Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Mục đích nghiên cứu của luận án:
Nghiên cứu này tập trung vào việc xác định sự tồn tại duy nhất của nghiệm tuần hoàn cho các lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2) Các toán tử phi tuyến g được xem xét trong các trường hợp liên tục Lipschitz và ϕ-Lipschitz, với hàm Lipschitz phụ thuộc vào thời gian t Giá trị ban đầu có thể thuộc không gian hàm C nếu phương trình có trễ hữu hạn, hoặc thuộc không gian giảm nhớ C γ nếu phương trình có trễ vô hạn.
(ii) Nghiên cứu tính ổn định đối với các nghiệm xung quanh nghiệm tuần hoàn của các lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2).
Xây dựng đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn của các lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2) là một vấn đề quan trọng trong toán học Điều này được thực hiện khi toán tử phi tuyến g thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, với ϕ phụ thuộc vào thời gian t và thuộc không gian hàm chấp nhận được.
Luận án nghiên cứu tính chất nghiệm tuần hoàn và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình tiến hóa trung tính dạng (2), đồng thời xem xét các điều kiện thay đổi của toán tử trễ phi tuyến g.
Luận án này tập trung nghiên cứu các lớp phương trình tiến hóa trung tính, đặc biệt là phương trình có dạng (2) và một số trường hợp của toán tử trễ phi tuyến g.
Trong bài viết này, chúng tôi xem xét trường hợp toán tử g liên tục Lipschitz với phương trình có trễ hữu hạn Chúng tôi áp dụng không gian các hàm liên tục bị chặn trong không gian Banach X để chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm tuần hoàn Để đảm bảo tính ổn định (có điều kiện) của các nghiệm xung quanh nghiệm tuần hoàn, chúng tôi kết hợp nguyên lý ánh xạ co và bất đẳng thức Growall.
Trong bài viết này, chúng tôi xem xét toán tử g thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, với ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận được, trong bối cảnh phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn Chúng tôi không chỉ chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghiệm tuần hoàn và tính ổn định, mà còn chỉ ra sự tồn tại của một đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn đó, thông qua việc áp dụng bất đẳng thức nón và định lý ánh xạ co.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét toán tử g thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, với ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận được, trong bối cảnh phương trình có trễ vô hạn Bằng cách áp dụng không gian giảm nhớ, chúng tôi chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm tuần hoàn, cũng như tính ổn định có điều kiện của nghiệm Hơn nữa, chúng tôi cũng chứng minh sự tồn tại của một đa tạp tích phân xung quanh nghiệm tuần hoàn của phương trình.
Phương pháp Massera kết hợp với chuỗi Neumann, cùng với lý thuyết nửa nhóm và dạng của toán tử sai phân F, được sử dụng để chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm tuần hoàn cho phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính.
Sử dụng nguyên lý điểm bất động cùng với điều kiện liên tục Lipschitz hoặc ϕ-Lipschitz, kết hợp với lý thuyết không gian hàm chấp nhận được, chúng ta có thể chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm tuần hoàn cho phương trình tiến hóa trung tính nửa tuyến tính.
Dựa vào phương trình Lyapunov-Perron và tính chấp nhận được của không gian hàm, bài viết chứng minh sự tồn tại nghiệm bị chặn cho phương trình tiến hóa trung tính với họ tiến hóa có nhị phân mũ.
Sử dụng phương trình Lyapunov-Perron kết hợp với kỹ thuật đổi biến phù hợp, chuỗi Neumann và bất đẳng thức Gronwall hoặc bất đẳng thức nón, cùng với nguyên lý điểm bất động của ánh xạ co, cho phép thực hiện các đánh giá về tính ổn định có điều kiện của nghiệm tuần hoàn trong phương trình tiến hóa trung tính.
Phương pháp Lyapunov-Perron kết hợp với kỹ thuật đổi biến được sử dụng để chứng minh sự tồn tại của một đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính.
4 Kết quả của luận án
Luận án đã đạt được một số kết quả chính sau đây:
Chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm tuần hoàn, cũng như tính ổn định có điều kiện của một số lớp phương trình tiến hóa trung tính, là những vấn đề quan trọng trong toán học Nghiên cứu này tập trung vào việc phân tích các trường hợp cụ thể để xác định các điều kiện cần thiết cho sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm Việc chứng minh này không chỉ đóng góp vào lý thuyết toán học mà còn có ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực liên quan.
(i) Toán tử phi tuyến g liên tục Lipschitz và phương trình có trễ hữu hạn.
(ii) Toán tử phi tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, với ϕ là hàm phụ thuộc t và thuộc không gian hàm chấp nhận được M, phương trình có trễ hữu hạn.
(iii) Toán tử phi tuyến g thỏa mãn ϕ-Lipschitz, ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận được M, phương trình có trễ vô hạn.
Chứng minh sự tồn tại của đa tạp tích phân ổn định địa phương quanh nghiệm tuần hoàn của các phương trình dạng (2) khi toán tử g thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, với ϕ thuộc không gian hàm chấp nhận được, cho cả trường hợp phương trình có trễ hữu hạn và vô hạn.
Luận án này đóng góp mới vào lý thuyết phương trình vi phân hàm và phương trình tiến hóa trung tính, với các kết quả có thể ứng dụng trong việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân hàm Những nghiên cứu này đã được công bố trong 03 bài báo.
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15
Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh
Nội dung trong mục này trình bày những khái niệm cơ bản về nửa nhóm toán tử và toán tử sinh tương ứng Tài liệu tham khảo chính cho nội dung này là Engel & Nagel [43] Định nghĩa 1.1 nêu rõ rằng, cho không gian Banach X, một họ các toán tử tuyến tính bị chặn T(t) với t > 0 trên X được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (C0-nửa nhóm) nếu nó thỏa mãn các điều kiện nhất định.
(i) T(0) = I (với I là toán tử đồng nhất);
(iii) lim t→0 + T(t)x = T(0)x với mọi x∈ X. Định nghĩa 1.2 Giả sử T(t) t > 0 là một nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach X Toán tử A: D(A) ⊆ X → X được xác định bởi
, được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm T(t) t > 0 trên không gian Banach X.
Nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm T(t) với t > 0, thì T(t) được gọi là nửa nhóm sinh ra bởi A, và có thể được viết là e^(tA) với t > 0 Định lý 1.1 khẳng định rằng nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh T(t) trên không gian Banach X, thì các điều kiện liên quan đến A và T(t) sẽ được thiết lập.
(i) A: D(A) ⊆X → X là một toán tử tuyến tính;
(ii) nếu x∈ D(A) thì T(t) x ∈ D(A) và d dtT(t)x = T(t)Ax = AT(t)x với mọi t≥ 0;
(iii) với mọi t ≥0, x ∈X ta có t
(iv) với mọi t ≥0 ta có
Tập các giá trị chính quy của toán tử tuyến tính đóng A trong không gian Banach X được ký hiệu là ρ(A) Theo định nghĩa, ρ(A) bao gồm các giá trị λ thuộc C sao cho (λI − A) là một song ánh.
R(λ, A) := (λI −A) −1, với λ ∈ ρ(A), được gọi là giải thức của A, trong khi σ(A) := C \ ρ(A) là tập phổ của A Định lý 1.2 chỉ ra rằng trên không gian Banach X, nếu (T(t)) t > 0 là một nửa nhóm liên tục mạnh, thì tồn tại các hằng số M > 1 và ω ∈ R sao cho kT(t)k ≤ M e^(ωt) với mọi t > 0.
Khi đó, với toán tử sinh A,D(A) của nửa nhóm T(t) t > 0, ta có các tính chất sau:
0 e −λs T(s)xds tồn tại với mọi x ∈ X thì λ ∈ρ(A) và R(λ, A) =R(λ).
(ii) Nếu Reλ > ω thì λ∈ ρ(A) và R(λ, A) =R(λ).
(iii) Ta có kR(λ, A)k 6 Re M λ−ω với mọi Reλ > ω.
0 e −λs T(s)xds được gọi là biểu diễn tích phân của giải thức Tích phân ở đây được hiểu theo nghĩa tích phân Riemann suy rộng,
Chúng tôi sẽ nhắc lại các khái niệm liên quan đến ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm liên tục mạnh, đồng thời làm rõ đặc trưng phổ cho tính ổn định và nhị phân của nửa nhóm, theo tài liệu từ Engel & Nagel và Engel.
Tính ổn định mũ và nhị phân mũ của nửa nhóm
Định nghĩa 1.4: Nửa nhóm liên tục mạnh T(t) với t > 0 và toán tử sinh A,D(A) được gọi là ổn định mũ đều nếu tồn tại ε > 0 sao cho lim e^(εt) kT(t)k khi t → ∞ bằng 0 Định nghĩa 1.5: Trong không gian Banach X, nửa nhóm liên tục mạnh T(t) với t > 0 được xem là có nhị phân mũ (hay hyperbolic) nếu không gian X có thể phân tách thành tổng trực tiếp X = X_s ⊕ X_u của hai không gian con đóng, với T(t) t > 0 bất biến trên X_s và X_u, sao cho các nửa nhóm hạn chế T_s(t) trên X_s và T_u(t) trên X_u thỏa mãn các điều kiện nhất định.
(i) Nửa nhóm T s (t) t > 0 ổn định mũ đều trên X s
Toán tử Tu(t) khả nghịch trên không gian X và nửa nhóm Tu(t) −1 với t > 0 có tính ổn định mũ đều trên X u Để xây dựng các đặc trưng phổ cho tính ổn định mũ đều và hyperbolic của nửa nhóm, khái niệm cận phổ của toán tử đóng và cận tăng trưởng của nửa nhóm là rất quan trọng Định nghĩa 1.6 nêu rõ rằng A: D(A) → X là một toán tử đóng trên không gian Banach X, từ đó ta có thể xác định s(A) := sup.
Trong lý thuyết toán tử tuyến tính, cận phổ của toán tử A được ký hiệu là λ ∈ σ(A) Định nghĩa 1.7 chỉ ra rằng, với nửa nhóm liên tục mạnh T(t) cho t > 0 và toán tử sinh A, D(A) trên không gian Banach, số thực ω₀ = ω₀(A) được xác định là inf ω ∈ R | ∃M ≥ 1 : kT(t)k ≤ Me^(ωt), t > 0, được gọi là cận tăng trưởng của nửa nhóm T(t) cho t > 0.
Nửa nhóm T(t) t > 0 ổn định mũ đều nếu và chỉ nếu ω 0 (A) < 0 Tuy nhiên, việc xác định nửa nhóm một cách tường minh trong thực tế là rất khó khăn, trong khi toán tử sinh lại có thể được xác định cụ thể Để xây dựng các đặc trưng phổ cho tính ổn định mũ đều, chúng ta cần đến "Định lý ánh xạ phổ" Nửa nhóm liên tục mạnh (T(t)) t > 0 với toán tử sinh A được gọi là thỏa mãn Định lý ánh xạ phổ nếu σ T(t).
Trong trường hợp tổng quát, điều kiện s(A) < 0 không đảm bảo tính ổn định mũ của nửa nhóm liên tục mạnh T(t) với t > 0 do toán tử A Tuy nhiên, nếu T(t) thỏa mãn Định lý ánh xạ phổ, thì có thể xác định được đặc trưng của nó.
T(t) t > 0 ổn định mũ đều khi và chỉ khi s(A) 0, các mệnh đề sau là tương đương.
(i) Nửa nhóm T(t) t≥0 có nhị phân mũ.
Trường hợp T(t) t > 0 thỏa mãn Định lý ánh xạ phổ và A là toán tử sinh của nó, thì ta có các mệnh đề trên tương đương với
Trong định lý trên, lưu ý rằng, giả thiết T(t) t > 0 thỏa mãn Định lý ánh xạ phổ có thể thay bằng giả thiết nhẹ hơn, đó là phổ σ(A) và σ T(t) thỏa mãn σ T(t)
Không gian hàm Banach chấp nhận được
Trong phần này, chúng tôi sẽ tóm tắt kiến thức cơ bản về các không gian hàm chấp nhận được, dựa trên tài liệu tham khảo của Huy[46] Những không gian này có vai trò quan trọng trong nghiên cứu phần phi tuyến của các phương trình tiến hóa trung tính trong luận án Các ứng dụng cụ thể của các không gian hàm này có thể được tìm thấy trong các nghiên cứu của Massera & Sch¨affer [47] và R¨abiger & Schaubelt[48] Kí hiệu B và λ lần lượt đại diện cho đại số Borel và độ đo Lebesgue trên R+ Không gian L 1,loc (R + ) bao gồm các hàm số nhận giá trị thực khả tích địa phương.
R+(đồng nhất các hàm bằng nhauλ-hầu khắp nơi) sẽ trở thành một không gian Fréchet với các nửa chuẩn p n (f) n+1
Không gian vector E bao gồm các hàm thực đo được theo nghĩa Borel trên R+ (đồng nhất các hàm bằng nhau λ-hầu khắp nơi) được định nghĩa là một không gian hàm Banach trên (R + ,B, λ) nếu nó thỏa mãn các điều kiện nhất định.
(i) E là một dàn Banach với chuẩn k ã k E , tức là (E,k ã k E ) là một khụng gian Banach, nếu ϕ∈ E, ψ là một hàm thực đo được Borel sao cho
|ψ(ã)|6 |ϕ(ã)| λ-hầu khắp nơi thì ψ ∈E và kψk E 6kϕk E
(ii) Hàm đặc trưng χ A thuộc không gian E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn sup t∈R + kχ [t,t+1] k E < ∞, inf t∈R + kχ [t,t+1] k E >0.
(iii) E ,→ L 1,loc (R + ), tức là, với mỗi đoạn compact J ⊂ R + tồn tại số β J ≥ 0 sao cho R
Không gian hàm Banach E được gọi là không gian hàm chấp nhận được nếu nó thỏa mãn điều kiện |f(t)|dt≤β J kfk E với mọi f ∈ E.
(i) Tồn tại hằng số M > 1 sao cho với mọi [a, b] ⊂ R+, và với mọi ϕ ∈ E ta có b
(ii) E là bất biến với toán tử Λ 1 , trong đó, Λ 1 ϕ(t) t+1
(iii) Không gianE là T + τ -bất biến và T − τ -bất biến với mọi τ ∈R + , trong đóT + τ và T − τ được định nghĩa như sau :
Hơn nữa, tồn tại các hằng số N 1 và N 2 sao cho kT + τ k E 6 N 1 và kT − τ k E 6N 2 với mọi τ ∈R+.
Ví dụ 1.1 Các không gian Lebesgue L p (R) với 1 6 p 6 ∞ (xem Massera & Sch¨affer [47, Chương 2, Định lý 23.V]), và không gian
Các không gian hàm Banach chấp nhận được bao gồm |f(τ)|dτ Bên cạnh đó, lý thuyết nội suy cũng đề cập đến nhiều không gian hàm khác, chẳng hạn như không gian Lorentz Lp,q với điều kiện 1 < p < ∞ và 1 < q < ∞ (xem Triebel).
[49, 1.18.6, 1.19.3]) cũng là không gian hàm Banach chấp nhận được.
Nhận xét 1.1 Nếu E là một không gian hàm Banach chấp nhận được thì
Dưới đây là một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được (xem Huy [46, Mệnh đề 2.6], Massera & Sch¨affer [47]).
Mệnh đề 1.1 Giả sử E là một không gian hàm Banach chấp nhận được Ta có các khẳng định sau:
(i) Cho ϕ ∈ L 1,loc (R+) sao cho ϕ > 0và Λ 1 ϕ ∈E Với mọi σ >0 xét các hàm Λ 0 σ ϕ và Λ 00 σ ϕ xác định bởi Λ 0 σ ϕ(t) t
Khi đó, Λ 0 σ ϕ và Λ 00 σ ϕ thuộc không gian E Đặc biệt, nếu ϕ ∈M (điều này được thỏa mãn nếu ϕ ∈E- xem Nhận xét 1.1) thì Λ 0 σ ϕ và Λ 00 σ ϕ bị chặn, và ta có đánh giá kΛ 0 σ ϕk ∞ 6 N 1
1−e −σ kΛ 1 ϕk ∞ , (1.4) trong đó Λ 1 , T 1 + , N 1 , N 2 được xác định trong Định nghĩa 1.10.
Trong không gian hàm Banach chấp nhận được M xác định bởi (1.2), xét tập các hàm tuần hoàn chu kì 1 :
P:f ∈M: f là hàm 1-tuần hoàn (1.5) Khi đó, với mỗi hàm dương ϕ ∈P, ta có đánh giá sau (xem [14, (1.8)]): kΛ 0 σ ϕk ∞ ≤ N 1
Hơn nữa, trong khụng gian Banach X với chuẩn k ã k ta định nghĩa
M được định nghĩa là tập hợp các hàm f từ R+ đến X, sao cho chuẩn của f tại điểm ã thuộc M Chuẩn được sử dụng là kfk M, được tính dựa trên chuẩn kf(ã)k M Rõ ràng, M là một không gian Banach, và chúng tôi sẽ gọi M là không gian Banach tương ứng với không gian hàm Banach chấp nhận được M.
Trong luận án này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm tuần hoàn cho phương trình tiến hóa trung tính bằng cách sử dụng không gian C b (I, X) Không gian này bao gồm các hàm liên tục bị chặn trên khoảng I, với giá trị trong không gian Banach X, trong đó I có thể là toàn bộ trục R hoặc nửa đường thẳng.
R + = [0,∞) hoặc R− = (−∞,0], chuẩn được trang bị ở đây là chuẩn sup xác định bởi kvk C b ( I ,X ) := sup t∈ I kv(t)k.
Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu khái niệm không gian giảm nhớ, được áp dụng trong bài toán trễ vô hạn Không gian giảm nhớ được định nghĩa tổng quát trong nghiên cứu của Hino [50], nhưng trong luận án này, chúng tôi chỉ xem xét không gian giảm nhớ dưới dạng không gian Banach, do đó không trình bày định nghĩa tổng quát (tham khảo [24, 50, 51, 52]).
Không gian giảm nhớ
Không gian Banach X được định nghĩa là không gian giảm nhớ F, trong đó F là không gian Banach với chuẩn kã k F Không gian này bao gồm các hàm từ (-∞, 0] đến không gian Banach X, và phải thỏa mãn các tiên đề cụ thể.
Tồn tại một hằng số dương H cùng với các hàm liên tục không âm, bị chặn địa phương K(ã) và M(ã) trên khoảng [0,∞) Nếu x là một hàm liên tục từ (-∞, a) đến X và x τ thuộc F cho mọi τ < a, thì với mọi t trong khoảng [τ; a), điều kiện này được thỏa mãn.
(ii) ánh xạ t7→ x t liên tục theo t,
(iii) Hkx(t)k ≤ kx t k F ≤ K(t−τ) sup τ ≤s≤t kx(s)k+M(t−τ)kx τ k F
(B) Nếu dãy {φ n } với φ n ∈ F hội tụ đều đến hàm φ trên tập compact thuộc (−∞,0], và {φ n } là dãy Cauchy trong F thì φ ∈ F và kφ n −φk F → 0 khi n → ∞.
Ví dụ 1.2 Không gian sau là một ví dụ điển hình của không gian giảm nhớ (xem [24]) Trên không gian Banach X, với hàm h : (−∞,0] → (0,∞), không gian xác định bởi
, (1.8) với chuẩn được trang bị là kφk h = sup θ≤0 kφ(θ)k h(θ) Trong trường hợp đặc biệt, h(θ) =e −γθ , ta có ví dụ sau.
Ví dụ 1.3 Không gian xác định bởi
, (1.9) với chuẩn kφk γ = sup θ≤0 kφ(θ)k e −γθ , hằng số γ > 0, thỏa mãn các tiên đề của không gian giảm nhớ với K(t) = 1, M(t) =e −γt với mọi t≥ 0 Ta có, C γ là không gian giảm nhớ.
Chox(ã) là một ánh xạ liên tục xác định trên R, nhận giá trị trong không gian Banach X, sao cho x(ã) | R + ∈ C b (R + , X) và x t ∈ C γ với mọi t ≥ 0 Khi đó, ta có kx t k γ = sup θ≤0 e γθ kx(t+θ)k.
Nếu x(ã) tuần hoàn chu kỡ 1, thỡ kx 0 k γ = sup θ≤0 e γθ kx(θ)k ≤ sup s∈R + kx(s)k.
Vậy, từ bất đẳng thức trên ta suy ra kx t k γ ≤ kxk C b ( R ,X ) với mọi t≥0 (1.11)
Một trong những mối quan tâm chính trong nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình vi phân là xác định điều kiện ổn định mũ cho nghiệm Kết quả đầu tiên được Perron trình bày vào năm 1930 trong không gian C b (R + ,R n ) Tiếp theo, các nghiên cứu của Massera & đã mở rộng vấn đề này trong các sách chuyên khảo.
Sch¨affer (xem [47, 54, 55]), Daleckii & Krein (xem [56]) đã chỉ ra tính nhị phân mũ của nghiệm trong trường hợp toán tửA(t) bị chặn Đến năm 1978, Levitan
Zhikov đã mở rộng kết quả cho trường hợp vô hạn chiều với lớp phương trình xác định trên toàn đường thẳng Huy sau đó đã đặc trưng tính nhị phân mũ của nghiệm dựa vào không gian hàm chấp nhận được trên nửa đường thẳng trong trường hợp toán tử A(t) không bị chặn Bài viết này sẽ nhắc lại khái niệm về nhị phân mũ của họ tiến hóa và một số kiến thức liên quan.
Nhị phân mũ của họ tiến hóa
A(t), D A(t) t≥0là họ các toán tử tuyến tính trên không gian Banach
X Khi đú, nghiệm (cổ điển) của bài toỏn Cauchy (1.12) là hàm u:=u(ã, s, x) ∈
C 1 ([s,∞), X) là một hàm số u(t) thuộc D A(t) và thỏa mãn bài toán Cauchy (1.12) cho mọi t≥s Định nghĩa 1.12 cho biết bài toán Cauchy (1.12) được coi là đặt chỉnh trên các không gian Y t, với điều kiện t≥0.
(i) Y t ⊂D(A(t)) là các không gian con trù mật trong X.
(ii) mỗix ∈Y s thỡ bài toỏn Cauchy (1.12) cú duy nhất nghiệm u(ã, s, x).
(iii) nghiệm phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu, tức là, nếu s n → s và
Y s n 3 x n → x ∈ Y s thì u(t, s˜ n , x n ) → u(t, s, x)˜ đều theo t trên mọi đoạn compact trongR+, trong đóu(t, s, x) :=˜ u(t, s, x)vớit≥svàu(t, s, x) :=˜ x với t < s.
Khi giải bài toán Cauchy, một họ các toán tử giải được xây dựng để biểu diễn nghiệm của bài toán này, được gọi là họ tiến hóa Cụ thể, một họ các toán tử tuyến tính bị chặn U(t, s) với t≥s≥0 trên không gian Banach X được định nghĩa là họ tiến hóa (liên tục mạnh, bị chặn cấp mũ) nếu
(ii) ánh xạ (t, s) 7→ U(t, s)x liên tục với mọi x∈ X, ở đây
(iii) tồn tại các hằng số K, α ≥ 0 sao cho kU(t, s)xk ≤ Ke α(t−s) kxk với mọi t ≥s ≥0 và x∈X.
Nghiệm của bài toán Cauchy được biểu diễn qua công thức u(t) = U(t, s)u(s) Đặc biệt, khi A(t) không thay đổi theo thời gian, bài toán Cauchy xác định một nửa nhóm liên tục mạnh (T(t)) cho t ≥ 0, do đó tạo ra một họ tiến hóa từ toán tử A.
Trong bài viết này, chúng tôi xem xét họ tiến hóa U(t, s) = T(t−s) và điều kiện tồn tại của bài toán Cauchy, có thể tham khảo trong các tài liệu của Pazy và Nagel & Nickel Chúng tôi tập trung vào những họ tiến hóa có nhị phân mũ, ổn định mũ, được định nghĩa cho U := U(t, s) với t≥s≥0 trên không gian Banach X.
Họ tiến hóa U được gọi là có nhị phân mũ trên [0,∞) nếu tồn tại một tập hợp các toán tử chiếu tuyến tính bị chặn P(t) trên không gian X với t ≥ 0 và các hằng số dương.
(b) ánh xạ hạn chế U(t, s) | : KerP(s) → KerP(t), t ≥ s ≥ 0, là đẳng cấu, và ánh xạ ngược được biểu diễn bởi U(s, t) | := (U(t, s) | ) −1 , 0≤ s≤ t, (c) kU(t, s)xk ≤N e −ν(t−s) kxk với x ∈P(s)X, t≥s ≥0,
(d) kU(s, t) | xk ≤ N e −ν(t−s) kxk với x∈ KerP(t), t≥s ≥0.
Toán tử chiếu P(t), t≥ 0, gọi làtoán tử chiếu nhị phân, và các hằng sốN, ν gọi là các hằng số nhị phân.
Họ tiến hóa U được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại nhị phân mũ với toán tử chiếu nhị phân P(t) = Id cho mọi t ≥ 0 Cụ thể, U được xem là ổn định mũ khi có các hằng số dương N và ν thỏa mãn điều kiện kU(t, s)k ≤ N e −ν(t−s) cho mọi t ≥ s ≥ 0.
Ta chú ý rằng, với các tính chất từ (a) đến (d) của toán tử chiếu nhị phân
Chúng tôi tham khảo nghiên cứu của Huy [46] để tìm hiểu các đặc tính của họ tiến hóa có nhị phân mũ trong không gian hàm chấp nhận tổng quát, theo Minh, R¨abiger & Schnaubelt [60, Bổ đề 4.2].
Trong trường hợp (U(t, s)) với t≥s≥0 có nhị phân mũ và toán tử chiếu nhị phân (P(t)) cho t≥0 cùng với các hằng số N, ν > 0, hàm Green có thể được định nghĩa trên nửa đường thẳng.
Ta có, G(t, τ) thỏa mãn đánh giá kG(t, τ)k ≤(1 +H)N e −ν|t−τ| với t6=τ ≥ 0 (1.15)
Từ phép chiếu P(t), t≥ 0trên X, ta xét họ toán tử Pe(t), t≥ 0trên C (xem thêm Boutet, Chueshov& Rezounenko [61]) như sau:
Từ đó ta có (Pe(t)) 2 =Pe(t), và toán tử Pe(t), t ≥0 là toán tử chiếu trên C Và
Tương tự như vậy, từ phép chiếuP(t), t≥ 0, trênC γ ta xét họ toán tửPe γ (t), t ≥
Khi đó, (Pe γ (t)) 2 = Pe γ (t), suy ra Pe γ (t), t ≥ 0, là toán tử chiếu trên C γ Và ta cũng có
Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính
Trong không gian Banach X, hàm tuyến tính f có giá trị trong X được xem xét trong phương trình tuyến tính không thuần nhất du/dt = A(t)u + f(t) với t ≥ 0 Họ toán tử A(t) được xác định để giải quyết bài toán Cauchy thuần nhất.
Khi đặt chỉnh cho bài toán Cauchy (1.19), tồn tại hàm tiến hóa U(t, s) với t≥s≥0, giúp xác định nghiệm u(t) = U(t, s)u(s) Với điều kiện ban đầu u(0) ∈ X, nghiệm của phương trình (1.18) là hàm u liên tục, thỏa mãn phương trình tích phân u(t) = U(t, 0)u(0) + t.
Có thể tham khảo Wu [3] để tìm hiểu chi tiết về nghiệm đủ tốt của phương trình vi phân hàm, cũng như mối quan hệ giữa nghiệm mạnh và nghiệm cổ điển.
Giả thiết 1.1 Cho không gian Banach X, Y là không gian Banach khả ly với
X =Y 0 Giả sử A(t) là T-tuần hoàn, tức là A(t+T) =A(t) với hằng số T >0 cố định và với mọi t∈R + Khi đó, U(t, s) t≥s≥0 là T-tuần hoàn, tức là
U(t+T, s+T) = U(t, s) với mọi t ≥ s ≥ 0, cho thấy tính chất bất biến theo thời gian Đồng thời, không gian Y, được xem là không gian con của không gian Y 00 thông qua phép nhúng chính tắc, cũng duy trì tính bất biến dưới tác động của toán tử.
U 0 (T,0), trong đó U 0 (T,0) là toán tử liên hợp của toán tử U(T,0).
Để chứng minh tính ổn định (có điều kiện) của nghiệm tuần hoàn trong phương trình tiến hóa trung tính ở Chương 3 và 4, chúng tôi sẽ sử dụng bất đẳng thức nón như một công cụ hữu hiệu Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày lại khái niệm và định lý liên quan đến bất đẳng thức nón, theo tài liệu trong Daleckii & Krein [56, Chương I].
Bất đẳng thức nón
Định nghĩa 1.15 Một tập đóng K trong không gian Banach W được gọi là nón nếu nó thỏa mãn các điều kiện:
Trong không gian Banach W, ta định nghĩa mối quan hệ thứ tự bộ phận bằng cách viết x ≤ y nếu y − x thuộc nón K Định lý 1.4, hay còn gọi là bất đẳng thức nón, nêu rằng nếu nón K là bất biến với toán tử tuyến tính D trong không gian Banach W và bán kính phổ r < 1, thì với một véc tơ x thuộc W thỏa mãn bất đẳng thức x ≤ K Dx + z (với z thuộc W), nó cũng sẽ thỏa mãn đánh giá x ≤ K y, trong đó y là nghiệm của phương trình y = Dy + z.
SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA
Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính 31
Cho hàm f nhận giá trị trong không gian Banach X, chúng tôi xét phương trỡnh tiến húa trung tớnh tuyến tớnh khụng thuần nhất với hàm chưa biết u(ã) có dạng
(2.4) ở đây, họ các toán tử A(t) t≥0 được xác định sao cho bài toán Cauchy
(2.5) đặt chỉnh Điều này có nghĩa là, tồn tại họ tiến hóa U(t, s) t≥s≥0sao cho nghiệm của bài toán Cauchy (2.5) được cho bởi u(t) =U(t, s)u(s).
U(t, τ)f(τ)dτ với mọi t ≥0 (2.6) được gọi là nghiệm đủ tốt của phương trình (2.4).
Bổ đề 2.1 (xem Huy & Dang [13, Định lý 2.3]) Cho không gian Banach X, họ tiến hóa U(t, s) t≥s≥0 thỏa mãn Giả thiết 1.1 và giả sử thêm rằng: Với f ∈ C b (R + , X) tồn tại x 0 ∈ X sao cho sup t≥0
≤Mkfk C b ( R + ,X) (2.7) Khi đó, nếu f là T-tuần hoàn thì tồn tại xˆ ∈X sao cho hàm w(t) =U(t,0)ˆx+ t
U(t, τ)f(τ)dτ với mọi t≥0 là T-tuần hoàn và kwk ≤ (M +T)Ke αT kfk C b (R + ,X) Hơn nữa, nếu họ tiến hóa
U(t, s) t≥s≥0 thỏa mãn t→∞lim kU(t,0)xk= 0 với x∈ X sao cho U(t,0)x bị chặn trong R + thì xˆ xác định ở trên là duy nhất.
Theo Bổ đề 2.1, ta có thể khẳng định định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm T-tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính (2.6) Cụ thể, nếu các giả thiết của Bổ đề 2.1 được thỏa mãn và toán tử sai phân F đáp ứng Giả thiết 2.1, thì phương trình (2.6) sẽ có một nghiệm u(t)ˆ là T-tuần hoàn, với điều kiện kˆu(t)k ≤ (M + T)Ke αT.
Hơn nữa, nếu họ tiến hóa U(t, s) t≥s≥0 thỏa mãn t→∞lim kU(t,0)xk= 0 với x∈X sao cho U(t,0)x bị chặn trong R + , (2.9) thì nghiệm u(t)ˆ là duy nhất.
Chứng minh Cho xˆ là vec-tơ ban đầu trong Bổ đề 2.1 sao cho w(t) =U(t,0)ˆx+ t
U(t, τ)f(τ)dτ với t≥ 0 là T-tuần hoàn Khi đó, ánh xạ Ω : [−r,∞)→ X được định nghĩa bởi
Trong đoạn này, w(t)(−re ≤ t ≤ 0) được xác định là kéo dài tuần hoàn của w(t) trên khoảng [−r,0) Do w(t) là T-tuần hoàn, nên Ω(t) cũng mang tính T-tuần hoàn Chúng ta có Ω∈C b ([−r,+∞), X) và kΩk C b ([−r,+∞),X ) ≤ (M +T)Ke αT kfk C b ( R + ,X ) Tiếp theo, toán tử Ψ :˜ C b ([−r,+∞), X) → C b ([−r,+∞), X) được định nghĩa như sau.
Vì kΨk< 1 nên ta có keΨk ≤ kΨk 0 Suy ra, với t 0 > 0 cố định, tập phổ của toán tử T(t 0 ) chia thành hai tập khác nhau σ 0 , σ 1 , ở đây σ 0 ⊂ {z ∈ C: |z| 1}.
Chúng tôi chọn P =P(t 0 ) là các phép chiếu Riesz tương ứng của tập phổ σ 0 và
Q=I −P Khi đó, P và Q giao hoán với T(t) với mọi t > 0.
Tiếp theo, chúng ta định nghĩa TQ(t) := T(t)Q là hạn chế của T(t) trên ImQ Theo Định lý nửa nhóm, nửa nhóm T(t) với t > 0 có nhị phân mũ và hạn chế TQ(t) là khả nghịch Hơn nữa, tồn tại các hằng số dương N và β sao cho ||T(t)| PX|| ≤ N e^(-βt) với mọi t ≥ 0, và ||TQ(-t)|| = ||TQ(t)||^(-1) ≤ N e^(-βt) với mọi t ≥ 0.
(4.39) Đặt A(t) := a(t)A, ta có A(t) là 1-tuần hoàn, và họ A(t) t≥0 sinh ra họ tiến hóa U(t, s) t≥s≥0 là 1-tuần hoàn được định nghĩa bởi
Khi đó, họ tiến hóa U(t, s) t≥s≥0 có nhị phân mũ với toán tử chiếu P(t) =P, với mọi t≥ 0 và các hằng số N, ν :=βγ 0 thỏa mãn các đánh giá
≤N e −ν(t−s) , với mọi t≥ s≥ 0 Toán tử sai phân F được định nghĩa bởi
Khi đó,F có dạngF = δ 0 −Ψvới Ψ = hδ −1 , kΨk ≤ |h| 0, hàm thực ψ(ã) được xỏc định bởi ψ(t)
(4.40) Khi đó, ta có sup t≥0 t+1
2 c−1 mặc dù giá trị của ψ có thể rất lớn Do đó, phương trình (4.37) có thể viết lại thành
Vỡ k(ã, t) là 1-tuần hoàn nờn g(t, φ) là 1-tuần hoàn theo t với mỗi hàm φ ∈ B γ ρ.
1/2 ta có kg(t,0)k =ψ(t)kk(ã, t)k ≤ αψ(t) Khi đó, kg(t, u t (x, θ))−g(t, v t (x, θ))k
Vậy, kg(t, u t (x, θ))−g(t, v t (x, θ))k ≤ K 0 ψ(t)ku t −v t k γ , với mọi ut, vt ∈ B γ ρ Điều này suy ra, g thỏa mãn giả thiết của Định lý 4.3 và Định lý4.4 với L 0 =ρ+ K α
Vậy, theo Định lý4.3 ta có: Nếu c đủ lớn (suy ra, kψk M đủ nhỏ) sao cho
Đối với phương trình (4.37), nếu kΨk ≤ ρ và M = (1+H)N(N 1−e −ν 1 +N 2), thì tồn tại một nghiệm duy nhất đủ tốt ˆu ∈ B γ ρ (0) là 1-tuần hoàn và nghiệm này ổn định có điều kiện Theo Định lý 4.5, có một đa tạp ổn định địa phương S xung quanh nghiệm tuần hoàn ˆu của phương trình (4.37).
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu lớp phương trình tiến hóa trung tính có trễ vô hạn, mở rộng từ Chương 3 và bài toán của Huy & Dang Cụ thể, từ phương trình tiến hóa trung tính nửa tuyến tính có trễ hữu hạn trong Chương 3, phần phi tuyến g(t, v) được xác định là ϕ-Lipschitz với mỗi v thuộc không gian hàm C Khi chuyển sang bài toán trong Chương 4 với trễ vô hạn, v thuộc không gian giảm nhớ C γ.
F u t =u(t) và γ =ν,bài toán của Chương 4 sẽ trở về bài toán của Huy & Dang [28].
Các kết quả thu được là:
1 Chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình tiến hóa trung tính (4.1) trong không gian giảm nhớC γ ,phương trình có trễ vô hạn.
2 Chỉ ra tính ổn định có điều kiện nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình đó.
3 Chứng minh tồn tại một đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm đủ tốt tuần hoàn thu được.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1 Những kết quả đã đạt được
Luận án này nghiên cứu tính tuần hoàn và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa trung tính bằng cách sử dụng các công cụ như phương pháp Massera, phương trình Lyapunov-Perron, nguyên lý điểm bất động, chuỗi Neumann và bất đẳng thức nón Chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất, và tính ổn định có điều kiện, cùng với đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn của các phương trình tiến hóa trung tính có trễ hữu hạn hoặc vô hạn Những kết quả này cung cấp cái nhìn hình học về dáng điệu tiệm cận của nghiệm trong bối cảnh nhiễu phi tuyến xung quanh nghiệm tuần hoàn Luận án tập trung vào lớp phương trình tiến hóa trung tính có dạng dF u_t/dt = A(t)F(u_t) + g(t, u_t), với t ∈ [0,+∞) và u_0 = φ ∈ H, trong đó H có thể là không gian hàm C hoặc không gian giảm nhớ C^γ.
(i) Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của lớp phương trình tiến hóa trung tính tuyến tính không thuần nhất (Định lý 2.1).
Để thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của lớp phương trình tiến hóa trung tính nửa tuyến tính, cần xem xét phần phi tuyến g(t, v) có tính liên tục Lipschitz hoặc ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ phụ thuộc vào thời gian t và thuộc vào không gian hàm chấp nhận được Đồng thời, v phải thuộc không gian hàm C hoặc không gian giảm nhớ C γ.
Để đảm bảo sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm tuần hoàn cho lớp phương trình (4.41), cần thiết lập các điều kiện sau: phần tuyến tính sinh ra họ tiến hóa có nhị phân mũ và phần phi tuyến g(t, v) phải liên tục Lipschitz (theo Định lý 2.3) hoặc ϕ-Lipschitz Hơn nữa, v cần thuộc không gian hàm C (theo Định lý 3.3) hoặc thuộc không gian giảm nhớ C γ (theo Định lý 4.3).
Để thiết lập điều kiện đủ cho tính ổn định có điều kiện nghiệm tuần hoàn của lớp phương trình (4.41), cần xem xét phần tuyến tính sinh ra họ tiến hóa có nhị phân mũ Điều này tương ứng với ba trường hợp của hàm trễ phi tuyến g, được thể hiện qua các định lý: Định lý 2.4, Định lý 3.4 và Định lý 4.4.