LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10

LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10 LÝ THUYẾT cơ bản TOÁN 10

Mệnh đề - tập hợp

Vấn đề 1 Mệnh đề và mệnh đề chứa biến

 Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai

 Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai

 Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P

 Mệnh đề "không phải P" được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P

 Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng

 Mệnh đề kéo theo: Cho mệnh đề P và Q

 Mệnh đề "Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là: P  Q , ( P suy ra Q ).

 Mệnh đề P  Q chỉ sai khi P đúng và Q sai

 Lưu ý rằng: Các định lí toán học thường có dạng P  Q Khi đó:

 P là giả thiết, Q là kết luận  P là điều kiện đủ để có Q  Q là điều kiện cần để có P

Cho mệnh đề kéo theo P  Q Mệnh đề Q  P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P  Q

 Mệnh đề tương đương: Cho mệnh đề P và Q

 Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là P  Q

 Mệnh đề P  Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh để P  Q và Q  P đều đúng

 Lưu ý rằng: Nếu mệnh đề P  Q là 1 định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q

Mệnh đề chứa biến là câu khẳng định có chứa biến, mà biến này nhận giá trị từ một tập X nhất định Đối với mỗi giá trị của biến thuộc tập X, ta sẽ có một mệnh đề tương ứng.

 Kí hiệu  và : Cho mệnh đề chứa biến P x ( ) với x  X Khi đó:

 "Với mọi x thuộc X để P x ( ) đúng" được ký hiệu là: "   x X P x , ( )" hoặc "   x X P x : ( )".

 "Tồn tại x thuộc X để P x ( ) đúng" được ký hiệu là: "   x X P x , ( )" hoặc "   x X P x : ( )".

 Mệnh đề phủ định của mệnh đề "   x X P x , ( )" là " x X P x, ( )".

 Mệnh đề phủ định của mệnh đề "   x X P x , ( )" là " x X P x, ( )".

 Phép chứng minh phản chứng: Giả sử ta cần chứng minh định lí: A  B

 Cách 1 Giả sử A đúng Dùng suy luận và kiến thức toán học đã biết chứng minh B đúng

 Cách 2 (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai Do A không thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là B phải đúng

Số nguyên tố là những số tự nhiên chỉ có thể chia hết cho 1 và chính nó, không chia hết cho bất kỳ số nào khác Cần lưu ý rằng số 0 và 1 không được xem là số nguyên tố.

Các số nguyên tố từ 2 đến 100 là 2; 3; 5;7;11;13;17;19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59;

 Ước và bội: Cho a b,  Nếu a chia hết b, thì ta gọi a là bội của b và b là ước của a

 Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của 2 hay nhiều số tự nhiên là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó

 Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 2 hay nhiều số tự nhiên là số nhỏ nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó

 Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa

 Có 2 cách xác định tập hợp:

 Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc  ; ;  

 Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp

 Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu 

 Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau

Nếu tập hợp có n phần tử  2 n tập hợp con

 Một số tập hợp con của tập hợp số thực R

 Tập hợp con của  :  *         Trong đó:

 là tập hợp số tự nhiên không có số 0 : là tập hợp số tự nhiên

 : là tập hợp số nguyên : là tập hợp số hữu tỷ

 là tập hợp số thực

 Các phép toán tập hợp

 Giao của hai tập hợp: A  B   x x  A và x B   

 Hợp của hai tập hợp: A  B   x x  A hoặc x B   

 Hiệu của hai tập hợp: A B \   x x  A và x B   

Vấn đề 3 Sai số- số gần đúng

Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được các số gần đúng

Nếu a là số gần đúng của số đúng a thì   a a a gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a

 Độ chính xác của một số gần đúng

Nếu   a a a d thì a d   a  a d  Ta nói a là số gần đúng của a với độ chính xác d và qui ước viết gọn là

Sai số tương đối của số gần đúng a là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a, kí hiệu a a a

  a càng nhỏ thì độ chính xác của phép đo đạc hoặc tính toán càng lớn

 Ta thường viết  a dưới dạng phần trăm

 Qui tròn số gần đúng

 Nếu chữ số ngay sau hàng qui tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi số 0

Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5, ta sẽ thay thế chữ số đó cùng với các chữ số bên phải bằng số 0 và cộng thêm một đơn vị vào chữ số ở hàng quy tròn.

Khi thay số chính xác bằng số được làm tròn đến một hàng nào đó, sai số tuyệt đối của số được làm tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng làm tròn Do đó, độ chính xác của số được làm tròn tương đương với nửa đơn vị của hàng làm tròn.

Để làm tròn số a với độ chính xác d, ta xác định các chữ số chắc (hay đáng tin) trong số a Một chữ số được coi là chắc khi độ chính xác d không vượt quá nửa đơn vị của hàng mà chữ số đó thuộc về.

Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc chắn đều là chữ số chắc chắn, trong khi tất cả các chữ số đứng bên phải chữ số không chắc chắn đều là chữ số không chắc chắn.

Hàm số bậc nhất và bậc hai

Vấn đề 1 Đại cương về hàm số

Cho D   , D   Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x D  với một và chỉ một số y   Trong đó:

 x được gọi là biến số (đối số), y được gọi là giá trị của hàm số f tại x Kí hiệu: y  f x ( ).

 D được gọi là tập xác định của hàm số

 T   y  f x ( ) x D   được gọi là tập giá trị của hàm số

 Cách cho hàm số: cho bằng bảng, biểu đồ, công thức y  f x ( ).

Tập xác định của hàm y  f x ( ) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f x ( ) có nghĩa

 Chiều biến thiên của hàm số: Giả sử hàm số y  f x ( ) có tập xác định là D Khi đó:

 Hàm số y  f x ( ) được gọi là đồng biến trên D   x 1 , x 2  D và x 1  x 2  f x ( ) 1  f x ( 2 ).

 Hàm số y  f x ( ) được gọi là nghịch biến trên D   x 1 , x 2  D và x 1  x 2  f x ( ) 1  f x ( 2 ).

 Tính chẵn lẻ của hàm số

Cho hàm số y  f x ( ) có tập xác định D

 Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu   x D thì   x D và f (  x )  f x ( ).

 Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu   x D thì   x D và f (  x )   f x ( ).

 Tính chất của đồ thị hàm số chẵn và hàm số lẻ:

+ Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng

+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng

 Đồ thị của hàm số

 Đồ thị của hàm số y  f x ( ) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M x f x  ; ( )  trên mặt phẳng toạ độ

Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y  f x ( ) là một đường Khi đó ta nói y  f x ( ) là phương trình của đường đó

Vấn đề 2 Hàm số bậc nhất

Hàm số TXĐ Tính chất Bảng biến thiên Điểm đặc biệt Đồ thị

Hàm số bậc nhất y  ax b 

Hàm chẵn Đồng biến trên (  ; 0) và nghịch biến (0;  ). x  0

B Đối với hàm số y ax b , (a0) thì ta có: khi

Do đó để vẽ hàm số y ax b , ta sẽ vẽ hai đường thẳng y  ax b  và y   ax b  , rồi xóa đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành Ox

 Lưu ý: Cho hai đường thẳng d y :  ax b  và d y  :  a x b    Khi đó:

 Phương trình đường thẳng d qua A x ( A ; y A ) và có hệ số góc k dạng d y :  k x x (  A )  y A

Vấn đề 3 Hàm số bậc 2

Hàm số TXĐ Tính chất Bảng biến thiên Đồ thị y  ax 2 Đồ thị y  ax 2 , ( a  0) là 1 parabol ( ) P có:

( a  0)  Đồ thị y  ax 2  bx c a  ,(  0) là 1 parabol ( ) P có:

Vẽ đồ thị hàm số

Vẽ đồ thị hàm y  f x    ax 2  b x  c , ( a  0)

 Bước 1 Vẽ parabol ( ) : P y  ax 2  bx c 

 nên đồ thị hàm số y  f x ( ) được vẽ như sau:

 Giữ nguyên phần ( ) P phía trên Ox

 Lấy đối xứng phần ( ) P dưới Ox qua

 Đồ thị y  f x ( ) là hợp 2 phần trên

 Bước 1 Vẽ parabol ( ) : P y  ax 2  bx c 

 Bước 2 Do y  f x   là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng nhau qua Oy và vẽ như sau:

 Giữ nguyên phần ( ) P bên phải Oy

 Lấy đối xứng phần này qua Oy

 Đồ thị y  f x   là hợp 2 phần trên.

Phương trình và hệ phương trình

Vấn đề 1 Đại cương về phương trình

 Khái niệm phương trình một ẩn

— Cho hai hàm số y  f x ( ) và y  g x ( ) có tập xác định lần lượt là D f và D g Đặt D  D f  D g Mệnh đề chứa biến

" ( ) f x  g x ( )" được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là ẩn và D gọi tập xác định của phương trình

— Số x o  D gọi là 1 nghiệm của phương trình f x ( )  g x ( ) nếu " ( ) f x o  g x ( )" o là 1 mệnh đề đúng

— Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng 1 tập nghiệm Nếu phương trình f x 1 ( )  g x 1 ( ) tương đương với phương trình f x 2 ( )  g x 2 ( ) thì viết f x 1 ( )  g x 1 ( )  f x 2 ( )  g x 2 ( ).

Định lý 1 khẳng định rằng, với phương trình f(x) = g(x) có tập xác định D và y = h(x) là một hàm số xác định trên D, thì trên miền D, phương trình này tương đương với các phương trình khác đã được nêu.

— Phương trình f x 1 ( )  g x 1 ( ) có tập nghiệm là S 1 được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f x 2 ( )  g x 2 ( ) có tập nghiệm S 2 nếu S 1  S 2 Khi đó viết: f x 1 ( )  g x 1 ( )  f x 2 ( )  g x 2 ( ).

— Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của phương trình đã cho:

 Nếu hai vế của 1 phương trình luôn cùng dấu thì khi bình phương 2 vế của nó, ta được một phương trình tương đương

Nếu phép biến đổi tương đương tạo ra phương trình hệ quả, cần kiểm tra lại các nghiệm đã tìm được bằng cách thay vào phương trình gốc để phát hiện và loại bỏ những nghiệm ngoại lai.

Vấn đề 2 Phương trình bậc nhất 1 ẩn

Giải và biện luận phương trình ax b   0  ax   b ( ) i

Bài toán tìm tham số trong phương trình bậc nhất ax b   0 ( ) ii

 Để phương trình ( ) ii có nghiệm duy nhất  a  0.

 Để phương trình ( ) ii có tập nghiệm là  (vô số nghiệm) 0

 Để phương trình ( ) ii vô nghiệm 0

 Để phương trình ( ) ii có nghiệm  có nghiệm duy nhất hoặc có tập nghiệm là

Để xác định điều kiện cho phương trình ( ) ii có nghiệm, ta thường bắt đầu bằng cách tìm điều kiện để phương trình ( ) ii vô nghiệm Sau khi xác định được các điều kiện này, chúng ta sẽ lấy kết quả ngược lại để tìm ra điều kiện cần thiết cho phương trình có nghiệm.

Vấn đề 3 Phương trình bậc hai 1 ẩn

Giải và biện luận phương trình bậc hai: ax 2  bx c   0 ( ) i

Bước 1 Biến đổi phương trình về đúng dạng ax 2  bx c   0.

Bước 2 Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét 2 trường hợp:

 Trường hợp 1: a0, ta giải và biện luận ax b   0.

 Trường hợp 2: a  0 Ta lập   b 2  4 ac Khi đó:

 Nếu   0 thì ( ) i có 2 nghiệm phân biệt 1,2

 Nếu   0 thì ( ) i có 1 nghiệm (kép):

 Phương trình ( ) i có nghiệm duy nhất 0

Nếu phương trình bậc hai ax 2  bx c   0, ( a  0) có 2 nghiệm x 1 , x 2 thì 1 2

  Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u v   S và tích uv  P thì u v là 2 nghiệm của phương , trình x 2  Sx P   0, ( S 2  4 P  0). Ứng dụng định lý Viét

 Tính giá trị các biểu thức đối xứng của 2 nghiệm phương trình bậc hai:

Lưu ý: Nếu biểu thức không đối xứng thường ta giải hệ

 bằng phương pháp cộng ở (1) và (2) được x 1 , x 2 theo m và thế x 1 , x 2 vào (3) để tìm m

 Dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

 Phương trình có 2 nghiệm trái dấu: x 1  0  x 2  P  0.

 Phương trình có 2 nghiệm dương: 1 2

Biểu thức không đối xứng

 Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt: 1 2

 Phương trình có 2 nghiệm âm: 1 2

 Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt: 1 2

 Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu: 1 2

Lưu ý: Nếu đề bài yêu cầu so sánh 2 nghiệm x 1 , x 2 với số , ta thường có 2 cách làm sau:

 Một là đặt ẩn phụ t  x   để đưa về so sánh 2 nghiệm t 1 , t 2 với số 0 như trên

 Hai là biến đổi, chẳng hạn:

Vấn đề 4 Một số phương trình quy về bậc nhất, bậc hai

Phương trình trùng phương: ax 4  bx 2   c 0, ( a  0) ( ) 

— Để xác định số nghiệm của ( ),  ta dựa vào số nghiệm của ( )  và dấu của chúng, cụ thể:

( ) vô nghiệm ( ) có nghiệm kép âm ( ) có 2 nghiệm âm

( ) có nghiệm kép t t 0 ( ) có 1 nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại âm

 Để ( )  có 2 nghiệm phân biệt       

( ) có nghiệm kép dương ( ) có 2 nghiệm trái dấu

 Để ( )  có 3 nghiệm   ( ) có 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương

 Để ( )  có 4 nghiệm   ( ) có 2 nghiệm dương phân biệt

Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai

 Loại 1 ax 4  bx 3  cx 2  dx e   0 với

  Phương pháp giải: Chia hai vế cho x 2  0, rồi đặt

  Phương pháp giải: Tạo ra dạng A 2 B 2 bằng cách thêm hai vế cho một lượng

2 k x  k , tức phương trình (1) tương đương:

Cần vế phải có dạng bình phương 2 2 0 2 ?

  Phương pháp giải: Tạo A 2 B 2 bằng cách thêm ở vế phải 1 biểu thức để tạo ra dạng bình phương:

Do đó ta sẽ cộng thêm hai vế của phương trình (2) một lượng:

Lúc này cần số k thỏa:

Với sự hỗ trợ của máy tính Casio, chúng ta có thể giải phương trình bậc bốn bằng phương pháp tách nhân tử Đầu tiên, sử dụng chức năng table của Casio để tìm nhân tử bậc hai Sau đó, chia phương trình bậc bốn cho nhân tử bậc hai để thu được một phương trình bậc hai Cuối cùng, phương trình bậc bốn sẽ được viết lại dưới dạng tích của hai phương trình bậc hai.

Phân tích phương trình bậc ba bằng Sơ đồ Hoocner

Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm nghiệm sau đó chia Hoocner

 Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình sẽ có 1 nghiệm x  1.

 Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì PT có 1 nghiệm x   1.

 Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm x sao cho triệt tiêu đi tham số m và thử lại tính đúng sai

Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo Để giải phương trình có chứa dấu trị tuyệt đối, chúng ta cần loại bỏ dấu trị tuyệt đối bằng cách áp dụng định nghĩa, phân chia thành hai trường hợp: khi biểu thức bên trong lớn hơn hoặc bằng 0 và khi nhỏ hơn 0.

     hoặc bình phương 2 vế hoặc đặt ẩn phụ

 hoặc sử dụng định nghĩa:

 Loại 3: a A b B C dùng phương pháp chia khoảng để giải

 Lưu ý: Giải và biện luận phương trình ax b  cx d ta làm như sau:

 Phương trình ax b cx d ax b cx d ax b cx d

 Giải và biện luận từng phương trình (1) và (2)

 Xét trường hợp nghiệm của phương trình (1) trùng với nghiệm phương trình (2)

Vấn đề 5 Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn x và y là hệ có dạng 1 1 1

  Cặp số ( ; x y o o ) đồng thời thỏa cả 2 phương trình (1) và (2) được gọi là nghiệm của hệ

 Công thức nghiệm: Quy tắc Crame

D  Hệ có nghiệm duy nhất D x , D y x y

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm, và để giải hệ này, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp đã biết như phương pháp thế và phương pháp cộng đại số.

 Biểu diễn hình học của tập nghiệm:

Nghiệm ( ; ) x y của hệ ( ) I là tọa độ điểm M x y ( ; ) thuộc cả 2 đường thẳng:

 Hệ ( ) I có nghiệm duy nhất  ( ) d 1 và ( ) d 2 cắt nhau

 Hệ ( ) I vô nghiệm  ( ) d 1 và ( ) d 2 song song với nhau

 Hệ ( ) I có vô số nghiệm  ( ) d 1 và ( ) d 2 trùng nhau

Nghiệm duy nhất Vô nghiệm Vô số nghiệm

HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN

Một nghiệm của hệ phương trình là bộ ba số (x, y, z) thỏa mãn tất cả các phương trình trong hệ Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để giảm số lượng ẩn trong các phương trình Để thực hiện việc khử bớt ẩn, có thể áp dụng các phương pháp như cộng đại số và phương pháp thế, tương tự như cách giải hệ phương trình bậc nhất với hai ẩn.

Vấn đề 6 Hệ phương trình bậc hai hai ẩn số

HỆ GỒM 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

 Dạng tổng quát: ax by c 2 2 dx exy fy gx hy i

 Phương pháp giải: Từ phương trình bậc nhất (1), rút x theo y (hoặc y theo x ) và thế vào phương trình còn lại (2) để giải tìm x (hoặc tìm y)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

 Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ không thay đổi và trật tự các phương trình cũng không thay đổi

 Phương pháp giải: Biến đổi về dạng tổng và tích 2 biến Đặt S  x y P  ,  xy

Giải hệ với ẩn S P, với điều kiện có nghiệm ( ; ) x y là S 2  4 P

Tìm nghiệm ( ; ) x y bằng cách thế vào phương trình X 2  SX  P  0.

 Một số biến đổi để đưa về dạng tổng – tích thường gặp:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II

Dấu hiệu nhận dạng của hệ phương trình là khi hoán đổi vị trí giữa x và y, hệ phương trình vẫn giữ nguyên, chỉ có trật tự các phương trình bị thay đổi, khiến phương trình này trở thành phương trình khác.

 Phương pháp giải: Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử, lúc nào cũng đưa được về dạng

 Lưu ý: Đối với hệ đối xứng loại II chứa căn thức, sau khi trừ ta thường liên hợp

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI

Lấy (1) (2)   ( a d 1 2  a d 2 1 )  x 2  ( b d 1 2  b d 2 1 )  xy  ( c d 1 2  c d 2 1 )  y 2  0 Đây là phương trình đẳng cấp bậc hai nên sẽ tìm được mối liên hệ x y ,

 với f x y f x y f x y m ( ; ), ( ; ), ( ; ) n k là các biểu thức đẳng cấp bậc , , m n k thỏa mãn m n   k Khi đó ta sẽ sử dụng kỹ thuật đồng bậc để giải Tức biến đổi hệ

  và đây là phương trình đẳng cấp bậc k.

Bất đẳng thức, bất phương trình

Vấn đề 1 Bất đẳng thức Điều kiện Nội dung

Cộng hai vế với số bất kì a  b  a c   b c  (1)

Nhân hai vế một số dương: c  0 a b   ac  bc (2 ) a một số âm: c  0 a b   ac  bc (2 ) b

Cộng vế theo vế các BĐT cùng chiều a b a c b d c d

Nhân từng vế BĐT khi biết nó dương 0

Nâng lũy thừa với n    Mũ lẻ a b   a 2 n  1  b 2 n  1 (5 ) a

Lấy căn hai vế a  0 a b   a  b (6 ) a a bất kỳ a b   3 a  3 b (6 ) b

Nếu a, b trái dấu: ab  0 1 1 a b   a  b (7 ) b BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (AM – GM)

 Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi a  b

 Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi a  b  c

BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACÔPXKI (CAUCHY SCHWARZ)

Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi x y z a  b  c ( ; ; a b c  0).

     Để chứng minh một bất đẳng thức bằng phương pháp tương đương, ta có thể làm theo 2 ý tưởng:

— Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết là luôn đúng

— Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh

Một số bất đẳng thức luôn đúng:

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz loại I

Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi x y z a  b  c ( ; ; a b c  0).

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz loại II (cộng mẫu số)

Thông thường, ta sẽ sử dụng dạng cộng mẫu số khi có dạng bình phương và cả 2 dạng làm cho bậc của bất đẳng thức giảm đi

Vấn đề 2 Bất phương trình bậc nhất – bất phương trình bậc hai

DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

 Định nghĩa: Bất phương trình bậc nhất là bất phương trình có dạng: ax b 0, ax b 0,

 Giải và biện luận bất phương trình dạng: ax   b 0 (1)

 Nếu a  0 thì (1)     0 x b Khi đó, xét:

Lưu ý: Ta giải tương tự với ax b 0, ax b 0, ax b 0.

 Dấu của nhị thức bậc nhất: Cho nhị thức bậc nhất f x ( )  ax  b , ( a  0).

( ) f x  ax  b Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

 Giải hệ bất phương trình bậc nhất 1 ẩn:

― Giải từng bất phương trình trong hệ

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

 Dấu của tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f x ( )  ax 2  bx  c , ( a  0)

( ) f x Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a

( ) f x Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai f x ( )  ax 2  bx  c , ( a  0)

Lượng giác

Vấn đề 1 Cung và góc lượng giác

Đường tròn định hướng là một khái niệm quan trọng trong toán học, trong đó chúng ta xác định một chiều chuyển động gọi là chiều dương, ngược lại là chiều âm Theo quy ước, chiều dương được xác định là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ.

Trên đường tròn, hai điểm A và B được xác định, và một điểm M di chuyển theo một chiều nhất định (có thể là chiều âm hoặc dương) từ A đến B Sự di chuyển này tạo ra một cung lượng giác với điểm đầu là A và điểm cuối là B.

Trên đường tròn định hướng với hai điểm A và B đã cho, có vô số cung lượng giác từ điểm A đến điểm B Mỗi cung này được ký hiệu là AB.

Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác CD þ

Điểm M di chuyển trên đường tròn từ C đến D tạo thành cung lượng giác CD Khi tia OM quay quanh gốc O từ vị trí OC đến OD, ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, với tia đầu là OC và tia cuối là OD.

Kí hiệu góc lượng giác đó là  OC OD , 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính

R  Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm

Ta lấy A  1;0 làm điểm gốc của đường tròn đó Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A )

II – SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

1 Độ và radian a) Đơn vị radian

Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad b) Quan hệ giữa độ và radian

  c) Độ dài của một cung tròn

Trên một đường tròn có bán kính R, cung nửa đường tròn có số đo π rad và độ dài là πR Do đó, cung có số đo α rad trên đường tròn bán kính R sẽ có độ dài là (α/π) * πR, hay đơn giản là αR.

2 Số đo của một cung lượng giác

Số đo của một cung lượng giác AM þ

( A  M ) là một số thực âm hay dương

Kí hiệu số đo của cung AM þ là sđ AM þ

Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2 

Ta viết sđ AM k2 ,  k. þ trong đó  là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A , điểm cuối là M

3 Số đo của một góc lượng giác

Số đo của góc lượng giác  OA OC ,  là số đo của cung lượng giác AC

Lưu ý rằng mỗi cung lượng giác tương ứng với một góc lượng giác và ngược lại Do đó, số đo của các cung và góc lượng giác là giống nhau Vì vậy, khi đề cập đến cung, chúng ta cũng có thể hiểu là góc và ngược lại.

4 Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

Chọn điểm gốc A (1;0) làm điểm khởi đầu cho tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác Để biểu diễn cung lượng giác với số đo α, cần xác định điểm cuối M của cung này, với điều kiện rằng số đo góc AM phải bằng α.

Vấn đề 2 Giá trị lượng giác của 1 cung

Trên đường tròn lượng giác cho cung AM þ có sđ AM   þ

 Tung độ y  OK của điểm M gọi là sin của  và kí hiệu là sin  sinOK.

 Hoành độ x  OH của điểm M gọi là côsin của  và kí hiệu là cos  y cosOH.

 Nếu cos   0, tỉ số sin cos

 gọi là tang của  và kí hiệu là tan  (người ta còn dùng kí hiệu tg ) tan sin cos

 Nếu sin   0, tỉ số cos sin

 gọi là côtang của  và kí hiệu là cot  (người ta còn dùng kí hiệu cotg  ) cot cos sin

Các giá trị sin , cos , tan , cot     được gọi là các giá trị lượng giác của cung 

Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin

1) sin  và cos xác định với mọi    Hơn nữa, ta có

2) Vì   1 OK  1;   1 OH  1 nên ta có

3) Với mọi m   mà    1 m 1 đều tồn tại  và  sao cho sin   m và cos   m

4) tan  xác định với mọi  .

5) cot  xác định với mọi   k   k  .

6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AM   þ trên đường tròn lượng giác

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

Giá trị lượng giác I II III IV cos      sin      tan      cot     

3 Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Nguyễn Bảo Vương Trang 19 tan  0 1

3 1 3 Không xác định cot  Không xác định 3 1 1

II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG

1 Ý nghĩa hình học của tan

Từ A vẽ tiếp tuyến t At ' với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại

Gọi T là giao điểm của OM với trục t At' Độ dài đại số của vectơ AT trên trục t At' biểu diễn giá trị của tan α Trục t At' được gọi là trục tang.

2 Ý nghĩa hình học của cot

Từ B vẽ tiếp tuyến s Bs ' với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại

Gọi S là giao điểm của OM với trục s Bs', trong đó cot α được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ BS trên trục s Bs' Trục s Bs' được gọi là trục côtang.

III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

1 Công thức lượng giác cơ bản Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau sin 2   cos 2   1

2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

  cos cos sin sin tan tan cot cot

  sin sin cos cos tan tan cot cot

  sin sin cos cos tan tan cot cot

Vấn đề 3 Công thức lượng giác

  cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin tan tan tan 1 tan tan tan tan tan

II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

2 sin 2 2 sin cos cos 2 cos sin 2 cos 1 1 2 sin

III – CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG, TỔNG THÀNH TÍCH

1 Công thức biến đổi tích thành tổng

2 Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2 cos cos

Vecto

Vấn đề 1 Khái niệm véc tơ

• Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đọan thẳng, đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối

• Kí hiệu vectơ có M là điểm đầu và N là điểm cuối là MN 

Nhiều khi người ta dùng kí hiệu a  để chỉ một vectơ AB  nào đó

• Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là vectơ - không, kí hiệu là 0 

2 Hai vectơ cùng phương, cùng hướng

Đường thẳng AB được gọi là giá của AB 

• Hai vectơ cùng phương: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau

• Nếu hai vectơ cùng phương thì hoặc chúng cùng hướng, hoặc chúng ngược hướng

 có giá là mọi đường thẳng qua A; 0

 cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ

* Trên hình vẽ ta có các vectơ AB, CD, EG    cùng phương với nhau, trong đó AB, CD   cùng hướng, EG  ngược hướng với các vectơ AB, CD  

• Độ dài của vectơ AB

: Độ dài của đoạn thẳng AB được gọi là độ dài của vectơ AB

 gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài, ta viết a

Vấn đề 2 Tổng của hai vecto

Từ một điểm A bất kì dựng các vectơ AB   a , BC    b 

Khi đó vectơ AC  được gọi là tổng của hai vectơ a

Với ba điểm A, B, C tùy ý ta luôn có AB   BC   AC 

• Quy tắc hình bình hành :

OABC là hình bình hành  OA  OC  OB

M là trung điểm đoạn AB  MA  MB  0

 Tính chất trọng tâm tam giác :

G là trọng tâm của tam giác ABC  GA   GB   GC   0 

Vấn đề 3 Hiệu của hai vecto

1 Vectơ đối của một vectơ

 là vectơ đối của vectơ b

) là một vectơ ngược hướng với vectơ a  và có cùng độ dài với vectơ a 

2 Hiệu của hai vectơ : a) Định nghĩa: Hiệu của hai vectơ a

, kí hiệu a   b  là tổng của vectơ a

 với vectơ đối của vectơ b

Từ điểm O bất kì, ta vẽ OA   a 

c) Quy tắc về hiệu vectơ: Với ba điểm M, N, O tùy ý thì ta có: MN   ON   OM  vấn đề 4 Phép nhân vercsto với một số

Tích của vectơ a  với số thực k là một vectơ, kí hiệu là ka 

, được xác định như sau :

; Nếu k  0 thì vectơ ka  ngược hướng với vectơ a 

2) Độ dài của vectơ ka

 Với mọi vectơ a, b   và mọi số thực k, l ta có :

 I là trung điểm đoạn AB  MA   MB   2MI 

 Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm M ta luôn có :

3 Điều kiện để hai vectơ cùng phương

• Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng   k  : AB   kAC 

4 Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương

Cho hai vectơ không cùng phương a

 đều có thể biểu thị được một cách duy nhất qua hai vectơ a  và b 

, nghĩa là có duy nhất cặp số m và n sao cho c   ma   nb 

Vấn đề 5 Hệ trục tọa độ

I) TRỤC VÀ ĐỘ DÀI TRÊN TRỤC

Trục tọa độ (còn gọi là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O cố định và vectơ đơn vị i

(vectơ có độ dài bằng 1) Điểm O được gọi là gốc tọa độ

Hướng của vectơ đơn vị gọi là hướng của trục

Trục tọa độ như vậy được kí hiệu là   O; i 

Cho điểm M tùy ý nằm trên trục   O; i  Khi đó có duy nhất số k xác định để OM   k.i 

Số k được gọi là tọa độ của điểm M đối với trục   O; i 

Cho vectơ a  nằm trên trục   O; i  Khi đó, khi đó có duy nhất số t xác định để a   t.i 

Số t được gọi là tọa độ của vectơ a

Như vậy tọa độ điểm M là tọa độ của vec tơ OM 

Nếu hai điểm A, B phân biết nằm trên trục Ox Khi đó có duy nhất số t sao cho AB  t.i

Ta gọi số t đó là độ dài đại số của vectơ AB  đối với trục đã cho, kí hiệu là AB.Như vậy AB   AB.i 

Nhận xét: a) Nếu vectơ AB  cùng hướng với vectơ  i thì AB  AB Nếu vectơ AB

 thì AB   AB b) Nếu hai điểm A và B nằm trên trục   O; i  có tọa độ lần lượt là a và b thì

AB   b a Định lý: Trên trục số:

Với ba điểm bất kì trên trục, ta có: AB  BC  AC (HỆ THỨC Sa – lơ)

Hai vectơ AB  và CD  bằng nhau khi và chỉ khi AB  CD

II) HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Hệ trục tọa độ   O; i; j   gồm hai trục   O; i  và   O; j  vuông góc với nhau (như hình vẽ)

Trong đó: Điểm O gọi là gốc tọa độ

Trục   O; i  gọi là trục hoành, khí hiệu là Ox

Trục   O; j  gọi là trục tung, khí hiệu là Oy

Các vectơ  i và  j là các vectơ đơn vị trên trục Ox và Oy

Hệ trục tọa độ   O; i; j   còn được kí hiệu là Oxy

Chú ý: Mặt phẳng mà trên đó đã chọn một hệ trục tọa độ Oxy được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy (Hay mặt phẳng Oxy) x a i

III) TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Đối với hệ trục tọa độ   O; i; j   nếu u   x.i   y.j  thì cặp số   x; y được gọi là tọa độ của vectơ u 

Kí hiệu u     x; y hay u x; y    Số x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của vectơ u 

Định lí: Cho hai vec tơ  

 và số thực k Khi đó:

IV) TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM  được gọi là tọa độ của điểm M Như vậy theo định nghĩa ta có:

  x; y là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OM     x; y

Số x gọi là hoành độ , số y gọi là tung độ của điểm M

Nhận xét: Nếu gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên Ox và Oy thì:

Như vậy: OH   x.i  hay x  OH và OK   y.j  hay y  OK Định lí: Với hai điểm A x ; y  A A  và B x ; y  B B  ta có:

Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB được xác định bằng công thức: I(x, y) = ((Ax + Bx)/2, (Ay + By)/2), trong đó A(xA, yA) và B(xB, yB) là tọa độ của hai điểm A và B Bên cạnh đó, để tính tọa độ trọng tâm G của tam giác với ba đỉnh A, B, C, công thức là: G(x, y) = ((Ax + Bx + Cx)/3, (Ay + By + Cy)/3).

  Định lí 2: Cho ba điểm A x ; y  A A , B x ; y  B B  và C x ; y  C C  Khi đó trọng tâm G của  ABC có tọa độ là

Tích vô hướng

Vấn đề 1 Giá trị lượng giác của 1 góc

Với mỗi góc  (0 0    180 0 ), ta xác định một điểm M(x ; y) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho MOx   

Nguyễn Bảo Vương Trang 25 tan y

  y (y  0) Các số sin, cos, tan, cot được gọi là các giá trị lượng giác của góc 

• Tính chất : Với hai góc bù nhau là  và 180 0  ta có : sin(180 o    ) sin  ; cos(180 o     ) cos ; tan(180 o     ) tan  (  90 0 ) ; cot(180 o     ) cot  (0 0 <  < 180 0 )

2 Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Vấn đề 2 Tích vô hướng

• Cho hai vectơ a  và b  khác vectơ 0 

Từ điểm O bất kì, ta vẽ các vectơ OA   a  và OB   b 

Khi đó AOB  được gọi là góc giữa hai vectơ a  và b  , kí hiệu là   a, b  

2 Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ a  và b  là một số, kí hiệu là a.b  

, được xác định bởi công thức

3 Tính chất của tích vô hướng :

   và mọi số thực k, ta có:

3) a b      c   a.b    a.c   (Tính chất phân phối đối với phép cộng) ; a b      c   a.b    a.c   (Tính chất phân phối đối với phép trừ) ;

5) Bình phương vô hướng: Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó :

• Các hằng đẳng thức về bình phương vô hướng :

Tích vô hướng của hai vectơ a  và b  bằng tích vô hướng của a  với OB '   b '  là hình chiếu của b  lên a

: a.b    a.b '   hay OA.OB    OA.OB '  

• Chú ý: Cho đường tròn (O) và một điểm M

Dựng cát tuyến MAB với (O), ta định nghĩa:

Phương tích của điểm M đối với đường tròn (O), kí hiệu là P M/ O   là số được xác định bởi biểu thức:

Nếu M nằm ngoài đường tròn (O) và MT là tiếp tuyến của (O) thì

4 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong mặt phẳng Oxy, cho a   (x; y) và b   (x '; y ')

(4) Khoảng cách giữa hai điểm M x ; y  M M  và N x ; y  N N :

Vấn đề 3 Các hệ thức lượng tam giác

I) HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

2 2 2 a  b  c (định lí Py – ta – go)

II) HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG:

2 Định lí sin a b c sin A  sin B  sin C  2R

3 Công thức tính diện tích: a b c

S bc sin A ca sin B ab sin C

4 Bán kính đường tròn nội tiếp, đường tròn bàng tiếp:

5) Công thức tính độ dài đường trung tuyến

6) Công thức tính độ dài đường phân giác

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

I PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ CHÍNH TẮC

Vectơ a  gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếua  0

  và giá của a  song song hoặc trùng với

 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng  thì ka k    0  cũng là một vectơ chỉ phương của

Một đường thẳng được xác định hoàn toàn khi biết một điểm trên đường thẳng và một vectơ chỉ phương Định lý cho biết rằng trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng Δ đi qua điểm M(x₀, y₀) và có vectơ chỉ phương a = (a₁, a₂) với điều kiện a₁² + a₂² ≠ 0 sẽ có phương trình xác định.

Ta gọi   1 là phương trình tham số của đường thẳng

Nếu a 1 và a 2 trong   1 đều khác 0, bằng cách khử tham số t ở hai phương trình trên ta có:

Ta gọi   2 là phương trình chính tắc của đường thẳng

Nếua 1  0 , từ phương trình tham số của ta có:

Gọi A là giao điểm của đường thẳng  với trục Ox, Az là tia của  nằm phía trên trục Ox Góc giữa hai tia Ax và Az được ký hiệu là , từ đó ta có k = tan  Hệ số k chính là hệ số góc của đường thẳng  Phương trình (3) được gọi là phương trình của đường thẳng theo hệ số góc.

II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT

Vectơ n  được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếun  0

  và có giá vuông góc với đường thẳng

* Nếu n  là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì kn k    0  cũng là một vectơ pháp tuyến của 

* Một đường thẳng được xác định nếu biết một điểm của đường thẳng và một vectơ pháp tuyến của nó

Nếu đường thẳng  có vectơ pháp tuyến n    A; B , thì vectơ chỉ phương của nó là a     B; A  Theo Định lý 1, trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng  đi qua điểm M x; y  0 0  và có vectơ pháp tuyến n    A; B  (với A, B không đồng thời bằng 0) thì điểm M x; y   thuộc đường thẳng  khi và chỉ khi

Chú ý:   4  Ax By c    0 trong đó C   Ax 0  By 0 Định lí 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm M x; y   thỏa mãn phương trình: Ax By C    0 5  

Với A, B không đồng thời bằng 0 là một đường thẳng ( kí hiệu đường thẳng )

 Phương trình dạng   5 với A, B không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng

 Nếu A  0 thì   5  By C   0  y   C B Khi đó  vuông góc vớiOy tại M 0; 0 C

 Nếu B  0 thì   5  Ax C   0  x   C A Khi đó  vuông góc với Ox tại M 0 C ; 0

 Nếu C  0 thì   5  Ax By   0 Khi đó  đi qua gốc tọa độ

 Nếu A, B,C đồng thời khác 0 thì  cắt Ox vàOy tại hai điểmM 0 C ; 0

Khi đó phương trình có thể viết dưới dạng sau: x a  y b  1 6  

    Phương trình   6 được gọi là phương trình theo đoạn chắn của đường thẳng

III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Xét hai đường thẳng 1 và 2 có phương trình tổng quát

Giả sử  1 và 2 có điểm chung M x; y   , lúc đó  x; y  là nghiệm của hệ phương trình 1 1 1

Theo phương pháp cramer đặt:

Ta có: a)  1 cắt   2 D  0; b)  1 song song   2 D  0và (D x  0 hay D y  0 ) c)  1 trùng   2 D  D x  D y  0;

Cách 2: Nếu A , B ,C 2 2 2  0 thì ta có: a)  1 cắt 2 1 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C có tâm I a; b   và bán kính R có phương trình:

Trường hợp đặc biệt , nếua  0 vàb  0 thì phương trình  1 trở thành

2 2 2 x  y  R Là phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độO và bán kínhR

Trong mặt phẳng Oxy , phương trình x 2  y 2  2ax 2by c    0 2  

Với a 2  b 2  c  0 là phương trình của đường tròn có tâm I a; b   bán kính R  a 2  b 2  c

III Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:

Trong mặt phẳng tọa dộOxy , tiếp tiếp d tại điểm M x ; y 0  0; 0  của đường tròn tâm I a; b   có phương trình là:

Nguyễn Bảo Vương Trang 30 Đường thẳng tiếp xúc đường tròn I; R   d I;     R

 Cho hai điểm cố địnhF , F 1 2 vớiF F 1 2  2c và một độ dài 2a không đổi a  c 

 Tập hợp các điểm M sao cho F M F M 1  2  2a được gọi là một elip

 Hai điểm F 1 và F 2 gọi là hai tiêu điểm của cặp elip

 Khoảng cách F F 1 2  2c gọi là tiêu cự F M 1 và F M 2 gọi là bán kính qua tiêu điểm của M

II PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP

Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểmF 1   c; 0  và F c; 0 0 2    c  a 

Xét elip: E : M x; y ; F M F M      1  2  2a  Điều kiện cần và đủ để M x; y   thuộc   E là 2 2 2 2   x y

1 1 a  b  với b 2  a 2  c 2 Phương trình  1 được gọi là phương trình chính tắc của elip  E

III HÌNH DẠNG CỦA ELIP

   E có các trục đối xứng là Ox,Oy và có tâm đối xứng là O

   E cắt trục Ox tại hai điểmA 1   a; 0 , A a; 0  2   và   E cắt Oy tại 2 điểm B 0; b , B 0; b 1    2   Các điểm

A , A , B , B được gọi là các đỉnh của elip  E Đoạn thẳng A A 1 2  2a gọi là trục lớn của elip  E và B B 1 2  2b gọi là trục nhỏ của  E

 Các điểm của elip nằm trọn trong hình chữ nhật có phương trình các cạnh là x   a, y   b Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip

Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn được gọi là tâm sai của elip

V ELIP VÀ PHÉP CO ĐƯỜNG TRÒN

Hệ thức b 2  a 2  c 2 cho thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a nên elip có hình dạng gần như đường tròn

Trong mặt phẳngOxy cho đường tròn   C : x 2  y 2  a 2 Với mỗi điểm M x; y   thuộc đường tròn ta xét điểm

 thì tập hợp các điểm M ' có tọa độ thỏa phương trình

Ta nói đường tròn   C được co thành elip  E

Cho hai điểm cố địnhF , F 1 2 vớiF F 1 2  2c và một độ dài 2a không đổi  a  c  Hypebol là tập hợp các điểmM sao cho F M F M 1  2  2a

 Hai điểm F 1 vàF 2 gọi là hai tiêu điểm của hypebol

 Khoảng cách F F 1 2  2c gọi là tiêu cự

 F M, F M 1 2 gọi là bán kính qua tiêu điểm của M

II PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA HYPEBOL Định lí: Trong mặt phẳngOxy, hypebol   H có hai tiêu điểm làF 1   c; 0 , F c; 0  2   và điểm

M  H  F M F M   2a 0  a  c khi đó  H có phương trình là:

Với b 2  c 2  a 2 Phương trình   1 được gọi là phương trình chính tắc của hypebol  H

III HÌNH DẠNG CỦA HYPEBOL

   H có các trục đối xứng là Ox,Oy và có tâm đối xứng là O

 Các điểmA 1   a; 0 , A a; 0  2   gọi là các đỉnh của  H ; đoạn thẳngA A 1 2  2a gọi là trục thực của  H

 Đặt B 0; b , B 0; b 1    2   , đoạn thẳng B B 1 2  2b gọi là trục ảo của  H

Do đó   H gồm hai phần:

 Phần gồm các điểm M x; y   sao cho x  a gọi là nhánh phải của  H ;

 Phần gồm các điểm M x; y   sao cho x   a gọi là nhánh trái của  H

 a được gọi là tâm sai của hypebol Mọi hypebol đều có tâm sai e  1

 Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x   a và y   b gọi là hình chữ nhật cơ sở của hypebol  H

 Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở gọi là hai đường tiệm cận của  H

Phương trình hai đường tiệm cận lày b x.

 Bán kính qua tiêu điểm: Với mỗi điểm M x; y      H , ta có:

Parabol được định nghĩa là tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến một điểm F cố định luôn bằng khoảng cách từ M đến một đường thẳng  không đi qua F.

M  P  FM  d M;  Điểm F gọi là tiêu điểm củaparabol Đường thẳng gọi là đường chuẩn của parabol   P

Khoảng cách từ F đến đường thẳng gọi là tham số tiêu củaparabol.

2.PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC PARABOL