LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11

LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 11

Lượng giác

Vấn đề 1 Các hàm số lượng giác

I) TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ:

1) Hàm số chẵn, hàm số lẻ:

 Hàm số y  f x ( ) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu: với mọi x  D thì   x D và f ( )  x  f x ( )

Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc tập xác định D, thì -x cũng thuộc D và f(-x) = -f(x) Đồ thị của hàm số chẵn có trục tung làm trục đối xứng, trong khi đồ thị của hàm số lẻ có gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Cho hàm số y  f x ( ) xác định trên tập ( a; b )  

 Hàm số y  f x ( ) gọi là đồng biến (hay hàm số tăng) trên ( a; b ) nếu  x , x 1 2  ( a; b ) có x 1  x 2  f x ( ) 1  f x ( ) 2

 Hàm số y  f x ( ) gọi là nghịch biến (hay hàm số giảm) trên ( a; b ) nếu  x , x 1 2  ( a; b ) có x 1  x 2  f x ( ) 1  f x ( ) 2

Hàm số y  f x ( ) xác định trên tập hợp D, được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T  0 sao cho với mọi x  D ta có (x T) D   và (x T) D   và f x T (  )  f x ( )

Nếu có số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu kì của hàm tuần hoàn f

II) HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:

Tập giá trị:    1; 1   ,có nghĩa là   1 sin x 1, x   

Hàm số tuần hoàn với chu kì 2, có nghĩa sin x k2 (    ) sin x với k  

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2

  và nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ; 3 k2

 ,k  y sin x  là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng (Hình 1)

Một số giá trị đặc biệt: sin x  0  x   k ,(k   ) sin x 1 x k2 ,(k )

Tập giá trị:    1; 1   ,có nghĩa là   1 cos x 1, x    

Hàm số tuần hoàn với chu kì 2, có nghĩa cos x k2 (    ) cos x với k 

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (   k2 ; k2   ) và nghịch biến trên mỗi khoảng ( k2 ;    k2  ) , k  y  cos x là hàm số chẵn, đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng (Hình 2)

Một số giá trị đặc biệt: cos x 0 x k ,(k )

3) Hàm số tang: y tan x sin x cos x

Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa tan x k (    ) tan x,(k  )

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k ; k , k ( )

 y tan x  là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng x k , k

      làm đường tiệm cận.(Hình 3)

Một số giá trị đặc biệt : tan x 0   x   k , k  tan x 1 x k , k

4) Hàm số cotang: y cot x cos x sin x

Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa cot x k (    ) cot x,(k   )

Hàm số y = cot x nghịch biến trên mỗi khoảng (k; k + π), với k thuộc tập số thực Đây là hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O và có các đường thẳng x = πk (k thuộc tập số thực) là đường tiệm cận.

Một số giá trị đặc biệt : cot x 0 x k , k

         ÔN TẬP: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

 sinx là – 1  sinx  1  cosx là – 1  cosx  1 chú ý:

7 cos(a b)   cos a.cosb sin a.sinb  8 cos(a b)   cos a.cosb sin a.sinb 

9 sin(a b) sin a.cosb cosa.sinb    10 sin(a b)   sin a.cosb cosa.sinb 

13 cot a.cotb 1 cot(a b) cota cotb

 14 cot acotb 1 cot(a b) cota cotb

15 sin2a  2 sin a.cosa 16 cos2a  2cos a 1 1 2sin a 2    2  cos a sin a 2  2

18 cos3a  4cos a 3cosa 3  19 sin3a  3sina 4sin a  3 20

GÓC CHIA ĐÔI: với t tan x

32 tana tanb sin(a b) cos acosb

   33 tana tanb sin(a b) cos acosb

34 cota cotb sin(a b) sin asinb

   35 cota cotb sin(a b) sin asinb

Vấn đề 2 Phương trình lượng giác cơ bản

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT:

Vấn đề 3 Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác

 Đặt t  tan u, điều kiện cos u  0

 Đặt t  cot u,điều kiện sin u  0

Vấn đề 4 Phương trình bậc nhất theo sin, cos

G óc đối nhau G óc bù nhau G óc phụ nhau

DẠNG: a sin u b cos u c a sin u b cos u c a cos u b sin u c

 Điều kiện để phương trình có nghiệm là :a 2  b 2  c 2

Giả sử giải phương trình: a sin u b cos u   c * ( )

Cách giải chia hai vế của (*) cho a 2  b 2

(**)  sin u (    ) sin  Giải phương trình cơ bản

Vấn đề 5 Phương trình thuần nhất đối với sin, cos

Cách giải.Xét 2 trường hợp :

 Trường hợp 1 :Xét cos x  0  sin x   1 Thay vào (1) xem thoả hay không thoả.Kết luận

 Trường hợp 2:Xét cos x  0 Chia hai vế của (1) cho cos x 2 ,rồi đưa về phương trình bậc hai theo tan x ,giải bình thường

Vấn đề 6 Phương trình đối xứng đối với sin, cos

PHƯƠNG TRÌNH DẠNG : a sin x cos x (  )  b sin x cos x c   0 1 ( )

Thay vào (1) rồi giải phuong trình bậc 2 theo t.

Tổ hợp – xác suất

Vấn đề 1 Hai quy tắc đếm cơ bản

Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B Có n cách thực hiện phương án

A và m cách thực hiện phương án B Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n m  cách

Quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án :

Giả sử có một công việc có thể được thực hiện theo k phương án A1, A2, , Ak, với n1 cách thực hiện cho A1, n2 cách cho A2, và nk cách cho Ak Tổng số cách thực hiện công việc này sẽ là n1 + n2 + + nk.

Giả sử một công việc bao gồm hai công đoạn A và B, trong đó công đoạn A có n cách thực hiện Đối với mỗi cách thực hiện công đoạn A, công đoạn B có thể thực hiện theo m cách Do đó, tổng số cách thực hiện công việc này là nm cách.

Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn :

Giả sử một công việc bao gồm k công đoạn A1, A2, , Ak, trong đó công đoạn A1 có n1 cách thực hiện, A2 có n2 cách, và Ak có nk cách Khi tổng hợp lại, công việc này có thể được thực hiện theo n1 x n2 x x nk cách khác nhau.

Vấn đề 2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Tập A chứa n phần tử (n ≥ 1) Khi sắp xếp các phần tử này theo một thứ tự nhất định, chúng ta thu được một hoán vị của tập A.

Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là

Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n Khi chọn k phần tử từ A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định, ta thu được một chỉnh hợp chập k của n phần tử trong A, thường được gọi là chỉnh hợp chập k của A.

Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử 1 k   n là

Tập A có n phần tử và một số nguyên k, với điều kiện 1 ≤ k ≤ n Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là tổ hợp chập k của n phần tử trong A, hay còn gọi tắt là tổ hợp chập k của A.

Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 k   n) là

4 Hai tính chất cơ bản của số C k n

Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 0  k  n Khi đó C k n  C n k n 

Cho các số nguyên n và k với 1 k   n Khi đó C k n 1   C k n  C k 1 n 

Vấn đề 3 Nhị thức newton

1) Công thức nhị thức Niu-ton n 0 n 1 n 1 k n k k n n n n n n

Công thức nhị thức Niu tơn (*) có :

* Các hệ số của nhị thức có tính đối xứng theo tính chất C k n  C n k n 

* Trong mỗi số hạng tổng số mũ của a và b luôn bằng n

Để khai triển biểu thức (a + b)ⁿ thành đa thức, cần xác định các hệ số C₀, C₁, C₂, , Cₙ, được tính theo công thức nhị thức Newton Các hệ số này có thể được tính toán thông qua bảng số.

Tam giác Pa-xcan, được thiết lập bởi nhà toán học Pháp Pascal vào năm 1653, là một cấu trúc toán học nổi tiếng Nó được xây dựng dựa trên quy luật cụ thể, thể hiện mối quan hệ giữa các số ở mỗi hàng và cột.

 Đỉnh được ghi số 1 Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1

Nếu biết hàng thứ n (n ≥ 1), hàng thứ n + 1 được tạo ra bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng n và ghi kết quả xuống hàng dưới, ở vị trí giữa hai số này Cuối cùng, thêm số 1 ở đầu và cuối hàng mới.

1 x  x , 2 n m x n  x m (với điều kiện x, y đều có nghĩa trong tất cả các công thức trên)

Vấn đề 4 Biến cố và xác suất của biến cố

Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà :

Kết quả của nó không đoán trước được ;

Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó

Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T

Không gian mẫu của một phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra, và được ký hiệu bằng chữ cái ô-mê-ga (Ω).

Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của

Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho A

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là Khi đó người ta nói biến cố A được mô tả bởi tập

2 Xác suất của biến cố

Giả sử phép thử T có không gian mẫu là một tập hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T, với A là tập hợp các kết quả thuận lợi, thì xác suất của A, ký hiệu là P(A), được xác định theo công thức cụ thể.

Từ định nghĩa trên ta suy ra

Ván đề 5 Các quy tắc tính xác suất

1 Quy tắc công xác suất a Biến cố hợp

Cho hai biến cố A và B Biến cố “A hoặc B xảy ra”, kí hiệu là , được gọi là hợp của hai biến cố A và B

Cho biến cố Biến cố “Có ít nhất một trong các biến cố xảy ra”, kí hiệu là

, được gọi là hợp của biến cố đó b Biến cố xung khắc

Cho hai biến cố A và B Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra

Hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nếu và chỉ nếu c Quy tắc cộng xác suất

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là

Cho biến cố đôi một xung khắc Khi đó d Biến cố đối

Cho A là một biến cố Khi đó biến cố “Không xảy ra A”, kí hiệu là , được gọi là biến cố đối của A

Cho biến cố A Xác suất của biến cố đối là

2 Quy tắc nhân xác suất a Biến cố giao

Cho hai biến cố A và B Biến cố “Cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu là AB, được gọi là giao của hai biến cố A và

Cho biến cố Biến cố “Tất cả biến cố đều xảy ra”, kí hiệu là , được gọi là giao của biến cố đó b Biến cố độc lập

Hai biến cố A và B được xem là độc lập nếu sự xảy ra hoặc không xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố còn lại.

Các biến cố được coi là độc lập khi sự xảy ra hoặc không xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng đến xác suất của các biến cố khác Điều này dẫn đến quy tắc nhân xác suất, cho phép tính toán xác suất của nhiều biến cố độc lập bằng cách nhân xác suất của từng biến cố.

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì

Quy tắc nhân xác suất cho nhiều biến cố được phát biểu như sau:

Vấn đề 7 Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên rời rạc là đại lượng X nhận giá trị từ một tập hợp hữu hạn, với các giá trị này mang tính ngẫu nhiên và không thể dự đoán trước.

2 Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị xác định Để nắm bắt bản chất của X, chúng ta thường tìm hiểu xác suất mà X nhận các giá trị cụ thể.

Các thông tin về X như vậy được trình bày dưới dạng bảng sau đây :

Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

Vấn đề 1 Chứng minh quy nạp

Nguyên lý quy nạp toán học:

Giả sử P(n) là một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n Nếu hai điều kiện (i) và (ii) được thỏa mãn, thì P(n) sẽ đúng với mọi n ≥ m, trong đó m là một số tự nhiên đã cho.

( ) ii Với mỗi số tự nhiên k m,  nếu P k 1 (  ) đúng

Phương pháp chứng minh dựa trên nguyên lý quy nạp toán học gọi là phương pháp quy nạp toán học( hay gọi tắt là phương pháp quy nạp)

Để chứng minh một mệnh đề P(n) đúng với mọi n ≥ m (với m là số tự nhiên cho trước), ta cần thực hiện hai bước cơ bản.

Bước 1: Chứng minh rằng P n ( ) đúng khi n  m

Bước 2: Giả sử k là một số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng m, và P(n) đúng với n = k Chúng ta sẽ chứng minh rằng P(n) cũng đúng với n = k + 1 Theo nguyên lý quy nạp toán học, từ đó ta có thể kết luận rằng P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ m.

Dãy số là một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương N*, được gọi là dãy số vô hạn Mỗi giá trị của hàm số u trong dãy số này được gọi là một số hạng, với số hạng đầu tiên được gọi là số hạng thứ nhất.

Nguyễn Bảo Vương Trang 14 số hạng đầu), được gọi là số hạng thứ hai… Người ta thường kí hiệu các giá trị …tương ứng bởi ,…

Dãy số thường được kí hiệu và gọi là số hạng tổng quát, có thể được viết dưới dạng khai triển Một hàm số u xác định trên tập hợp gồm m số nguyên dương đầu tiên (m thuộc N*) cũng được coi là một dãy số Trong trường hợp này, dãy số có hữu hạn số hạng, cụ thể là m số hạng, với số hạng đầu và số hạng cuối được xác định rõ ràng.

3) Các cách cho một dãy số:

Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát

Ví dụ: Cho dãy với u n  2n 2  3n 2 

Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi ( hay quy nạp):

 Cho số hạng thứ nhất ( hoặc một vài số hạng đầu)

 Với , cho một công thức tính nếu biết ( hoặc vài số hạng đứng ngay trước nó)

Ví dụ: Cho dãy số xác định bởi 1 3 n 1 n u 1 n 1. u  u n

Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số

Ví dụ: Cho đường tròn bán kính R Cho dãy với là độ dài cung tròn có số đo là của đường tròn

4) Dãy số tăng: là dãy số tăng

5) Dãy số giảm: là dãy số giảm

Dãy số đơn điệu bao gồm dãy số tăng và dãy số giảm Tính chất đơn điệu của một dãy số được xác định bởi tính chất tăng hoặc giảm của nó.

7) Dãy số bị chặn trên: được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

8) Dãy số bị chặn dưới: được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

Dãy số bị chặn là dãy số có cả giới hạn trên và giới hạn dưới Cụ thể, tồn tại một số M là giới hạn trên và một số m là giới hạn dưới, đảm bảo rằng mọi phần tử trong dãy đều nằm trong khoảng từ m đến M.

Vấn đề 3 Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số, có thể là hữu hạn hoặc vô hạn, trong đó từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng được tính bằng tổng của số hạng ngay trước đó cộng với một số d không đổi.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng

Định lý 1 khẳng định rằng trong một cấp số cộng (u n), từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối trong cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng kề nhau, tức là u k = (u k-1 + u k+1) / 2.

Hệ quả: Ba số a, b, c ( theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng  a c   2b

1) Định lý 2: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u 1 và công sai d thì số hạng tổng quát u n của nó được xác định bởi công thức sau: u n  u 1  ( n 1 d  )

2) Định lý 3: Giả sử ( ) u n là một cấp số cộng có công sai d

( S n là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng) Ta có :

Vấn đề 4 Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số, có thể là hữu hạn hoặc vô hạn, trong đó từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng được tính bằng cách nhân số hạng ngay trước nó với một số q không đổi.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân

Định lý 1 khẳng định rằng, trong một cấp số nhân u_n, từ số hạng thứ hai trở đi, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối trong cấp số nhân hữu hạn) sẽ bằng tích của hai số hạng kề nhau Cụ thể, công thức được thể hiện là u_{2k} = u_{k-1} * u_{k+1} với k ≥ 2.

Hệ quả: Nếu a, b, c là ba số khác 0, thì “ba số a, b, c ( theo thứ tự đó) lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi b 2  ac”

3) Định lý 2: Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u 1 và công bội q  0 thì số hạng tổng quát u n của nó được tính bởi công thức: u n  u q 1 n 1 

4) Định lý 3: Giả sử (u n ) là một cấp số nhân có công bội q Gọi n n k 1 2 n n k 1

      là tổng cuản số hạng đầu tiên của cấp số nhân) Ta có:

Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số

Vấn đề 1 Giới hạn dãy số

Dãy số \( u_n \) được định nghĩa là có giới hạn bằng 0 nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý, từ một số hạng nào đó trở đi, mọi số hạng của dãy đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó Khi đó, ta có thể viết \( \lim_{n \to \infty} u_n = 0 \).

( ) n lim u  0 hay u n  0 khi n   Bằng cách sử dụng các kí hiệu toán học, định nghĩa trên có thể viết như sau:

Một số giới hạn đặc biệt của dãy số bao gồm: a) Dãy số \( u_n \) có giới hạn bằng 0 nếu và chỉ nếu dãy số \( (u_n) \) cũng có giới hạn bằng 0 b) Giới hạn của 0 là 0, tức là \( \lim_{n \to \infty} 0 = 0 \) c) Giới hạn \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{k^n} = 0 \) với \( k > 1 \) d) Nếu \( q < 1 \), thì \( \lim_{n \to \infty} q^n = 0 \) Định nghĩa 2 cho biết rằng dãy số \( u_n \) có giới hạn là số thực \( a \) nếu \( \lim_{n \to \infty} (u_n - a) = 0 \), và ta có thể viết \( \lim_{n \to \infty} u_n = a \) hoặc \( n \lim_{n \to \infty} u_n = a \).

Dãy số có giới hạn là dãy số mà giới hạn của nó là một số hữu hạn a Điều này có nghĩa là lim u_n = a khi u_n - a trở nên nhỏ vô hạn với n đủ lớn Tuy nhiên, không phải tất cả các dãy số đều có giới hạn hữu hạn.

Một số giới hạn đặc biệt: a) lim c  c (c là hằng số) b) Nếu lim u n  a thì lim u n  a c) Nếu u n  0, (  n ) thì a 0  và lim u n  a

Định lý về giới hạn hữu hạn gồm hai phần chính Định lý 1 khẳng định rằng với hai dãy số \( (u_n) \) và \( (v_n) \), nếu \( u_n < v_n \) với mọi \( n \) và \( \lim v_n = 0 \), thì \( \lim u_n = 0 \) Định lý 2 chỉ ra rằng nếu \( \lim u_n = a \) và \( \lim v_n = b \) với \( c \) là hằng số, thì các giới hạn này có mối quan hệ nhất định.

Cho ba dãy số \( (u_n), (v_n) \) và \( (w_n) \) Nếu \( u_n \leq v_n \leq w_n \) với mọi \( n \) và \( \lim u_n = \lim w_n = a \) (với \( a \in \mathbb{R} \)), thì \( \lim v_n = a \) (được gọi là định lý kẹp) Điều kiện để một dãy số tăng hoặc giảm có giới hạn hữu hạn là rất quan trọng trong phân tích dãy số.

Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn

Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn

3) TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN:

Cho cấp số nhân ( ) u n có công bội q và thỏa q  1 Khi đó tổng S  u 1  u 2  u 3      u n     được gọi là tổng vô hạn của cấp số nhân và 1 ( n ) 1 n u 1 q u

Dãy số có giới hạn vô cực dương  được xác định khi với mỗi số dương tùy ý, tất cả các số hạng của dãy, kể từ một số hạng nhất định, đều lớn hơn số dương đó Chúng ta có thể ghi nhận điều này bằng ký hiệu lim u(n) =  hoặc lim u n =  hoặc u n  .

Ví dụ về giới hạn dãy số cho thấy lim n → +∞, lim n → +∞, lim n^3 → +∞, và lim n^α → +∞ với α > 0 Đối với dãy số có giới hạn là -∞, dãy số (u_n) có giới hạn -∞ khi và chỉ khi mọi số hạng của dãy, từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn một số âm bất kỳ Chúng ta có thể viết lim u_n → -∞ hoặc u_n → -∞ để biểu thị điều này.

 Các dãy số có giới hạn hoặc được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực

Vấn đề 2 Giới hạn hàm số

1) Giới hạn của hàm số tại một điểm: a) Giới hạn hữu hạn: Giả sử ( a; b )là một khoảng chứa điểm x 0 và flà một hàm số xác định trên tập hợp ( a; b \ x )   0

Hàm số f được cho là có giới hạn là số thực L khi x tiến gần đến x0, nếu với mọi dãy số (x_n) trong khoảng (a; b) không chứa x0, khi lim x_n = x0 thì lim f(x_n) = L Do đó, ta có thể viết: lim f(x) khi x tiến đến x0 bằng L.

 Nếu f x ( )  c, x    , trong đó c là hằng số thì ( )

Nguyễn Bảo Vương Trang 17 b) Giới hạn vô cực: Giả sử ( a; b )là một khoảng chứa điểm x 0 và flà một hàm số xác định trên tập hợp ( a; b \ x )   0

  nếu với mọi dãy số ( ) x n trog tập hợp ( a; b \ x )   0 mà lim x n  x 0 ta đều có lim f x ( )  

  nếu với mọi dãy số ( ) x n trog tập hợp ( a; b \ x )   0 mà lim x n  x 0 ta đều có lim f x ( )  

2) Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Giả sử hàm số f được xác định trên khoảng (a; +∞) Hàm số f có giới hạn là số thực L khi x tiến tới +∞ nếu với mọi dãy số (x_n) trong khoảng (a; +∞) mà lim x_n = +∞, thì lim f(x_n) = L Do đó, ta có thể viết: lim x → +∞ f(x) = L.

   được định nghĩa hoàn toàn tương tự

Nhận xét: Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, có thể chứng minh được rằng: Với mọi số nguyên dương k, ta có: k x lim x

3) Một số định lí về giới hạn hữu hạn: Định lí 1: Giả sử ( ) x lim f x x 0 L

Nếu c là một hằng số thì ( ) x lim c.f x x 0 c.L

 ( a hằng số và k    ) Định lí 2: Giả sử ( ) x lim f x x 0 L

Nếu f x ( )  0 với mọi x  J\ x   0 , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x 0 , thì L 0  và ( ) x lim x 0 f x L

Chú ý rằng Định lý 1 và Định lý 2 vẫn giữ nguyên tính đúng đắn khi thay thế x bằng x₀ trong trường hợp x tiến tới +∞ hoặc -∞ Định lý 3, được gọi là Định lý kẹp về giới hạn hàm số, nêu rằng nếu J là một khoảng chứa x₀ và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp J\{x₀}, với điều kiện f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) cho mọi x thuộc J\{x₀}, thì

Chú ý: Định lí 3 vẫn đúng khi thay x  x 0 bởi x   (trong các trường hợp này thay tập hợp J\ x   0 bằng khoảng

( a;  ) ) hoặc x   (trong các trường hợp này thay tập hợp J\ x   0 bằng khoảng (  ; a ) ) Định lí 4: Nếu ( ) x lim f x x 0

4) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực:

  được cho bởi bảng sau:

  và g x ( )  0 hoặc g x ( )  0 với mọi x  ( a; b \ x )   0 thì ( )

 được cho bởi bảng sau:

Các dạng vô định trường gặp: 0 , ,0 ,

6) Giới hạn một bên: a) Giới hạn hữu hạn:

Giới hạn bên phải của hàm số f được xác định trên khoảng (x; b, x0) (với 0 thuộc về R) được định nghĩa là số thực L khi x tiến gần đến x0 Cụ thể, nếu với mọi dãy số (x_n) trong khoảng (x; b0) mà lim x_n = x0, thì lim f(x_n) = L Khi đó, chúng ta ký hiệu giới hạn bên phải của hàm số f tại x0 là L.

Giới hạn bên trái của hàm số f được xác định trên khoảng (a; x0) là số thực L khi x tiến gần đến x0 Cụ thể, nếu với mọi dãy số (xn) trong khoảng (a; x0) mà lim xn = x0, thì lim f(xn) = L Khi đó, ta có thể viết giới hạn bên trái của hàm số f tại x0 là L.

        được phát biểu tương tự như các định nghĩa ở phần giới hạn hữu hạn Định lí 5 vẫn đúng với giới hạn vô cực

Các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực vẫn đúng trong trường hợp x  x 0  hay x  x 0 

Vấn đề 3 Giới hạn 1 bên

1.Giới hạn hữu hạn a Định nghĩa 1

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (x; b, x0) (0 ∈ R), hàm số f được coi là có giới hạn bên phải là số thực L khi tiến gần đến x0 Điều này xảy ra nếu với mọi dãy số (xn) thuộc khoảng (x; b0) mà lim xn = x0, thì lim f(xn) = L.

Giả sử hàm số f được xác định trên khoảng (a; x0) với x0 thuộc R Hàm số f có giới hạn bên trái là số thực L khi x tiến gần đến x0 (hoặc tại x0) nếu với mọi dãy (xn) nằm trong khoảng (a; x0) mà giới hạn lim xn = x0, thì đều có kết quả tương ứng với L.

( ) n lim f x  L Khi đó ta viết

  thì hàm số f có giới hạn bên phải và giới hạn bên trái tại điểm x 0 Và ( ) ( )

  thì hàm số f có giới hạn tại điểm x 0 và ( ) x lim f x x 0 L

3) Các định lí 1 và 2 ở bài trước vẫn đúng khi thay x  x 0 bởi x  x 0  hoặc x  x 0 

  được phát biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2

2 Các chú ý 1 và 2 vẫn đúng nếu thay L bởi  hoặc 

Vấn đề 4 Tính liên tục

1 Hàm số liên tục tại 1 điểm: Định nghĩa: Giả sử hàm số f x ( ) xác định trên khoảng ( a; b ) và x 0  ( a; b ) Hàm số y  f x ( ) gọi là liên tục tại điểm x 0 nếu: ( ) ( )

Hàm số không liên tục tại điểm x 0 gọi là gián đoạn tại x 0

Hàm số \( f(x) \) được coi là liên tục trên khoảng \( (a; b) \) nếu nó liên tục tại tất cả các điểm trong khoảng đó.

Hàm số y  f x ( ) gọi là liên tục trên đoạn   a; b   nếu nó liên tục trên khoảng ( a; b ) và

Đạo hàm

1) Cho hàm số y  f x ( ) xác định trên khoảng ( a; b ) và x 0  ( a; b ) Giới hạn hữu hạn nếu có của tỉ số ( ) ( ) 0

 khi x  x 0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại x 0 , kí hiệu f ' x ( ) 0 hay y ' x ( ) 0 Như vậy ta có

Nếu đặt x x  0   x và   y f x ( 0   x ) ( )  f x 0 thì ta có ( ) 0 x 0 f ' x lim y x

 Trong đó  x được gọi là số gia của biến số tại x 0 và  y gọi là số gia của hàm số ứng với số gia  x tại x 0

Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 thì f(x) liên tục tại x 0 Tuy nhiên điều ngược lại chưa chắc đúng

2) Cho đường cong (C), điểm M 0 cố định thuộc (C) và M  ( ) C Gọi k M là hệ số góc của cát tuyến M M 0 Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn

  Khi đó đường thẳng M T 0 qua M 0 có hệ số góc k 0 được gọi là tiếp tuyến của (C) tại M 0 Điểm M 0 gọi là tiếp điểm

3) Đạo hàm của hàm số y  f x ( ) tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại đó tại điểm

Nếu hàm số y  f x ( ) có đạo hàm tại điểm x 0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f x ( ) tại điểm M x ; f(x ) 0 ( 0 0 )có phương trình: y  f ' x ( )( 0 x x  0 )  f x ( ) 0

Khí hiệu D đại diện cho một khoảng hoặc hợp các khoảng Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc D, ta nói rằng hàm số này có đạo hàm trên D Đạo hàm của hàm số f(x) tại một điểm x bất kỳ trong D được ký hiệu là y' hoặc f'(x) Do đó, y' hay f'(x) được xem là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên tập D.

Vấn đề 2 Các quy tắc tính đạo hàm

1) Định lý 1: Cho các hàm số u  u x , v ( )  v x ( ) có đạo hàm trên (a;b) thì tổng và hiệu của chúng cũng có đạo hàm trên khoảng (a;b) và

Chú ý: Định lý 1 có thể mở rộng cho tổng hay hiệu của hữu hạn các hàm số

2) Định lý 2: Cho các hàm số u  u x , v ( )  v x ( ) có đạo hàm trên (a;b) thì tích của chúng cũng có đạo hàm trên khoảng (a;b) và ( u.v ' )  u ' v uv '  Đặc biệt : ( a.u ' )  a.u ' ( a là hằng số),

Chú ý: Định lý 2 có thể mở rộng cho tích của hữu hạn các hàm số Chẳng hạn:

3) Định lý 3: Cho các hàm số u  u x , v ( )  v x ( ) có đạo hàm trên (a;b) và v x ( )  0 trên (a;b) thì thương u v cũng có đạo hàm trên khoảng (a;b) và

Hàm số hợp y = F(x) = f(g(x)) được định nghĩa từ hai hàm số y = f(u) và u = g(x) Tập xác định của hàm số F(x) là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho biểu thức f(g(x)) có nghĩa.

Định lý 4 khẳng định rằng nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm tại điểm x₀ và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại điểm u₀ = u(x₀), thì hàm số hợp y = F(x) = f(u(x)) cũng có đạo hàm tại điểm x₀ Hệ quả là F'(x₀) = f'(u)·u'(x₀), hay nói cách khác, y'(x) = y'·u'.

QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

Giả sử là các hàm số có đạo hàm, khi đó:

BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN

MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM NHANH

2 ax b ad bc cx d (cx d)

2 ax bx c adx 2aex be dc dx e (dx e)

2 2 2 ax bx c (ae bd)x 2(af dc)x bf ec dx ex f (dx ex f)

Vấn đề 3 Đạo hàm cấp cao

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x₀ Gọi Δx là độ thay đổi của biến số tại x₀ Tích f'(x₀) · Δx được gọi là vi phân của hàm số f(x) tại điểm x₀ tương ứng với độ thay đổi Δx Ký hiệu df(x) = f'(x₀) · Δx Ở đây, u = u(x), v = v(x), w = w(x) với k thuộc R.

  Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của hàm số hợp (u = u(x))

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x, tích f'(x) Δx được gọi là vi phân của hàm số f(x) tại điểm x tương ứng với số gia Δx Ký hiệu vi phân này là df(x) = f'(x) Δx Nếu chọn hàm số y = x, ta có dy = dx, từ đó Δ = Δx Do đó, thường ký hiệu Δ = x dx và dy = f'(x) dx.

Công thức tính gần đúng nhờ vi phân là: f x ( 0   x )  f x ( ) 0  f ' x x ( ) 0  Đạo hàm cấp cao

1 Cho hàm số y  f x ( ) có đạo hàm f ' x ( ) Hàm số f ' x ( )còn gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số f x ( ) Nếu hàm số

Nếu hàm số f(x) có đạo hàm, đạo hàm này được gọi là đạo hàm cấp 2, ký hiệu là y’’ hoặc f’’(x) Đạo hàm của đạo hàm cấp 2 được gọi là đạo hàm cấp 3, ký hiệu là y’’’ hoặc f’’’(x) Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) được gọi là đạo hàm cấp n, ký hiệu là y(n) hoặc f(n)(x).

2.Đạo hàm cấp 2 của hàm số f(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s=f(t) tại thời điểm t

Vấn đề 4 Phương trình tiếp tuyến

 Phương trình tiếp tuyến của ( ) C : y  f x ( ) tại điểm M x ; y ( o o ) có dạng:

 Điều kiện cần và đủ để hai đường ( ) C 1 : y  f x ( ) và ( ) C 2 : y  g x ( ) tiếp xúc nhau  hệ ( ) ( )

(nhớ: "hàm  hàm, đạo  đạo")

II – Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến thường gặp

 Viết PTTT  của ( ) C : y  f x , ( ) biết  có hệ số góc k cho trước

 Gọi M x ; y ( o o ) là tiếp điểm Tính y '  y ' x ( ) o

 Do phương trình tiếp tuyến  có hệ số góc k  y ' x ( ) o  k ( ) i

 Lưu ý Hệ số góc k  y'(x ) o của tiếp tuyến  thường cho gián tiếp như sau:

 Phương trình tiếp tuyến  // d : y  ax b   k  a

 Phương trình tiếp tuyến d : y ax b k 1

 Phương trình tiếp tuyến  tạo với trục hoành góc   k  tan 

 Phương trình tiếp tuyến  tạo với d : y  ax b  góc k a tan

 Viết PTTT  của ( ) C : y  f x , ( ) biết  đi qua (kẻ từ) điểm A x ; y ( A A )

 Gọi M x ; y ( o o ) là tiếp điểm Tính y o  f x ( ) o và k  y ' x ( ) o theo x o

 Phương trình tiếp tuyến  tại M x ; y ( o o ) là  : y  k x x (  o )  y o

 Giải phương trình ( ) i   x o   y o và k   phương trình 

 Viết PTTT  của ( ) C : y  f x , ( ) biết  cắt hai trục tọa độ tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước

 Gọi M(x ; y ) o o là tiếp điểm và tính hệ số góc k  y'(x ) o theo x o

Với là hệ số góc tiếp tuyến Để viết phương trình tiếp tuyến ta

 Giải ( ) i hoặc ( ) ii   x o   y ; k o   phương trình tiếp tuyến 

 Tìm những điểm trên đường thẳng d : ax by c    0 mà từ đó vẽ được 1, 2, 3, , n tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( ) C : y  f x ( )

 Gọi M x ; y ( M M )  d : ax by c    0 (sao cho có một biến x M trong M)

 PTTT  qua M và có hệ số góc k có dạng  : y  k x x (  M )  y M

 Áp dụng điều kiện tiếp xúc: ( ) ( )

 Thế k từ ( ) ii vào ( ) i , được: f x ( )  f ' x x x ( ) (  M )  y M ( ) iii

 Số tiếp tuyến của ( ) C vẽ từ M  số nghiệm x của ( ) iii

 Tìm những điểm M x ; y ( M M ) mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( ) C : y  f x ( ) và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau

 PTTT  qua M và có hệ số góc k có dạng  : y  k x x (  M )  y M

 Áp dụng điều kiện tiếp xúc: ( ) ( )

 Thế k từ ( ) ii vào ( ) i , được: f x ( )  f ' x x x ( ) (  M )  y M ( ) iii

 Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với ( ) C  ( ) iii có hai nghiệm phân biệt x , x 1 2

 Hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau  k k 1 2    1 y ' x y ' x ( ) ( ) 1 2   1

 Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành thì

Để tìm điểm M thuộc đường cong y = f(x) sao cho tiếp tuyến tại M song song hoặc vuông góc với đường thẳng d đã cho, ta đặt M có tọa độ (x₀, y₀) và xác định tiếp tuyến với hệ số k = f'(x₀) Đối với trường hợp tiếp tuyến song song, ta áp dụng điều kiện k = f'(x₀) = kₑ, trong khi đó, nếu tiếp tuyến vuông góc, ta có f'(x₀) * kₑ = -1 Từ đó, ta có thể tìm ra tọa độ x₀ và y₀ cho điểm M.

HÌNH HỌC

Vấn đề 1 Phép biến hình

Phép biến hình trong mặt phẳng là quy tắc tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ trong cùng mặt phẳng đó.

Ta thường kí hiệu phép biến hình là F và viết hay , khi đó điểm M’ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F

Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H’ = F(H) là tập các điểm

Khi có một phép biến hình F tác động lên hình H, mọi điểm M thuộc H sẽ được chuyển đổi, tạo ra hình H’ - ảnh của H qua phép biến hình F Để chứng minh rằng H’ là ảnh của H, ta cần xác minh điều này cho bất kỳ điểm M nào.

Phép biến hình biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành chính nó được gọi là phép đồng nhất

M   M '  F M ( )  vuông cân tạo với Ox một góc và có hai nghiệm phân biệt

Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì

Các định lý cơ bản trong hình học bao gồm: biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng mà không thay đổi thứ tự; biến đường thẳng thành đường thẳng; biến tia thành tia; biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng tương ứng với đoạn thẳng đã cho; biến tam giác thành tam giác tương ứng; biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính với đường tròn ban đầu; và biến góc thành góc bằng góc ban đầu.

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các phép biến hình sau đây:

A) Phép biến hình F1 biến mỗi điểm M(x;y) thành điểm M’(y;-x)

B) Phép biến hình F2 biến mỗi điểm M(x;y) thành điểm M’(2x;y)

Trong 2 phép biến hình trên, phép nào là phép dời hình?

Vấn đề 2 Phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng cho véctơ Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ

Phép tịnh tiến theo vec tơ thường được kí hiệu

Nhận xét Phép tịnh tiến theo vec tơ – không chính là phép đồng nhất

II) BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TỊNH TIẾN:

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm Gọi

III) TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TỊNH TIẾN

1) Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

2) Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho

3) Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho

4) Biến một tam giác thành một tam giác bằng tam giác đã cho

5) Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

Vấn đề 3 Phép đối xứng trục

Phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc đường thẳng d thành chính nó, trong khi biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d trở thành đường trung trực của đoạn thẳng MM’.

Phép đối xứng qua trục d thường được kí hiệu là Đ Như vậy Đ , với là hình chiếu vuông góc của M trên d thì M'N' = MN F:

II) BIỂU THỨC TỌA ĐỘ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với mỗi điểm gọi Đ

1) Nếu chọn d là trục Ox, thì:

2) Nếu chọn d là trục Oy, thì:

1) Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

2) Biến một đường thẳng thành đường thẳng

3) Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho

4) Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho

5) Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

IV) TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH Định nghĩa: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng trục Đ biến H thành chính nó, tức là H = Đ

Chú ý: Một hình có thể không có trục đối xứng, cũng có thể có một hay nhiều trục đối xứng

Vấn đề 4 Phép đối xứng tâm

Phép đối xứng tâm I là phép biến hình mà trong đó điểm I được biến đổi thành chính nó, trong khi mỗi điểm M khác I sẽ được chuyển thành điểm M’ sao cho điểm I nằm chính giữa đoạn thẳng MM’.

Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu Đ

Từ định nghĩa ta suy ra:

Nếu thì Đ là trung điểm của MM’

2) Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó Khi đó H được gọi là hình có tâm đối xứng

II) BIỂU THỨC TỌA ĐỘ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho , gọi và là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I

1) Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

2) Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho

3) Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho

4) Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho

5) Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

Phép quay tâm O với góc quay θ là phép biến hình mà điểm O giữ nguyên vị trí, trong khi mỗi điểm M khác O được biến đổi thành điểm M’ sao cho góc lượng giác giữa chúng là θ Điểm O được gọi là tâm quay, và θ là góc quay.

Nguyễn Bảo Vương Trang 26 hình 2 d' d α α

Phép quay tâm O góc thường được kí hiệu là

Phép quay tâm O góc quay , chính là phép đối xứng tâm O

Phép quay tâm O góc quay , chính là phép đồng nhất

1) Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

2) Biến một đường thẳng thành một đường thẳng

3) Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho

4) Biến một tam giác thành một tam giác bằng tam giác đã cho

5) Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

Giả sử phép quay tâm I góc quay biến đường thẳng d thành đường thẳng d’

Nếu thì góc giữa d và d’ bằng

Nếu thì góc giữa d và d’ bằng

Vấn đề 6 Khái niệm về phép dời hình, hai hình bằng nhau

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia

Nếu hình bằng hình và hình bằng hình thì hình bằng hình

Vấn đề 7 Phép vị tự

Cho điểm O cố định và một số thực k không đổi, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' được gọi là phép vị tự tâm O với tỉ số k Trong đó, O là tâm vị tự.

Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó

Phép vị tự tỉ số chính là phép đồng nhất

Phép vị tự tâm I tỉ số chính là phép đối xứng qua tâm I

1) Định lí 1: Nếu phép vị tự tâm I tỉ số k biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M’ và N’ thì và

2) Định lí 2: Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó

Từ các định lí trên ta có các hệ quả sau:

Phép vị tự tỉ số k bao gồm các quy tắc sau: a) Biến đường thẳng không đi qua tâm vị tự thành một đường thẳng song song với đường thẳng ban đầu b) Biến đường thẳng đi qua tâm vị tự thành chính nó c) Biến tia thành tia d) Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng với độ dài được nhân lên với tỉ số k.

Nguyễn Bảo Vương Trang 27 e) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là f) Biến góc bằng góc ban đầu

Qua phép đường thẳng d biến thành chính nó khi và chỉ khi đường thẳng d qua tâm vị tự O

III) ẢNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN QUA PHÉP VỊ TỰ Định lí 3: Phép vị tự tỉ số k biến một đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính

Chú ý: Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k biến đường tròn thành đường tròn thì và

IV) TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

Mỗi cặp đường tròn bất kỳ đều có một phép vị tự chuyển đổi đường tròn này thành đường tròn kia Tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.

Nếu tỷ số vị tự là ngoài, thì tâm vị tự được gọi là tâm vị tự ngoài; ngược lại, nếu tỷ số vị tự là trong, thì tâm vị tự được gọi là tâm vị tự trong.

Hai đường tròn có bán kính bằng nhau và khác tâm thì chỉ có một tâm vị tự trong, đó chính là trung điểm của đoạn nối tâm

Hai đường tròn với bán kính khác nhau sẽ có một tâm vị tự bên ngoài và một tâm vị tự bên trong Đường tròn (C) chỉ trở thành chính nó khi tâm của nó trùng với tâm vị tự và tỉ số vị tự bằng 1 Vấn đề 8 liên quan đến phép đồng dạng.

Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k nếu với hai điểm bất kì M, N và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng, ta luôn có

Phép dời hình cũng là phép đồng dạng với tỉ số

Phép vị tự tỉ số k cũng là phép đồng dạng với tỉ số

Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p thì ta được phép đồng dạng tỉ số pk

1) Định lí: Mọi phép đồng dạng tỉ số k đều là hợp thành của một phép vị tự tỉ số k và một phép dời hình

Phép đồng dạng tỉ số k có những tính chất quan trọng như sau: nó biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng mà không làm thay đổi thứ tự của chúng, biến đường thẳng thành đường thẳng, và tia thành tia Đồng thời, phép đồng dạng cũng biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng với độ dài được nhân lên với k Đặc biệt, nó biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là k, và biến đường tròn thành đường tròn có bán kính là Kr Cuối cùng, phép đồng dạng giữ nguyên giá trị của góc.

Phép dời hình nói chung không có tính chất biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hay trùng với nó

Phép đồng dạng là sự kết hợp giữa phép vị tự và phép dời hình, do đó, nó không có khả năng biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

Hai hình được coi là đồng dạng nếu có thể biến hình này thành hình kia thông qua phép đồng dạng Trong chương 2, chúng ta sẽ khám phá quan hệ song song giữa các hình.

Vấn đề 1 Đại cương hình học không gian k

Bước đầu tiên làm quen với Hình học không gian, các bạn các bạn phải nhớ kỹ các khái niệm và những tính chất sau sau:

Mặt phẳng là một khái niệm cơ bản trong hình học, thể hiện qua các hình ảnh như mặt bảng, mặt bàn, mặt nước hồ yên lặng hay mặt sàn nhà Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn, thường được biểu diễn bằng hình bình hành hoặc một miền góc, kèm theo tên mặt phẳng ghi ở một góc của hình Để ký hiệu mặt phẳng, người ta sử dụng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp trong dấu ngoặc, ví dụ như mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q), hoặc viết tắt là mp(P), mp(Q).

Cho điểm A và mặt phẳng

Khi điểm A thuộc mặt phẳng , ta nói A nằm trên hay mặt phẳng chứa A, hay mặt phẳng đi qua điểm A và kí hiệu , được biểu diễn ở hình 2

Khi điểm A không thuộc mặt phẳng ta nói điểm A nằm ngoài mặt phẳng hay mặt phẳng không chứa điểm A và kí hiệu là , được biểu diễn ở hình 3

II CÁC TÍNH CHẤT ĐƯỢC THỪA NHẬN

Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó

Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng

Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa