LÝ DO CHỌ N ĐỀ TÀI
Tư duy là quá trình suy nghĩ trong đầu óc con người, đóng vai trò quan trọng trong việc mang lại sự mới mẻ cho cuộc sống hàng ngày Khi xã hội phát triển, nhu cầu suy nghĩ và sáng tạo càng trở nên cần thiết Việc rèn luyện tư duy không chỉ giúp con người cải thiện khả năng suy nghĩ mà còn là yếu tố thiết yếu để thích ứng với những thay đổi trong cuộc sống.
1.2 Toán học có những đặc điểm phân biệt so với các môn học khác
Toán học khác với nhiều lĩnh vực khoa học khác ở chỗ việc khám phá cái mới chủ yếu dựa vào tư duy trừu tượng, không phải qua thực nghiệm Quá trình phát hiện ra những khái niệm và lý thuyết mới trong toán học chủ yếu diễn ra trong tâm trí con người, thể hiện tính chất sáng tạo và suy luận sâu sắc của bộ não.
Lượng giác là một phân môn quan trọng, bắt nguồn từ những khái niệm cụ thể nhưng mở rộng ra nhiều vấn đề phong phú như hằng đẳng thức và bất đẳng thức Các mệnh đề trong lượng giác không ngừng phát triển, và việc chứng minh chúng trở nên phức tạp nếu không có định hướng rõ ràng Khi chưa có kiến thức nền tảng, việc tìm ra phương hướng hợp lý để giải quyết các vấn đề lượng giác sẽ gặp nhiều khó khăn.
Cách dạy truyền thống hiện nay chủ yếu tập trung vào việc giáo viên giảng bài và học sinh nghe, thiếu sự chú trọng đến việc phát triển tư duy và khả năng khám phá của học sinh Điều này dẫn đến việc giáo viên thường chỉ trình bày lời giải mà không có thời gian cho các cuộc thảo luận sâu sắc, làm giảm hiệu quả trong việc khuyến khích học sinh tư duy độc lập.
Đến nay, nhiều công trình nghiên cứu về tư duy đã được thực hiện, nhưng vẫn chưa đạt được sự thống nhất hoàn toàn Các quan điểm về tư duy rất phong phú và không thể xác định loại tư duy nào quan trọng hơn loại nào Giữa các loại tư duy này có sự giao thoa và tác động lẫn nhau, và trong việc giải quyết một vấn đề cụ thể, thường cần đến sự kết hợp của nhiều loại tư duy Vì vậy, chúng ta không chỉ nhấn mạnh vai trò của một loại tư duy mà cần sử dụng nhiều loại hình tư duy đồng thời Mặc dù trong những tình huống cụ thể, tỉ lệ sử dụng mỗi loại tư duy có thể khác nhau, nhưng cuối cùng, sự phối hợp này là cần thiết để giải quyết vấn đề một cách hiệu quả.
Theo thời gian, con người sẽ tích lũy thêm nhiều kiến thức về lượng giác, bao gồm đẳng thức, bất đẳng thức và các tính chất Tuy nhiên, điều quan trọng là khi đối mặt với một bài toán cụ thể, liệu chúng ta có nhớ và áp dụng được những kiến thức đã học trước đó hay không?
Có biết sử dụng công cụ nào để giải bài toán hay không? Điều này liên quan đến khả năng vận dụng kiến thức và sự liên tưởng của người giải toán Vì lý do đó, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu này.
“Rèn luyện tư duy cho học sinh trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán lượng giác”.
MỤ C ĐÍCH NGHIÊN CỨ U
Mục đích nghiên cứu của đề tài là rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua việc tìm tòi lời giải các bài toán lượng giác, nhằm nâng cao năng lực giải toán và phát triển khả năng tư duy toán học của học sinh.
KHÁCH THỂ VÀ ĐỐ I TƯ Ợ NG NGHIÊN CỨ U
Quá trình dạy học môn toán ở trường THPT
Nghiên cứu các thao tác tư duy là rất quan trọng trong việc phát triển khả năng giải quyết bài toán lượng giác cho học sinh Việc xây dựng các biện pháp rèn luyện tư duy giúp học sinh tìm tòi và khám phá lời giải một cách hiệu quả hơn Các phương pháp này không chỉ nâng cao kỹ năng toán học mà còn kích thích sự sáng tạo và khả năng phân tích của học sinh trong quá trình học tập.
GIẢ THUYẾT KHOA HỌ C
Trong quá trình dạy học, nếu giáo viên chú trọng rèn luyện khả năng suy nghĩ và tìm tòi cho học sinh, thì tư duy toán học của họ sẽ được nâng cao Điều này không chỉ giúp học sinh phát hiện và đưa ra lời giải cho các bài toán mà còn phát triển năng lực giải toán một cách hiệu quả hơn.
NHIỆ M VỤ NGHIÊN CỨ U
5.1 Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến vấn đề tƣ duy, nội dung và đặc điểm của phân môn lƣợng giác
5.2 Điều tra, đánh giá thực trạng dạy toán lƣợng giác, lựa chọn ra một số thao tác tƣ duy cần rèn luyện cho học sinh trong giải Toán
5.3 Nghiên cứu và đề xuất một số định hướng sư phạm về việc rèn luyện tƣ duy cho học sinh nhằm nâng cao năng lực giải Toán
5.4 Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của các định hướng sƣ phạm đã đề xuất.
PHƯ Ơ NG PHÁP NGHIÊN CỨ U
- Nghiên cứu các tài liệu về triết học, giáo dục học, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán
- Nghiên cứu các sách báo, các bài viết về khoa học toán, các công trình khoa học giáo dục có liên quan trực tiếp đến đề tài
Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong quá trình khai thác các bài tập ở sách giáo khoa
Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của luận văn.
ĐÓNG GÓP CỦ A LUẬ N VĂN
Tư duy toán học đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển năng lực giải toán cho học sinh, đặc biệt qua việc rèn luyện tư duy giải toán lượng giác Việc áp dụng các biện pháp rèn luyện phù hợp sẽ giúp nâng cao khả năng suy nghĩ và tư duy toán học của học sinh, từ đó cải thiện hiệu quả học tập và khả năng giải quyết vấn đề trong toán học.
Luận văn có thể đƣợc sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT.
CẤ U TRÚC CỦ A LUẬ N VĂN
Ngoài phần phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn còn có những nội dung chínnh:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2: Rèn luyện tư duy cho học sinh trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán lƣợng giác
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Đại cương về tư duy
Tư duy đóng vai trò quan trọng trong đời sống xã hội, giúp con người nhận thức và áp dụng các quy luật khách quan của tự nhiên và xã hội vào thực tiễn Nó là quá trình suy nghĩ trong đầu, và khi xã hội phát triển, nhu cầu tư duy của con người cũng tăng cao Tư duy chỉ xuất hiện khi con người đối mặt với những tình huống có vấn đề, và có nhiều quan điểm khác nhau về khái niệm này.
Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính và bản chất của các mối quan hệ bên trong của sự vật, hiện tượng trong thực tế khách quan, mà chúng ta chưa hiểu biết trước đó (theo Tâm lý học đại cương – Nguyễn Quang Uẩn).
Tư duy, theo Từ điển Triết học, là sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức đặc biệt bởi bộ não, phản ánh tích cực thế giới khách quan qua các khái niệm, phán đoán và lý luận Nó xuất hiện trong quá trình sản xuất xã hội và phản ánh thực tại một cách gián tiếp, thể hiện những mối liên hệ hợp quy luật Tư duy không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và ngôn ngữ, thể hiện bản chất xã hội của loài người Các quá trình như trừu tượng hóa, phân tích và tổng hợp là những biểu hiện tiêu biểu của tư duy, đồng thời việc nêu lên các vấn đề cũng là một phần quan trọng trong hoạt động tư duy.
Để giải quyết những vấn đề nhất định, việc đề xuất giả thuyết và ý niệm là rất quan trọng Kết quả của quá trình tư duy luôn bắt nguồn từ những ý tưởng cụ thể.
Từ đó ta có thể rút ra những đặc điểm cơ bản của tƣ duy:
- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là quá trình phản ánh tích cực của thế giới khách quan
- Kết quả của quá trình tƣ duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và đƣợc thể hiện qua ngôn ngữ
Tư duy có bản chất là khả năng phân biệt và nhận thức độc lập về các đối tượng, được thể hiện qua hình ảnh mà con người tạo ra để phản ánh chúng.
- Tƣ duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo
Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau tùy thuộc vào các thuộc tính, và điều này phụ thuộc vào chủ thể là con người.
Tư duy được coi là quá trình suy nghĩ, và việc rèn luyện tư duy không chỉ đơn thuần là tiếp nhận kiến thức một cách thụ động từ người khác Thay vào đó, nó nhấn mạnh việc phát triển khả năng suy nghĩ độc lập và phản biện, giúp con người hình thành cách thức tư duy hiệu quả hơn.
Không phải mọi loại tư duy đều có giá trị mạnh mẽ trong mọi tình huống; giá trị của tư duy phụ thuộc vào nhiều yếu tố như đối tượng, môi trường, độ tuổi, tri thức sẵn có và phương pháp dạy Chúng ta không nên đồng nhất giá trị của tư duy với kết quả đạt được, vì có những trẻ nhỏ có thể nghĩ ra những điều tưởng chừng tầm thường nhưng lại rất đáng ghi nhận trong bối cảnh lứa tuổi của chúng.
Một học sinh lớp 3 được giao bài toán tính tổng 1 + 2 + 3 + + 10, với kết quả là 55 Đối với người lao động phổ thông, việc này không có gì khó khăn Tuy nhiên, có em đã sử dụng phương pháp ghép số đầu với số cuối và số gần đầu với số gần cuối, từ đó nhận xét rằng có "5 lần", mỗi lần bằng 11, dẫn đến kết quả cuối cùng là 55.
Ví dụ trên chỉ ra rằng, tư duy của một em bé lớp 3 khi giải bài toán có giá trị hơn so với việc một học sinh lớp 10 giải phương trình bậc 4 trùng phương.
Dạy tư duy là quá trình giúp con người phát triển khả năng suy nghĩ thông qua kiến thức, chẳng hạn như dạy tư duy toán học qua môn toán Khác với việc chỉ trình bày lời giải có sẵn, dạy tư duy yêu cầu sự dẫn dắt và gợi ý để khơi dậy sự sáng tạo của học sinh, giúp họ huy động và liên tưởng kiến thức, sử dụng các thủ thuật suy nghĩ để giải quyết vấn đề và đưa ra phán đoán để tìm phương hướng giải quyết Do đó, dạy tư duy không chỉ khó khăn mà còn tốn nhiều thời gian, đòi hỏi người dạy phải có hiểu biết sâu sắc và hình dung rõ về quá trình học tập của học sinh.
Xét ví dụ về bài toán lớp 11 mức độ khá :
Giải phương trình 4 4 1 4 1 4 1 sin 8 sin sin 2 x cos x y x cos x
Để học sinh phát triển tư duy, điều kiện tiên quyết là giáo viên phải có khả năng tư duy tốt Nếu giáo viên gặp khó khăn với các bài toán, họ khó có thể dạy học sinh cách tìm ra lời giải Ngược lại, việc giáo viên giải bài toán thành thạo cũng không đảm bảo rằng học sinh sẽ rèn luyện được khả năng suy nghĩ độc lập Một số bài toán có thể khá phức tạp, và nếu giáo viên không biết cách hướng dẫn, học sinh sẽ không thể tự giải quyết vấn đề.
Quá trình suy nghĩ khi giải quyết bài toán không chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về vấn đề mà còn phát triển tư duy logic của các em Việc này mang lại giá trị lớn hơn so với việc chỉ đơn thuần trình bày lời giải để học sinh ghi chép.
Trở lại ví dụ trên, người giáo viên chỉ lặng lẽ trình bày phép chứng minh: 17
Mặc dù việc chứng minh là chính xác và không sai sót, nhưng nếu chỉ thực hiện theo cách đó, thì việc dạy tư duy sẽ không còn ý nghĩa, mà chỉ trở thành việc đọc chép Do đó, giáo viên sẽ hướng dẫn học sinh theo mức độ khó phù hợp.
Trong bài toán này, thầy giáo nêu rõ rằng đây là một phương trình lượng giác hai ẩn với bậc cao, và mỗi ẩn nằm riêng một vế Do đó, cách giải không thể chỉ dựa vào biến đổi thông thường mà cần áp dụng yếu tố bất đẳng thức Việc giải các phương trình không mẫu mực thường liên quan đến việc chứng minh bất đẳng thức Để tạo ra sự đối lập, cần đánh giá các vế theo chiều ngược lại Tuy nhiên, việc đánh giá VT theo chiều ≤ không khả thi vì khi tử số gần 0, VT có thể lớn vô hạn Do đó, cần thiết phải đánh giá cả hai vế theo chiều ngược lại, và đánh giá VP theo chiều ≤.
VP 2 Nhƣ vậy, đến đây bài toán chuyển về việc tìm cách chứng minh
Tƣ duy toán học
Tư duy toán học là quá trình suy nghĩ nhằm giải quyết các vấn đề trong lĩnh vực toán học Nó được đặc trưng bởi bản chất của khoa học toán học và sự áp dụng các phương pháp toán học để hiểu biết về các hiện tượng trong thế giới thực Đồng thời, tư duy toán học cũng phản ánh các phương thức chung của tư duy mà nó sử dụng.
Tư duy toán học bao gồm những ý tưởng phản ánh hình dạng không gian và mối quan hệ số lượng trong thế giới thực Hình thức của tư duy này được thể hiện qua các khái niệm, phán đoán, suy luận và chứng minh.
1.2.2 Các loại hình tư duy
Hoạt động tư duy phụ thuộc vào đối tượng của nó và có nhiều loại hình như tư duy logic, biện chứng, sáng tạo, kinh nghiệm và lý luận Tuy nhiên, bản chất của tư duy chỉ có một, đó là hình thành mới hoặc tái tạo các liên kết giữa các phần tử ghi nhớ Việc phân chia các loại hình tư duy giúp chúng ta hiểu sâu hơn và áp dụng hiệu quả tư duy trong hoạt động của hệ thần kinh.
Có nhiều cách phân loại tƣ duy Sau đây là một số cách phân loại tƣ duy:
1.2.2.1 Cách phân loại thứ nhất: phân loại dựa trên lịch sử hình thành và phát triển tƣ duy thì có thể chia thành 3 loại tƣ duy:
Tư duy trực quan được chia thành hai loại chính: tư duy trực quan - hành động, nơi giải quyết vấn đề thông qua các thao tác cụ thể và tư duy trực quan - hình ảnh, trong đó việc giải quyết dựa vào hình ảnh của sự vật, hiện tượng Bên cạnh đó, tư duy trừu tượng (tư duy ngôn ngữ - logic) là hình thức tư duy phát triển cao nhất, chỉ có ở con người, mà trong đó việc giải quyết vấn đề dựa vào các khái niệm và mối quan hệ logic, sử dụng ngôn ngữ làm công cụ chính.
Hai loại tư duy là tư duy trực quan - hành động và tư duy trực quan - hình ảnh có mối quan hệ chặt chẽ, bổ sung và chi phối lẫn nhau Chúng đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành tư duy trừu tượng.
1.2.2.2 Cách phân loại thứ hai: phân loại dựa vào lôgic hình thức và lôgic biện chứng thì có 2 loại tƣ duy: a/ Tƣ duy hình thức: là loại tƣ duy dựa vào lôgic hình thức
Lôgic hình thức là khoa học nghiên cứu các hình thức của tư duy như khái niệm, phán đoán và suy luận, tập trung vào cấu trúc lôgic mà không chú ý đến nội dung cụ thể của các đối tượng Nó xem xét các đối tượng dưới dạng tĩnh và cô lập, nhằm xây dựng các quy tắc và quy luật cần thiết để đạt được kết quả chính xác trong quá trình thu nhận tri thức.
Sau đây là một số quy luật cơ bản của lôgic hình thức:
+ Quy luật đồng nhất: nói rằng tính xác định của tư tưởng là điều kiện tồn tại của nó: A = A
+ Quy luật không mâu thuẫn: A và A không thể đồng thời cùng đúng
+ Quy luật bài trung: hai phán đoán A và A không thể đồng thời cùng sai
Mỗi luận điểm cần được coi là đáng tin cậy và phù hợp để chứng minh phải được chứng minh một cách đầy đủ, nghĩa là phải có lý do rõ ràng để xác thực tính chân thực của nó.
Cuối thế kỷ XIX, lôgic toán (hay lôgic ký hiệu) đã trở thành bước ngoặt quan trọng trong sự phát triển lôgic hình thức, nhờ vào việc áp dụng các phương pháp hình thức của toán học và sử dụng ngôn ngữ ký hiệu đặc thù cùng các công thức.
Trong lôgic toán, tư duy bao gồm các quá trình lập luận và chứng minh, trong khi tư duy biện chứng là loại tư duy dựa vào lôgic biện chứng để phân tích và giải quyết vấn đề.
Lôgic biện chứng nghiên cứu những quy luật chung nhất của sự phát sinh phát triển của tƣ duy, giúp chúng ta nắm vững sự vật
Lôgic biện chứng là một phần quan trọng của nhận thức, hoạt động theo các quy luật của phép biện chứng và những quy luật riêng biệt của chính nó Một số quy luật cơ bản của lôgic biện chứng có thể được nêu ra như sau:
* Những quy luật của phép biện chứng là những quy luật của lôgic biện chứng
Quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập là nguồn gốc của sự phát triển, theo Ăngghen Ông nhấn mạnh rằng trong mỗi sự vật và quá trình tồn tại một mâu thuẫn khách quan, biểu hiện qua việc một sinh vật đồng thời vừa là chính nó vừa là một cái khác Điều này cho thấy sự sống là một mâu thuẫn nội tại, liên tục tự đặt ra và tự giải quyết Khi mâu thuẫn này chấm dứt, sự sống cũng kết thúc, dẫn đến cái chết.
Mâu thuẫn giữa năng khiếu nhận thức vô tận của con người và sự hạn chế do hoàn cảnh bên ngoài là điều không thể tránh khỏi Sự tồn tại của năng khiếu này trong những người bị ảnh hưởng bởi hoàn cảnh thực tế cho thấy rằng mâu thuẫn này chỉ có thể được giải quyết qua sự tiếp nối và phát triển của các thế hệ.
Quy luật từ lượng đổi dẫn đến chất đổi là một yếu tố quan trọng trong sự phát triển của mọi sự vật và hiện tượng Trong quá trình này, chất luôn phụ thuộc vào một số lượng nhất định, mặc dù có thể thay đổi trong những giới hạn nhất định Đặc biệt, yếu tố nhảy vọt thể hiện sự đứt đoạn trong sự phát triển liên tục Lênin đã nhấn mạnh rằng sự chuyển biến biện chứng khác với sự chuyển biến không biện chứng chính ở bước nhảy vọt, tính mâu thuẫn, sự đứt đoạn của tính liên tục, và sự thống nhất giữa tồn tại và không tồn tại.
Quy luật phủ định của phủ định thể hiện sự phát triển theo nhiều hướng khác nhau, với các hình thức phủ định đa dạng trong tư duy và hoạt động logic Sự phủ định có thể diễn ra giữa cái trực tiếp và cái gián tiếp, cái cụ thể và cái trừu tượng, cũng như giữa cái cảm tính và cái lý tính Mỗi hình thức phủ định không chỉ đơn thuần là loại bỏ cái tiêu cực mà còn giữ lại cái tích cực, từ đó thúc đẩy sự phát triển biện chứng từ những yếu tố tích cực này.
Nội dung và đặc điểm của phân môn lƣợng giác
1.3.1 Nội dung chủ đề lượng giác ở trường phổ thông
Nội dung Lượng giác ở bậc THCS: Chương trình hình học lớp 8 học sinh đã làm quen với các tỉ số lƣợng giác của góc hình học
Nội dung Lƣợng giác ở bậc THPT : Ở chương trình lớp 10 nội dung lượng giác được trình bày:
Chương 4: Góc lượng giác và công thức lượng giác bao gồm:
- Góc và cung lƣợng giác
- Giá trị lƣợng giác của góc cung lƣợng giác
- Một số công thức lƣợng giác Ở lớp 11 nội dung lƣợng giác đƣợc trình bày:
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
- Phương trình lượng giác cơ bản
- Một số phương trình lượng giác thường gặp
1.3.2 Đặc điểm môn lượng giác ở trường THPT
Kiến thức lượng giác trong sách giáo khoa phổ thông, dù không phong phú, nhưng đóng vai trò quan trọng trong việc giải các bài toán Hầu hết các bài toán lượng giác yêu cầu biến đổi để đưa về dạng quen thuộc, như trong việc giải phương trình lượng giác hay chứng minh bất đẳng thức Ngoài ra, nhiều bài toán về đạo hàm và tích phân cũng cần sử dụng biến đổi lượng giác Hơn nữa, lượng giác còn là công cụ hữu ích để giải quyết các bài toán khác trong chương trình học.
Môn học 17 mang lại nhiều lợi ích trong việc phát triển các phương pháp giáo dục, giúp rèn luyện tư duy sáng tạo và xây dựng kiến thức cho học sinh.
Một số khó khăn sai lầm khi giải toán lƣợng giác
Học sinh thường gặp khó khăn khi học lượng giác do lượng kiến thức phong phú với nhiều công thức và bài tập Một bài toán có thể sử dụng nhiều công thức khác nhau và có nhiều cách giải, dẫn đến sự lẫn lộn Đặc biệt, phương trình lượng giác có điều kiện, như phương trình có ẩn ở mẫu số hoặc trong hàm số tang, cotang, thường gây ái ngại cho học sinh vì độ phức tạp của nó Việc đối chiếu nghiệm với điều kiện bài toán và kết hợp nghiệm cũng không phải là điều đơn giản, do đó, việc mắc sai lầm là điều dễ hiểu.
1.4.1 Sai lầm liên quan đến việc thực hiện các thao tác trong tiến trình giải toán
Ví dụ 2: Giải phương trình :
4sin 3 x.cos3x4cos 3 x.sin3x3 3 cos 4x3
4 (3sinx sin 3x) 4 (cos3x 3cos x) 3 3 cos 4x 3
sinx.cos3x sin3x.cos x 3 cos 4x=1
Chia hai vế phương trình cho 2 ta được: 1 3 sin 4x cos 4x=1
Vậy nghiệm của phương trình là: ,
Sai lầm phổ biến trong bài toán này là khi chia cả hai vế của phương trình cho 2, học sinh thường quên chia vế phải, dẫn đến kết quả sai Đây là một trong những lỗi thường gặp khi học sinh giải quyết các bài toán tương tự.
Ví dụ 3: Tính giới hạn: I 0
Sai lầm của bài toán ở chỗ học sinh thiếu lập luận liên quan đến giá trị tuyệt đối
Khi giải bài toán, học sinh thường quên xét giới hạn trái và giới hạn phải khi x tiến về 0 Mặc dù giới hạn trên vẫn có thể tồn tại, nhưng thực tế, giới hạn này không tồn tại do giới hạn trái và giới hạn phải khi x tiến về 0 là khác nhau.
1.4.2 Sai lầm do phương pháp suy luận
Ví dụ 4: Giải phương trình: cosx cos2x 4
Sai lầm trong bài toán xảy ra khi nhân hai vế của phương trình với sinx, dẫn đến một phương trình hệ quả thay vì phương trình tương đương Hệ quả này gây ra sự xuất hiện của nghiệm ngoại lai x = kπ trong hai họ nghiệm đã cho.
Ví dụ 5: Giải phương trình: 1 1 2 cosxsin 2x sin 4x (2) Sai lầm thường gặp:
Vậy nghiệm của phương trình là 2 x 2 k ; 2 x 6 k ;
Sai lầm ở cách giải trên là học sinh không đặt điều kiện bài toán trước khi giải nên không thấy đƣợc nghiệm ngoại lai 2 x 2 k bởi khi
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
T = sinA + sin B + sinC + 1 1 1 sinAsinBsinC
Sai lầm thường gặp: sinA + sin B + sinC + 1 1 1 sinAsinBsinC 6 sin sin sin
Khi MinT = 6 sinA = sinB = sinC = 1 1 1 sinA sinBsinC = 1
(điều này mâu thuẫn với giả thiết A + B + C = )
1.4.3 Sai lầm do kết luận bài toán một cách vội vàng thiếu cơ sở lí luận
Ví dụ 7: Giải phương trình: sin3x = cos2x (a)
Vậy phương trình (a) có một họ nghiệm x 5
Ví dụ 8: Giải phương trình: cos3x.tan5x = sin7x
Sai lầm thường gặp: Điều kiện cos5x 0
Ta có: cos3x.tan5x = sin7x sin 5 cos3 sin 7 cos5 x x x
Vậy nghiệm của phương trình là
Sai lầm của bài toán là do không so với điều kiện một cách chính xác dẫn đến khi k lẻ thì họ nghiệm
2 x k làm cho cos5x = 0 (mâu thuẫn với điều kiện)
1.4.4 Sai lầm do không nắm bắt được các điều kiện để thực hiện phép biến đổi tương đương
Ví dụ 9 : Giải phương trình : cos 2x 1 sin 2 x 2 sinx cosx (*)
Sai lầm thường gặp : Điều kiện : cos 2 0 sin cos 0 x x x
(cos sin )(cos sin ) 0 cos sin 0 x x x x x x
(*) (cosxsin )(cosx sinx)x (sinx cosx) 2 2 cosxsin )x cosxsin ( cosx xsinx cosxsinx) 2 0
tan 1 tan 1 cos 1 cos 1 cos 2 1 x x x x x
Sai lầm của bài toán trên là khi giải hệ (cos sin )(cos sin ) 0 cos sin 0 x x x x x x
nhiều học sinh nhầm tưởng rằng : 0 0
Do đó trong quá trình giải học sinh đã xét thiếu trường hợp :
và đó cũng là nghiệm của phương trình
1.4.5 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán
Trong quá trình giải phương trình lượng giác, học sinh thường cần sử dụng phương pháp đặt ẩn số phụ Tuy nhiên, họ thường quên đặt điều kiện cho ẩn phụ và cho rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm khi và chỉ khi phương trình g(t) có nghiệm, trong đó g(t) là biểu thức được tạo ra từ f(x) thông qua phép đặt ẩn phụ t = φ(x).
Ví dụ 10: Tìm m để phương trình sau luôn có nghiệm: sin 2 x2sinx m 1 0 (1)
Sai lầm thường gặp : Đặt t = sinx
Khi đó (1) t 2 2t m 1 0 (2) phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm
Trong bài toán trên, học sinh đã quên đặt điều kiện cho ẩn phụ t, trong khi miền giá trị của hàm sinx là [-1; 1], do đó t phải thuộc khoảng [-1; 1] Vì vậy, yêu cầu của bài toán trở thành: phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm với t trong khoảng [-1; 1] Từ đây, học sinh có thể áp dụng bảng biến thiên của hàm số bậc hai để giải quyết bài toán.
Một số thực trạng về phương pháp dạy học giải toán lượng giác
Lượng giác là một phân môn khó trong chương trình toán học phổ thông, mặc dù sách giáo khoa mới đã giảm tải nội dung và yêu cầu cho học sinh Tuy nhiên, việc học tốt lượng giác vẫn không đơn giản do nhiều công thức dễ gây nhầm lẫn và khó nhớ Sự linh hoạt trong việc áp dụng các công thức lượng giác vào giải bài toán cũng đòi hỏi thời gian và nỗ lực đáng kể từ phía học sinh.
Hiện nay, nhiều học sinh học phần lượng giác một cách thụ động, chỉ làm theo các dạng bài toán đã có sẵn từ giáo viên hoặc sách giáo khoa mà không chủ động suy nghĩ và tìm kiếm cách giải quyết vấn đề.
Việc giải quyết một bài toán mới lạ đối với nhiều học sinh thường gặp khó khăn, vì họ chưa có kinh nghiệm tiếp xúc với loại bài toán đó Quá trình tìm ra phương pháp giải là bước quan trọng và quyết định trong việc giải toán, đồng thời cũng là nền tảng để rèn luyện khả năng tư duy và sáng tạo - những kỹ năng thiết yếu cho người học Toán.
Trong chương 1, luận văn trình bày quan điểm của các tác giả uy tín về tư duy, tư duy toán học và vai trò của chúng trong việc giải quyết bài toán Những vấn đề được thảo luận đều có cơ sở rõ ràng và đáng tin cậy.
Luận văn đã làm rõ một số khó khăn, sai lầm cũng nhƣ thực trạng của học sinh trong quá trình giải toán lƣợng giác
RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG QUÁ TRÌNH TÌM TÒI GIẢI BÀI TOÁN LƢỢNG GIÁC
Một số thành tố tư duy ảnh hưởng quá trình giải toán lượng giác
2.1.1 Liên tưởng và huy động kiến thức
Liên tưởng và huy động kiến thức là những năng lực thiết yếu trong giải toán Năng lực liên tưởng tốt giúp chúng ta kết nối các kiến thức liên quan, ngay cả khi đối diện với bài toán khó, từ đó tìm ra lời giải hiệu quả Ngược lại, nếu liên tưởng kém, chúng ta sẽ gặp khó khăn trong việc liên hệ vấn đề với kiến thức đã biết, dẫn đến cái nhìn cục bộ và rời rạc Toán học là một hệ thống kiến thức có mối liên hệ chặt chẽ, vì vậy việc phát triển khả năng liên tưởng là rất quan trọng.
2.1.1.1 Theo [30] thì liên tưởng có nghĩa là: "Nhân sự vật, hiện tượng nào đó mà nghĩ đến sự vật, hiện tƣợng khác có liên quan"
Theo các nhà liên tưởng, có bốn loại liên tưởng chính: giống nhau, tương phản, gần nhau về không gian và thời gian, và nhân quả Trong đó, liên tưởng nhân quả đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong quá trình phát triển trí tuệ Sự phát triển trí tuệ được xem là quá trình tích lũy các mối liên tưởng này.
Sự khác biệt về trình độ trí tuệ đƣợc quy về sự khác nhau, về số lƣợng các mối liên tưởng, về tốc độ hoá các liên tưởng đó
Theo Vũ Dương Thụy, trong giáo dục, việc rèn luyện kỹ năng biến đổi xuôi chiều và ngược cần được thực hiện song song Điều này giúp học sinh phát triển khả năng hình thành các liên tưởng thuận và ngược một cách đồng thời, từ đó nâng cao hiệu quả học tập.
L.B.Itenxơn cho rằng: "Tƣ duy tốt tức là tƣ duy đúng đắn và có hiệu quả, biết thực hiện được những liên tưởng khái quát, những liên tưởng phù hợp với bài toán cần giải Vì vậy, để việc dạy tƣ duy có hiệu quả, không chỉ đòi hỏi phải tìm hiểu những thuộc tính hay những quan hệ chung xác định của các đối tƣợng, mà còn phải biết thuộc tính này là bản chất đối với những bài toán nào" (dẫn theo 18, tr.136])
Liên tưởng đóng vai trò quan trọng trong tư duy, giúp người có tư duy tốt thực hiện các liên tưởng khái quát và phù hợp với vấn đề cần giải quyết K.K Plantônôv coi tư duy là một quá trình gồm nhiều giai đoạn, trong đó nổi bật là giai đoạn xuất hiện và sàng lọc các liên tưởng, từ đó hình thành giả thuyết.
Trong dạy học, đặc biệt trong quá trình tư duy giải toán, liên tưởng đóng vai trò quan trọng Khi gặp một bài toán cụ thể, khả năng liên tưởng đến các kiến thức như định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp và bài toán liên quan giúp việc giải quyết trở nên dễ dàng hơn.
Ví dụ 11: Xét bài toán sau:
Trong tam giác ABC, ta có công thức b² - c² = ab (cos C - c cos B) Bài tập này không quá khó đối với học sinh trung bình, nhưng giáo viên có thể rèn luyện khả năng tư duy cho học sinh bằng cách đặt câu hỏi, giúp hình thành nếp tư duy tìm lời giải cho bài toán.
Để chứng minh một đẳng thức, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp biến đổi như biến đổi vế này thành vế kia, thực hiện các biến đổi tương đương, hoặc biến đổi cả hai vế theo cùng một cách.
Chẳng hạn ta biến đổi vế phải(ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn)
Khi quan sát các đại lượng ở vế phải và vế trái, học sinh nhận ra rằng cả hai đều liên quan đến độ dài cạnh Sự khác biệt nằm ở chỗ vế phải còn chứa hàm số côsin, từ đó dẫn đến liên tưởng đến định lý côsin.
2.1.1.2 Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, tất nhiên không cần huy động đến mọi kiến thức mà người giải đã thu thập, tích luỹ được từ trước Cần huy động đến những kiến thức nào, cần xem xét đến những mối liên hệ nào, điều đó còn phụ thuộc vào khả năng chọn lọc của người giải toán Người giải toán đã tích luỹ đƣợc những tri thức ấy trong trí nhớ, giờ đây rút ra và vận dụng một cách thích hợp để giải bài toán G.Pôlya gọi việc nhớ lại có chọn lọc các tri thức nhƣ vậy là sự huy động
Trước khi giải quyết một bài toán, chúng ta chưa thể xác định được kiến thức nào sẽ được sử dụng, ngoại trừ những bài toán có lời giải xác định Toán học là một môn khoa học có tính lôgic và hệ thống cao, với mọi kiến thức được xây dựng chặt chẽ và có cơ sở rõ ràng Tri thức trong toán học liên kết với nhau như những mắt xích, trong đó kiến thức mới luôn nằm trong hệ thống đã có, không thể tách rời và cần dựa vào kiến thức cũ để giải quyết vấn đề Việc xác định kiến thức phù hợp với vấn đề đặt ra là rất quan trọng trong quá trình huy động tri thức.
28 dần xuất hiện trong tư duy khi người giải lần lượt tìm ra các mối liên hệ của các đối tƣợng trong bài toán
Giải phương trình sin 2x + sin 2y - sin x - sin y = sin x sin y - 1 là một thách thức đối với nhiều học sinh do sự xuất hiện của hai ẩn số Để giúp học sinh vượt qua khó khăn này, giáo viên có thể hỏi: “Bài toán gợi cho em liên tưởng đến những điều gì em đã biết?” nhằm khuyến khích học sinh kết nối với kiến thức đã học và tìm ra cách giải quyết bài toán.
Nhiều học sinh khi giải loại toán này có thể sẽ nghĩ đến công cụ tam thức bậc hai Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh biến đổi phương trình thành dạng: sin 2 x - sin x(sin y + 1) + sin 2 y - sin y + 1 = 0 Phương trình này được coi là phương trình bậc hai với ẩn x, trong khi y giữ vai trò tham số Giáo viên nên đặt câu hỏi để học sinh liên tưởng đến điều gì để phương trình có nghiệm, từ đó gợi nhớ những vấn đề quen thuộc liên quan đến phương trình bậc hai.
Mong đợi học sinh trả lời rằng : Đó là biệt thức ∆
Lẽ tự nhiên học sinh sẽ khẳng định được phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi
Thay siny = 1 vào phương trình (1) ta tìm được sinx = 1 Từ đó
2 2 y k Vậy nghiệm của phương trình trên là: 2 x y 2 k , k Z
2.1.1.3 Năng lực liên tưởng, huy động kiến thức ở mỗi người một khác, khi đứng trước một vấn đề cụ thể (bài toán, định lý, mệnh đề, khái niệm…)
Khả năng liên tưởng đến nhiều định lý, mệnh đề và bài toán phụ có thể giúp đơn giản hóa quá trình giải quyết vấn đề Ngược lại, nếu chỉ liên tưởng được ít hoặc không có, vấn đề sẽ trở nên bế tắc Sức mạnh của sự liên tưởng và khả năng huy động kiến thức phụ thuộc vào việc tích lũy kiến thức và sự nhạy bén trong việc phát hiện vấn đề.
Ví dụ 13: Tính tích phân:
Việc giải bài toán này phụ thuộc vào khả năng liên tưởng và kiến thức của từng học sinh Đối với học sinh yếu, bài toán trở nên khó khăn do lượng kiến thức hạn chế Học sinh trung bình có thể nghĩ đến phương pháp đổi biến số, nhưng việc áp dụng phương pháp này một cách chính xác không hề đơn giản, vì nó yêu cầu sự kết hợp với nhiều kiến thức khác trong quá trình giải.
áp dụng phương pháp đổi biến số bằng cách Đặt x = - t dx = - dt
Các biện pháp rèn luyện tƣ duy học sinh trong quá trình tìm tòi giải bài toán lƣợng giác
2.2.1 Trang bị các kiến thức nền tảng xây dựng các bài toán gốc
Trong quá trình giải toán lượng giác, học sinh thường đối mặt với nhiều bài toán khó và tự đặt ra những câu hỏi về nguồn gốc và phương pháp giải Đây là dấu hiệu ban đầu của sự sáng tạo trong toán học Để phát triển kỹ năng giải toán, giáo viên cần không chỉ trang bị kiến thức cơ bản mà còn hướng dẫn học sinh khai thác và mở rộng các bài toán gốc, từ đó khuyến khích sự tìm tòi và sáng tạo Các bài toán là sản phẩm của sự sáng tạo cá nhân hoặc tập thể, xuất phát từ ý tưởng ban đầu hoặc từ những bài toán trước đó Thói quen đặt ra vấn đề mới và tư duy mở rộng sẽ giúp học sinh nhận ra các kỹ thuật chính, thay vì chỉ học thuộc lòng, đồng thời hiểu được lý do đằng sau sự sáng tạo của các bài toán.
Việc giải quyết một bài toán không phải lúc nào cũng khó khăn, nhưng mỗi bài toán đều ẩn chứa những điều thú vị Để khơi dậy sự tò mò và tinh thần khám phá ở học sinh, chúng ta cần giúp các em nhận ra những điều thú vị ẩn sau mỗi bài toán.
Việc dạy học chỉ dừng lại ở việc giải xong bài toán sẽ trở nên nhạt nhẽo Quan trọng hơn, nếu sau mỗi bài toán, chúng ta khám phá nhiều cách giải khác nhau và xây dựng chuỗi bài toán từ dễ đến khó, sẽ rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh và mở rộng kiến thức một cách hệ thống Tìm tòi và mở rộng các bài toán không chỉ tăng hứng thú học tập mà còn phát triển óc sáng tạo của học sinh, giúp các em có nền tảng khoa học vững chắc khi phân tích và giải quyết các bài toán khác Hệ thống bài tập gốc đóng vai trò quan trọng, không chỉ củng cố kiến thức mà còn định hướng tìm tòi lời giải cho các dạng toán, đặc biệt là những bài toán có quy trình giải Một bài toán được coi là bài toán gốc nếu nó đáp ứng một trong ba điều kiện nhất định.
- Kết quả của bài toán đƣợc sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải bài toán khác
- Phương pháp giải bài toán được sử dụng trong việc tìm tòi lời giải bài toán khác
- Nếu thay đổi giả thiết hoặc kết luận thì đƣợc bài toán mới
Trong tác phẩm nổi tiếng “giải bài toán nhƣ thế nào”, G.Pôlya cho rằng:
Mỗi bài toán phức tạp đều bắt nguồn từ những bài toán đơn giản, giống như dòng sông bắt nguồn từ những con suối nhỏ Hệ thống các bài toán gốc sẽ cung cấp cho học sinh chìa khóa cần thiết để giải quyết vấn đề trong quá trình học toán.
Chúng ta hãy cùng đến với bài toán sau :
Bài toán 1 : Cho x, y (0; ) Chứng minh rằng: x+y sinx+siny 2sin
Giải bài toán này không khó nếu học sinh biết áp dụng công thức lượng giác biến đổi tổng thành tích, điều này sẽ dẫn đến kết quả cần chứng minh Tuy nhiên, vấn đề quan trọng là từ kiến thức đã trang bị, chúng ta có thể khám phá mối quan hệ với các bài toán khác, từ đó tạo ra một chuỗi bài tập thú vị và hấp dẫn.
Thật vậy, từ bài toán trên , nếu ta xét x, y là số đo 2 góc A, B của tam giác ABC ta có :
Từ đó ta có bài toán sau:
Bài toán 1.1: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
A B C sin sin sin os os os
Từ bài toán 1, nếu ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacovski cho 2 bộ số (1,1) và sinA, sinB ta có :
sin A sin B 2 2 sin A sin B 4cos C 2
Do đó C sin sin 2 os
Ta lại có bài toán sau:
Bài toán 1.2: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có :
A B C sin sin sin os os os
Lại lại áp dụng bất đẳng thức 1 1 4 x y x y
1 1 4 2 sin sin sin sin osC
Dẫn đến bài toán sau:
A B C sin sin sin os os os
1 1 2 8 2 sin sin sin sin sin sin cos
Từ đó ta có bài toán sau:
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 sin Asin Bsin C cos Acos B cos C
Với cách khai thác trên ta có thể tạo ra các bài toán tương tự sau:
Bài toán 1.5: A B C osA+cosB+cosC sin sin sin
Bài toán 1.6: A B C os os os sin sin sin
A B C os os os sin sin sin
Bài toán 1.8: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 os os os sin sin sin c Ac B c C A B C
( Tam giác ABC không vuông )
Bài toán 1.9: cot cot cot tan tan tan
Bài toán 1.10: tan tan tan cot cot cot
( Tam giác ABC không vuông )
Bài toán 1.11: tan tan tan cot cot cot
Theo định hướng đã đề ra, việc giải các bài toán không gặp khó khăn cho học sinh Tuy nhiên, cần lưu ý rằng dấu "=" chỉ xuất hiện khi và chỉ khi tam giác ABC đều.
Trong quá trình giải quyết các bài toán lượng giác, học sinh thường gặp khó khăn, đặc biệt là với các bài toán liên quan đến tam giác Nếu biết linh hoạt sử dụng các bài toán phụ hoặc bài toán gốc, học sinh có thể tìm ra hướng giải đơn giản hơn Việc tìm kiếm một bài toán phụ hoặc bài toán liên quan không quá khó khăn, ngay cả với những người ít kinh nghiệm Tuy nhiên, để có được một bài toán phụ hữu ích cho việc giải quyết bài toán ban đầu và rèn luyện năng lực giải toán là điều không đơn giản Mỗi bài toán liên quan cần phải có lời giải khả thi, và lời giải càng đơn giản càng tốt, có thể tìm được thông qua các phương pháp giải hoặc kết quả từ bài toán phụ.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC Đặt Psin 2 Asin 2 Bsin 2 C, Chứng minh rằng: a) P < 2 khi tam giác ABC tù;
P = 2 khi tam giác ABC vuông;
P > 2 khi tam giác ABC nhọn; b) 9
Học sinh có thể dễ dàng giải bài toán (2a) Để giải bài (2b), chúng ta áp dụng công thức hạ bậc cùng với mối quan hệ sin 2C = 1 - cos 2C.
Giáo viên có thể đặt các câu hỏi dẫn dắt để học sinh giải quyết tiếp bài toán, chẳng hạn:
Bất đẳng thức (*) có dạng vế trái ≤ 0 Để chứng minh bất đẳng thức này, chúng ta thường phân tích và biến đổi vế trái thành tổng hoặc hiệu của các bình phương, hoặc thành tích, sau đó tiến hành đánh giá kết quả.
Hãy phân tích, biến đổi vế trái của (*)?
Ta mong đợi học sinh sẽ thực hiện đƣợc nhƣ sau:
Từ bài toán 2 ta sẽ đi tìm mối liên hệ của nó với một số bài toán khác
Bài toán 2.1: Các góc của tam giác ABC thoả mãn sin 2 Asin 2 Bsin 2 C2
Chứng minh rằng tanA.tanB < 1
Theo giả thiết và từ bài toán (2a), tam giác ABC được xác định là tam giác tù Nếu góc A hoặc B là góc tù, thì điều này dễ dàng được chứng minh Ngược lại, nếu góc C là góc tù, thì kết luận vẫn được xác nhận.
Vậy tan AtanBt nA.cotA=1a ( điều phải chứng minh )
Bài toán 2.2: Các góc của tam giác ABC thoả mãn cos2A c os2B+cos2C 1
Chứng minh rằng sinAsinBsinC 1 2
Lời giải: Từ giả thiết
1 cos2A+cos2B+cos2C=3-2(sin 2 Asin 2 Bsin 2 C)
Sử dụng bài toán (2a) ta thấy tam giác ABC không nhọn Giả sử góc A lớn nhất, khi đó
Mặt khác 2 2 1 2 sin sin (sin sin )
Từ (1) và (2) suy ra sinBsinC 2 sin
sinAsinBsinC (1 2)sinA 1 2 Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A
Bài toán 2.3: Cho tam giác ABC
Để chứng minh rằng \(9a + b + c + 2m \leq R\), học sinh cần có hướng đi rõ ràng, có thể kế thừa từ bài tập (2b) để đơn giản hóa bài toán Điều này đòi hỏi học sinh phải liên tưởng đến công thức đường trung tuyến, bất đẳng thức Bunhiacovski và định lý sin trong tam giác.
Lời giải bài toán nhƣ sau:
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacovski, công thức đường trung tuyến, định lí sin trong tam giác và bài toán (2b) ta có :
9 a b c 2 m m m R Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
Nhờ khai thác hợp lý bài toán gốc, chúng ta có thể tìm ra hướng giải quyết cho nhiều bài toán mới Để đạt được điều này, cần khéo léo vận dụng các kiến thức cơ bản từ đại số, lượng giác và hình học.
2.2.2 Liên tưởng và huy động kiến thức
Quá trình giải các bài toán lượng giác đòi hỏi sự tư duy sáng tạo và khả năng liên kết kiến thức Khi đối mặt với một bài toán cụ thể, việc huy động các định nghĩa, định lý, quy tắc và phương pháp liên quan sẽ giúp người giải tìm ra lời giải một cách dễ dàng hơn.
Biểu thức dưới dấu tích phân bao gồm các hàm số lượng giác sin2x, sinx và cosx, cho thấy mối liên hệ giữa chúng, gợi nhớ đến công thức nhân đôi Vì vậy, bài toán được biến đổi một cách hợp lý.
Năng lực liên tưởng và huy động kiến thức của mỗi người là khác nhau Khi gặp bài toán này, một số người có thể nghĩ đến mối liên hệ giữa biểu thức dưới dấu căn và đạo hàm của nó, từ đó áp dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 để giải quyết bài toán.
Cách giải 1: Đặt t 1 3cos x khi đó
Cũng có người hướng huy động kiến thức về phương pháp đổi biến số dạng 2 nhƣng cách đặt biến số khác nên ta có :
Với cách đặt này thì ta cũng giải tương tự như cách giải 1
Nếu nhìn bài toán dưới dạng sử dụng công thức tích phân từng phần thì ta có :
1 3cos sinx 1+3cosx 3 1 3cos u x d x dv dx x
Nếu chúng ta liên tưởng đến cách đưa vào vi phân thì ta có:
