TỔNG QUAN
Tổng quan về robot công nghiệp
Từ "Robot" lần đầu tiên xuất hiện vào năm 1920 trong tác phẩm "Rossum’s Universal Robots" của nhà văn Czech Karel Capek Năm 1921, con rối Robota mang tên "Force man" được trình diễn trên sân khấu múa rối châu Âu, mở đầu cho sự phát triển của ngành robot Ý tưởng này đã gợi ý cho các nhà sáng chế về việc tạo ra máy móc mô phỏng các thao tác của con người Đến thời kỳ Chiến tranh Thế giới thứ hai, nhu cầu ứng dụng các cơ cấu này trong kỹ thuật gia tăng, đặc biệt trong môi trường phóng xạ của các phòng thí nghiệm nguyên tử Các cơ cấu điều khiển từ xa (Teleoperator) ra đời, với khả năng thực hiện nhiều thao tác như cầm nắm, nâng hạ và buông thả trong không gian xác định Tuy nhiên, tốc độ hoạt động của chúng còn chậm, khả năng tải thấp và hệ điều khiển vẫn chủ yếu là cơ học.
Từ thập niên 50, sự phát triển của kỹ thuật điều khiển đã dẫn đến việc hình thành và nghiên cứu hệ điều khiển theo chương trình số NC (Numerical Control) kết hợp với cơ cấu Servo và các hệ điện toán Sự kết hợp này đã tạo ra những máy móc tự động cao cấp, nổi bật với khả năng linh hoạt, nhạy bén, thông minh và chính xác.
“Người máy” Khái niệm người máy công nghiệp (Industrial Robot) ra đời
Hiện nay, trên toàn cầu có nhiều phòng thí nghiệm và công ty chuyên nghiên cứu, thiết kế và chế tạo robot Sự phát triển của robot ngày càng hiện đại và đa dạng về chủng loại, đồng thời mở rộng ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau Điều này đã khẳng định vai trò quan trọng của robot trong cuộc sống hiện đại.
Robot đóng vai trò quan trọng trong sản xuất công nghiệp và nền kinh tế quốc dân Sự phát triển của robot là kết quả của những tiến bộ trong lĩnh vực khoa học và công nghệ.
- kỹ thuật - công nghệ - sản xuất (Science - Technique - Technology - Manufacture)
Trong quá trình công nghiệp hoá, hiện đại hoá, tự động hoá sản xuất đóng vai trò quan trọng tại Việt Nam Sự xuất hiện ngày càng nhiều của dây chuyền sản xuất hiện đại, đặc biệt là robot công nghiệp, đã thay đổi đáng kể bộ mặt ngành công nghiệp Robot không chỉ nâng cao năng suất và chất lượng sản phẩm mà còn cải thiện khả năng cạnh tranh và điều kiện lao động Hơn nữa, robot còn được sử dụng để thay thế con người trong những môi trường khắc nghiệt như môi trường bụi bẩn, ẩm ướt và độc hại.
Ngành chế tạo robot tại Việt Nam, mặc dù mới ra đời, đã đạt được nhiều thành tựu đáng khích lệ trong những năm gần đây Nhiều trung tâm và cơ sở nghiên cứu đã thành công trong việc chế tạo robot, không chỉ dừng lại ở việc vận hành và sửa chữa mà còn sản xuất robot theo đơn đặt hàng, giúp tiết kiệm ngân sách cho Nhà nước Phong trào nghiên cứu và chế tạo robot trong sinh viên các trường đại học cũng phát triển mạnh mẽ, với nhiều thành tích nổi bật tại các cuộc thi Robocon châu Á Thái Bình Dương, thể hiện khả năng sáng tạo và làm chủ công nghệ của thế hệ trẻ Việt Nam.
Một số vấn đề đặt ra khi nghiên cứu về robot công nghiệp
Robot ngày càng trở nên quan trọng trong nhiều lĩnh vực, bao gồm công nghiệp, nghiên cứu, dịch vụ và giải trí Sự linh hoạt của robot được cải thiện nhờ vào số bậc tự do và số động cơ dẫn của chúng Đối với bàn kẹp, số bậc tự do có thể là 3 hoặc 6, tùy thuộc vào việc nó là bàn kẹp phẳng hay không.
5 hay không gian), và số bậc tự do n của robot, ta có thể phân loại robot thành robot chuẩn m n, và robot dƣ dẫn động n m
Khi nghiên cứu về robot, ngoài việc thiết kế chúng ta thường phải giải quyết các bài toán về động học, động lực học và điều khiển
Bài toán động học robot nghiên cứu chuyển động mà không xem xét lực tác động, tập trung vào các yếu tố như vị trí, vận tốc và gia tốc Đặc biệt, bài toán động học tay máy liên quan đến các tính chất hình học và sự thay đổi theo thời gian của chuyển động Trong đó, bài toán động học thuận được coi là bài toán hình học, cho phép tính toán vị trí và hướng của bàn kẹp tay máy dựa trên các tọa độ khớp đã cho, từ đó xác định vị trí và hướng của khâu thao tác.
Bài toán động học ngược là bài toán xác định các giá trị biến khớp để đạt được vị trí và hướng cụ thể của khâu thao tác Đây là một vấn đề quan trọng và phức tạp, đặc biệt trong robot dạng chuỗi, đòi hỏi thiết lập phương trình đại số để giải quyết bằng máy tính Trong số các bài toán động học ngược, bài toán ngược của robot dẫn động là một thách thức lớn và hiện vẫn chưa được nghiên cứu nhiều ở Việt Nam.
Robot dẫn động có nhiều ưu điểm vượt trội so với robot chuẩn, cho phép tối ưu quỹ đạo chuyển động, tránh vật cản và các điểm kỳ dị, đồng thời hạn chế giới hạn khớp Những lợi ích này đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà nghiên cứu vào bài toán động học ngược của robot dẫn động dạng chuỗi Các nghiên cứu thường tập trung vào việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính, nhằm xác định mối quan hệ giữa vectơ vận tốc suy rộng và vận tốc của bàn kẹp trong không gian thao tác thông qua ma trận Jacobi Do hệ phương trình này có vô số nghiệm, các tác giả đã bổ sung thêm các điều kiện như tránh vật cản và va chạm với giới hạn khớp Một số nghiên cứu còn khai thác mối quan hệ giữa gia tốc khớp và gia tốc của bàn kẹp trong không gian thao tác để tối ưu momen dẫn động.
Nhiệm vụ cần giải quyết trong luận văn
Đối tượng nghiên cứu của luận án là Robot dư dẫn động, loại robot này có số bậc tự do vượt trội hơn số tọa độ xác định vị trí và hướng của bàn kẹp, cho phép thực hiện các nhiệm vụ thao tác phức tạp một cách linh hoạt Mặc dù đã có nhiều nghiên cứu về động học robot dư dẫn động, nhưng chưa có công trình nào hệ thống một cách đầy đủ Luận văn này tập trung vào việc hệ thống hóa các phương pháp giải, đặc biệt là bài toán dư dẫn động tối ưu địa phương, với hy vọng những phương pháp này sẽ trở nên phổ biến trong tương lai Tác giả cũng đưa ra một phân loại và so sánh hiệu quả của các phương pháp giải khác nhau.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ ĐỘNG HỌC THUẬN VÀ ĐỘNG LỰC HỌC ROBOT CÔNG NGHIỆP
Phân tích động học thuận robot công nghiệp
Động học robot nghiên cứu chuyển động của các khâu robot từ góc độ hình học mà không xem xét đến các lực và momen Đây là một lĩnh vực quan trọng trong việc tính toán và thiết kế robot Bài toán động học thuận chủ yếu tập trung vào việc xác định vị trí và hướng của bàn kẹp dựa trên các biến khớp.
Các phương pháp ma trận 4x4 và 3x3 thường được sử dụng trong phân tích động học robot Trong số đó, hai phương pháp ma trận 4x4 phổ biến là Denavit-Hartenberg và Craig Luận văn này tập trung vào việc trình bày và áp dụng phương pháp Denavit-Hartenberg để tính toán động học robot.
2.1.1 Giải bài toán động học thuận robot công nghiệp bằng phương pháp ma trận Denavit – Hartenberg a Cách xác định các trục của hệ toạ độ khớp Đối với robot công nghiệp, Denavit – Hartenberg (1955) đã đƣa ra cách chọn các hệ trục toạ độ có gốc tại khớp thứ i nhƣ sau :
Trục z i 1 được chọn dọc theo hướng của trục khớp động thứ i
Trục x i 1 được xác định dọc theo đường vuông góc chung của hai trục z i 2 và z i 1, hướng từ trục z i 2 sang trục z i 1 Nếu trục z i 1 cắt trục z i 2, hướng của trục x i 1 có thể được chọn tùy ý miễn là nó vuông góc với trục z i 1 Trong trường hợp hai trục z i 2 và z i 1 song song, có nhiều đường vuông góc chung giữa chúng, cho phép chúng ta chọn trục x i 1 theo bất kỳ pháp tuyến nào.
Gốc toạ độ O i 1 đƣợc chọn tại giao điểm của trục x i 1 và trục z i 1
Trục y i 1 đƣợc chọn sao cho hệ (Oxyz) i 1 là hệ quy chiếu thuận
Hệ toạ độ (Oxyz) i 1 đƣợc xác định nhƣ trên trong một số tài liệu đƣợc quy ƣớc là hệ toạ độ khớp
Chú ý rằng việc chọn hệ tọa độ (Oxyz) i - 1 không phải lúc nào cũng được xác định một cách duy nhất Do đó, cần có một số bổ sung phù hợp để đảm bảo tính chính xác và rõ ràng trong quá trình xác định hệ tọa độ.
Trong hệ tọa độ (Oxyz), chúng ta đã xác định trục z0 theo quy ước, nhưng trục x0 vẫn chưa được xác định Trục x0 có thể được chọn một cách tùy ý, miễn là nó vuông góc với trục z0.
Đối với hệ toạ độ (Oxyz) n , do không có khớp n1, nên theo quy ƣớc trên ta không xác định đƣợc trục z n Trục z n không đƣợc xác định duy nhất,
Trong trường hợp khớp n là khớp quay, trục x n được xác định theo đường pháp tuyến của trục z n - 1, và trục z n có thể được chọn song song với trục z n - 1 Ngoài ra, có thể lựa chọn các trục khác một cách hợp lý để đảm bảo tính chính xác trong thiết kế.
Khi khớp thứ nhất là khớp tịnh tiến, chúng ta có thể tùy ý chọn trục z i 1 Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, trục z i 1 thường được chọn dọc theo trục của khớp tịnh tiến đó.
Hình 2.1 Biểu diễn các thông số Denavit Hartenberg giữa hai hệ trục toạ độ
10 b Các tham số động học Denavit – Hartenberg
Vị trí của hệ toạ độ khớp (Oxyz) i đối với hệ toạ độ khớp (Oxyz) i 1 đƣợc xác định bởi bốn tham số Denavit – Hartenberg i , ,d a i i và i nhƣ sau:
i : góc quay quanh trục z i 1 để trục x i 1 chuyển đến trục x x i ' ( / / ) i ' x i
d i : dịch chuyển tịnh tiến dọc theo trục z i 1 để gốc toạ độ O i 1 chuyển đến
O i ' giao điểm của trục x i và trục z i 1
a i : dịch chuyển tịnh tiến dọc theo trục x i để điểm O i ' chuyển đến điểm O i
i : góc quay quanh trục x i sao cho trục z i ' 1 (z i ' 1 / /z i 1 ) chuyển đến trục z i
Vị trí của khâu thứ i so với khâu i-1 trong hệ tọa độ (Oxyz) i và (Oxyz) i-1 được xác định thông qua bốn tham số Denavit – Hartenberg.
Trong bốn tham số được đề cập, hai tham số a i và α i luôn là hằng số, và giá trị của chúng phụ thuộc vào hình dạng cũng như sự kết nối giữa các khâu thứ i-1 và thứ i Hai tham số còn lại, θ i và d i, có một tham số là hằng số và một tham số là biến, tùy thuộc vào loại khớp i Cụ thể, nếu khớp i là khớp quay, thì θ i sẽ là biến và d i sẽ là hằng số; ngược lại, nếu khớp i là khớp tịnh tiến, thì d i sẽ là biến và θ i sẽ là hằng số.
Khi xác định hệ tọa độ cho khớp tịnh tiến, cần lưu ý rằng nếu khớp i là khớp tịnh tiến, ta có thể tự do chọn trục z i 1 Do đó, việc xác định các tham số Denavit – Hartenberg sẽ phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa độ.
Nhƣ vậy, ta có thể chuyển hệ toạ độ khớp (Oxyz) i 1 sang hệ toạ độ khớp
( ) bằng bốn phép biến đổi cơ bản sau:
Quay quanh trục z i 1 một góc i
Dịch chuyển tịnh tiến dọc trục z i 1 một đoạn d i
Dịch chuyển tịnh tiến dọc trục x i một đoạn a i
Quay quanh trục x i một góc i
Ma trận của phép biến đổi, ký hiệu là H i, được xác định là tích của bốn ma trận biến đổi cơ bản Ma trận này có cấu trúc đặc biệt, bao gồm các thành phần như a, d, cos, và sin, cùng với các phần tử khác như 0 và 1, tạo thành một dạng ma trận phức tạp.
H i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a d cos sin cos sin sin cos sin cos cos cos sin sin
Ma trận H được xác định theo công thức (2.1) được gọi là ma trận Denavit – Hartenberg địa phương Phương trình này dùng để xác định vị trí của khâu thao tác, cụ thể là bàn kẹp của robot.
Xét mô hình cơ học của một robot n khâu động nhƣ hình 2.2
Theo quy tắc đã nêu, chúng ta thiết lập các hệ trục tọa độ liên kết với giá cố định và các vật thể Hệ quy chiếu R0 (Oxyz)0 gắn liền với giá cố định, trong khi hệ quy chiếu Ri = (Oxyz)i gắn liền với khâu thứ i Ma trận Hi i-1 cung cấp thông tin về vị trí và hướng của khâu i so với hệ quy chiếu Ri-1 gắn vào khâu i-1.
Ma trận Denavit – Hartenberg H i biểu thị vị trí của hệ quy chiếu R i (Oxyz) i so với hệ quy chiếu R i 1 (Oxyz) i 1 Khi áp dụng liên tiếp các phép biến đổi cho robot n khâu, ta có thể xác định được các mối quan hệ giữa các khâu trong hệ thống.
Ma trận D n cho biết vị trí của điểm tác động cuối E và hướng của khâu thao tác (bàn kẹp) của robot đối với hệ quy chiếu cố định R 0
Động lực học robot công nghiệp
Hai phương pháp nghiên cứu động lực học robot bao gồm phương pháp Newton – Euler và phương pháp Lagrange Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày phương pháp Lagrange để thiết lập các phương trình vi phân chuyển động cho robot công nghiệp.
2.2.1 Biểu thức động năng và thế năng của robot
Trong tính toán động học robot, việc xác định vị trí các khâu chỉ cần sử dụng hệ tọa độ cố định và hệ tọa độ khớp Tuy nhiên, trong bài toán động lực học robot, cần bổ sung thêm hệ tọa độ khâu Hệ tọa độ khâu là hệ quy chiếu gắn liền với vật rắn, với gốc tại khối tâm C i của vật rắn và các trục hướng theo các trục quán tính chính của nó.
C là hệ toạ độ khâu
Hình 2.4 Hệ toạ độ khâu
Giả sử robot là hệ hôlônôm có p vật rắn và r liên kết Khi đó số bậc tự do của hệ là n 6p r Ký hiệu các biến khớp của hệ là q q 1 q n T
Vị trí khâu thứ i đƣợc xác định bởi :
Toạ độ khối tâm của khâu : r Ci r q Ci ( , )t
Ma trận cosin chỉ hướng của khâu : A i A q i ( , )t
Xét robot có liên kết hôlônôm giữ và dừng, khi đó :
Theo định nghĩa các ma trận Jacobi tịnh tiến và ma trận Jacobi quay đƣợc xác định bởi công thức :
Vectơ đại số ứng với góc quay của vật rắn thứ i được ký hiệu là i, cho thấy chuyển động quanh trục quay tức thời Vận tốc khối tâm và vận tốc góc của vật rắn được tính toán thông qua các công thức cụ thể.
Biểu thức động năng của vật rắn đƣợc xác định bởi biểu thức :
Ma trận tenxơ quán tính khối I i của vật rắn được xác định theo hệ quy chiếu đi qua khối tâm C và song song với hệ quy chiếu cố định Mối liên hệ giữa ma trận tenxơ quán tính khối I i và ma trận quán tính khối I i là rất quan trọng trong cơ học.
Trong (2.22) I i ( ) i là ma trận tenxơ quán tính đối với hệ quy chiếu gắn liền với khâu
Do đó I i ( ) i là ma trận hằng số và nếu ta chọn hệ toạ độ khâu là hệ quán tính chính thì I i ( ) i có dạng đường chéo
Từ (2.21) biểu thức động năng của robot có dạng : p p p
Thay (2.19) và (2.20) vào (2.23) ta đƣợc : p p
q J J J I J q (2.24) Nếu ta đƣa vào ký hiệu : p p
M q J J J AI A J (2.25) thì biểu thức động năng robot (2.24) có dạng :
Ma trận M q ( ) là ma trận vuông cấp n, và đƣợc gọi là ma trận khối lƣợng suy rộng của robot b Thế năng trọng lực của robot
Thế năng trọng lực mỗi khâu của robot đƣợc xác định bởi biểu thức :
Trong đó : g 0 vectơ gia tốc trọng trường, xét trường hợp z 0 là trục thẳng đứng, hướng lên, ta có : g T 0 0 0 g
Ci x Ci y Ci z Ci r , toạ độ khối tâm khâu thứ i
Thế năng của trọng lực của robot có dạng : p T i Ci i m 0
2.2.2 Thiết lập dạng thức Lagrange loại 2
Xuất phát từ phương trình Lagrange loại 2 : i i i i d T T
Ta suy ra phương trình Lagrange loại 2 dạng ma trận :
Trong kỹ thuật robot, người ta thường ký hiệu momen động cơ bằng i Q i *
Từ biểu thức động năng (2.26) ta có : n n
Từ đây ta tính đƣợc các đạo hàm : n ij j i j
q n n ij ij j j j j i n n n ij ij j k j j j k k d T dm m q q dt q dt m q m q q q
Từ biểu thức thế năng trọng lực (2.28), ta có : n T Cj j j j j j m g q 1 0 q ( )
(3) Thế (1), (2) và (3) vào phương trình (2.30) ta được : n n n n n ij jk ij j k j j k i i j j k k j k j m m m q q q q q g q q
Ta đƣa vào ký hiệu : n n ij jk i k j j k k i m m b q q q q
Do M q ( ) là ma trận đối xứng nên m ij ( ) q m ji ( ) q , nên có thể viết : ij ji ij ji ij ij ji k k k m m m m m m m q q q
Thay (2.33) vào phương trình (2.32) ta nhận được n n ij jk i k j j k k i n n ij ji jk k j j k k k i m m b q q q q m m m q q q q q
Bằng cách thay đổi chỉ số chạy trong tổng sigma kép nhƣ sau : n n n n n n ji ki ik k j j k k i j k k j k j j k j m m m q q q q q q q q q
Cuối cùng ta nhận đƣợc :
20 n n ij ji jk i k j j k k k i n n ij ik jk j k k j i k j n n ijk k j j k m m m b q q q q q m m m q q q q q h q q
Trong đó ta định nghĩa : ij ik jk ijk k j i m m m h q q q
, (số hạng này có tên gọi là Christoffel symbols ở dạng thứ nhất)
Từ đó ta có phương trình vi phân như sau : n n n ij j ijk k j j j j j k m q h q q g
Để có được các phương trình vi phân chuyển động của robot theo dạng quen thuộc trong tài liệu nước ngoài, chúng ta cần thực hiện một số biến đổi từ phương trình (2.34) Trong quá trình này, ta sẽ sử dụng ký hiệu n, ij, ijk, k, c, h và q để đơn giản hóa và chuẩn hóa các phương trình vi phân.
Từ đó suy ra: n n n ijk k j ij j j k j h q q c q
Thay (2.36) vào (2.35) ta đƣợc: n n ij j ij j i j j m q c q g i n
Hệ n phương trình vi phân chuyển động của tay máy (2.37) có thể viết dưới dạng ma trận nhƣ sau:
M là ma trận khối lƣợng suy rộng, n n c ij
C là ma trận ly tâm – Coriolis
Thành phần C q q q ( , ) đại diện cho lực quán tính ly tâm và quán tính Coriolis tác dụng lên robot Xét biểu thức: n n n ijk k j ij j j k j h q q c q
Khi j k: h q q ijk k j h q ijk j 2 tương đương với hiệu ứng ly tâm (Centrifugal effect) Khi j k: h q q ijk k j tương đương với hiệu ứng Coriolis (Coriolis effect)
Một số tính chất của phương trình vi phân chuyển động
Ma trận khối lượng là ma trận xác định dương, đối xứng
Động năng của robot được định nghĩa là một đại lượng vô hướng không âm, được tính bằng công thức T = 1/2 q M(q) q̇, trong đó M(q) là ma trận xác định dương Hơn nữa, với I_i là ma trận đối xứng, có thể chứng minh rằng J J^T, I J^T R_i, và R_i là các ma trận đối xứng, do đó M(q) cũng là ma trận đối xứng.
Với ma trận C q q ( , ) có các phần tử tính theo công thức (2.35) ta chứng minh đƣợc tính chất phản đối xứng của ma trận:
N q q M q C q q Thực vậy, phần tử N ij của ma trận N q q ( , ) đƣợc tính theo: m m ij ij ik jk ij ij ij k k k k k k j i m m ij ij ik jk ik jk k k k k k j i k j i m m m m
Bằng cách hoán vị hai chỉ số i j, ta đƣợc
22 m m jk jk ik ik ij k k ij k j i k j i m m m m
Nhƣ vậy, ta kết luận N là ma trận đối xứng lệch
Phương trình vi phân chuyển động có thể được biểu diễn ở dạng tuyến tính đối với các tham số của hệ
Các phương trình vi phân chuyển động của robot được xác định bởi các tham số như khối lượng, momen quán tính và vị trí khối tâm Việc nhận dạng các tham số này gặp nhiều khó khăn do tính phức tạp của phương trình Tuy nhiên, các phương trình này có thể được biểu diễn dưới dạng phụ thuộc tuyến tính vào các tham số, với sự tồn tại của một hàm ma trận kích thước n x l.
Y q q q , một vectơ l chiều để phương trình Lagrange loại 2 của robot có thể biểu diễn dưới dạng:
Ma trận Y q q q ( , , ) đƣợc gọi là ma trận hồi quy, còn vectơ đƣợc gọi là vectơ tham số
Thứ nguyên của không gian tham số, hay số lượng tham số cần thiết để biểu diễn phương trình vi phân chuyển động, không phải là duy nhất Trong trường hợp tổng quát, mỗi vật rắn được mô tả bởi 10 tham số.
3 tham số vị trí khối tâm C j ( , , )
6 tham số momen quán tính ( I j 3 3 la ma trận đối xứng nên có 6 tham số độc lập)
Robot n khâu có 10n tham số động lực, nhưng do hệ cơ học chịu liên kết, chuyển động của các khâu bị ràng buộc bởi các liên kết khớp, dẫn đến số tham số động lực thực tế nhỏ hơn 10n Tìm tập tối thiểu để tham số hóa các phương trình động lực của robot là một bài toán phức tạp.
2.2.3 Công suất và công sinh ra khi robot thực hiện chuyển động
Công suất W đƣợc tính bằng công thức sau:
Tổng công sinh ra khi robot chuyển động đƣợc tính bằng cách tích phân phương trình (2.40) theo thời gian: t
2.3 Thiết lập phương trình động học thuận và phương trình vi phân chuyển động cho một số robot công nghiệp
2.3.1 Robot phẳng 5 bậc tự do a Các thông số robot
Hình 2.5 Robot phẳng 5 bậc tự do Bảng 2.1 Các tham số D-H của robot phẳng 5 bậc tự do
Bảng 2.2 Các tham số động lực học của robot phẳng 5 bậc tự do
Vị trí trọng tâm Khối lƣợng (kg)
Ma trận momen quán tính I x m C ( ) y m C ( ) z m C ( ) I xx I yy I zz I xy I yz I zx
5 0 0 0 b Bài toán động học thuận Áp dụng công thức (2.1), ta tính đƣợc các ma trận H i nhƣ sau : q q l q q q l q
1 cos sin 0 cos sin cos 0 sin
2 cos sin 0 cos sin cos 0 sin
3 cos sin 0 cos sin cos 0 sin
4 cos sin 0 cos sin cos 0 sin
5 cos sin 0 cos sin cos 0 sin
Từ các ma trận H i , ta tính đƣợc ma trận D 5 theo công thức (2.2)
5 1 1 1 1 cos( ) sin( ) 0 cos( ) sin( ) cos( ) 0 sin( )
Xác định vị trí và hướng của bàn kẹp
Vị trí của khâu thao tác (bàn kẹp) được xác định trong hệ tọa độ cố định R0, dựa trên vị trí điểm E (điểm tác động cuối) và hướng của khâu thao tác.
D 0 Đồng nhất với ma trận D 5 ở trên, ta có vị trí của điểm E:
Xác định hướng của bàn kẹp:
Sử dụng phép quay Roll – Pitch – Yaw trong phép quay hệ quy chiếu cố định
Trong hệ quy chiếu R^n, ma trận cosin chỉ hướng RPY được biểu diễn bằng các thành phần cos và sin Cụ thể, ma trận này bao gồm các giá trị cos và sin được sắp xếp theo cấu trúc nhất định, phản ánh mối quan hệ giữa các trục trong không gian Việc hiểu rõ ma trận này là cần thiết để áp dụng trong các lĩnh vực như đồ họa máy tính và robot học.
Ma trận cosin chỉ hướng xác định từ ma trận D 5 nhƣ sau : c s s c
A Đồng nhất các phần tử của 2 ma trận A 5 và A , ta tìm được góc , hướng của bàn kẹp nhƣ sau: q 1 q 2 q 3 q 4 q 5
Nhƣ vậy ta có kết quả của bài toán động học thuận nhƣ sau: l c l c l c l c l c l s l s l s l s l s q q q q q
x q c Thiết lập phương trình vi phân chuyển động
Toạ độ thuần nhất khối tâm các khâu trong hệ quy chiếu gắn liền với khâu có dạng:
Từ đó suy ra toạ độ khối tâm các khâu so với hệ quy chiếu cố định R 0 tn i
Các ma trận Jacobi tịnh tiến các khâu có dạng:
Từ các ma trận D i ta có các ma trận cosin chỉ hướng của các khâu so với R 0 c s c s c s s c s c s c
Vận tốc góc các khâu đƣợc tính theo công thức sau: q q q
Từ vận tốc góc các khâu, ta xác định đƣợc ma trận Jacobi quay:
Thay các ma trận Jacobi tịnh tiến và Jacobi quay vào biểu thức:
Ta nhận đƣợc ma trận M khối lƣợng suy rộng của robot: m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m
M Để xác định ma trận ly tâm và Coriolis, ta sử dụng phần mềm Maple, với hàm thủ tục Christoffel, theo công thức :
30 ij jk ijk ij k jk i k j m m h m m q q , ,
q q q , từ đó ta rút ra đƣợc ma trận C c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c
Thế năng của robot có dạng:
Thế các biểu thức trên vào phương trình Lagrange loại hai:
2.3.2 Robot hàn AII-V6 6 bậc tự do a Các thông số robot
Hình 2.5 Mô hình robot AII-V6
Bảng 2.3 Các tham số động học D-H
Bảng 2.4 Các tham số động lực học của robot hàn AII-V6
Vị trí trọng tâm Khối lƣợng (kg)
Ma trận momen quán tính I x m C ( ) y m C ( ) z m C ( ) I xx I yy I zz I xy I yz I zx
6 0 0 a 6 m 6 I x 6 I y 6 I z 6 0 0 0 b Bài toán động học thuận
Từ công thức (2.1), ta có thể tính đƣợc các ma trận H i nhƣ sau: q q l q q q l q
1 cos 0 sin cos sin 0 cos sin
2 cos sin 0 cos sin cos 0 sin
Từ công thức (2.2) tính đƣợc các ma trận D i l l
Xác định vị trí và hướng của bàn kẹp
Vị trí của khâu thao tác (bàn kẹp) được xác định trong hệ tọa độ cố định R0, dựa trên vị trí của điểm F (điểm tác động cuối) và hướng của khâu thao tác.
D 0 Đồng nhất với ma trận D 6 ở trên, ta có vị trí định vị của điểm F:
Xác định hướng của bàn kẹp
Ma trận cosin chỉ hướng xác định từ ma trận D 6 như sau : a a a a a a a a a
a 23 ((s c c 1 2 3 s s s c 1 2 3 ) 4 c s s 1 4 ) 5 ( s c s 1 2 3 s s c c 1 2 3 ) 5 a 31 ((s c 2 3 c s c c 2 3 ) 4 5 ( s s 2 3 c c s c 2 3 ) ) 5 6 (s c 2 3 c s s s 2 3 ) 4 6 a 32 ((s c 2 3 c s c c 2 3 ) 4 5 ( s s 2 3 c c s s 2 3 ) ) 5 6 (s c 2 3 c s s c 2 3 ) 4 6 a 33 (s c 2 3 c s c s 2 3 ) 4 5 (s s 2 3 c c c 2 3 ) 5 Đồng nhất các phần tử của 2 ma trận A 6 và A , ta sẽ tìm đƣợc các góc , , Nhƣ vậy, ta xác định được hướng và vị trí của bàn kẹp c s c s c c c s s l l l l c s c c l l c s s c s s c c c s l l l l s s s c l l s s c s c c l l l l c s l
Khi xem xét cả vị trí và hướng của bàn kẹp, robot này không được coi là dư dẫn động Tuy nhiên, nếu chỉ tập trung vào vị trí của điểm cuối mà bỏ qua hướng của khâu cuối, robot này lại được xem như dư dẫn động Do đó, trong trường hợp này, ta phân tích các yếu tố như x = [x, y, z, E1, E2, E3] và các thông số liên quan đến chuyển động của các khâu.
Nhìn vào biểu thức trên x q ( ), có thể thấy rằng tọa độ bàn kẹp F không phụ thuộc vào biến khớp q 6, từ đó kết luận rằng đây là robot dư dẫn động Tiếp theo, cần thiết lập phương trình vi phân chuyển động.
Toạ độ khối tâm của các khâu trong hệ quy chiếu gắn liền với khâu có dạng:
Từ đó suy ra toạ độ khối tâm các khâu so với hệ quy chiếu cố định R 0 tn i
Các ma trận Jacobi tịnh tiến các khâu có dạng:
(Các phần tử của ma trận J T 5 , J T 6 sẽ đƣợc viết rõ trong phần phụ lục)
Từ các ma trận D i ta có các ma trận cosin chỉ hướng của các khâu so với R 0 c s c c c s s c c s c s s c s c s s c s c c s s s c s c
(Các phần tử của ma trận A A 5 , 6 sẽ đƣợc viết rõ trong phần phụ lục)
Vận tốc góc các khâu đƣợc tính theo công thức sau: q q q
Từ vận tốc góc các khâu, ta xác định đƣợc ma trận Jacobi quay:
J J q q Thay các ma trận Jacobi tịnh tiến và Jacobi quay vào biểu thức:
Ta nhận đƣợc ma trận M khối lƣợng suy rộng của robot: m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m
M Để xác định ma trận ly tâm và Coriolis, ta sử dụng phần mềm Maple, với hàm thủ tục Christoffel, theo công thức : ij jk ijk ij k jk i k j m m h m m q q , ,
q q q , từ đó ta rút ra đƣợc ma trận C
Thế năng của robot có dạng:
Thế các biểu thức trên vào phương trình Lagrange loại hai:
2.3.3 Robot 7 bậc tự do RRRRRRR
Hình 2.6 Robot không gian 7 bậc tự do
42 a Thông số robot không gian 7 bậc tự do
Bảng 2.5 Các thông số động học D-H
Bảng 2.6 Bảng tham số động lực học của robot không gian 7 bậc tự do
Vị trí trọng tâm Khối lƣợng (kg)
Ma trận momen quán tính I x m C ( ) y m C ( ) z m C ( ) I xx I yy I zz I xy I yz I zx
7 0 0 0 m 7 I x 7 I y 7 I z 7 0 0 0 b Bài toán động học thuận
Từ bảng thông số động học D-H, ta có thể tính đƣợc các ma trận H i nhƣ sau:
Từ các ma trận H i tính đƣợc các ma trận D i theo công thức (2.2) q q q q l
Xác định vị trí và hướng của bàn kẹp
Vị trí của khâu thao tác (bàn kẹp) được xác định trong hệ tọa độ cố định R0, dựa trên vị trí của điểm G (điểm tác động cuối) và hướng di chuyển của khâu thao tác.
D 0 Đồng nhất với ma trận D 7 ở trên, ta có vị trí định vị của điểm G:
Xác định hướng của bàn kẹp
Ma trận cosin chỉ hướng xác định từ ma trận D 7 như sau : a a a a a a a a a
A Đồng nhất các phần tử của 2 ma trận A 7 và A , ta sẽ tìm đƣợc các góc , , Nhƣ vậy, ta xác định được hướng và vị trí của bàn kẹp c c c s s s c s c l c s l c c c s s c c s s c c c s s c s s c c c s s s c s c c l s c c c s s s s c l s s l s c c c s c s s s c s c s c c s s
c Thiết lập phương trình vi phân chuyển động
Toạ độ khối tâm của các khâu trong hệ quy chiếu gắn liền với khâu có dạng:
Từ đó suy ra toạ độ khối tâm các khâu so với hệ quy chiếu cố định R 0 tn i
Các ma trận Jacobi tịnh tiến các khâu có dạng:
Từ các ma trận D i ta có các ma trận cosin chỉ hướng của các khâu so với R 0 c s c s c c s c s s c s c s c c s s s c
Vận tốc góc các khâu đƣợc tính theo công thức sau: q q q
Từ vận tốc góc các khâu, ta xác định đƣợc ma trận Jacobi quay:
Thay các ma trận Jacobi tịnh tiến và Jacobi quay vào biểu thức:
Ta nhận đƣợc ma trận M khối lƣợng suy rộng của robot:
M Để xác định ma trận ly tâm và Coriolis, ta sử dụng phần mềm Maple, với hàm thủ tục Christoffel, theo công thức : ij jk ijk ij k jk i k j m m h m m q q , ,
q q q , từ đó ta rút ra đƣợc ma trận C c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c
Thế năng của robot có dạng:
Thế các biểu thức trên vào phương trình Lagrange loại hai:
LẬP TRÌNH QUỸ ĐẠO
Thiết lập bài toán
3.1.1 Khái niệm lập trình quỹ đạo
Bài toán lập trình quỹ đạo nhằm xác định quỹ đạo chuyển động của khâu thao tác (bàn kẹp) của robot theo yêu cầu công nghệ và tiêu chuẩn cụ thể Trong luận văn này, khâu thao tác được xem như một vật rắn, do đó, chuyển động của nó bao gồm cả chuyển động của một điểm định vị và chuyển động quay quanh điểm đó Thuật ngữ "thiết kế quỹ đạo" cũng thường được sử dụng để chỉ bài toán lập trình quỹ đạo.
Các phương pháp lập trình quỹ đạo được phân thành hai nhóm : Lập trình trực tuyến (online) và lập trình ngoại tuyến (offline)
Lập trình trực tuyến cho robot bao gồm việc điều khiển trực tiếp quá trình lập trình trên robot hoặc các thiết bị hỗ trợ Có ba phương pháp chính trong lập trình robot: lập trình thủ công (manual input), lập trình theo kiểu dạy học bằng cách dẫn dắt (teach by lead through), và lập trình bằng thiết bị dạy học (teach pendant).
Lập trình ngoại tuyến : lập trình trên máy vi tính ghép nối với robot
Người ta có thể sử dụng cả hai phương pháp lập trình cho một loại robot
3.1.2 Nhiệm vụ lập trình quỹ đạo của robot
Nhiệm vụ chính của bài toán lập trình quỹ đạo là xác định vị trí và hướng của khâu thao tác dựa trên yêu cầu công nghệ tại các thời điểm khác nhau trong không gian thao tác Từ đó, ta có thể xác định quy luật chuyển động gần đúng của khâu thao tác.
Trong bài toán công nghệ, các vị trí tựa được xác định là những điểm quan trọng mà khâu thao tác của robot cần phải đi qua để thực hiện nhiệm vụ và tránh các chướng ngại vật Những vị trí này bao gồm vị trí đầu và vị trí cuối, đóng vai trò đặc biệt trong tập hợp các vị trí tựa.
Khi xác định các vị trí tựa của khâu thao tác, chúng ta có thể sử dụng bài toán động học ngược để tìm ra các vị trí tựa của các tọa độ khớp trong không gian khớp Điều này mở ra cơ hội nghiên cứu bài toán lập trình quỹ đạo trong không gian khớp một cách hiệu quả.
Trong nhiều trường hợp người ta phân loại bài toán lập trình quỹ đạo thành :
Xác định quỹ đạo hình học phụ thuộc vào một tham số quỹ đạo s (thí dụ nhƣ độ dài cung) một cách liên tiếp, tức là x x ( ( ))s t hoặc q q ( ( ))s t
Xác định quy luật chuyển động theo thời gian trên quỹ đạo, tức là chọn quy luật vận tốc ss t( )
Các dạng quỹ đạo quan trọng trong kỹ thuật bao gồm đoạn thẳng, các đoạn của tiết diện hình nón như hình tròn, elip và hyperbol, cùng với các quỹ đạo xoắn ốc.
3.1.3 Một vài tiêu chuẩn và các điều kiện phụ
Trong kỹ thuật thao tác, hai loại chuyển động quan trọng là chuyển động điểm tới điểm và chuyển động theo quỹ đạo liên tục Chuyển động điểm tới điểm chỉ định trước các điểm biên của khoảng chuyển động, cho phép lựa chọn chuyển động tự do nếu không có điều kiện phụ Ngược lại, trong chuyển động theo quỹ đạo liên tục, các điều kiện và quỹ đạo được xác định rõ ràng, đảm bảo tính chính xác và hiệu quả trong quá trình thao tác.
Trong 54 quỹ đạo liên tục, cần xác định trước dạng quỹ đạo trong khoảng chuyển động Sự ảnh hưởng chỉ có thể diễn ra thông qua vận tốc quỹ đạo.
Khi bài toán có nhiều nghiệm chấp nhận được, việc áp dụng các phương pháp tối ưu giúp xác định quỹ đạo tối ưu Các tiêu chí tối ưu thường được sử dụng bao gồm quỹ đạo tối ưu về độ dài, không gian, chi phí và năng lượng.
Các điều kiện phụ, đƣợc xét trong bài toán lập trình quỹ đạo có dạng là các phương trình :
Các phương trình động học mô tả các yêu cầu về mặt động học
Các phương trình động lực mô tả quan hệ giữa chuyển động và lực
Ngoài ra một số bất phương trình cũng có ý nghĩa quan trọng, thí dụ như :
Các giới hạn ràng buộc của các đại lƣợng chuyển động i i i i i i q q q i n q q q i n q q q i n min max min max min max
Các giới hạn ràng buộc của đại lƣợng lực phát động.
Lập trình quỹ đạo động học
Lập trình quỹ đạo chuyển động của robot được chia thành hai loại chính: lập trình quỹ đạo trong không gian thao tác và lập trình quỹ đạo trong không gian khớp Bài toán lập trình quỹ đạo yêu cầu xác định vị trí của một số điểm tựa trong khâu thao tác cùng với các yêu cầu công nghệ liên quan đến tính chất và thời gian chuyển động Mục tiêu là thiết lập phương trình đường dịch chuyển trong không gian thao tác và nghiên cứu các tính chất chuyển động của khâu thao tác.
Để giải bài toán động học ngược, ta cần xác định chuyển động của các tọa độ khớp Bằng cách sử dụng sự biểu diễn tham số x = x(s(t)) hoặc q = q(s(t)), với s trong khoảng từ 0 đến L, ta có thể suy ra biểu thức xác định vận tốc mở rộng: ds/dt và ds'/dt.
Đạo hàm theo thời gian t các biểu thức liên quan đến gia tốc x và q cho phép suy ra các hệ thức về x và q Kết quả này được thể hiện cho các tọa độ trong không gian khớp và không gian thao tác, như trình bày trong bảng 3.1 Trong đó, J là ma trận tựa nghịch đảo của ma trận Jacobi J, và khái niệm về ma trận J sẽ được giải thích chi tiết trong chương 4.
Bảng 3.1 Biểu diễn toạ độ, vận tốc, gia tốc qua tham số s
Không gian khớp Không gian thao tác s t
3.2.1 Mô tả đường cong trong không gian
Dưới đây trình bày một số khái niệm của hình học vi phân và một số tính chất quan trọng của các đường cong trong không gian ba chiều
Trong hệ quy chiếu quán tính, đường cong không gian được xác định bởi vectơ định vị: r r s( ), 0 s L
Gọi P là một điểm trên đường cong và có toạ độ s s P Để nhận biết tính chất của đường cong ở lân cận điểm P, ta sử dụng khai triển Taylor:
Tại P ta dựng một hệ toạ độ tự nhiên với ba vectơ đơn vị trên ba trục là , ,n b
(hình 3.1) Mặt phẳng chứa hai vectơ ,n
gọi là mặt phẳng pháp tuyến, còn mặt phẳng chƣa hai vectơ ,b gọi là mặt phẳng hiệu chỉnh Từ hình học vi phân ta có các hệ thức sau:
Vectơ đơn vị tiếp tuyến r s( ) P
Vectơ đơn vị pháp tuyến chính n 1r s P
Vectơ đơn vị trùng pháp tuyến b n
là độ cong của đường cong tại điểm P Khi cho biết s
, ta suy ra công thức xác định đường cong không gian: s r s r s ds
3.2.2 Một vài đường cong không gian đơn giản a Đường dịch chuyển thẳng
Xét đoạn đường thẳng nối hai điểm P i và P i 1 Công thức gần đúng xác định vectơ
Hình 3.1 Mô tả đường cong trong không gian x y x z
(2) Đạo hàm (2) theo t ta đƣợc: i i i i dr s r s s r r ds r 1 r ( 1 )
Trong đó s là vận tốc quỹ đạo b Đường dịch chuyển tròn
Xét đường tròn bán kính r trong không gian Giả sử rằng đường tròn được xác định trên hình 3.2
Hình 3.2 Mô tả tham số của đường tròn không gian
Để bắt đầu, ta thiết lập hệ tọa độ Ax, y, z với gốc tại tâm của đường tròn, trong đó các trục Ax và Ay nằm trong mặt phẳng chứa đường tròn Ký hiệu vectơ u s là AP.
, từ hình 3.2b ta có phương trình xác định điểm P
Từ hình vẽ 3.2a ta có hệ thức: r s( )r A u s( )
(2) Trong hệ toạ độ R Oxyz 0 phương trình tham số của cung tròn có dạng:
Ma trận cosin chỉ hướng A của hệ Ax y z 1 1 1 liên quan đến hệ tọa độ Oxyz Khi điểm P di chuyển trên cung tròn, giá trị s nằm trong khoảng từ 0 đến L Điều này liên quan đến prôphin của vận tốc quỹ đạo.
Trên hình 3.3 biểu diễn một vài prophin điển hình của vận tốc quỹ đạo
Hình 3.3 Các prophin vận tốc quỹ đạo điển hình
Prophin vận tốc quỹ đạo dạng hình thang là một dạng quan trọng trong kỹ thuật nhờ vào tính dễ thực hiện của nó Tuy nhiên, nhược điểm chính của dạng này là sự diễn biến gia tốc không liên tục Trong khi đó, prophin vận tốc dạng cosin mang lại biến thiên gia tốc mượt mà và dễ dàng trong việc đạo hàm.
O T t t s 1 t s 2 b) s có dạng hình thang s có dạng bước nhảy s v m
Dưới đây xét kỹ hơn prôphin vận tốc dạng hình thang và đối xứng s s t 1 ts t 2 T ts
Các điều kiện biên có dạng: s s s T s s s T
Prôphin vận tốc dạng hình thang sản sinh ra prôphin gia tốc dạng các ô chữ nhật
Hình 3.4 Prophin vận tốc hình thang dạng đối xứng s v m t s T t s T t
Tích phân hai lần theo quy luật gia tốc và xem xét các điều kiện biên, ta có phương trình xác định tham số quỹ đạo Phương trình này thể hiện mối quan hệ giữa các đại lượng như gia tốc, thời gian và các tham số quỹ đạo khác, giúp xác định chuyển động của vật thể trong không gian.
Thời gian tăng và giảm tốc phụ thuộc vào a m và được tính từ phương trình : s s m s s t t T a
Giải phương trình bậc hai (3.7), ta được: s m s s
Từ các điều kiện này có thể suy ra trường hợp tới hạn khi prophin vận tốc có dạng tam giác Khi đó t s 1T
2 Từ phương trình trên ta suy ra: m s s
Việc xây dựng các quỹ đạo tổng quát bằng các đa thức nội suy
Khi các quỹ đạo q(t) hoặc x(t) và các quỹ đạo q(s) hoặc x(s) có vận tốc quỹ đạo ṡ(t) được biểu diễn dưới dạng các điểm rời rạc, bài toán lập trình quỹ đạo có thể được giải quyết thông qua việc xấp xỉ các hàm tại các điểm đã cho.
Ta chia đoạn thời gian 0,T bởi dãy các điểm t i tăng dần t i 1 t i i N
Dưới đây ta xết trường hợp q t( ) là một hàm vô hướng Ký hiệu p t i ( ) là đa thức xấp xỉ của q t( )
Hình 3.5 Xấp xỉ bằng đa thức p t i ( )
Tùy thuộc vào yêu cầu về tính liên tục của hàm q t( ), ngoài các giá trị q t( ) i, cần biết thêm các đạo hàm q t( ) i q i hoặc cả q t( ) i q i tại các điểm chia Thông tin này được trình bày trong bảng dưới đây.
Bảng 3.2 Các giá trị cho biết của q t q t q t( ), ( ), ( ) i i i t 0 0 t 1 t 2 t N 1 t N T q q 0 q 1 q 2 q N 1 q N q q 0 q 1 q 2 q N 1 q N q q 0 q 1 q 2 q N 1 q N
Đa thức tối thiểu được sử dụng để xấp xỉ các giá trị, với bậc của nó được xác định từ khả năng tính toán duy nhất các hệ số Các hệ số này được ký hiệu là q0, q1, q2, , qN-1, qN, và các giá trị xấp xỉ tương ứng là p(t1), p(t2), p(t3), , p(tN-1), p(tN).
62 a Tạo dựng các quỹ đạo liên tục C 0
Các quỹ đạo này có đặc điểm là tính chất liên tục đơn giản và có thể được xấp xỉ bằng các đa thức bậc nhất.
Ta sử dụng dạng xấp xỉ: i i i p t( )a 0 a t 1 (2)
Thế các hệ số a a 0 i , 1 i đƣợc xác định từ sự thay thế vào các điều kiện biên, sau đó giải các hệ phương trình đại số tuyến tính: i i i i i i t a q t a q
(3.8) b Tạo dựng các quỹ đạo liên tục C 1
Các quỹ đạo này được xác định bởi tính liên tục của hàm q(t) và đạo hàm của nó Điều kiện biên trong trường hợp này có dạng: \( q_i(t) = q_i(q_i(t-1), q_i(t-1)) \).
Đa thức tối thiểu bậc ba đƣợc chọn có dạng: i i i i i i i i i p t a a t a t a t p t a a t a t
Tương tự như trên, các hệ số a a a a 0 i , , , 1 i 2 i 3 i được suy ra từ hệ phương trình: i i i i i i i i i i i i i i i i i i t t t a q t t a q a q t t t a q t t
63 c Tạo dựng các quỹ đạo liên tục C 2 (quỹ đạo không giật)
Các hệ số của đa thức tối thiểu được xác định từ hệ phương trình sau: i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i t t t t t a q t t t t a q t t t a t t t t t a t t t t a t t t a
Xác định đường quỹ đạo khi biết giá trị vận tốc q q c tại t 1 t t 2 trong đó t 0 t 1 t 2 t f Ta có điều kiện biên cần thoả mãn nhƣ sau: c f f f f q t q q t q q t q t t t q t q q t q
Quỹ đạo được chia thành ba pha: khởi động, bình ổn và kết thúc Để xác định giá trị vận tốc trong pha khởi động, chúng ta cần sử dụng phương trình phù hợp.
Quỹ đạo bậc hai có 3 hệ số cần thoả mãn các điều kiện sau: q t a a t a t q t a a t
Các điều kiện cần thiết bao gồm vị trí và vận tốc ban đầu, cùng với giá trị vận tốc cuối cùng không thay đổi Tại thời điểm t = 0, các điều kiện ban đầu cho pha khởi động được xác định là q1(0) = q0, q̇1(0) = 0, và q̇1(t) = qc' Từ những điều kiện này, ta có thể rút ra mối quan hệ giữa các biến số liên quan.
Từ đó, pha khởi động đƣợc xác định bằng biểu thức sau: q c q t q t t t t
Nhƣ vậy tìm đƣợc quỹ đạo pha bình ổn nhƣ sau: c c q t q q t q t C t t t
Giá trị vận tốc q c tìm đƣợc tại thời điểm t 1 , ta có: c c c q q t q t C t
Đối với pha kết thúc, ta có 4 điều kiện trong pha này, chọn đa thức bậc ba: q t b b t b t b t q t b b t b t
Ta có điều kiện biên nhƣ sau: f f f c c c q t q q t q t q t q q t q t q q t q t q
Từ các điều kiện trên, ta có hệ phương trình sau:
Giải hệ phương trình có nghiệm: trong pha t 2 t t f f f c f f f f f f f f f f f t t t b t t q q t t t t t t t t t t t t t q t t t t t t
Đồ thị của quỹ đạo đƣợc minh hoạ trên hình 3.6, với các giá trị sau: f o o f c t s t s t s q q q s
Ví dụ 2 Quỹ đạo đường bậc 5
Cho vị trí, vận tốc và gia tốc tại biên có dạng sau: f f f f f f q t q q t q q t q q t q q t q q t q
Để thoả mãn các điều kiện trên, ta dùng dạng đa thức bậc 5: q t( )a 0 a t 1 a t 2 2 a t 3 3 a t 4 4 a t 5 5
Ta có hệ 6 phương trình: f f f f f f f f f f f f f f f t t t t t a q t t t t a q t t t a q a q t t t t t a q t t t t a q t t t
Để tính toán số, ta sử dụng các điều kiện biên nhƣ sau : o o q q q q q q
67 từ đó ta có hệ phương trình đối với các hệ số của đa thức như sau: a a a a a a
Từ đó ta có quỹ đạo nhƣ sau: q t( )10350t 3 525t 4 210t 5 Đồ thị của hàm trên và các đạo hàm đƣợc đƣa ra trên hình 3.7
Hình 3.7 Quỹ đạo đường bậc 5
Để thiết lập quỹ đạo với vận tốc đầu và cuối bằng 0, ta sử dụng đa thức bậc 7, được biểu diễn dưới dạng q(t) = a0 + a1t + a2t² + a3t³ + a4t⁴ + a5t⁵ + a6t⁶ + a7t⁷ Điều này đảm bảo rằng cả gia tốc và đạo hàm bậc 3 tại thời điểm đầu và cuối cũng bằng 0, tạo ra một quỹ đạo mượt mà và liên tục.
Ta có 8 điều kiện biên nhƣ sau: f q q q q t q q q q q q
Cho q(0)10 , (1) o q 45 o , ta có hệ phương trình sau: a a a a a a a a
từ đó ta có quỹ đạo nhƣ sau: q t( )10 1225 t 4 2940t 5 2540t 6 700t 7
Chương này đã đề cập đến lập trình quỹ đạo cho robot, sử dụng các luật chuyển động dạng đa thức để mô tả quá trình di chuyển giữa vị trí đầu và vị trí cuối Luật chuyển động dạng đa thức có ưu điểm là tính đơn giản và dễ dàng xác định hệ số Các kết quả này sẽ được áp dụng trong các mô phỏng số ở chương tiếp theo.
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC NGƯỢC
Thiết lập bài toán
Xét một robot dƣ dẫn động n bậc tự do, với vectơ toạ độ suy rộng q m
Vị trí và hướng của bàn kẹp trong không gian thao tác được xác định bởi vectơ x
(đối với robot phẳng m 3, robot không gian m 6) Từ kết quả của bài toán động học thuận cho ta liên hệ giữa hai biến x và q nhƣ sau m m n n m
( , )0, , , , f x q x f q (4.1) Đạo hàm phương trình (4.1) theo thời gian ta nhận được phương trình liên hệ vận tốc x q 0
J x J q (4.2) với ma trận Jacobi nhƣ sau x ( , ) , q ( , )
Tiếp tục đạo hàm phương trình (4.2) cho ta phương trình liên hệ cấp độ gia tốc x q x q 0
Các phương trình (4.1), (4.2), (4.3) thiết lập mối liên hệ giữa tọa độ bàn kẹp và tọa độ khớp ở ba cấp độ: vị trí, vận tốc và gia tốc Những phương trình này thường được áp dụng để giải quyết bài toán động học ngược.
Trong các trường hợp như robot phẳng và robot không gian, khi chỉ chú trọng đến tọa độ của điểm cuối, mối quan hệ giữa tọa độ bàn kẹp và tọa độ khớp có thể được biểu diễn một cách tường minh.
Từ đó, các phương trình (4.1), (4.2), (4.3) trở thành:
Trong bài toán động học ngược, vectơ tọa độ khớp q(t) là đại lượng cần xác định để bàn kẹp di chuyển theo quỹ đạo đã được định nghĩa bởi phương trình t.
Bài toán động học thường được giải ở ba mức: vị trí, vận tốc và gia tốc Khi giải bài toán động học ngược ở cấp độ vận tốc và gia tốc, ta cần giải hệ phương trình đại số tuyến tính với số ẩn nhiều hơn số phương trình Phần tiếp theo sẽ trình bày cách giải hệ phương trình đại số tuyến tính Ax = b, trong đó A là ma trận chữ nhật.
Ma trận tựa nghịch đảo và nghiệm của phương trình Ax b
4.2.1 Ma trận tựa nghịch đảo
Khi giải bài toán ngược cho robot dư dẫn động, số ẩn số thường vượt quá số phương trình, vì vậy cần xử lý các ma trận tựa nghịch đảo Dưới đây là một số khái niệm cơ bản về ma trận tựa nghịch đảo.
Cho A là ma trận chữ nhật cỡ m n Giả sử ứng với ma trận A tồn tại một ma trận X cỡ n m thoả mãn các điều kiện sau
Các điều kiện (4.7) đƣợc gọi là các điều kiện Penrose
Ma trận nghịch đảo suy rộng của ma trận A là ma trận thoả mãn tính chất (4.7) ở trên Ký hiệu A X
Ma trận nghịch đảo suy rộng phản thân của ma trận A là ma trận thoả mãn hai tính chất (1) và (2) ở trên, ký hiệu là X A r
Ma trận X thoả mãn bốn tính chất trên đƣợc gọi là ma trận tựa nghịch đảo của ma trận chữ nhật A , ký hiệu là X A
Với A là ma trận cỡ m n , nếu A có hạng đầy đủ, thì ma trận tựa nghịch đảo A của ma trận A đƣợc định nghĩa nhƣ sau :
(4.8) b Nghiệm của phương trình đại số tuyến tính
Xét phương trình đại số tuyến tính :
73 trong đó A m n , x n ,y m ,m n Theo phương pháp Moore – Penrose, nghiệm của hệ phương trình đại số (4.9) có dạng:
4.2.2 Tìm nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp nhân tử Lagrange
Chúng ta sẽ giải hệ phương trình đại số tuyến tính (4.9) với mục tiêu tìm nghiệm tối ưu để tối thiểu hóa một hàm mục tiêu Hàm mục tiêu được chọn ở đây là dạng toàn phương của vectơ x, cụ thể là g 1 T.
Ma trận W vuông cấp n, được gọi là ma trận trọng số, là ma trận đối xứng và xác định dương, được lựa chọn một cách thích hợp Bằng cách áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange, chúng ta có thể xây dựng hàm mục tiêu mới với dạng cụ thể.
Trong đó n đƣợc gọi là nhân tử Lagrange Để g * ( , ) x đạt cực tiểu, điều kiện cần là:
AW A y AW A y (4.16) Thế biểu thức (4.16) vào (4.15), ta tìm được nghiệm của phương trình (4.9) thoả mãn điều kiện cực tiểu của hàm mục tiêu (4.12):
Nếu ta chọn W I n (ma trận đơn vị cấp n), từ (4.17) ta suy ra
Nghiệm (4.18) từ phương pháp nhân tử Lagrange tương đương với nghiệm thu được qua phương pháp Moore – Penrose Điều này cho thấy rằng nghiệm theo phương pháp Moore – Penrose là nghiệm tương ứng với cực tiểu của hàm mục tiêu.
Nhƣ vậy nghiệm (4.18) là nghiệm có chuẩn nhỏ nhất trong tập các nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính (4.9)
4.2.3 Nghiệm tổng quát của hệ phương trình đại số tuyến tính
Xét hệ phương trình đại số tuyến tính
Trong đó A m n , x n , y m với m n Người ta chứng minh được rằng nghiệm của phương trình (4.19) có dạng :
Trong đó I n là ma trận đơn vị cấp n, z là một vectơ tuỳ ý thuộc n , A là ma trận tựa nghịch đảo của A
Thật vậy, thay (4.20) vào (4.19) ta có :
Các phương pháp giải bài toán động học ngược
4.3.1 Giải bài toán ở mức độ vị trí Ở mức độ vị trí, ta cần giải phương trình (4.1), đây là hệ phương trình đại số phi tuyến Để giải hệ phương trình phi tuyến này ta có thể cho trước một số toạ độ, để đưa về bài toán có số ẩn số bằng số phương trình, hoặc ta có thể bổ sung thêm
Để xác định các điều kiện cần thiết cho hàm S(q) đạt cực trị, việc tìm kiếm các ẩn số q là rất quan trọng Hàm S(q) thường được lựa chọn với mục đích như tránh vật cản, hạn chế khớp và né tránh các điểm kỳ dị.
Bài toán này thường dẫn đến việc giải bài toán tối ưu có ràng buộc Với mỗi t i
Để giải bài toán tối ưu với hàm mục tiêu S(q), cần đạt được cực trị trong khi tuân thủ các ràng buộc f(x, q) = 0 và q_min ≤ q ≤ q_max Bằng cách áp dụng các phương pháp giải bài toán tối ưu có ràng buộc, chúng ta có thể tìm ra q(t_i) tương ứng với mỗi x(t_i) Tuy nhiên, một khó khăn phát sinh là việc xác định q̇(t_i) và t_i sau khi đã giải được q(t_i).
( ) q Do đó phương pháp giải bài toán động học ngược mức độ vị trí sẽ không đƣợc trình bày kỹ ở đây
4.3.2 Giải bài toán mức độ vận tốc
Bài toán liên quan đến việc giải phương trình (4.5) để xác định vectơ vận tốc q từ x , đồng thời áp dụng điều kiện chuẩn f 1 T W min, 0 Việc này nhằm tìm ra giá trị nhỏ nhất cho vectơ vận tốc, từ đó tối ưu hóa quá trình giải quyết bài toán.
J q W J q J q W J q đƣợc gọi là ma trận tựa nghịch đảo có trọng số của ma trận Jacobi J q ( )
Trong luận văn này sử dụng hai lựa chọn sau: chọn W là ma trận đơn vị I n , hoặc chọn W là ma trận khối lƣợng M
Nếu chọn ma trận trọng số là ma trận đơn vị, W I n , nghiệm tính theo công thức (4.21) sẽ có chuẩn nhỏ nhất
Nếu chọn ma trận trọng số là ma trận khối lượng của tay máy, W = M q(), thì nghiệm tìm được sẽ dựa trên tiêu chuẩn tối ưu động năng, với động năng cực tiểu Bên cạnh đó, việc kết hợp sử dụng không gian bù của ma trận Jacobi cũng là một yếu tố quan trọng trong quá trình này.
Nếu chú ý đến không gian bù của ma trận Jacobi, thì nghiệm của (4.5) sẽ là:
Vectơ z 0 ∈ ℝ n được sử dụng để tạo ra chuyển động cho các khâu mà không làm ảnh hưởng đến chuyển động của bàn kẹp Thông thường, vectơ này được chọn nhằm khai thác thêm các ưu điểm của tay máy dẫn động, như tránh vật cản, né các điểm kỳ dị và hạn chế va chạm với các giới hạn khớp.
Thông thường người ta hay tính z 0 theo công thức
(4.24) với ( ) q là các hàm mục tiêu phụ thuộc vào yêu cầu đặt ra Chẳng hạn để tránh điểm kỳ dị, ta chọn hàm đo khả năng thao tác:
Hàm này giúp triệt tiêu các điểm kỳ dị, từ đó hỗ trợ robot trong việc tránh những khu vực này khi hoạt động Để ngăn chặn va chạm với các giới hạn khớp, người ta sử dụng hàm khoảng cách tới các vị trí trung gian của các giới hạn khớp.
Ký hiệu q iM (q im) đại diện cho giới hạn lớn nhất và nhỏ nhất, trong khi q i là giá trị giữa của khoảng làm việc của khớp, và c i là các trọng số Để tối ưu hóa hàm khoảng cách, việc tính dƣ dẫn động sẽ được sử dụng nhằm giữ cho các biến khớp gần với giá trị giữa của khoảng làm việc, từ đó tránh được sự va chạm vào các giới hạn khớp.
77 Để tránh va vào vâ ̣t cản, ta sƣ̉ du ̣ng hàm khoảng cách tới vật cản
Với o là vectơ vị trí của một điểm trên chướng ngại vật và p q là véctơ vị trí của robot, việc tối đa hóa khoảng cách này giúp robot tránh vật cản hiệu quả trong quá trình hoạt động Tuy nhiên, trong thực tế, việc mô hình hóa các vật cản và xác định giá trị hàm liên quan là khá phức tạp Thay thế (4.32) vào (4.30) và rút gọn cho phép chúng ta nhận được kết quả mong muốn.
(4.28) với K ii c i / (q iM q im ) 2 , i 1,2, ,n b Kết hợp với phương pháp phản hồi động học
Quá trình tích phân q q có thể làm cho sai số vị trí e ( )t x f q ( )0 Để giảm sai số, ta xét phương trình sai số động học sau: p p t t
Phương trình trên có nghiệm dạng e e ( )t 0 e t , nghiệm này sẽ tiến về 0
( ) ( ), ( ) ( ) e x f q e x J q q vào phương trình (3.45) nhận được
Giải bài toán động học ngƣợc cho tay máy 5 bậc tự do trong ví dụ 2.3.1, các thông số robot cho trong bảng 2.1 và 2.2
Trong mô phỏng, bàn kệp di chuyển theo quỹ đạo tròn với tâm tại C(0.8, 0.5) m và bán kính R = 0.4 m Vận tốc dọc quỹ đạo là 1.0 m/s, với hướng của bàn kệp được giữ cố định tại góc = 1.5708 rad Kết quả của bài toán động học thuận cung cấp cho chúng ta phương trình liên quan.
f q ở đây x [ , , ]x y T là véctơ chứa vị trí ( , )x y và hướng của bàn kẹp ; q q q q q 1 2 3 4 5 T
q là véctơ chứa các biến khớp
Ma trận trọng số là ma trận đơn vị, dùng không gian bù, không có phản hồi động học
Dùng Matlab mô phỏng, ta thu đƣợc kết quả nhƣ sau :
Hình 4.1 Đồ thị các biến khớp theo thời gian q ( )t
Hình 4.2 Đồ thị đạo hàm biến khớp theo thời gian q ( )t
Hình 4.3 Đồ thị sai số bám quỹ đạo theo thời gian
1 1.5 t [s] qd1 qd2 qd3 qd4 qd5
Ma trận trọng số là ma trận khối lƣợng, dùng không gian bù, có phản hồi động học : q J x W † ( Ke ) ( I n J J z W † ) 0
Mô phỏng bằng Matlab, ta thu đƣợc kết quả sau :
Hình 4.4 Đồ thị các biến khớp theo thời gian q ( )t
Hình 4.5 Đồ thị sai số bám quỹ đạo theo thời gian
Khi tính toán ở mức độ vận tốc, việc sử dụng hàm tích phân để xác định giá trị biến khớp q dẫn đến sai số lớn, e khoảng 10^-8, và sai số này tăng theo thời gian Để minh họa ý nghĩa của việc áp dụng công thức W = M q(t), chúng tôi đã trình bày hai đồ thị thể hiện tổng công theo thời gian cho W = I n và W = M, từ đó có thể rút ra những nhận xét quan trọng.
Cho bàn kẹp di chuyển trên một đường thẳng đi qua 2 điểm P 1 (1; 0.1) và
Giải bài toán động học ngược sử dụng không gian bù có thể được thực hiện trong hai trường hợp: Thứ nhất, khi ma trận trọng số là ma trận đơn vị; thứ hai, khi ma trận trọng số là ma trận khối lượng.
Mô phỏng trong 10s, ta thu đƣợc kết quả sau:
Hình 4.6 Đồ thị các biến khớp theo thời gian q ( )t
Hình 4.7 Đồ thị sai số bám quỹ đạo theo thời gian e ( )t
Hình 4.8 Công sinh ra trong quá trình chuyển động
Hình 4.9 Quỹ đạo chuyển động của robot
Hình 4.10 Đồ thị các biến khớp theo thời gian q ( )t
Hình 4.11 Đồ thị sai số bám quỹ đạo theo thời gian e ( )t
Hình 4.12 Công sinh ra trong quá trình chuyển động
Hình 4.13 Quỹ đạo chuyển động của robot
Khi so sánh hai kết quả, việc sử dụng ma trận trọng số là ma trận đơn vị cho sai số 10^-16 và công sinh ra khoảng 120J Ngược lại, khi áp dụng ma trận trọng số là ma trận khối lượng tối ưu động năng, sai số là 10^-15 và công sinh ra chỉ khoảng 90J Điều này cho thấy rằng công sinh ra khi sử dụng ma trận đơn vị nhỏ hơn, nhưng khối lượng tính toán lớn hơn và sai số cũng cao hơn, dẫn đến chuyển động của robot không được tối ưu Do đó, việc áp dụng ma trận trọng số là ma trận đơn vị giúp giảm khối lượng tính toán và đạt được độ chính xác cao hơn.
4.3.3 Giải bài toán ở mức độ gia tốc
Khi giải bài toán ở mức gia tốc, vấn đề động lực học của tay máy sẽ được xem xét Nghiệm của phương trình (4.6) có dạng q J x W † J q q ( ) I n J J z W † 0 (4.31), với vectơ tùy ý z 0 ∈ ℝ n được chọn sao cho robot đáp ứng được các yêu cầu bổ sung.
Giống nhƣ bài toán mức độ vận tốc, ta có hai cách chọn ma trận trọng số :
Ma trận trọng số là ma trận đơn vị, nghiệm của phương trình (4.31) sẽ có chuẩn nhỏ nhất
Ma trận trọng số là ma trận khối lƣợng
Tối ƣu gia tốc suy rộng với trọng số là ma trận khối lƣợng
Từ phương trình gia tốc
x J q q J q q (4.32) Chú ý đến động lực học của robot, với phương trình vi phân chuyển động nhƣ sau: u M q q ( ) C q q q ( , ) g q ( ) M q q ( ) h q q ( , ) (4.33) trong đó h q q ( , ) C q q q ( , ) g q ( )
Giải phương trình (4.7) tìm q với hàm mục tiêu
(4.34) với W q ( ) M q M q T ( ) ( ) Ý nghĩa của hàm mục tiêu trên là momen hoặc lực do thành phần gia tốc là nhỏ nhất
Tương tự như bài toán vận tốc, sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán tối ƣu và nhận đƣợc q J x W † ( J q q ( ) ) ( E J J z W † ) 0 (4.35)
J q W J q J q W J q đƣợc gọi là ma trận giả nghịch đảo tổng quát có trọng số của ma trận J q ( )
Sai số xuất hiện khi tích phân tìm q ( )t và q ( )t từ q ( )t
Quá trình tích phân q q q có thể làm cho sai số vị trí t
( ) ( )0 e x f q Để giảm sai số, ta xét phương trình sai số động học d p t t t
Phương trình trên có nghiệm dạng với các ma trận hệ số K K d , p được chọn thích hợp thì e ( )t 0 nếu ban đầu e ( )t 0 0
( ) ( ), ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) e x f q e x J q q e x J q q J q q vào phương trình (3.45) nhận được d p
Giải bài toán động học ngƣợc mức độ gia tốc cho robot 5 khâu ở trên a Trường hợp 1: Ma trận trọng số là ma trận đơn vị
Dùng Matlab mô phỏng ta thu đƣợc kết quả sau
Hình 4.14 Đồ thị các biến khớp theo thời gian q ( )t
Hình 4.15 Đồ thị đạo hàm biến khớp theo thời gian q ( )t
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 t [s] qd1 qd2 qd3 qd4 qd5
Hình 4.16 Đồ thị sai số bám quỹ đạo theo thời gian b Trường hợp 2: Ma trận trọng số W M M T
Dùng Matlab mô phỏng trong 10s, ta có kết quả sau:
Hình 4.17 Đồ thị các biến khớp theo thời gian q ( )t
Khi áp dụng ma trận trọng số W = M M T cho tay máy dạng chuỗi, ma trận khối lượng sẽ có các phần tử giảm dần về độ lớn Sự chênh lệch giữa các phần tử lớn trong ma trận này là một yếu tố quan trọng cần xem xét.
91 nhất và nhỏ nhất chênh lệch nhau rất lớn, do đó khi chọn ma trận trọng số là
