Phân tích sức chịu tải đất nền bằng phương pháp phần tử hữu hạn với matlab code

THI U TÀI NGHIÊN C U

T ng quan v các nghiên c u ngoài n c

Trên thế giới, có nhiều nghiên cứu về các giải pháp giải quyết vấn đề khó khăn phát sinh từ việc các mặt chảy dở trong tiêu chuẩn chảy dở Mohr–Coulomb giao nhau một cách không 'trơn' Các giải pháp được giới thiệu dưới đây là những phương pháp tiêu biểu được các nhà khoa học đề xuất.

1.1.1 Nghiên c u tiên phong c a Koiter v tính toán bi n d ng d o

Công trình nghiên cứu của Koiter vào năm 1953 đã giới thiệu một phương pháp tiên phong trong việc giải quyết các bài toán đo lường thu c v Ông đã đề xuất công thức tính toán gia sức biến dạng, góp phần quan trọng trong lĩnh vực này.

Ch ng 1 T ng quan tình hình nghiên c u 9

  , g q là hàm th n ng d o, đ c tr ng b i tiêu chu n ch y d o và là hàm theo tensor ng su t và ng su t h u hi u q;

 là h s ch y d o; m là s h s ch y d o có th ć, đ c tr ng b i m i tiêu chu n ch y d o;

Nghiên c u c a ông đ t n n t ng cho vi c x lý nh ng kh́ kh n phát sinh khi s d ng mô hình đ c mô t b i đa b m t ch y d o, đ c g i là đnh lu t Koiter

1.1.2 Nghiên c u c a Zienkiewicz và các c ng s v các bi n đ i ng su t trong tiêu chu n ch y d o Mohr–Coulomb và vùng lân c n quanh đi m d

Zienkiewicz là một trong những người tiên phong trong việc tìm ra giải pháp cho các vấn đề phát sinh liên quan đến tiêu chuẩn chảy dẻo không tròn, bao gồm cả tiêu chuẩn Mohr–Coulomb Trong nghiên cứu của mình cùng với các cộng sự Valliapant và Kings vào năm 1969, tác giả đã chỉ ra rằng không phải lúc nào các vấn đề này cũng gắn liền với nhau và đưa ra giải pháp đơn giản để tránh thực hiện tính toán tại các vị trí vector không liên tục trên bề mặt chảy dẻo Tuy nhiên, giải pháp này không đạt được kết quả như mong muốn, điều mà Zienkiewicz đã công nhận trong một bài báo cùng với Nayak Nghiên cứu của Nayak và Zienkiewicz đã áp dụng tiêu chuẩn Mohr–Coulomb kết hợp với phương pháp phân tán trong giải quyết các bài toán dẻo, đồng thời đưa ra khái niệm về các biến số I1, J2, J3 và góc Lode θ, trong đó góc Lode được xác định một cách cụ thể.

Các nhà nghiên cứu Nayak và Zienkiewicz đã khám phá tính đa dạng của các biên ngẫu suất, với mục tiêu tìm ra trạng thái ngẫu suất trong vùng lân cận của một điểm chịu tải Họ nhận thấy rằng trạng thái ngẫu suất này không liên tục trong vùng giới hạn, và các đạo hàm của hàm chịu tải được xem xét ở cả hai bên của điểm đó Điều này phù hợp với định luật Koiter.

1.1.3 Nghiên c u c a Hinton và Owen v giá tr gi i h n góc Lode và các nghiên c u t ng t

Trong tác ph m nghiên c u v ph n t h u h n trong mô hình d o xu t b n n m 1980 [6], Hinton và Owen đ c p nh ng kh́ kh n v p ph i khi giá tr góc

Lode là một chỉ số quan trọng trong việc giải quyết bài toán về độ dẻo của vật liệu, đặc biệt khi áp dụng các phương pháp như mô hình Tresca và Mohr–Coulomb Việc xác định giá trị Lode có thể giúp cải thiện độ chính xác trong việc đánh giá ứng suất và biến dạng của vật liệu, từ đó hỗ trợ trong việc giải quyết các vấn đề phức tạp trong kỹ thuật và xây dựng.

Khi giá trị của góc θ lớn hơn 29 độ, bài toán vẫn chưa phát sinh vấn đề Tuy nhiên, khi giá trị của góc θ vượt quá 29 độ, các tác giả đã đề xuất xây dựng các quan hệ trong vùng lân cận nhằm điều chỉnh cho mô hình Tresca và mô hình Mohr–Coulomb, đảm bảo đáp ứng yêu cầu của định luật Koiter (công thức (2.1)).

Gi i pháp đ c đ a ra là làm tròn t i góc không liên t c trên đa b m t ch y d o

Trước đây, các tác phẩm của Gudehus xuất bản năm 1973 đã đề cập đến việc áp dụng một ràng buộc đối với ngữ suất tiếp của bát diện, tùy thuộc vào ngữ suất của chính nó Mô hình này được xây dựng trên bề mặt nén theo thứ tự và khó khăn, và các tác giả đã làm "trơn" bề mặt bao phá hoại bằng cách sử dụng một chế độ Drucker–Prager, tạo ra một bề mặt ellipse liên tục trong không gian σ1–σ2 Tiếp theo công trình nghiên cứu của Marques vào năm 1984, ông đã áp dụng các vector dòng Drucker–Prager thay vì các vector dòng Mohr–Coulomb, và đã xác định rằng sự thay đổi này không xảy ra nếu giá trị góc θ nhỏ hơn 29.999°.

Ch ng 1 T ng quan tình hình nghiên c u 11

1.1.4 Nghiên c u c a Sloan và Booker v lo i b các đi m d d a theo giátr góc Lode

Năm 1986, Sloan và Booker đã giới thiệu một giải pháp mới trong nghiên cứu của họ Họ đề xuất một hàm độ dẻo hoàn toàn mới, thay thế các điểm giới hạn trong một chế độ dẻo không liên tục của mô hình Tresca và mô hình Mohr–Coulomb Thay vì sử dụng vector dòng von Mises cho mô hình Tresca và vector dòng Drucker–Prager cho mô hình Mohr–Coulomb, phương pháp này giúp tránh được trạng thái xuất hiện bậc nhảy gradient tại các điểm chuyển đổi giữa các trạng thái dẻo, dẫn đến sai số trong tính toán kết quả Giá trị góc Lode θ áp dụng trong trường hợp này sẽ được giới hạn bởi giá trị tùy ý nh.

Trong quá trình chuyển đổi một cách ổn định, giá trị góc T đ c đ nh ngh a là giá trị giới hạn tuyệt đối của góc Lode, đảm bảo rằng không xảy ra sự chuyển đổi mạch Giá trị góc T đ c đ được xác định trong phạm vi nhất định, nhằm duy trì tính ổn định trong quá trình chuyển đổi.

Hình 1.2 Giá tr góc  T đ lo i b các đi m d theo Sloan và Booker

1.1.5 Nghiên c u c a Crisfield v áp d ng ph ng pháp backward–Euler, đ a ra gi i pháp s d ng ánh x các đi m liên t c b ng vector

Trong tác phẩm xuất bản năm 1987, Mohr–Coulomb, Crisfield đã đề xuất phương pháp backward–Euler để phân tích các phương trình trong bài toán dọc Ông phân chia thành các trường hợp khác nhau, tùy thuộc vào trạng thái ứng suất giới hạn σ trial, và áp dụng phương pháp return mapping, được hoàn thiện bởi các nhà nghiên cứu sau này.

1 Return mapping đ n vector, ch s d ng tr v trên m t m t ch y d o

2 Khi giá tr góc Lode  v t quá gi i h n nào đ́, áp d ng vector tr ng su t v v trí g n nh t mà góc Lode  ch a v t quá gi i h n Tuy nhiên, tác gi Crisfield đã lo i b tr ng h p này vì lo ng i nó d n đ n vi c ng su t v t quá gi i h n c a m t d o, cho ra k t qu không chính xác

3 Return mapping hai vector đ c áp d ng hi u qu h n, n u tr v m t m t ch y d o là không đ xác đ nh tensor bi n d ng d o

4 Tr ng h p cu i cùng là return mapping v đ nh, đ c đ xu t n u không th tr v m t ch y d o b ng hai vector ánh x

Ph ng pháp này là c s cho các nhà nghiên c u sau này hoàn ch nh ph ng pháp return mapping (đ c s d ng trong lu n v n) Crisfield dùng đ i l ng góc

 đ xét tr ng h p x y ra thu c tr ng h p nào trong ba tr ng h p trên Góc

 đ c đ nh ngh a là ǵc gi a hai vector d o  hay n c a hai m t d o A, B: arccos

Khi góc  nh h n 1 o , dùng return mapping đ n vector Tuy nhiên, khi góc

Trong trường hợp góc β lớn hơn 90 độ, việc sử dụng phương pháp return mapping để xác định ứng suất tại điểm bên chóp kim tự tháp là rất quan trọng Khi góc β có giá trị gần 90 độ, cần sử dụng hai vector để thực hiện return mapping Đồng thời, tác giả cũng đưa ra công thức tính giá trị góc Lode θ để hỗ trợ trong quá trình phân tích.

Ch ng 1 T ng quan tình hình nghiên c u 13

N u giá tr góc Lode  v t giá tr 29.99 o thì áp d ng l i các vector chu n dòng Drucker–Prager

Ortiz và Popov (1985) đã nghiên cứu về tính chính xác và độ tin cậy của các thuật toán tích hợp, chỉ ra rằng việc sử dụng 'trần' trong một số trường hợp có thể làm giảm đáng kể độ chính xác trong tính toán và đánh giá.

Vì v y, h đ t v n đ x lý c c b trong ph m vi xung quanh đi m d , s d ng ph ng pháp x p x đ ng cong t ng đ ng

Hình 1.3 Return mapping m t vector (Ngu n: [12], pp.283)

Hình 1.4 Return mapping hai vector (Ngu n: [12], pp.283)

1.1.6 Nghiên c u c a de Borst v đ nh ngh a ch s đi m d

Vào năm 1987, de Borst đã công bố một bài viết quan trọng liên quan đến việc xử lý các điểm đặc trưng trong một cấu trúc chịu tải, tập trung vào việc phân tích và một số khía cạnh học thuật Ông đã mô tả quy trình xử lý các điểm góc trong cấu trúc chịu tải, dựa trên sự khái quát hóa định luật Koiter và tính chất chịu tải của cấu trúc này.

De Borst cho rằng trong trường hợp hai ngẫu suất chính trùng nhau và nhân lên với hệ số chiều dọc, theo định luật Koiter, tác giả tiếp tục nhấn mạnh rằng việc tính toán ngẫu suất và các yếu tố liên quan trong góc của mặt chịu tải là rất quan trọng Sau đó, cần thực hiện các điều chỉnh chính xác để đảm bảo trạng thái ngẫu suất cuối cùng phù hợp với tất cả các hàm chịu tải Khái niệm này cũng được mở rộng cho các biến dạng phần tử tương tự.

Trong đ́: g 1vàg 2 là hàm th n ng d o, đ c tr ng b i tiêu chu n ch y d o;

1và 2 là h s ch y d o t ng ng v i hàm ch y d o;

Hình 1.5 Vector ch y d o t i vùng quanh đi m d c a m t ch y d o

T ng quan v các nghiên c u trong n c

Những nghiên cứu trong lĩnh vực đa kỹ thuật xây dựng đã được cập nhật và phân tích, tập trung vào các phương pháp sáng tạo trong việc giải quyết bài toán ngẫu nhiên Tuy nhiên, do thời gian thực hiện và hạn chế về nguồn lực, hiện tại, học viên vẫn chưa tìm được nhiều bài báo và luận án khoa học chất lượng trong lĩnh vực này.

Chương 1 trình bày tổng quan về tình hình nghiên cứu liên quan đến vấn đề đất ngập Tại đây, học viên sẽ trình bày các nghiên cứu áp dụng phân tích phần tử hữu hạn và phương pháp số, đặc biệt là mô hình Mohr–Coulomb trong việc phân tích bài toán địa kỹ thuật.

Trong nghiên cứu của Tr ng Ph c Trí, một phương pháp mới đã được giới thiệu để phân tích giải hạng c n trên đ, áp dụng vào một số vấn đề đa dạng trong kỹ thuật xây dựng Phương pháp này bao gồm các kỹ thuật không lặp lại và tối ưu hóa học.

Ph ng pháp không l i EFG đ c dùng đ x p x tr ng chuy n v (bi n d ng)

Sử dụng kỹ thuật tích phân nút nén đỉnh (SCNI) giúp giảm số lượng biến trong bài toán một cách đáng kể, từ đó dễ dàng xác định thành phần gia sức biến dạng khi trạng thái ngẫu nhiên đạt tới trạng thái chảy dẻo trong mô hình Mohr–Coulomb Bài toán phân tích giải hạn lại giới hạn trên được dựa vào bài toán tối ưu hóa các tiêu năng lượng tiêu tán, sử dụng ràng buộc hình nón bậc hai (SOCP) Một trong những ưu điểm lớn khi đưa bài toán tối ưu vào dạng hình nón bậc hai là có thể giải bài toán tối ưu với biến ràng buộc rất nhanh Như vậy, việc kết hợp phương pháp không lưới EFG, kỹ thuật tích phân nút nén và chương trình tối ưu hình nón bậc hai trở thành một công cụ mạnh mẽ, hiệu quả để giải bài toán phân tích giải hạn Kết quả không chỉ chính xác mà còn nhanh chóng và ổn định.

Nguyễn Minh Tôn [24] đã giới thiệu một phương pháp mới áp dụng cho phân tích giải hạn theo định lý cần trên, cụ thể là phương pháp đẳng hình học kết hợp tối ưu hóa Phương pháp đẳng hình học (IGA) được sử dụng để giải quyết bài toán biến động, từ đó thiết lập năng lượng tiêu tán do tổng phần tử Bài toán phân tích giải hạn được đặt vào bối cảnh bài toán tối ưu hóa hình học và được giải bằng chương trình hình nén (SOCP) để tìm tài phá hồi và cách phá hồi Sử dụng cùng khái niệm đẳng tham số, phương pháp phân tích hữu hạn (FEA) truyền thống kết hợp với phương pháp IGA nhằm tạo ra tính chính xác trong việc xây dựng hình học trong CAD, từ đó thực hiện tính toán phân tích trong phương pháp số Cách tiếp cận này khắc phục được nhược điểm về chi phí, thời gian và độ không chính xác trong việc tối ưu hóa hình học bằng đa thức.

Phương pháp Lagrange là một kỹ thuật quan trọng trong phân tích phần tử hữu hạn (FEA) Bên cạnh đó, phương pháp IGA (Isogeometric Analysis) còn thể hiện tính năng vượt trội trong việc giảm thiểu sai số trong các bài toán bậc cao, đồng thời cho phép tính toán phân tích nhanh hơn so với phương pháp FEA.

Trong chương 1, tác giả tổng quan về tình hình nghiên cứu liên quan đến đề tài, nêu bật những điểm giao nhau không liên tục giữa các mặt cắt do giới hạn trong mô hình Mohr–Coulomb Bài viết giới thiệu các phương pháp mà các nhà nghiên cứu đề xuất nhằm khắc phục những khó khăn phát sinh Luận văn áp dụng phương pháp return mapping và sử dụng công thức cải tiến tính toán ma trận modulus tại điểm thích ứng, từ đó đưa ra thuật toán hoàn chỉnh giải quyết vấn đề đất đá ban đầu và áp dụng vào mô phỏng Phân tích bài toán có thể trong lĩnh vực cơ học đất, chia ra hai trường hợp móng cứng và móng mềm bằng phương pháp phân tích hồi quy.

Chương này trình bày các lý thuyết cơ bản nhằm nâng cao hiểu biết về vật liệu đất nền, bao gồm các thông số đặc trưng và lý thuyết tiêu chuẩn chịu tải Mohr–Coulomb Nội dung cũng đề cập đến các phương pháp số và phương pháp toán học được sử dụng, cùng với các lý thuyết liên quan đến xây dựng bài toán phân tích ứng suất.

t n n đ c xem là m t lo i v t li u k thu t

Tầng nền là một trong những vật liệu được sử dụng thường xuyên trong kiến trúc, vì nó hỗ trợ các công trình xây dựng dựa trên nền đất hoặc đá Tầng nền có cấu trúc hình dạng khác nhau, nên khi xếp chồng lên nhau sẽ tạo ra những lớp rắn Các lớp này có thể chứa nước hoặc không, tùy thuộc vào trạng thái của đất tầng nền Có nhiều tiêu chuẩn kỹ thuật về phân loại đất.

Các loại đất trong địa kỹ thuật xây dựng được phân loại theo sự phân bố kích thước hạt Sự phân loại này áp dụng cho các hạt riêng lẻ và mẫu đất nói chung Hình 2.1 minh họa ba đường cong phân bố kích thước hạt, cho thấy các kích thước hạt theo tiêu chuẩn châu Âu Dựa vào thành phần hạt trong đất, người ta quy định chia nhóm loại đất Một số tên phân loại khác nhau cho các mẫu đất dựa trên đất sét, phù sa và cát Các hạt lớn nhất được gọi là đất sét, kế đến là phù sa và cát khi đường kính hạt tăng lên Các kích thước trong Hình 2.1 được gọi là cuội và đá.

Có sự khác biệt cơ bản giữa đất sét và cát, xuất phát từ tính kết dính của chúng Trong cát, các hạt kết nối với nhau và truyền tải lực một cách trực tiếp Sự liên kết giữa các hạt cát là không chặt chẽ, vì vậy nước có thể thoát ra ngoài rất nhanh Tuy nhiên, do không có liên kết kết dính giữa các hạt, cát không thể giữ nước hiệu quả, dẫn đến việc khi bị tác động, chúng dễ dàng bị tách ra và phá hủy cấu trúc.

Vì sét, các hạt không tiếp xúc trực tiếp với nhau do có một lớp màng nước bao quanh, tạo ra khoảng cách giữa các lớp màng này Trong khoảng không gian này, nước tự nhiên hoặc khí tồn tại, và các lỗ rỗng này có kích thước nhỏ nên nước có thể thoát ra rất chậm.

Hình 2.1 Các đ ng cong phân b ḱch th c h t đi n hình

Hình 2.2 Phân lo i đ t d a trên ḱch th c h t theo tiêu chu n châu Âu

(loam: mùn, slit: phù sa)

Trên mặt cắt ngang qua một đối tượng đất chứa tác động của ngoại lực, các lực theo phương đứng được biến đổi thành lực dọc Phương pháp tiếp cận phân biện là làm trơn và chia nhỏ phần tử, sau đó xác định năng suất trên phần tử đó Do đó, khi chúng ta đề cập đến khái niệm năng suất trong đất, đó không phải là năng suất giữa các hạt phân tán cấu thành đất nền mà là năng suất xét trên toàn bộ mặt cắt ngang bất kỳ, nhấn mạnh tính liên tục của đất nền.

Như chúng ta đã biết, thành phần cấu tạo của đất tự nhiên bao gồm hạt rắn, hạt nước và hạt khí Khả năng chịu tải của đất nền là khác nhau, tùy thuộc vào trạng thái bão hòa nước hay chưa Đất nền có thể chịu được ngẫu lực cắt do các hạt phân tán đè lên nhau và tạo nên ma sát giữa các hạt, do đó khi đất trong trạng thái bão hòa nước, sức chịu tải của đất nền sẽ giảm đi đáng kể Điều này dẫn đến sự cần thiết phải hiểu rõ về đất bão hòa, xác định theo công thức.

' là vector ng su t h u hi u; là vector ng su t t ng; p là vector áp l c n c l r ng, đ c xác đ nh theo công th c sau:

V i: p pore  w w h là giá tr áp l c n c l r ng;

 K (2.3) i v i đ t cát và đ t sét có: K K s   1 [25] Do đ́, công th c (2.1) th ng đ c vi t l i nh sau:

Chúng tôi xem xét trạng thái bão hòa hoặc không bão hòa của đất nông nghiệp và sức chịu tải của đất nông Bài viết này sẽ phân tích ảnh hưởng của trạng thái bão hòa của đất nông đến sức chịu tải của đất nông.

Khi tác động ngoại lực lên một mẫu đất, các hạt đất sẽ trượt lên nhau, làm cho các lỗ rỗng bị lấp đầy và đẩy nước ra ngoài Ma sát giữa các hạt giúp đất giữ được cấu trúc, ngăn không cho nước thoát ra ngoài Nguyên nhân nước lỗng thoát ra ngoài là do nó bị nén kém hơn nhiều so với hạt đất Tốc độ thoát nước nhanh hay chậm phụ thuộc vào tính chất của từng loại đất Nếu điều kiện nhất định, nước lỗng sẽ thoát ra gần như hoàn toàn và tái phân phối tác động lên cấu trúc của các hạt đất Quá trình này được gọi là cố kết, và thời gian của quá trình cố kết trong đất lỏng khác nhau tùy thuộc vào từng loại đất Trong phạm vi luận văn này, cũng sẽ xem xét đến hiện tượng cố kết trong đất lỏng.

2.1.3 Các thí nghi m trong phòng xác đ nh đ c tr ng c h c c a đ t n n

Các tính chất cơ học của đất thí nghiệm được xác định thông qua các thí nghiệm trong phòng Trong phạm vi luận văn tốt nghiệp, học viên chủ yếu phân tích và quan hệ đến suất-biến dạng trong đất, với các thông số đặc trưng là lực dính c và góc ma sát Hai thí nghiệm trong phòng được đề cập là thí nghiệm cắt trực tiếp và thí nghiệm nén ba trục.

2.1.2.1 Thí nghi m c t tr c ti p (Shearbox test)

Thí nghiệm cắt trực tiếp là một phương pháp phổ biến hiện nay nhằm xác định các thông số đặc trưng cho tính chất cơ học của đất Đất được xử lý và đặt vào một hộp chứa mẫu, sau đó máy tiến hành thí nghiệm cắt ngang mẫu đất Máy sẽ được điều chỉnh tác động lên mẫu đất tại trọng N theo các cấp tải quy định Thí nghiệm kết thúc khi mẫu đất được cắt thành hai nửa, từ đó thu được ứng suất hư hỏng và ứng suất cắt.

 c a m u đ t đ c t́nh nh sau (xem Hình 2.3):

V i: A là di n tích ti t di n m t c t ngang c a m u đ t

Hình 2.3 a) H ng tác d ng c a t i trong thí nghi m c t tr c ti p; b) Bi n d ng m u đ t trong thí nghi m c t tr c ti p (Ngu n: [26]:pp.12)

Theo Hình 2.3.b, bi n d ng c t c a m u đ t đ c t́nh toán nh sau:

Bi n d ng theo ph ng đ ng hay bi n d ng th tích c a m u đ t:

Do trong thí nghi m này, đ t ch u nén nên bi n d ng th t́ch theo nh quy c chung c a C h c là âm (mang d u "")

2.1.2.1 Thí nghi m nén ba tr c (Triaxial test)

Thí nghiệm nén ba trục là phương pháp tiên tiến nhằm xác định các đặc trưng cơ học của đất, bao gồm lực dính và góc ma sát Trong thí nghiệm này, mẫu đất hình trụ được nén hoặc kéo dài theo kích thước của trục trong khi chịu tác động của một áp lực không đổi tại tâm Các biến động và áp lực trong mẫu được xác định là đồng nhất, có nghĩa là các áp lực chính theo phương ngang là giống nhau và được gọi là "áp lực bùn".

Hình 2.4 H ng tác d ng c a ng su t trong thí nghi m ba tr c ( 1 >  2 =  3 );

Hình 2.5 thể hiện kết quả thí nghiệm nén ba trục: a) Đối với thí nghiệm thoát nước trên mẫu cát, áp lực lấp đầy và biến dạng thể tích được ghi nhận; b) Trong thí nghiệm không thoát nước trên mẫu đất sét, áp lực lấp đầy và ứng suất được áp dụng là rất lớn.

Thí nghi m ba tr c đ c tr ng b i hai thông s ng su t l ch q và áp l c th y t nh p ' đ c xác đ nh nh sau:

Hai thông s trên r t quan tr ng trong tiêu chu n ch y d o Mohr–Coulomb

2.2 Lý thuy t v s c ch u t i đ t n n theo Terzaghi

Trong lĩnh vực xây dựng, sức chịu tải của nền đất được định nghĩa là giới hạn tối đa mà đất nền có khả năng chịu đựng Nền đất là nơi chịu lực chính trong công trình, vì vậy việc xác định sức chịu tải của nền đất là rất quan trọng trong thiết kế nhà và công trình, đảm bảo an toàn cho quá trình thi công và sử dụng.

Có ba d ng phá ho i đ t n n khi v t quá s c ch u t i (xem Hình 2.6):

Hình 2.6 mô tả các phương pháp phá hoại khi đất nền chịu quá sức chịu tải cho phép, bao gồm: a) Phá hoại có tính tổng quát; b) Phá hoại có tính cục bộ; c) Phá hoại có tính xuyên thấu.

Tr ng h p a) x y ra ph bi n nh t, ch y u x y ra v i đ t t t hay đá; tr ng h p c) x y ra v i cát r i; tr ng h p b) là k t h p gi a a) và c)

Công th c tính s c ch u t i c a đ t n n Terzaghi v i gi thi t n n đ t b ng ph ng, đ ng nh t, n đ nh và đáy ḿng ph ng S c ch u t i c c h n c a n n đ t có th xác l p b ng công th c gi i tích nh sau:

Ḿng b ng: q ult cN c qN q 0.5BN  (2.9) Móng vuông: q ult 1.3cN c qN q 0.3BN  (2.10)

Móng tròn: q ult 1.3cN c qN q 0.3BN  (2.11) Trong đ́:

 B: v i ḿng b ng l y b ng b r ng móng V i ḿng đ n, ḿng bè l y b ng ḱch th c bé nh t c a móng V i ḿng tròn là đ ng kính móng;

 : tr ng l ng riêng c a l p đ t d i đáy ḿng, có xét đ n đ y n i;

 q: ng su t do tr ng l ng b n thân (ć xét đ n đ y n i) và t i tr ng ban đ u; q = げD f (2.12)

げ : tr ng l ng trung bình các l p đ t n m trên đáy ḿng;

 N c , N q , N : h s s c ch u t i ph thu c góc ma sát trong  c a n n đ t)

FS: h s an toàn (l y FS = 2÷3) Th ng ch n theo c p và lo i công trình ho c tùy vào n n đ t là đ t dính (l y FS = 2) hay đ t r i (l y FS = 3) đây h c viên không đ c p đ n công th c tính toán s c ch u t i đ t n n theo

TCVN 9362:2012 – Tiêu chu n thi t k n n nhà và công trình vì công th c trong tiêu chu n thiên v an toàn, không phù h p xác đ nh s c ch u t i c c h n c a đ t n n

B ng 2.1 B ng tra Terzaghi cho các h s N c , N q , N theo giá tr góc ma sát trong c a n n đ t  (Ngu n: [25])

Ph ng pháp ph n t h u h n trong bài toán c h c v t r n bi n d ng

Xét phân t trong v t th ch u tác d ng c a ngo i l c b t kì, các thành ph n ng su t trong phân t (xem Hình 2.7) có th bi u di n d i d ng vector nh sau:

  x xy xz yx y yz zx zy z

G i u, v, w là chuy n v theo các tr c x, y, z (u  x v;  y w;  z) ng su t gây ra bi n d ng cho phân t , ma tr n bi n d ng c ng ć th bi u di n d i d ng vector nh sau:

  x xy xz yx y yz zx zy z

Các ph ng trình (2.18) còn g i là ph ng trình bi n d ng–chuy n v

Hình 2.7 Các thành ph n ng su t theo các h ng không gian ba chi u

Các ph ng trình cân b ng n i:

 x yx zx x xy y zy y xz yz z z x y z F x y z F x y z F

Trong đ́: F x , F y , F z là các l c th tích

M i liên h gi a ng su t–bi n d ng hay còn g i là ph ng trình v t li u:

Trong đ́: D là ma tr n v t li u

Trong phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), bước đầu tiên là chia hình dạng vật thể thành các phần tử, trong đó phần tử đầu tiên được gọi là phần tử hữu hạn Loại phần tử, số lượng và cấu tạo được chọn sao cho gần giống với hình dáng ban đầu của vật thể được chia nhỏ Các phần tử liên kết với nhau tại các nút, và nút là các điểm quan trọng được xác định trong phân tích bài toán FEM Các phần tử sử dụng phương pháp biến đổi.

1 Ph n t c b n: ph n t tam giác ba nút (T3), ph n t t giác b n nút (Q4)

2 Ph n t c i ti n: ph n t tam giác sáu nút (T6), ph n t t giác tám nút (Q8), ph n t t giác chín nút (Q9)

Hình 2.8 M t s ph n t s d ng ph bi n trong phân tích ph n t h u h n

Sau khi hoàn thành công tác tối ưu hóa, việc áp dụng điều kiện biên cho các nút là rất quan trọng Các nút áp dụng điều kiện biên có thể ảnh hưởng đến toàn bộ chuyển vị và tính toán Hình 2.9 minh họa quy trình rút gọn hóa miền tính toán và áp dụng điều kiện biên, trong đó ký hiệu ô vuông đại diện cho điều kiện biên cho chuyển vị theo phương x và phương y, còn ký hiệu ô tròn biểu thị điều kiện biên cho chuyển vị theo phương x tại các nút.

Hình 2.9 R i r c hóa mi n tính toán trong phân tích ph n t h u h n áp d ng đi u ki n biên: a) S d ng ph n t t giác; b) S d ng ph n t tam giác

2.3.3 Các ph ng trình c b n trong bài toán ph n t h u h n

T a đ và chuy n v c a m t đi m b t kì trong ph n t thông qua chuy n v nút đ́ bi u di n nh sau:

  x e và   y e là t a đ đi m b t kì trong ph n t theo các ph ng;

   u e và    v e là chuy n v đi m b t kì trong ph n t theo các ph ng; T́nh toán đ o hàm đ xác đnh các ma tr n

Mỗi loại hình khác nhau sẽ có các hàm dụng khác nhau Trong luận văn này, học viên sẽ sử dụng phần tử tứ giác tám nút (Q8) để phân tích bài toán phương nên học viên sẽ trình bày các công thức liên quan đến phần tử này.

H c viên kí hi u nh sau:

  , là vector chuy n v t i đi m b t kì thu c ph n t (2.22) f   

F , là vector l c th tích t i đi m b t kì thu c ph n t (2.23)

, là ma tr n đ o hàm riêng theo bi n x, y (2.24) a đ o hàm riêng t h t a đ t nhiên sang h t a đ Descartes: x y x x x y y y

V i: J là ma tr n Jacobi (ma tr n chuy n đ i đ o hàm riêng t h t a đ t nhiên sang h t a đ Descartes):

Vector đ o hàm riêng trong h t a đ Descartes:

T công th c (2.21), xác đ nh vector chuy n v t i đi m b t kì nh sau: e Nq (2.28)

D a vào quan h gi a bi n d ng – chuy n v :

B = AN là ma trận biến động chuyển v, tính đạo hàm riêng của hàm động Áp dụng nguyên lý lên toàn phần hàm động hay nguyên lý biên phân v chuyển v Thận ng toàn phần xác định như sau:

A là công c a ngo i l c sinh ra trên chuy n d i c a ngo i l c do bi n d ng:

Trong đ́:   g là l c kh i,   p là l c m t trên các chuy n v q T

U là th n ng bi n d ng c a v t th t́ch l y:

Theo k t qu t đnh lu t Hooke, ta có ma tr n đ c ng ph n t :

Bài toán ng su t ph ng:

Bài toán bi n d ng ph ng:

S d ng tích phân Gauss v i các đi m Gauss dùng cho ph n t t giác:

Hình 2.10 S đi m Gauss trong ph n t : a) Tích phân 22 đi m Gauss; b) Tích phân 33 đi m Gauss

B ng 2.2 B ng tra s đi m Gauss và tr ng s dùng trong ph n t t giác

Hình 2.11 Ph n t tám nút trong h t a đ Descartes và h t a đ t nhiên – Trong ph n t t giác b n nút, các ma tr n và vector đ c tr ng:

N là ma tr n hàm d ng Q4 (2.39)

Trong đ́: các hàm d ng trong ph n t b n nút:

Ma tr n đ o hàm riêng hàm d ng theo bi n x, y:

Có th tham kh o thêm các d ng ph n t khác trong tác ph m [27].

Tiêu chu n ch y d o Mohr–Coulomb

2.4.1 Lý thuy t tiêu chu n ch y d o Mohr–Coulomb

Trong lĩnh vực vật liệu, người ta phân loại thành hai nhóm chính: vật liệu dẻo (ductile materials) và vật liệu giòn (brittle materials), cùng với vật liệu nhựa (plastic materials) ít phổ biến hơn Vật liệu dẻo có khả năng biến dạng mà không bị gãy, trong khi vật liệu giòn dễ dàng gãy ngay khi đạt đến ngưỡng biến dạng tối thiểu Tiêu chuẩn phá hủy áp dụng cho vật liệu giòn thường là tiêu chuẩn chịu kéo Mohr–Coulomb, trong khi vật liệu dẻo có thể chịu nén và kéo đồng thời hoặc gần như đồng thời.

V t li u giòn ć c ng đ ch u nén l n h n khá nhi u so v i c ng đ ch u kéo

Hình 2.12 Các đ ng cong quan h ng su t–bi n d ng c a các d ng v t li u

Hình 2.13 C ng đ ch u nén và c ng đ ch u kéo gi i h n c a v t li u giòn

Tiêu chuẩn chịu dọc Mohr–Coulomb là một trong những mô hình địa chất được sử dụng phổ biến nhất để mô phỏng ứng xử của vật liệu đất Trong không gian ứng suất chính, các bề mặt chịu dọc giao nhau tạo thành một hình lăng trụ kim tự tháp và một mặt cắt ngang hình lăng trụ không đỉnh trong một phương ứng suất lệch (deviatoric).

Trong các thí nghiệm vật liệu, việc đo đạc độ phá hoại của vật liệu trong thí nghiệm kéo-nén là dễ dàng hơn so với thí nghiệm nén ba trục, do thí nghiệm nén ba trục liên quan đến sự tác động phức tạp của tải trọng và áp lực Điều này tạo ra biến động cho vật liệu, làm cho việc dự đoán độ phá hoại trở nên khó khăn hơn Tóm lại, ma trận ứng suất phần tử là một yếu tố quan trọng trong việc phân tích hành vi của vật liệu dưới tác động của tải trọng.

 (sigma mean) là ng su t trung bình; (2.43)

S d là ma tr n ng su t l ch;

T đ́ ta ć khái ni m m t ph ng ng su t l ch (deviatoric plane) là m t ph ng pháp tuy n v i tr c ng su t th y t nh p ' ( 1  2  3 )

Tiêu chu n ch y d o Mohr–Coulomb cho r ng phá ho i v t li u x y ra n u ng su t trong v t li u v t giá tr ng su t gi i h n V i ng su t  x ,  y ,  z ,

Trong nghiên cứu địa chất, các giá trị xy, yz, zx được xác định trên bất kỳ một cụm phương ngang nào với góc α trên mặt phẳng của phần tử Khi biểu diễn kết quả trên vòng tròn Mohr, chúng ta có thể thấy sự xuất hiện của các vòng tròn Mohr trong trường hợp thí nghiệm nén ba trục hoặc thí nghiệm phá hoại Điều này dẫn đến việc thiết lập đường giới hạn phá hoại Mohr–Coulomb, với phương trình đặc trưng cho mối quan hệ này.

Trong đ́: c là l c dính, chính là kho ng cách t đi m giao nhau gi a đ ng gi i h n phá ho i Mohr–Coulomb và tr c tung ng su t ti p đ n g c (0; 0);

 là góc ma sát trong, góc h p b i đ ng gi i h n phá ho i Mohr–Coulomb và tr c hoành ng su t pháp;

 n là giá tr ng su t pháp trên m t phá ho i, l u ý giá tr d ng cho ng su t kéo và âm cho ng su t nén;

Hình 2.14 Vòng tròn Mohr ng su t v i tiêu chu n ch y d o Mohr–Coulomb

D a theo Hình 2.14, công th c (2.44) có th vi t l i theo ng su t chính l n nh t  max và nh nh t  min nh sau:

      max min cos max min max min sin tan

Rút g n, chuy n v (2.45) ta thu đ c công th c:

Hay có th vi t l i d i hàm d o (hay hàm ch y d o) nh sau:

L u ý:tr ng h p bài toán ć xét đ n tr ng h p t ng b n, l c dính c không ph i h ng s mà là m t hàm theo  p là c    p Áp d ng đi u ki n  1  2  3 , ta có th vi t l i công th c (2.47) nh sau:

V i  1 ,  2 ,  3 là các ng su t theo ph ng ch́nh, ta ć th vi t l i (2.48) thành 6 hàm nh sau:

Nayak và Zienkiewicz trong nghiên c u c a h [5] đ a ra ć đ c p đ n các bi n ng su t C hai đ u là nh ng nhà nghiên c u tiên phong áp d ng tiêu chu n

Chương 2 trình bày cơ sở lý thuyết về mô hình Mohr–Coulomb kết hợp với phương pháp toán học trong giải quyết các bài toán độ bền vật liệu Các biến ngẫu nhiên được định nghĩa chung cho tất cả các mô hình phổ biến như Tresca, von Mises, Drucker–Prager, và Mohr–Coulomb Trong đó, các ngẫu biến σ1, σ2, σ3 trong công thức (2.48) là các ứng suất theo phương chính, với điều kiện σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, và có thể được xác định theo công thức đã nêu.

Trong đ́, các bi n ng su t đ c đ nh ngh a nh sau:

3 det x yx zx xy y zy xz yz z s

Ta có th vi t l i hàm ch y d o theo các bi n ng su t trên:

2 sin sin sin cos cos

Bi n d ng trong v t th bao g m bi n d ng đàn h i và bi n d ng d o Trong đ́ bi n d ng đàn h i tuân theo đ nh lu t Hooke, còn ph n bi n d ng d o tuân theo đnh lu t ch y d o k t h p:

B ng 2.3 Các h s C 1-3 trong vector pháp tuy n n

T n, ta t́nh đ c gia s ng su t trong bài toán l p, trong đ́ c n tìm đ o hàm ntheo , kí hi u  n

 s xu t hi n suy bi n do m t vài tham s xu t hi n

  cos 3 d i m u s hay tan 3 không xác đ nh khi góc  = 30 o

Xét trên m t ph ng  1 –2, m t ch y d o Mohr–Coulomb s c t các tr c t i :

Hình 2.15 M t ch y d o Mohr–Coulomb trong không gian ng su t chính

Hình 2.16 M t ch y d o Mohr–Coulomb trong: m t ph ng  1 – 2

Hình 2.17 M t ch y d o Mohr–Coulomb trong m t ph ng ng su t l ch

M t ph ng ng su t l ch là m t ph ng bi u di n m t ch y d o theo h ng c a ng su t chính, v i m t ch y d o Mohr–Coulomb là m t hình l c giác

2.4.2 Góc giãn n  và hàm th n ng d o

Hàm d o đ c bi u di n d i d ng công th c (2.48)

Hàm thể năng động được xác định bởi hàm độ, như thể hiện trong Hình 2.14, với vector biến đổi độ dọc  p vuông góc với mặt phẳng y độ Khi hàm độ trùng với hàm thể năng động (f  g), vector  p sẽ hợp với mặt độ một góc   Tình huống này dẫn đến việc duy trì trạng thái y độ, thể tích duy trì ổn định cùng với sự biến đổi của hệ thống.

Chương 2 Cơ sở lý thuyết về gian tĩnh ngẫu suất pháp theo hướng nén (Δε v p < 0) do bản điều này là vô lý, vì trong thực tế thí nghiệm có chất và sét quá cứng sẽ không đạt được thể tích khi phá hủy Tuy nhiên, biên dạng thể tích cần được điều chỉnh về 0 Do đó, chúng ta phải thiết lập hàm thể năng dọc khác hàm dọc Trong hàm thể năng dọc, góc giãn n ψ được sử dụng thay thế cho góc ma sát trong φ Ta có ba trường hợp.

1 Khi  0, vector  p ć ph ng th ng đ ng Khi đ́,  v p 0, ngh a là không x y ra bi n d ng th tích

2 Khi   , v i góc giãn n  càng nh ,bi n d ng th tích nh

3 Khi   , đã phân t́ch trên

Góc giãn n ψ là một đặc tính quan trọng của vật liệu trong việc sử dụng các mô hình vật lý để giải bài toán chuyển động biên dạng Góc giãn n ψ thể hiện độ giãn nở giới hạn của mô hình, đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính chất biên dạng thực tế đối với biên dạng cụ thể, cùng với góc ma sát φ trong việc quyết định tính chất thay đổi của biên dạng cụ thể với ngẫu lực trung bình.

Trong tr ng h p này, ta ph i áp d ng đ nh lu t ch y d o không k t h p và tính vector pháp tuy n t i v trí m t ch y d o cho hàm th n ng d o m: p  g 

V i: là h s ch y d o; g là hàm th n ng d o, thu đ c b ng cách thay th góc ma sát  b ng góc giãn n  trong các ph ng trình (2.49), thu đ c:

Ngoài ra hàm th n ng d o có th vi t l i b ng cách dùng các b t bi n và thay góc ma sát  b ng góc giãn n  nh sau:

Góc giãn n  là m t h ng s trong mô hình Mohr–Coulomb và m t vài mô hình khác, theo manual c a Plaxis, góc giãn n  đ c xác đnh nh sau:

1 Khi góc ma sát trong 30 o hay

 :  0, khi đ́ ta s d ng đ nh lu t ch y d o k t h p gi i bài toán v bi n d ng d o

2 Khi góc ma sát trong  30 o hay

  , khi đ́ ta s d ng đ nh lu t ch y d o không k t h p gi i bài toán v bi n d ng d o

Trong nghiên cứu năm 2009 của Junior Maranha và Maranha das Neves tại Đại học Bách khoa Lisbon, các tác giả đã đề xuất các phương pháp xác định góc giãn n ψ thông qua kết quả thí nghiệm trong phòng Bài viết trình bày kết quả nghiên cứu của họ với hai thí nghiệm phổ biến: thí nghiệm nén ba trục và thí nghiệm cắt trục tiếp với đất thoát nước.

Thí nghi m nén ba tr c:

Góc giãn n trong thí nghi m nén ba tr c bi u di n thông qua đ ng cong quan h bi n d ng th tích  v và bi n d ng d c tr c  a Trong trình bày c a hai

Chương 2 Cơ sở lý thuyết 49 tác giả, giá trị sức hút hiểu hay ngữ sức pháp quy có giá trị nén mang đầu dương Theo điều kiện thí nghiệm, σ2 = σ3 và với thông số lực dính c và góc ma sát trong φ, hàm dọc thu gọn còn hai phương trình.

Trong hệ phương trình, σ1 đại diện cho ứng suất chính lớn nhất, σ3 là ứng suất chính nhỏ nhất, và σ2 là ứng suất chính trung gian Tổng ứng suất được xác định thông qua hàm liên quan đến góc ma sát φ và góc giãn n ψ.

Khi hai ng su t chính b ng nhau, ng su t n m trên c nh c a kim t tháp Khi đ́ đ nh lu t ch y d o không k t h p tính gia s bi n đ ng d o nh sau:

Sự gia tăng biên độ động do sự thay đổi trạng thái các hệ số chảy dọc băng nhau Mỗi trạng thái chảy dọc được xác định một cách chính xác trong bối cảnh nghiên cứu Trong cách 1, biên độ động theo hướng σ2 bằng 0, trong khi trong cách 2, biên độ động theo hướng σ3 bằng 0.

Giải ràng khi phá hoại, ngưỡng không đổi và biến dạng đàn hồi là không đáng kể so với biến dạng dẻo Tất cả biến dạng dẻo của biến dạng thể tích so với biến dạng dẻo được trích trong mô hình Mohr–Coulomb được xác định như sau:

T công th c trên, ta th y góc giãn n  không ph thu c vào các h s ch y d o  và do đ́, c ng không ph thu c vào h ng gia t ng bi n d ng d o Giá tr c a d d v a

Trong thí nghiệm nén ba trục, kết quả cho thấy rằng ứng suất theo công thức (2.77) là âm Mối quan hệ giữa biến dạng thể tích và biến dạng dọc trong thí nghiệm với đất có giãn được mô hình hóa bằng mô hình Mohr-Coulomb, như được thể hiện trong Hình 2.19.

Hình 2.18 nh lu t ch y d o không k t h p trong m t ph ng ng su t l ch v i thí nghi m nén ba tr c (Ngu n: [29], pp.148)

Hình 2.19 K t qu thí nghi m nén ba tr c v i đ t có giãn n , đ ng liên t c là đ ng ph c a mô hình Mohr-Coulomb

T k t qu thí nghi m nén ba tr c, thu đ c giá tr c a d d v a

 có th tính giá tr góc giãn n  nh sau: d arcsin d d 2 d

Trong thí nghiệm m c t tr c ti p, các thành phần ng su t t ng t bài toán ph ng chỉ còn lại ba thành phần ng su t là  x,  y và  xy Khi đó, định luật chảy d o không kết hợp cho ra kết quả vector pháp tuyến tại vị trí m t ch y d o cho hàm thân ng d o m nh, phụ thuộc vào góc Lode .

Khi x y ra phá ho i, đ t đ t tr ng thái n đ nh và ng su t không đ i n a, khi đ́ gia s bi n d ng đàn h i b ng 0, gia s bi n d ng d o là gia s bi n d ng t ng d  0 d e  0 d d p d g

Ph ng pháp gi i l p và ph ng pháp h i t

Mối quan hệ phi tuyến trong phân tích bài toán cơ học đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu rõ các hiện tượng phức tạp Tính phi tuyến được biểu hiện qua sự phụ thuộc của các hệ số phương trình vào nghiệm của chính nó hoặc dạng hình thức tích, lấy theo các biến số và các đạo hàm của chúng Hai dạng phi tuyến chính thường sử dụng trong phân tích phần tử hữu hạn là phi tuyến vật liệu, liên quan đến mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng, và phi tuyến hình học, liên quan đến biến dạng lớn, chuyển vị lớn, và tích hoặc lấy theo các số trong phương trình Do đó, khi xem xét bài toán phi tuyến vật liệu, mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng luôn là hàm phi tuyến.

Phương pháp giải lập được hiệu quả là phương pháp tìm giá trị đúng với sai số chấp nhận Trong phân tích phần tử hữu hạn, có hai phương pháp lập chính để mô hình hóa tính phi tuyến tính của vật liệu Phương pháp thứ nhất, được gọi là "phương pháp constant stiffness" (phương pháp độ cứng không đổi), cho phép các biến động bằng nhau tại các bước, với ma trận độ cứng không thay đổi trong quá trình giải lập Phương pháp này phù hợp với các vật liệu phi tuyến mà không yêu cầu các đặc tính vật liệu quá phức tạp Ngược lại, phương pháp thứ hai, "phương pháp tangent stiffness" (phương pháp độ cứng tiếp tuyến), cho phép các biến động khác nhau tại các bước và điều chỉnh độ cứng vật liệu khi xảy ra sự cố.

Hình 2.20 Ph ng pháp đ c ng không đ i

Hình 2.21 Ph ng pháp đ c ng ti p tuy n

Trong luận văn này, học viên sẽ áp dụng phương pháp độc đáo để mô hình hóa tính phi tuyến tính của vật liệu Đồng thời, kết hợp với phương pháp lặp 'implicit' trong giải các phương trình vi phân thay vì phương pháp lặp hiện tại.

Phương pháp lập 'explicit' tính toán trạng thái của biến hay đường đi tại thời điểm hiện tại, trong khi phương pháp lập 'implicit' tìm nghiệm bằng cách giải phương trình liên quan đến trạng thái hiện tại và trạng thái kế tiếp Việc áp dụng phương pháp lập 'explicit' và 'implicit' vào phương pháp Euler giúp giải quyết các phương trình vi phân thông qua giá trị ban đầu cho trước.

D ng c a ph ng trình vi phân thông th ng (ODE):

Ph ng pháp forward–Euler:

Ph ng trình (2.88) đ c vi t l i nh sau:

Ph ng pháp backward–Euler:

Ph ng trình (2.90) đ c vi t l i nh sau:

Phương pháp Euler được chia thành hai loại: 'explicit' và 'implicit', trong đó phương pháp forward–Euler thuộc loại 'explicit' và backward–Euler thuộc loại 'implicit' Tác giả Crisfield đã áp dụng phương pháp Euler vào tích hợp cùng định luật chuyển động cho ra hiệu quả cao hơn khi sử dụng phương pháp backward–Euler, đặc biệt trong việc xử lý các tình huống với tải trọng giảm dần Phương pháp backward–Euler return được phát triển nhằm sử dụng các vector tải trọng và giúp cải thiện độ chính xác trong việc phân tích kết quả, như được minh họa trong Hình 2.22.

Hình 2.22 K t qu ví d s minh h a s khác bi t gi a ph ng pháp forward–

Euler và backward–Euler: a) Tính toán t a đ giao đi m; b) forward–Euler b c A, C và tr v D; c) Tr ng h p dùng hai b c gia s ; d) Tr v b ng ph ng pháp backward–Euler

Phương pháp backward–Euler là một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến trong triển khai trạng thái giới hạn của vật liệu Phương pháp return mapping được xem là một sự mở rộng của phương pháp backward–Euler, áp dụng cho các trường hợp mà vật liệu chịu tải giao nhau không 'tròn', như trong các tiêu chuẩn Mohr–Coulomb và Tresca.

Ch ng 2 C s lý thuy t 57 nh m m c đ́ch tích phân ng su t d a trên gia s bi n d ng trong tính toán ph n t h u h n v i v t li u đàn–d o

Trong nghiên cứu của mình, tác giả Clausen đã giải thích phương pháp return mapping theo hướng nguyên bản Phương pháp này áp dụng điều kiện mô hình cấu thành để xem xét điểm đàn hồi tính đến trạng thái dọ hoàn toàn Các phương trình dạng truyền thống được sử dụng cho triển khai trục suất trả lại một cách chính xác, nhằm giao điểm của hai bề mặt chảy sẽ được đưa ra.

Bi n d ng và gia s bi n d ng g m hai ph n, ph n đàn h i và ph n d o:

Khi v t li u đ t đ n gi i h n ch y d o, xu t hi n bi n d ng d o:

Tính toán gia s ng su t theo đ nh lu t Hooke:

 e e  e  p (2.94) i v i bài toán ph n t h u h n, t́ch phân thu đ c ph n gia s ng su t:

Công th c (2.88) có th vi t l i nh sau:

C  A   là ng su t c p nh t trên m t ch y d o; (2.97)

B  A  e là ng su t gi đnh ngoài m t ch y d o; (2.98)

Tóm l i, k t qu đ o hàm c a hàm th n ng cho ra gia s bi n d ng d o (xem l i đ nh lu t Koiter và tham kh o Hình 2.23) Tính ng su t d o b ng tích phân:

Công th c (2.99) th ng đ c x p x b i công th c:

Công th c (2.100a) dùng đánh giá ng su t c p nh t C , công th c (2.100b) dùng đánh giá ng su t gi đ nh B

Hình 2.23 Nguyên lí c a ph ng pháp return mapping

Phương pháp backward–Euler đã gặp khó khăn khi áp dụng vào tiêu chuẩn chảy Mohr–Coulomb, dẫn đến việc cần sử dụng phương pháp return mapping như được giới thiệu trong tác phẩm của de Souza Neto, Perić và Owen [20] Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về phương pháp return mapping và cách thực hiện tính toán trên máy tính.

Ph ng pháp return mapping theo l p n (implicit) v i m t ch y d o Mohr– Coulomb trên g m b n tr ng h p tr ng su t v các v trí khác nhau trên m t ch y d o (G là shear (c t) modulus, B là bulk (kh i) modulus):

1 ng su t c p nh t tr v n m trên m t ch y d o (m t tr n) Tr ng h p này xác đnh h ng s :

2 ng su t c p nh t tr v n m trên c nh ph i Tr ng h p này c n xác đnh h ng s :

2 1 sin sin 1sin sin 4 sin sin

3 ng su t c p nh t tr v n m trên c nh trái Tr ng h p này c n xác đnh h ng s :

2 1 sin sin 1sin sin 4 sin sin

4 ng su t c p nh t tr v n m trên đ nh kim t tháp Tr ng h p này x y ra bi n d ng th tích, h ng s  

Các h ng s dùng xác đ nh gia s bi n d ng d o, c th xem thu t toán

Hình 2.24 Return mapping tr ng h p tr v c nh

Hình 2.25 Return mapping tr ng h p tr v đnh

Các tác gi c ng xây d ng thu t toán có xét đ n h s tái b n Hardening hay còn g i là h s t ng c ng

Hình 2.26 Các giai đo n ng x c a v t li u

Trong nghiên cứu, học viên áp dụng phương pháp độc đáo tiếp cận kết hợp với phương pháp mapping theo hướng lặp lại (implicit) nhằm mục đích khảo sát Mohr–Coulomb trên nền đất trong trường hợp ứng suất và các vị trí khác nhau trên nền đất.

Ph ng pháp gi i h ph ng trình phi tuy n

2.6.1 Ph ng pháp Newton–Raphson

Phương pháp Newton–Raphson, còn gọi là phương pháp tiếp tuyến, là một kỹ thuật hiệu quả để giải các phương trình và hệ phương trình phi tuyến Phương pháp này được mô tả bằng cách sử dụng các đạo hàm để tìm nghiệm gần đúng.

Hàm s f x   xác đ nh và ć đ o hàm đ n c p n1 t i giá tr bi n x 0 và vùng lân c n c a x 0 Gi s x là nghi m đúng c a (2.101), còn x n là nghi m x p x t i b c l p th n t: xx n  x n , theo khai tri n Taylor:

N u x n thì công th c (2.107) có th vi t l i nh sau:

T đ́ ta ć công th c l p Newton–Rapshon nh sau:

   (2.111) ng d ng ph ng pháp vào bài toán c h c bi n d ng: quan h gi a chuy n v và t i tr ng:

Trong đ́ vector g đ c xem nh vector l c cân b ng, khi v t th đ t đ n tr ng thái cân b ng thì g0

Ma tr n đ c ng ti p tuy n: t d

Hình 2.27 Ph ng pháp Newton–Raphson

Ph ng pháp Newton–Rapshon khá đ n gi n, k t qu h i t ch́nh xác nh ng khi g p d ng đ th t ng chuy n v l c không t ng n a hay nh d ng đ ng cong

"snap–through", "snap–back", "brittle collapse", ductile collapse" trong Hình 2.28 ph i s d ng ph ng pháp arc–length

2.6.2 Ph ng pháp arc–length

Hình 2.28 D ng đ ng cong "Snap–through", "Snap–back", "Brittle collapse",

"Sụp đổ dẻo" là quá trình xây dựng đường cong quan hệ giữa trạng thái và chuyển vị, xác định các điểm giới hạn và phân nhánh, với vector tại trạng thái được thay thế bằng vector điều chỉnh p e, trong đó p là tham số điều chỉnh tại trạng thái, và p e là vector tại trạng thái đã được xác định.

Ph ng trình quan h gi a chuy n v và t i tr ng vi t d i d ng c p t i:

Nghiên cứu phương pháp điều khiển theo tài nguyên dựa vào phương trình vector chuyển động (2.116) giúp xác định vị trí động cần thiết cho hệ thống Tuy nhiên, trong quá trình này, chúng ta cần chú ý đến việc áp dụng các công cụ điều khiển phù hợp để đạt hiệu quả tối ưu.

Trong nghiên cứu về các hiện tượng như "snap–through", "brittle collapse" và "ductile collapse", chúng ta cần xác định các điểm quan trọng trong phương pháp điều khiển theo chuyển vị Đặc biệt, việc đánh giá vectơ chuyển vị q và các biến đổi liên quan là cần thiết để hiểu rõ hơn về hiện tượng "snap–back" Để khắc phục các hiện tượng này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp acr-length, dựa trên các nghiên cứu ban đầu của Riks và Wempner Trong đó, việc tính toán giao điểm sẽ được thực hiện thông qua công thức s = ∫ ds, với đ dài cung được xác định rõ ràng.

Tham s  đ c đ a vào nh h s t h p trong các t h p khác nhau gi a t i tr ng và chuy n v Ph ng trình (2.116) vi t l i khi có thông s s:

  s  f i    s   s e 0 g q p (2.119) i v i ph ng pháp acr–length, thay th vi phân (2.117) b ng gia s :

Với bán kính cắt của giao điểm mong muốn là V i l, ta cần xác định vector q và gia số hạng cục bộ tại  Bằng cách áp dụng phương pháp lặp Newton-Raphson cho các phương trình (2.119) và (2.120), chúng ta có thể xác định chính xác các giá trị của q và .

Thay vì s d ng ph ng trình (2.121), m t cách khác đ n gi n h n đ xác đnh  i và q i đ c đ xu t b i Crisfield [31] g i là ph ng pháp spherical arc–length C th s d ng ph ng trình đ u c a (2.121) ta thu đ c:

Trong công th c trên n là  i , do đ́ công th c (2.122) dùng xác đ nh q i 1 c ng thì n c ng ch là  i T đ́ d a vào đi u ki n (2.120), ta đ c:

T (2.124) và (2.125), ta suy ra ph ng trình b c hai xác đ nh  i nh sau:

Trong nghiên cứu của Crisfield [31], giá trị ψ được xác định để tối ưu hóa tính toán, nhằm tránh hiện tượng trùng lặp (doubling back on its tracks) Crisfield đã đề xuất một công thức giải để đánh giá giá trị góc tại điểm tối thiểu giữa Δq_i và Δq_{i+1}, từ đó tính toán giá trị góc cosin một cách hiệu quả.

Hình 2.29 Ph ng pháp spherical arc–length

L u đ ph ng pháp arc–length:

Ma tr n modulus ti p tuy n t ng th́ch

Ma tr n modulus ti p tuy n t ng th́ch liên quan đ n tính toán gia s ng su t và bi n d ng d o trong bài toán c h c

D ep (2.131) ti p tuy n v i m t ch y d o và đ m b o gi i h n tiêu chu n ch y d o,

D ep ph i theo h ng pháp tuy n v i m t ch y d o, t c cùng h ng v i  f n  ep 0

Gia s ng su t trong công th c (2.131) d a vào (2.132) và (2.92), k t h p v i

(2.57), ta có th vi t l i công th c tính gia s ng su t và suy ra h qu :

Trong nghiên cứu về các phương pháp hồi tiếp dòng Euler áp dụng cho các tiêu chuẩn chạy dọc, chúng ta đã phát triển khái niệm ma trận modulus tiếp tuyến nhằm đảm bảo toàn cục độ hồi tiếp D_epc Clausen và các cộng sự đã sử dụng phương pháp hình học để tính toán ma trận D_epc, giúp tối ưu hóa quá trình này.

Trong đ́: T là ma tr n bi n đ i c i ti n

 có th tính b ng ma tr n chuy n đ i A (xem(2.148)) Ta có th vi t l i (2.135) nh sau:

Trong quá trình gia tăng năng suất, việc xác định các định thức đúng hàm trong trục chính sang trục tự nhiên là rất quan trọng Điều này có thể được thể hiện một cách trực quan thông qua hình học, như minh họa trong Hình 2.30.

N u t ng c p h tr c trong các h tr c xyz và xげyげzげ th ng hàng, thì tensor c a các góc gi a các tr c t a đ ,  ij 0 :

Tensor bi n đ i t ng ng:A ij 0 cos ij 0  ij 0 (2.138)

Hình 2.30 Góc gi a các tr c t a đ trong m t h t a đ xoay r t nh quanh tr c z v i góc dz (Ngu n: [21], pp.1048)

Khi góc  ij 0 thay đ i m t giá tr nh theo ph ng tr c z là d ij z , tensor bi n đ i nh sau:

T ng t v i tr c x và y thu đ c tensor bi n đ i nh sau:

Gia s bi n đ i trong tensor chuy n đ i xác đ nh nh sau:

Hình 2.31 Vi phân c a tr ng thái ng su t minh h a b i các vòng tròn c a

B ng cách ki m tra các vòng tròn c a Mohr, ng i ta th y r ng d z có liên quan đ n vi phân ng su t c t, d xy nh sau:

T ng t áp d ng cho d x và d y :

 trong công th c (2.136) l n l t xác đ nh nh sau:

(s thay đ i góc  không nh h ng đ n đ o hàm riêng Atheo ng su t pháp)

Th (2.144), (2.145), (2.146), (2.147) vào (2.136), ta đ c ma tr n T:

Do T là ma tr n chéo nên b qua v n đ A hay A T (ma tr n chuy n v trí) Ngoài ra, có th dùng ph ng pháp tr riêng và vector riêng xác đ nh ma tr n T

N u c ba ng su t chính b ng nhau thì T là ma tr n đ n v 66.

Công th c chuy n đ i theo h t a đ

Ma tr n hay tensor chuy n đ i h tr c toa đ A ij có d ng:

Trong bài toán này, các phần tử là cosin giữa hai hướng chính Ví dụ, cos(ψxy') thể hiện góc giữa trục y' và trục x Nếu hệ tọa độ xyz được định nghĩa với các hướng ngẫu nhiên, thì các cột của ma trận Aij chính là các vector riêng của bài toán giá trị riêng ngẫu nhiên Một công thức chuyển đổi tensor hoặc vector từ hệ tọa độ xyz sang hệ tọa độ mới được đưa ra như sau: v'i' = A v Công thức này áp dụng cho việc chuyển đổi ngẫu nhiên hoặc biến đổi.

Trong đ́: A là ma tr n chuy n đ i (còn đ c kí hi u là T e )

Ta có th tính ma tr n modulus ti p tuy n t ng th́ch, đ c bi n đ i nh sau: ep T ' ep

D = A D A hay D ' ep AD A ep T (2.154) epc T ' epc

Hình 2.32 H t a đ xyz và x’y’z’ (Ngu n: [21], pp.1058)

Chương 2 trình bày cơ sở lý thuyết về thực viên tham khảo trong thực hiện luận văn, tập trung vào phương pháp return mapping theo hướng lặp n (implicit) với mặt chảy dở Mohr–Coulomb trên nền tảng hợp trục suất và các vị trí khác nhau trên mặt chảy dở kết hợp với ma trận modulus tiếp tuyến thích ứng, giúp giảm thời gian phân tích Tác giả đã đề xuất phương pháp riêng cho ra thuật toán giải quy tắc vật lý ban đầu Chi tiết cụ thể sẽ được trình bày rõ hơn trong chương 3.

Ch ng 3 Ph ng pháp đ xu t 73

CH NG 3 PH NG PHÁP XU T

Chương 3 giới thiệu phương pháp đề xuất và thuật toán xử lý vấn đề đặt ra ban đầu dựa trên cơ sở lý thuyết Kết hợp phương pháp return mapping vào trong trường hợp trượt và vị trí gần một chùy dọc, cùng với công thức cải tiến của ma trận modulus tiếp tuyến thích ứng.

Ph ng pháp đ xu t và gi i thi u thu t toán x lý

Chúng tôi đã phân tích, trong quá trình nghiên cứu, ngữ suất giá trị là một yếu tố quan trọng và cần được phân phối trên bề mặt chất rắn Trong giai đoạn này, ngữ suất và vật liệu đang được nghiên cứu, vì vậy các biến động cần được tính toán Việc tính toán biến động này phụ thuộc vào việc chọn giá trị từ các phương trình vi phân và đạo hàm của hàm liên quan, công thức chung được đưa ra bởi Vermeer (1979).

N u 0, ph ng pháp l p đ c g i là 'explicit';

N u 1, ph ng pháp l p đ c g i là 'implicit'

Thu t toán return mapping đ xu t:

(Gi đ nh tr ng thái đàn h i T bi n  t i b c th n, tính toán các giá tr liên quan tr ng thái đàn h i) trial

 1 n   1 ,  2 ,  3 ( a ng su t v d ng ng su t chính, v i:  1  2  3 )

If f trial 1 trial 3 trial   1 trial 3 trial sin  2c  n p  1 trial cos  0

Else (Plastic loading, using return mapping)

If (xem thu t toán case 1)

Then Return is valid And EXIT Elseif (xem thu t toán case 2,3)

Then Return is valid And EXIT Else (xem thu t toán case 4) trial

 (c p nh t ng su t t i b c sau và bi n d ng đàn h i)

Ch ng 3 Ph ng pháp đ xu t 75

          trial trial trial trial trial

Do (Newton–Raphson method for )

(H ng s a xem công th c (2.101)) trial

(Check for convergence – ki m tra s h i t )

          trial trial trial trial trial

Right edge: f b trial    1 trial   2 trial     1 trial   2 trial  sin     2 c    n p cos   

Left edge: f b trial    2 trial   3 trial     2 trial   3 trial  sin     2 c    n p cos   

Do (Newton–Raphson method for )

(H ng s a, b xem công th c (2.102), (2.103)) trial 1 trial d   

(Check for convergence – ki m tra s h i t )

 1 trial 3 trial   1 trial 3 trial sin  2    1 cos 

Right edge:  1 trial  2 trial   1 trial  2 trial sin   2    1 cos  

Left edge:  2 trial  3 trial   2 trial  3 trial sin   2    1 cos  

Ch ng 3 Ph ng pháp đ xu t 77

Do (Newton–Raphson method for )

(Check for convergence – ki m tra s h i t )

Sau khi hoàn t t quá trình gi i l p cho ra k t qu n 1 , đ a k t qu v d ng ng su t trong h t a đ Descartes b ng công th c chuy n đ i theo h t a đ (xem m c 2.8 ch ng 2).

Ch ng 3 Ph ng pháp đ xu t 79

Hình 3.1 L u đ thu t toán h i t cho mô hình Mohr–Coulomb trong không gian ng su t chính

K t lu n

Phương pháp return mapping giúp tránh được các vấn đề liên quan đến sự không liên tục của mặt trượt Mohr–Coulomb, đặc biệt là khi suy biến xảy ra khi sử dụng các biến động suất Mặc dù phương pháp này hoàn toàn phù hợp với biến góc Lode, nhưng khi áp dụng, ma trận tiếp tuyến D_epc sẽ trở nên phức tạp và thời gian phân tích sẽ kéo dài Do đó, học viên đã áp dụng công thức ma trận modulus tiếp tuyến D_epc trong [21] thay vì công thức của các tác giả trong [20], nhằm khắc phục được nhược điểm về thời gian phân tích Nghiên cứu và kết quả thực nghiệm của Clausen trong [21] đã chứng minh tính hiệu quả của phương pháp này.

B ng 3.1 So sánh th i gian phân tích máy tính c a công th c ma tr n modulus ti p tuy n t ng th́ch (Ngu n: [21]:pp.1056)

10000 b c ng su t tr v : T classic (s) T present (s) classic present

Phương pháp return mapping theo hướng lặp n (implicit) được áp dụng với mô hình Mohr–Coulomb trong phân tích trạng thái ứng suất và các vị trí khác nhau trên mặt cắt, kết hợp với ma trận modulus tiếp tuyến Phương pháp này giúp giảm thời gian phân tích và cho ra mô hình phân tích với MATLAB, sử dụng các thông số đầu vào đặc trưng của mô hình Mohr–Coulomb Kết quả phân tích từ giải thuật xử lý cho thấy tính tin cậy, chính xác và hiệu quả của thuật toán, được chứng minh trong chương 4.

Bài toán phân tích s ki m ch ng t́nh đúng đ n c a thu t toán

CH NG 4 PHÂN TÍCH S VÀ BÀI TOÁN NG D NG

Giới thiệu về kiểm tra tính đúng đắn và hiệu quả của phương pháp đề xuất được trình bày trong Chương 3, các bài toán sẽ được so sánh kết quả tính toán với kết quả của các nghiên cứu khác và phần mềm Plaxis Connect Edition V20 Học viên sẽ trình bày hai bài toán, trong đó một bài toán phân tích sự kiện tính đúng đắn của thuật toán đã đưa ra và một bài toán ứng dụng, có thể là bài toán móng băng.

4.1 Bài toán phân tích s ki m ch ng tính đúng đ n c a thu t toán

Bài toán phân tích mô phỏng các thí nghiệm đến giới hạn đàn hồi trên đất nền có thể được thực hiện thông qua thí nghiệm nén ba trục (triaxial test) Nghiên cứu này đã được phân tích bởi các tác giả trong các tài liệu như [12], [22] Thí nghiệm được thực hiện với lực kéo/nén không giới hạn đến khi mẫu đất đạt trạng thái phá hoại, từ đó xác định được độ bền của mẫu đất trong điều kiện cụ thể Học viên sẽ mô phỏng theo số liệu thí nghiệm của tác giả Karaoulanis trong nghiên cứu này.

Thí nghiệm mô phỏng được thực hiện với hai trường hợp lực P2: khi P2 = 0 và P2 > 0 cho lực kéo, cùng với P2 < 0 cho lực nén Tiêu chuẩn Mohr–Coulomb được áp dụng để phân tích Các thông số đầu vào được trình bày trong Bảng 4.1, tham khảo từ tài liệu [12], trang 297 Phương pháp sử dụng trong phân tích là điều khiển theo chuyển vị với tần số 60 bước, mỗi bước chuyển vị tăng lên 0.005.

Hình 4.1 S đ thí nghi m ba tr c c a Karaoulanis (Ngu n: [12]:pp.297)

Học viên sẽ thiết kế bài toán với mục tiêu chương trình máy tính dựa trên ngôn ngữ lập trình MATLAB Bài toán này sẽ áp dụng thuật toán, lý thuyết và phương pháp toán học được trình bày trong chương 3.

Output: bi u đ giá tr t i tr ng kéo/nén c c h n Pt/Pc

B ng 4.1 S li u đ u vào c a thí nghi m (Ngu n: [12]:pp.297)

Thông s đ u vào Kí hi u Giá tr dùng trong mô ph ng

4.1.3 K t qu bài toán u tiên Hình 4.2 th hi n k t qu thí nghi m mô ph ng thí nghi m nén ba tr c c a Karaoulanis (2013) Ti p theo, B ng 4.1 và 4.2 là k t qu s c a Karaoulanis (2013), b ng 4.3 và 4.4 là k t qu c a ch ng trình h c viên t vi t

Hình 4.2 K t qu th nghi m mô ph ng s hóa thí nghi m nén ba tr c c a

Ch ng 4 Phân tích s và bài toán ng d ng 83

B ng 4.2 Giá tr b c chuy n v và t i t ng ng c a Karaoulanis (tr ng h p t i kéo) u 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045

B ng 4.3 Giá tr b c chuy n v và t i t ng ng c a Karaoulanis (tr ng h p t i nén) u 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045

B ng 4.4 Giá tr chuy n v và t i t ng ng t ng b c (tr ng h p t i kéo) u 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045

Hình 4.3 Bi u đ chuy n v - t i tr ng th nghi m tr ng h p t i kéo

Ch ng 4 Phân tích s và bài toán ng d ng 85

B ng 4.5 Giá tr chuy n v và t i t ng ng t ng b c (tr ng h p t i nén) u 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045

Hình 4.4 Bi u đ chuy n v - t i tr ng th nghi m tr ng h p t i nén

Hình 4.5 Bi u đ k t qu th nghi m mô ph ng s hóa thí nghi m nén ba tr c

K t qu c a h c viên: l c kéo c c h n: 20.61; l c nén c c h n: 41.21 ( n v bi u đ l c: kN)

Qua k t qu so sánh Hình 4.5 cho th y, k t qu c a h c viên thu đ c qua th nghi m mô ph ng b ng thu t toán đ xu t r t g n v i k t qu nghiên c u c a Karaoulanis trong [12]

Tác giả Karaoulanis trong nghiên cứu phân tích của mình đã sử dụng phương pháp biến ngẫu nhiên Kết quả nghiên cứu của ông so sánh với thuật toán và phương pháp sử dụng trong nghiên cứu trước đó, cho thấy học viên áp dụng phương pháp return mapping và đạt được kết quả gần gũi với kết quả nghiên cứu của Karaoulanis Theo kết quả này, trạng thái ngẫu nhiên cục bộ trong giao điểm của hai hàm chạy được xác định rõ ràng khi 1 = 2 trong trường hợp ngẫu nhiên kéo.

Phương pháp 2 = 3 trong điều kiện ứng suất nén đã cho thấy tính tin cậy cao và hợp lý theo lý thuyết, đặc biệt là theo tiêu chuẩn lý thuyết Mohr–Coulomb Kết quả thu được từ nghiên cứu (xem Hình 4.5) đã chứng minh tính chính xác của phương pháp này.

Trong nghiên cứu của mình, tác giả Karaoulanis đã giới thiệu phương pháp học viên cho rằng việc mô phỏng với dữ liệu khác nhau và áp dụng các thuật toán cụ thể là cần thiết để giải quyết vấn đề khi gặp trục trặc trong góc hợp Lode θ x p x 30 độ Tác giả cũng đưa ra những nhận xét quan trọng về những vấn đề tiềm ẩn trong kết luận của nghiên cứu.

Bài toán ḿng b ng (Strip footing)

4.2 Bài toán móng b ng (Strip footing)

Qua bài toán phân tích s m c 4.1, học viên đã xác định đúng đắn tính chính xác của thuật toán được giới thiệu Tiếp theo, học viên đã lập trình máy tính để phát triển bài toán đa kỹ thuật thực tế bằng cách thiết lập bài toán thực tế bằng mã MATLAB Chương trình thu được kết quả, so sánh với kết quả lý thuyết và các nghiên cứu trước đây như của de Borst hay Griffiths, cùng với kết quả phần mềm chuyên dụng Plaxis Connect Edition V20 Bài toán mà học viên chọn để mô phỏng là phân tích sức chịu tải của móng băng, phân tích riêng với hai trường hợp móng mềm và móng cứng Bài toán sử dụng tiêu chuẩn Mohr–Coulomb trong dự đoán phá hoại vật liệu đất nền và móng, phân tích tứ giác 8 nút, tích phân ba điểm Gauss, phương pháp giải phương trình vi phân là phương pháp lặp (implicit), và sử dụng phương pháp Newton–Raphson cho phương trình phi tuyến Kết quả bài toán bao gồm xuất mô hình phân tích, mô hình tải trọng, mô hình chuyển vị, biểu đồ sức, và tính toán các kết quả trên, xác định được sức chịu tải của đất nền Bài toán sức chịu tải móng băng là bài toán cốt lõi trong mô phỏng bài toán địa kỹ thuật xây dựng, với móng băng là móng có chiều dài và chiều rộng tương đương.

Học viên sẽ áp dụng bài toán biến dạng phẳng trong mô hình strip footing, nghĩa là phân tích các biến dạng trong một mặt phẳng, chỉ còn lại hai phương trong mô hình này.

Bài toán mô phỏng móng băng trên nền đất với các thông số đất nền được chia thành hai trường hợp: móng mềm (flexible footing) và móng cứng (rigid footing) Sự phân biệt giữa móng mềm và móng cứng phụ thuộc vào đặc tính của vật liệu móng so với đất nền Trong tính toán móng, thường giả thuyết móng là tuyết đối cứng, khi kiểm tra tải trọng và tính toán cốt thép dựa trên giả thuyết này Móng được coi là móng mềm khi biến dạng của nó được xét đến sự phân bổ tải một cách đáng kể so với mô hình móng tuyết đối cứng Trong tính toán móng mềm, cần xem xét đến biến dạng của móng, do có đặc tính hư hỏng, móng sẽ võng dưới tác động của phần lực nền đất Biến dạng của móng dẫn đến lún không đều của nền đất và dẫn đến áp lực không đều lên móng Nói chung, trong móng có xu hướng bé hơn so với mô hình tuyết đối cứng, tuy nhiên, ứng suất nền đất tại các vị trí tập trung như vị trí chân cột lại lớn hơn khi tính toán móng theo mô hình tuyết đối cứng Khi móng có kích thước khác biệt so với các kích thước còn lại, cần tính toán móng theo sự đặc biệt xét đến biến dạng (móng mềm) để đạt được kết quả tối ưu hơn về cốt thép và an toàn hơn về điều kiện ứng suất của nền đất Trong luận văn, học viên muốn mô phỏng hai bài toán và so sánh.

Trạng hợp móng cọc là một phần quan trọng trong việc gán thông số đặc trưng cho vật liệu móng, bao gồm việc chia phần t và phân tích Trong trạng hợp móng mịn, chúng ta xem móng như một tấm phẳng dùng gán tải, nghĩa là móng biến dạng cùng với nền Quy trình giải bài toán móng chịu trọng lực bắt đầu bằng việc xác định bản thân của đất nền, sau đó mới tiến hành giải bài toán móng chịu tác dụng của tải trọng ngoài và phân tích sức chịu tải của đất nền thông qua kết quả suất-biến dạng Công thức tính toán sức chịu tải của Terzaghi cũng cung cấp thông số Nγ, tham khảo nghiên cứu của Clausen và các công sự về phân tích phần tử hữu hạn cho thông số Nγ.

[35]) Bài toán mô ph ng này đã đ c phân tích b i nhi u tác gi , tham kh o [26],

[27] … K t qu thí nghi m cho ra bi u đ quan h t i tr ng–chuy n v, qua đ́ xác đnh đ c s c ch u t i c c h n c a đ t n n

Ch ng 4 Phân tích s và bài toán ng d ng 89

Hình 4.6 S đ t́nh bài toán móng b ng trên n n đ t ch u t i tr ng phân b

Hệ thống thiết kế bài toán với mục tiêu chương trình máy tính dựa trên ngôn ngữ lập trình MATLAB Mô hình tương tác động của tài nguyên gây ra những ảnh hưởng làm biến đổi nền đất Các lý thuyết và phương pháp toán học được trình bày trong chương.

Bài viết này tập trung vào các lý thuyết về định luật Hooke, phân tán Q8, và tích phân sử dụng phương pháp Gauss 3x3 Đồng thời, nó cũng đề cập đến tiêu chuẩn chịu kéo Mohr–Coulomb, phương pháp hồi tiếp và việc áp dụng thuật toán return mapping, cũng như phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến.

S li u s d ng đây mô ph ng d a trên s li u trong nghiên c u c a tác gi Griffiths trong [27]

Input: bài toán Plane strain (type =1); các thông s ḱch th c mi n: a, b; các thông s đ c tr ng v t li u đ t n n: E, , c, H, , ,  ; các thông s đ c tr ng v t li u móng: B ho c D,  f , c f , H f , f ,  f ,  f

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ đề cập đến các thông số quan trọng liên quan đến móng c ng (rigid footing), bao gồm giá trị tải trọng tại điểm P0, độ lún Δ0, và hệ số k max Ngoài ra, chúng tôi cũng sẽ phân tích số lượng phần tử chia nhỏ (nex, ney) và loại phần tử sử dụng (phần tử Q8) Cuối cùng, chúng tôi sẽ trình bày cách sử dụng điểm tích phân Gauss với 33 điểm Gauss, cùng với việc gán vị trí liên kết và giá trị tải trọng tại điểm.

Output: mô hình phân tích – t i tr ng – mô hình chuy n v , bi u đ ng su t – chuy n v…

Trong nghiên cứu của mình, tác giả Griffiths đã sử dụng phần mềm Q8 để thực hiện phân tích Đồng thời, phần mềm này cũng được so sánh với kết quả phân tích từ Plaxis 2D Connect Edition V20, trong đó việc chia miền sử dụng phần tử tam giác T6 được áp dụng.

Thông s đ u vào bài toán móng b ng xem B ng 4.6 Tr ng h p móng c ng thêm vào các thông s đ c tr ng ḿng và c ng ti n hành phân tích ph n t h u h n cho móng

S c ch u t i c c h n là tích giá tr h s t ng t i t i b c t i cu i cùng v i giá tr t i P 0 ban đ u: P 0

Vật liệu móng được sử dụng trong xây dựng là bê tông cốt thép, với các thông số đặc trưng quan trọng liên quan đến tính chất của bê tông Học viên áp dụng mô hình xây dựng dựa trên lý thuyết tiêu chuẩn chịu kéo Mohr–Coulomb, do đó các thông số đặc trưng được trình bày theo yêu cầu của tiêu chuẩn này.

Ch ng 4 Phân tích s và bài toán ng d ng 91

B ng 4.6 S li u đ u vào chung c a bài toán móng b ng(2 tr ng h p) Thông s đ u vào Kí hi u Giá tr dùng trong mô ph ng

Tr ng l ng riêng c a đ t n n  (kN/m 3 ) 16

Ḱch th c mi n theo ph ng x a (m) 10

Ḱch th c mi n theo ph ng y b (m) 10

Thông s đ c tr ng móng (riêng cho bài toán móng c ng – rigid rough)

Dung tr ng riêng  f (kN/m 3 ) 0

S ph n t chia theo ph ng x nex 20

S ph n t chia theo ph ng y ney 20

Giá tr t i tr ng P 0 (kPa) -1

Tr ng h p bài toán móng m m (flexible footing):

Hình 4.7 Mô hình phân tích bài toán móng b ng, tr ng h p móng m m

Hình 4.8 Mô hình phân tích móng b ng quanh móng, tr ng h p móng m m

Ch ng 4 Phân tích s và bài toán ng d ng 93

Hình 4.9 Mô hình t i tr ng móng b ng, tr ng h p móng m m (đ n v : kPa)

Hình 4.10 K t qu chuy n v bài toán móng b ng, tr ng h p móng m m, h s t ng t i  = 145.38

Hình 4.11 K t qu chuy n v bài toán móng b ng, tr ng h p móng m m, h s t ng t i  = 234.57

Ch ng 4 Phân tích s và bài toán ng d ng 95

Hình 4.12 Bi u đ ng su t  x bài toán móng b ng, tr ng h p móng m m, h s t ng t i = 234.57 (đ n v : kPa)

Hình 4.13 Bi u đ ng su t  y b bài toán móng b ng, tr ng h p móng m m, h s t ng t i = 234.57 (đ n v : kPa)

Hình 4.14 Bi u đ ng su t  xy bài toán móng b ng, tr ng h p móng m m, h s t ng t i = 234.57 (đ n v : kPa)

Hình 4.15 Bi u đ ng su t  z bài toán móng b ng, tr ng h p móng m m, h s t ng t i = 234.57 (đ n v : kPa)

Ch ng 4 Phân tích s và bài toán ng d ng 97 a) Theo ph ng x b) Theo ph ng y Hình 4.16 ng cong quan h ng su t – chuy n v nút 1247 (xem Hình 4.8)

Giá trị lambda thể hiện sự biến đổi của giá trị sức chịu tải của đất nền theo quy tắc ban đầu khi áp dụng phương pháp arc-length Phân tích có thể được thực hiện theo hai phương thức: phương thức theo trục x và phương thức theo trục y Hình 4.17 minh họa sự biến đổi của quan hệ suất – chuyển vị tại nút 1010 (xem thêm Hình 4.8).

(Giá tr lamda th hi n giá tr s c ch u t i c a đ t n n theo quy c ban đ u khi s d ng ph ng pháp arc–length)

Chương 4 trình bày phân tích s và bài toán ng d ng 99, bao gồm mô hình phân tích, tải trọng và mô hình tạo lún trong Plaxis Kết quả chuyển vị được ghi nhận là 0.129m Hình 4.18 minh họa một số kết quả thực nghiệm kiểm tra bằng phần mềm Plaxis đối với bài toán móng băng, trong trường hợp móng mềm.

Tr ng h p bài toán móng c ng (rigid footing):

Hình 4.19 Mô hình phân t́ch bài toán móng b ng, tr ng h p móng c ng

Hình 4.20 Mô hình phân t́ch móng b ng quanh móng, tr ng h p móng c ng

Ch ng 4 Phân tích s và bài toán ng d ng 101

Hình 4.21 Mô hình t i tr ng móng b ng, tr ng h p móng c ng (đ n v: kPa)

T i tr ng ban đ u bài toán: -1 kPa

Hình 4.22 K t qu chuy n v bài toán móng b ng, tr ng h p móng c ng, h s t ng t i  = 138.73

Hình 4.23 K t qu chuy n v bài toán móng b ng, tr ng h p móng c ng, h s t ng t i  = 232.00

Ch ng 4 Phân tích s và bài toán ng d ng 103

Hình 4.24 K t qu chuy n v bài toán móng b ng, tr ng h p móng c ng, h s t ng t i  = 355.50

Hình 4.25 Bi u đ ng su t  x bài toán móng b ng, tr ng h p móng c ng, h s t ng t i  = 355.50

Hình 4.26 Bi u đ ng su t  y bài toán móng b ng, tr ng h p móng c ng, h s t ng t i  = 355.50

Hình 4.27 Bi u đ ng su t  xy bài toán móng b ng, tr ng h p móng c ng, h s t ng t i  = 355.50

Ch ng 4 Phân tích s và bài toán ng d ng 105

Hình 4.28 Bi u đ ng su t  z bài toán móng b ng, tr ng h p móng c ng, h s t ng t i  = 355.50 a) Theo ph ng x b) Theo ph ng y Hình 4.29 ng cong quan h ng su t – chuy n v nút 1224 (xem Hình 4.20)

(Giá tr lamda th hi n giá tr s c ch u t i c a đ t n n theo quy c ban đ u khi s d ng ph ng pháp arc–length)

Ch ng 4 Phân tích s và bài toán ng d ng 107 a) Theo ph ng x b) Theo ph ng y Hình 4.30 ng cong quan h ng su t – chuy n v nút 1010 (xem Hình 4.20)

Giá trị lambda thể hiện giá trị sức chịu tải của đất nền theo quy chuẩn ban đầu khi sử dụng phương pháp arc-length Mô hình phân tích, tải trọng và mô hình tạo lún tại T6 trong Plaxis được thực hiện để đánh giá kết quả chuyển vị, với chuyển vị lớn nhất là 0.102m Hình 4.31 minh họa một số kết quả học viên kiểm tra bằng phần mềm Plaxis với bài toán móng băng, trong trường hợp móng cọc.

Ch ng 4 Phân tích s và bài toán ng d ng 109

B ng 4.7 T ng h p k t qu mô ph ng phân tích bài toán móng b ng

K t qu chuy n v l n nh t xu t ra t MATLAB h c viên t vi t:

 Tr ng h p móng c ng: u max 0.109 m;

K t qu s c ch u t i c c h n xu t ra t MATLAB h c viên t vi t:

 Tr ng h p móng m m: q ult 234.57 kPa;

 Tr ng h p móng c ng: q ult 355.50 kPa; a) Tr ng h p móng m m b) Tr ng h p móng c ng Hình 4.32 T ng h p k t qu tính toán s c ch u t i đ t n n bài toán móng b ng

Ch ng 4 Phân tích s và bài toán ng d ng 111

4.2.4 Nh n xét và th o lu n

Bài toán móng băng trên nền đất có hạng viên mô phỏng và phân tích phần thu hồi đàn hồi theo dạng bài toán Plane strain được chia thành hai trường hợp: móng mềm và móng cứng Trong trường hợp móng mềm, kết quả đùn hay chuyển vị thu được phân bố không đều (non-uniform), trong khi phần lún của nền đất lại thu được phân bố đều (uniform) Ngược lại, trong trường hợp móng cứng, kết quả chuyển vị và thu hồi đều, nhưng phần lún của nền đất lại thu được phân bố không đều Các kết quả này đã được chứng minh trong mục 4.2.3 Trong thực tế, các bài toán trong lĩnh vực xây dựng dân dụng và công nghiệp thường gặp móng cứng, chẳng hạn như các móng bê tông cốt thép, trong khi móng mềm thường gặp trong các bài toán nền đất yếu, như bài toán móng đê kè Việc tính toán theo dạng móng cứng hay móng mềm còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác nhau như kích thước móng, vị trí móng trong công trình.

Kết quả sức chịu tải của đất nền thu được gần với kết quả tính toán lý thuyết và trong các nghiên cứu được công bố trước đây, điển hình là của tác giả Griffiths và các cộng sự Tác giả Griffiths ra kết quả sức chịu tải q ult = 374 kPa, thấp hơn so với kết quả bài toán thu được là q ult = 355.50 kPa, nguyên nhân là do tác giả chưa xác định giá trị tải trọng thêm q a = 20 kPa Nếu tính toán giá trị q a thì kết quả của tác giả Griffiths và tác giả Martin (2004) gần với kết quả thực nghiệm thu được qua phân tích Bên cạnh đó, kết quả sức chịu tải của đất nền gần với kết quả tính toán theo lý thuyết tính toán sức chịu tải của Terzaghi Ngoài ra, sự khác biệt giữa sức chịu tải của đất nền trong hai trường hợp móng cọc và móng mềm phù hợp với các lý thuyết tính toán sức chịu tải của Terzaghi, Prandtl, Vesic…, trong trường hợp móng cọc có khối lượng riêng nhất định, làm tăng sức chịu tải của đất nền.

Trong bài toán này, kết quả tính toán và chuyển vị, ứng suất, quan hệ tải trọng – chuyển vị, sức chịu tải của đất nền theo lý thuyết Mohr–Coulomb và các phương pháp toán đã được giới thiệu, trình bày và so sánh với kết quả của phần mềm Plaxis Connect Edition V20 Sự khác biệt giữa phần mềm T6 và Q8 trong chương trình MATLAB đã được phân tích, cùng với cách chia lưới khi thời gian phân tích không giống nhau, cho thấy kết quả thu được có sự chênh lệch nhất định Tuy nhiên, các sai số đầu vào được kiểm soát nên kết quả đã xác minh tính chính xác của thuật toán và chương trình phân tích đề xuất Với nền đất được chia thành 400 phần tử, móng được chia thành 8 phần tử, sử dụng tích phân 3×3 điểm Gauss, ta thu được kết quả bài toán gần như chính xác, xác định được sức chịu tải của các cấu kiện móng mềm và móng cứng.

Tr ng h p móng m m và móng c ng v i cùng t i tr ng gây ra chuy n v khác nhau v hình d ng và c giá tr chuy n v (xem Hình 4.11 và 4.23)