Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 1 M M Ụ Ụ C C L L Ụ Ụ C C M M Ụ Ụ C C L L Ụ Ụ C C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 M M Ở Ở Đ Đ Ầ Ầ U U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 N N Ộ Ộ I I D D U U N N G G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 I I . . Ứ Ứ n n g g d d ụ ụ n n g g c c ủ ủ a a B B Đ Đ T T C C ơ ơ s s i i t t r r o o n n g g c c h h ứ ứ n n g g m m i i n n h h B B Đ Đ T T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 I I I I . . M M ộ ộ t t s s ố ố k k ỹ ỹ t t h h u u ậ ậ t t s s ử ử d d ụ ụ n n g g B B Đ Đ T T C C ơ ơ s s i i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 1 1 . . K K ỹ ỹ t t h h u u ậ ậ t t c c h h ọ ọ n n đ đ i i ể ể m m r r ơ ơ i i t t r r o o n n g g c c / / m m c c á á c c B B Đ Đ T T c c ó ó đ đ i i ề ề u u k k i i ệ ệ n n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 2 2 . . K K ỹ ỹ t t h h u u ậ ậ t t t t á á c c h h - - g g h h é é p p C C ơ ơ s s i i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 3 I I I I I I . . Ứ Ứ n n g g d d ụ ụ n n g g c c ủ ủ a a B B Đ Đ T T C C ơ ơ s s i i t t r r o o n n g g b b à à i i t t o o á á n n M M a a x x - - M M i i n n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 5 5 K K Ế Ế T T L L U U Ậ Ậ N N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 0 0 T T À À I I L L I I Ệ Ệ U U T T H H A A M M K K H H Ả Ả O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 1 1 Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 2 M M Ở Ở Đ Đ Ầ Ầ U U Bất đẳng thức là một trong những nội rất hay nhưng khá khó của Tốn học. Nó thu hút sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà Tốn học lớn, và cũng từ đó nhiều bất đẳng thức hay gắn liền với tên tuổi của những nhà Tốn học nổi tiếng được ra đời như BĐT Bunhiacopski, BĐT Becnuli, BĐT Schur,…Trong đó nổi bật hơn cả mà chúng khơng thể khơng nhắc đến, đó là bất đẳng thức Cauchy (Cơsi), bởi vì BĐT Cơsi là một bất đẳng thức đơn giản, gần gủi nhưng lại là một bất đẳng thức mạnh và có sự ứng dụng rộng rãi trong Tốn học cũng như trong nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên khác. Trong chương trình Tốn học phổ thơng, vấn đề bất đẳng thức được xem là một nội dung hóc búa nhất. Khi nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nội dung này hầu hết chúng ta đều e ngại và khơng thật sự cảm thấy thích thú với nó. Tuy nhiên, bài tốn bất đẳng thức lại là một bài tốn hầu như góp mặt đầy đủ trong các kì thi HSG cũng như trong các kì thi tuyển sinh Đại học. Như thế, chẳng lẽ khi gặp một bài tốn BĐT trong một kì thi nào đó chúng ta lại bỏ qua và dễ dàng đầu hàng nó hay sao? Để giúp cho người học có cái nhìn thiện cảm và khơng còn e ngại vấn đề này nhiều tốn học cũng như những người làm tốn đã nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo và hình thành nên những phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Khi nghiên cứu và khai thác BĐT Cơsi, tơi thấy tâm đắc với hai kỹ thuật chứng minh BĐT đặc sắc, đó là kĩ thuật “chọn điểm rơi” và kỹ thuật “tách-ghép Cơsi”. Với hai kỹ thuật này chúng ta có thể vận dụng để chứng minh được rất nhiều bất đẳng thức mà thoạt nhìn chúng ta sẽ tưởng rất khó khăn. Với mong muốn trao đổi kiến thức chun mơn cũng như kinh nghiệm học tốn và dạy tốn cùng đồng nghiệp, trong chun đề “Bất đẳng thức Cơsi và ứng dụng” này, tơi trình bày chi tiết hai kỹ thuật chứng minh trên và thể hiện một cách cụ thể hai kỹ thuật đó qua các ví dụ và bài tốn. Hy vọng đây là một tài liệu chun mơn có giá trị. Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 3 N N Ộ Ộ I I D D U U N N G G  Trước hết ta nhắc lại bất đẳng thức (BĐT) Cơsi cho hai số khơng âm: Định lý 1: Cho hai số thực khơng âm a và b, ta có: 2 2 a b ab   (1) Đẳng thức xảy ra a b   (Việc chứng minh BĐT này là khá đơn giản). BĐT (1) còn có nhiều cách biểu diễn khác như sau: 2 2 2 2 2 2 2 (2) ( ) (3) 2 (4) 2 a b ab a b a b a b ab               BĐT Cơsi cho ba số khơng âm: Định lí 2: Với ba số thực khơng âm a, b và c ta có: 3 (5) 3 a b c abc    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . a b c   Chứng minh: Chứng minh (5) có nhiều cách. Sau đây là một số cách chứng minh sáng tạo Cách 1: Sử dụng BĐT cho hai cặp số khơng âm ( , ) a b và 3 ( , ) c abc ta được: 3 3 3 3 3 3 2 2 4 . 4 3 3 3 a b c abc ab c abc ab c abc abc a b c abc a b c abc                      Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . a b c   Cách 2: Trước hết ta chứng minh BĐT Cơsi cho bốn số a, b, c, d khơng âm. Ta có 4 ( ) ( ) 2 ( )( ) 2 2 .2 4 a b c d a b c d a b c d ab cd abcd             4 (*) 4 a b c d abcd      Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . a b c d    Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 4 Bây giờ, ta đặt 3 a b c d    . Ta có 4 4 4 4 3 3 4 3 3 4( ) 4 3 3 3 3 3 3 3 3 a b c a b c a b c abc a b c a b c a b c a b c abc abc a b c a b c a b c a b c abc abc abc                                               Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . a b c    Tổng qt: Cho n số thực khơng âm 1 2 , , , . n a a a Ta có 1 2 1 2 (6) n n n a a a a a a n     Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 n a a a    . (BĐT này được chứng minh bằng phương pháp qui nạp theo n).  Một số chú ý khi sử dụng BĐT Cơsi: i) Khi áp dụng BĐT Cơsi thì các số phải khơng âm. ii) BĐT Cơsi thường được áp dụng khi trong bất đẳng thức cần chứng minh có tổng và tích. iii) Điều kiện xảy ra dấu “=” là các số bằng nhau. S S A A U U Đ Đ Â Â Y Y CHÚ CHÚ N N G G T T A A XÉ XÉ T T M M Ộ Ộ T T S S Ố Ứ Ố Ứ N N G G DỤ DỤ N N G G CỦ CỦ A A B B Đ Đ T T C C Ơ Ơ S S I I I. Ứng dụng của BĐT Cơsi trong chứng minh BĐT.  Ví dụ 1: Cho hai số thực khơng âm a và b. Chứng minh: ( )( 1) 4 a b ab ab    Giải. Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số khơng âm ta có: 2 1 2 a b ab ab ab          . Suy ra ( )( 1) 2 .2 4 a b ab ab ab ab     . Đẳng thức xảy ra 1. 1 a b a b ab           Ví dụ 2: Cho hai số thực khơng âm a và b. Chứng minh: 1 1 ( ) 4. a b a b          Giải. Áp dụng BĐT Cơsi cho hai số khơng âm ta có: 2 1 1 2 a b ab a b ab          . Suy ra 1 1 2 ( ) 2 . 4 a b ab a b ab           . Đẳng thức xảy ra . a b   Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 5 Nhận xét: BĐT sau còn được viết lại dưới dạng sau: 1 1 4 (I) a b a b    hoặc 1 1 1 1 (I') 4a b a b          . Các BĐT này có rất nhiều ứng dụng trong việc chứng minh các BĐT. Sau đây chúng ta xét một số ứng dụng đó:  Bài tốn 1.1: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c               Giải. Áp dụng BĐT (I) ta có: 1 1 4 4 4 2 ( ) p a p b p a p b p a b c             Tương tự, ta cũng có: 1 1 4 p b p c a     và 1 1 4 p c p a b      Cộng các BĐT này vế theo vế, ta được: 1 1 1 1 1 1 2 4 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c p a p b p c a b c                                    Đẳng thức xảy ra 1 1 1 a b c p a p b p c            đều (đpcm).  Bài tốn 1.2: Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 a b b c c a a b c a b c a b c               Giải. Áp dụng BĐT (I) ta có: 1 1 4 2 3 2 2 4 2 2 a b a b c a b c a b c           Tương tự, ta có: 1 1 2 3 2 2 b c a b c a b c        và 1 1 2 3 2 2 c a a b c a b c        Cộng ba BĐT trên ta có đpcm.  Bài tốn 1.3: Cho , , 0. x y z  Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 x y z x y z x y z x y z                  Giải. Áp dụng BĐT (I’) ta có: 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 ( ) ( ) 4 16 x y z x y x z x y x z x y z                          Tương tự ta có: 1 1 1 2 1 2 16 x y z x y z            và 1 1 1 1 2 2 16 x y z x y z            Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 6 Cộng các BĐT này ta được: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . x y z    Bài tốn 1.4: Cho a, b dương và 1. a b   Chứng minh: 2 2 1 1 1 3 a b a b     Giải. Ta có 2 2 1 1 1 1 1 1 ( 2) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b VT a b a a b b a b a b                        Mặt khác, theo BĐT (I’) ta có: 1 1 4 4 1 1 2 3 a b a b        Do đó, 4 1 1 3 3 VT      Đẳng thức xảy ra 1 2 a b    (đpcm).  Ví dụ 3: Cho , , 0. a b c  Chứng minh rằng: 1 1 1 ( ) 9. a b c a b c            Giải. Áp dụng BĐT cho ba số dương ta có: 3 3 3 3 3 1 1 1 1 ( ) 3 .3 9 1 1 1 1 3 a b c abc a b c abc a b c abc a b c abc                         Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . a b c   Nhận xét: BĐT trên còn được viết lại dưới các dạng sau: 1 1 1 9 (II) a b c a b c      hoặc 1 1 1 1 1 (II') 9a b c a b c            . Từ các BĐT (I) và (II) ta có thể tổng qt thành BĐT sau: “Cho n số thực dương 1 2 , , , . n a a a Ta có 2 1 2 1 2 1 1 1 (III) n n n a a a a a a         . Đẳng thức xảy ra 1 2 . n a a a      ” Bất đẳng thức (III) được sử dụng nhiều trong các bài tốn chứng minh BĐT. Sau đây là một số ứng dụng của nó.  Bài tốn 1.5: Cho ba số thực dương , , . a b c Chứng minh rằng: 3 2 a b c b c c a a b       1 1 1 1 4 4 4 2 2 2 16 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z                                    Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 7 Chú thích: BĐT này có tên gọi là BĐT Nesbit cho ba số dương. Có nhiều cách để chứng minh BĐT này, sau đây là một số cách Cm có sử dụng BĐT Cơsi. Cách 1: Biến đổi vế trái của BĐT cần chứng minh như sau:   1 1 1 3 1 1 1 ( ) 3 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 3 2 a b c VT b c c a a b a b c b c c a a b a b b c c a b c c a a b                                                              Do đó áp dụng BĐT (II) cho ba số , , a b b c c a    ta có 1 3 9 3 2 2 VT     Đẳng thức xảy ra . a b b c c a a b c         BĐT được chứng minh. Cách 2: Đặt , , X b c Y c a Z a b       . Lúc đó ta có: o 1 ( ) 2 a b c X Y Z      o ; ; 2 2 2 Y Z X Z X Y X Y Z a b c          Do đó 1 3 2 X Y Z X Z Y VT Y X X Z Y Z                                . Mà theo BĐT Cơsi ta có 2, , 0. x y x y y x     Suy ra 1 3 (2 2 2 3) 2 2 VT      (đpcm).  Bài tốn 1.6: Cho , , 0 a b c  và 1. a b c    Chứng minh rằng: 3 1 1 1 4 a b c a b c        Giải. Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 a b c VT a b c a b c                          Áp dụng BĐT (II) ta có: 1 1 1 9 9 1 1 1 3 4 a b c a b c            Do đó 9 3 3 4 4 VT     Đẳng thức xảy ra khi 1 3 a b c     Nhận xét: Bài tốn trên là một trường hợp đặc biệt của bài tốn tổng qt sau: “Cho n số thực dương 1 2 , , , n a a a và 1 1 n i i a    . Khi đó, ta có: 1 2 1 2 1 1 1 1 n n a a a n a a a n          ” Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 8 BĐT này được chứng minh theo cách của bài tốn trên kết hợp với việc sử dụng BĐT (III).  Bài tốn 1.7: Cho ba số dương a, b, c sao cho 2 2 2 3 a b c    . Chứng minh rằng: 1 1 1 3 1 1 1 2 ab bc ca       Giải. Ta có 2 2 2 3. ab bc ca a b c       Áp dụng BĐT (II), ta có: 2 2 2 1 1 1 9 9 9 3 1 1 1 3 3 3 3 2 ab bc ca ab bc ca a b c                 Bất đửng thức được chứng minh.  Bài tốn 1.8: Cho x, y, z là ba số dương và 1 x y z    . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82 x y z x y z       Giải. Trước hết ta có 2 2 1 1 1 ( )VT x y z x y z             (Hd: Sử dụng pp véctơ) Do đó 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 81( ) 80( ) 1 1 1 18( ) 80( ) 162 80 82 VT x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z                                             Suy ra 82 VT  . Đẳng thức xảy ra khi 1 3 x y z      Bài tốn 1.9: Cho , , 0 a b c  và 1. a b c    Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 30. a b c ab bc ca       Giải. Áp dụng BĐT (II), ta có: 1 1 1 9 . ab bc ca ab bc ca      Suy ra 2 2 2 2 2 2 1 9 1 1 1 7 VT a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca                   Mặt khác, ta có: 2 1 1 7 ( ) 21 3 3 ab bc ca a b c ab bc ca           Tiếp tục áp dụng BĐT (II), ta có: Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 2( ) 1 1 1 9 9 ( ) a b c ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca a b c                            Do đó 9 21 30 VT    . Đẳng thức xảy ra 1 3 a b c      II. Một số kỹ thuật sử dụng BĐT Cơsi trong chứng minh BĐT. 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng các BĐT có điều kiện.  Bài tốn 2.1: Cho a, là các số dương sao cho 1. a b   Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 2 2 1 2 a b   , b) 4 4 1 8 a b   , c) 8 8 1 128 a b  Giải. Các BĐT này có thể chứng minh như sau: a) Áp dụng BĐT (2), ta có: 2 2 2 ( ) 1 2 2 a b a b     b) Áp dụng BĐT (2) hai lần liên tiếp, ta có: 2 2 2 2 2 4 4 ( ) ( ) 1 2 2 2 8 a b a b a b             c) Áp dụng BĐT ở b), ta có:   2 2 4 4 8 8 1 1 8 2 2 128 a b a b            Nhận xét:  Các BĐT là những trường hợp riêng của BĐT tổng qt sau: “Cho a và b là các số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 2 n n n a b    , với mọi * n   ” BĐT này được chứng minh bằng phương pháp qui nạp theo n.  Nếu thay giả thiết 1 a b   bằng giả thiết a b    , ta có các BĐT sau: a’) 2 2 2 2 a b    b’) 4 4 4 8 a b    c’) 8 8 8 128 a b    Và, ta cũng có BĐT tổng qt sau: 2 2 2 2 1 2 n n n n a b      Một sự hạn chế của phương pháp này là chỉ chứng minh được cho trường hợp số mũ của a và b là số chẵn. Bây giờ, cho a và b là các số dương thỏa 1 a b   , ta hãy xét các BĐT sau: a) 3 3 1 4 a b   b) 5 5 1 16 a b   c) 9 9 1 256 a b  Chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 10 Ta nhận thấy rằng đây là các bất đẳng thức đối xứng, nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . a b  Do đó nếu 1 a b   thì chắc chắn đẳng thức xảy ra khi 1 2 a b   . Từ đó giúp ta hình thành một cách chứng minh như sau: a) Áp dụng BĐT Cơsi, ta có: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 . 2 2 4 1 3 1 4 ( ) 6. 2 4 2 1 1 1 3 . 2 2 4 1 1 2 2 4 a a a b a b b b a b                                                                  Đẳng thức xảy ra 1 2 a b     b) Áp dụng BĐT Cơsi, ta có: 5 5 5 5 4 5 5 4 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 5 . 2 2 2 2 2 1 1 8. 5( ) 2 2 1 1 1 1 1 5 . 2 2 2 2 2 1 1 1 8. 10. 2 2 2 2 a a a b a b b b a b a b                                                                                                                         1 16 Đẳng thức xảy ra 1 2 a b    . c) Áp dụng BĐT Cơsi, ta có: 9 9 8 9 9 8 8 9 9 9 9 8 9 8 9 9 9 9 9 9 9 1 1 1 9 . 2 2 2 1 1 16. 9( ) 2 2 1 1 1 9 . 2 2 2 1 1 1 1 16. 18. 2 2 2 2 256 ht ht a a a b a b b b a b a b                                                                                                   Đẳng thức xảy ra 1 2 a b     [...]... đề cập trong chun đề này chắc chắn còn rất khiêm tốn Mong nhận được sự góp ý chân thành của q thầy cơ và các bạn động nghiệp về cả nội dung và hình thức trình bày để chun đề được hồn thiện hơn MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 20 Chuyên đề Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Võ Đại Mau, Tuyển tập 216 bài tốn Bất đẳng thức, NXB Trẻ, 1996 [2] Nguyễn Vũ Thanh, Bất đẳng. .. ĐăkMil – ĐăkNông 3 zx Trang 15 Chuyên đề Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” Cộng các BĐT trên ta được: 1  x3  y 3 1  y3  z3 1  z 3  x3 3 P     xy yz zx xy 3  yz 3 zx 3 3 3 3 3     3 3 xy yz zx 3 xyz  33 Đẳng thức xảy ra  x  y  z  1 Vậy Pmin  3 3 đạt được khi x  y  z  1  Bài tốn 3.3: Cho ba số x, y, z thỏa x  y  z  0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  3  4x  3  4 y ...  y  z )  S  2( x  y  z )  6  6 MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 17 Chuyên đề Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” Đẳng thức xảy ra  x  y  z  2 Vậy S min  6 đạt được khi x  y  z  2  Bài tốn 3.8: Cho x, y, z dương thỏa a 2  b 2  c 2  12 Tìm giá trị nhỏ nhất 1 1 1   của biểu thức: K  1  ab 1  bc 1  ca Giải Áp dụng BĐT Cơsi ta có: 1 1  ab 2 1 1  bc 2 1 1  ca 2... 2 c 4c 27 27 27.27.3 27.27.3 729 Suy ra K   3    Đẳng thức xảy ra 64 4 abc 64.4( a  b  c ) 64.4.6 512 khi và chỉ khi a  b  c  2 729 Kết luận: K min  đạt được khi a  b  c  2 512 1 -Hết - MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 19 Chuyên đề Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” KẾT LUẬN Trong chun đề này, chúng ta đã đi nghiên cứu và sử dụng hai kỹ thuật... abc    abc bc ca ac 2 a2 b2 c2 abc     bc ca ac 2 Đẳng thức xảy ra  a  b  c Nhận xét: a2 bc  Trong bài tốn trên, tại sao chúng ta lại ghép  ? Mục đích của bc 4 việc ghép này là làm mất các biến ở mẫu vì VP của BĐT là một biểu thức MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 12 Chuyên đề Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” khơng chứa biến ở mẫu Nhưng tại sao lại ghép phải...  Chứng n n n n minh rằng: a1  a2   ak  n1 Hay k n a1n  a2n    akn  a1  a2    an  *   với mọi n   Đẳng thức xảy ra khi k k   nào? Chứng minh Áp dụng BĐT Cơsi, ta có: n n MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 11 Chuyên đề Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” n n n 1        n a1          na1.   k   k  k    ( n 1) ht  n.. .Chuyên đề Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” Tổng qt: Ta có bài tốn sau: “Cho a và b là hai số thực dương và a  b   Khi (a  b)n n n n n n đó ta có a  b  Hay a  b  n1 , n  * Đẳng thức xảy ra n 1 2 2  ab ” 2 Chứng minh n n n 1        a          na.   2... (b  c ) 2 2 4 a (b  c ) 2 2 4 Cộng các BĐT trên ta được: abc abc VT  a  b  c   2( a  b  c )  VT  2 2 MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 13 Chuyên đề Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” a4 b4 c4 abc Đẳng thức xảy ra Hay 2  2  2  b (c  a) c (a  b) a (b  c) 2  a  b  c  Bài tốn 2.5: Cho x, y , z  0 và xyz  1 Chứng minh rằng: x3  y 3  z 3  x  y  z Giải Áp dụng... a2m     akm )  n( a1n  a2n     akn )  a1m  a2m    akm  a1n  a2n    akn Đẳng thức xảy ra  a1  a2    ak  1 BĐT được chứng minh  Bài tốn 2.6: Cho a, b và c là ba số dương sao cho abc  1 Chứng minh rằng: MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 14 Chuyên đề Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” 1   1   1  27  a   b  c   a 1  b 1  c 1 8  Giải... tiếng bởi phạm vi ứng dụng rộng rãi của nó Ngồi việc được vận dụng để chứng minh các bất đẳng thức Đại số, BĐT Cơsi còn được sử dụng trong các các bài chứng minh BĐT lượng giác hay các bài tốn cực trị Hình học Tuy nhiên, do thời gian nghiên cứu khơng nhiều nên trong chun đề này những vấn đề thú vị đó vẫn chưa được đề cập đến BĐT là một nội dung Tốn học khá rộng, càng đi sâu chúng ta càng thấy được . khơng nhắc đến, đó là bất đẳng thức Cauchy (Cơsi), bởi vì BĐT Cơsi là một bất đẳng thức đơn giản, gần gủi nhưng lại là một bất đẳng thức mạnh và có sự ứng. Chuyên đề Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” MSM Huỳnh Văn Khánh – THPT ĐăkMil – ĐăkNông Trang 2 M M Ở Ở Đ Đ Ầ Ầ U U Bất đẳng thức