TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Trần Thị Thu Loan MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội - Năm 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Trần Thị Thu Loan MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH Hà Nội - Năm 2017 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo cô giáo khoa Toán – Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian em theo học khoa thời gian làm khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh – Giảng viên khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn em, tận tâm bảo định hướng cho em suốt trình làm khóa luận để em có kết ngày hôm Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót, em mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Trần Thị Thu Loan LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết nghiên cứu thân em hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh Trong nghiên cứu đề tài em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Một số phương pháp giải tích giải gần phương trình vi phân thường” kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Trần Thị Thu Loan Mục lục LỜI NÓI ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 Chuỗi lũy thừa 1.1.1 Định nghĩa chuỗi lũy thừa 1.1.2 Bán kính hội tụ, khoảng hội tụ chuỗi lũy thừa 1.1.3 Một số tính chất chuỗi lũy thừa 1.1.4 Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa Khái quát phương trình vi phân 1.2.1 Khái niệm phương trình vi phân thường 1.2.2 Bài toán Cauchy phương trình vi phân cấp n 1.2.3 Bài toán Cauchy phương trình vi phân cấp 11 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 14 2.1 14 2.1.1 Định nghĩa hàm giải tích 15 2.1.2 Nội dung phương pháp 15 2.1.3 Ví dụ minh họa 17 Phương pháp chuỗi lũy thừa i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 2.3 Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán Phương pháp hệ số bất định 22 2.2.1 Phương pháp cho phương trình vi phân cấp 22 2.2.2 Phương pháp cho phương trình vi phân cấp hai 25 2.2.3 Ví dụ minh họa 26 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 33 2.3.1 Nội dung phương pháp 34 2.3.2 Ví dụ minh họa 35 ỨNG DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN 3.1 Giới thiệu phần mềm Maple 3.2 Một số ứng dụng Maple tính toán giải phương 38 38 trình vi phân 39 3.2.1 40 Ví dụ minh họa KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán LỜI NÓI ĐẦU Lí chọn đề tài Toán học môn học khoa học gắn liền với thực tiễn Cùng với phát triển nội toán học ngành khoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết toán ứng dụng Trong lĩnh vực toán ứng dụng, ta thường gặp nhiều toán liên quan đến phương trình vi phân thường Vì vậy, việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò quan trọng lí thuyết Toán học Chúng ta biết rằng, có số phương trình vi phân thường tìm nghiệm xác, phần lớn phương trình vi phân nảy sinh từ toán thực tiễn không tìm nghiệm xác Do vậy, vấn đề đặt tìm cách để xác định nghiệm gần phương trình vi phân Xuất phát từ nhu cầu đó, nhà Toán học tìm nhiều phương pháp để giải gần phương trình vi phân thường Chính lẽ đó, em mạnh dạn trình bày hiểu biết vấn đề: “Một số phương pháp giải tích giải gần phương trình vi phân thường” nhằm có điều kiện tiếp cận sâu hơn, làm phong phú kiến thức ứng dụng giải toán đại học Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích đề tài tìm hiểu nâng cao kiến thức cách giải gần toán Cauchy phương trình vi phân thường phương pháp giải tích Đồng thời sử dụng thuật toán Maple ứng dụng vào để giải toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán Phương pháp nghiên cứu +Phương pháp nghiên cứu lí luận +Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu Luận văn gồm ba chương Chương 1: " Kiến thức chuẩn bị" Mục đích chương trình bày số kiến thức chuỗi lũy thừa, khái quát phương trình vi phân toán Cauchy phương trình vi phân cấp cấp n Chương 2: "Một số phương pháp giải tích giải gần phương trình vi phân thường" Mục đích chương trình bày số phương pháp giải tích ứng dụng vào việc giải gần phương trình vi phân thường Chương 3: "Ứng dụng Maple tính toán" Mục đích chương giới thiệu phần mềm Maple số ứng dụng Maple tính toán giải phương trình vi phân thường Em xin chân thành cảm ơn thầy Khuất Văn Ninh tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả nhiều trình làm luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy cô khoa Toán quan tâm giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu trường Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót Em mong nhận góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức chuỗi lũy thừa, khái quát phương trình vi phân toán Cauchy phương trình vi phân cấp cấp n 1.1 1.1.1 Chuỗi lũy thừa Định nghĩa chuỗi lũy thừa Một chuỗi vô hạn có dạng ∞ an (x − x0 )n (1.1) n=0 (trong x0 , a1 , a2 , số thực) gọi chuỗi lũy thừa tâm x = x0 Nếu ta đặt y = x − x0 chuỗi lũy thừa đưa dạng ∞ an y n n=0 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán với tâm y = 1.1.2 Bán kính hội tụ, khoảng hội tụ chuỗi lũy thừa Nếu tồn số thực dương R cho chuỗi (1.1) hội tụ |x − x0 | < R phân kì |x − x0 | > R R gọi bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa, khoảng (−R, R) gọi khoảng hội tụ chuỗi (1.1) Thực tế, khoảng hội tụ tuyệt đối chuỗi lũy thừa Chú ý: Bán kính hội tụ R tính công thức R = lim n→∞ an an+1 Bán kính hội tụ 0, hữu hạn vô hạn 1.1.3 Một số tính chất chuỗi lũy thừa Để đơn giản, ta xét chuỗi lũy thừa với x0 = 0, tức chuỗi có dạng ∞ an x n = a0 + a1 x + a2 x + n=0 Một chuỗi lũy thừa xác định hàm số khoảng hội tụ • Tính chất 1: Giả sử ∞ an x n f (x) = n=0 ∞ bn xn g (x) = n=0 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3.1 Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán Nội dung phương pháp Xét toán Cauchy   y = f (x, y) (x0 , y0 ) ∈ G với  y(x ) = y (x, y) ∈ G 0 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp phương pháp xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ yn (x) theo công thức x yn (x) = y0 + f (t, yn−1 (t)) dt x0 Giả sử lim yn (x) = y ∗ (x) y ∗ (x) nghiệm toán (2.18) n→∞ Lý thuyết phương trình vi phân thường chứng minh rằng: hàm f (x, y) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y |f (x, y) − f (x, y¯)| ≤ N |y − y¯| , N = const hình chữ nhật D với D = (x, y) ∈ R2 : |x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b dãy hàm yn (x) hội tụ tới nghiệm y ∗ (x) phương trình (2.18) đoạn [x, x + h] , h > số dương hàm y0 (x) tùy ý cho trước Sai số yn (x) y ∗ (x) đánh giá công thức sau: M.N n |x − x0 |n+1 εn = |yn (x) − y (x)| ≤ (n + 1)! ∗ Trong M = max |f (x, y)| (x,y)∈D 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán h = a, (x,y)∈D b M Ta chứng minh công thức M.N n (x − x0 )n+1 =0 lim n→∞ (n + 1)! N n (x − x0 )n+1 Thật vậy, xét chuỗi (n + 1)! n=1 N n (x − x0 )n+1 Áp dụng dấu hiệu Dalambe với un = (n + 1)! ∞ ∞ Ta có chuỗi an xn hội tụ n=0 Theo điều kiện chuỗi hội tụ lim un = n→∞ Do 2.3.2 M.N n (x − x0 )n+1 lim =0 n→∞ (n + 1)! Ví dụ minh họa Ví dụ 12: Tìm ba nghiệm xấp xỉ liên tiếp phương trình sau: y = x + y2 y (0) = Giải: Dễ thấy hàm số y = x + y thỏa mãn định lý tồn nghiệm toàn mặt phẳng x x + y dx Ta thay toán phương trình tích phân y (x) = Lấy a = 1, b = 0, 5, x0 = 0, y0 = D = {(x, y) : |x| ≤ 1, |y| ≤ 0, 5} 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán Ta có |f (x, y)| = x + y ≤ 1, 25 M = max |f (x, y)| = 1, 25 (x,y)∈D h = (x,y)∈D a, b M = (x,y)∈D 1, 0, 1, 25 = 0, ⇒ x ∈ [−0, 4; 0, 4] Ta xây dựng dãy lặp Áp dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp với xấp xỉ y0 (x) = Khi x y1 (x) = y0 + f (t, y0 (t)) dt = x y2 (x) = y0 + f (t, y1 (t)) dt = x y3 (x) = y0 + x2 tdt = x x2 x5 t dt = + t+ 20 x t2 t5 t+ dt + 20 x2 x5 x8 x11 + + + 20 160 4400 x f (t, y2 (t)) dt = t4 t7 t10 = t+ + + dt = 20 400 Đánh giá sai số: x Ta có: f (y) = 2y f y (x, y) = |2y| ≤ ⇒N =1 Theo công thức đánh giá sai số |yn (x) − y ∗ (x)| ≤ 36 M.N n hn+1 (n + 1)! Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán 1, 25.13 (0, 4)4 ⇒ |y3 (x) − y (x)| ≤ (3 + 1)! ⇒ |y3 (x) − y ∗ (x)| ≤ 750 ∗ Nhận xét: Ưu điểm phương pháp xấp xỉ liên tiếp tìm nghiệm gần dạng giải tích Nhược điểm lớn tích phân phức tạp Kết luận Chương Nội dung Chương nêu số kiến thức Phương pháp chuỗi lũy thừa Phương pháp hệ số bất định Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 37 Chương ỨNG DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN 3.1 Giới thiệu phần mềm Maple Phần mềm Maple cho phép sử dụng gói công cụ chuyên dụng có sẵn để giải phương trình vi phân cách nhanh chóng hiệu quả, tùy dạng phương trình mà cho phép biểu diễn nghiệm dạng biểu thức, chuỗi đa thức xấp xỉ hay bảng số Do hạn chế mặt thời gian nên chương đề cập đến cách viết chương trình để giải toán nêu trên, qua thấy phần mềm tính toán công cụ dễ dàng hiệu Muốn tiến hành giải phương trình vi phân, ta cần nạp gói công cụ chuyên dụng cho lĩnh vực lệnh sau: [>with(DEtools): Lệnh giải phương trình vi phân có cú pháp tổng quát [>dsolve(odesys,vars,keyword); Trong 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán • odesys: tập hợp phương trình vi phân với điều kiện ban đầu, điều kiện biên • vars: biến phụ thuộc cần tìm nghiệm phương trình vi phân • keyword: cho phép ta xác định phương pháp giải dạng biểu diễn nghiệm Cách biểu diễn nghiệm mặc định “chính xác” Nếu chọn cách biểu diễn nghiệm ta chi giá trị phần keyword + Với keyword cho dạng type=series máy cho ta nghiệm dạng chuỗi Với keyword cho dạng type=numeric máy sử dụng phương pháp số cho ta nghiệm dạng hàm tượng trưng mà ta đánh giá giá trị số điểm + Với keyword cho dạng output=basic máy cho ta tập hàm sở mà tập nghiệm căng 3.2 Một số ứng dụng Maple tính toán giải phương trình vi phân Nhờ Maple, ta tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân thường tìm nhiều nghiệm riêng với điều kiện ban đầu phương trình vi phân cho trước Trong phần này, nghiên cứu việc tính toán Maple, sử dụng phương pháp giải tích Giải xấp xỉ ví dụ sau: Ví dụ 12: y − y2 = x 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán y (0) = 0, y (0) = Bước 1:Ta lệnh gán diff_eq1 cho phương trình cần giải: [>diff_eq1:=D(D(y))(x)-y(x)ˆ 2=x; dif f _eq1 := (D(2) )(y)(x) − y(x)2 = x (Sau dấu (;) đánh lệnh [Enter] hình phương trình vi phân cần giải) Bước 2: điều kiện ban đầu lệnh: [>init_con:=y(0)=0,D(y)(0)=1; init_con := y (0) = 0, D (y) (0) = (Sau cho thực hình công thức mô tả điều kiện ban đầu) Bước 3: phương trình vi phân lệnh dsolve: [>dsolve(diff_eq1,init_con,y(x),series); y (x) = x + x3 x4 + + O x6 12 (Sau cho thực lệnh, hình công thức nghiệm phương trình vi phân cần giải) 3.2.1 Ví dụ minh họa Giải xấp xỉ ví dụ sau: Ví dụ 13: y − xy + 2y = e−x y (0) = 2, y (0) = 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán Ta lệnh gán diff_eq2 cho phương trình cần giải: [>diff_eq2:=D(D(y))(x) – x*D(y)(x)+2*y(x)=exp(-x); dif f _eq2 := (D2 )(y)(x) − xD(y)(x) + 2y(x) = e(−x) Nhập điều kiện ban đầu lệnh: [>init_con:=y(0)=2,D(y)(0)=3; init_con := y (0) = 2, D (y) (0) = Giải phương trình vi phân lệnh dsolve: [>dsolve(diff_eq2,init_con,y(x), series); 1 y (x) = + 3x − x2 − x3 + x4 − x5 + O x6 24 24 Ví dụ 14: y + (3 + 4cosx) y = y (0) = 1, y (0) = Ta lệnh gán diff_eq3 cho phương trình cần giải: [>diff_eq3:=D(D(y))(x)+(3+4*cos(x))*y(x)=0; dif f _eq3 := (D2 )(y)(x) + (3 + 4cos(x))y(x) = Nhập điều kiện ban đầu lệnh: [>init_con:=y(0)=1,D(y)(0)=2; init_con := y (0) = 1, D (y) (0) = Giải phương trình vi phân lệnh dsolve: [>dsolve(diff_eq3,init_con,y(x),series); 7 53 61 y (x) = + 2x − x2 − x3 + x4 + x5 + O x6 24 60 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán Ví dụ 15: y = cosx + siny y (0) = 0, y (0) = Ta lệnh gán diff_eq4 cho phương trình cần giải: [>diff_eq4:=D(D(y))(x)=cos(x)+sin(y(x)); dif f _eq4 := (D2 )(y)(x) = cos(x) + sin(y(x)) Nhập điều kiện ban đầu lệnh: [>init_con:=y(0)=0,D(y)(0)=1; init_con := y (0) = 0, D (y) (0) = Giải phương trình vi phân lệnh dsolve: [>dsolve(diff_eq4,init_con,y(x),series); x2 x3 y (x) = x + + Ví dụ 16: y − 2xy = y (0) = Ta lệnh gán diff_eq7 cho phương trình cần giải: [>diff_eq7:=D(y)(x)-2*x*y(x)=0; dif f _eq7 := D(y)(x) − 2xy(x) = Nhập điều kiện ban đầu lệnh [>init_con:=y(0)=1; init_con := y (0) = Giải phương trình vi phân lệnh dsolve: 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán [>dsolve(y(0)=1,diff_eq7,y(x),series); y (x) = (1 + x2 + x4 + O x6 Ví dụ 17: y + 3y = y (0) = Ta lệnh gán diff_eq8 cho phương trình cần giải: [>diff_eq8:=D(y)(x)+3*y(x)=8; dif f _eq8 := D(y)(x) + 3y(x) = Nhập điều kiện ban đầu lệnh: [>init_con:=y(0)=4; init_con := y (0) = Giải phương trình vi phân lệnh dsolve: [>dsolve(y(0)=4,diff_eq8,y(x),series); y (x) = 27 − 4x + 6x2 − 6x3 + x4 − x5 + O x6 10 Ví dụ 18: (x − 1) y + y = y (4) = Ta lệnh gán diff_eq9 cho phương trình cần giải: [>diff_eq9:=(x-1)*D(y)(x)+y(x)=0; dif f _eq9 := (x − 1)D(y)(x) + y(x) = Nhập điều kiện ban đầu lệnh: 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán [>init_con:=y(4)=5; init_con := y (4) = Giải phương trình vi phân lệnh dsolve: [>dsolve(y(4)=5,diff_eq9,y(x),series); 5 5 y (x) = 5− (x − 4)+ (x − 4)2 − (x − 4)3 + (x − 4)4 − (x − 4)5 27 81 243 +O (x − 4)6 Ví dụ 19: y + (x − 1) y = ex y (1) = 1, y (1) = Ta lệnh gán diff_eq10 cho phương trình cần giải: [>diff_eq10:=D(D(y))(x)+(x-1)*y(x)=exp(x); dif f _eq10 : (D2 )y(x) + (x − 1)y(x) = ex Nhập điều kiện ban đầu lệnh: [>init_con:=y(1)=1,D(y)(1)=1; init_con := y (1) = 1, D (y) (1) = Giải phương trình vi phân lệnh dsolve: [>dsolve(diff_eq10,init_con,y(x),series); e e−1 e−2 y = 1+(x − 1)+ (x − 1)2 + (x − 1)3 + (x − 1)4 − e(x − 1)5 24 60 +O (x − 1)6 Ví dụ 20: y + y2 = 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán y (0) = 1, y (0) = Ta lệnh gán diff_eq11 cho phương trình cần giải: [>diff_eq11:=D(D(y))(x)+y(x)ˆ 2=0; dif f _eq11 := (D2 )(y)(x) + y(x)2 = Nhập điều kiện ban đầu lệnh: [>init_con:=y(0)=1,D(y)(0)=0; init_con := y (0) = 1, D (y) (0) = Giải phương trình vi phân lệnh dsolve: [>dsolve(y(0)=1,diff_eq11,y(x),series); y (x) = x − x + O x6 12 Ví dụ 21: y = x + y2 y (0) = Ta lệnh gán diff_eq12 cho phương trình cần giải: [>diff_eq12 :=D(y)(x)=x+y(x)ˆ 2; dif f _eq12 := D(y)(x) = x + y(x)2 Nhập điều kiện ban đầu lệnh: [>init_con:=y(0)=0; init_con := y (0) = Giải phương trình vi phân lệnh dsolve: [>dsolve(y(0)=0,diff_eq12=x+y(x)ˆ 2=0,y(x),series); 1 y (x) = x2 + x5 + O x6 20 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán Kết luận: Kết tính toán Maple hoàn toàn trùng khớp với kết toán sử dụng phương pháp giải tích Như vậy, ta thấy việc giải phương trình vi phân đơn giản ta sử dụng Maple vào tính toán Kết luận Chương Nội dung Chương số kiến thức Giới thiệu phần mềm Maple Một số ứng dụng Maple tính toán giải phương trình vi phân 46 KẾT LUẬN Dựa tài liệu tham khảo, luận văn trình bày số vấn đề sau Một số kiến thức chuỗi lũy thừa, khái quát phương trình vi phân thường Phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp hệ số bất định, phương pháp xấp xỉ liên tiếp vài ví dụ áp dụng Ứng dụng Maple tính toán giải phương trình vi phân Giải gần phương trình vi phân thường có nhiều cách Nhưng điều kiện thời gian, trình độ lực hạn chế nên khóa luận em nghiên cứu số phương pháp giải tích thường dùng Vấn đề nghiên cứu nhiều điều bổ ích lý thú Tuy nhiên lần tiến hành nghiên cứu khoa học, thời gian, kinh nghiệm hạn chế nên khóa luận tốt nghiệp em nhiều điều cần bổ sung Em mong nhận góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] Tài liệu Tiếng Việt Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Phạm Huy Điển(2002), Tính toán, lập trình giảng dạy Toán học Maple, NXB Khoa học- Kỹ thuật Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2009), Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, tái lần thứ ba, NXB Giáo dục Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2006), Giáo trình Giải tích tập 2, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh T.S.L Radhika, T.K.V Iyengar, T Raja Rani (2015), Approximate analytical methods for solving ordinary differential equations, Taylor & Fancis Group E Suli (2014), Numerical Solution of Ordinary Differential Equations, Mathematical Institut, University of Oxford 48 ... quát phương trình vi phân 13 Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Chương trình bày số phương pháp giải tích ứng dụng vào vi c giải gần phương trình vi phân. .. chương trình bày số kiến thức chuỗi lũy thừa, khái quát phương trình vi phân toán Cauchy phương trình vi phân cấp cấp n Chương 2: "Một số phương pháp giải tích giải gần phương trình vi phân thường" ... học tìm nhiều phương pháp để giải gần phương trình vi phân thường Chính lẽ đó, em mạnh dạn trình bày hiểu biết vấn đề: Một số phương pháp giải tích giải gần phương trình vi phân thường nhằm