 1 trản R
Kát luên: f (x) = g(x) + (x 2 − x), ∀x ∈ R , trong õ g(x) l h m số tu n ho n hu ký 1 tũy ỵ trản R
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
B i toĂn 2.2.4 XĂ ành tĐt Ê Ă h m số f thọa mÂn iãu kiằn f (x + 1) − f (x) = 2.3 −x , ∀x ∈ R (1)
Nhữ vêy g(x) l h m số tu n ho n hu ký 1 trản R
Kát luên: f (x) = g(x) − 3 1−x , ∀x ∈ R , trong õ g(x) l h m số tu n ho n hu ký 1 , tũy ỵ trản R
B i toĂn 2.2.5 XĂ ành tĐt Ê Ă h m số f thọa mÂn iãu kiản f (3x) = f (x), ∀x ∈ R (1)
GiÊi - Vợi x > 0 , °t x = 3 u (u = log 3 x) Thay v o (1) ta ữủ f (3 u+1 ) = f (3 u ), ∀u ∈ R (2) °t g(u) = f (3 u ), ∀u ∈ R Thay v o (2) ta ữủ g(u + 1) = g(u), ∀u ∈ R
Nhữ vêy g l h m số tu n ho n hu ký 1 trản R
Thû l¤i: ∀x > 0, khi â f (3x) = g(log 3 (3x)) = g(1 + log 3 x) = g(log 3 x) = f (x)
Vêy khi x > 0 thẳ f (x) = g(log 3 x), trong õ g l h m số tu n ho n hu ký 1, tũy ỵ trản R
- Vợi x < 0 °t −x = 3 u (u = log 3 (−x)) Thay v o (1) ta ữủ f (−3 ) = f (−3 ), ∀u ∈ u+1 R (3)
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do °t h(u) = f (−3 u ), ∀u ∈ R Thay v o (3) ta ữủ h(u + 1) = h(u), ∀u ∈ R
Nhữ vêy h l h m số tu n ho n hu ký 1 trản R
Thû l¤i : ∀x < 0 , khi â f (3x) = h(log 3 (−x)) = h(1 + log 3 (−x)) = h(log 3 (−x)) = f (x)
Vêy khi x < 0 thẳ f (x) = h(log 3 (−x)), trong õ h l h m số tu n ho n hu ký 1 , tũy ỵ trản R
g(log 3 x) khi x > 0 c ( l hơng số tũy ỵ ) khi x = 0 h(log 3 (−x)) khi x < 0 trong õ g, h l Ă h m số tu n ho n hu ký 1 trản R , tũy ỵ.
B i toĂn 2.2.6 XĂ ành tĐt Ê Ă h m số f thọa mÂn iãu kiằn f (−2014x) = f (x), ∀x ∈ R (1)
1 [g(x) + g(−2014x)], ∀x ∈ R (3) trong õ g l h m số tu n ho n nhƠn tẵnh hu ký 2014 2 trản R g(x) = g(2014 2 x), ∀x ∈ R
Khi õ dạ thĐy f thọa mÂn (1) Ngữủ lÔi náu f thọa mÂn (1) thẳ õ dÔng (3) vẳ (2) tữỡng ữỡng vợi (1) Vêy
2 [g(x) + g(−2014x)], ∀x ∈ R trong õ g l h m số tu n ho n nhƠn tẵnh hu ký 2014 2 trản R Theo kát qu£ b i to¡n 2.2.5 thẳ g(x) =
g 1 ( 1 log 2014 x) khi x > 0 c ( l hơng số tũy ỵ ) khi x = 0
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do trong õ g 1 , g 2 l Ă h m số tu n ho n hu ký 1 trản R , tũy ỵ.
Nhên x²t: Tữỡng tỹ nhữ b i toĂn 2.2.5, 2.2.6 ta giÊi ữủ phữỡng trẳnh h m f (ax) = f (x), ∀x ∈ R ( a l hơng số , a ƒ= 0, a ƒ= ±1 )
B i toĂn 2.2.7 Tẳm tĐt Ê Ă h m số f tu n ho n hu ký 2 trản R thọa mÂn iãu kiằn f (x + 1) = −2f (x) + 3, ∀x ∈ R (1)
GiÊi f l h m số tu n ho n hu ký 2 trản R tự l f (x + 2) = f (x), ∀x ∈ R (2)
Trong (1) thay x bði x + 1 ta ữủ f (x + 2) = −2f (x + 1) + 3, ∀x ∈ R
Kát hủp vợi (2) ta ữủ f (x) = −2f (x + 1) + 3, ∀x ∈ R (3)
Thỷ lÔi ta thĐy thọa m Ân (1) Kát luên: f (x) ≡
B i toĂn 2.2.8 Cho h(x) l mởt h m xĂ ành trản R Tẳm tĐt Ê Ă h m số f
(x) tu n ho n hu ký 3 v thọa mÂn iãu kiằn f (x) + f (x + 1) + f (x + 2) = h(x), ∀x ∈ R (1)
GiÊi f (x) l h m số tu n ho n hu ký 3 trản R tự l f (x + 3) = f (x), ∀x ∈ R (2)
L n lữủt thay x bði x + 1, x + 2 v o (1) v sỷ dửng (2) ta ữủ iãu kiằn º
Khi iãu kiằn (3) ữủ thọa mÂn thẳ ta õ thº viát h(x) = 1 [h(x) + h(x + 1) + h(x + 2)], ∀x ∈ R
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do trong â
X²t h m sè g(x) = 1 (2q(x) − q(x + 1) − q(x + 2)), ∀x ∈ R (8) trong â q(x) l h m sè tu n ho n hu ký
Do õ g(x) + g(x + 1) + g(x + 2) = 0 v g(x + 3) = g(x) Vêy g(x) thọa mÂn (5) Ngữủ lÔi náu g(x) thọa mÂn (5) thẳ ta h¿ n hồn q(x) = g(x) , khi â q(x) = q(x + 3), ∀x ∈ R v ta â
(8) Kát luên: iãu kiằn º (1 ) õ nghiằm l h(x) = h(x + 1) = h(x + 2), ∀x ∈ R
Khi õ mồi nghiằm ừa (1) ãu õ dÔng trong â f (x) = g(x)
3 vợi q(x) l h m số tu n ho n hu ký 3 trản R , tũy ỵ.
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
2.3 Phữỡng trẳnh h m vợi Ă ph²p bián ời tành tián v ỗng d¤ng
Trong mử n y ta s³ khÊo sĂt lợp phữỡng trẳnh h m dÔng f (ax + b) = cf (x) + d, vợi a ƒ= 0, c ƒ= 0
B i toĂn 2.3.1 Tẳm tĐt Ê Ă h m số f (x) sao ho f (x + 1) = f (x) + 3, ∀x ∈ R
Nhữ vêy g(x) l h m số tu n ho n hu ký 1 trản R
Do â f (x) = 3x + g(x), ∀x ∈ R , trong â g(x) l h m sè tu n ho n hu ký 1 trản R
Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn (1).
Kát luên: f (x) = 3x + g(x), ∀x ∈ R , trong õ g(x) l h m số tu n ho n hu ký 1 tũy ỵ trản R
Nhên x²t: Ph²p °t f (x) = 3x + g(x), ∀x ∈ R ữủ tẳm ra nhữ sau: Tứ (1) ta tữðng tữủng rơng f (x + 1) = f (x) + f (1), ∀x ∈ R vợi f (1) = 3 Suy ra f (x) = ax, ∀x ∈ R Ta õ f (1) = 3 ⇔ a.1 = 3 ⇔ a = 3
Do õ (1) õ mởt nghiằm l f (x) = 3x Tứ õ ta °t f (x) = 3x + g(x)
B i to¡n 2.3.2 X¡ ành ¡ h m sè f (x) sao ho f (x + 103) = f (x) − 515, ∀x ∈ R (1)
Nhữ vêy g(x) l h m số tu n ho n hu ký 103 trản R
Do â f (x) = −5x + g(x), ∀x ∈ R , trong â g(x) l h m sè tu n ho n hu ký
R Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn (1).
Kát luên: f (x) = −5x + g(x), ∀x ∈ R , trong õ g(x) l h m số tu n ho n hu ký 103
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do tũy ỵ trản R
Nhên x²t: Tữỡng tỹ ta giÊi ữủ phữỡng trẳnh h m sau: f (x + a) = f (x) + b, ∀x ∈ R
B i toĂn 2.3.3 XĂ ành tĐt Ê Ă a thự hằ số thỹ P (x) thọa mÂn iãu kiằn
GiÊi Thay x bði x − 1 v o (1) ta ữủ
P (x + 3) = P (x) + 2, ∀x ∈ R (2) °t P (x) = 2 x + Q(x) Thay v o (2) ta ữủ Q(x) l a thự thọa mÂn
Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn (1).
B i to¡n 2.3.4 X¡ ành ¡ h m sè f (x) sao ho f (x − 3) = −f (x) + 2, ∀x ∈ R
Nhữ vêy g(x) l h m số phÊn tu n ho n hu ký 3 trản R
Do â f (x) = 1 + g(x), ∀x ∈ R , trong â g(x) l h m sè ph£n tu n ho n hu ký 3 trản
R Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn (1).
Kát luên: f (x) = 1 + g(x), ∀x ∈ R , trong õ g(x) l h m số phÊn tu n ho n hu ký 3 tũy ỵ trản R
Nhên x²t: Ph²p °t f (x) = 1 + g(x), ∀x ∈ R ữủ tẳm ra nhữ sau : Ta s³ tẳm mởt
Chương 2 Phương trình hàm mở biến ngẫu nhiên dưới dạng ràng buộc (1) và tốt nhất là hàm hằng (hằng số) thoả mãn (1) Từ (1), ta xét phương trình c = -c + 2 Vậy điểm bất động của hàm f là c = 1 Do đó, ta có f(x) = 1 + g(x), ∀x ∈ R Với phương pháp này, ta tìm được điểm bất động 2 và điểm bất động 0.
Nhên x²t: Tữỡng tỹ ta giÊi ữủ phữỡng trẳnh h m sau f (x + a) = −f (x) + b, ∀x ∈ R (a v b l hơng số)
B i to¡n 2.3.5 X¡ ành t§t £ ¡ h m sè f sao ho f (x + 2) = 2f (x) + 3, ∀x ∈ R
Nhữ vêy h(x) l h m số tu n ho n hu ký 2 trản R
2) x h(x), ∀x ∈ R , trong â h(x) l h m sè tu n ho n hu ký
Nhên x²t: Ph²p °t g(x) = ( √ 2) x h(x), ∀x ∈ R ữủ tẳm ra nhữ sau: Tứ (2) ta tữðng tữủng rơng g(x + 2) = g(x)g(2), ∀x ∈ R vợi g(2) = 2 Suy ra h m số g õ ° iºm bián tờng th nh tẵ h, do õ g(x) = a x Tứ g(2) = 2 ⇒ a 2 = 2 ⇒ a = √
Nhên x²t: Tữỡng tỹ ta giÊi ữủ phữỡng trẳnh h m sau f (x + a) = αf (x) + b, ∀x ∈ R vợi α, a, b l hơng số, α ƒ= ±1
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
B i to¡n 2.3.6 X¡ ành t§t £ ¡ h m sè f sao ho f (x + 2) + 3f (x) = x, ∀x ∈ R (1)
Nhữ vêy h(x) l h m số phÊn tu n ho n hu ký 2 trản R
3) x h(x), ∀x ∈ R , trong â h(x) l h m sè ph£n tu nho n hu ký 2 tũy ỵ trản R
B i toĂn 2.3.7 Tẳm tĐt Ê Ă h m số f thọa mÂn iãu kiằn f (3x) = f (x) − 2, ∀x > 0 (1)
GiÊi °t f (x) = log 1 x + g(x), x > 0 Thay v o (1) ta ữủ
Nhữ vêy h l h m số tu n ho n hu ký 1 trản R
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do ha y f (x) = log 1 x + h(log
Thỷ lÔi ta thĐy thọa m Ân (1) Kát luên: f (x) = log 1 x + h(log
√ 3 x), ∀x > 0 trong â h l h m sè tu n ho n hu ký 1 trản R tũy ỵ.
B i toĂn 2.3.8 Tẳm tĐt Ê Ă h m số f thọa mÂn iãu kiằn f (5x) = f (x) + 2, ∀x > 0 (1)
GiÊi °t f (x) = log √ 5 x + g(x), ∀x > 0 Thay v o (1) ta ữủ log √ 5 (5x) + g(5x) = log √ 5 x + g(x) + 2, ∀x > 0
Nhữ vêy h l h m số tu n ho n hu ký 1 trản R
Ta â: f (x) = log √ x + g(x) = log √ x + g(5 u ) = log √ x + h(u) = log √ x + h(log 5 x),
Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn (1).
Kát luên: f (x) = log √ 5 x + h(log 5 x), ∀x > 0 trong õ h l h m số tu n ho n hu ký 1 trản R tũy ỵ.
Nhên x²t: Ph²p °t f (x) = log √ 5 x + g(x) ữủ tẳm ra nhữ sau : tứ (1) ta tữðng tữủng rơng f (5x) = f (5) + f (x), ∀x > 0 u+1
3 ¯ng thự trản ( bián tẵ h th nh tờng ) khián ta liản tữðng án h m số lổgarit, do â dü o¡n f (x) = log a x, ∀x > 0 v f (5) = 2 Suy ra log a 5 = 2 ⇒ a 2 = 5 ⇒ a = √
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
Nhên x²t: Tữỡng tỹ ta giÊi ữủ phữỡng trẳnh h m sau f (ax) = f (x) + b, ∀x > 0 ( a v b l Ă hơng số , a > 0, a ƒ= 1 ).
B i toĂn 2.3.9 XĂ ành tĐt Ê Ă h m số f thọa mÂn iãu kiằn f (2x − 1) = −f (x) + 2.∀x ∈ R (1)
⇔ g(2x − 1) = −g(x), ∀x ∈ R (2) °t x = 1 + t thẳ 2x = 2t + 1 v t = x − 1 thay v o (2) ta ữủ g(2t + 1) = −g(t + 1), ∀t ∈ R (3) °t h(t) = g(t + 1), ∀t ∈ R thay v o (3) ta ữủ h(2t) = −h(t), ∀t ∈ R
Thỷ lÔi ta thĐy thọa m Ân (1) Kát luên: f (x) = 1 + h(x − 1), ∀x ∈ R trong õ h l h m số tũy ỵ thọa mÂn h(2t) = −h(t), ∀t ∈ R
B i toĂn 2.3.10 XĂ ành tĐt Ê Ă h m số f thọa mÂn iãu kiằn f (2x + 1) = 3f (x) + 2, ∀x ∈ R (1)
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do °t x = −1 + t thẳ 2x + 1 = 2t − 1 v t = x + 1 thay v o (2) ta ữủ g(2t − 1) = 3g(t − 1), ∀t ∈ R (3) °t h(t) = g(t − 1), ∀t ∈ R Thay v o (3) ta ữủ h(2t) = 3h(t), ∀t ∈ R (4)
- Náu t ƒ= 0, °t h(t) = |t| log 2 3 k(t) Thay v o (4) ta ữủ
2 |x + 1| log 2 3 k(x + 1) náu x ƒ= −1 trong õ k l h m số tũy ỵ thọa mÂn k(2t) = k(t), ∀t ƒ= 0
B i toĂn 2.3.11 XĂ ành tĐt Ê Ă h m số f thọa mÂn iãu kiằn f (−2x + 3) = 3f (x) − 5, ∀x ∈ R (1)
⇔ g(−2x + 3) = 3g(x), ∀x ∈ R (2) °t x = 1 + t thẳ −2x + 3 = −2t + 1, t = x − 1 thay v o (2) ta ữủ g(−2t + 1) = 3g(t + 1), ∀t ∈ R (3) °t h(t) = g(t + 1), ∀t ∈ R Thay v o (3) ta ữủ h(−2t) = 3h(t), ∀t ∈ R
- Náu t 0, °t h(t) = |t| log 2 3 k(t) Thay v o (4) ta ữủ
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
5 |x − 1| log 2 3 k(x − 1) náu x 1 trong õ k l h m số tũy ỵ thọa mÂn k(4t) = k(t), ∀t ƒ= 0
Nhên x²t: Ph²p °t x = 1 + t ữủ tẳm ra nhữ sau: Ta tẳm iºm bĐt ởng bản trong tứ phữỡng trẳnh sau: −2x + 3 = x ⇔ x = 1 º ữa iºm bĐt ởng bản trong x = 1 vã iºm bĐt ởng t = 0, ta n °t x = 1 + t hay x − 1 = t Tứ (4) ta tữðng tữủng rơng h(4t) = h(4)h(t), ∀t ∈ R vợi h(4) = 9 Suy ra h(t) = t a Tứ h(4t) = 9h(t), ∀t ∈ R ta â.
Nhên x²t: Tữỡng tỹ ta giÊi ữủ phữỡng trẳnh h m sau f (ax + b) = αf (x) + c, ∀x ∈ R , vợi a ƒ= ±1, α ƒ= 1
B i toĂn 2.3.12 ( ã thi vổ à h Brasil - 1993) Tẳm mởt h m số f xĂ ành trản têp hủp Ă số thỹ khổng Ơm v thọa mÂn Ă iãu kiằn f (0) = 0 v f (2x + 1) = 3f (x) + 5, ∀x ≥ 0 (1)
⇔ g(2x + 1) = 3g(x), ∀x ≥ 0 (2) °t x = −1 + t thẳ 2x + 1 = 2t − 1, t = x + 1 thay v o (2) ta ữủ g(2t − 1) = 3g(t − 1), ∀t ≥ 1 (3) °t h(t) = g(t − 1), ∀t ≥ 1 Thay v o (3) ta ữủ h(2t) = 3h(t), ∀t ≥ 1 (4) °t h(t) = t log 2 3 k(t), ∀t ≥ 1 Thay v o (4) ta ữủ t log 2 3 k(2t) = 3|t| log 2 3 k(t) ⇔ k(2t) = k(t)
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do trong õ k l h m số thọa mÂn k(2t) = k(t), ∀t ≥ 1
Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn ã b i.
Kát luên: Mởt h m số f thọa mÂn ã b i l f (x) = −5
2.4 Phữỡng trẳnh h m vợi Ă ph²p bián ời phƠn tuyán tẵnh
Cho h m sè ax + b ω(x) = cx + d , c ƒ= 0, ad − bc ƒ= 0
Trong mử n y ta x²t Ă phữỡng trẳnh dÔng f (ω(x)) = αf (x) + β
B i toĂn 2.4.1 Tẳm tĐt Ê Ă h m số f xĂ ành trản R \{−2} sao ho
B¥y gií ta x²t x ƒ= −1, x ƒ= −2 °t f (x) = 2 + g(x), ∀x ƒ= −1, x ƒ= −2 Thay v o (1) ta ữủ
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do °t g(−1 + 1 ) = h(t), ∀t ƒ= −1, t ƒ= 0 Thay v o (3) ta ữủ h(t + 1) = 3h(t), ∀t ƒ= −1, t ƒ= 0 (4) °t h(t) = 3 t k(t), ∀t ƒ= −1, t ƒ= 0 Thay v o (4) ta ữủ
2 + 3 x+1 k( x+1 ) khi x ƒ= −1, x −2 trong õ k l h m số tũy ỵ thọa mÂn k(t + 1) = k(t), ∀t ƒ= −1, t ƒ= 0
Nhên x²t: Ph²p °t 1 = t, ∀x ƒ= −1, x −2 ữủ tẳm nhữ sau: GiÊi phữỡng trẳnh
= x ta ữủ nghiằm k²p x = −1 Ta khổng ây nghiằm k²p x = −1 n y vã 0 m ta ây nghiằm k²p x = −1 ra ∞ º ây nghiằm k²p x = −1 ra ∞ ta s³ °t 1 = t, vẳ khi x −→ −1 thẳ t −→ ∞ Chú ỵ rơng khi  viát x = α + β thẳ ng phÊi viát
B i toĂn 2.4.2 Tẳm tĐt Ê Ă h m số f xĂ ành trản R \{2} sao ho f ( −1
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
1 1 g(1 + t − 1 ) = 2g(1 + t ), ∀t ƒ= 1, t ƒ= 0 (3) °t g(1 + 1 ) = h(t), ∀t ƒ= 1, t ƒ= 0 Thay v o (3) ta ữủ h(t − 1) = 2h(t), ∀t ƒ= 1, t ƒ= 0 (4) °t h(t) = 2 −t k(t), ∀t ƒ= 1, t ƒ= 0 Thay v o (4) ta ữủ
−2 + 2 1−x k( 1 x ) khi x ƒ= 1, x ƒ= 2 trong õ k l h m số tũy ỵ thọa mÂn k(t − 1) = k(t), ∀t ƒ= 1, t ƒ= 0
B i toĂn 2.4.3 Tẳm tĐt Ê Ă h m f xĂ ành trản R \{5} sao ho x + 3 f ( 5 − x ) = 3f (x) − 2, ∀x ƒ= 5 (1)
Trong (1) lĐy x = 1 ta ữủ f (1) = 3f (1) − 2 ⇔ f (1) = 1 Tữỡng tỹ ta ữủ f (3) = 3 BƠy giớ ta x²t vợi x ƒ= 1, x ƒ= 3, x ƒ= 5 °t f (x) =
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
1 + | x−1 | log 1 3 k( x −1 ) khi x ƒ= 1, x ƒ= 3, x ƒ= 5 x−3 x−3 trong õ k l h m số tũy ỵ thọa mÂn (5)
Để giải phương trình \( \frac{x-1}{x-3} = t \), ta cần phân tích các nghiệm của nó Khi hai nghiệm phân biệt, một nghiệm sẽ tiến tới vô cực và một nghiệm tiến tới 0 Để tìm nghiệm \( x-1 = t(x-3) \), ta chú ý rằng khi viết lại, ta sẽ có \( x-3 = \alpha \).
B i toĂn 2.4.4 Tẳm tĐt Ê Ă h m f xĂ ành trản R \{4} sao ho x + 2 f ( 4 − x ) = −3f (x) + 8, ∀x ƒ= 4 (1)
Trong (1) lĐy x = 1 ta ữủ f (1) = −3f (1)+8 ⇔ f (1) = 2 Tữỡng tỹ ta ữủ f (2) = 2 BƠy giớ ta x²t vợi x ƒ= 1, x ƒ= 2, x ƒ= 4 °t f (x) =
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do x + 2
B i toĂn 2.4.5 Tẳm tĐt Ê Ă h m số f (x) sao ho
Gi£i Trong (1) thay x bði − 1 ta ữủ
Tứ (1) v (2) suy ra vợi mồi x ƒ= 0 ta õ f (x) = 3[3f (x) + 4] + 4 = 9f (x) + 16 ⇒ f (x) = −2
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn Vêy f (x) = −2, ∀x ƒ= 0 l h m số n tẳm.
B i toĂn 2.4.6 Tẳm tĐt Ê Ă h m số f (x) sao ho
2 [h(x) − h(− x )], ∀x ƒ= 0 (4) vợi h l h m số tũy ỵ trản R \{0} Dạ thĐy h m số g xĂ ành bði (4) thọa (2) Ngữủ lÔi náu h m g thọa (2) thẳ do (3) nản g õ dÔng
Thỷ lÔi thĐy thọa mÂn (1).
B i toĂn 2.4.7 Tẳm tĐt Ê Ă h m số f (x) sao ho f ( 2x − 5
Gi£i °t ω(x) = 2x−5 , x = 2 Khi â (1) trð th nh x−2
(2) Nhên x²t rơng phữỡng trẳnh ω(x) = x khổng õ nghiằm thỹ v ω(x) õ tẵnh hĐt
Tứ (5) suy ra f (x) = 1008+ 1 [h(x)−h(− 1 )], ∀x ƒ= 0 (trong õ h l h m số tũy ỵ trản R \{0}) ω(ω(x )) = 2 2 x −5
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
Trong (2) thay x bði ω(x) ta ữủ f (ω(ω(x))) = 2f (ω(x)) + 6, ∀x ƒ= 2
⇔ f (x) = 2f (ω(x)) + 6, ∀x ƒ= 2 (3) °t g(x) = f (ω(x)), ∀x ƒ= 2 Tứ (2), (3) ta õ hằ phữỡng trẳnh
Kiºm tra lÔi: Vợi f (x) = −6, ∀x ƒ= 2 ta â f (x) = −6, ∀x ƒ= 2
Nhên x²t: Cho h m số ω(x) = ax+b , c ƒ= 0, ad − bc ƒ= 0 Khi õ náu a + d = 0 thẳ ω(ω(x)) = x
B i toĂn 2.4.8 Tẳm tĐt Ê Ă h m số f (x) sao ho f ( x − 2
Gi£i °t ω(x) = x−2 , ∀x ƒ= 1 Khi â (1) trð th nh
Nhên x²t rơng phữỡng trẳnh ω(x) = x khổng õ nghiằm thỹ v ω(x) õ tẵnh hĐt ω(ω(x))
Trong (2) thay x bði ω(x) ta ữủ f (ω(ω(x))) = 2f (ω(x)) + ω(x), ∀x ƒ= 1
°t g(x) = f (ω(x)), x ƒ= 1 Tứ (2) v (3) ta õ hằ phữỡng trẳnh cx+ d
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
Thỷ lÔi thĐy thọa mÂn (1).
B i toĂn 2.4.9 ( ã thi Olympi toĂn ổng Nam - 1998) GiÊ sỷ f (x) l mởt h m số vợi giĂ trà thỹ , xĂ ành vợi mồi x ƒ= 0, sao ho
Tẳm tĐt Ê Ă nghiằm ừa phữỡng trẳnh f (x) = f (−x)
GiÊi Dạ thĐy (1) tữỡng ữỡng vợi
Thỷ lÔi thĐy thọa mÂn (1) Do õ f (x) = 2 − x, ∀x ƒ= 0 Bði vêy f (x) = f (−x)
Vêy tĐt Ê Ă nghiằm ừa phữỡng trẳnh f (x) = f (−x) l : √ 2, − √
B i toĂn 2.4.10 Tẳm tĐt Ê Ă h m số f xĂ ành trản R \{1; 2} thọa mÂn iãu kiằn f (x) + f ( 2x − 3
GiÊi °t ω(x) = 2x−3 , ∀x ∈ R \{1; 2} Nhên x²t rơng phữỡng trẳnh ω(x) = x khổng x x
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do ω 3 (x) := ω(ω(ω(x)))
2x−3 x−1 v o (1) ta ữủ f (x) + f (ω(x)) = 2x + 1, ∀x ∈ R \{1; 2} (2) Trong (2) thay x bði ω(x) ta ữủ f (ω(x)) + f (ω 2 (x)) = 2ω(x) + 1, ∀x ∈ R \{1; 2} (3) Trong (2) thay x bði ω 2 (x) ta ữủ f (ω 2 (x)) + f (ω 3 (x)) = 2ω 2 (x) + 1, ∀x ∈ R \{1; 2}
(4) ta õ hằ phữỡng trẳnh sau
GiÊi hằ trản ta ữủ
Kiºm tra lÔi : Vợi f (x) = x − ω(x) + ω 2 (x) + 1 , ∀x ∈ R \{1; 2} ta õ
Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn 2
Nhên x²t: Cho h m số ω(x) = ax+b , c ƒ= 0, ad
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
2.5 Hằ phữỡng trẳnh h m mởt bián
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá một số phương pháp giải phương trình hữu tỉ Các kỹ thuật giải phương trình thường gặp như phương pháp thế, phương pháp đồng nhất, và phương pháp suy diễn sẽ được trình bày Thông qua bài toán này, chúng ta sẽ nắm vững những kỹ thuật quan trọng trong việc giải các phương trình hữu tỉ.
B i toĂn 2.5.1 Tẳm tĐt Ê Ă h m f v g thọa mÂn
GiÊi °t u = 2x + 1, thay v o (2) ta ữủ f (u) + 2g(u) = u − 1, ∀u ∈ R hay
Tứ Ơy thay v o (1) ta ữủ f (x) − 2x + 1 = 3x − 2, ∀x ∈ R
Thû l¤i ta th§y °p h m f (x) = 5x − 3, ∀x ∈ R ; g(x) = −2x + 1, ∀x ∈ R thọa mÂn yảu u b i to¡n.
B i toĂn 2.5.2 Tẳm tĐt Ê Ă h m f v g thọa mÂn f (x − 2) + 2g(x − 2) = 2x, ∀x ∈ R , (1) f ( x− x
GiÊi °t u = x − 2, thay v o (1) ta ữủ f (u) + 2g(u) = 2u + 4, ∀u ∈ R (3) Trong (2) °t v = x
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do ha y u f (u) + g(u) = u − 1 , ∀u ƒ= 1 (4)
LĐy (3) trứ (4) theo vá ta ữủ g(u)
Tứ Ơy thay v o (4) ta ữủ f (u)
Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn Kát luên: g(x) = 2x 2 x + 4 x − 1 ,
B i toĂn 2.5.3 Tẳm tĐt Ê Ă h m f v g thọa mÂn
Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn Kát luên: g(x) = x − 3, ∀x ∈ R ; f (x) = −x + 9, ∀x ∈ R
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
B i toĂn 2.5.4 ( ã thi hẵnh thự Olympi 30/04/2013) Tẳm tĐt Ê Ă °p h m số f, g : R −→ R thọa mÂn ỗng thới hai iãu kiằn sau :
4x + 7 = 2u + 1 x − 1 = u −5 thay v o (ii) ta ữủ hay
Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn Kát luên: 3
B i toĂn 2.5.5 Tẳm tĐt Ê Ă h m f v g thọa mÂn
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
⇒ f (x) = − 2 x + 2 , ∀x ƒ= 0 ( õ ữủ iãu n y do h m h(x) = trà l R \{0} ) Tứ õ ta õ x−1 , ∀x ƒ= 1 õ têp giĂ
Do â g(x) = 2x − 1, ∀x ∈ R Thû l¤i ta th§y thọa mÂn Kát luên:
B i toĂn 2.5.6 Tẳm tĐt Ê Ă h m f v g thọa mÂn
GiÊi °t 3x − 1 = t thay v o (1) ta ữủ f (t) + g(2t + 1) = t + 1, ∀t ∈ R (3) °t x + 1 = t, thay v o (2) ta ữủ f (t) + (t − 1)g(2t + 1) = 2t 2 − 3t + 1, ∀t ∈ R (4) LĐy (4) trứ (3) ta ữủ
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
Bði vêy g(x) = x − 1, ∀x ƒ= 5 Kát hủp vợi (3) suy ra f (x) + 2x = x + 1 ⇒ f (x) = 1 − x, ∀x ƒ= 5
Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn.
B i toĂn 2.5.7 Tẳm tĐt Ê Ă h m f v g thọa mÂn
GiÊi °t x − 1 = t thay v o (2) ta ữủ f (t) + g(t) = 2t, ∀t ∈ R hay
Tứ Ơy kát hủp vợi (3) ta â
Trong (1) lĐy x = 1 v trong (3) lĐy x = 2 ta ữủ
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn.
B i toĂn 2.5.8 Tẳm tĐt Ê Ă h m f v g thọa mÂn
GiÊi °t 3x − 1 = t thay v o (1) ta ữủ f (t) + g(2t + 1) = t + 1, ∀t ∈ R (3) °t x + 1 = t, thay v o (2) ta ữủ f (t) + (t − 1) 2 g(2t + 1) = 2t 2 − 3t + 1, ∀t ∈ R (4) LĐy (4) trứ (3) ta ữủ
Bði vêy g(x) = 2, ∀x ƒ= 5, x ƒ= 1 Kát hủp vợi (3) suy ra f (x) + 2 = x + 1 ⇒ f (x) = x − 1, ∀x ƒ= 5, x ƒ= 1
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn.
2.6 Mởt số dÔng phữỡng trẳnh h m a thự
Phương trình hàm mũ là một dạng toán học quan trọng, giúp giải quyết nhiều bài toán trong thực tế Để hiểu rõ hơn về phương trình hàm mũ, chúng ta cần nắm vững các kỹ thuật giải quyết, bao gồm cách biến đổi và áp dụng các định lý liên quan Việc phân tích và nhận diện các yếu tố như số mũ, cơ số và các biến số trong phương trình sẽ giúp tối ưu hóa quá trình giải quyết Thêm vào đó, việc sử dụng các phần mềm hỗ trợ tính toán có thể nâng cao hiệu quả giải bài toán hàm mũ.
Quy ữợ Trong mử n y khi ho a thự náu khổng õ giÊ thiát gẳ thảm thẳ ta hiºu õ l a thự hằ số thỹ
Kẵ hiằu º nõi rơng f (x) l a thự õ hằ số thuở K , ta kẵ hiằu: f
2.6.1a thự xĂ ành bði ph²p bián ời ối số
Mởt số kián thự vã a thự thữớng dũng:
- Náu a thự P (x) thọa mÂn P (x) = P (x + a), ∀x ∈ R (vợi a l hơng số khĂ khổng n o õ) thẳ P (x) ≡ c (vợi c l hơng số tũy ỵ).
- Náu a thự P (x) õ vổ số nghiằm thẳ P (x) ≡ 0, tự l P (x) = 0, ∀x ∈ R , nõi riảng, náu số nghiằm ừa a thự P (x) lợn hỡn deg(P ) thẳ
B i toĂn 2.6.1 HÂy tẳm tĐt Ê Ă a thự P (x) hằ số thỹ thọa mÂn:
GiÊi Trong (1) thay x bði x − 2012 ta ữủ
30(x + 2) + G(x + 2) = 30x + G(x) + 60, ∀x ∈ R hay G(x + 2) = G(x), ∀x ∈ R ⇔ G(x) = c, ∀x ∈ R ( l hơng số bĐt kẳ) Vêy P (x) = 30x + c, ∀x ∈ R Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn.
Kát luên: TĐt Ê Ă a thự thọa mÂn ã b i l
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
B i toĂn 2.6.2 HÂy tẳm tĐt Ê Ă a thự P (x) hằ số thỹ thọa mÂn:
GiÊi °t P (x) = G(x) + x 2 Khi õ G(x) ng l a thự Thay v o (1) ta ữủ
(x + 2) 2 + G(x + 2) = G(x) + x 2 + 4x + 4, ∀x ∈ R hay G(x + 2) = G(x), ∀x ∈ R ⇔ G(x) = c, ∀x ∈ R ( l hơng số bĐt kẳ) Vêy P (x) = x 2 + c, ∀x ∈ R Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn.
Kát luên: TĐt Ê Ă a thự thọa mÂn ã b i l
B i toĂn 2.6.3 HÂy tẳm tĐt Ê Ă a thự P (x) hằ số thỹ thọa mÂn:
Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn.
Kát luên: TĐt Ê Ă a thự thọa mÂn ã b i l vợi c l hơng số bĐt kẳ.
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
B i toĂn 2.6.4 Tẳm tĐt Ê Ă a thự P (x) hằ số thỹ thọa mÂn: xP (x) = (x + 3)P (x + 1), ∀x ∈ R (1)
GiÊi Trong (1) l n lữủt lĐy x = 0, x = 1, x = 2, , x = n ta ữủ
Suy ra x = 1, x = 2, x = 3, , x = n, x = n + 1 l nghiằm ừa P (x) Vêy P (x) õ vổ số nghiằm nản P
Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn.
B i toĂn 2.6.5 Tẳm tĐt Ê Ă a thự P (x) ∈ R [x] thọa mÂn: xP (x − 2) = (x − 2014)P (x), ∀x ∈ R (1)
GiÊi Trong (1) l n lữủt lĐy x bði 0, 2, 4, , 2014 ta ữủ
Khi õ Q(x) ng l a thự v thay v o (1) ữủ
Vêy P (x) = Cx(x − 2)(x − 4) (x − 2012), ∀x ∈ R (C l hơng số) Thỷ lÔi thĐy thọa mÂn.
B i toĂn 2.6.6 Tẳm tĐt Ê Ă a thự P (x) ∈ R [x] thọa mÂn: xP (x − 2) = (x − 2013)P (x), ∀x ∈ R (1)
GiÊi Trong (1) l n lữủt lĐy x bði 2013, 2011, , 2013 − 2n ta ữủ
Vêy P (x) õ vổ số nghiằm nản P (x) ≡ 0
Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn.
Chó þ: Sü kh¡ nhau ì b£n õa b i to¡n 2.6.5 v 2.6.6 l 2014 ∈ N ∗ án 2013 ∈/
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
B i toĂn 2.6.7 Cho số nguyản dữỡng k Tẳm tĐt Ê Ă a thự P (x) ∈
GiÊi Tứ (1) lĐy x = 2021 ta ữủ P (2021) = (2021 − 2021) k P (2022), suy ra 2021 l nghiằm bởi lợn hỡn ho° bơng k ừa P (x) °t
Hay G(x) = G(x + 1), ∀x ∈ R ⇔ G(x) = C, ∀x ∈ R (C l hơng số bĐt kẳ) Vêy P (x) = C(x − 2021) k , ∀x ∈ R Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn.
Kát luên: TĐt Ê Ă a thự thọa mÂn ã b i l
B i toĂn 2.6.8 (Olympi Moldova-2004) Tẳm a thự P (x) ∈ R [x] thọa m ¢n:
GiÊi Trữợ tiản ta tẳm Ă nghiằm ừa a thự P (x) Tứ giÊ thiát ta õ
Tứ Ơy hồn x = −2 suy ra P (−2) = 0 , hồn x = −1 suy ra P (−1) = 0
( do theo trản ta õ P (−2) = −9P (−1) ) , hồn x = 0 suy ra P (0) =
0, hồn x = 1 suy ra P (1) = 0 Vêy P (x) = (x − 1)x(x + 1)(x + 2)Q(x), vợi Q(x) l a thự hằ số thỹ
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
Suy ra R(x) ≡ C ( C l hơng số), vêy Q(x) ≡ C(x 2 + x + 1) Do õ
Thỷ lÔi ta thĐy thọa mÂn Kát luên:
B i toĂn 2.6.9 ( ã nghà thi Olympi 30/04/2010) Tẳm tĐt Ê Ă a thự
Trong (1) l n lữủt thay x bði −4, −2 ta suy ra −2, 0 l nghiằm ừa Q(x) °t Q(x) = x(x + 2)R(x), ∀x ∈ R
Khi õ R(x) ng l a thự v thay v o (2) ữủ
Suy ra R(x) l a thự hơng, do õ Q(x) = Cx(x + 2), ∀x ∈ R (C l hơng số) Suy ra P (x) = Cx(x + 2) − x, ∀x ∈ R Thỷ lÔi thĐy thọa mÂn.
Kát luên: vợi C l hơng số.
2.6.2Sỷ dửng tẵnh hĐt nghiằm v so sĂnh bê x 2 +x+
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
Mởt số lữu ỵ khi giÊi toĂn:
- a thự P (x) nhên số a l m nghiằm khi v h¿ khi P (a) = 0
- Náu phƠn số tối giÊn p (tự l p, q ∈ Z , (p, q) = 1 ) l nghiằm ừa a thự vợi hằ số nguyản P (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + + a 1 x + a 0 thẳ q l ữợ ừa a n v p l ữợ õa a 0 ° biằt náu a n = ±1 thẳ nghiằm hỳu t¿ õ l nguyản.
- Náu a thự P (x) õ vổ số nghiằm thẳ P (x) ≡ 0, tự l P (x) = 0, ∀x ∈ R , nõi riảng, náu số nghiằm ừa a thự P (x) lợn hỡn deg(P ) thẳ
- Mồi a thự bê l´ ãu õ nghiằm thỹ
- X²t a thự hằ số nguyản P (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + + a 1 x + a 0 Náu a, b l Ă số nguyản (ho° hỳu t¿) v √ c l số vổ t¿ thẳ P (a b √ c) â d¤ng P (a + b √ c) = k + m √ c v P (a b √ c) = k m √ c, trong â k, m l ¡ số nguyản (ho° hỳu t¿) ° biằt náu P (x) õ nghiằm l x = a + b √ c thẳ nõ ng õ Ê nghiằm x = a b √ c ( ¡ h q
− ± hựng minh nhữ sau: hựng minh bơng quy nÔp rơng náu (a + b √ c) n = d
(a − b √ c) n = d − e √ c , trong õ a, b, d, e l Ă số nguyản (ho° hỳu t¿), n ∈
B i toĂn 2.6.10 ( ã nghà thi Olympi 30/04/2002) Tẳm a thự khổng ỗng nhĐt khổng, bê nhọ nhĐt õ hằ số nguyản nhên 1 − √ 3
4 l nghiằm ừa a thự bê ba hằ số nguyản f (x) = x 3 − 3x 2 + 9x − 9
Náu f (x) õ nghiằm hỳu t¿ thẳ f (x) õ nghiằm nguyản l ữợ ừa 9.
CĂ số 1, 3, 9 khổng l nghiằm ừa f (x), do õ f (x) khổng õ nghiằm húu t¿ v 1 − √ 3
4 khổng l nghiằm ừa a thự bê nhĐt õ hằ số nguyản GiÊ sỷ 1 − √ 3
4 l nghiằm ừa a thự bê hai g(x) vợi hằ số nguyản Chia f (x) ho g(x) , giÊ sỷ ữủ l f (x) = g(x).q(x) + r(x), vợi deg(r) < 2
4) = 0, do õ r(x) ≡ 0 Bði vêy f (x) = g(x).q(x), vợi q(x) l a thự õ bê 1 v õ hằ số hỳu t¿ Suy ra f (x) õ nghiằm hỳu t¿, iãu n y
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do mƠu thuăn vợi f (x) khổng õ nghiằm hỳu t¿ Vêy f (x) l a thự bê nhọ nhĐt õ hằ số nguyản nhên 1 − √ 3
B i toĂn 2.6.11 (HSG Quố gia nôm 1997-bÊng B) Tẳm tĐt Ê Ă a thự f (x) vợi hằ số hỳu t¿ õ bê nhọ nhĐt m f ( √ 3
GiÊi Trữợ tiản ta hựng minh bờ ã sau:
Chựng minh bờ ã GiÊ sỷ phÊn hựng u v v khổng ỗng thới bơng 0 Khi §y gi£
9 √ √ x = 3 = u ⇒ ux − s = −v 3 9 = −vx 2 (do x = 3 3 ) ⇒ vx 2 + ux − s = 0
Do õ a thự R(x) = vx 2 + ux s nhên
Ta thĐy rơng G(x) khổng õ nghiằm hỳu t¿ v G( √ 3
Trữớng hủp 1 R(x) ≡ 0, khi õ G(x) = h(x)R(x) Vẳ deg(G) = 3, deg(R)
Để suy ra deg(h) = 1, ta có thể xác định rằng v, s là số hữu tỉ của G(x) và R(x), trong đó h(x) là một hàm số hữu tỉ Việc deg(h) = 1 cũng dẫn đến việc h(x) là một hàm số hữu tỉ Do đó, G(x) không phải là một hàm số hữu tỉ, và điều này cho thấy rằng trường hợp này không thể xảy ra.
Trữớng hủp 2 r(x) khổng ỗng nhĐt bơng 0 Náu r(x) ≡ c ƒ= 0 ( l hơng số) thẳ
Do õ r(x) ≡ 0, vổ lẵ Bði vêy deg(r) = 1, suy ra r(x) = ax + b Do G(x),
Q [x] nản h(x), r(x) ng l Ă a thự hằ số hỳu t¿ Ta õ r( √
3 3) = 0 nghắa l √ 3 3 l nghiằm vổ t¿ ừa a thự bê nhĐt r(x) vợi hằ số hỳu t¿ iãu vổ lẵ n y
Sỷ u ƒ= 0 là một điều kiện quan trọng trong việc phân tích các hiện tượng vật lý Khi tứ 3 hựng tọ trữớng hủp n y ng khổng xÊy ra, các yếu tố khác cũng cần được xem xét Tõm lÔi giÊ thiát phÊn hựng l sai có thể dẫn đến những sai sót trong quá trình nghiên cứu Vì vậy, việc hiểu rõ các nguyên lý này là cần thiết để đảm bảo tính chính xác trong các kết quả nghiên cứu.
Trð lÔi b i toĂn ang x²t Dạ thĐy a thự ỗng nhĐt 0 khổng thọa mÂn Ă yảu u ừa ã b i X²t khi f (x) ≡ c ( c l hơng số hỳu t¿) Tứ f ( √ 3
9, iãu n y mƠu thuăn vợi c − 3 l số hỳu t¿ X²t khi f (x) l a thự bê nhĐt: f (x) = ax + b, vợi a, b ∈ Q Tứ f ( √
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do ta â (a − 1) √
Để giải phương trình 3 - b = 3, ta có b ∈ Q, từ đó suy ra a - 1 = 0, dẫn đến a = 0 Khi a là số thực và b là số hữu tỉ, ta có hàm số f(x) = ax² + bx + c Từ đó, ta có thể phân tích và tìm ra giá trị của f(√).
Vẳ 3 − c − 6a, 3a + b, a + b − 1 l Ă số hỳu t¿ nản theo bờ ã suy ra
2 ) v khi õ 3 − c − 6a = 0 ⇔ c = 3 − 6a, suy ra c = 6 Vêy tỗn tÔi duy nhĐt a thự bê hai f (x) = − 1 x 2 + 3 x + 6, ∀x ∈ R thọa mÂn Ă yảu u ừa ã b i.
B i toĂn 2.6.12 Tẳm Ă a thự hằ số thỹ thọa mÂn iãu kiằn:
GiÊi GiÊ sỷ deg(P ) = n So sĂnh bê ừa hai vá ta thu ữủ Σ n 2 = 2n ⇔ n = 0 n = 2
- Khi n = 0, ta ữủ a thự hơng P (x) c Thay v o (1) thu ữủ Σ c = c 2 ⇔ c = 0 c = 1
Vêy P (x) ≡ 0 v P (x) ≡ 1 l Ă a thự hơng thọa mÂn b i ra.
- X²t n = 2 GiÊ sỷ P (x) = ax 2 + bx + c, a ƒ= 0 So sĂnh hằ số ao nhĐt trong (1) thu ữủ a 3 = a 2 ⇔ a = 1 Vêy
Vêy a thự xĂ ành bði (2) thọa mÂn (1) TĐt Ê Ă a thự n tẳm l
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
B i toĂn 2.6.13 (Olympi Romania - 2001) Tẳm Ă a thự P (x) ∈ R [x] thọa mÂn
GiÊi Dạ thĐy a thự hơng thọa mÂn Ă yảu u ã b i GiÊ sỷ deg(P ) = n
= 2 n P (x) + R(x), (2) vợi R(x) l a thự khổng ho° R(x) l a thự õ deg(R) = m < n GiÊ sỷ
R(x) l a thự khổng ỗng nhĐt 0, thay (2) v o (1) ta ữủ
Tứ (3) so sĂnh bê ð hai vá ta ữủ n + 2m = 2n + m ⇔ m = n, mƠu thuăn Vêy
Tứ (5), ỗng nhĐt hằ số ta ữủ
2 n−k b n−k = 2 n b n−k , ∀k = 1, 2, , n hay b n−k = 0, ∀k = 1, 2, , n Vẳ thá Q(x) = a n x n , ∀x ∈ R , suy ra
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
Thỷ lÔi thĐy thọa mÂn Vêy tĐt Ê Ă a thự thọa mÂn yảu u ã b i l
B i toĂn 2.6.14 (Olympi Bulgaria - 2001) Tẳm Ă a thự P (x) ∈ R [x] thọa mÂn
GiÊi Náu P (x) ≡ c (hơng số) thay v o (1) ta ữủ c = 0 Tiáp theo giÊ sû deg(P ) = n ≥ 1 v P (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + + a 1 x + a 0 (a n ƒ= 0) Khi â
= 2 n P (x) + R(x), (2) vợi R(x) l a thự khổng ho° R(x) l a thự õ deg(R) = m < n
- Náu R(x) ≡ 0 thẳ tứ (3) suy ra P (x) ≡ 0, mƠu thuăn.
- Náu m ≥ 2 thẳ tứ (3) suy ra n + 2m = 2n + m ⇔ m = n, mƠu thuăn.
- GiÊ sỷ m = 1 Khi õ deg(R(x) − 4x) = k ≤ 1 Tứ (3) ta õ n + 2 = 2n + k ⇔ n = 2 − k
(4) Do n > m = 1 v k ≤ 1 nản kát hủp vợi (4) suy ra k = 0 v n =
Trong (1) ho x = 1 ta ữủ P (1) = 0 GiÊ sỷ P (x) = ax 2 + bx + c, ∀x
∈ R Tứ (5) l n lữủt lĐy x = 1, x = 0 ta ữủ α = P (3) − 4 = 9a + 3b + c − 4, α = −4P (0) = −4c
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
ỗng nhĐt hằ số ta ữủ
Kát hủp vợi trản ta ữủ hằ a + b + c = 0
Vêy P (x) = x 2 − 1 Thỷ lÔi thĐy thọa mÂn Kát luên: P (x) ≡ 0, P (x)
B i toĂn 2.6.15 ( ã thi HSG TP HCM, nôm hồ 2004-2005) Tẳm tĐt Ê Ă a thự hằ số thỹ P (x) thọa
GiÊi Bở (a; b; c) = (3x; 2x; x) thọa mÂn (2) Do õ thay v o (1) ta ữủ
GiÊ sỷ Σ n i (quy ữợ 0 ) Thay v o (3) ta ữủ i=0 Σ n i= 0 a i (6x) i =
Vêy kát hủp vợi (4) ta suy ra: i ∈ {0, 1, 2, , n}\{3} thẳ a i = 0 Bði vêy
Thỷ lÔi: Ta õ hơng ¯ng thự
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
Do õ vợi a, b, c thọa mÂn (2) v P (x) = mx 3 , ∀x ∈ R , ta õ
5c 3 ) ( úng) Vêy tĐt Ê Ă a thự n tẳm l
P (x) = mx 3 , ∀x ∈ R (vợi m l Ă hơng số bĐt kẳ)
B i toĂn tờng quĂt 1 GiÊ sỷ f (x), g(x) v h(x) l Ă a thự hằ số thỹ ho trữợ thọa mÂn iãu kiằn : deg(f )+ deg(g) = deg(h) Tẳm tĐt Ê Ă a thự hằ số thỹ P (x) sao ho
Nghiằm ừa (1) là một khái niệm quan trọng trong toán học, giúp chúng ta xây dựng các phương trình và hàm số Nghiằm ừa của hàm P(x) và Q(x) là những phương trình có dạng (1), trong đó P(x) và Q(x) là những hàm số cụ thể Việc hiểu rõ về nghiằm ừa không chỉ giúp chúng ta giải quyết các bài toán phức tạp mà còn ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Hằng số P(x) là một hàm số có nghĩa là P(x) thuộc R Trong nhiều trường hợp, hằng số P(x) có thể được xác định thông qua các điều kiện nhất định Để phân tích hàm số, chúng ta cần xem xét các điều kiện liên quan đến các hàm số f(x), g(x), h(x) và sự thỏa mãn của chúng với các điều kiện deg(f).
+ deg(g) = deg(h) v thọa mÂn mởt trong hai iãu kiằn sau Ơy:
(2).deg(f ) = deg(g) v f ∗ + g ∗ 0, trong õ f ∗ , g ∗ l hằ số ừa l y thứa ao nh§t õa ¡ a thù f (x) v g(x) t÷ìng ùng.
Khi õ vợi mồi số nguyản dữỡng n tỗn tÔi nhiãu nhĐt mởt a thự hằ số thỹ P (x) õ bê n v thọa mÂn (1).
Chựng minh GiÊ sỷ P (x) l a thự bê n thọa (1) Gồi P ∗ , f ∗ , g ∗ , h ∗ l n lữủt l hằ số ừa l y thứa ao nhĐt ừa P (x), f (x), g(x), h(x) So sĂnh hằ số ừa l y thứa ao
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do nhĐt hai vá ừa Ă a thự trong (1) ta õ
Nhữ vêy náu giÊ sỷ ngữủ lÔi, tỗn tÔi mởt a thự Q(x) hằ số thỹ bê n, kh¡ P (x), thọa mÂn (1) thẳ Q ∗ = P ∗ v ta õ
(ta quy ữợ bê ừa a thự ỗng nhĐt khổng bơng −∞ , do õ r ≥ 0 ỗng nghắa R(x) khổng ỗng nhĐt khổng) Thay v o (1) ta ữủ
Trữớng hỡp 1 deg(f ) ƒ= deg(g) GiÊ sỷ deg(f ) > deg(g) Khi õ bê ừa Ă a thự ð vá trĂi ừa (2) l º þ rơng ndeg(f ) + rdeg(g), rdeg(f ) + ndeg(g), rdeg(f ) + rdeg(g)
(n − r)deg(f ) > (n − r)deg(g) ⇒ ndeg(f ) + rdeg(g) > rdeg(f ) + ndeg(g) ndeg(f ) + rdeg(g) > rdeg(f ) + ndeg(g) > rdeg(f ) + rdeg(g)
Vêy vá trĂi ừa (2) õ bê l ndeg(f ) + rdeg(g) Trong khi õ vá phÊi ừa (2) õ bê l rdeg(h) = r(deg(f ) + deg(g)) < ndeg(f ) + rdeg(g) (m¥u thu¨n).
Trữớng hủp 2 deg(f ) = deg(g) Khi õ hai a thự u tiản ð vá trĂi ừa
Khi thảo luận về sự tồn tại của số ảo trong không gian vector, ta nhận thấy rằng tổng bậc của hai hàm số f và g được xác định bởi công thức rdeg(f) + rdeg(g) Tuy nhiên, để xác định chính xác số ảo, cần xem xét hai hàm số trong không gian thực và không gian phức Cụ thể, ta có thể áp dụng các quy tắc liên quan đến các không gian này để tìm ra số ảo tương ứng, từ đó rút ra kết luận về sự tồn tại của chúng trong các bậc khác nhau.
Nhữ vêy hằ số ừa x ndeg(f)+rdeg(g) trong tờng hai a thự bơng
Nhữ vêy bê ừa vá trĂi ừa (2) văn l ndeg(f ) + rdeg(g), trong khi bê ừa vá phÊi ð
(2) l rdeg(h) = r(deg(f ) + deg(g)) < ndeg(f ) + rdeg(g) (m¥u thu¨n).
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do ành lẵ ữủ hựng minh ho n to n.
Chú ỵ Sỷ dửng ành lỵ 2.2 v hằ quÊ 2.1, ta thĐy rơng P 1 (x) l mởt a thự bê nhĐt thọa mÂn (1) vợi f (x), g(x), h(x) l Ă a thự thọa mÂn iãu kiằn ừa ành lỵ 2.2 thẳ tĐt Ê Ă nghiằm ừa (1) l
B i toĂn 2.6.16 ( ã thi v o Khoa ToĂn hồ tẵnh toĂn v iãu khiºn - Ôi hồ Tờng hủp Quố gia Matx ỡva nôm 2002) Tẳm tĐt Ê Ă a thự P (x) vợi hằ số thỹ thọa mÂn iãu kiằn
GiÊi Ta õ Ă h m f (x) = x, g(x) = x, h(x) = x 2 thọa mÂn Ă iãu kiằn õa ành lẵ 2.2 , v h m P (x) = x l h m bê nhĐt thọa mÂn (1) Do õ Ă h m
B i toĂn 2.6.17 ( ã nghà thi Olympi 30/04/2011) Tẳm tĐt Ê Ă a thự
Gi£i °t t = 2x + 1 Khi â (1) trð th nh
Dạ thĐy P (t) ≡ 0 v P (t) ≡ 1 thọa mÂn phữỡng trẳnh h m (2) X²t trữớng hủp P (t) õ bê nhĐt, P (t) = at + b ( a, b l hơng số a ƒ= 0 ) thay v o (2) ta ữủ
Hằ n y vổ nghiằm do a ƒ= 0 Vêy khổng tỗn tÔi a thự bê nhĐt thọa m Ân (2) Tiáp theo ta x²t trữớng hủp P (t) õ bê hai,
Chữỡng 2 Phữỡng trẳnh h m mởt bián tỹ do
Thay v o (2) v ỗng nhĐt hằ số nhữ trản ta ữủ a = 1, b = 0, c =
1 Vêy a thự bê hai thọa mÂn (2) l P (t) = t 2 + 1 X²t Ă a thự f (t) = t, g(t) = t + 1, h(t) = t 2 + 1
Căn cứ vào các điều kiện trong bài viết, chúng ta có thể nhận thấy rằng việc phân tích số liệu trong các mô hình thống kê là rất quan trọng Nghiên cứu cho thấy rằng có sự tương quan giữa các yếu tố ảnh hưởng đến kết quả nghiên cứu Các kết quả thu được từ mô hình này sẽ giúp cải thiện độ chính xác của các dự đoán trong tương lai Do đó, việc áp dụng các phương pháp phân tích phù hợp là cần thiết để đạt được những kết quả tối ưu.
Vêy tĐt Ê Ă h m số thọa mÂn ã b i l
B i to¡n 2.6.18 (HSG Què gia - 2006) H¢y x¡ ành t§t £ ¡ a thù P (x) vợi hằ số thỹ thọa mÂn hằ thự sau:
GiÊi Thay x bði −x v o (1), ta ữủ