Ma trận - Định thức
Các tính chất cơ bản của định thức
Định thức của một ma trận vuông A= (a ij ) 1 n cấpn là tổng luân phiên
Định thức của ma trận A, ký hiệu là det A hoặc | A |, được tính thông qua tổng của các phép hoán vị σ ∈ S n, với công thức (-1) σ a 1σ ( 1 ) a 2σ ( 2 ) a nσ ( n ) Nếu det A khác 0, ma trận A được coi là khả nghịch (không suy biến) Có nhiều tính chất hữu ích để tính định thức của ma trận, và người dùng có thể dễ dàng kiểm chứng hoặc chứng minh chúng.
1 Nếu đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột) của ma trận Athì định thức của nó đổi dấu Nói riêng, nếu ma trận Acó hai hàng (cột)giống nhau thìdetA =0.
2 Nếu A,Bvà Clà các ma trận vuông cùng cấp thìdet A C
Công thức khai triển định thức theo hàng được biểu diễn bằng (-1) i + j M i,j, trong đó M i,j là định thức của ma trận thu được từ A bằng cách loại bỏ hàng thứ i và cột thứ j Bạn cũng có thể tự xây dựng công thức khai triển định thức theo cột một cách tương tự.
6 Chương 1 Ma trận - Định thức
Các định thức đặc biệt
Ma trận Vandermonde cấpn là ma trận vuông cấpncó dạng
Định lý 1.1 Chứng minh rằng detV n (a 1 ,a 2 , ,a n ) = ∏
(a j − a i ) Từ đó suy ra hệ
V n (a 1 ,a 2 , ,a n ).X = 0 chỉ có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi a 1 ,a 2 , ,a n đôi một phân biệt.
Một ứng dụng thú vị của định thức Vandermonde là bài toán sau:
Bài tập 1.1 Cho Alà một ma trận vuông cấpn Khi đó
Nếu A là ma trận lũy linh và A n = 0, thì A chỉ có các trị riêng bằng 0 Do đó, với mọi k, ma trận A k cũng chỉ có các trị riêng bằng 0 Điều này chứng minh được kết luận cần thiết.
⇐ Giả sử các giá trị riêng của Alàλ 1 ,λ 2 , ,λ n Khi đó từtr(A k ) = 0,k =0, 1, 2, ,nta có hệ phương trình:
Ta sẽ chứng minh tất cả các giá trị riêng của Abằng nhau Thật vậy:
Nếu λ i đôi một phân biệt thì định thức Vandermonde khác không, hệ phương trình trên chỉ có nghiệm duy nhấtλ 1 ,λ 2 , ,λ n =0 Mâu thuẫn.
Ngược lại, không mất tính tổng quát, giả sử λ 1 = λ 2 và không một giá trị λ i còn lại nào bằng nhau Khi đó hệ phương trình được viết lại dưới dạng
Lập luận tương tự ta cóλ 2 = =λ n =0, mâu thuẫn.
Vậy tất cả các trị riêng của A bằng nhau và do đó bằng0.
Bài tập 1.2 Chứng minh rằng với các số nguyên k 1 < k 2 < < k n bất kì thì det V n (k 1 ,k 2 , ,k n ) detV n (1, 2, ,n) là một số nguyên.
Bài tập 1.3 Cho W là ma trận có được từ ma trận V = V n (a 1 ,a 2 , ,a n ) bằng cách thay hàng (a 1 n − 1 ,a 2 n − 1 , ,a n n − 1 )bởi hàng (a 1 n ,a n 2 , ,a n n ) Chứng minh rằng detW = (a 1 +a 2 + +a n )detV.
Bài tập 1.4 Chứng minh rằng det
Chứng minh • Nếua 1 ,a 2 , ,a n 6=0thì nhân cột thứ nhất vớia 1 , cột thứ hai vớia 2 , , cột thứn vớia n rồi chia cho a 1 a 2 a n ta được det
• Trường hợp có ít nhất một trong các số a 1 ,a 2 , ,a n bằng 0(xét riêng).
8 Chương 1 Ma trận - Định thức
Bài tập 1.5 Cho f 1 (x), f 2 (x), ,f n (x) là các đa thức bậc không quá n−2 Chứng minh rằng với mọi số a 1 ,a 2 , ,a n ta có f 1 (a 1 ) f 1 (a 2 ) f 1 (a n ) f 2 (a 1 ) f 2 (a 2 ) f 2 (a n ) f n (a 1 ) f n (a 2 ) f n (a n )
Chứng minh Giả sử f i (x) = b i0 +b i1 x+ .+b i,n − 2 x n − 2 thì
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Bài tập 1.6 Cho A = a ij và f i (x) = a 1i +a 2i x+ +a ni x n − 1 với i = 1,n Chứng minh rằng f 1 (x 1 ) f 1 (x 2 ) f 1 (x n ) f 2 (x 1 ) f 2 (x 2 ) f 2 (x n ) f n (x 1 ) f n (x 2 ) f n (x n )
Chứng minh Tương tự như bài ??ta có
Suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập 1.7 Chứng minh rằng với k 1 , k 2 , , k n là các số tự nhiện khác nhau và a 1 , a 2 , , a n là các số dương khác nhau thì det
1 Định thức 9 Định thức Cauchy
Ma trận Cauchy là ma trận vuông cấp n, ký hiệu A = (a_ij), trong đó a_ij = x_i + y_j Chúng ta sẽ chứng minh rằng detA = Π (i > j) (x_i - x_j)(y_i - y_j) Π (i,j) (x_i + x_j) bằng phương pháp quy nạp Đầu tiên, ta lấy mỗi cột từ 1 đến n-1 trừ cột cuối cùng, dẫn đến a'_ij = (x_i + y_j) - 1 - (x_i + y_n) - 1 = (y_n - y_j)(x_i + y_n) - 1 / (x_i + y_j) - 1 với j ≠ n Sau đó, đưa nhân tử (x_i + y_n) - 1 ở mỗi hàng và (y_n - y_j) ở mỗi cột (trừ cột cuối cùng) ra khỏi định thức, ta thu được định thức |b_ij| với n, i,j = 1, trong đó b_ij = a_ij với j ≠ n và b_in = 1.
Để thu được công thức truy hồi định thức Cauchy cấp n từ cấp n−1, ta lấy mỗi hàng từ 1 đến n−1 trừ hàng cuối cùng, sau đó đưa nhân tử x n − x i vào mỗi hàng và nhân tử (x n + y j) − 1 vào mỗi cột, ngoại trừ cột cuối cùng.
được gọi là ma trận Frobenius, hay ma trận bạn của đa thức p(λ) =λ n − a n − 1 λ n − 1 − a n − 2 λ n − 2 − .− a 0.
Khai triển định thức Frobenius theo hàng thứ nhất, các bạn có thể dễ dàng thu được công thức sau: det(λI− A ) = p(λ)
10 Chương 1 Ma trận - Định thức Định thức của ma trận ba đường chéo
Ma trận ba đường chéo là ma trận vuông J = (a ij ) i,j n = 1 , ở đó a ij = 0 với| i − j | > 1 Đặt a i =a ii ,b i =a i,i + 1 ,c i =a i + 1,i , ma trận ba đường chéo khi đó có dạng:
Khai triển định thức của ma trận trên theo hàng thứk, ta được
Công thức truy hồi đã chỉ ra rằng định thức ∆n không chỉ phụ thuộc vào các số b_i, c_j mà còn liên quan đến b_i và c_i Trong những trường hợp đặc biệt, kí hiệu cũng được sử dụng để thể hiện mối quan hệ này.
0 0 0 0 −1 a n ta có công thức truy hồi thông qua liên phân số sau:
(a 1 a 2 a n ) (a 2 a 3 a n ) =a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 + + 1 an −1 + 1 an Định thức của ma trận khối
! , ở đó A 1 1 và A 2 2 là các ma trận vuông cấp m và cấpn tương ứng Đặt Dlà một ma trận vuông cấp mvà Blà ma trận cỡn× m. Định lý 1.2.
Bài tập
Bài tập 1.8 Cho A là một ma trận phản xứng cấp n lẻ Chứng minh rằngdet A =0.
Định thức của một ma trận phản xứng cấp n chẵn không thay đổi khi cộng thêm vào mỗi phần tử của nó một số cố định Điều này có thể được chứng minh bằng cách xem xét ảnh hưởng của việc cộng số cố định đến các phần tử của ma trận và cách mà định thức được tính toán Kết quả cho thấy rằng sự thay đổi này không làm thay đổi giá trị của định thức, giữ nguyên tính chất của ma trận phản xứng.
Bài tập 1.10 Tính định thức của một ma trận phản xứng cấp 2n chẵn thỏa mãn tính chất các phần tử ở trên đường chéo chính bằng 1.
Bài tập 1.11 Cho A= (a ij ) i,j n = 1 , vớia ij =a | i − j | TínhdetA.
1 −1 0 0 x h −1 0 x 2 hx h −1 x 3 hx 2 hx h và ∆ n được định nghĩa tương tự cho n > 3.
Bài tập 1.13 Cho C = (c ij ) n i,j = 1 , với c ij
Bài tập 1.14 Cho a i,i + 1 = c i với i = 1, ,n, các phần tử khác của ma trận A bằng 0. Chứng minh rằng định thức của ma trận I+A+A 2 + .+ A n − 1 bằng (1− c ) n − 1 , với c =c 1 c n
Bài tập 1.15 Tínhdet(a ij ) n i,j = 1 , với a ij = (1− x i y j ) − 1
Bài tập 1.18 Tính| a ik | n 0 , với a ik =λ i n − k (1+λ 2 i ) k
Bài tập 1.19 Choa ij =C in j Chứng minh rằng | aij | r 1 =n r ( r + 1 ) /2 vớir ≤ n
12 Chương 1 Ma trận - Định thức
Bài tập 1.20 Chok 1 , ,k n ∈ Z , tính| aij | n 1 , ở đó a ij
Bài tập 1.21 Cho s k = p 1 x k 1 + .+p n x k n , và a i,j =s i + j Chứng minh rằng
Bài tập 1.23 Choa ij = (x i +y j ) n Chứng minh rằng
Bài tập 1.24 Chob ij = (−1) i + j a ij Chứng minh rằng| aij | n 1 =| bij | n 1
Bài tập 1.25 Cho∆ n (k) = | a ij | n 0 , ở đó a ij =C k 2j + i Chứng minh rằng
Bài tập 1.26 ChoD n =| aij | n 0 , ở đóa ij =C 2j n − 1 Chứng minh rằng D n =2 n ( n + 1 ) /2
! , ở đó A 11 ,B 11 ,A 22 ,B 22 là các ma trận vuông cùng cấp vàrankA 11 =rankA, rankB 11 =rankB Chứng minh rằng
2 Định thức con và phần phụ đại số 13 § 2 Đ ỊNH THỨC CON VÀ PHẦN PHỤ ĐẠI SỐ
Các định nghĩa và tính chất
Ma trận con cấp p của ma trận vuông A là ma trận được hình thành từ các phần tử là giao của hàng và cột trong A Định thức tương ứng với ma trận con này được gọi là định thức con cấp p.
Nếui 1 =k 1 , ,i p =k p thì định thức con được gọi là định thức con chính cấp p. Định nghĩa 1.4 Định thức con khác 0 có bậc cao nhất được gọi là định thức con cơ sở và cấp của nó được gọi là hạng của ma trận A. Định lý 1.5 Nếu A i 1 i p k 1 k p
Nếu hàng i là một định thức con cơ sở của ma trận A, thì các hàng của ma trận A có thể được biểu diễn như là tổ hợp tuyến tính của các hàng i1, , ip Đồng thời, các hàng i1, , ip này là độc lập tuyến tính.
Hạng của một ma trận được xác định bởi số lượng hàng (hoặc cột) độc lập tuyến tính lớn nhất của nó Theo định lý Binet - Cauchy, nếu A và B là các ma trận có kích thước n×m và m×n, với n ≤ m, thì định thức của tích AB được tính bằng tổng các định thức của các ma trận con.
A k 1 k n B k 1 k n , ở đó A k 1 k n là định thức con thu được từ các cột k 1 , , k n của A và B k 1 k n là định thức con thu được từ các hàng k 1 , , k n của B
Kí hiệu A ij = (−1) i + j M ij, trong đó M ij là định thức của ma trận A sau khi loại bỏ hàng thứ i và cột thứ j, được gọi là phần bù đại số Ma trận adjA = (A ij) T là ma trận liên hợp của ma trận A Công thức này giúp tính toán các yếu tố liên quan đến ma trận một cách hiệu quả.
A adj(A) = detA.I Định lý 1.8 Toán tửadjcó các tính chất sau:
14 Chương 1 Ma trận - Định thức
3 Nếu AB=BA thì(adjA)B=B(adjA). Định lý 1.9.
Hệ quả 1.10 Nếu A là ma trận suy biến thìrank(adjA)≤1. Định lý 1.11 (Jacobi) Giả sử1 ≤ p < n và σ = i 1 i n j 1 k n
! là một phép hoán vị bất kì Khi đó
Định lý 1.12 (Chebotarev) khẳng định rằng với một số nguyên tố p và ǫ = exp(2πi/p), tất cả các định thức con của định thức Vandermonde (a_ij) với i, j từ 1 đến p đều khác không, trong đó a_ij = ǫ^ij Định lý 1.13 (Công thức khai triển Laplace) chỉ ra rằng nếu cố định p hàng i_1, i_2, , i_p của ma trận A với i_1 < i_2 < < i_p, thì định thức của A được tính bằng tổng các định thức con với chỉ số j_1 < < j_p và j_(p+1) < < j_n, i_(p+1) < < i_n.
! được gọi là phần bù đại số của định thức conA i 1 i p j 1 j p
Bài tập
Bài tập 1.28 Cho Alà một ma trận vuông cấp n Chứng minh rằng
S k λ n − k , ở đóS k là tổng của tất cả C k n các định thức con chính cấpk của A.
2 Định thức con và phần phụ đại số 15
Bài tập 1.29 Chứng minh rằng a 11 a 1n x 1
=−∑ i,j x i y j A ij , ở đó A ij là phần bù đại số của phần tửa ij
Bài tập 1.30 Chứng minh rằng tổng của các định thức con chính cấp k của A T A bằng tổng bình phương các định thức con chính cấp k của A
Bài tập 1.31 Cho A,Blà các ma trận vuông cấp n Tính
Bài tập 1.32 Tìm một ví dụ một ma trận vuông cấpn mà các phần bù đại số của nó đều bằng 0, ngoại trừ phần tử nằm ở hàngi và cộtj.
Bài tập 1.33 Cho x và y là các cột có độ dài n Chứng minh rằng adj(I− xy ) T =xy T + (1− y T x )I.
Bài tập 1.34 Cho Alà một ma trận phản xứng Chứng minh rằngadj(A)là một ma trận phản xứng nếun lẻ và đối xứng nếunchẵn.
Bài tập 1.35 Cho A là một ma trận phản xứng cấp n với các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 Tính adj A.
Bài tập 1.36 Tìm tất cả các ma trận A có các phần tử không âm sao cho tất cả các phần tử của ma trận A − 1 cũng không âm.
Bài tập 1.37 Cho ǫ =exp(2πi/n) và A = (a ij ) n 1 vớia ij =ǫ ij Tính A − 1
Bài tập 1.38 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận Vandermonde V
16 Chương 1 Ma trận - Định thức
Các định nghĩa và tính chất
! là một ma trận khối, ở đó A,D là các ma trận vuông Để tính định thức của ma trận P, ta có thể phân tích Pdưới dạng sau:
Nếu ma trận A khả nghịch, thì các phương trình B = AY và D = CY + X có nghiệm lần lượt là Y = A^(-1)B và X = D - CA^(-1)B Ma trận D - CA^(-1)B được gọi là phần bù Schur của ma trận khả nghịch.
AtrongP, và được kí hiệu là(P| A ).
Dễ dàng nhận thấy rằng detP Adet(P| A ). Mặt khác,
, (1.3) nên phương trình (??) có thể được viết dưới dạng sau:
(1.4) Tương tự, nếu Dlà ma trận khả nghịch, thì
3 Phần bù Schur 17 Định lý 1.16 Nếu A và D là các ma trận vuông cấp n, detA 6= 0, và AC = CA, thì
Định lý 1.17 vẫn giữ nguyên tính đúng đắn ngay cả khi |A| = 0 Cụ thể, khi xem xét ma trận A_ǫ = A + ǫI, ta nhận thấy rằng ma trận A_ǫ sẽ khả nghịch với mọi giá trị ǫ đủ nhỏ Hơn nữa, nếu ma trận A và C thoả mãn điều kiện AC = CA, thì các tính chất liên quan vẫn được duy trì.
A ǫ C=CA ǫ Định lý 1.18 Giả sửulà một hàng, vlà một cột, vàa là một số bất kì Khi đó
=a| A | − u (adjA)v. Định lý 1.19 (Emily Haynsworth) Cho A
! ,C (A 11 ) là các ma trận vuông, và B, C là các ma trận khả nghịch Khi đó:
Bài tập
Bài tập 1.39 Cho u và v là các hàng có độ dài n và A là một ma trận vuông cấp n Chứng minh rằng
Bài tập 1.40 Cho Alà một ma trận vuông Chứn minh rằng
=1−∑ M 2 1 + ∑ M 2 2 −∑ M 2 3 + ở đó∑M k 2 là tổng bình phương của tất cả các định thức con cấpkcủa A.
18 Chương 1 Ma trận - Định thức
Không gian véctơ - Ánh xạ tuyến tính
Không gian đối ngẫu
Không gian đối ngẫu V∗ của không gian véctơ V trên trường K bao gồm các ánh xạ tuyến tính từ V đến K, thỏa mãn điều kiện f(λ₁v₁ + λ₂v₂) = λ₁f(v₁) + λ₂f(v₂) với mọi λ₁, λ₂ ∈ K và v₁, v₂ ∈ V Đối với không gian Ơclit n chiều V, điều kiện cần và đủ để một ánh xạ f: V → R là tuyến tính là tồn tại một véctơ a cố định trong V sao cho f(x) = cho mọi x ∈ V.
Chú ý 2.3 Khi đó không gianV ∗ có thể được coi như đồng nhất với không gianV.
Chứng minh ⇐ Điều kiện đủ: Dễ dàng chứng minh ánh xạ f(x) =< a, x >,∀ x ∈ V là ánh xạ tuyến tính với mỗi vectơ acố định đã được chọn trước.
⇒ Điều kiện cần: Giả sử f :V → V là một ánh xạ tuyến tính bất kỳ.
(a) Nếu f ≡0thì ta chọn vectơa =0thoả mãn yêu cầu bài toán.
Nếu f không đồng nhất bằng 0, ta có thể chứng minh rằng dimKerf = n−1 Điều này đúng vì tồn tại ít nhất một vectơ y trong V mà không thuộc Ker f Chọn một vectơ y như vậy, với mỗi x trong V, ta đặt λ = f f((x, y)) và z = x - λy Khi đó, f(z) = 0, dẫn đến z thuộc Ker f.
Ta có x = z+λy , tức là mỗi vectơ x ∈ V thừa nhận phân tích thành tổng của
2 vectơ, một vectơ thuộc Kerf và một vectơ thuộc spany Điều đó có nghĩa là
20 Chương 2 Không gian véctơ - Ánh xạ tuyến tính
V =Kerf +spanyvà suy ra dimKerf =n−1.
Giả sử không gian V được phân tích thành tổng trực giao V = Kerf + (Kerf) ⊥, với dim(Kerf) ⊥ = 1, tức là (Kerf) ⊥ = span(y 0) và k y 0k = 1 Đặt a = f(y 0)y 0 thuộc (Kerf) ⊥, chúng ta sẽ chứng minh rằng vectơ a thỏa mãn yêu cầu bài toán, tức là f(x) = , ∀ x ∈ V Đối với mỗi x ∈ V, từ việc phân tích V = Kerf + (Kerf) ⊥ và Kerf + span(y 0), ta có x = λy 0 + y, với y ∈ Kerf Khi đó, ta có f(x) = λf(y 0) + f(y).
Với mỗi cơ sởe 1 ,e 2 , ,e n của không gianV, đặte i ∗ (e j ) = δ ij ,khi đó e ∗ 1 , ,e ∗ n sẽ là cơ sở của
V ∗ Mỗi phần tử f ∈ V ∗ khi đó có thể được biểu diễn dưới dạng f =∑ f ( e i )e ∗ i
Do đó, nếu cố định cơ sởe 1 ,e 2 , ,e n của không gian V, chúng ta có thể xây dựng được một đẳng cấug :V → V ∗ bằng cách đặtg(e i ) =e ∗ i
Với mỗi ánh xạ tuyến tính A : V 1 → V 2 toán tử đối ngẫu A ∗ : V 2 ∗ → V 1 ∗ xác định bởi (A∗ f 2)(v 1 ) = f 2 (Av 1 ) với mỗi f 2 ∈ V 2 ∗ và v 1 ∈ V 1 Để thuận tiện hơn, ta kí hiệu f(v) bởi
Khi định nghĩa toán tử A ∗, ta có thể viết lại như sau: h A ∗ f 2,v 1 i = h f 2,Av 1 i Gọi (a ij ) n 1 là ma trận của ánh xạ tuyến tính A trong cặp cơ sở { e α } của V 1 và {ǫ β } của V 2, với Ae j = ∑ i a ij ǫ i Tương tự, (a ∗ ij ) n 1 là ma trận của ánh xạ tuyến tính A ∗ trong cặp cơ sở {ǫ ∗ β } của V 2 ∗ và { e ∗ α } của V 1 ∗.
Giả sử có hai cơ sở khác nhau của không gian véctơ V là { e α } và { ǫ β } Ma trận A được sử dụng để chuyển đổi từ cơ sở { e α } sang { ǫ β }, trong khi ma trận B chuyển đổi từ cơ sở { e ∗ α } sang { ǫ ∗ β }.
Hệ quả 2.6 Các cơ sở { e α }và{ ǫ β } cảm sinh cùng một đẳng cấuV → V ∗ khi và chỉ khi A là một ma trận trực giao, nghĩa là AA T =I.
1 Không gian đối ngẫu - Phần bù trực giao 21
Phần bù trực giao
Định nghĩa 2.7 Với mỗi không gian con W ⊂ V, không gian
W ⊥ ={ f ∈ V ∗ | < f , w >=0với mọi w ∈ W }, được gọi là phần bù trực giao của không gian con W
Không gian véctơ con W ⊥ là một phần của V ∗ và có mối quan hệ với kích thước của các không gian này, cụ thể là dimW + dimW ⊥ = dimV Nếu e 1, , e n là một cơ sở của V, trong đó e 1, , e k là cơ sở của W, thì các vectơ e ∗ k + 1, , e ∗ n sẽ tạo thành một cơ sở cho W ⊥.
4 NếuV =W 1 ⊕ W 2 thìV ∗ =W 1 ⊥ ⊕ W 2 ⊥ Định lý 2.9 Nếu A: V → V là một toán tử tuyến tính và AW ⊂ W thì A ∗ W ⊥ ⊂ W ⊥
Trong không gian các ma trận kích thước m×n, tích trong giữa hai ma trận X và Y được xác định bởi công thức tr(XY^T) = ∑ i,j x_ij y_ij Theo Định lý 2.10, nếu A là một ma trận kích thước m×n và với mọi ma trận X kích thước n×m, điều kiện tr(AX) = 0 dẫn đến A = 0.
Bài tập 2.1 Cho ma trận Avuông cấp nthỏa mãn tính chấttr(AX) =0với mọi ma trận
X có vết bằng 0 Chứng minh rằng A=λI.
Cho hai ma trận A và B có kích thước m × n và k × n, nếu AX = 0 thì BX = 0 với X là một véctơ cột bất kỳ Điều này chứng tỏ rằng ma trận B có thể được biểu diễn dưới dạng B = CA, trong đó C là một ma trận kích thước k × m.
22 Chương 2 Không gian véctơ - Ánh xạ tuyến tính § 2 H ẠT NHÂN VÀ ẢNH - K HÔNG GIAN THƯƠNG
Hạt nhân và ảnh
Định nghĩa 2.11 Cho A : V → W là một ánh xạ tuyến tính từ không gian véctơ V tới không gian véctơW Khi đó
Ker(A) :={ x | x ∈ V, A (x) =0} được gọi là hạt nhân của A.
Im(A) :={ y | y ∈ W,∃ x ∈ V, A (x) =y}={ A (x)| x ∈ V } được gọi là ảnh của A. Định lý 2.12 Cho A : V → W là một ánh xạ tuyến tính Khi đó
1 Ker(A) là một không gian véctơ con củaV.
2 Im(A)là một không gian véctơ con củaW.
4 NếuB ={ e 1,e 2 , ,e n }là một cơ sở củaV thì
ChoU −→ A V −→ B W là các ánh xạ tuyến tính Khi đó Định lý 2.13. dim(ImA∩KerB ) = dim ImA−dim Im BA =dimKerBA−dimKerA. Định lý 2.14.
KerA ∗ = (ImA) ⊥ và Im A ∗ = (KerA) ⊥
Chú ý 2.16 NếuV là một không gian Euclide thìV ∗ có thể đồng nhất vớiV, và
V =ImA⊕(ImA) ⊥ =ImA⊕KerA ∗ =ℑ A ∗ ⊕KerA.
2 Hạt nhân và ảnh - Không gian thương 23 Định lý 2.17 (Fredholm) Cho A : V → V là một toán tử tuyến tính Xét bốn phương trình sau:
1 hoặc là các phương trình (1) và (2) có nghiệm với mọi vế phải, và trong trường hợp này nghiệm là duy nhất
2 hoặc là các phương trình (3) và (4) có cùng số các nghiệm độc lập tuyến tính x 1 , , x k và f 1 , ,f k và trong trường hợp này các phương trình (1) (và (2) tương ứng) có nghiệm nếu và chỉ nếu f 1 (y) = = f k (y) =0(tương ứng g (x 1 ) = =g(x k ) =0). Định lý 2.18 Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi một trong các điều kiện tương đương sau được thỏa mãn a) Tồn tại các ma trận Y và Z sao cho C =AY và C =ZB; b) rank A =rank(A,C) vàrank B =rank B
! Định lý 2.19 Cho rankA = a Khi đó tồn tại các ma trận khả nghịc L và R sao cho
LAR = I a , ở đó I a là ma trận cấp n có a phần tử trên đường chéo bằng 1, và các phần tử còn lại bằng 0.
Không gian thương
Nếu W là một không gian véctơ con của không gian V thì V có thể được phân thành lớp các tập con như sau:
M v ={ x ∈ V | x − v ∈ W }. Nhận xét rằng M v =M v ′ nếu và chỉ nếu v− v ′ ∈ W Khi đó trên tập thương
Không gian thương V/W được định nghĩa là tập hợp các vectơ có dạng Mv, với v thuộc không gian V Chúng ta có thể xây dựng một cấu trúc tuyến tính thông qua các biểu thức λMv = Mλv và Mv + Mv′, trong đó Mv và Mv′ không phụ thuộc vào cách chọn các vectơ v và v′.
Trong chương 2 về không gian véctơ và ánh xạ tuyến tính, lớp M được ký hiệu là M v bởiv+W Ánh xạ p: V → V/W, với p(v) = M v, được gọi là phép chiếu chính tắc từ V lên V/W Rõ ràng, Ker p = W và Im p = V/W.
Bổ đề 2.21 dim(V/W) =dimV−dimW
Chứng minh Nếu e 1 , ,e k là một cơ sở củaW và e 1 , ,e k ,e k + 1 , ,e n là một cơ sở củaV thì p(e 1 ) = = p(e k ) =0và p(e k + 1 ), ,p(e n ) là một cơ sở củaV/W. Định lý 2.22.
Bài tập
Bài tập 2.3 Cho Alà một toán tử tuyến tính Chứng minh rằng dimKerA n + 1 =dimKerA+
∑ n k = 1 dim(ImA k ∩KerA ) và dim ImA =dim ImA n + 1 +
3 Cơ sở của không gian véctơ - Độc lập tuyến tính 25 § 3 C Ơ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VÉCTƠ - Đ ỘC LẬP TUYẾN
Bài toán đổi cơ sở
Cho Alà ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V → W trong cặp cơ sởe ={ e 1, ,e n } của
V và ǫ ={ ǫ 1, ,ǫ n } của W Giả sử e ′ = ePvà ǫ ′ =ǫQ là các cơ sở khác củaV vàW Khi đó
A ′ =Q − 1 AP là ma trận của f trong cặp cơ sởe ′ vàǫ ′ Đặc biệt, nếuV =W và P= QthìA ′ =P − 1 AP. Định lý 2.23 Với mỗi toán tử tuyến tính A , đa thức đặc trưng
| λI − A | =λ n +a n − 1 λ n − 1 + .+a 0 không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở của không gianV. Định lý 2.24 (Green, 1973) Cho x 1 , ,x n và y 1 , ,y n là hai cơ sở của không gian V,
Khi 1 ≤ k ≤ n, véctơ 1, , y n có thể hoán đổi với các véctơ x 1, , x k để tạo ra hai cơ sở khác nhau cho không gian V Theo Định lý 2.25 (Aupetit, 1988), nếu T là một toán tử tuyến tính trên không gian V và với mọi ξ ∈ V, các véctơ ξ, Tξ, , T n ξ là độc lập tuyến tính, thì các toán tử tuyến tính I, T, , T n cũng sẽ độc lập tuyến tính.
Bài tập 2.4 Trong V n cho các véctơ e 1 , , e m Chứng minh rằng nếu m ≥ n +2 thì tồn tại các số α 1 , , α m không đồng thời bằng 0 sao cho∑α i e i =0và∑α i =0.
Trong không gian véctơ thực n chiều, một tổ hợp tuyến tính lồi của các véctơ v1, , vm được định nghĩa là véctơ x = t1v1 + + tmvm, với điều kiện ti ≥ 0 và ∑ti = 1 Chứng minh rằng bất kỳ tổ hợp tuyến tính lồi nào của m véctơ cũng có thể được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính lồi của không quá n + 1 véctơ cho trước.
Bài tập 2.6 Chứng minh rằng nếu| a ii | > ∑ k 6 = i | a ik | với mọi i = 1, ,n thì A = (a ij ) 1 n là một ma trận khả nghịch.
26 Chương 2 Không gian véctơ - Ánh xạ tuyến tính
Bài tập 2.7 yêu cầu chứng minh một số tính chất của các véctơ trong không gian Euclide Cụ thể, phần a) yêu cầu chứng minh rằng nếu có n+1 véctơ e1, , en+1 với điều kiện (ei, ej) < 0 khi i ≠ j, thì mọi véctơ rút ra từ hệ n+1 véctơ này đều tạo thành một cơ sở của không gian V Phần b) yêu cầu chứng minh rằng nếu có m véctơ e1, , em trong R^n với điều kiện (ei, ej) < 0 khi i ≠ j, thì số lượng m không được vượt quá n + 1.
4 Hạng của ma trận 27 § 4 H ẠNG CỦA MA TRẬN Định nghĩa 2.26 Cho A là một ma trận cỡ m× n Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các định thức con khác không của nó.
Các tính chất của hạng của ma trận
1 rank(A) ≤min{ m, n } Nếu A là ma trận vuông cấp n thì A khả nghịch khi và chỉ khi rank(A) = n.
2 rank(A+B) ≤rank(A) +rank(B). Định lý 2.28 (Định lý Sylvester) Cho A, B là các ma trận cỡ m × n và n × p tương ứng. Khi đó rank(AB) =rank(B)−dim(ImB∩KerA ) Nói riêng, rank(A) +rank(B)− n ≤rank(AB) ≤min{rank(A), rank(B)}
Nếu A là toán tử tuyến tính trên không gian véctơn chiều, thì có mối quan hệ n = dim ImA + dim KerA Hơn nữa, nếu A là ma trận của toán tử tuyến tính này, thì rank(A) sẽ bằng dim ImA.
Xét ánh xạ tuyến tính Anhư trên không gian véctơ con ImB, ảnh của nó là ImAB và hạt nhân là ImB∩KerA Từ đó, ta có công thức dim ImAB + dim(ImB∩KerA) = dim ImB.
Cuối cùng, cần lưu ý rằng bất đẳng thức cần chứng minh phải được suy ra trực tiếp từ đẳng thức đã nêu và bất đẳng thức sau: dim ImA + dim Ker(ImB ∩ KerA) ≤ dim Im A + dim KerA = n Theo Định lý 2.29 (Bất đẳng thức Frobenius), ta có rank(AB) + rank(BC) ≤ rank(B) + rank(ABC).
28 Chương 2 Không gian véctơ - Ánh xạ tuyến tính
Bổ đề 2.30 Hạng của ma trận Abằng cỡ nhỏ nhất của các ma trậnB,C, sao choA= BC.
Nếu A = BC và kích thước nhỏ nhất của các ma trận B, C bằng k, thì cần chứng minh rằng hạng của A không vượt quá hạng nhỏ nhất của B và C, tức là rank(A) ≤ min{rank B, rank C} ≤ k Theo Định lý 2.31 (Flanders, 1962), với r ≤ m ≤ n và M n,m là không gian các ma trận kích thước n× m, nếu U là không gian vector con của M n,m với hạng lớn nhất của các phần tử trong U bằng r, thì chiều của U không vượt quá nr, tức là dimU ≤ nr.
Bài tập
Bài tập 2.8 ChoAlà một ma trận vuông cấp n CMR tồn tạik ≤ n sao chor(A k ) = r(A m ) với mọi m≥ k Nói riêngr(A n ) = r(A n + 1 ).
Bài tập 2.9 Giả sử các giá trị riêng của ma trận A có phần thực âm Chứng minh rằng tồn tại ma trận xác định dương Csao cho A T C+CA=− I.
Bài tập 2.10 Cho a ij =x i +y j Chứng minh rằng rank(a ij ) n 1 ≤2.
Bài tập 2.11 Cho A là một ma trận vuông có hạng bằng 1 Chứng minh rằng
Bài tập 2.12 Chứng minh rằng rank(A ∗ A) = rankA.
Bài tập 2.13 Cho A là một ma trận khả nghịch Chứng minh rằng nếurank A B
Bài tập 2.14 yêu cầu chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương đối với hai ma trận A1 và A2 có cùng kích thước, với V1 và V2 là không gian véctơ sinh bởi các hàng của A1 và A2, và W1 và W2 là không gian véctơ sinh bởi các cột của A1 và A2 tương ứng.
Bài tập 2.15 Chứng minh rằng nếu A và B là các ma trận có cùng cỡ và B T A = 0 thì rank(A+B) = rankA+rankB.
Bài tập 2.16 Cho Avà B là các ma trận vuông cấp lẻ Chứng minh rằng nếu AB=0thì ít nhất một trong hai ma trận A+A T và B+B T là suy biến.
30 Chương 2 Không gian véctơ - Ánh xạ tuyến tính
Dạng chính tắc của ma trận và toán tử tuyến tính
Trị riêng và véctơ riêng
Giả sử V là một không gian véctơ và f : V → V là một tự đồng cấu Việc nghiên cứu f trên toàn bộ không gian V có thể gặp khó khăn do kích thước lớn của V, do đó, cần hạn chế f lên các không gian con U của V Không gian véctơ con U được gọi là không gian con ổn định đối với f nếu f(U) ⊂ U Các không gian con ổn định phổ biến bao gồm {0}, V, Ker f và Im f Nếu tồn tại các không gian con ổn định U1 và U2 sao cho V = U1 ⊕ U2, thì f|U1 và f|U2 đều là các tự đồng cấu, cho phép việc nghiên cứu f trên V có thể được chuyển thành việc nghiên cứu f i trên U i Cụ thể, nếu f1 có ma trận là A trong cơ sở {e1, e2, , em} của U1 và f2 có ma trận là B trong cơ sở {em+1, , en} của U2, thì ma trận của f có thể được xác định.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá một trường hợp đặc biệt trong Cơ học và Vật lý, đó là các không gian con ổn định một chiều Theo định nghĩa 3.4, nếu f là một tự đồng cấu của không gian véctơ V, thì một véctơ α khác không và một số vô hướng λ thuộc R thỏa mãn f(α) = λα, thì λ được gọi là giá trị riêng của f, còn α là véctơ riêng tương ứng với trị riêng λ Tiếp theo, định nghĩa 3.5 nêu rõ rằng nếu λ là trị riêng của tự đồng cấu f: V → V, thì không gian véctơ liên quan sẽ được xác định.
Không gian con riêng của phép biến đổi tuyến tính f ứng với trị riêng λ được ký hiệu là Ker(f − λ id V), bao gồm tất cả các véctơ riêng tương ứng với trị riêng λ Định nghĩa 3.6 mô tả đa thức bậc n một ẩn X với hệ số thực.
P f (X) = det(f − X id V ) được gọi làđa thức đặc trưng của tự đồng cấu f Đa thức bậc n một ẩn X với hệ số thực
P A (X) (A− X id V ) được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A Nghiệm của đa thức này được gọi làgiá trị riêng của A.
2 Cấu trúc của tự đồng cấu 33
Mệnh đề 3.7 cho biết nếu U là một không gian con ổn định với tự đồng cấu f : V → V, thì đồng cấu cảm sinh f : V/U → V/U được xác định bởi f [α] = [f(α)] Đặc biệt, đa thức đặc trưng của f sẽ bằng tích các đa thức đặc trưng của f| U và f Định lý 3.8 khẳng định rằng đối với hai ma trận vuông cấp n, A và B, đa thức đặc trưng của tích AB sẽ có những tính chất quan trọng liên quan đến các đặc trưng của A và B.
Hệ quả 3.9 Cho A,B là các ma trận cỡ m× n Khi đó các đa thức đặc trưng của AB T và
B T Akhác nhau bởi nhân tử λ n − m Định lý 3.10 nêu rõ rằng, đối với ma trận vuông A có tổng các phần tử mỗi cột bằng 1, nếu (x 1, , x n) T là véctơ riêng của A với x 1 + + x n ≠ 0, thì giá trị riêng tương ứng với véctơ riêng này sẽ là 1 Định lý 3.11 chỉ ra rằng, nếu tổng giá trị tuyệt đối của các phần tử trên mỗi cột của ma trận được xem xét, thì sẽ có những kết quả quan trọng liên quan đến tính chất của ma trận đó.
Akhông vượt quá 1, thì tất cả các giá trị riêng của nó cũng không vượt quá 1.
Tự đồng cấu chéo hoá được
Tự đồng cấu f của không gian véctơ V được gọi là chéo hóa được khi tồn tại một cơ sở của V gồm toàn bộ các véctơ riêng của f Điều này có nghĩa là f chéo hóa được nếu ma trận của nó trong một cơ sở nào đó của V là ma trận chéo.
Ma trận A được gọi là ma trận chéo hoá được nếu nó đồng dạng với một ma trận chéo Một tự đồng cấu f: V → V có tính chất f^2 = f thì f chéo hoá được Điều kiện cần và đủ cho sự chéo hoá của tự đồng cấu f trong không gian véctơ chiều V là hai điều kiện nhất định phải được thỏa mãn Từ định nghĩa, f chéo hoá được khi và chỉ khi tồn tại một ma trận khả nghịch C sao cho C^(-1)AC là một ma trận chéo.
(i) Đa thức đặc trưng của f có đủ nghiệm trong R :
P f (X) = (−1) n (X− λ 1) s 1 (X− λ 2) s 2 (X− λ m ) s m (ii) rank(f − λ i id V ) = n− s i (vớii = 1, 2, ,m), ở đâys i là bội của λ i xem như nghiệm của đa thức đặc trưng.
34 Chương 3 Dạng chính tắc của ma trận và toán tử tuyến tính
Trên trường số phức C, hầu hết các toán tử tuyến tính đều có khả năng chéo hóa, ngoại trừ các toán tử có trị riêng bội, tạo thành một tập hợp có độ đo 0 Cụ thể, tất cả các toán tử unita và Hermitian đều có thể chéo hóa và tồn tại một cơ sở trực giao bao gồm các véctơ riêng của chúng.
Các véctơ riêng của toán tử unita có độ dài bằng 1, thể hiện qua mối quan hệ |Ax| = |x| Đồng thời, các trị riêng của toán tử Hermitian là số thực do tính chất đối xứng của tích vô hướng (Ax, x) = (x, Ax) Theo Định lý 3.17, nếu A là một ma trận trực giao, thì tồn tại một cơ sở trực giao sao cho ma trận A trong cơ sở đó có dạng đường chéo khối với các khối ±1 hoặc cos ϕ − sin ϕ, sin ϕ cos ϕ.
Đa thức tối tiểu
Định nghĩa 3.18 Đa thức có bậc nhỏ nhất triệt tiêu ma trận Avà có hệ số cao nhất bằng
1 được gọi làđa thức tối tiểucủa A.
Đa thức tối tiểu của toán tử tuyến tính được xác định dựa trên ma trận của nó trong một cơ sở nhất định và không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở của không gian (Chú ý 3.19) Theo Định lý 3.20, mọi đa thức triệt tiêu A đều chia hết cho đa thức tối tiểu của nó Ngoài ra, Định nghĩa 3.21 nêu rằng một đa thức p được gọi là triệt tiêu đối với véctơ v ∈ V liên quan đến toán tử tuyến tính.
Trong không gian vector V, một toán tử tuyến tính A : V → V có thể được xác định bởi đa thức triệt tiêu véctơ, với điều kiện p(A)v = 0 Đa thức triệt tiêu có bậc nhỏ nhất và hệ số cao nhất bằng 1 được gọi là đa thức tối tiểu của v Theo định lý 3.22, với mọi toán tử tuyến tính A, tồn tại một véctơ v ∈ V sao cho đa thức tối tiểu của v ứng với A trùng với đa thức tối tiểu của A Định lý Cayley - Hamilton (3.23) khẳng định rằng mỗi ma trận đều là nghiệm của đa thức đặc trưng của chính nó Định lý 3.24 chỉ ra rằng đa thức đặc trưng của ma trận A cấp n trùng với đa thức tối tiểu của nó nếu và chỉ nếu tồn tại các cột P và Q sao cho k = Q^T A^k P Cuối cùng, theo định lý 3.25, nếu p_A(t) là đa thức đặc trưng của ma trận A và X là ma trận giao hoán với A, thì p_A(X) = M(A - X), trong đó M là một ma trận giao hoán với A.
2 Cấu trúc của tự đồng cấu 35
Bài tập
Bài tập 3.1 yêu cầu chứng minh rằng các hệ số của đa thức đặc trưng của ma trận A có thể được biểu diễn dưới dạng: det(A− λI) = (−λ)^n + c1(−λ)^(n−1) + + cn, trong đó ck là tổng của tất cả các định thức con chính cấp k của ma trận A Định thức con được coi là chính khi chỉ số hàng và chỉ số cột của nó trùng nhau.
Giả sử λ là nghiệm bội p của đa thức đặc trưng của ma trận vuông cấp n Để chứng minh rằng số chiều của không gian riêng tương ứng với giá trị riêng λ không lớn hơn p, ta cần xem xét các đặc điểm của đa thức đặc trưng Đặt r = rank(A − λI), từ đó ta có thể chứng minh rằng 1 ≤ n − r ≤ p, cho thấy mối liên hệ giữa hạng của ma trận và số chiều không gian riêng, từ đó khẳng định tính chất của các giá trị riêng của ma trận.
Bài tập 3.3 Chứng minh rằng các giá trị riêng của ma trận A − 1 bằng bằng nghịch đảo của các giá trị riêng của A (kể cả bội).
Chứng minh. det(A − 1 − λI ) = (− λ ) n det(A − 1 ) det
Bài tập 3.4 Chứng minh rằng các giá trị riêng của ma trận A 2 bằng bằng bình phương của các giá trị riêng của A (kể cả bội).
Giả sử λ₁, λ₂, , λₙ là các giá trị riêng của ma trận A (bao gồm cả bội) Ta có đẳng thức det(A − λI) = (λ₁ − λ)(λ₂ − λ) (λₙ − λ) và det(A + λI) = (λ₁ + λ)(λ₂ + λ) (λₙ + λ) Nhân hai vế của các đẳng thức này, ta được det(A² − λ²I) = (λ₁² − λ²)(λ₂² − λ²) (λₙ² − λ²) Thay λ² bằng λ trong đẳng thức trên, ta có det(A² − λI) = (λ₁² − λ)(λ₂² − λ) (λₙ² − λ), từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập 3.5 Chứng minh rằng các giá trị riêng của ma trận A p bằng luỹ thừa pcủa các giá trị riêng của A(kể cả bội).
36 Chương 3 Dạng chính tắc của ma trận và toán tử tuyến tính
Chứng minh Tương tự như bài tập trên, gọi 1,ǫ 1 ,ǫ 2 , ,ǫ n − 1 là các căn bậc p khác nhau của1 ǫ k =cos 2kπ p +isin 2kπ p
Ta có công thức det(A− λI ) = (λ 1 −λ)(λ 2 −λ) (λ n −λ) và det(A− λǫ 1 I) = (λ 1 − λǫ 1)(λ 2 − λǫ 1) (λ n − λǫ 1) Tiếp tục, ta có det(A− λǫ p − 1 I) = (λ 1 − λǫ p − 1)(λ 2 − λǫ p − 1) (λ n − λǫ p − 1) Nhân các vế của p phương trình trên, ta thu được det(A n − λ p I ) = (λ 1 p − λ p )(λ 2 p − λ p) (λ n p − λ p ) Thay λ p bằng λ trong đẳng thức trên, ta suy ra điều cần chứng minh.
Bài tập 3.6 yêu cầu chứng minh rằng với A là ma trận vuông cấp n có các phần tử trong trường đóng đại số K, và λ1, λ2, , λn là các giá trị riêng của A, thì nếu f(X) là một đa thức có hệ số trong K, ta có det f(A) = f(λ1)f(λ2) f(λn).
Chứng minh Theo bài ra, det(A− λI ) ∏ n i = 1
Bài tập 3.7 Chứng minh rằng nếu P A (λ) = ∏ k i = 1
(λ i − λ ) s i là đa thức đặc trưng của A thì đa thức đặc trưng của f(A)với f là một đa thức làP f ( A ) (λ) = ∏ k i = 1
2 Cấu trúc của tự đồng cấu 37
Chứng minh Áp dụng bài tập ?? với hàm số g(x) = f(x)− λ, giả sử P A (λ) = det(A− λI) = ∏ n i = 1
(λ i −λ) (kể cả bội), ta có detg(A) ∏ n i = 1 g(λ i ) hay
Bài tập 3.8 Chứng minh rằng nếu λ 1 ,λ 2 , ,λ n là các giá trị riêng của ma trận A và f(X) là một đa thức thì f(λ 1 ), f(λ 2 ), , f(λ n ) là các trị riêng của ma trận f(A).
Chứng minh Là một hệ quả trực tiếp của bài tập ??.
Bài tập 3.9 yêu cầu chứng minh rằng nếu λ₁, λ₂, , λₙ là các giá trị riêng của ma trận A và f(x) = g h ( ( x x ) ) là một phân thức hữu tỷ xác định khi x = A (với điều kiện det(A) ≠ 0), thì có thể khẳng định rằng det f(A) = f(λ₁)f(λ₂) f(λₙ) Hơn nữa, f(λ₁), f(λ₂), , f(λₙ) cũng chính là các giá trị riêng của ma trận f(A).
Chứng minh Áp dụng đẳng thứcdet f(A) = det(g(A) det(h(A) và sử dụng các kết quả của bài tập
Bài tập 3.10 Chứng minh rằng nếu A,B là các ma trận vuông cùng cấp thì các đa thức đặc trưng của ABvàBA trùng nhau.
Để chứng minh, ta có hai trường hợp Thứ nhất, nếu A là ma trận không suy biến, thì AB và BA sẽ là các ma trận đồng dạng, dẫn đến việc chúng có cùng đa thức đặc trưng Thứ hai, nếu A là ma trận suy biến, thì 0 sẽ là một giá trị riêng của A Ta chọn m đủ lớn sao cho A^k = A - I^k không suy biến với mọi k ≥ m Từ đó, khi k tiến tới vô cực, A^kB và BA^k sẽ có cùng đa thức đặc trưng, hoàn thành chứng minh.
Bài tập 3.11 Cho P là một ma trận hoán vị Chứng minh rằng P n = I;P T = P − 1 Tìm các giá trị riêng của P
Bài tập 3.12. a) Có tồn tại hay không các ma trận vuông cùng cấp Avà Bsao cho AB− BA = I?
38 Chương 3 Dạng chính tắc của ma trận và toán tử tuyến tính b) Chứng minh rằng nếu AB− BA = Athì| A | =0.
Bài tập 3.13 Tìm trị riêng và véctơ riêng của ma trận A= (a ij )với a ij =λ i /λ j
Bài tập 3.14 Chứng minh rằng mọi ma trận vuông A đều là tổng của hai ma trận khả nghịch.
Bài tập 3.15 yêu cầu chứng minh rằng các trị riêng của ma trận phụ thuộc liên tục vào các phần tử của nó Cụ thể, cho ma trận A = (a ij ), với mọi ǫ > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu | a ij − b ij | < δ thì với mỗi trị riêng λ của A, sẽ có một trị riêng à của B = (b ij ) thỏa mãn | λ − à | < ǫ.
Bài tập 3.16 Tổng của các phần tử trên mỗi hàng của ma trận khả nghịch A bằng s. Chứng minh rằng tổng của các phần tử trên mỗi hàng của A − 1 bằng1/s.
Nếu hàng đầu tiên của ma trận \( S^{-1} A S \) có dạng \( (\lambda, 0, 0, \ldots, 0) \), thì cột đầu tiên của ma trận \( S \) sẽ là một vectơ riêng của ma trận \( A \) tương ứng với giá trị riêng \( \lambda \).
Bài tập 3.18 Cho f(λ) = | λI − A |, ở đó Alà một ma trận vuông cấpn Chứng minh rằng f ′ (λ) = ∑ n i = 1| λ i − A i |, ở đó A i là ma trận thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng thứi và cột thứ j
Bài tập 3.19 Cho λ 1 , , λ n là các trị riêng của ma trận A Chứng minh rằng các trị riêng của ma trậnadjA làΠ i 6 = 1 , ,Π i 6 = n
Véctơ x được gọi là đối xứng nếu các tọa độ của nó thỏa mãn điều kiện (x i = x n − i) hoặc phản đối xứng nếu (x i =− x n − i) Đối với ma trận A = (a ij) là một ma trận đối xứng tâm, ta cần chứng minh rằng trong các véctơ riêng của A tương ứng với các trị riêng, tồn tại ít nhất một véctơ riêng đối xứng hoặc một véctơ riêng phản đối xứng.
Bài tập 3.21 Cho ma trận Avuông, phức cấp n có các phần tửa i,n − i + 1 = x i có thể khác
0, còn các phần tử còn lại bằng0 Tìm điều kiện của { x 1, ,x n } sao cho ma trận A chéo hóa được.
Bài tập 3.22 (Drazin, Haynsworth, 1962) yêu cầu chứng minh rằng ma trận A có véctơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với các trị riêng thực khi và chỉ khi tồn tại ma trận vuông S xác định không âm có hạng bằng m sao cho AS = SA* Ngoài ra, cần chứng minh rằng ma trận A có véctơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với các trị riêng λ thỏa mãn |λ| = 1 khi và chỉ khi tồn tại ma trận vuông S xác định không âm có hạng bằng m sao cho ASA* = S.
2 Cấu trúc của tự đồng cấu 39
Bài tập 3.23 Cho Alà một ma trận cấpn và f 1 (A) = A−(trA)I, f k + 1 (A) = f k (A)A− 1 k+1tr(f k (A)A)I.
Bài tập 3.24 Cho A và B là các ma trận cấp n Chứng minh rằng nếutr A m = trB m với mọi m =1, ,nthì các trị riêng của A và B là trùng nhau.
Cho ma trận khả nghịch A và đa thức đặc trưng của nó trùng với đa thức tối tiểu Cần chứng minh rằng đa thức tối tiểu của A − 1 được xác định bởi công thức p(0) − 1 λ n p(λ − 1 ).
Bài tập 3.26 Cho Π(x− λ i ) n i là đa thức tối tiểu của ma trận A Chứng minh rằng đa thức tối tiểu của ma trận A I
40 Chương 3 Dạng chính tắc của ma trận và toán tử tuyến tính § 3 D ẠNG CHUẨN CỦA MA TRẬN
Dạng chuẩn Jordan của ma trận
Định lý 3.26 khẳng định rằng nếu A và B là các ma trận vuông thực và có mối quan hệ A = P − 1 BP với P là ma trận phức, thì tồn tại ma trận thực Q sao cho A = Q − 1 BQ Điều này chỉ ra rằng tập hợp các ma trận có dạng A = P − 1 BP với P là ma trận phức không lớn hơn tập hợp các ma trận có dạng A = Q − 1 BQ với Q là ma trận thực.
Một khối Jordan cỡr× r là một ma trận có dạng
Định nghĩa 3.27 Một ma trận Jordan là một ma trận khối có các khối Jordan trên đường chéo.
Cơ sở Jordan của toán tử tuyến tính A: V → V là một cơ sở của không gian V, trong đó ma trận của A được biểu diễn dưới dạng ma trận Jordan Định lý 3.28 khẳng định rằng với mọi toán tử tuyến tính A: V → V trên C, luôn tồn tại một cơ sở Jordan, và ma trận Jordan tương ứng được xác định duy nhất, khác nhau chỉ ở cách hoán vị các khối Jordan.
Dạng chuẩn Jordan của một ma trận giúp đơn giản hóa việc tính lũy thừa ma trận Cụ thể, nếu A = P − 1 JP, thì việc thực hiện phép tính trở nên thuận tiện hơn.
A n =P − 1 J n P Để tính lũy thừa của khối Jordan J r (λ) =λI+N, ta có công thức khai triển Newton:
Cơ sở Jordan luôn tồn tại trên các trường đóng đại số, nhưng trên trường số thực R, điều này không phải lúc nào cũng đúng Tuy nhiên, trên trường số thực vẫn có một dạng Jordan, được gọi là thực hóa của dạng chuẩn Jordan trên trường số phức.
3 Dạng chuẩn của ma trận 41 Định lý 3.31 Với mỗi toán tử tuyến tínhAtrên trường số thực, luôn tồn tại một cơ sở mà ma trận của nó trong cơ sở đã cho có dạng đường chéo khối với các khối J m 1 (t 1 ), ,J m k (t k ) tương ứng với trị riêng thựct i và các khối J n ∗ 1 (λ 1 ), ,J n ∗ s (λ s )tương ứng với trị riêng phức λ i và λ ¯ i , ở đó J n ∗ (λ) là ma trận cỡ 2n×2n thu được từ khối Jordan J n (λ) bằng cách thay thế mỗi phần tử có dạng a +ibcủa nó bởi ma trận a b
Mỗi toán tử tuyến tính A trên không gian C có thể được phân tích thành hai phần: A = A s + A n, trong đó A s là phần có thể chéo hóa và A n là phần luỹ linh.
Theo định lý 3.33, các toán tử A_s và A_n là xác định duy nhất với A_s = S(A) và A_n = N(A), trong đó S và N là các đa thức Định lý 3.34 chỉ ra rằng nếu A là một toán tử tuyến tính khả nghịch trên trường số phức C, thì có những đặc điểm quan trọng liên quan đến tính chất của các toán tử này.
A có thể được biểu diễn dưới dạng A = A s A u = A u A s, trong đó A s là toán tử chéo hóa và A u là toán tử lũy đơn, bao gồm tổng của toán tử đồng nhất và toán tử lũy linh Biểu diễn này là duy nhất.
Chứng minh Nếu A khả nghịch thì A s cũng khả nghịch Khi đó A = A s +A n = A s A u , ở đó A u = A − s 1 (A s +A n ) = I+A − s 1 A n
Dạng chuẩn Frobenius
Dạng chuẩn Jordan là một trong nhiều dạng chuẩn của ma trận ánh xạ tuyến tính Một dạng chuẩn khác được đề cập là dạng tuần hoàn, hay còn gọi là dạng chuẩn Frobenius.
Một khối Frobenius hay khối tuần hoàn là một ma trận có dạng
Nếu A là một toán tử tuyến tính từ không gian vector V n đến V n, với điều kiện rằng Ae 1 = e 2 và Ae n−1 = e n, thì ma trận của A trong cơ sở e 1, , e n sẽ có dạng khối Frobenius Định lý 3.35 khẳng định rằng đối với mọi toán tử tuyến tính A: V → V trên trường số thực hoặc phức, luôn tồn tại một cơ sở của V sao cho ma trận của A trong cơ sở đó có dạng đường chéo khối với các khối Frobenius.
42 Chương 3 Dạng chính tắc của ma trận và toán tử tuyến tính
Bổ đề 3.36 Đa thức đặc trưng của khối Frobenius (??) trùng với đa thức tối tiểu của nó, và bằng λ n + n ∑ − 1 k = 0 a k λ k
Bài tập
Bài tập 3.27 Chứng minh rằng Avà A T là các ma trận đồng dạng.
Bài tập 3.28 yêu cầu xem xét một phép hoán vị bất kỳ σ (i), với i = 1, , n, và ma trận P = (p ij), trong đó p ij = δ iσ (j) Nhiệm vụ là chứng minh rằng ma trận P − 1 AP được tạo ra từ ma trận A thông qua việc hoán vị các cột và hàng theo σ Ma trận P được xác định là ma trận hoán vị tương ứng với σ.
Bài tập 3.29 Cho ma trận A có m trị riêng phân biệt, m > 1 Đặt b ij tr(A i + j ) Chứng minh rằng| b ij | m 0 − 1 6=0và| b ij | m 0 =0
Bài tập 3.30 Chứng minh rằngrank A =rankA 2 nếu và chỉ nếu tồn tại lim λ → 0(A+λI) − 1 A.
Bài tập 3.31 yêu cầu chứng minh rằng với A là một khối Jordan, tồn tại một véctơ v sao cho các véctơ v, Av, A^2 v, , A^(n-1) v tạo thành một cơ sở của không gian V Khi đó, ma trận của A trong cơ sở này sẽ có dạng khối Frobenius.
Bài tập 3.32 Với mỗi khối Frobenius A tồn tại một ma trận đối xứng S sao cho A SA T S − 1
4 Biểu diễn ma trận 43 § 4 B IỂU DIỄN MA TRẬN
Rút gọn một ma trận về ma trận dạng đường chéo đơn giản
Phép biến đổi A 7→ XAX − 1 bảo toàn vết của ma trận A, do đó các phần tử trên đường chéo của ma trận XAX − 1 không thể tùy ý Định lý 3.37 (Gibson, 1975) cho biết rằng với A 6= λI, ma trận A đồng dạng với ma trận đường chéo diag(0, 0, , 0, trA) Định lý 3.38 khẳng định rằng với A là một ma trận phức bất kỳ, tồn tại ma trận unita U sao cho các phần tử trên đường chéo của ma trận UAU − 1 là bằng nhau Cuối cùng, Định lý 3.39 (Marcus, Purves, 1959) chỉ ra rằng mọi ma trận vuông A khác 0 đều đồng dạng với một ma trận mà tất cả các phần tử trên đường chéo đều khác 0.
Biểu ma trận dưới dạng tọa độ cực
Mỗi ma trận vuông A trên R (hoặc C) có thể được biểu diễn dưới dạng A = SU, trong đó S là một ma trận Hermitian và U là một ma trận unita Điều này tương tự như cách mà một số phức z = a + bi có thể được biểu diễn dưới dạng z = |z|.e^(iϕ).
A = SU, với S là ma trận đối xứng (Hermitian) xác định không âm và U là ma trận trực giao (unita) Phân tích này là duy nhất nếu A khả nghịch.
Chú ý 3.41 Tương tự, chúng ta cũng có thể xây dựng được một phân tích A =U 1 S 1 ở đó
Ma trận S 1 là ma trận đối xứng (Hermitian) và U 1 là ma trận trực giao (unita) Để S = S 1, điều kiện cần và đủ là AA ∗ = A ∗ A, tức là A phải là một ma trận chuẩn tắc Theo định lý 3.42, mọi ma trận vuông A đều có thể được biểu diễn dưới dạng A = UDW.
U và W là các ma trận đơn vị, trong khi D là một ma trận đường chéo Theo định lý 3.43, nếu A = S1U1 = U2S2 là các biểu diễn của ma trận khả nghịch A dưới dạng tọa độ cực, thì U1 và U2 sẽ bằng nhau.
44 Chương 3 Dạng chính tắc của ma trận và toán tử tuyến tính
Biểu diễn Schur
Định lý Schur (Định lý 3.44) khẳng định rằng mọi ma trận vuông A trên trường số phức C có thể được biểu diễn dưới dạng A = UTU∗, trong đó U là ma trận unitary và T là ma trận tam giác Hơn nữa, ma trận A sẽ là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu ma trận T là ma trận đường chéo.
Biểu diễn Lanczos
Theo định lý 3.45 của Lanczos (1958), mọi ma trận thực kích thước m×n có hạng p>0 có thể được biểu diễn dưới dạng A = XΛY^T, trong đó X và Y là các ma trận kích thước m×p và n×p với các cột trực giao, còn Λ là ma trận đường chéo kích thước p×p.
Bài tập
Chứng minh rằng với mọi ma trận vuông A khác 0, luôn tồn tại ma trận X sao cho các trị riêng của ma trận X và ma trận A+X đều khác nhau và khác 0.
Mọi phép biến đổi tuyến tính trên R n có thể được thể hiện dưới dạng tổ hợp của một phép biến đổi trực giao và một phép co giãn dọc theo hướng vuông góc, với các hệ số phân biệt Điều này cho thấy sự linh hoạt trong việc phân tích và hiểu các phép biến đổi trong không gian R n, đồng thời nhấn mạnh tầm quan trọng của các phép biến đổi trực giao trong việc duy trì cấu trúc hình học.
Bài tập 3.35 yêu cầu chứng minh rằng toán tử co A: R n → R n, với điều kiện |Ax| ≤ |x|, có thể được coi là hạn chế lên R n của tổ hợp giữa một phép biến đổi trực giao trên R 2n và một phép chiếu lên R n Trong đó, R n được xem như không gian con của R 2n.
Bài tập 3.36 (Phân tích Gauss) Giả sử mọi định thức con | a ij | 1 p , p = 1, ,n của ma trận Avuông cấpnbằng 0 Chứng minh rằng Acó thể biểu diễn dưới dạng A= T 1 T 2 , ở đó
T 1 là ma trận tam giác dưới và T 2 là một ma trận tam giác trên.
Mọi ma trận khả nghịch X có thể được biểu diễn dưới dạng X = UT, trong đó U là ma trận trực giao và T là ma trận tam giác trên Điều này chứng minh rằng bất kỳ ma trận khả nghịch nào cũng có thể phân tích thành tích của một ma trận trực giao và một ma trận tam giác Phân tích này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của ma trận mà còn có ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học và khoa học máy tính.
Bài tập 3.38 (Ramakrishnan, 1972) Cho B = diag(1,ǫ, ,ǫ n − 1 ), ở đó ǫ = exp( 2πi n , và
C = (c ij ) n 1 , ở đó c ij = δ i,j − 1 (ở đây j−1 được xem như là modulon) Chứng minh rằng mọi ma trận Mvuông cấp ntrên C được biểu diễn duy nhất dưới dạng M=∑ n k,l − = 1 0 a kl B k C l
Bài tập 3.39 Chứng minh rằng mọi ma trận phản xứng A có thể được biểu diễn dưới dạng
A=S 1 S 2 − S 2 S 1 , ở đó S 1 và S 2 là các ma trận đối xứng.
Các ma trận có dạng đặc biệt
Các định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 4.1 Ma trận thực A được gọi là đối xứng nếu A = A T
Ma trận phức Ađược gọi là Hermitian nếu A ∗ = A, ở đó A ∗ = A ¯ T
Các tính chất đơn giản:
1 Các giá trị riêng của ma trận Hermitian đều thực.
2 Mọi ma trận Hermitian Ađều có thể được phân tích dưới dạngU ∗ DU, ở đóU là ma trận unita vàDlà ma trận đường chéo.
3 Ma trận Alà ma trận Hermitian khi và chỉ khi(Ax,x) ∈ R với mọi véctơx.
Mỗi ma trận đối xứng A có một dạng toàn phương q(x) = x T Ax và dạng song tuyến tính
Trong trường hợp thực, nếu A là một ma trận đối xứng, thì dạng toàn phương x T Ax được gọi là xác định dương khi x T Ax > 0 với mọi x khác không Khi đó, ma trận A được gọi là ma trận xác định dương và ký hiệu là A > 0.
Trong trường hợp phức, ma trận Hermitian A được coi là ma trận xác định dương nếu dạng Hermitian x ∗ Ax thỏa mãn điều kiện x ∗ Ax > 0 với mọi x khác 0 Khi đó, ma trận A được ký hiệu là A > 0.
46 Chương 4 Các ma trận có dạng đặc biệt
Nếu A là một ma trận Hermitian và U là ma trận thỏa mãn A = U*DU, với D là ma trận đường chéo, thì x*Ax = (Ux)*D(Ux) Khi đặt y = Ux, dạng Hermitian có thể được biểu diễn như sau.
Nếu ma trận A xác định dương, thì tổng các trị riêng λ 1 + + λ n và định thức λ 1 λ n đều dương Theo định lý Sylvester, nếu A là ma trận Hermitian, thì điều này sẽ được áp dụng.
Một ma trận được xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính của nó đều dương Theo định lý 4.5, nếu A là ma trận xác định không âm và x là một véctơ sao cho x ∗ Ax > 0, thì điều này dẫn đến Ax = 0 Định lý 4.6 chỉ ra rằng nếu A là ma trận xác định dương và B là ma trận Hermitian, thì các tính chất của ma trận A sẽ ảnh hưởng đến ma trận B.
AB là một ma trận có thể chéo hóa, với số lượng trị riêng dương, âm và bằng 0 tương ứng với số giá trị của B Theo định lý 4.7, mọi ma trận chéo hóa được với các trị riêng thực đều có thể biểu diễn dưới dạng tích của một ma trận xác định dương và một ma trận Hermitian.
Bài tập
Bài tập 4.1 Chứng minh rằng mọi ma trận Hermitian có hạng bằng r đều có thể biểu diễn được dưới dạng tổng củarma trận Hermitian có hạng bằng 1.
Bài tập 4.2 Chứng minh rằng nếu A là một ma trận xác định dương, thì adj A cũng là một ma trận xác định dương.
Bài tập 4.3 Chứng minh rằng nếu A là một ma trận Hermitian khác 0 thì rank A ≥
Bài tập 4.4 Cho Alà một ma trận xác định dương cấpn Chứng minh rằng
Bài tập 4.5 Chứng minh rằng nếu hạng của một ma trận đối xứng (Hermitian) bằng r thì nó cór định thức con chính khác0.
Bài tập 4.6 yêu cầu xác định phần tử lớn nhất khác 0 của ma trận S - 1, trong đó S là một ma trận đối xứng khả nghịch cấp n với tất cả các phần tử dương.
2 Ma trận phản xứng 47 § 2 M A TRẬN PHẢN XỨNG
2.1 Các định nghĩa và tính chất Định nghĩa 4.8 Ma trận thực Ađược gọi là phản xứng nếu A T =− A
Ma trận phản xứng cấp lẻ có định thức bằng 0 Theo định lý 4.9, nếu A là ma trận phản xứng, thì A^2 sẽ là ma trận đối xứng và có định thức không âm.
Các trị riêng khác của ma trận phản xứng đều là thuần ảo Điều này được xác nhận bởi định lý rằng điều kiện x T Ax = 0 được thỏa mãn với mọi x chỉ khi ma trận A là một ma trận phản xứng.
Bổ đề 4.12 khẳng định rằng hạng của một ma trận phản xứng luôn là một số chẵn Theo định nghĩa 4.13, một toán tử tuyến tính A trên không gian Euclidean được xem là phản xứng nếu ma trận của nó trong một cơ sở trực chuẩn nào đó có tính chất phản xứng Hơn nữa, định lý 4.14 đưa ra biểu thức Λ i = 0 − λ i λ i 0, liên quan đến các giá trị riêng của ma trận phản xứng.
Đối với mọi toán tử tuyến tính phản xứng A, luôn tồn tại một cơ sở trực chuẩn, trong đó ma trận của A có dạng diag(Λ 1, Λ 2, , Λ k, 0, , 0).
Bài tập 4.7 Chứng minh rằng nếu A là một ma trận phản xứng thì I +Alà một ma trận khả nghịch.
Bài tập 4.8 Cho A là một ma trận phản xứng, khả nghịch Chứng minh rằng A − 1 cũng là một ma trận phản xứng.
Bài tập 4.9 Chứng minh rằng mọi nghiệm của đa thức đặc trưng của ma trận AB, ở đó
Avà B là các ma trận phản xứng cấp2n , đều có bội lớn hơn1.
48 Chương 4 Các ma trận có dạng đặc biệt § 3 M A TRẬN TRỰC GIAO - P HÉP BIẾN ĐỔI C AYLEY
3.1 Các định nghĩa và tính chất Định nghĩa 4.15 Ma trận thực Ađược gọi là trực giao, nếu AA T = I.
Nếu ma trận A là một ma trận trực giao, thì các hàng và cột của nó tạo thành một hệ trực chuẩn Điều này có nghĩa là ma trận A trực giao khi và chỉ khi tích vô hướng (Ax, Ay) bằng (x, y) cho mọi x, y.
Nếu Alà một ma trận trực giao, thì nó cũng là một ma trận unita, do đó các trị riêng của nó có giá trị tuyệt đối bằng1.
Các trị riêng của ma trận trực giao nằm trên vòng tròn đơn vị, trong khi các trị riêng của ma trận phản xứng nằm trên trục ảo Phép biến đổi f(z) = \(\frac{1+z}{1-z}\) biến vòng tròn đơn vị thành trục ảo và ngược lại, cho phép chúng ta hy vọng rằng phép biến đổi f(A) = \((I - A)(I + A)^{-1}\) sẽ chuyển đổi ma trận trực giao thành ma trận phản xứng Phép biến đổi này được gọi là phép biến đổi Cayley Dễ dàng nhận thấy rằng (A#)# = A Theo Định lý 4.16, phép biến đổi Cayley chuyển mọi ma trận phản xứng thành ma trận trực giao và mọi ma trận trực giao A với |A + I| ≠ 0 thành ma trận phản xứng Định lý 4.17 (Hsu, 1953) khẳng định rằng với mọi ma trận vuông A, tồn tại ma trận J = diag(±1, , ±1) sao cho |A + J| ≠ 0.
Bài tập 4.10 Chứng minh rằng nếu p(λ)là đa thức đặc trưng của một ma trận trực giao vuông cấp nthì λ n p(λ − 1 ) =± p (λ).
Bài tập 4.11 Chứng minh rằng mọi ma trận unita cấp 2 với định thức bằng 1 đều có dạng u v
Bài tập 4.12 Cho Alà một ma trận trực giao vuông cấp3và có định thức bằng1 Chứng minh rằng a) (trA) 2 −tr(A) 2 =2 trA. b) (∑ i a ii −1) 2 + ∑ i < j
3 Ma trận trực giao - Phép biến đổi Cayley 49
Bài tập 4.13 Cho J là một ma trận khả nghịch Ma trận A được gọi là J- trực giao nếu
A T J A = J và J-phản xứng nếu A T J = − J A Chứng minh rằng phép biến đổi Cayley biến một ma trận J- trực giao thành một ma trận J- phản xứng và ngược lại.
Bài tập 4.14 (Djokovíc, 1971) yêu cầu chứng minh rằng nếu tất cả các giá trị tuyệt đối của các trị riêng của ma trận A đều bằng 1 và |Ax| ≤ |x| với mọi x, thì A là một toán tử unita.
Bài tập 4.15 (Zassenhaus, 1961) yêu cầu chứng minh rằng một toán tử unita U biến véctơ khác không x thành véctơ Ux trực giao với x Điều này dẫn đến việc mọi cung của vòng tròn đơn vị chứa tất cả các trị riêng của U có độ dài không nhỏ hơn π.
50 Chương 4 Các ma trận có dạng đặc biệt § 4 M A TRẬN CHUẨN TẮC
Các định nghĩa và tính chất
Toán tử tuyến tính A trên C được gọi là chuẩn tắc khi A ∗ A = AA ∗ Ma trận tương ứng với toán tử chuẩn tắc trong một cơ sở trực chuẩn được gọi là ma trận chuẩn tắc Rõ ràng, nếu A là ma trận chuẩn tắc thì A ∗ A = AA ∗ Định lý 4.18 xác định rằng các điều kiện sau là tương đương.
1 A là ma trận chuẩn tắc,
2 A= B+iC, ở đóB,C là các ma trận Hermitian giao hoán,
3 A=UΛU ∗ , ở đóU là ma trận unita vàΛlà ma trận đường chéo.
4 ∑ n i = 1|λ 2 i | = ∑ n i,j = 1| a 2 ij |, ở đó λ 1 , ,λ n là các trị riêng của A. Định lý 4.19 Nếu Alà một ma trận chuẩn tắc, thìKerA ∗ =KerAvàImA ∗ =ImA.
Hệ quả 4.20 Nếu Alà một ma trận chuẩn tắc, thì
Ma trận A được gọi là chuẩn tắc nếu mọi véctơ riêng của A cũng là véctơ riêng của A* Theo định lý 4.21, điều này khẳng định mối liên hệ giữa các véctơ riêng của hai ma trận Hơn nữa, theo định lý 4.22, nếu ma trận A là chuẩn tắc, thì A* có thể được biểu diễn dưới dạng một đa thức của A.
Hệ quả 4.23 Nếu A và B là các ma trận chuẩn tắc và AB = BA thì A ∗ B = BA ∗ và
AB ∗ = B ∗ A, nói riêng AB cũng là một ma trận chuẩn tắc.
Bài tập 4.16 Cho A là một ma trận chuẩn tắc Chứng ming rằng tồn tại ma trận chuẩn tắc B sao cho A =B 2
Bài tập 4.17 ChoAvàBlà các toán tử chuẩn tắc sao choIm A ⊥Im B Chứng minh rằng
A+Blà một toán tử chuẩn tắc.
Bài tập 4.18 Chứng minh rằng ma trận Alà chuẩn tắc nếu và chỉ nếu A ∗ = AU, ở đóU là ma trận unita.
Bài tập 4.19 Chứng minh rằng nếu A là một toán tử chuẩn tắc và A =SU là biểu diễn trong tọa độ cực của nó thìSU =US.
Bài tập 4.20 Cho A, B và AB là các ma trận chuẩn tắc Chứng minh rằng BA cũng là một ma trận chuẩn tắc.
52 Chương 4 Các ma trận có dạng đặc biệt § 5 M A TRẬN LUỸ LINH
Các định nghĩa và tính chất
Ma trận vuông cấp n được gọi là luỹ linh nếu tồn tại số nguyên k sao cho A^k = 0; nếu A^(k-1) ≠ 0, thì k là bậc lũy linh của ma trận A Bậc lũy linh của ma trận này bằng cấp cao nhất của các khối Jordan Đối với ma trận luỹ linh A cấp n, ta có A^n = 0 Đa thức đặc trưng của ma trận vuông cấp n luỹ linh là λ^n Ma trận A luỹ linh khi và chỉ khi tr(A^p) = 0 với mọi p = 1, 2, , n Nếu A là toán tử tuyến tính với không gian con bất biến W, và A1, A2 là các toán tử cảm sinh từ A, thì nếu A1 và A2 luỹ linh, thì A cũng luỹ linh.
Bài tập
Bài tập 4.21 Alà ma trận lũy linh nếu và chỉ nếu tất cả giá trị riêng của A đều bằng0.
Bài tập 4.22 Chứng minh rằng nếu A là ma trận lũy linh thì I − A là ma trận khả nghịch.
Bài tập 4.23 Chứng minh rằng với mọi ma trận vuôngAluôn có thể phân tích A=B+C vớiClà một ma trận lũy linh vàB là ma trận chéo hóa được vàBC =CB.
Bài tập 4.24 Cho Avà Blà các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn Blà ma trận lũy linh và AB= BA Chứng minh rằng det(A+B) A
Bài tập 4.25 Cho Avà Blà các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãnA 2008 = I;B 2009 =0và
AB+4A+2009B=0 Chứng minh rằng(A+B) là ma trận không suy biến.
Bài tập 4.26 (2000) Cho A và B là các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn A 1999 0;B 2000 =0và AB=BA Chứng minh rằng(A+B+I) khả nghịch.
Chứng minh Nhận xét rằng(A+B) 3999 =0nên(A+B) là ma trận luỹ linh, suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập 4.27 Cho AvàBlà các ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn A 1999 = I;B 2000 =I và
AB=BA Chứng minh rằng(A+B+I) khả nghịch.
Chứng minh Giả sử (A+B+I)suy biến Khi đó tồn tại vectoX khác0sao cho(A+B+
I)X =0 Hay(A+I)X =− BX suy ra(A+I) 1999 X =− B 1999 X =− X, suy ra((A+I) 1999 +
Chúng ta sẽ chứng minh rằng hai đa thức (x+1)^{1999} + 1 và x^{2000} - 1 là nguyên tố cùng nhau Giả sử chúng có nghiệm chung z, khi đó (z+1)^{1999} = -1 và z^{2000} = 1 Từ đó, ta suy ra mô đun của z và (z+1) đều bằng 1, dẫn đến arg(z) = ± 2π/3 và z^{2000} = cos(±4000π).
Vậy tồn tại các đa thứcP(x) vàQ(x) để P(x)[(x+1) 1999 +1] +Q(x)(x 2000 −1) = 1
Từ đó suy ra [P(A)[(A+1)1999+1] +Q(A)(A2000− I )]X =X hayX =0, mâu thuẫn với việc chọnX Vậy ta có điều phải chứng minh
Bài tập 4.28 (IMC) yêu cầu chứng minh rằng nếu tồn tại (n+1) số t1, t2, , tn phân biệt sao cho các ma trận Ci = A + tiB là các ma trận lũy linh với mọi i từ 1 đến n+1, thì ma trận A và B cũng là các ma trận lũy linh Việc này có thể thực hiện bằng cách chỉ ra rằng sự kết hợp tuyến tính của các ma trận này dẫn đến một hệ phương trình có nghiệm không tầm thường, từ đó khẳng định tính chất lũy linh của A và B.
Bài tập 4.29 Tỡm cỏc ma trận A, B sao cho λA +àBlà luỹ linh với mọi λ, à nhưng khụng tồn tại ma trận Psao choP − 1 APvà P − 1 BPlà các ma trận tam giác.
54 Chương 4 Các ma trận có dạng đặc biệt § 6 T OÁN TỬ CHIẾU - M A TRẬN LŨY ĐẲNG
Các định nghĩa và tính chất
Toán tử P được định nghĩa là toán tử chiếu (hay luỹ đẳng) nếu thỏa mãn điều kiện P^2 = P Theo định lý 4.31, tồn tại một cơ sở trong không gian sao cho ma trận của toán tử chiếu có dạng diag(1, , 1, 0, , 0).
Hệ quả 4.32 chỉ ra rằng có một mối tương ứng 1-1 giữa toán tử chiếu và phân tích V = W1 ⊕ W2 của không gian V Cụ thể, với mỗi phân tích V = W1 ⊕ W2, tồn tại một toán tử chiếu P sao cho P(w1 + w2) = w1 Ngược lại, mỗi toán tử chiếu P đều có một phân tích tương ứng.
Toán tử Pkhi đó có thể được gọi là toán tử chiếu lênW 1 theo hướng W 2
Hệ quả 4.33 Nếu Plà toán tử chiếu thìrankP =trP.
Hệ quả 4.34 Nếu Plà toán tử chiếu thìI− P cũng là một toán tử chiếu, hơn nữaKer(I−
P) =ImPvàIm(I− P ) =KerP. Định lý 4.35 Toán tử chiếuPlà Hermitian nếu và chỉ nếuImP⊥KerP Định lý 4.36 Toán tử chiếuPlà Hermitian nếu và chỉ nếu | Px | ≤ x với mọi x.
Các toán tử chiếu Hermitian P và Q được gọi là trực giao nếu ImP ⊥ Im Q, nghĩa là
PQ =QP=0. Định lý 4.37 ChoP 1 , ,P n là các toán tử chiếu Hermitian Khi đó toán tửP =P 1 + .+
P n là toán tử chiếu nếu và chỉ nếu P i P j =0với mọi i 6=j. Định lý 4.38 (Djokovíc, 1971) Cho V = V 1 ⊕ .⊕ V k , ở đó V i 6= 0 với mọi i = 1, ,k. Đặt P i : V → V i là các phép chiếu trực giao và A = P 1 + .+P k Khi đó 0 ≤ | A | ≤ 1, và
| A | =1nếu và chỉ nếu V i ⊥ V j với mọii 6= j.
Bài tập
Bài tập 4.30 Cho P là một toán tử chiếu và V = ImP⊕KerP Chứng minh rằng nếu
ImP ⊥KerP thìPv là hình chiếu trực giao củavlênImP.
Bài tập 4.31 Cho Alà một ma trận vuông cấp n Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương
6 Toán tử chiếu - Ma trận lũy đẳng 55 a Alà ma trận lũy đẳng. b C n =ImA+KerA với Ax=x với mọix ∈ Im A c KerA =Im(I− A ) d rank(A) +rank(I− A ) = n e Im(A)∩Im(I− A ) = {0}
Bài tập 4.32 Cho A là một ma trận vuông cấp n Chứng minh rằng A là lũy đẳng khi và chỉ khirank(A) = tr(A)vàrank(I− A ) =tr(I− A ).
Bài tập 4.33 ChoP 1 và P 2 là các toán tử chiếu Chứng minh rằng
1 P 1 +P 2 là toán tử chiếu khi và chỉ khiP 1 P 2 = P 2 P 1 =0.
2 P 1 − P 2 là toán tử chiếu khi và chỉ khiP 1 P 2 = P 2 P 1 =P 2
Bài tập 4.34 (Định lý ergodic) ChoA là ma trận unita Chứng minh rằng n lim→ ∞
A i x =Px, ở đó Plà một phép chiếu Hermitian lênKer(A− I ).
Bài tập 4.35 Cho A và B là các ma trận vuông cấp n Chứng minh rằng nếu AB = Avà
BA=B thìA,Blà các ma trận lũy đẳng.
Bài tập 4.36 Cho Avà Blà các ma trận vuông cấp n, lũy đẳng Tìm điều kiện cần và đủ để(A+B) là ma trận lũy đẳng.
Bài tập 4.37 Cho A là ma trận lũy đẳng Chứng minh rằng (A+I) k = I+ (2 k −1)A với mọik∈ N
Bài tập 4.38 (OL) Cho A,B là các ma trận cùng cấp, lũy đẳng và AB+BA = 0 Tính det(A− B ).
Bài tập 4.39 ChoA,Blà các ma trận cùng cấp, lũy đẳng vàI−(A+B)khả nghịch CMR tr(A) = tr(B).
Bài tập 4.40 Cho A 1 , A 2 , , A k là các toán tử tuyến tính trên không gian véctơ n chiều
V sao cho A 1 +A 2 + .+A k = I Chứng minh rằng nếu các điều kiện sau là tương đương
1 A 1 , ,A k là các toán tử chiếu.
56 Chương 4 Các ma trận có dạng đặc biệt
Bài tập 4.41 Cho A 1 , A 2 , , A k là các ma trận lũy đẳng Chứng minh rằng nếu A 1 +
7 Ma trận đối hợp 57 § 7 M A TRẬN ĐỐI HỢP Định nghĩa 4.39 Toán tử tuyến tính (hoặc ma trận) Ađược gọi là đối hợp nếu A 2 = I.
Ma trận lũy đẳng được xác định là dễ dàng kiểm chứng, nếu và chỉ nếu 2P - I là ma trận đối hợp Theo Định lý 4.40, tồn tại một cơ sở trong không gian sao cho ma trận của toán tử đối hợp có dạng diag(±1, , ±1).
Nếu A là toán tử đối hợp, thì không gian V có thể được phân tách thành tổng trực tiếp của hai không gian Ker(A+I) và Ker(A−I) Theo định lý của Djokovíc năm 1967, một ma trận A có thể được biểu diễn dưới dạng tích của hai ma trận đối hợp nếu và chỉ nếu ma trận A và ma trận A − 1 là đồng dạng.
Nếu B là một ma trận khả nghịch và thỏa mãn điều kiện X T BX = B, thì ma trận X có thể được biểu diễn dưới dạng tích của hai ma trận đối hợp Đặc biệt, mọi ma trận trực giao đều có thể diễn đạt dưới dạng tích của hai ma trận đối hợp.
Bài tập 4.42 Chứng minh rằng Alà ma trận đối hợp nếu và chỉ nếu 1 2 (I+A)là ma trận lũy đẳng.
58 Chương 4 Các ma trận có dạng đặc biệt § 8 M A TRẬN HOÁN VỊ ( HAY CÒN GỌI LÀ MA TRẬN GIAO
Định nghĩa
Định nghĩa 4.44 Ma trận hoán vị là ma trận có dạng C
được gọi là ma trận hoán vị cơ sở.
Bài tập
Bài tập 4.43 Chứng minh rằng P n = I;P T =P − 1 Tìm các giá trị riêng của P
Bài tập 4.44 Cho f(x) =c 0 +c 1 x+ +c n − 1 x n − 1 Chứng minh rằng a C = f(P) b Các giá trị riêng của C là f (ω k ), k =0, 1, ,n−1.với ω là căn bậc n của1. c det C = n ∏ − 1 i = 0 f(ω i )
Bài tập 4.45 Cho A, B là các ma trận hoán vị Chứng minh rằng A và B giao hoán và AB cũng là một ma trận hoán vị.
Bài tập 4.46 Cho Alà một ma trận hoán vị Chứng minh rằng rank(A k ) = rank(A) với mọik.