Phép biến đổi tích phân trên thang thời gian

PHÉP TÍNH VI PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN

Thang thời gian

Định nghĩa 1.1 Một thang thời gian, ký hiệu là T, là tập hợp con đóng khác rỗng của tập hợp số thực

Có một vài thang thời gian đặc biệt, chẳng hạn tập số thực , số nguyên ,

 :  h  hz z  , trong đó h là một số thực dương cố định, các số tự nhiên

 0    0 , q 0   q n : n  0 , trong đó q  1là được điều chỉnh

Trong luận văn này, ta giả định rằng một thang thời gian nhất định có cấu trúc liên kết tương đối chặt chẽ với các số thực

Xét các số nguyên t, ta thấy rằng số nguyên liền sau là t + 1 Khi mở rộng ra tập số thực, không tồn tại số thực nào lớn hơn tiếp theo đối với t Bên cạnh đó, chúng ta cũng xem xét thang thời gian T = [-1, 0].

Nếu t thuộc T và t nhỏ hơn 0, thì không tồn tại phần tử lớn hơn tiếp theo trong T Ngược lại, nếu t thuộc T và t lớn hơn hoặc bằng 0, thì T có phần tử lớn hơn tiếp theo là t cộng 1 Định nghĩa này mở ra một hướng nghiên cứu mới quan trọng cho thang thời gian tùy ý Định nghĩa 1.2 giới thiệu toán tử bước nhảy tiến σ: T → T được xác định cho t thuộc T.

    toán tử bước nhảy lùi  : T  T được xác định bởi

    và hàm hạt  : T    0,  được xác định bởi

Quy ước inf   supT và sup   inf T

Toán tử bước nhảy tiến cho phép xác định số liền sau t, trong khi toán tử bước nhảy lùi xác định số liền trước t Hàm hạt được sử dụng để tính khoảng cách đến số liền sau Theo định nghĩa 1.3, nếu σ(t) > t, thì t được coi là cô lập bên phải; nếu ρ(t) < t, thì t được coi là cô lập bên trái Một điểm được gọi là điểm cô lập nếu nó vừa cô lập bên phải vừa cô lập bên trái Cuối cùng, nếu t < sup T và σ(t) = t, thì t được xem là điểm trù mật bên phải.

Nếu t lớn hơn inf T và ρ(t) bằng t, thì t được gọi là điểm trù mật bên trái Nếu một điểm vừa là điểm trù mật bên phải vừa là điểm trù mật bên trái, thì nó được gọi là điểm trù mật.

Hàm chính quy là một hàm f T :  mà có giới hạn bên phải tồn tại tại tất cả các điểm trù mật bên phải trong T Đặc điểm nổi bật của hàm chính quy là nó chỉ có thể gián đoạn tại các điểm có bước nhảy, cho thấy tính liên tục của nó yếu hơn so với các hàm liên tục thông thường.

Ví dụ 1.5 Xét một hàm không chính quy trên Đặt f :     1;1 được xác định bằng

Chú ý rằng trong khi f liên tục   t \ 0  nhưng không tồn tại giới hạn trái và giới hạn phải tại 0 vì

 không tồn tại và lim sin   x x

Giới hạn của hàm f tại thang thời gian 0 được xác định khi f là hàm chính quy, do 0 không có điểm trù mật bên trái hoặc bên phải Một hàm f được gọi là hàm rd-liên tục tại điểm t0 nếu tại t0 là điểm trù mật bên trái, thì giới hạn bên trái của f tồn tại tại t0, và nếu t0 là điểm trù mật bên phải, thì f liên tục tại t0 Khi một hàm rd-liên tục ở tất cả các điểm trong tập T, nó được gọi là hàm rd-liên tục.

    rõ ràng f liên tục tại các điểm cô lập của T Vì vậy khi ta xét điểm trù mật bên phải

0 và điểm trù mật bên trái 2 Giới hạn phải của f tại 0 tồn tại và bằng f   0 Vì

8 vậy, f liên tục tại 0 Trong khi f không liên tục tại 2, giới hạn trái của f tồn tại ở

2 Ta có thể thấy rằng mặc dù f không liên tục nhưng f là hàm rd-liên tục Định lý 1.8 Cho f T :  và g T :  T thì,

(i) Nếu f liên tục, khi đó f là hàm rd-liên tục

(ii) Nếu f liên tục và g chính quy hoặc rd-liên tục, khi đó g f tương ứng là hàm chính quy hoặc rd-liên tục.

Đạo hàm trên thang thời gian

Định nghĩa 1.9 Tập T k được định nghĩa là

Đạo hàm của một hàm thích hợp trên thang thời gian không thể xác định cho tất cả các điểm trong toàn bộ thang thời gian, đặc biệt là không thể xác định ở cận trên hữu hạn Tuy nhiên, đạo hàm có thể được xác định tại tất cả các điểm của T k.

T k là tập xác định để đạo hàm trên thang thời gian có nghĩa Định nghĩa 1.10 Hàm f T :  được gọi là Δ-khả vi tại t  T k nếu

 , s T  \   ( ) t  tồn tại f    t được gọi là Δ-đạo hàm của f tại t Hàm f được gọi là Δ- khả vi trên

T k nếu f    t tồn tại ở tất cả các t  T k và f  : T k  được gọi là Δ- đạo hàm của f trên T k

Chú ý rằng chúng ta quy ước s không bằng sigma của t, mặc dù có thể s và t bằng nhau Khi xem xét một điểm t trên thang thời gian cô lập bên phải, Δ-đạo hàm tại t được xác định là độ dốc của đường thẳng nối hai điểm: (t, f(t)) và (t + Δt, f(t + Δt)).

  t , f  t  Khi t là trù mật bên phải, Δ-đạo hàm tại t tương tự như định nghĩa thông thường của đạo hàm Định lý 1.11 Cho f T :  với t  T k Nếu f là Δ-khả vi tại t thì:

Chứng minh:   i Giả sử f là Δ-khả vi tại điểm t  T k Ta thấy khi t là trù mật phải    t  0 và    t  t , vì vậy ta có

Xét khi t là điểm cô lập phải Do  ( ) t  t và f Δ-khả vi tại t , ta có thể viết lại đạo hàm tại t thành

  ii Ta thấy với bất kỳ s T  ,

Cho 1    0, và xác định  '     1  f    t     t    1 thì 1    ' 0 Theo định nghĩa của đạo hàm, với 1    0 tồn tại   0 sao cho t   s  , s     t ta chứng minh

Ta sử dụng   1.1 và   1.2 để thấy f t ( )  f s ( )   Đặt t   s min    ', 

Sử dụng phương trình 1.1 để viết lại thành

Theo   i ta có f     t   f t         t f  t   0 f t    f     t        t f  t  0 Từ đó ta đánh giá dòng cuối cùng

Phần (ii) của định lý 1.11 được chứng minh tương tự như phần (i), mà chỉ đúng khi t là điểm cô lập phải, với t là điểm trù mật σ(t) = t Thay vào (i), ta có f(t) = f(t) là hiển nhiên đúng Định lý tiếp theo cung cấp một số quy tắc về Δ-đạo hàm Cần lưu ý rằng phần (i) và (ii) dưới đây tương tự như các trường hợp số thực, trong khi phần (iii) có sự khác biệt Định lý 1.12 khẳng định rằng nếu f và g là Δ-khả vi tại t thuộc T, thì các quy tắc áp dụng sẽ được thiết lập.

(i) Tổng f  g T :  là Δ-khả vi tại t với

(ii) Đối với bất kỳ  không đổi  ,  f T :  là Δ-khả vi tại t với

(iii) Tích fg T :  là Δ-khả vi tại t với

Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh   iii Cho   0 và xác định

    tồn tại   0 sao cho t   s ta có:

Giả sử ta đã chọn  đủ nhỏ để  '  1, biểu thức trên được viết dưới dạng

Để có được đẳng thức thứ hai trong phương trình, ta cần đổi vai trò của f và g Điều này nhấn mạnh quy tắc đạo hàm hàm hợp, áp dụng cho các hàm f và g.

Tuy nhiên, với thang thời gian tùy ý, điều này không còn đúng trong một vài trường hợp Chẳng hạn ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.13 Cho T  và cho f g , :  được xác định bởi f t    g t     t 2 t t Sử dụng đạo hàm tích, định lý 1.12, ta có

Vì vậy, một lần nữa bằng cách sử dụng đạo hàm tích, ta có

Nếu chúng ta giả sử rằng ( f g ) ( )  t  f  ( ( )) g t g t  ( ), thì ta có

Như vậy ( f g ) ( )  t  f  ( ( )) g t g t  ( ) , chỉ cho một điểm trong , là t  0

Trong trường hợp này, có một số quy tắc đạo hàm hàm hợp cho thang thời gian, mỗi quy tắc có tính chất yếu hơn so với các số thực Để xác định quy tắc đạo hàm hàm hợp theo định lý 1.15, chúng ta cần xem xét điều kiện cho hàm  để (T) trở thành một thang thời gian Để trả lời câu hỏi này, ta sẽ xem xét mệnh đề sau.

Mệnh đề 1.14 Cho  :T  là một hàm tăng ngặt Khi đó    T là một thang thời gian khi và chỉ khi

(ii)  bị chặn trên (tương ứng bị chặn dưới) chỉ khi T bị chặn trên (tương ứng bị chặn dưới)

Chứng minh: Chứng minh phản chứng Giả sử rằng  không liên tục với

Trong một thang thời gian, tồn tại một điểm a T thuộc một trong ba loại: điểm trù mật bên trái, điểm trù mật bên phải, hoặc điểm trù mật, tại đó hàm số  không liên tục.

Giả sử a là điểm trù mật bên trái, không phải bên phải, với dãy tăng ngặt {t_n} hội tụ tới a, trong đó t_n thuộc T.

Vì hàm γ là hàm tăng ngặt, giá trị γ(a) bị giới hạn bởi dãy {γ(t_n)} với n thuộc tập số tự nhiên Do đó, dãy {γ(t_n)} phải hội tụ về một cận trên hữu hạn, và sup {γ(t_n)} nhỏ hơn γ(a) do γ không liên tục tại a Tiếp tục áp dụng tính chất tăng ngặt của hàm γ, ta có sup {γ(t_n)} không thuộc dãy {γ(t_n)}.

Cho b thuộc T sao cho γ(b) = sup{γ(t_n) | n ∈ N} Vì γ là hàm tăng, nên b = sup{t_n | n ∈ N} dẫn đến b ≤ a Từ (1.4), ta có b ≠ a, do đó a > b Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng {t_n} hội tụ đến a Vì vậy, giả thiết phản chứng cho rằng γ(T) là một thang thời gian mâu thuẫn, do đó γ là liên tục.

Bây giờ giả sử rằng supT   và    T  M   với một số M  Khi đó, chúng ta có thể tìm được một dãy tăng   t n n  , t n  T mà lim n n t

   Ta sử dụng hàm  là hàm tăng ngặt để xác định rằng     t n  n  hội tụ tới cận trên hữu hạn với sup{ (t )} { ( )} n n N t n n N

Vì thế sup{ (t )}  n n N    ( ) T và do đó    T là tập đóng Bằng cách chứng minh phản chứng, khi    T là một thang thời gian, ta có   ii

Giả sử rằng hai điều kiện i và ii đúng, và a là một điểm giới hạn của γ(T) Không mất tính tổng quát, ta có thể giả định rằng tồn tại một dãy tăng {an} với an thuộc γ(T) và hội tụ đến a Đồng thời, cho chuỗi {γ(tn)} với tn thuộc T, nếu γ(tn) = a thì {tn} cũng là một dãy tăng.

  Giả sử sup    T   , thì theo   ii ta có sup    T   Như vậy lim n n t

   trái lại thì    Cho 0 lim , n n t t

 vì T đóng nên t 0  T Mặt khác, hàm  liên tục suy ra   t 0  a , do đó a     T □ Định lý 1.15 (quy tắc đạo hàm hàm hợp)

Cho  : T  là một hàm tăng ngặt sao cho T :     T là một thang thời gian

Cho  : T  và   biểu thị đạo hàm của  trên T Nếu     t và       t  tồn tại với t  T k thì

Chứng minh: Cho 1    0 và xác định

               thì 1    ' 0    t Δ-khả vi có nghĩa là tồn tại  1  0 sao cho t s ,  T , khi t   s  1 ta có   ( ( ) t   ( ) s    ( ) t  s    ( ) t    ' ( ) t  s

Tương tự như vậy,    t Δ-khả vi có nghĩa là tồn tại  2  0 sao cho r ,    t  T khi

                 Ở đó    t biểu thị toán tử bước nhảy tiến trên T Cho

Chú ý rằng vì  tăng ngặt

Tương tự như vậy   1     t   2    t 0 thì với s T  mà t   s , ta có t   s  1 Với mỗi s như vậy ta có

Tương tự như vậy chúng ta có thể sử dụng t   s   1     t   2   t cho thấy

     Vì vậy t   s  nghĩa là      t   s   2 Nên:

Tiếp tục sử dụng tính tăng ngặt của hàm , ta có   ( ( )) t    ( ( )) t Vì vậy, dòng cuối cùng được viết lại

Bây giờ chúng ta xét lại ví dụ 1.13và kiểm tra rằng

Kết quả này thu được trong  f g     t từ quy tắc đạo hàm hàm hợp

Trong trường hợp hàm tăng ngặt, việc áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp cho thấy rằng đạo hàm trên thang thời gian cho kết quả tương tự như đạo hàm hợp trong tập số thực Tuy nhiên, khi áp dụng quy tắc này trên tập số nguyên, chỉ một số trường hợp cụ thể mới cho kết quả chính xác Ví dụ, tại điểm t=0 trong ví dụ 1.13, ta thấy rằng đạo hàm trên các tập số nguyên và số thực chỉ là những trường hợp riêng của đạo hàm trên một thang thời gian cụ thể.

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN

Định nghĩa tích phân trên thang thời gian

Một phân hoạch của khoảng thời gian [a, b] trên thang thời gian T, với a < b, là một tập hợp con hữu hạn được sắp xếp theo thứ tự.

Nói cách khác P tách khoảng   a b , T thành một tập các tập con:

Ký hiệu tập hợp của tất cả các phân hoạch thành P a b   ,

Ta cần xác định những  -phân hoạch là gì Định nghĩa 2.1.2 Cho   0 Một phân hoạch P  P a b   , đưa ra bởi

0 1 n a t  t t b được gọi là  -phân hoạch nếu với mỗi i   1, 2, , n 

1 i i t t    với mỗi đoạn  t i  1 , t i  T   Ký hiệu tập hợp của tất cả các phân hoạch là

Chú ý rằng có thể xảy ra khả năng t i t i  1 nhưng chỉ khi   t i  t i  1 Điều này được minh họa trong các ví dụ tiếp theo

Ví dụ 2.1.3 Xét thang thời gian T   2 : n n  N 0    0 Giả sử a  0 và b  32 Cho

P  được phân hoạch trên T theo tập hợp  0,1, 2, 4, 8, 16, 32 , trong khi P  được phân hoạch theo  0,1, 8, 16, 32  P  là một -phân hoạch của  0,32  với điều kiện    0, vì khoảng cách giữa các phần tử trong phân hoạch không giao nhau Ngược lại, P  không thỏa mãn điều kiện này, bởi vì mặc dù khoảng cách giữa các phần tử khác nhau không giao nhau, nhưng khi i = 2, điều này không đúng.

  t t 1 , 2 T    1,8 T    2, 4   Vì vậy, P  là một -phân hoạch của  0,32  chỉ khi

Tiếp theo, chúng ta sẽ định nghĩa Δ-tích phân Riemann tương tự như tích phân Riemann thông thường Cụ thể, cho hàm số f: [a, b] → T là một hàm bị chặn, và P là một phân hoạch của đoạn [a, b] Đối với mỗi cặp t_i-1 và t_i trong P, chúng ta chọn một điểm τ_i thuộc T sao cho t_i-1 ≤ τ_i < t_i Tổng các giá trị này sẽ được tính toán để tạo ra Δ-tích phân Riemann.

   là một Δ-tổng Riemann tương ứng với P Chúng ta nói rằng f là Δ-khả tích Riemann trên   a b , nếu tồn tại một số I  sao cho:    0,    0để

 P P  P a b    , Số phức I được gọi là Δ-tích phân Riemann (hoặc chỉ đơn giản là Δ-tích phân) của f trên   a b , và được kí hiệu b   a f t  t

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tiến hành tính toán một số Δ-tích phân trực tiếp từ định nghĩa để làm rõ khái niệm tích phân, đặc biệt trong bối cảnh thang thời gian khác, khi nó chỉ đơn thuần là tích phân Riemann thông thường.

Ví dụ 2.1.5 Cho f T :  được xác định bởi f t    t 2 Giả sử rằng

Chúng ta thấy, trong ví dụ này ta xét phân hoạch P  theo  0,1, 2, 4,8,16,32  nằm trong P   0,32 ,    0 Bởi vì ta chọn  i T mà t i  1  i t i là duy nhất

So sánh điều này với tích phân thông thường

Bây giờ giả sử rằng

  và cho P  biểu thị phân hoạch  0,32  theo

Chú ý rằng trong thang thời gian này P n  P   0,32 nếu 32 0 32

  , 2   i n Nếu ký hiệu S n là Δ-tổng Riemann tương ứng với P n , khi đó ta có

Sử dụng Maple ta có thể tính được số hạng thứ hai trong tổng S n Chẳng hạn

Điều đáng chú ý là trong mỗi khoảng thời gian của các ví dụ đã nêu, Δ-tích phân luôn nhỏ hơn so với trường hợp thông thường Thực tế cho thấy, đối với bất kỳ hàm tăng f :  và khoảng thời gian T, điều này vẫn đúng.

Giới hạn của hàm f trên tập T được ký hiệu là g(t) Cần lưu ý rằng Δ-tích phân trên một khoảng rời rạc của thang thời gian chỉ đơn giản là tổng có trọng số, với giá trị t thuộc T được xác định bởi hàm μ(t) Nếu tồn tại một điểm trù mật bên phải trong khoảng đó, điểm này sẽ có trọng số theo hệ số 0 Mệnh đề dưới đây sẽ làm rõ điều này.

Mệnh đề 2.1.6 Nếu cho f T :  khi đó ta có:

Chứng minh: Giả sử    t  t thì

Bây giờ giả sử rằng    t  t thì   t ,    t   là một  -phân hoạch    0 Như vậy

Điều kiện   khả tích và các phương pháp tính tích phân

Định lý 2.2.1 Mọi hàm f rd-liên tục trên đoạn   a b , là Δ-khả tích trên   a b ,

Chứng minh: lưu ý đầu tiên là toán tử bước nhảy lùi  có thể được mở rộng tự nhiên tới khoảng thực  inf ,sup T T  bởi

Cho g là một phần mở rộng của f trên trục số thực được xác định bởi

Nếu một trong các tích phân tồn tại, thì do hàm f là rd-liên tục, chúng ta có thể kết luận rằng tập hợp các điểm gián đoạn của hàm g là tập đếm được Điều này dẫn đến việc g liên tục từng khúc.

Δ-tích phân có thể được tính trên khoảng [a, b] trên trục số thực, cho phép xác định giá trị của nó trong khoảng này Định lý sau đây khẳng định tính chất tuyến tính của Δ-tích phân Tính chất này sẽ được trình bày trong bối cảnh thang thời gian sau khi nêu kết quả Theo Định lý 2.2.2, nếu f và g là các hàm Δ-tích phân trên khoảng [a, b], và α, β là các hằng số thuộc tập số thực, thì f và g có thể kết hợp với nhau theo tính chất tuyến tính.

Định lý 2.2.2, cùng với định lý 2.2.1, khẳng định rằng một hàm Δ-khả vi cũng đồng thời là hàm Δ-khả tích, điều này rất quan trọng trong định lý cơ bản của toán cao cấp Theo định lý 2.2.3, nếu g là một hàm xác định trên đoạn [a, b] và g là Δ-khả vi trên đoạn này, thì các tính chất của hàm sẽ được áp dụng trong các nghiên cứu tiếp theo.

Nếu g  là Δ-khả tích trên  a b ,  thì b       a g  t   t g b  g a

 (2.7) b) Cho f là Δ-khả tích trên   a b , Đối với t    a b , T xác định

Khi đó, F t   liên tục trên  a b ,  Nếu t 0   a b ,  và nếu f liên tục tại t 0 khi t 0 là điểm trù mật bên phải, khi đó F là Δ-khả vi tại t 0 và có

F  t  f t Định lý 2.2.4 (định lý đổi biến)

Cho  : T  là một hàm tăng ngặt với T là một thang thời gian Ký hiệu  đại diện cho Δ-đạo hàm trên T Giả sử f T :  là Δ-khả tích trên mỗi khoảng hữu hạn của T Nếu  là Δ-khả vi và f t       t ∆-khả tích trên đoạn [a, b], thì chúng ta có các tính chất liên quan đến tích phân và đạo hàm trong không gian này.

Theo định lý 1.11 F   f  cho điểm cô lập bên phải và những điểm trù mật bên phải mà tại đó f có tính liên tục Vì thế

Sử dụng các quy tắc đạo hàm hàm hợp từ định lý 1.15, để có

Tiếp tục sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta được

   Định lý 2.2.5 (Tích phân từng phần)

Cho a b ,  T và cho f g T , :  là hàm rd-liên tục thì

Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh (i) Đặt:

Theo quy tắc đạo hàm tích trong định lý 1.12 ta biết

Vì vậy, áp dụng định lý cơ bản, định lý 2.2.2, phương trình   2.8 được viết lại

Chứng minh   ii được thực hiện bằng cách đổi vai trò f và g trong phần   i

Hàm đa thức và hàm mũ trên thang thời gian

Trong toán học, 0 là đạo hàm của 1 và 1 là đạo hàm của t Tuy nhiên, trong thang thời gian, không thể xác định t nào là đạo hàm theo cách tạo ra dạng thức đóng cho thang thời gian tùy ý Ví dụ, t có thể được coi là đạo hàm của một hàm số nhất định.

2 t trên , nhưng đối với một thang thời gian tùy ý

  mà theo quy tắc đạo hàm tích trong định lý 1.12 thì

2 t  t không nhất thiết phải  khả vi trong trường hợp    t liên tục

Ta mong muốn đưa ra một tập hợp các hàm có thể sử dụng biến t theo phép tính

Trong nghiên cứu về đa thức trên thang thời gian, chúng ta bắt đầu từ giá trị 1 và áp dụng đệ quy để xác định hàm thông qua tích phân Định nghĩa 2.3.1 đề cập đến hai hàm g và h, với T là một hàm từ k đến k, trong đó k thuộc tập hợp số không.

1 , , s k k t h  t s   h  s    s t ,  T Định lý 2.3.2 Cho s  T và cho h k    t s , biểu thị Δ-đạo hàm của h t s k   , cho s cố định Khi đó ta có:

Biến thứ hai s , được quan tâm đối với các đa thức Chú ý đối với thang thời gian ta có

Chúng ta đang tìm kiếm một hàm tương tự như hàm mũ trong trường hợp số thực, nhằm giải quyết bài toán giá trị ban đầu Mục tiêu là xác định nghiệm cho bài toán này, sử dụng một hàm có chức năng tương tự.

Trước khi tìm nghiệm cho bài toán, chúng ta cần một số khái niệm mới Định nghĩa 2.3.3 Đối với h  0 mặt phẳng phức Hilger được định nghĩa là

  Định nghĩa 2.3.4 Phép toán cộng vòng tròn, ký hiệu  trên h được định nghĩa bởi w : w w z     z z h

Vòng tròn âm z h được xác định bởi

Phép toán trừ vòng tròn được xác định bởi

  w : w z     z Định lý 2.3.5 Cặp  h ,   tạo thành một nhóm giao hoán Ở đây ta xét hàm hạt    t thay vì h Định nghĩa 2.3.6 Hàm f T :  được gọi là hồi quy nếu

Tập hợp tất cả các hàm hồi quy và rd-liên tục f T :  sẽ được ký hiệu bằng

Một số ít trường hợp ta xét đến   

Mệnh đề 2.3.7    tạo thành một nhóm theo phép toán cộng vòng tròn theo từng điểm.

Cho s  T k là một điểm trù mật bên phải thì    s   s    s  0 Vì thế

 p  q s        p s  q s p và q là mỗi điểm liên tục tại s ,do đó p  q liên tục tại s Bây giờ đặt s  T k là một điểm điểm trù mật bên trái thì

 là hữu hạn vì p và p là hai hàm rd-liên tục và

Giới hạn bên trái của phép toán p  q tồn tại tại điểm s với t thuộc tập T Đối với t cố định, p  q hồi quy theo định nghĩa 2.3.6, cho thấy rằng p  q là hồi quy và rd-liên tục Với t cố định, phép toán p t  q t có tính chất kết hợp và giao hoán, đồng thời p t có nghịch đảo là  p t theo định lý 2.3.5 Nếu thay thế p bằng q, phép toán này vẫn giữ tính chất kết hợp, giao hoán, và tồn tại nghịch đảo  p Ngoài ra,  p cũng được chứng minh là rd-liên tục Hơn nữa, với s thuộc T k là một điểm trù mật bên phải, các tính chất này vẫn được duy trì.

 vì    s  0 Vì thế  p là rd-liên tục vì  p s  là rd-liên tục Vì vậy, cặp     ,   là một nhóm giao hoán

26 Định nghĩa 2.3.8 Đối với h  0, xác định h là dải

  Định nghĩa 2.3.9 Với h  0, biến đổi hình trụ  h : h  h được xác định bởi

Trong đó Log là logaritn tự nhiên Đối với h  0, xác định

Trong đó log nghĩa là logarit tự nhiên Chúng ta xem xét  h về biến đổi hình trụ bởi vì nếu kết hợp dòng Im   z h

   với nhau thì ta có h tạo thành một hình trụ Định nghĩa 2.3.10 Xét với p    Xác định hàm mũ trên thang thời gian

Nếu không có tính hồi quy, định nghĩa về hàm mũ trên thang thời gian sẽ không có ý nghĩa Định lý 2.3.11 cung cấp công thức nghiệm cho bài toán giá trị ban đầu, với p(t) thuộc một khoảng nhất định và t₀ cố định trong T Nghiệm duy nhất cho bài toán giá trị ban đầu được biểu diễn bởi y' = p(t)y, với điều kiện y(t₀) = 0.

Bây giờ ta sẽ sử dụng định lý 2.3.11 để tìm hàm mũ trên thang thời gian

Ví dụ 2.3.12 Cho T q 0 , cho p t      và cố định t 0T thì theo định lý2.3.11,

  , 0 e p t t là nghiệm duy nhất cho bài toán giá trị ban đầu

Bởi vì mỗi điểm trên T là điểm cô lập, ta có thể viết lại phương trình động lực học này theo quy luật với    t  qt :

Chú ý rằng e t t p  0 , 0   1ta có thể đưa ra một quy luật cho e t t p   , 0 :

, 1 1 , , p p p s t t e qt t q p qt qt e q t t q p qt qt q p q t q t e t t q p s s t t s T

      Định lý 2.3.13 Nếu p q ,    và t s r , ,  T thì

Phần ii của định lý 2.3.13 đóng vai trò quan trọng trong các nghiên cứu tiếp theo Chúng ta có thể viết lại e p(σ(t), s) mà không cần chứa σ(t) trong hàm, điều này cho phép chúng ta chứng minh nhiều kết quả liên quan đến phép biến đổi Laplace của các hàm đặc biệt.

Hệ quả dưới đây là kết quả của định lý 2.3.13, sẽ được áp dụng thường xuyên trong các phần tiếp theo để tính toán biến đổi Laplace của các hàm đặc biệt.

Chúng ta sẽ áp dụng hàm mũ trên thang thời gian để xác định các hàm sin, cos và các hàm hyperbolic trong phép tính Định nghĩa 2.3.15 nêu rõ rằng, với p là một hàm rd-liên tục trên T, nếu  p 2 thuộc về tập số thực, thì các hàm lượng giác cosp(t, 0) và sinp(t, 0) được xác định thông qua một công thức cụ thể.

 trong đó i   1 Cho p là một hàm rd-liên tục trên T mà  p 2    ta định nghĩa hàm lượng giác trên thang thời gian hyperbolic cosh p và sinh p bằng biểu thức sau

Chú ý rằng p 2 là hồi quy nếu ip và -ip đều hồi quy, và -p 2 là hồi quy khi và chỉ khi p và -p đều hồi quy, điều này xác định hàm lượng giác và hàm lượng giác hyperbol Khi T = cos 1(t s) = cos(t s), thì vế phải của phương trình trở thành hàm cosin bình thường Tương tự, sin 1(t s) = sin(t s) Hơn nữa, đối với thang thời gian này, các hàm lượng giác vẫn giữ nguyên tính chất hồi quy.

Mệnh đề 2.3.16 Cho p là một hàm rd-liên tục trên T sao cho  p 2    ta có

Định lý 2.3.17 cho hàm hai biến trên thang thời gian là một công cụ quan trọng cho các phần sau Giả sử a ∈ T k, b ∈ T và hàm f: T × T k liên tục tại (t, t) với t ∈ T k và t > a Nếu f Δ(t, ∙) là rd-liên tục trên khoảng [a, σ(t)] và f(∙, τ) là Δ-khả vi tại τ ∈ [a, σ(t)], thì ký hiệu f Δ được sử dụng để chỉ Δ-đạo hàm của f đối với biến thứ nhất.

Chứng minh: Thật vậy f t   ,  là Δ-khả vi đối với t với nghĩa là tồn tại  1 0 sao cho khi t   s  1 ta có f     t ,    f s   ,   f      t ,    t  s   2      t  a     t  s  2.12 

Tính liên tục của f tại   t t , nghĩa là có tồn tại  2 0sao cho khi t s   2 và t   2ta có

 ,  , f s   f t t   2  2.13  Đặt  : min   1 , 2 và giả sử rằng t   s  thì

Theo công thức xác định hàm g Bây giờ chúng ta có thể tính tích phân và thêm bớt một vài biểu thức để viết lại thành

Sử dụng định lý 2.1.6chúng ta có thể viết lại tích phân cuối cùng trong biểu thức này là     t f  t t , khi đó ta được

       Định lý 1.11cho ta f t t   ,  f     t t ,        t f  t t , được kết quả

Sử dụng phương trình  2.12 và  2.13  ta được:

Phương trình động lực học

Trong phần trước, chúng ta đã xem xét một ví dụ về nghiệm của bài toán giá trị ban đầu trong phương trình động lực học theo định lý 2.3.11 Tiếp theo, chúng ta sẽ tiến hành phân tích nghiệm cho bài toán giá trị ban đầu, điều này sẽ được áp dụng trong các phần tiếp theo của bài viết.

2.4.1 Phương trình động lực học gần tuyến tính cấp I Định lý 2.4.1

Giả sử p    và f T :  là rd-liên tục Cho t 0  T và x 0  thì nghiệm duy nhất cho bài toán giá trị ban đầu x    t   p t x       t   f t   , x t   0  x 0  2.14  được cho bởi biểu thức

Chứng minh: Lấy đạo hàm hai vế của x (t) trong phương trình  2.15 thỏa mãn bài toán giá trị ban đầu được đưa ra trong phương trình  2.14 

Theo định lý 2.3.17 ta có

Theo hệ quả 2.3.14, ta có thể viết lại như sau

Nhân cả hai vế với 1       t p t ta có

Theo định lý 1.11 Dễ thấy rằng x thoả mãn các điều kiện ban đầu vì

Bây giờ ta xét tính duy nhất nghiệm của bài toán Giả sử rằng x t   là nghiệm của

 2.15  Khi đó, ta có thể giải phương trình động lực học f t  để có được f t    x t       p t x     t   2.16  e p     t t , 0 f t  e p   t t , 0   x    t  p t x       t     2.17 

Phương trình  2.19  có được từ phương trình  2.18  bằng cách áp dụng định lý 1.12 Tích phân hai vế ta có

    theo phần   iii ,   iv , và   v của định lý  2.3.13 

2.4.2 Phương trình động lực học tuyến tính cấp I

Giả sử p    và f T :  là rd-liên tục Cho t 0 T và x 0  thì nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu x          t  p t x t  f t , x t   0  x 0

Chứng minh: Theo định lý 1.11 ta có thể viết x t    x     t        t x t  Sử dụng điều này, thì (2.20) trở thành

Chú ý rằng        p p t và kết hợp với định lý 2.4.1, phương trình  2.21 trở thành

Từ định lý 2.3.13 ta có

2.4.3 Phương trình động lực học tuyến tính cấp cao Định lý 2.4.3.1 Cho g là một hàm rd-liên tục Khi đó nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu x  k  1   t  g t   , x  i   0  0  i , 0   i k  2.22  được cho bởi

Chứng minh: Giả sử k  0 Hệ quả 2.4.2 cho ta nghiệm của phương trình

Vì vậy, khi p t    0, ta có nghiệm của bài toán

, t t x t   e t  s g s   s  g s  s Để ý là h t s 0   ,  1, nên ta có

Vì vậy, giả sử k  0 đúng Bây giờ giả sử bài toán đúng với k  n và xét

Theo định lý 2.3.17 vế phải của đẳng thức bằng

   Để ý là h a a k   ,  0 và h k    t s ,  h k  1   t s , ta có

 là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu

Trường hợp i = 0 thì x   0  0 được tính trực tiếp từ định nghĩa 

Khi tính tích phân theo thời gian, kết quả thu được thường khác biệt đáng kể so với việc tính tích phân trên tập số thực T Xem xét ví dụ 2.1.5 với hàm số f T được xác định bởi f(t) = t^2.

Tích phân thông thường trên

Xét phân hoạch P  theo  0,1, 2, 4,8,16,32  nằm trong P   0,32 ,    0

Tích phân trên T cho kết quả

Khi tính tích phân trên các thang thời gian cụ thể, chúng ta nhận được các kết quả hoàn toàn khác biệt so với việc tính trên tập số thực Điều này giúp đảm bảo tính phù hợp với nhiều bài toán thực tế mà tập số thực không thể giải quyết Tích phân trên thang thời gian có thể được xem là trường hợp tổng quát, trong khi tích phân trên tập số học chỉ là một trường hợp riêng biệt.

PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN THANG THỜI GIAN….38 3.1 Biến đổi Fourier

Các tính chất của phép biến đổi Fourier

Định lý 3.2.1 Cho f, g: T hH  và α,   Khi đó

F  f  g   F f   F g  cho T hH sao cho F f     và F g     hội tụ

Định lý 3.2.2 khẳng định rằng, với hàm số f từ T đến hH và t thuộc T hH, ta có thể chứng minh định lý này dựa vào tính chất tuyến tính của Δ-tích phân và định lý 2.2.2.

(iv) F f       * +( )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ cho v,T hH sao cho tích phân tương ứng tồn tại

Chứng minh: Trước hết ta chứng minh   i

Có thể áp dụng định lý đổi biến cho thang thời gian, và do hàm liên tục trên mỗi thang thời gian T hH, việc sử dụng định lý này vẫn chính xác.

     4.1 Giả sử H   , khi đó   4.1 trở thành

Giả sử H   ,thì định nghĩa của T hH là một nhóm thương cho ta f t H       f t và như vậy   4.1 trở thành

        Định lý 3.2.3 Cho :f T hH  Khi đó ta có công thức sau

Chứng minh: Chú ý rằng khi h  0,

Do đó   4.2 thỏa mãn nếu lấy tích phân trên tập hợp số thực Xét h  0 và k  1.

Sử dụng phần   ii của định lý  3.2.2 ta có được

Phần còn lại của chứng minh tương tự bằng cách suy luận trên k Định lý 3.2.4 Cho f T: hH  và g T: hH  và thỏa mãn điều kiện

Chúng ta sẽ chứng minh định lý này bằng cách xem xét từng trường hợp trong bốn trường hợp khác nhau và áp dụng kết quả từ tích phân số thực, theo định lý đặc biệt Fubini Đối với T ∈ T h và T ≥ 0, chúng ta định nghĩa các hàm hình chữ nhật  T trên T h như sau.

   Ở đó    T T ,  là hàm đặc trưng trên khoảng [-T, T] Đối với ,

 T cũng là một hàm hình chữ nhật trên T hH

Chú ý rằng hàm số mũ thông thường đã được sử dụng với một thang thời gian cụ thể, không phải là thang thời gian hàm mũ e^(iωt) Do đó, không thể giả định rằng e^(iωΔ) = i e^(ωi t) Trên thực tế, giả định này không đúng trong nhiều trường hợp, như sẽ được trình bày trong các mệnh đề tiếp theo.

Mệnh đề 3.2.6 Cho t T hH Khi đó ta có công thức

Chứng minh: Trường hợp h  0 là hiển nhiên đúng Xét h  0 Khi đó

Từ mệnh đề 3.2.6 ta có Δ-đạo hàm của hàm lượng giác thông thường là

Bổ đề 3.2.6 Cho a b T,  h và cho f T: hH  Khi đó

Chứng minh: Đẳng thức luôn đúng khi h  0 Xét h  0 :

Bây giờ chúng ta sẽ xét phép biến đổi Fourier của hàm hình chữ nhật  

 T là một hàm trên T H Giả s T H Theo định nghĩa của tích phân trênT hH ta nhận được

Dựa vào bổ đề 3.2.6 ta có thể viết lại như sau

Chú ý rằng từ   4.3 ta có

Như vậy chúng ta có thể viết

T  T h thì hàm hình thang được xác định

Và từ mệnh đề 3.2.7 ta có

Biến đổi Fourier ngược

    cho      là hàm hình thang được xác định trên T h Khi đó, ta xác định nhân Dirichlet bởi công thức

Bổ đề 3.3.2 Cho f T: hH  là một hàm khả vi, liên tục sao cho

Chứng minh: Chứng minh tương tự như tích phân trên tập số thực Định lý 3.3.3 Cho f T: hH  khả vi, liên tục và giả sử

 thì phép biến đổi Fourier ngược được xác định như sau

Theo định lý 3.2.2 chúng ta có thể viết lại

Sử dụng định lý 3.2.4 ta được

Sử dụng định lý 3.3.3 để giải các phương trình truyền nhiệt trên thang thời gian

Ví dụ 3.3.4 Cho T h H 1 1 và T h H 2 2 là hai thang thời gian và cho hàm

Khi đó u x là Δ-đạo hàm của u x t   , đối với biến thứ nhấtx T h H 1 1 Tương tự như vậy u t là Δ-đạo hàm của u x t   , đối với biến thứ hai

2 2 t T h H Xét bài toán giá trị ban đầu u t ku xx , u x     ,0  f x   4.4

Trong đó k  là một hằng số và f T: h H 1 1  Áp dụng biến đổi Fourier cả hai vế

Chú ý rằng đây chỉ là một phương trình động lực học bình thường đối với t Nếu cho   lim i 1 2 h p e

  thì theo định lý 2.3.11 u    , t được xác định bởi

Vì vậy, nếu f    e p      t , 0 thỏa mãn các điều kiện của định lý3.3.3 thì

Như vậy trên thang thời gian phép biến đổi Fourier có sự khác biệt Chẳng hạn xét phép biến đổi Fourier của đạo hàm trong định lý 3.2.3

  Ở đó T hH , h là một số thực dương cố định Khi h=0 lim 1 i h e i

  cho ta công thức của Fourie cổ điển

Kết luận chương 3

Chương 3 trình bày những vấn đề chính sau:

 Định nghĩa phép biến đổi Fourier trên thang thời gian và các tính chất cơ bản

 Xây dựng phép biến đổi Fourier ngược trên thang thời gian và một vài ví dụ minh họa