Một số không gian các hàm [1]
Không gian tuyến tuyến tính định chuẩn
Trong không gian tuyến tính X, một ánh xạ chuẩn k.k: X → R được định nghĩa với các điều kiện sau: (a) kxk ≥ 0 và kxk = 0 nếu và chỉ nếu x = 0; (b) kλxk = |λ|kxk; (c) kx + yk ≤ kxk + ky k cho mọi x, y thuộc X Cặp (X, k.k) được gọi là không gian định chuẩn, hay còn gọi là không gian tuyến tính định chuẩn.
Không gian định chuẩn (X, k.k) được xác định bởi hàm số ρ : X × X → R, với ρ(x, y) = kx−yk cho x, y ∈ X Hàm số ρ này là một mêtric trên X, được gọi là mêtric sinh bởi chuẩn Do đó, có thể kết luận rằng không gian định chuẩn là một không gian mêtric.
Hàm nhiều biến f: V → W được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipchitz nếu tồn tại các hằng số L_k ≥ 0 sao cho với mọi y_k, z_k, bất đẳng thức kf(x, y_1, , y_n) - f(x, z_1, , z_n)k ≤ L_1 ky_1 - z_1 k + + L_n ky_n - z_n k được thỏa mãn Các hằng số L_1, L_2, , L_n được gọi là các hằng số Lipchitz.
Không gian tích vô hướng
Trong phần này, trường vô hướng F được coi là trường số thực R hoặc trường số phức C Định nghĩa không gian tích vô hướng là không gian véctơ X trên trường F, được trang bị một tích vô hướng, tức là một ánh xạ h., i : X × X → F, thỏa mãn ba tính chất với mọi x, y, z ∈ X và a ∈ F.
(i) Xác định dương: hx, xi ≥ 0 và hx, xi = 0 ⇔x = 0.
(ii) Tính tuyến tính hax, yi = ahx, yi hx, y +zi = hx, yi+hx, zi. (iii) Liên hợp đối xứng hx, yi = hy, xi.
Một số tính chất của dãy số
Trong phần này, chúng ta xem xét dãy số thực {x_n} Số a ∈ R được gọi là giới hạn của dãy {x_n} nếu với mọi ε > 0 cho trước, luôn tồn tại một số n_0 (phụ thuộc vào ε) sao cho với mọi n ≥ n_0, ta có |x_n − a| < ε Khi đó, dãy {x_n} được coi là hội tụ đến a và được ký hiệu là lim n→∞ x_n = a Theo Định lý 1.6 (Nguyên lý Cantor), cho dãy các đoạn [a_n, b_n], với n = 1, 2, là các đoạn lồng nhau và thu hẹp lại, tức là [a_1, b_1] ⊃ [a_2, b_2] ⊃ ⊃ [a_n, b_n].
và lim n→∞(b n − a n ) = 0 Khi đó, tồn tại duy nhất một phần tử α ∈
T∞ n=1[a n , b n ]. Định lý 1.7 (Nguyên lý Bolzano-Weierstrass, [1]) Mọi dãy vô hạn bị chặn đều chứa một dãy con hội tụ. Định lý 1.8 (Sự hội tụ của dãy đơn điệu, [1]).
(a) Nếu {x n } là một dãy đơn điệu tăng, bị chặn trên thì nó hội tụ và n→∞lim x n = sup n x n
(b) Nếu {x n } là một dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới thì nó hội tụ và n→∞lim xn = inf n xn.
Một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến [1]
Phương pháp chia đôi
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a)f(b) < 0 Gọi
∆0 := [a, b], ta chia đôi ∆0 và chọn ∆1 = [a1, b1] là một trong hai nửa của
∆0 sao cho f(a1)f(b1) ≤0 Nói chung, ở bước thứn, ta có ∆n = [an, bn] ⊂
∆ n−1 ⊂ ã ã ã ⊂ ∆1 ⊂ ∆0 Ngoài ra, bn−an = (b−a)/2 n →0 khi n → ∞.
Dễ thấy rằng {a n } là dãy đơn điệu tăng, bị chặn trên bởi b còn {b n } là dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới bởi a Hơn nữa, do b n −a n → 0, suy ra a n , b n →ξ khi n → ∞.
Vì f(a n )f(b n ) ≤ 0 nên cho n → ∞, ta có [f(ξ)] 2 ≤ 0, suy ra f(ξ) = 0 Ngoài ra, ta có ước lượng sai số sau đây
Phương pháp dây cung
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất ξ trong khoảng [a, b], với điều kiện rằng hàm f thuộc lớp C^2 trên [a, b] và đạo hàm bậc nhất f'(x) cũng như đạo hàm bậc hai f''(x) không đổi dấu trên khoảng này Theo định nghĩa 1.9, một điểm x ∈ [a, b] được gọi là điểm Fourier nếu điều kiện f''(x)f(x) > 0 được thỏa mãn.
Giả sử hàm f có đạo hàm f''(x) > 0, nếu không, ta có thể xem xét phương trình g(x) = 0 với g := -f Để xác định, ta giả sử f' < 0 Điểm x = a được gọi là điểm Fourier khi f(a) > f(ξ) = 0 và f''(a) > 0 Gọi xk là xấp xỉ thứ k ≥ 0 của nghiệm ξ, với x0 = b là xấp xỉ ban đầu Mục tiêu là tìm hoành độ của giao điểm của cung.
M N k với trục hoành, trong đó tọa độ của các điểm M, N k tương ứng là M(a, f(a)),
M N k bằng dây cung M N k và tìm hoành độ của giao điểm của đoạn thẳng M N k với trục hoành.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M, Nk là y = f(a) + f(x k )−f(a) xk −a (x−a).
Cho y = 0, ta tìm được hoành độ x k+1 của giao điểm M N k với trục hoành là x k+1 = x k − f(x k ) f(xk)−f(a)(x k −a).
Tương tự như vậy, nếu f 00 (x) > 0, f 0 (x) > 0 thì b là điểm Fourier, xấp xỉ ban đầu x0 = a và ta có phép lặp x k+1 = x k − f(x k ) f(xk)−f(b)(x k −b).
Phương pháp tiếp tuyến
Chọn xấp xỉ ban đầu x 0 là điểm Fourier: f(x 0 )f 00 (x 0 ) > 0 Phương trình tiếp tuyến của đường cong y = f(x) tại điểm M 0 (x 0 , f(x 0 )) có dạng y = f 0 (x 0 )(x−x 0 ) +f(x 0 ).
Hoành độ của giao điểm tiếp tuyến với trục hoành là
Nói chung x n+1 = x n − f(x n ) f 0 (x n ).Cho n → ∞, ta thu được f(η) = 0.
Lược đồ sai phân với độ chính xác bậc 4 [3, 4]
Phương pháp sai phân đạo hàm [2, 3]
Xét công thức khai triển Taylor u(x±h) = u(x)±hu 0 + h 2
24u (4) +ã ã ã+O(h n ), trong đó, h ký hiệu là bước lưới Xuất phát từ phương trình (1.1), ta nhận được u (4) = 1 η 0 (f 00 + η 1 u 00 ).
Thay vào công thức Taylor, ta nhận được ui+1 = ui +hu 0 i + h 2
Vậy ta có lược đồ sai phân với độ chính xác cấp 4 η0 u i−1 −2u i +u i+1 k 2 −η1ui = fi + h 2
Sử dụng các công thức đạo hàm với độ chính xác bậc cao f 0 (x 0 ) = 1
Ta thu được hệ phương trình sai phân với độ chính xác cấp 4 như sau (12hα 0 −25α 1 )u 0 −α 1 (48u 1 −36u 2 + 16u 3 −3u 4 ) = 12hA, u i−1 −
Ta thu được hệ đại số tuyến tính
Hệ phương trình đại số AU = F chính là hệ phương trình sai phân tương ứng với bài toán biên cho phương trình vi phân với độ chính xác cấp 4.
Ma trận Acủa hệ không phải dạng 3 đường chéo, do đó hệ không giải được bằng thuật toán truy đuổi.
Mô hình bài toán biên phi tuyến với hệ số phụ thuộc các phiếm hàm tích phân 15
Phương pháp Chipot cho phương trình tĩnh Kirchhorff một chiều [7]
Chúng ta xét mô hình bài toán được các tác giả N Kachakhidze, N. Khomeriki, J Peradze, Z Tsiklauri đưa ra trong [7]
Mô hình này mô tả trạng thái tĩnh của một sợi dây đàn hồi, trong đó w = w(x) là hàm biểu diễn biên độ dao động cần tìm, f(x) là lực tác động và ϕ(z) là hệ số biến dạng của dây Hàm f(x) là một hàm khả vi liên tục cấp 2, trong khi ϕ(z) thỏa mãn điều kiện ϕ(z) ≥ a > 0 với 0 ≤ z ≤ ∞, và độ trơn của hàm này phụ thuộc vào từng trường hợp cụ thể.
Bài toán (2.1) là một trạng thái dừng đặc biệt của phương trình vi tích phân có dạng wtt(x, t) =ϕ
(w 0 ) 2 dx wxx(x, t), 0 < x < 1 (2.3) Đây chính là dạng tổng quát của phương trình wtt(x, t)− α0 +α1
Phương trình (2.4) được biểu diễn dưới dạng wx 2 dx wxx(x, t) = 0, trong đó α0 và α1 là các số dương, và hàm w(x, t) mô tả dịch chuyển theo chiều ngang Phương trình này do tác giả Kirchhoff phát triển vào năm 1876 để nghiên cứu dao động của sợi dây Năm 1940, Bernstein đã lần đầu tiên nghiên cứu tính giải được của bài toán (2.3), được gọi là phương trình Kirchhoff, mô hình hóa dao động của các vật liệu phi tuyến với hệ số biến dạng phi tuyến.
Sau đây chúng ta tìm hiểu về sự tồn tại duy nhất nghiệm và tính giải được của bài toán.
2.1.2 Phương pháp giải bài toán [7] Để tìm nghiệm w(x) của bài toán, các tác giả sử dụng cách tiếp cận của M Chipot như sau Hàm w(x) được viết dưới dạng w(x) = λv(x), (2.5) trong đó λ và v(x) lần lượt là tham số và hàm cần tìm Thay (2.5) vào (2.1), ta thu được λϕ
Không mất tính tổng quát, phương trình (2.6) được thay bởi hệ phương trình
Từ điều kiện biên của (2.1), hàm v(x) đáp ứng điều kiện biên thuần nhất trên biên Vì vậy, bài toán (2.1) tương đương với hai bài toán khác.
(2.8) trong đó, tham số λ được xác định như là một nghiệm của phương trình λϕ(sλ 2 ) = 1, (2.9) trong đó s Z 1 0
Bài toán (2.8) là bài toán vi phân tuyến tính cấp hai, với các điều kiện thích hợp cho hàm f(x), đảm bảo rằng nghiệm tồn tại và duy nhất Nghiệm có thể được xác định thông qua các phương pháp như phương pháp hàm Green hoặc các phương pháp lưới, cho phép giải bài toán vi phân tuyến tính cấp hai với độ chính xác cấp hai hoặc cấp bốn tùy theo bước lưới.
Để xác định tham số s, giá trị λ được tìm bằng cách giải phương trình siêu việt (2.9) thông qua các phương pháp đại số hoặc phương pháp lặp dây cung và Newton Nghiệm của bài toán (2.1) sẽ được xác định theo công thức w(x) = λv(x).
2.1.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm [7]
Nhận xét 2.1 Qua phương pháp biến đổi trên, việc tìm nghiệm của bài toán (2.1) được đưa về việc tìm nghiệm của bài toán (2.8)-(2.9).
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán phụ thuộc vào sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình (2.9).
Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình (2.9).
Sự tồn tại nghiệm của phương trình: Đặt ψ(x) =λϕ(sλ 2 )−1 (2.11)
Khi đó, phương trình ((2.9) tương đương với phương trình phi tuyến ψ(λ) = 0 (2.12)
Xuất phát từ điều kiện (2.2) và (2.9) ta suy ra
Như vậy, nếu hàm ϕ(z) là hàm số liên tục trên miền xác định thì hàm ψ(λ) là hàm liên tục trên 0 < λ < 1 α và ψ(0)×ψ
Theo định lý Bolzano-Cauchy I, trong khoảng 0 < λ < 1, tồn tại ít nhất một điểm λ∗ sao cho ψ(λ∗) = 0, điều này chứng tỏ phương trình ψ(λ) = 0 luôn có nghiệm Do đó, nếu hàm ϕ(z) là hàm liên tục, thì phương trình (2.12) cũng luôn tồn tại ít nhất một nghiệm.
Từ đẳng thức ψ 0 (λ) = 2sλ 2 ϕ 0 (sλ 2 ) + ϕ(sλ 2 ), với điều kiện ϕ(z) > α > 0, có thể suy ra rằng nếu ϕ 0 (z) thỏa mãn ψ 0 (λ) = 2sλ 2 ϕ 0 (z) + ϕ(z) ≥ 0 thì ψ 0 (λ) sẽ lớn hơn 0 Điều này chứng tỏ rằng hàm ψ là đơn điệu tăng, dẫn đến việc phương trình (2.12) có duy nhất nghiệm.
2.1.4 Thuật toán lặp giải bài toán
Xuất phát từ các phân tích trên, chúng ta có thể xây dựng thuật toán lặp giải bài toán (2.1) như sau.
Bước 3: Xuất phát từ λ0 > 0, với mọi k = 0,1,2, , xác định
Bước 4: Kiểm tra điều kiện dừng lặp kw k+1 −wkk < ε.
1 Bài toán xác định nghiệm gần đúng v được xác định từ thư viện số RC2009 Sai số của phương pháp sẽ phụ thuộc vào bước lưới h Nếu chúng ta sử dụng lược đồ sai phân với độ chính xác bậc 4 thì sai số tính toán là s 1 = O(h 4 ).
2 Để tính giá trị s tại Bước 2 Chúng ta sử dụng công thức tính gần đúng tích phân trên đoạn [0,1] với bước lưới h Sử dụng công thức Parabol, chúng ta nhận được sai số tính toán là s 2 = O(h 4 ).
3 Bước 3 là bước lặp giải phương trình phi tuyến theo phương pháp Newton Sai số tính toán là s 3 sẽ phụ thuộc vào số bước lặp Ta có thể sử dụng phương pháp lặp dây cung để xây dựng thuật toán lặp (không cần phải tính giá trị đạo hàm).
Như vậy có thể kết luận sai số của thuật toán là tích lũy của s 1 , s 2 , s 3 sẽ tương đương với O(h 4 ).
Thuật toán được mô tả một cách dễ hiểu bằng ngôn ngữ MATLAB phiên bản 7.0 (tham khảo phần phụ lục) Kết quả kiểm tra của Thuật toán 2.1 sẽ được trình bày trong các ví dụ dưới đây.
Ví dụ 2.1 ([7]) Xét bài toán 2.1 với ϕ(z) = 2−cos π(z+ 1) z + 2 , f(x) = 6 + 8√
Hiển nhiên, hàm ϕ(z) ≥ 1> 0 là hàm số liên tục và ϕ 0 (z) = 1
(z+ 2) 2 sinπ(z+ 1) z+ 2 > 0 với mọi z > 0 Từ đó, suy ra ψ 0 (λ) > 0, tức là bài toán đang xét luôn tồn tại duy nhất nghiệm.
Ta có thể thấy bài toán có nghiệm đúng w d (x) = 4√
1) sinπx Kết quả thử nghiệm Thuật toán 2.1 cho trong bảng số liệu sau đây (Bảng 2.1).
Bảng 2.1: Kết quả thử nghiệm Thuật toán 2.1 Sai_so=kw k h − w d h k.
Số điểm chia trên lưới Số bước lặp Sai_so
Nhận xét: Thuật toán hội tụ rất nhanh, sai số của phương pháp là tương đương với bậc 4 so với bước lưới.
Ví dụ 2.2 ([7]) Xét bài toán 2.1 với ϕ(z) = 1 +|1−z|, f(z) = −π 4
Hiển nhiên, hàmϕ(z) ≥ 1 > 0là hàm số liên tục,ϕ 0 (z)
1, z > 1 là hàm số gián đoạn tại z = 1 Ta có thể chứng minh ψ 0 (λ) > 0 tức là bài toán này cũng tồn tại duy nhất nghiệm.
Ta có thể thấy bài toán có nghiệm đúng w d = sinπx Kết quả thử nghiệm Thuật toán 2.1 đối với bài toán được cho trong bảng số liệu sau đây (Bảng 2.2).
Bảng 2.2: Kết quả thử nghiệm Thuật toán 2.1 Sai_so=kw h k − w h d k
Số điểm chia trên lưới Số bước lặp Sai_so
Nhận xét: Thuật toán hội tụ rất nhanh, sai số của phương pháp là tương đương với bậc 4 so với bước lưới.
Mô hình bài toán biên cấp hai tổng quát [4]
Trong bài viết này, chúng ta đã thảo luận về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm, cũng như thuật toán lặp để tìm nghiệm cho bài toán (2.1) theo phương pháp của M Chipot Phương pháp này chỉ áp dụng cho các bài toán có dạng đơn giản (2.1), tức là phương trình không chứa thành phần hàm u và điều kiện biên là thuần nhất không Tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu một dạng bài toán tổng quát hơn so với dạng (2.1).
Chúng ta xét bài toán
(2.16) trong đó các hàm p1(z), p2(z) và f(x) là các hàm số liên tục đảm bảo cho bài toán có nghiệm.
Bài toán (2.1) là trường hợp đặc biệt khi hàm p 2 = 0 và a 1 = b 1 = A = B = 0 Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán này là một thách thức lớn Giả sử bài toán có nghiệm tồn tại và duy nhất, chúng tôi sẽ đề xuất phương pháp để tìm nghiệm của bài toán.
Khi đó, bài toán (2.16) có dạng
Khi xác định được ξ, bài toán chuyển thành bài toán biên elliptic cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp Phương pháp lưới nghiệm số sẽ được áp dụng để tìm ra giải pháp thông qua thủ tục qtr4.m đã trình bày trong Chương 1 Dựa trên ý tưởng này, chúng tôi xây dựng một thuật toán lặp để giải quyết vấn đề.
Bước 2: Với mọi k = 0,1,2, , giải liên tiếp hai bài toán
Sự hội tụ của sơ đồ lặp trong nghiên cứu sẽ phụ thuộc vào đặc tính của các hàm p1(z) và p2(z) Để đánh giá sự hội tụ của phương pháp, các chương trình thực nghiệm sẽ được thực hiện.
Thuật toán sử dụng phương pháp lưới dễ dạng được lập trình trong môi trường MATLAB, với sai số tính toán đạt O(h^4), trong đó h là bước lưới sai phân Kết quả thử nghiệm của thuật toán sẽ được trình bày chi tiết trong Chương 3 của luận văn.
Mô hình bài toán biên cấp bốn tổng quát [4, 7, 8, 9]
Chúng tôi sẽ phát triển kết quả nghiên cứu về bài toán cấp hai tổng quát, tập trung vào mô hình bài toán biên cấp bốn với hệ số phụ thuộc tích phân Đồng thời, chúng tôi sẽ đề xuất một phương pháp giải cho bài toán này.
Trong tài liệu [9], tác giả T.F Ma đã xét mô hình bài toán cấp 4
Trong bài toán này, hàm M(z) được xác định là một hàm liên tục, đáp ứng các điều kiện cần thiết để đảm bảo sự tồn tại duy nhất của nghiệm Tác giả đã tiến hành nghiên cứu nhằm xác định sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm cho bài toán Để thực hiện điều này, tác giả đã đặt v = u(2) − M.
|u 0 (s)| 2 ds u(x), bài toán (2.21) sẽ được đưa về hai bài toán cấp hai
Từ đó xây dựng sơ đồ lặp để xác định sơ đồ lặp xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán.
Trong tài liệu [8], các tác giả Dang Quang A, Vu Thai Luan đã nghiên cứu mô hình bài toán cấp 4 khác
(2.22) trong đó ε là một hằng số Đối với bài toán này, các tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán.
Bài toán (2.22) được chuyển đổi thành hai bài toán cấp hai, từ đó các tác giả phát triển phương pháp lặp Newton để xác định ξ và tìm nghiệm cho bài toán.
Nhận xét 2.4 Điểm chung của hai bài toán trên là các phương trình đều chứa các hệ số phụ thuộc vào tích phân của đạo hàm hàm cần tìm.
Lời giải của từng bài toán chỉ đúng trong mô hình cụ thể được đưa ra tương ứng.
Trong phần này, chúng ta xét mô hình tổng quát [4],
(2.23) trong đó các hàm p 1 (z), p 2 (z) và f(x) là các hàm số liên tục đảm bảo cho bài toán có nghiệm duy nhất.
Chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp giải bài toán này
|u 0 (s)| 2 ds, v(x) = u 00 (x) Khi đó, bài toán (2.23) được đưa về hai bài toán cấp hai
Xây dựng thuật toán lặp
Bước 2: Với mọi k = 0,1,2, , giải liên tiếp hai bài toán
Sự hội tụ của sơ đồ lặp phụ thuộc vào tính chất của các hàm p1(z) và p2(z) Để kiểm tra sự hội tụ của phương pháp, các chương trình thực nghiệm sẽ được thực hiện.
Thuật toán sử dụng phương pháp lưới dễ dàng được triển khai trong môi trường MATLAB, với độ sai số tính toán đạt O(h^4), trong đó h là bước lưới sai phân Các kết quả thử nghiệm của thuật toán sẽ được trình bày chi tiết trong Chương 3 của luận văn.
Mô hình bài toán biên phụ thuộc phiếm hàm tích phân [4] 26 Chương 3 Một số kết quả thực nghiệm 29
Chúng tôi xét một bài toán mới có dạng
(2.28) trong đó,J 1 , J 2 là các phiếm hàm dương được xác định bằng các công thức
Bài toán vi phân bậc 4 này chưa được nghiên cứu và chưa có mô hình cơ học thực tế nào tương ứng Dù vậy, chúng ta vẫn có thể đề xuất phương pháp tìm nghiệm số cho mô hình này từ góc độ định lượng và tính toán.
Nếu coi u 0 (x) là tham số cần xác định, mô hình trên có thể phân tách thành hai bài toán biên elliptic cấp hai Do đó, cần phát triển thuật toán lặp để xác định giá trị của u 0 (x).
Thuật toán 2.4 [4] Đặt ξ = u 0 (x), v(x) = u 00 (x) Khi đó, bài toán (2.28) được đưa về hai bài toán cấp hai
Xây dựng sơ đồ lặp.
Bước 2: Với mọi k = 0,1,2, , giải liên tiếp hai bài toán
Sự hội tụ của sơ đồ lặp trong nghiên cứu này phụ thuộc vào các tính chất của các hàm p1(z) và p2(z) Để xác định sự hội tụ của phương pháp, chúng tôi sẽ thực hiện các chương trình thực nghiệm.
Thuật toán sử dụng phương pháp lưới dễ dạng được triển khai trong môi trường MATLAB, với độ sai số tính toán đạt O(h^4), trong đó h là bước lưới sai phân Các kết quả thử nghiệm của thuật toán sẽ được trình bày chi tiết trong Chương 3 của luận văn.
Kết luận: Bài viết đã đề xuất ba thuật toán mới để giải các bài toán biên cho phương trình vi phân cấp hai và cấp bốn, với hệ số phụ thuộc tích phân của đạo hàm Phương pháp chung không sử dụng chuyển vế để biến đổi bài toán thành hai bài toán cấp hai truyền thống, mà xây dựng trực tiếp phương pháp lặp từ bài toán gốc bằng cách hiệu chỉnh các hệ số Điều này cho phép khảo sát sự hội tụ của phương pháp mà không phụ thuộc vào hàm vế phải Hơn nữa, việc giải số cho các bài toán được thực hiện thông qua lược đồ sai phân với độ chính xác bậc 4, như đã trình bày trong Chương 1.
Để kiểm tra sự hội tụ của các thuật toán, chúng tôi bắt đầu từ bài toán gốc với nghiệm đúng ud(x) và các hàm p1(z), p2(z) để xác định hàm f(x) và các giá trị điều kiện biên Trong các sơ đồ lặp, chúng tôi thực hiện sai phân các bài toán cấp hai với độ chính xác bậc 4 và áp dụng thủ tục qtr4.m để tính toán nghiệm gần đúng U d h tại tất cả các điểm lưới Sai số tính toán được xác định bằng ε = kU d h −U k h k.
Kết quả kiểm tra đối với Thuật toán 2.2
Trước tiên, chúng ta xét lại mô hình bài toán được các tác giả N.Kachakhidze, N.Khomeriki, J.Peradze, Z.Tsiklauri đưa ra trong tài liệu [7],
√ 3 2π 2 + 32πcosπx−π 2 (x−1) sinπx. Bài toán trên có nghiệm đúng là u d (x) = 4√
Trong bài toán cấp hai với điều kiện biên Dirichlet, chúng tôi đã áp dụng Thuật toán 2.2 để giải phương trình 3 + 2π² + 3(x−1)sin(πx) Kết quả thu được được trình bày trong Bảng 3.1.
Bảng 3.1: Nghiệm xấp xỉ thu được từ Thuật toán 2.2
Số điểm chia trên lưới Số bước lặp Sai_so
Kết quả cho thấy Thuật toán 2.2 hội tụ rất nhanh và sai số đạt được là tương đương với O(h 4 ).
So với thuật toán 2.1 do các tác giả phương pháp Chipot đề xuất, tốc độ hội tụ của thuật toán này nhanh hơn Tuy nhiên, thuật toán chỉ có thể áp dụng cho bài toán với hệ điều kiện biên là thuần nhất.
Chúng tôi trình bày một số kết quả tính toán với các hàm hệ số được chọn ngẫu nhiên và điều kiện biên Neumann Để xác định hàm vế phải f(x), chúng tôi sử dụng hàm nghiệm đúng và thay vào phương trình Các hệ điều kiện biên được xác định trực tiếp từ nghiệm đúng Sai số trong các tính toán được tính toán bằng công thức ε = kU d h −U k h k.
Kết quả kiểm tra với các hàm nghiệm khác nhau cho thấy sự hội tụ của Thuật toán 2.2 phụ thuộc vào dạng của hàm f(x) và các hàm p1(z) và p2(z) Tốc độ hội tụ của thuật toán này nhanh chóng và đạt độ chính xác cấp 4 theo bước lưới.
Bảng 3.2: Kết quả kiểm tra Thuật toán 2.2 Với giá trị các hàm hệ số và hệ số điều kiện biên p 1 (z) = e −z + 1, p 2 (z) = cos z + 1.5, a = 0, b = 1, α 0 2, α 1 = 3, β 0 = 5, β 1 = 4,
Bảng 3.3: Kết quả kiểm tra Thuật toán 2.2 Với giá trị các hàm hệ số và hệ số điều kiện biên p 1 (z) = e −z , p 2 (z) = cos z, a = 0, b = 1, α 0 = 2, α 1 = 3, β 0 = 5, β 1 = 4,
Kết quả kiểm tra đối với Thuật toán 2.3
Trước tiên, chúng ta xét bài toán được các tác giả Dang Quang A,
Vu Thai Luan đưa ra trong tài liệu [8],
Bài toán được xem xét là một trường hợp riêng của bài toán cấp bốn với điều kiện biên u(0) = u(π) = 0 và đạo hàm bậc hai u''(0) = u''(π) = 0 trong khoảng 0 < x < π Khi đặt ε = 2 và f(x) = -4 sin(x), nghiệm đúng của bài toán là u_d(x) = -sin(x) Áp dụng Thuật toán 2.3, chúng tôi đã thu được kết quả cụ thể cho bài toán này.
Bảng 3.4: Kết quả số so sánh tài liệu [8].
Số bước lặp Sai số Số bước lặp Sai số
Phương pháp lặp hội tụ cho thấy sự nhanh chóng và hiệu quả vượt trội, với sai số đạt được tốt hơn nhiều so với sai số e−4 được công bố trong tài liệu [8].
Cần chú ý rằng thuật toán đưa ra trong [8] chỉ giải được với dạng phương trình với hệ điều kiện biên là thuần nhất.
Sau đây chúng tôi đưa ra một số kết quả tính toán với các hàm hệ số được chọn là tùy ý, điều kiện biên Neumann.
Bảng 3.5: Kết quả kiểm tra đối với Thuật toán 2.3 Với giá trị các hàm hệ số và hệ số điều kiện biên p 1 (z) = 1 z + 1 + 1, p 2 (z) = e −z , a = 0, b = 1, a 0 = 2, a 1 = 3, b 0 = 5, b 1 = 4, c 0 = 2, c 1 = 1, d 0 = 5, d 1 = 3, N = 100. u d = x 4 − x 3 + 1 u d = sin πx e x u d = cos x + e −x + x 4 k ε k ε k ε k ε
Qua các kết quả kiểm tra với các hàm nghiệm đúng và hệ số khác nhau, sự hội tụ của Thuật toán 2.3 phụ thuộc vào dạng hàm f(x) và các hàm p1(z) cùng p2(z) Tốc độ hội tụ của thuật toán này nhanh và đạt độ chính xác cấp 4 theo bước lưới.
Bảng 3.6: Kết quả kiểm tra đối với Thuật toán 2.3 Với giá trị các hàm hệ số và hệ số điều kiện biên p 1 (z) = e −z + 1, p 2 (z) = cos z + 1.5, a = 0, b = 1, a 0 = 2, a 1 = 3, b 0 = 5, b 1 = 4, c 0 = 2, c 1 = 1, d 0 = 5, d 1 = 3, N = 100. u d = x 4 − x 3 + 1 u d = sin πx u d = e x u d = cos x + e −x + x 3 k ε k ε k ε k ε
Kết quả kiểm tra đối với Thuật toán 2.4
Kết quả kiểm tra sự hội tụ của Thuật toán 2.4 cho thấy đây là bài toán tổng quát nhất chưa được tài liệu nào đề cập Khác với các thuật toán trước, thuật toán này sử dụng sơ đồ lặp để xác định giá trị của đạo hàm thay vì tích phân của đạo hàm, dẫn đến tính chất hội tụ là dãy hàm số thay vì dãy số Chúng ta đã cho trước nghiệm đúng cùng với các hàm số p1(z) và p2(z) để xác định giá trị hàm vế phải và điều kiện biên Sai số được tính theo công thức ε = kU d h − U k h k.
Kết quả thực nghiệm kiểm tra sự hội tụ của thuật toán được đưa ra trong các bảng số liệu sau đây.
Nhận xét: Thông qua các kết quả thực nghiệm số đối với ba thuật toán đề xuất, chúng ta có một số nhận xét sau đây.
Khi lựa chọn các hàm p1(z) và p2(z) là những hàm xác định dương với z > 0 và có chuẩn đủ lớn, các thuật toán đề xuất sẽ luôn hội tụ với tốc độ nhanh chóng.
Trong một số trường hợp thuật toán không hội tụ thường ứng với việc chọn các hàm nghiệm đúng có chuẩn đạo hàm là lớn Điều này
Bảng 3.7: Kết quả kiểm tra đối với Thuật toán 2.4 Với giá trị các hàm hệ số và hệ số điều kiện biên p 1 (z) = e −z + 50, p 2 (z) = sin z + 20, a = 0, b = 1, a 0 = 2, a 1 = 3, b 0 = 5, b 1 = 4, c 0 = 2, c 1 = 1, d 0 = 5, d 1 = 3, N = 100. u d = x 4 − x 3 + 1 u d = sin πx e 3x u d = cos x + e −x + x 4 k ε k ε k ε k ε
Chuẩn của hàm vế phải trong bài toán gốc sẽ bị ảnh hưởng bởi giá trị 7 320 2 × e − 7 Do đó, tính chất hội tụ của các thuật toán sẽ phụ thuộc vào chuẩn của ba hàm p1(z), p2(z) và f(x).
Các thuật toán này có khả năng mở rộng khi hàm vế phải là hàm phi tuyến, phụ thuộc vào hàm và các đạo hàm của hàm cần tìm.
Bảng 3.8: Kết quả kiểm tra đối với Thuật toán 2.4 Với giá trị các hàm hệ số và hệ số điều kiện biên p 1 (z) = 2 + 3z/π, p 2 (z) = cos z + 2, a = 0, b = 1, a 0 = 2, a 1 = 3, b 0 = 5, b 1 = 4, c 0 = 2, c 1 = 1, d 0 = 5, d 1 = 3, N = 100. u d = x 4 − x 3 + 1 u d = sin πx e x u d = cos x + e −x + x 4 k ε k ε k ε k ε
Bảng 3.9: Kết quả kiểm tra đối với Thuật toán 2.4 Với giá trị các hàm hệ số và hệ số điều kiện biên p 1 (z) = e −z + 1, p 2 (z) = cos z + 1.5, a = 0, b = 1, a 0 = 2, a 1 = 3, b 0 = 5, b 1 = 4, c 0 = 2, c 1 = 1, d 0 = 5, d 1 = 3, N = 100. u d = x 4 − x 3 + 1 u d = sin πx u d = e 3x u d = cos x + e −x + x 3 k ε k ε k ε k ε
5 0.003 Không hội tụ Không hội tụ 5 0.0529
Luận văn trình bày các kết quả nghiên cứu về phương pháp lặp để tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán vi phân cấp hai và cấp bốn, với hệ số phụ thuộc vào các tích phân cùng với các điều kiện biên Dirichlet và Neumann Những kết quả đạt được từ nghiên cứu này sẽ cung cấp cái nhìn sâu sắc về hiệu quả của các phương pháp lặp trong việc giải quyết các bài toán vi phân phức tạp.
1 Đưa ra các hệ phương trình sai phân với độ chính xác cấp bốn tìm nghiệm số cho bài toán biên cấp hai tổng quát với điều kiện biên Neumann Đây chính là cơ sở để giải số tất cả các bài toán vi phân cấp hai và cấp bốn có hệ số phụ thuộc tích phân sẽ được nghiên cứu trong luận văn.
2 Tìm hiểu mô hình bài toán vi phân cấp hai có hệ số phụ thuộc tích phân với hệ điều kiện biên thuần nhất, sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ theo tư tưởng của M.Chipot (Thuật toán 2.1).
3 Nghiên cứu mô hình tổng quát đối với bài toán vi phân cấp hai tổng quát có hệ số phụ thuộc tích phân, điều kiện biên Neumann Xây dựng phương pháp lặp tìm nghiệm số với độ chính xác bậc 4 (Thuật toán 2.2).
4 Nghiên cứu mô hình tổng quát đối với bài toán vi phân cấp bốn tổng quát có hệ số phụ thuộc tích phân, điều kiện biên Neumann Kết hợp với phương pháp phân ra đưa bài toán cấp bốn về hai bài toán cấp hai và thuật toán 2.2 Xây dựng phương pháp lặp tìm nghiệm số với độ chính xác bậc 4 đối với bài toán cấp bốn (Thuật toán 2.3).
5 Nghiên cứu mô hình tổng quát đối với bài toán vi phân cấp bốn tổng quát có hệ số phụ thuộc phiếm hàm tích phân, điều kiện biên Neumann Kết hợp với phương pháp phân ra đưa bài toán cấp bốn về hai bài toán cấp hai Xây dựng phương pháp lặp tìm nghiệm số với độ chính xác bậc 4 đối với bài toán này (Thuật toán 2.4).
6 Tiến hành tính toán thử nghiệm các thuật toán thông qua 11 ví dụ cụ thể Các kết quả tính toán thử nghiệm qua các ví dụ đã khẳng định các thuật toán đề xuất là hội tụ với tốc độ hội tụ nhanh Độ chính xác đạt cấp bốn với bước lưới.
Hướng phát triển tiếp theo của luận văn là nghiên cứu lý thuyết về sự hội tụ của các phương pháp lặp đồng thời, nhằm áp dụng các thuật toán vào các mô hình cơ học trong thực tế.
[1] Phạm Kỳ Anh (2004), Giải tích số, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia
[2] Tạ Văn Đĩnh (2000), Phương pháp sai phân và phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất bản Khoa học Kỹ thuật.
Vũ Vinh Quang và Nguyễn Thanh Hường đã trình bày nghiên cứu của họ về lược đồ sai phân giải bài toán biên cho phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến tính cấp cao tại Hội nghị khoa học Quốc gia FAIR 10 Bài viết được xuất bản trong kỷ yếu của hội nghị, từ trang 358 đến 368, năm 2017.
Vũ Vinh Quang và Lại Văn Trung (2019) đã nghiên cứu phương pháp lặp để giải các phương trình vi phân cấp cao có hệ số phụ thuộc vào các phiếm hàm tích phân Nghiên cứu này được công bố trong Tạp chí Khoa học và Công nghệ TNU, ISSN: 1859-2171, số 200(07): 41.
[5] Argyros, I K., Hilout, S., “Weaker convergence conditions for the se- cant method”, Applications of Mathematics, 59, 265–284 (2014).
[6] Argyros, I K., “On the secant method for solving nonsmooth equations”, Journal of mathematical analysis and applications,322(1),146–157 (2006).
[7] N Kachakhidze, N Khomeriki, J Peradze, Z Tsiklauri, “Chipot’s method for a one-dimensional Kirchohoff static equations”, Numerical Algorithms, (2016) 73 1091-1106.
[8] Q A Dang, Luan V T, “Iterative method for solving a nonlinear fourth order boundary value problem”, Computers and Mathematics with Applications 60(2010) 112-121.
[9] T F Ma, Andre Luis Machado Martinez, “Positive solution for a fourth order equation with nonlinear buondary conditions”, Mathe- matics and Coputers in Simulation, 80 (2010) 2177-2184.
MỘT SỐ CHƯƠNG TRÌNH NGUỒN
% Chuong trinh kiem tra so do lap giai
% phuong trinh cap hai phi tuyen
% Giai theo phuong phap lap cua chipot
% Truong hop biet truoc nghiem dung
% Cac tham so truyen vao chuong trinh
% n - So diem chia doan [a,b] function chipot_1=chipot_1(a,b,n,k) clc; h=(b-a)/n;
X=linspace(a,b,n+1);%Khoi tao vecto X - luoi sai phan doan [a,b] wd=w(X);% Tinh vec to nghiem dung
% Buoc 0: Khoi dong cac gia tri ban dau ga=w(a);gb=w(b);alpha0=1;alpha1=0;beta0=1;beta1=0;
%Buoc 1: giai phuong trinh cap 2 ff=f(X); u2=qh4(a,b,ff,ga,gb,alpha0,alpha1,beta0,beta1,n);
The equation involves a calculation represented as (16*u2(n-2) - 3*u2(n-3)) / (12*h), which is part of a larger iterative process The variables d2 and d1u are multiplied, and the function s=tp(a,b,n,d2) is defined with initial parameters lamda=0 and ss, while the count is set to zero The variable saiso is defined as h^4 A while loop continues as long as ss exceeds saiso and count remains less than k, incrementing count with each iteration The value of lamda is updated using a specific formula that incorporates phi and dphi functions Finally, w is calculated as lamda multiplied by u2, and the loop concludes with the statement ss=chuan_1(w-wd).
% Chuong trinh kiem tra so do lap giai
%phuong trinh cap hai phi tuyen
% Giai theo phuong phap lap - Do chinh xac cap 4 theo h
% Cac tham so truyen vao chuong trinh
% k - So buoc lap can dung lai
% Da kiem tra chinh xac function algorithm_2_2=algorithm_2_2(a,b,n,k) clc; h=(b-a)/n;
X=linspace(a,b,n+1);%Khoi tao vecto X - luoi sai phan doan [a,b] ud=u(X);% Tinh vec to nghiem dung
% Buoc 0: Khoi dong cac gia tri ban dau alpha0=2;alpha1=0;beta0=5;beta1=0; ga=alpha0*u(a)-alpha1*dh1(a); gbta0*u(b)+beta1*dh1(b); ss1;count=0;saiso=h^8;
% Buoc lap csi=0;phi=f(X); while and(ss1>saiso,countsaiso,countsaiso,count
