Phương pháp nhận dạng hệ thống không gian con (Subspace-based System Identification)
Phương pháp nhận dạng hệ thống không gian con ngẫu nhiên là công cụ hiệu quả để nhận diện các hệ thống tuyến tính thời gian bất biến, áp dụng mô hình tuyến tính cho các số đo đầu vào/ra hoặc chỉ đầu ra Năm 1985, Benveniste và Fuchs đã chứng minh rằng phương pháp biến công cụ và phương pháp thực hiện cân bằng tương thích trong việc xác định cấu trúc riêng của hệ thống tuyến tính dưới tác động của các kích thích không dừng không đo được Kết quả này đã giới thiệu một hình thức phổ biến của phương pháp không gian con theo dữ liệu Gia đình các phương pháp không gian con đang ngày càng phát triển, với năng suất lớn liên quan đến các bài toán kết cấu to lớn dưới giả thiết về kích thích thực Nhiều phương pháp không gian con đã được đặt vào một khung chung, và sự tương thích không dừng của chúng trong việc xác định cấu trúc riêng cũng đã được chứng minh.
Khi nghiên cứu về tính chất lý thuyết của phương pháp không gian con, có nhiều nghiên cứu hội tụ trong ngữ cảnh dừng Những bài báo này cung cấp các kết quả sâu sắc và kỹ thuật, bao gồm cả lượng giá hội tụ Chúng thường giải quyết bài toán xác định ma trận hệ thống hoặc ma trận truyền, bao gồm cả cực và phần không của hệ thống.
Phương pháp không gian con đã được áp dụng rộng rãi trong việc nhận dạng các quá trình điều khiển tự động, đặc biệt trong cơ khí, xây dựng và kỹ thuật hàng không Trong những thập kỷ gần đây, sự quan tâm đến việc xác định các mode dao động và hình dạng mode của kết cấu ngày càng tăng Do đó, việc nhận dạng một hệ thống tuyến tính thời gian bất biến từ các số đo trở thành một dịch vụ cơ bản trong kiểm tra dao động.
Phương pháp nhận dạng không gian con ngẫu nhiên (Stochastic Subspace Identification
Chúng ta nghiên cứu các hệ thống tuyến tính đa biến không thay đổi theo thời gian, được mô tả bằng mô hình không gian trạng thái rời rạc theo thời gian Những hệ thống này có thể được biểu diễn qua các phương trình trạng thái, cho phép phân tích và điều khiển hiệu quả.
Trong hệ thống được mô tả bởi phương trình Y = CX + DU + W, với X không thuộc R^n, U là thành phần vào quan sát được thuộc R^m, và Y là thành phần ra thuộc R^r, có sự hiện diện của các nhiễu loạn không quan sát được V và W Ma trận A thuộc R^(n x n) là ma trận chuyển trạng thái, trong khi ma trận C thuộc R^(r x n) là ma trận quan sát Tham số n biểu thị bậc hệ thống, còn r là số thành phần ra quan sát được, thường tương ứng với số lượng cảm biến Mục tiêu của nghiên cứu này là xác định các ma trận hệ thống A và C, đặc biệt trong các trường hợp như phân tích mode vận hành, nơi không có thành phần vào quan sát được.
Việc nhận dạng hệ thống được thực hiện thông qua dữ liệu đầu ra (output-only data) Y k, trong khi các đầu vào (inputs) có sẵn là B=0 và D=0 Khi một số thành phần đầu vào U k được quan sát, các thuật toán nhận dạng không gian con kết hợp giữa tính quyết định và tính ngẫu nhiên có thể được áp dụng Nhiều phương pháp nhận dạng không gian con ngẫu nhiên đã được đề cập trong tài liệu, tất cả đều dựa trên khung tổng quát để xác định các ma trận hệ thống A và C.
Dựa trên dữ liệu đầu vào và đầu ra, một ma trận H p+1,q được xây dựng tương ứng với phương pháp không gian con đã chọn Ma trận này được gọi là ma trận không gian con hay ma trận Hankel Phương pháp không gian con lựa chọn cho phép phân tích hiệu quả với số lượng lớn mẫu, thể hiện tính chất phân tích p+1,q p+1 q.
H = WO Z (2) có ma trận quan sát p+1 p
(3) và ma trận Z q , với một ma trận trọng số có thể nghịch đảo (invertible weighting matrix)
W phụ thuộc vào phương pháp không gian con được lựa chọn Tuy nhiên, trong nhiều phương pháp không gian con, W là ma trận đơn vị
Tập hợp con của r sensors có thể giảm kích thước ma trận trong quá trình nhận dạng Những sensors này được gọi là kênh chiếu hoặc sensor tham khảo, với r 0 là số sensor tham khảo (r 0 ≤ r) Các thông số p và q được chọn sao cho pr ≥ qr 0 ≥ n Để đơn giản, các thông số này sẽ được giả định và các chỉ số phía dưới của H p+1,q, O p+1, và Z q sẽ được bỏ qua.
Ma trận quan sát O được tạo ra từ việc phân tích SVD mỏng và sự cắt cụt của nó tại bậc mô hình mong ước n.
Lưu ý rằng các giá trị riêng trong ma trận Σ1 không được bằng không, và ma trận O phải có hạng cột đầy đủ Trong trường hợp này, Σ được xác định là một ma trận Ma trận quan sát C được xác định từ khối hàng đầu tiên của ma trận quan sát.
The state transition matrix A is derived from the shift invariance property of matrix O, specifically through the least squares solution.
Hãy để cặp λ , là trị riêng và vector riêng của ma trận A và xác định hình dạng mode
Giả sử hệ thống có ít trị riêng, cặp λ và φ λ là các liên hợp phức, trong đó φ λ là một ma trận Đặc biệt, 0 không phải là trị riêng của ma trận chuyển trạng thái A Bộ cặp (λ, φ λ) tạo thành một biểu diễn bằng tham số kinh điển, không thay đổi khi cơ sở trạng thái thay đổi, và thể hiện phần cực của hệ thống, được xem là cấu trúc riêng của hệ thống.
Những ví dụ của phương pháp nhận dạng không gian con ngẫu nhiên
Hai phương pháp SSI phổ biến:
Hai phương pháp nhận dạng không gian con nổi bật là phương pháp nhận dạng không gian con theo hiệp phương sai và phương pháp thành phần chính không trọng số theo dữ liệu Cả hai phương pháp này đều được thực hiện bằng cách sử dụng một tập hợp con của các cảm biến được ghi lại ở một số điểm nhất định trong hệ thống.
11 toán, được gọi là sensor tham khảo (reference sensor) hay kênh chiếu (projection channel) [24], để làm giảm các nỗ lực tính toán
Giả sử N+p+q là số mẫu có sẵn, và Y k (ref) thuộc R r 0 với r0 ≤ r là vector chứa dữ liệu từ cảm biến tham khảo, là một tập hợp con của Y k cho tất cả các mẫu Tiếp theo, chúng ta sẽ xác định các ma trận dữ liệu tương ứng.
Đối với nhận dạng không gian con theo hiệp phương sai (covariance-driven subspace identification), cho R = E Y Y i k k-i (ref) T và ma trận Hankel khối (block Hankel matrix):
Tương quan thành phần ra lý thuyết (theoretical output-correlation) và ma trận không gian con cho các thông số p và q được trình bày Bài viết cũng giới thiệu tương quan chéo (cross-correlation) giữa trạng thái và thành phần ra, với G = E X Y k k (ref) T , cùng với những tương quan R i mà nó mang lại.
R = CA G i Trong tính chất phân tích (factorization property), W là ma trận đơn vị và
Z = C A, G = G AG A G là ma trận điều khiển nổi tiếng Từ dữ liệu đầu ra Y k, các tương quan thực có thể được ước lượng từ ˆ n i k k-i với k=i+1.
R = Y Y, (10) được sử dụng để ước lượng ma trận không gian con H ˆ (cov) = HankR ˆ i Một biến thể khác của phương pháp này áp dụng ma trận không gian con.
H = Y Y (11) thay vì H ˆ (cov) Đối với phương pháp thành phần chính không trọng số (Unweighted Principal Component algorithm), ước lượng của ma trận không gian con được xác định là
H = Y Y Y Y Y , (12) trong đó † biểu thị nghịch đảo giả (pseudo-inverse) Rồi, tính chất phân tích (factorization property) chứa một cách tiệm cận cho N khi W là ma trận đơn vị
The identity matrix and Z represent the Kalman filter state matrix An effective and numerically stable method for estimating the observability matrix is to avoid the explicit computation of the matrix Hˆ (UPC) Instead, utilizing the LQ decomposition provides a more efficient approach.
Y (13) được áp dụng, dẫn đến mối quan hệ H ˆ (UPC) = R Q 21 1 Với Q 1 là một ma trận trực giao, ước lượng của ma trận quan sát O ˆ có thể được thu thập trực tiếp từ R 21 trong quá trình thực hiện phương pháp.
Thuật toán tính toán độ không chắc chắn (Uncertainty Quantification Algorithm)
Một số nguyên nhân giải thích tại sao SSI không cung cấp ma trận hệ thống chính xác (exact system matrices) A, C mà chỉ cho ra những ma trận ước lượng, bao gồm sự giới hạn trong dữ liệu đầu vào và các giả định trong mô hình.
Do số lượng mẫu dữ liệu N có hạn, các ma trận hiệp phương sai đầu ra R j không thể được tính toán chính xác, mà chỉ có thể được ước lượng bằng R ˆ j.
Thành phần vào không đo được (unmeasured inputs) f k và thành phần gây nhiễu đầu ra n y,k có thể không phải là các vector gây nhiễu trắng, điều này có thể dẫn đến việc mô hình không gian trạng thái không phản ánh chính xác hệ thống.
Do các kết cấu thực tế thường mang tính phi tuyến, những biến dạng phi tuyến có thể xuất hiện trong dữ liệu, dẫn đến việc mô hình không gian trạng thái tuyến tính không phản ánh chính xác hệ thống.
Tất cả các kết cấu thực tế đều không tĩnh tại, vì các thuộc tính vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ, độ ẩm và các yếu tố chuyển động khác Do đó, việc sử dụng hệ thống không gian trạng thái tĩnh tại có thể không phản ánh đúng mô hình hệ thống, đặc biệt khi xử lý dữ liệu dài hạn.
Màn lọc analog và số trong xử lý dữ liệu có thể tạo ra những cực giả trong mô hình tính toán Hơn nữa, do tính không hoàn hảo của các màn lọc này, những thành phần tần số ngoài dải kích thích vẫn có thể xuất hiện trong mô hình.
Việc lựa chọn bậc hệ thống n trong mô hình tính toán rất quan trọng, vì giá trị này có thể bị chọn sai, dẫn đến những sai lệch đáng kể, như việc chọn giá trị quá thấp hoặc quá cao.
Từ góc nhìn của thống kê (statistical point of view), có 3 loại sai số (errors) trên ma trận hệ thống tính toán A ˆ , C ˆ :
Sự sai lệch của mô hình trong hệ thống tính toán có thể bao gồm cả các mode thực tế của hệ thống đang được kiểm tra và các mode giả, dẫn đến những kết quả không chính xác.
- Sự sai lệch (bias) của mode: Những mode được nhận dạng của hệ thống thực có thể bị sai lệch
Sự khác biệt hay phương sai của mode trong hệ thống có thể bị ảnh hưởng bởi sai số khác biệt Trong khi có những quy trình để khử sai số sai lệch, sai số khác biệt chỉ có thể được ước lượng Một phương pháp để ước lượng sai số khác biệt từ dữ liệu đơn sẽ được trình bày, bắt đầu với ước lượng hiệp phương sai của đầu ra ˆR j, từ đó tính toán hiệp phương sai của ma trận hệ thống và thông số mode.
Phương sai của singular values (variance of singular values)
Xem xét một ma trận H số thực kích thước n m với n m Ma trận này có thể được phân tích như sau [31]
H = σ u v (14) trong đó σ j , u j , v j tương ứng là singular values, left và right singular vectors trong trường hợp này là một ma trận
Bây giờ giả sử rằng có một nhiễu động (perturbation) trên dữ liệu của A (entry of A)
A = A( ) + F (15) trong đó F là một ma trận với giá trị 1 trên một dữ liệu H, σ j , u j , v j bây giờ là hàm của biến
Rút ra đạo hàm của công thức (deriving the derivative of formula) Hv = σ u j j j đối với (with respect to) và tính toán (evaluate) biểu thức này tại 0 cho ta j j j j j j
H(0)v (0) + H(0) v (0) = σ (0)u (0) + σ (0)u (0) (16) Nhân trái (left multiplication) bởi u (0) T j , chú ý (take into account) rằng
(đạo hàm của u u = 0 T j j đối với ),
• v (0)v (0) = 0 (đạo hàm của v v = 0 T j j đối với ),
H(0) = F, cho ra độ nhạy (sensitivity) của singular value σ j đối với
Chính vì vậy, mức độ biến đổi (variation) của trị riêng có thể được viết lại như sau
Lấy tổng trên tất cả xáo động có thể chỉ ra rằng công thức Δσ = u (0) ΔH v (0) j T j j vẫn đúng cho một xáo động tùy ý (arbitrary perturbation) ΔΑ Sử dụng đại số Kronecker
(Kronecker algebra), công thức trên trở thành
Chính vì vậy, phương sai của j bằng
Hiệp phương sai của singular vectors (covariance of singular vectors)
Xem xét một ma trận H số thực kích thước n m với n m với SVD của nó Sử dụng j j j
Av = σ u và u H = σ v T j j T j , tiếp theo rằng [31] j j j u = Hv / σ
Giới thiệu xáo động trên A, và rút ra đạo hàm của công thức trên đối với tại 0 cho ra những phương trình sau j j j
Các nghiên cứu cũ đã xác minh rằng z (0)B (0) = 0 T j j Điều này là do sự thật rằng z (0) • j được ép buộc bởi
• z (0)z (0) = 0 (24) bằng cách lấy vi phân của z z = T j j 2 đối với , chú ý rằng j 2 j 2
2 2 1 u = v = Chúng ta suy ra rằng j j j
Rồi nhân phương trình trên với cho ra mức độ biến đổi của singular vector
Lấy tổng trên tất cả mọi xáo động có thể cho thấy rằng phương trình trên vẫn đúng cho một xáo động tùy ý ΔH Biến đổi thành đại số Kronecker
P = E E (28) trong đó P là một ma trận hoán vị (permutation matrix) kích thước nm nm , và
E k k là ma trận kích thước n m bao gồm 1 ở dữ liệu k , k1 2 và 0 ở các dữ liệu còn lại
Cuối cùng, hiệp phương sai của left và right singular vector mang lại
Hiệp phương sai của những ma trận hệ thống được xác định (covariance of identified system matrices)
Cho u , ,u 1 n và v , , v 1 n là n left và right singular vector đầu tiên của một ma trận
Z R với a b n, U = u 1 1 u n và V = v 1 1 v n Tương tự (analogously), cho σ , ,σ 1 n là n singular values đầu tiên của Z, SVD mỏng của Z được cho bởi
17 trong đó S = diag σ , ,σ 1 1 n Giả sử Z là một hàm ma trận nhẵn và có giới hạn (smooth and bounded matrix function) với t 0 t 0 t2
Z( ) = Z( ) + Z( ) + O( ), (31) và biểu thị (denote) một xáo động bậc nhất (first-order perturbation) của Z = Z(0) bởi t ΔZ = Z(0) • cho t nhỏ
Xáo động bậc nhất của ma trận hệ thống A có thể được rút ra từ quá trình di chuyển
Xáo động của O có thể được ước lượng (estimate) thông qua việc sử dụng ma trận lựa chọn S 2
Ma trận O thường có số lượng hàng lớn hơn số lượng cột và được xác minh là ma trận có hạng đầy cột.
O Ο O O Xáo động của O viết như sau
(34) Chính vì vậy, xáo động của ma trận trạng thái có thể được viết lại như sau
(35) Độ nhạy của A có thể cuối cùng được xác định từ xáo động của ma trận quan sát
Xáo động của ma trận quan sát có thể được nhận ra như là một hàm số của xáo động của những singular values và những singular vectors
Chính vì vậy, độ nhạy (sensitivity) của A có thể được sắp xếp như là
(39) Độ nhạy của singular values và singular vectors chính vì vậy nên được kết nối vào độ nhạy của ma trận không gian con
L là ma trận lựa chọn n (p+1)r (p+1)r×qr
Cuối cùng, xáo động của ma trận A có thể được dựng lên
Tương tự như vậy, xáo động của ma trận hệ thống C có thể được thu được
Rồi hiệp phương sai của những ma trận hệ thống ước lượng (estimated system matrices) được xác định ˆ ˆ ˆ
Một vấn đề quan trọng còn lại là tính toán hiệp phương sai của ma trận không gian con, điều này phụ thuộc vào phương pháp xác định hệ thống không gian con Đầu tiên, hiệp phương sai của ma trận Hankel, được tính theo hiệp phương sai của ma trận Hankel dựa trên hiệp phương sai, sẽ được xem xét Tín hiệu đầu ra Y (r N × pq) sẽ được chia thành n b khối cột, với mỗi khối chứa N b = floor N (pq / n b) cột Để đảm bảo mỗi khối hàng độc lập, n b và N b cần đủ lớn Do đó, (p+q) hiệp phương sai ra theo mỗi khối k = 1, , n b sẽ được tính toán.
Sau đó xây dựng ma trận Hankel H (k) theo mỗi khối k dựa vào những hiệp phương sai ra thu được (obtained output covariances) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
Ma trận H ˆ (k) cũng có thể được xác định bằng cách cắt những tín hiệu ra (output signals)
Rồi hiệp phương sai của ma trận Hankel tính theo hiệp phương sai được tính toán từ công thức thống kê sau
cov vec H vec H - vec H vec H - vec H (52) trong đó ˆ n b ˆ (k) b k=1
Hiệp phương sai của thông số mode xác định được (covariance of identified modal parameters)
The terms f_i, ξ_i, φ_i, λ_i, λ_ci, ψ_i, and χ_i represent the eigenfrequency, damping ratio, mode shape, discrete-time eigenvalue, continuous-time eigenvalue, right eigenvectors, and left eigenvectors of a system at order i (where 1 ≤ i ≤ n).
Hiệp phương sai của thông số mode có thể được ước lượng [31] cov ˆ ˆ i H fξi λci λi 2×rn fξi λci λi 2×rn i φi φi i
Người ta rút ra được rằng i là trị riêng của ma trận A với những vector riêng phải và trái ψ i và χ i tương ứng i i i
Discrete-time system poles (λi) are related to continuous-time system poles (ci) through the equation ci = 2πf = λ This relationship highlights the connection between discrete and continuous systems in signal processing and control theory Understanding this relationship is crucial for analyzing system stability and performance in various applications.
Hình dạng mode được xác định như là i i
Những ma trận Jacobian chi tiết có thể được cho thấy như là
Hình dạng mode i sẽ được tiêu chuẩn hóa (normalized) thành i để mà một trong những phần tử của nó là đơn vị (unity) i i i,k
Chỉ số dưới dòng (subscript) re là như sau
Tính độ không chắc chắn của hình dạng mode (uncertainty of mode shape)
Tham khảo tài liệu của Xuan-Binh Lam [26]
Cho λ u là một trị riêng của A với vector riêng phải ψ u và vector riêng trái χ u như là u u u
Hình dạng mode φ u với r thành phần phức hợp (complex compnents) là một hàm của ma trận hệ thống C và vector riêng phải ψ u của A
Giá trị tuyệt đối s u,j và pha θ u,j của từng thành phần φ u,j được biểu diễn dưới dạng s exp iθ u,j, với u,j = u,j và j = 1, ,r Độ không chắc chắn của hình dạng mode được mô tả như sau:
u u u Δφ = ΔC ψ + CΔψ (64) và độ không chắc chắn của vector riêng phải Δψ u thỏa mãn
I n biểu thị ma trận đơn vị kích thước n, trong đó n là bậc hệ thống (system order) Vì
Ma trận K 1 là một ma trận đặc biệt, và phương trình liên quan không thể cung cấp một đáp án duy nhất cho Δψ u Thay vì sử dụng nghịch đảo giả của K 1, điều kiện độ dài bất biến của vector riêng u = c ψ với các hằng số c được thêm vào, dẫn đến ψ Δψ = 0 u H u như một ràng buộc bổ sung Để thực hiện điều này, một dòng của K 1 được thay thế bởi ψ H u và dòng tương ứng của K 2 được thay thế bằng 0 Do đó, độ không chắc chắn của vector riêng được diễn tả bằng u ψ u Δψ = J vecΔA.
J ψ = K K (67) Độ không chắc chắn của hình dạng mode tiếp tục u u
Lựa chọn hằng số thực c không ảnh hưởng đến độ lệch tương đối Δφ / φ, nhưng hình dạng mode φ u lại được xác định bởi một hằng số phức Trong các phương pháp cũ, hình dạng mode được tiêu chuẩn hóa bởi một trong những thành phần của nó, dẫn đến hình dạng mode độc nhất và có thể so sánh được Tuy nhiên, giá trị của thành phần này luôn là 1, do đó phương sai của nó là 0 Một phương pháp thực tế hơn là tiêu chuẩn hóa hình dạng mode bằng góc pha của thành phần k có giá trị tuyệt đối lớn nhất.
Thành phần thực của hình dạng mode được tiêu chuẩn hóa φ u có độ lớn tối đa của độ lệch (deflection) Độ không chắc chắn của hình dạng mode được tiêu chuẩn hóa tiếp tục được nghiên cứu và phân tích để đảm bảo tính chính xác trong các ứng dụng kỹ thuật.
ImΔφ = ImJ vecΔC (72) nhưng với thành phần thực của ma trận Jacobian của hình dạng mode được tiêu chuẩn hóa
ReJ = 1 s + Imφ Reφ - Reφ Imφ Imφ -Reφ S ImJ s
ImJ = 1 s + Reφ Reφ + Imφ Imφ Imφ -Reφ S ImJ s
(74) trong đó S0,1 2 2r là ma trận lựa chọn cái mà bằng 0 ở mọi nơi ngoại trừ S 1, k 1 và
Lấy vi phân phương trình bình phương tối thiểu dựa trên QR
Mục tiêu của phần này là khám phá ra độ không chắc chắn liên quan đến bài toán bình phương tối thiểu
O A = O (75) Ở đó phân tích QR sau được giới thiệu
A = R Q O (77) Độ nhay của ma trận hệ thống A biểu diễn như sau
Cái này cũng có thể được viết dưới dạng vectơ như là
(79) ở đó P Q là 1 ma trận cái mà có thể sắp xếp lại vec ΔQ thành vec Δ Q T
Tính toán độ không chắc chắn cho ma trận R
Tiếp theo những dòng của (Chang, 1997) [27], độ nhạy của ma trận R được tìm thấy nguồn gốc như
Toán tử up được xác định như là
(82) Đối với bất kỳ ma trận vuông C c ij c 1 c n , chỉ rõ c j i vectơ of i phần tử đầu của c j Với cái này, chúng ta xác định
Nó là vectơ được tạo thành bằng cách sắp xếp những cột của phần tam giác trên của C thành 1 vectơ dài.
Sự vectơ hóa phía trên của ma trận của đạo hàm của R có thể được xác định bởi
Sự xáo động vectơ hóa của R được xác định từ đạo hàm R thông qua công thức vecΔR = S uvecΔR R, trong đó các ma trận W R và Z R được nêu trong nghiên cứu của Chang (1997) [27].
Tính toán độ không chắc chắn cho ma trận Q
Xáo động của ma trận Q được viết như là
Tính toán độ không chắc chắn tương đối vào H
Tìm thấy nguồn gốc độ nhạy của C ở dạng vectơ hóa dẫn tới
Tìm thấy nguồn gốc độ nhạy của O ở dạng vectơ hóa dẫn tới
Cuối cùng, xáo động của ma trận quan sát có thể được kết nối vào độ không chắc chắn của ma trận Hankel như là
j là trị riêng ở bậc hệ thống j j 1, , n u j (cũng như v j ) là cột số j của U 1 (cũng như
E k k p r qr là một ma trận p 1 r qr cái mà phần tử là 1 ở vị trí k k 1, 2 và 0 ở những vị trí khác.
Nhận dạng không gian con ngẫu nhiên đa cấp bậc (MOSSI)
Trong nhiều ứng dụng thực tế, bậc của hệ thống thực sự không được xác định Do đó, việc nhận dạng hệ thống thường được thực hiện cho các mô hình với các bậc khác nhau, từ n = n_j, j = 1, ,t.
Số mô hình được ước lượng là t, và lựa chọn bậc mô hình n_j (j = 1, ,t) phụ thuộc vào người dùng cũng như bài toán cụ thể Ví dụ, có thể chọn n_j = j + c hoặc n_j = 2j + c với một số hằng số c nhất định.
Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu và sử dụng các ký hiệu để xác định các bậc hệ thống khác nhau Cụ thể, O j được định nghĩa là ma trận khả năng quan sát thuộc không gian R (p + 1) r n × j, A j là ma trận chuyển trạng thái trong không gian R n j × n j, và C j là ma trận quan sát ở bậc mô hình n j trong không gian R r n × j Ngoài ra, O j và O j lần lượt đại diện cho p khối hàng đầu tiên và cuối cùng của ma trận O j.
Sự tính toán các ma trận hệ thống
Ma trận hệ thống A j là nghiệm của bài toán bình phương tối thiểu ở bậc mô hình được chọn n j Một cách thong thường ổn định số để giải nó là
A j O O j j (92) ở đó † ký hiệu nghịch đảo giả Moore-Penrose
Một cách hiệu quả hơn và cũng ổn định số hơn để giải nó (cũng xem (Golub, 1996) [28]) là làm phân tích QR mỏng
O Q R (93) ở đó Q j R pr n j là một ma trận với các cột trực giao và R j R n j n j là ma trận tam giác trên
R j được giả sử là đầy hạng, cái mà là hợp lý như là O j là đầy hạng cột
S j R n j n j , nghiệm của lời giải bình phương tối thiểu là
Ma trận quan sát C j được tìm thấy trong khối hàng đầu tiên của O j Định lý 1 (xem (Dohler, 2011) [29]):
Hãy để O ,Q , R t t t , và S t được cho ở bậc mô hình mong ước lớn nhất n t với
O Q R S Q O A = R S (96) Để mà A t là lời giải bình phương tối thiểu
Hãy để j 1, , t 1 , và hãy để R -1 t và S t được phân chia thành các khối
R S S (98) ở đó R (11) j ,S (11) j R n j n j Rồi, ma trận chuyển trạng thái A j ở bậc mô hình n j , cái mà là lời giải bình phương tối thiểu của
Độ không chắc chắn ma trận hệ thống ở bậc t
Xáo động của S t được mở rộng thành
Độ không chắc chắn ma trận hệ thống ở bậc j
Ở một bậc được cho j, hãy để R = R (11) j và S = S (11) j Ma trận trạng thái A = A j được mô tả bởi phân tích QR
A = R S = S R S S S S (103) ở đó S (1) R , S (2) R , S (1) S và S (2) S là các ma trận lựa chọn phụ thuộc vào bậc j
Xáo động của ma trận trạng thái có thể được viết lại cho MOSSI sử dụng vài ma trận lựa chọn
Như trước đây, biểu thức vectơ hóa của ΔA được biểu diễn bằng phương tiện tích Kronecker như là
Xáo động được vectơ hóa của C có thể được mô tả như là
Cuối cùng, độ không chắc chắn của các ma trận hệ thống có thể được nối lại với nhau j j
Rồi, những hiệp phương sai của các thông số mode được nhận như là
T T μ f A,C A,C f d A,C A,C d φ A,C A,C φ cov f = J J cov vecH J J cov d = J J cov vecH J J cov φ = J J cov vecH J J
Các ví dụ số
Cầu S101 (Siringoringo, 2010) kết nối đường Salzburg – Vienna tại Áo, là một cây cầu bê tông kéo với sải chính 32m, sải bên 12m và độ rộng 6.6m Được xây dựng vào năm 1960, cầu S101 đã trở thành một biểu tượng trên xa lộ quốc gia Áo Bài báo này trình bày dữ liệu dao động xung quanh cầu, được thu thập từ 15 điểm cảm biến, với tần số mẫu ban đầu là 500 Hz và tổng cộng 165000 mẫu thời gian Dữ liệu thu thập được đã được xử lý thành 35.7.
Hz và chỉ 5 mode được quan tâm
Bảng 1 và Bảng 2 trình bày tóm tắt các tần số và hệ số giảm chấn của 5 mode xác định được, bao gồm cả SSI thông thường (Peeters, 1999) và SSI dựa trên QR (Dohler, 2011) Tần số và hệ số giảm chấn thu được từ SSI thông thường và QRSSI gần như tương đồng Để tính toán các biên giới hạn không chắc chắn của các thông số mode, đã sử dụng 18 lag thời gian, dẫn đến p + 1 = q = 9, cùng với 40 bậc mô hình.
Bảng 1 Tính toán độ không chắc chắn của tần số với SSI và QRSSI
Các biên giới hạn không chắc chắn (%)
Bảng 2 Tính toán độ không chắc chắn của tỉ số giảm chấn với SSI và QRSSI
Mode Tỉ số giảm chấn d (%)
Các biên giới hạn không chắc chắn (%)
Bảng 1 và Bảng 2 trình bày các biên giới hạn không chắc chắn cho tần số riêng và tỷ số giảm chấn của 5 mode Các tính toán cho các biên giới hạn này tương đối giống nhau giữa các thuật toán Độ không chắc chắn của tần số thấp hơn nhiều so với tỷ số giảm chấn, điều này phù hợp với lý thuyết thống kê, bởi biên giới hạn dưới của hiệp phương sai được xác định bởi ma trận thông tin Fisher nhỏ hơn cho tần số so với tỷ số giảm chấn (Gersch, 1974) [32].
Các kết luận
Bài báo này trình bày việc tính toán độ không chắc chắn cho các thông số mode, với nguồn gốc và quy trình thực hiện cho cả SSI thường (Peeters, 1999) và QRSSI mới được phát hiện.
Hai thuật toán được nghiên cứu cho ra kết quả so sánh được trên dữ liệu dao động của cầu vượt S101, với độ không chắc chắn của QRSSI tương tự như SSI thông thường Việc tính toán độ không chắc chắn cho QRSSI kế thừa chất lượng từ thuật toán nhận dạng trong Dohler (2011), chỉ tính các biên giới hạn không chắc chắn ở bậc mô hình lớn nhất và cung cấp biên giới hạn ở bậc nhỏ hơn thông qua ma trận lựa chọn.
