Kiến thức chuẩn bị
Không gian Hilbert
Trong không gian có tích vô hướng V, chuẩn được định nghĩa bằng ||u|| V = p(u,u) Khi đó, không gian vectơ V trở thành một không gian định chuẩn, được gọi là không gian tiền Hilbert.
Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đầy đủ.
Một số không gian hàm
C(Ω)là không gian các hàm liên tục trênΩvới
Không gian các hàm bình phương khả tíchL2(Ω),Ω ⊂ R n u ∈ L 2 (Ω) ⇔
Ωu 2 (x)dx0 :|f(v)| ≤c||v|| V ∀v∈ V.
Dạng song tuyến tính a(u,v) trên không gian Hilbert V là một ánh xạ từ V×V vào R, thỏa mãn các điều kiện: a(u,αv1+βv2) = αa(u,v1) + βa(u,v2) và a(αu1 + βu2,v) = αa(u1,v) + βa(u2,v) với mọi u, v1, v2 ∈ V và α, β ∈ R Dạng a(u,v) được gọi là đối xứng nếu a(u,v) = a(v,u) cho mọi u, v ∈ V Nó được xem là bị chặn hay liên tục nếu tồn tại c1 > 0 sao cho |a(u,v)| ≤ c1||u||V ||v||V Cuối cùng, a(u,u) được gọi là V-elliptic nếu có c2 > 0 sao cho a(u,u) ≥ c2||u||V với mọi u ∈ V.
Bài toán yếu trong không gian Hilbert
Trong không gian Hilbert V, cho a(u,v) là dạng song tuyến tính và L(v) là phiếm hàm tuyến tính Bài toán yếu trong không gian Hilbert được định nghĩa là tìm kiếm một phần tử u thuộc V sao cho a(u,v) = L(v) với mọi v thuộc V.
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6
Dạng biến phân của bài toán yếu
Nếu a(u, v) là một dạng song tuyến tính đối xứng và liên tục trên không gian V, cùng với phiếm hàm tuyến tính L(v) cũng liên tục trên V, thì bài toán yếu 1.1 sẽ tương đương với bài toán đã nêu.
Bài toán1.2được gọi là dạng biến phân của bài toán yếu (1.1).
Nếuulà nghiệm của bài toán yếu1.1thì
Vậyulà nghiệm của bài toán biến phân1.2.
Nếuulà nghiệm của bài toán biến phân1.2thì u=argmin v ∈ V
Vậyulà nghiệm của bài toán yếu1.1.
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 7
Định lý Lax-Milgram khẳng định rằng nếu Choa(., ) là dạng song tuyến tính bị chặn trên không gian V và là V-elliptic, cùng với phiếm hàm tuyến tính L(.) bị chặn trên V, thì bài toán yếu 2.4 sẽ có nghiệm duy nhất.
Chứng minh chi tiết định lý Lax-Milgram xem tại [8], [9].
Giải bài toán biến dạng đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn
2.3 Rời rạc hóa không gian 12
2.4 Hệ phương trình tuyến tính 12
2.5 Các ví dụ mô phỏng số 13
2.5.2 Mô phỏng thí nghiệm với lực kéo 14
2.5.3 Mô phỏng thí nghiệm với lực nén 16
2.5.4 Mô phỏng thí nghiệm với áp suất 17
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày lược đồ giải số cho bài toán biến dạng đàn hồi Đầu tiên, phần 2.1 sẽ phát biểu phương trình biến dạng đàn hồi Tiếp theo, phần 2.2 sẽ hướng dẫn đưa bài toán ban đầu về dạng biến phân Phương pháp phần tử hữu hạn sẽ được áp dụng để rời rạc hóa không gian trong phần 2.3 Phần 2.4 sẽ trình bày cách xây dựng hệ phương trình tuyến tính rời rạc Cuối cùng, chương sẽ cung cấp một vài ví dụ về bài toán trong công nghiệp vật liệu.
Chương 2 Giải bài toán biến dạng đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn 9
Cho Ω là miền trong không gian R^d (với d = 2 hoặc 3) có biên Γ = {Γ_D, Γ_N}, trong đó Γ_D là điều kiện biên Dirichlet và Γ_N là điều kiện biên Neumann Gọi u là dịch chuyển biến dạng của một tấm được cấu tạo từ vật liệu khác nhau Mối quan hệ giữa biến dạng và dịch chuyển biến dạng của tấm được xác định bởi công thức e(u) = (∇u + ∇u^t) / 2.
Trong trường hợp vật liệu có tính đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, cũng như khi các dịch chuyển biến dạng không quá lớn để gây ra sự mất cấu trúc, định luật Hooke thiết lập mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng.
A(u) =2àe(u) + λTr(e(u))Id (2.1) trong đó:
• Idlà ma trận đơn vị,
• Tr(.)là vết của ma trận,
Các hệ số Lamộ được sử dụng để mô tả các tính chất cơ học của vật liệu, và chúng phải tuân thủ các điều kiện ổn định của phương trình nhiệt động lực học, cụ thể là λ > 0 và λ + 2/3 à ≥ 0 Để đơn giản hóa bài toán, ta giả định rằng λ và à là các hằng số với λ ≥ 0.
1 Hệ sốλ+ 2 3 à mụ tả khả năng biến của vật, giỏ trị của hệ số này càng lớn thỡ tương đương với việc vật liệu gần như không thể nén.
2 Thay vỡ sử dụng hệ số Lamộλ và à, ta thường sử dụng cỏc hằng số được biết đến nhiều hơn, một phần cũng là để thuận tiện hơn Đó là hằng số mô-đun đàn
Chương 2 Giải bài toán biến dạng đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn 10 hồi Young Evà hệ số Poissonν Ta có mối quan hệ giữa các hằng số này được biểu diễn như sau:
Hệ số Poisson nằm trong khoảng −1 ≤ ν ≤ 1/2, và với giả định λ ≥ 0, ta có ν ≥ 0 Đối với một vật liệu gần như không thể nén, hệ số Poisson của nó xấp xỉ bằng 1/2.
3 Mô hình đàn hồi đẳng hướng tuyến tính nói chung được áp dụng vào trong các bài toán biến dạng mà trong đó độ biến dạng của vật liệu là rất nhỏ Trong trường hợp này, để cho đơn giản thì các lực tác động lên vật đều là tuyến tính.
Trong nghiên cứu về tác động của ngoại lực lên vật thể, lực nén, lực kéo và lực đẩy được xem xét cùng với trọng lực f Dưới ảnh hưởng của trọng lực, điều kiện cân bằng được thiết lập với phương trình: div(A(u)) + f = 0 Để giải quyết bài toán đàn hồi, cần thiết lập thêm các điều kiện biên, từ đó dẫn đến hệ phương trình tuyến tính mô tả tính đàn hồi của vật.
Việc chuyển đổi bài toán mô tả các vấn đề cơ học từ dạng chuẩn sang dạng yếu hay bài toán biến phân là một bước quan trọng trong phương pháp phần tử hữu hạn Trong phần này, chúng ta sẽ tập trung nghiên cứu dạng biến phân của hệ phương trình tuyến tính đàn hồi.
Chương 2 Giải bài toán biến dạng đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn 11
Ký hiệu V là không gian hàm của dịch chuyển biến dạng u, và v ∈ V là hàm thử Bằng cách nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên trong hệ (2.3) với hàm thử v và tích phân trên miền Ω, ta có được kết quả cần thiết.
Ω f.v. Áp dụng công thức Green cho vế trái ta được:
Không gian hàm thửVđược chọn sao cho hàm thử v ∈ V bị triệt tiêu trên phần biên đặt điều kiện Dirichlet, nghĩa là:
Kết hợp với điều kiện biên Neumann của hệ (2.3), ta có thể viết lại:
Bài toán biến dạng đàn hồi có thể viết dưới dạng yếu tương đương: tìm u ∈ V thỏa mãn: a(u,v) = L(v) (2.4)
Chương 2 Giải bài toán biến dạng đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn 12
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán yếu 2.4 của bài toán đàn hồi được chứng minh dựa theo định lý Lax-Milgram [1.1].
2.3 Rời rạc hóa không gian
Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, không gian hàm thử Vđ được thay thế bằng không gian con hữu hạn chiều VN Trong bài toán 2.4, cần tìm u_h thuộc VN sao cho u_h = 0 trên biên Γ_D, và với mọi v_h thuộc VN, có v_h = 0 trên biên Γ_D.
2.4 Hệ phương trình tuyến tính
GọiT là tập các tam giác củaΩ sau khi rời rạc hóa GọiN là tập tất cả các nút của
Giải bài toán biến dạng đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Phương trình đàn hồi
Cho Ω là miền trong không gian R^d (với d = 2 hoặc 3) có biên Γ = {Γ_D, Γ_N}, trong đó Γ_D là điều kiện biên Dirichlet và Γ_N là điều kiện biên Neumann Gọi u là dịch chuyển biến dạng của một tấm được cấu tạo từ nhiều vật liệu khác nhau Mối quan hệ giữa biến dạng và dịch chuyển biến dạng của tấm được xác định bởi công thức: e(u) = (∇u + ∇u^t) / 2.
Giả sử vật liệu có tính đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, với các dịch chuyển biến dạng không quá lớn để tránh mất cấu trúc, định luật Hooke mô tả mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng.
A(u) =2àe(u) + λTr(e(u))Id (2.1) trong đó:
• Idlà ma trận đơn vị,
• Tr(.)là vết của ma trận,
Các hệ số Lamộ mụ mô tả các tính chất cơ học của vật liệu, với điều kiện rằng λ > 0 và λ + 2/3 à ≥ 0 để đảm bảo sự ổn định của phương trình nhiệt động lực học Để đơn giản hóa bài toán, giả sử rằng λ và à là hằng số với λ ≥ 0.
1 Hệ sốλ+ 2 3 à mụ tả khả năng biến của vật, giỏ trị của hệ số này càng lớn thỡ tương đương với việc vật liệu gần như không thể nén.
2 Thay vỡ sử dụng hệ số Lamộλ và à, ta thường sử dụng cỏc hằng số được biết đến nhiều hơn, một phần cũng là để thuận tiện hơn Đó là hằng số mô-đun đàn
Chương 2 Giải bài toán biến dạng đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn 10 hồi Young Evà hệ số Poissonν Ta có mối quan hệ giữa các hằng số này được biểu diễn như sau:
Hệ số Poisson nằm trong khoảng −1 ≤ ν ≤ 1/2, và giả sử λ ≥ 0 thì ν cũng sẽ ≥ 0 Đối với vật liệu gần như không thể nén, hệ số Poisson sẽ xấp xỉ bằng 1/2.
3 Mô hình đàn hồi đẳng hướng tuyến tính nói chung được áp dụng vào trong các bài toán biến dạng mà trong đó độ biến dạng của vật liệu là rất nhỏ Trong trường hợp này, để cho đơn giản thì các lực tác động lên vật đều là tuyến tính.
Dưới tác động của trọng lực f và các lực ngoại lực như lực nén, lực kéo, lực đẩy, chúng ta có điều kiện cân bằng được biểu diễn bằng phương trình div(A(u)) + f = 0 Để giải bài toán đàn hồi, cần thiết lập các điều kiện biên phù hợp, từ đó dẫn đến hệ phương trình tuyến tính đàn hồi.
Công thức biến phân
Việc chuyển đổi bài toán mô tả các vấn đề cơ học từ dạng chuẩn sang dạng yếu hay bài toán biến phân là một bước quan trọng trong phương pháp phần tử hữu hạn Trong phần này, chúng ta sẽ tập trung nghiên cứu dạng biến phân của hệ phương trình tuyến tính đàn hồi.
Chương 2 Giải bài toán biến dạng đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn 11
Ký hiệu \( V \) là không gian hàm của dịch chuyển biến dạng \( u \), trong đó \( v \in V \) là hàm thử Bằng cách nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên trong hệ (2.3) với hàm thử \( v \) và thực hiện tích phân trên miền \( \Omega \), chúng ta có thể thu được kết quả cần thiết.
Ω f.v. Áp dụng công thức Green cho vế trái ta được:
Không gian hàm thửVđược chọn sao cho hàm thử v ∈ V bị triệt tiêu trên phần biên đặt điều kiện Dirichlet, nghĩa là:
Kết hợp với điều kiện biên Neumann của hệ (2.3), ta có thể viết lại:
Bài toán biến dạng đàn hồi có thể viết dưới dạng yếu tương đương: tìm u ∈ V thỏa mãn: a(u,v) = L(v) (2.4)
Chương 2 Giải bài toán biến dạng đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn 12
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán yếu 2.4 của bài toán đàn hồi được chứng minh dựa theo định lý Lax-Milgram [1.1].
Rời rạc hóa không gian
Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, không gian hàm thử Vđ được thay thế bằng không gian con hữu hạn chiều VN Dạng rời rạc của bài toán 2.4 yêu cầu tìm kiếm uh ∈ VN sao cho uh = 0 trên biên ΓD, đồng thời với mọi vh ∈ VN cũng thỏa mãn điều kiện vh = 0 trên ΓD.
Hệ phương trình tuyến tính
GọiT là tập các tam giác củaΩ sau khi rời rạc hóa GọiN là tập tất cả các nút của
Tập (η k , ,η dN ) = (ϕ 1 e 1 ,ϕ 2e2, ,ϕ 1 e d , ,ϕ Ne 1 ,ϕ Ne2, ,ϕ Ne d ) đại diện cho các nút cơ sở của không gian con hữu hạn chiều VN, với N là tổng số đỉnh của lưới và d là số chiều của vectơ chuyển vị Hàm mũ ϕ i được xác định tại đỉnh x i trong tam giác T, với ϕ x i (x j ) thể hiện mối quan hệ giữa các đỉnh trong không gian này.
Chọnv h là các hàm cơ sởη i, ta được:
Vectơ chuyển vị có thể được biểu diễn dưới dạng: u_h = ∑_{j=1}^{N} u_i η_i Từ biểu thức này, ta có thể thiết lập hệ phương trình đại số tuyến tính để giải quyết bài toán đàn hồi.
Chương 2 Giải bài toán biến dạng đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn 13 Trong đó, ta ký hiệu A= (A ij ) ∈ R dN × dN và ma trận vế phải B= (b i ) ∈ R dN :
Ma trận Acòn được gọi là ma trận độ cứng (stiffness matrix) Ma trận độ cứng A là ma trận thưa, đối xứng và nửa xác định dương.
Các ví dụ mô phỏng số
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày các ví dụ mô phỏng số cho hệ phương trình tuyến tính đàn hồi Các thí nghiệm sẽ được thực hiện trong không gian hai chiều (d = 2) và không gian ba chiều (d = 3).
Bạn có thể tìm thấy mã nguồn chương trình và một số thí nghiệm giải số cho các bài toán biến dạng đàn hồi tại địa chỉ: http://github.com/kangandroo/ApplicationOfMathematics2018 Tác giả rất mong nhận được những đề xuất và đóng góp để phát triển mã nguồn cũng như các thí nghiệm mô phỏng số.
Trong khoa học vật lý và kỹ thuật, nhiều thông số được biểu diễn dưới dạng một số cụ thể và đơn vị tương ứng Các đại lượng vật lý thường sử dụng các đơn vị khác nhau; ví dụ, gia tốc trọng trường được thể hiện bằng mét trên giây bình phương (m/s²), với giá trị 9,81 m/s² Một số đơn vị là dẫn xuất, như newton, được định nghĩa là 1 kg·m/s² Có bảy đại lượng cơ bản cùng đơn vị của chúng: chiều dài (mét - m), khối lượng (kilôgam - kg), thời gian (giây - s), cường độ dòng điện (ampere - A), nhiệt độ (Kelvin - K), lượng chất (mol - mol), và cường độ sáng (candela - cd).
Trong bài toán đàn hồi, để làm rõ độ biến dạng, người ta thường sử dụng hệ số phóng đại Trong các ví dụ tiếp theo, tất cả các thông số vật lý sẽ được giữ nguyên.
Chương 2 Giải bài toán biến dạng đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn 14 được chuyển về cùng đơn vị và để cho đơn giản các đơn vị thứ nguyên đều được loại bỏ. Đại lượng vật lý Ký hiệu Đơn vị Chiều dài, bán kính ri,re,x,y m
Hệ số đàn hồi Young E N/m 2
2.5.2 Mô phỏng thí nghiệm với lực kéo
Trong phần này, ta sẽ trình bày các kết quả mô phỏng số cho bài toán liên quan đến lực kéo đàn hồi.
Cho một tấm kim loại có lỗ ở giữa, chịu lực kéo F = (1e4, 0) tại x = 0.4 và trọng lực g = (0,−9.81) Với hằng số mô-đun đàn hồi Young E = 7e4 và hệ số Poisson v = 0,3, chúng ta khởi tạo lưới với 1607 tam giác (2.1).
HÌNH2.1: Trạng thái ban đầu của tấm kim loại.
Hình dưới đây minh họa sự biến dạng của tấm kim loại khi chịu tác động của lực kéo F 0 Do lực kéo rất nhỏ, nên độ biến dạng của tấm kim loại không đáng kể (2.2).
Khi ta tăng lực kéo F lên F^3 (hình2.3) và F4 (hình2.4) thì ta thấy độ biến dạng rõ hơn.
Chương 2 Giải bài toán biến dạng đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn 15
HÌNH2.2: Tấm kim loại dưới tác dụng của lực kéo F0.
HÌNH2.3: Tấm kim loại dưới tác dụng của lực kéo F^3.
HÌNH2.4: Tấm kim loại dưới tác dụng của lực kéo F4.
Chương 2 Giải bài toán biến dạng đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn 16
2.5.3 Mô phỏng thí nghiệm với lực nén
Xét một tấm kim loại có lỗ ở giữa, chịu tác động của lực nén f = (−1e4, 0) và trọng lực g = (0,−9.81) Với hằng số mô-đun đàn hồi Young E = 7e4 và hệ số Poisson v = 0,3, hình (2.5) thể hiện lưới ban đầu của tấm kim loại, trong khi hình (2.6) mô tả lưới biến dạng của tấm kim loại sau khi chịu tác động của lực nén.
HÌNH2.5: Tấm kim loại ở trạng thái ban đầu.
HÌNH2.6: Tấm kim loại dưới tác dụng của lực nén.
Xét một tấm kim loại có kích thước 2×2 với đáy cố định, chịu tác dụng của lực nén f = (0,−1e7) tác động từ phía trên Tấm kim loại này có một lỗ được mô tả bởi phương trình r = 0.5 + 0.2sin(kt) trong tọa độ cực, với k = 5 Hằng số mô-đun đàn hồi Young được cho là E = 9 và hệ số Poisson v = 0,3.
[16] Dưới đây là lưới khởi tạo với 5796 tam giác của tấm kim loại2.7:
Chương 2 Giải bài toán biến dạng đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn 17
HÌNH2.7: Tấm kim loại2×2với lỗr =0.5+0.2sin(kt).
Dưới tác động của lực nén, tấm kim loại sẽ bị nén theo chiều dọc và phình ra theo chiều ngang Hình ảnh minh họa dưới đây cho thấy sự dịch chuyển biến dạng của tấm kim loại.
HÌNH2.8: Hướng dịch chuyển của tấm kim loại.
2.5.4 Mô phỏng thí nghiệm với áp suất
Một tấm kim loại hình khuyên phải chịu một áp lực bên trong như hình 2.11 với p = 1e3; E = 2e5; v = 0.3; r i = 42; re = 50; h = 1(h
