Các dạng trên không gian c(k) và cặp các hàm nửa liên tục

Một số khái niệm và kết quả cơ bản

Tôpô trên một tập hợp X không rỗng là một họ các tập con của X, được gọi là , và phải thỏa mãn các điều kiện nhất định.

Tập X cùng với một tôpô  trên nó đ-ợc gọi là một không gian tôpô

1.1.2 Định nghĩa Cho X là không gian tôpô với tôpô  Một tập hợp VX đ-ợc gọi là lân cận của x nếu tồn tại U sao cho x U V

1.1.3 Định nghĩa Cho (X , ) là một không gian tôpô Ta gọi mỗi tập U là một tập mở Tập con AX đ-ợc gọi là tập đóng nếu X \ A là tập mở

Cơ sở tôpô B của không gian tôpô X được định nghĩa là một tập hợp các tập mở, trong đó với mỗi điểm x thuộc X và mọi lân cận U của x, luôn tồn tại một tập V trong B sao cho x thuộc V và V nằm trong U.

Họ v các tập con của không gian tôpô (X, τ) được gọi là tiền cơ sở của tôpô τ nếu X có thể biểu diễn dưới dạng hợp của tất cả các phần tử V trong v Đồng thời, mọi giao hữu hạn của các phần tử trong v cũng tạo thành cơ sở cho tôpô τ.

Trong không gian tôpô X, một tập con A được gọi là compact nếu mọi phủ mở của A đều có một phủ con hữu hạn Cụ thể, nếu {U_i} là một tập hợp các tập con mở của X với mọi i thuộc I sao cho hợp của các U_i chứa A, thì sẽ tồn tại một tập con hữu hạn trong {U_i} mà vẫn bao phủ A.

  thì tồn tại tập con hữu hạn I 0 của I sao cho

   Không gian X đ-ợc gọi là không gian compact nếu X là tập compact trong X Tức là, nếu U i là mở trong X, với mọi iI và i i I U X

   thì có một tập hữu hạn

Không gian tôpô X đ-ợc gọi là chuẩn tắc nếu mọi cặp tập con đóng rời nhau A và B của X đều tồn tại các tập mở U, V trong X sao cho U   V  ,

Bổ đề Urysohn khẳng định rằng trong không gian chuẩn tắc X, nếu có hai tập con đóng không giao nhau A và B, thì tồn tại một hàm liên tục f: X → [0, 1] sao cho f(x) = 0 với mọi x thuộc A và f(x) = 1 với mọi x thuộc B.

1.1.8 Định nghĩa Cho X là một tập khác rỗng và hàm d : X  X R Hàm d đ-ợc gọi là một mêtric hay khoảng cách trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

Tập X cùng với một metric trên nó đ-ợc gọi là không gian mêtric

1.1.9 Định lý Cho A là tập con của không gian mêtric X Khi đó A là compact khi và chỉ khi mọi dãy   a n  A có dãy con   a n k hội tụ đến aA

1.1.10 Định nghĩa Cho X và Y là các không gian tôpô ánh xạ f : X Ygọi là liên tục tại x 0 X nếu với mọi lân cận V của f (x ) 0 tồn tại lân cận U của x 0 sao cho f (U)V

Trong không gian mêtric X, định nghĩa về giới hạn riêng của hàm số f: X → R được thiết lập như sau: nếu tồn tại một dãy {x_n} thuộc X với x_n tiến tới x_0 trong X, và dãy {f(x_n)} có giới hạn (có thể hữu hạn hoặc vô hạn), thì giới hạn này được gọi là giới hạn riêng của f khi x tiến tới x_0.

Số lớn nhất (t-ơng ứng bé nhất), có thể bằng   trong các giới hạn riêng đ-ợc gọi là giới hạn trên (t-ơng ứng d-ới) của f khi x x 0 và viết là

Từ định nghĩa đó ta có

1.1.12 Định nghĩa Giả sử E là không gian tuyến tính trên tr-ờng K ( hoặc ) và : ER, x x Hàm đ-ợc gọi là một chuẩn trên E nếu thỏa mãn:

1) x 0 với mọi xE và x 0 khi và chỉ khi x = 0;

2) x   x với mọi xE và với mọi K;

Không gian tuyến tính E cùng với một chuẩn trên nó đ-ợc gọi là không gian định chuẩn

Nếu E là không gian định chuẩn thì d(x, y) x y , x, yE xác định một mêtric trên E Ta gọi d là mêtric sinh bởi chuẩn

Không gian định chuẩn E đ-ợc gọi là không gian Banach, nếu nó là không gian đầy đủ đối với mêtric sinh bởi chuẩn

Một lưới hay tập định hướng được định nghĩa là một tập hợp I không rỗng, được sắp thứ tự bởi quan hệ ≤, thỏa mãn ba điều kiện: thứ nhất, tập (I, ≤) không có phần tử lớn nhất; thứ hai, với mọi phần tử α thuộc I, tập hợp các phần tử β thuộc I sao cho β ≤ α là hữu hạn; và thứ ba, với mỗi cặp phần tử α và β trong I, tồn tại ít nhất một phần tử γ trong I sao cho α ≤ γ ≤ β.

Giả sử (I, ) là một tập định h-ớng Với mọi  0 I, đặt

 0 card ( I :  0 ) (số phần tử của I :  0 )

1.1.14 Định nghĩa Giả sử (I, ) và (J, ) là 2 tập định h-ớng và k : IJ Hàm k đ-ợc gọi là bảo tồn thứ tự nếu   I kéo theo k( ) k( )

Hàm k đ-ợc gọi là không kết thúc nếu mọi J tồn tại I sao cho

1.1.15 Định nghĩa Giả sử (I, ) là tập định h-ớng và k : II Hàm k đ-ợc gọi là một l-ới con của I nếu k bảo tồn thứ tự và không kết thúc

Trong không gian tôpô X, một dãy suy rộng (xα)α∈I được xác định bởi tập định hướng I nếu mọi xα thuộc X với α thuộc I Nếu có một hàm k: I → I bảo tồn thứ tự và không kết thúc, thì dãy suy rộng (xk(α))α∈I được gọi là lới con hay dãy con của (xα)α∈I.

Nếu X là không gian định chuẩn và (x )   I là dãy suy rộng trong X Dãy suy rộng (x )   I đ-ợc gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c sao cho

1.1.17 Định nghĩa Giả sử (x )   I là dãy suy rộng trong không gian tôpô X

Ta nói (x )   I hội tụ tới xX và viết 

  lim x I x nếu mỗi lân cận U của x tồn tại  0 I sao cho x  U với mọi I,  0 

1.1.18 Định lý Nếu (x )   I là l-ới trong không gian tôpô X, hội tụ tới xX thì mọi l-ới con của (x )   I cũng hội tụ tới x

1.1.19 Định lý Giả sử Y là tập con của không gian tôpô X và xX Khi đó xY khi và chỉ khi tồn tại dãy suy rộng (x )   I trong Y sao cho lim x I  x

1.1.20 Định nghĩa Giả sử ( r )  I là dãy suy rộng bị chặn các số thực Khi đó, ta định nghĩa

I I I lim sup r inf sup r : I, lim r ;

Trong luận văn này ta luôn giả thiết (I, ) là tập định h-ớng và ta viết gọn I thay cho (I, )

Không gian các hàm

Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số đặc điểm của không gian các hàm bị chặn và cung cấp ví dụ minh họa, được áp dụng trong chương 2.

Cho A là một tập hợp và F là một không gian định chuẩn

1.2.1 Định nghĩa Hàm f : AF đ-ợc gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c sao cho f (x)   c, x A

Tập hợp B F (A) bao gồm tất cả các hàm bị chặn từ A vào F, tạo thành không gian tuyến tính trên trường K Không gian này được xác định bởi phép cộng hai hàm và phép nhân vô hướng với hàm thông thường, tức là đối với mọi hàm f, g thuộc B F (A).

Ta dễ dàng kiểm tra đ-ợc công thức (1) xác định một chuẩn trên B F (A)

Nh- vậyB F (A) được xác định là một không gian định chuẩn Nếu không có giải thích nào khác, chuẩn trên B F (A) sẽ được quy ước là chuẩn sup, được xác định bởi công thức (1).

Một câu hỏi đ-ợc đặt ra là với điều kiện nào thì không gian định chuẩn

B F (A) là không gian Banach? Định lý sau trả lời câu hỏi này

1.2.2 Định lý Nếu F là không gian Banach thì B F ( A ) là không gian Banach Chứng minh Cho   f n là một dãy Cauchy trong B F (A) Khi đó

Vì vậy với mọi  x A,  f (x) n  là dãy Cauchy Do F là Banach nên f (x) n  f (x)F Ta đ-ợc ánh xạ f : AF

Cố định  0 và n trong hệ thức (*) cho m  ta đ-ợc

Vậy f bị chặn và do đó f B F (A).Từ (**) ta có

1.2.3 Mệnh đề Nếu H là tập bị chặn trong B R (K) thì các hàm (K là một tr-ờng với phép cộng và phép nhân hai hàm)

Chứng minh Vì H bị chặn trong B R (K) nên tồn tại hằng số c sao cho

Giả sử X là không gian Hausdorff compact, thì B R (X) là không gian các hàm nhận giá trị thực và bị chặn trên X Do R là không gian Banach, theo Định lý 1.2.2, B R (X) cũng trở thành không gian Banach.

Tõ ®©y vÒ sau, ta viÕt B(X) thay cho B R (X).

Không gian các hàm liên tục

Giả sử X là không gian tôpô và F là không gian định chuẩn Ký hiệu

C (X ) F là tập tất cả các hàm liên tục, bị chặn từ X vào F Dễ thấy C (X ) F  là không gian con của B F (X)

Ký hiệu C(X)F đại diện cho tập hợp tất cả các hàm liên tục từ không gian X vào không gian F Trong trường hợp X không phải là không gian compact, ta có C(X)F∞ = C(X)F, vì mọi hàm liên tục trên một tập compact đều nhận giá trị trong không gian định chuẩn và bị chặn.

1.3.1 Định lý C (X ) F  là không gian véc tơ con đóng của B F (X) Đặc biệt, nếu

F là không gian Banach thì C (X ) F  là không gian Banach

Chứng minh Giả sử   f n  C F  và f n  f B F (X) Ta cần chứng minh

 F  f C , tức là chứng minh f liên tục tại mỗi điểm tuỳ ý x 0 X Do n  f fnên

Do f n0 liên tục tại x 0 nên tồn tại lân cận x 0

Từ đó, với mọi x 0 xU ta cã

Chúng ta sử dụng ký hiệu C(X) thay cho C(X)R Nếu X là không gian compact, theo Định lý 1.3.1, C(X) trở thành không gian Banach với chuẩn sup Tôpô trên C(X) được sinh ra từ chuẩn sup được gọi là tôpô chuẩn Ngoài ra, chúng ta sẽ trang bị thêm một tôpô khác cho không gian C(X), được gọi là tôpô hội tụ tại từng điểm, hay còn gọi là tôpô hội tụ điểm.

Tôpô hội tụ điểm trên không gian C(X) được định nghĩa là một tôpô có tiền cơ sở là tập hợp tất cả các tập con có dạng {f ∈ C(X) : f(x) ∈ U}, trong đó x là một điểm thuộc X và U là một tập mở trong không gian.

1.3.4 Mệnh đề Giả sử  f   I là một l-ới trong C(X ) Khi đó   f   I hội tụ tới gC(X ) đối với tôpô hội tụ điểm khi và chỉ khi  f   I hội tụ tới g(x) với mỗi xX

Chứng minh Giả sử  f   I hội tụ tới g đối với tôpô hội tụ điểm Lấy bất kỳ xX và U là tập mở trong sao cho g(x) U Vì

U  f C(X ) : f (x) U là lân cận của g trong C(X ) đối với tôpô hội tụ điểm và f  g nên tồn tại  0 I sao cho f  U g( x ) với mọi I,   0

Do đó f (x) U      0 Vì U là lân cận của g(x) nên ta kết luận đ-ợc

Ngược lại, giả sử rằng hàm số \( f_\alpha \) với \( \alpha \in I \) hội tụ tới \( g(x) \) cho mọi \( x \in X \) Chọn một lân cận \( W \) của \( g \) trong không gian tôpô hội tụ điểm của \( C(X) \) Không mất tính tổng quát, ta có thể giả định rằng \( W \) có dạng

W  fC(X ) : f (x) U , trong đó xX , U là tập mở trong chứa x Vì gW nên g(x) U Do

 f   I hội tụ tới g(x) nên tồn tại  0 I sao cho f (x) U   với mọi   0 Điều này chứng tỏ f  W với mọi I,   0

Vậy f  g đối với tôpô hội tụ điểm.

Một số tính chất của hàm nửa liên tục

Trong phần này, chúng ta sẽ giới thiệu khái niệm về các hàm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới, đồng thời nghiên cứu một số tính chất quan trọng của các hàm nửa liên tục, những tính chất này sẽ được áp dụng trong chương tiếp theo.

1.4.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô, f : X R là ánh xạ từ tập X vào tập hợp các số thực R

- Ta nói f là nửa liên tục trên tại x 0 X nếu với mọi số thực R mà f (x ) 0  thì tồn tại lân cận U của x 0 trong X sao cho f (x), với mọi xU

- Hàm f gọi là nửa liên tục d-ới tại x 0 X nếu với mọi số thực R mà f (x ) 0  thì tồn tại lân cận V của x 0 trong X sao cho f (x), với mọi xV

- Hàm f : X R đ-ợc gọi là nửa liên tục trên (t-ơng ứng d-ới) trên X nếu nó là hàm nửa liên tục trên (t-ơng ứng d-ới) tại mọi điểm thuộc X

1.4.2 Mệnh đề Cho X là không gian tôpô, ánh xạ f : X R là hàm nửa liên tục trên trên X và số thực cR Khi đó

(a) Nếu c0 thì c.f là hàm nửa liên tục trên trên X;

(b) Nếu c0 thì c.f là hàm nửa liên tục d-ới trên X

Chứng minh (a) Giả sử f : X R là hàm nửa liên tục trên X, c0 Với x 0 là điểm bất kỳ của X, với mỗi số thực R và cf (x ) 0  Do c0 nên cf (x ) 0  suy ra f (x ) 0 c

 Theo giả thiết f là hàm nửa liên tục trên X nên f là hàm nửa liên tục trên tại x 0 Do đó, tồn tại lân cận U của x 0 sao cho f (x) c

 , xU suy ra cf (x), x U Vậy c.f là hàm nửa liên tục trên tại x 0 X Vì x 0 là điểm bất kỳ của X nên c.f là hàm nửa liên tục trên trên X

(b) Giả sử f : X R là hàm nửa liên tục trên trên X và c0 Với mỗi x 0 X và với mỗi số thực R và cf (x ) 0 , vì c0 nên f (x ) 0 c

Do f là hàm nửa liên tục trên trên X nên f là hàm nửa liên tục trên trên x 0 Do đó, tồn tại lân cận mở V của điểm x 0 thoả mãn f (x) c

Hàm c.f là hàm nửa liên tục d-ới tại mọi điểm x0 thuộc tập X, vì với mọi x thuộc V, giá trị c.f(x) luôn lớn hơn β khi c < 0.

1.4.3.Nhận xét (a) Cho X là không gian tôpô, f : X R là hàm nửa liên tục d-ới trên X và số thực cR Khi đó

+ Nếu c0 thì c.f là hàm nửa liên tục d-ới trên X;

+ Nếu c0 thì c.f là hàm nửa liên tục trên trên X;

(b) Cho X là không gian tôpô, f : X R Khi đó, f là hàm nửa liên tục trên trên X khi và chỉ khi – f là hàm nửa liên tục d-ới trên X

1.4.4 Mệnh đề Cho X là không gian tôpô, ánh xạ f : X R Khi đó, f là hàm nửa liên tục trên trên X khi và chỉ khi với mỗi số thực R thì tập

Để chứng minh rằng tập A = { x ∈ X : f(x) ≥ α } là tập đóng trong không gian X, với f là hàm nửa liên tục trên X và α ∈ R, ta cần chứng minh rằng tập bổ sung X \ A là tập mở.

B X \ A x X : f (x) Với mỗi x 0 thuộc B, ta có f (x) < α Do f là hàm nửa liên tục tại x 0, tồn tại lân cận mở U của x 0 sao cho f (x) < α với mọi x thuộc U Ta nhận thấy x 0 thuộc U và B X \ A Do đó, B là lân cận của x 0 Vì x 0 được chọn bất kỳ trong B, nên B là lân cận của mọi điểm thuộc nó, suy ra B là tập mở.

* Điều kiện đủ Giả sử A   x  X : f (x)    là tập đóng trong X, với mọi

R Ta cần chứng minh f : X R là hàm nửa liên tục trên trên X Từ

A x X : f (x) ,   R là tập đóng trong X suy ra

B X \ A x X : f (x), R là tập mở trong X Đối với mỗi x₀ ∈ X thỏa mãn f(x₀) < α, thì x₀ ∈ B Vì B là tập mở, nên tồn tại một lân cận mở V của x₀ trong B sao cho f(x) < α với mọi x ∈ V ∩ B Do đó, f là hàm nửa liên tục tại x₀ Điều này áp dụng cho mọi điểm x₀ thuộc X.

X nên f là hàm nửa liên tục trên trên X

1.4.5 Nhận xét Giả sử X là không gian tôpô, f : X R Khi đó f là hàm nửa liên tục d-ới trên X khi và chỉ khi tập  x  X : f (x)  r , với mọi r  R là tập đóng trong X

Trong không gian tôpô X, một hàm f: X → R được gọi là nửa liên tục nếu với mỗi giá trị c ∈ R, tập hợp {x ∈ X : f(x) ≤ c} là tập mở trong X Điều này tương ứng với việc tập {x ∈ X : f(x) > c} cũng phải là tập mở trong X.

Giả sử X là không gian tôpô và \(\{ f : \alpha \in I \}\) là họ các hàm nửa liên tục trên X Khi đó, \(\alpha \inf f\) và \(\alpha \sup f\) tương ứng với \(\alpha \in I\) đều là nửa liên tục trên X.

Chứng minh Giả sử  f :    I  là họ các hàm nửa liên tục trên trên X Với mỗi cR, đặt

Vì các f  nửa liên tục trên nên các F  mở rong X Mặt khác

    Ng-ợc lại, giả sử x  E , tức là

  Khi đó, tồn tại  0 I sao cho f (x)  0 c bởi vì nếu f (x)  c với mọi I thì

  Vì các F  mở trong X nên E mở trong X Do đó

 là hàm nửa liên tục trên trên X

Nếu  f :    I  là họ các hàm nửa liên tục d-ới trên X Với mỗi

Vì các f  nửa liên tục d-ới nên theo Hệ quả 1.4.6 các G  là tập mở

  Do đó G là tập mở trong X Vậy

 là hàm nửa liên tục d-ới trên X

Định lý 1.4.8 khẳng định rằng, trong không gian tôpô X, một ánh xạ f từ X đến R là hàm liên tục nếu và chỉ nếu nó vừa là hàm nửa liên tục trên, vừa là hàm nửa liên tục d-ới trên X.

Để chứng minh rằng hàm f : X → R là hàm nửa liên tục trên X, giả sử f là hàm liên tục Với mỗi điểm x₀ thuộc X và mỗi số thực α > 0 thỏa mãn f(x) < α, chúng ta sẽ thiết lập các điều kiện cần thiết để khẳng định tính chất nửa liên tục từ trên của hàm f.

   f (x ) 0 (1) Vì f là hàm liên tục tại x 0 nên tồn tại lân cận U của x 0 sao cho f (x) f (x ) 0   x U (2)

Từ (1) và (2) suy ra f (x) với mọi xU Vậy f là hàm nửa liên tục trên tại x 0 X Vì x 0 lấy bất kỳ thuộc X nên f là hàm nửa liên tục trên trên X

Chứng minh t-ơng tự ta cũng suy ra đ-ợc f là hàm nửa liên tục d-ới trên X

Để chứng minh rằng hàm f : X → R là hàm liên tục trên X, ta bắt đầu với giả thuyết rằng f là hàm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới trên X Với mỗi điểm x₀ ∈ X và một số ε > 0 tùy ý, do f nửa liên tục tại x₀, tồn tại một lân cận mở V₁ của x₀ sao cho f(x) < f(x₀) + ε với mọi x thuộc V₁.

Hàm f là nửa liên tục tại điểm x0, do đó tồn tại một lân cận mở V2 của x0 sao cho f(x) > f(x0) - ε với mọi x thuộc V2 Đặt V = V1 ∩ V2, ta có V là lân cận của x0 và từ đó suy ra f(x0) - ε < f(x) < f(x0) + ε với mọi x thuộc V Điều này chứng tỏ rằng f liên tục tại x0 Vì x0 được chọn tùy ý trong tập X, nên f là hàm liên tục trên toàn bộ tập X.

Ch-ơng 2 Các dạng trên không gian C(K)

Các dạng trên không gian Banach

Trong mục này chúng ta sẽ trình bày khái niệm và một số tính chất cơ bản của dạng trên không gian Banach

Giả sử E là không gian Banach Với mỗi xE, ta xác định hàm

Từ tính liên tục của ánh xạ chuẩn và phép cộng trong không gian định chuẩn, ta suy ra rằng  x cũng liên tục Đặt M = {  x : x ∈ E }, M trở thành một tập con của không gian C(E), nơi chứa các hàm liên tục trên E và nhận giá trị trong

2.1.1 Định nghĩa Hàm  : ER đ-ợc gọi là một dạng trên E nếu  là phần tử thuộc bao đóng của M trong C(E) đối với tôpô hội tụ điểm (xem Định nghĩa 1.3.3)

2.1.2 Nhận xét Hàm  : ER là một dạng trên E khi và chỉ khi tồn tại dãy suy rộng   x   I trong E sao cho 

(y) lim x I y , y E Chứng minh Giả sử  : ER là một dạng Khi đó, theo Định nghĩa 2.1.1,

 M (đối với tôpô hội tụ điểm trong C(E)) Điều này là t-ơng đ-ơng với tồn tại dãy suy rộng   x   I

Trong không gian M, hội tụ tới điểm  theo topo hội tụ điểm tương đương với việc tồn tại một dãy suy rộng \((x_\alpha)_{\alpha \in I}\) trong E, sao cho \((\tau x_\alpha(y))\) hội tụ tới \(\tau(y)\) với mỗi \(y \in E\) Điều này chứng tỏ rằng sự hội tụ của dãy suy rộng trong không gian E dẫn đến sự hội tụ tới điểm trong M.

2.1.3 Mệnh đề Giả sử E là không gian Banach và  : ER là hàm đã cho Khi đó, các điều kiện sau t-ơng đ-ơng

(ii) Với mỗi tập con hữu hạn F E và với mỗi  0 tồn tại phần tử x x(F, ) E sao cho (y) xy   y F ;

(iii) Tồn tại một dãy suy rộng bị chặn   x   I trong E sao cho

Chứng minh (i) => (ii) Giả sử  là một dạng trên E Khi đó, theo nhận xét 2.1.2, tồn tại   x   I trong E sao cho x  y (y),  y E (2)

Giả sử F là tập con hữu hạn trong E Khi đó, với mỗi  0 và với mỗi yFắt tồn tại  (y, )I sao cho

Vì I là tập định h-ớng nên tồn tại  0 I sao cho  0  (y, ) với mọi yF Khi đó, lấy x  x  0 ta cã x  y (y),  y F

Tập hợp T(E) bao gồm tất cả các tập con hữu hạn của E, trong khi R+ đại diện cho tất cả các số thực dương Định nghĩa I = T(E) x R+ cho phép chúng ta thiết lập mối quan hệ "≥" trên I.

Dễ dàng kiểm tra đ-ợc I với quan hệ này là một tập định h-ớng

Theo giả thiết, (ii) đ-ợc thỏa mãn Do đó, tồn tại dãy suy rộng

  x   I thỏa mãn (ii), trong đó  (F, ) I Để chứng minh (i) đ-ợc thoả mãn ta chỉ cần chứng tỏ x  y (y),  y E

Thật vậy, với mọi yE, với mỗi  0, lấy F    y  T(E) và đặt

    Khi đó, với mỗi  (G, ) I sao cho (G, ) (F, ) , ta có

FG và   Vì dãy suy rộng   x   I thoả mãn (ii) nên

Vì y F G và   nên ta có

Giả sử điều kiện (i) được thỏa mãn, theo Nhận xét 2.1.2, tồn tại một dãy suy rộng \( x_\alpha \) thuộc \( I \) trong \( E \) sao cho \( x_\beta - y \rightarrow \tau(y) \) với mọi \( y \in E \) Đặc biệt, khi \( y = 0 \in E \), ta có \( x_\beta \rightarrow \tau(0) \) Do đó, dãy suy rộng \( x_\beta \) thuộc \( I \) bị chặn, dẫn đến việc thỏa mãn điều kiện (iii).

Hiển nhiên, từ (iii) suy ra (i)

2.1.4 Định nghĩa Giả sử  : ER là một dạng trên không gian Banach E Khi đó, từ Mệnh đề 2.1.3 (iii) suy ra tồn tại dãy suy rộng bị chặn   x   I trong E sao cho 

Ta nói dãy   x   I sinh ra 

Các dạng trên không gian C(K) và cặp các hàm nửa liên tục

Trong bài viết này, chúng ta xem xét không gian Hausdorff K là compact Đã biết rằng C(K) là không gian Banach của các hàm liên tục nhận giá trị thực trên K với chuẩn sup Chúng ta sẽ nghiên cứu các tính chất của các dạng trên C(K), đặc biệt là mối quan hệ giữa các dạng trên K và các cặp hàm nửa liên tục Đầu tiên, chúng ta sẽ định nghĩa khái niệm về các cặp hàm nửa liên tục.

Cặp hàm (l, u) được định nghĩa là các hàm nửa liên tục trong không gian B(K), nơi B(K) là tập hợp các hàm thực bị chặn trên K.

– cặp nếu u là hàm nửa liên tục trên, l là hàm nửa liên tục d-ới trên K, lu và l(x) = u(x) nêu x là điểm cô lập trong K

Khi đó, u là hàm nửa liên tục trên, l là hàm nửa liên tục d-ới trên K; l(x)u(x) với mọi    

2 là điểm cô lập của K Vậy (l,u) là sc- cặp

2.2.3 Định nghĩa Giả sử   f   I là dãy suy rộng, bị chặn (theo chuẩn sup) trong C(K) Với mỗi I đặt

    l sup f C(K) : f inf f : , u inf f C(K) : f sup f : và

Theo Định lý 1.4.8 và 1.4.7 thì các hàm l  là nửa liên tục d-ới trên K còn các hàm u  và u là nửa liên tục trên trên K Theo 1.2.3 thì các hàm l ,l,u ,u   thuéc B(K)

2.2.4 Mệnh đề Giả sử   f   I là dãy suy rộng các hàm bị chặn trong C(K) và l ,l,u ,u   là các hàm đ-ợc xác định trong Định nghĩa 2.2.3 Khi đó

2) Với mỗi xK và mỗi  0 tồn tại  0  (x, )I sao cho với mỗi

3) Với mỗi I, xK, 0 và lân cận U của x tồn tại y U và   sao cho

4) Với mỗi I, xK, 0 và lân cận U của x tồn tại y U và   sao cho

Chứng minh Các khẳng định 1) và 2) đ-ợc suy ra từ Định nghĩa 2.2.3 và các tính chất của inf và sup

Bây giờ ta chứng minh 3)

Giả sử I, xK Đặt sl (x)  Cho U là một lân cận của x và

 0 Giả sử điều cần chứng minh trong 3) không đúng Khi đó, với mọi y U và mọi   ta có f (y)   s 

Ta có thể chọn đ-ợc gC(K) sao cho g f  với mọi   và g(x)l (x)     s  Do đó

        s l (x) ( f C(K) : f f với mọi )(x) g(x) s Đây là một điều mâu thuẩn Từ đó ta có điều cần chứng minh

Khẳng định 4) đ-ợc chứng minh t-ơng tự

Từ đây về sau ta giả sử I là tập định h-ớng và lực l-ợng của I bằng infimum của các lực l-ợng của các cơ sở tôpô của K

2.2.5 Bổ đề Giả sử   f   I là dãy suy rộng bị chặn trong C(K), l và u là các hàm đ-ợc xác định trong Định nghĩa 2.2.3, gC(K) và xK Khi đó

1) Tồn tại l-ới con i : I I và (x i( )   ) I trong K sao cho (x i( )   ) I hội tụ tới x và

2) Tồn tại l-ới con j : II và (x j ( )   ) I trong K sao cho (x j ( )   ) I hội tụ tới x và

Chứng minh rằng với mỗi  thuộc I, ta có thể đặt   =  - 1 Do mỗi  thuộc I chỉ có một số hữu hạn các phần tử của I đứng trước  và vô hạn các phần tử của I đứng sau , nên   được xác định một cách rõ ràng.

Giả sử (U )   I là hệ cở sở các lân cận mở của x sao cho  

Hơn nữa, từ tính liên tục của g ta có thể giả thiết    g(x) g(y)

Ta sẽ xây dựng(x i( )   ) I bằng quy nạp theo I

Cố định I và giả sử đã xác định đ-ợc các i( ) với tất cả các   Vì

    card I là hữu hạn (xem Định nghĩa 1.2) nên tồn tại  0 I sao cho

 ' 0  i( ) với mọi   Theo Mệnh đề 2.2.4.2 ta có thể chọn đ-ợc  0 I sao cho  0  0 ' và

Từ Mệnh đề 2.2.4.3) và 4) suy ra tồn tại i( )  0 , x i( )  U  và

Theo cách xây dựng i( ), j( )  ta thấy các ánh xạ i; I I

 là bảo tồn thứ tự và không kết thúc Do đó, i và j là 2 l-ới con của I còn i( ) I

(x   ) và (x j ( )   ) I là hai dãy suy rộng trong K Vì   U   I là cơ sở lân cận tại x, x i( )  và x j ( )  thuộc U  với mọi I nên (x i( )   ) I và (x j ( )   ) I hội tụ tới x Mặt khác từ i( ) i( ) i( ) f  (x  )g(x  )l(x)g(x)  , j ( ) j ( ) j ( ) f  (x  )g(x  )u(x)g(x) 

Từ các đẳng thức này và tính chất bị chặn của dãy   f i( )   I suy ra các dãy i( ) i( ) i( ) I j ( ) j ( ) j ( ) I

Dãy số (f α (x α ) + g(x α )) α ∈ là dãy số suy rộng bị chặn, do đó chúng có các dãy con hội tụ Để đơn giản hóa ký hiệu, ta có thể xem các dãy con này cũng có các chỉ số i(α), j(α) tương ứng Vậy tồn tại.

Giả sử dãy hàm \( f_\alpha \) thuộc \( I \) là dãy suy rộng bị chặn trong không gian \( C(K) \) với chuẩn sup Đặt \( l \) và \( u \) là các hàm được xác định theo Định nghĩa 2.2.3 Nếu tồn tại hàm \( g \) thuộc \( C(K) \) sao cho \( \alpha \) thỏa mãn điều kiện nào đó, thì

Chứng minh Đầu tiên, ta nhận thấy rằng, nếu (u,l) là sc- cặp thì với mỗi gC(K) đều có

Giả sử xK Theo Bổ đề 2.2.5, tồn tại ánh xạ i : II bảo tồn thứ tự, không kết thúc và dãy suy rộng (x i( )   ) I trong K hội tụ tới x sao cho

Từ x là điểm bất kỳ thuộc K suy ra

Kết hợp với (1) ta có

Bổ đề sau đây chứng tỏ bất đẳng thức ng-ợc lại trong Bổ đề 2.2.6 vẫn đúng

Giả sử dãy \( f_\alpha \) thuộc tập hợp \( I \) là dãy suy rộng bị chặn trong không gian \( C(K) \) với chuẩn sup Các hàm \( l \) và \( u \) được xác định theo Định nghĩa 2.2.3 Nếu tồn tại hàm \( g \) thuộc \( C(K) \) sao cho điều kiện nhất định được thỏa mãn, thì có thể rút ra những kết luận quan trọng về tính chất của dãy này.

I lim ( f g r Với mỗi I, chọn x  K và s   1 sao cho

Từ tính compact của K suy ra tồn tại ánh xạ bảo tồn thứ tự và không kế thúc i : I I và hằng số s  1 sao cho

I r lim ( f (x ) g(x )) Ta chia ra 2 tr-ờng hợp

Tr-ờng hợp 1 s = 1 cố định I Ta có

Bất đẳng thức cuối cùng đ-ợc suy ra từ j ( ) j ( ) j ( ) f  (x  )u (x   ) víi   j( ) và từ u  là nửa liên tục trên, g là liên tục trên K Theo Mệnh đề 2.2.4.2) ta có ru(x)g(x) u g

Tr-ờng hợp 2 s = -1 Lý luận t-ơng tự nh- đối với tr-ờng hợp 1 ta có r (l(x)g(x)) l g

Chúng ta cần định lý sau:

Định lý Edwards phát biểu rằng nếu U là hàm nửa liên tục trên K và L là hàm nửa liên tục d-ới trên K với điều kiện U ≤ L, thì tồn tại một hàm F liên tục trên K sao cho U ≤ F ≤ L.

2.2.9 Bổ đề Giả sử P là phủ mở hữu hạn của K và u : KR là hàm bị chặn Khi đó, hàm L : KR đ-ợc xác định bởi

L(y) sup u(z) : z P , y K là nửa liên tục d-ới và Lu

T-ơng tự, nếu l : KR là hàm bị chặn và U : KR đ-ợc xác định bởi

U(y) inf l(z) : z P , y K thì U nửa liên tục trên và Ul

Chứng minh Từ cách xác định L ta có y p,p P

Vì P hữu hạn nên chỉ có một số hữu hạn các tập dạng y p,p P P

Hàm L(y) là hợp của một số hữu hạn các tập đóng, do đó nó cũng là một tập đóng Theo Hệ quả 1.4.6, L là hàm nửa liên tục d-ới, và từ cách xác định L, ta có thể suy ra rằng L ≥ u.

Khẳng định còn lại đ-ợc chứng minh t-ơng tự

Dựa vào các Bổ đề và kết quả đã trình bày, chúng ta sẽ thiết lập mối quan hệ giữa các dạng trên C(K) và các cặp (l,u) thông qua các Mệnh đề sau.

2.2.10 Mệnh đề Nếu  là một dạng trên C(K) thì tồn tại sc- cặp (l,u) sao cho

Giả sử  là dạng trên C(K) và dãy f   I là dãy suy rộng bị chặn trong C(K) sinh ra  Chúng ta ký hiệu l và u là các hàm được xác định theo định nghĩa 2.2.3.

Chúng ta sẽ chứng minh rằng (l, u) là một cặp sc Theo Định nghĩa 2.2.3, l là nửa liên tục dưới và u là nửa liên tục trên trong K với điều kiện l ≤ u Giả sử x là điểm co lập trong K Áp dụng Mệnh đề 2.2.4.3)-4) cho U = {x}, chúng ta có thể tiếp tục phân tích.

I I lim inf f (x) l(x) u(x) lim sup f (x) (2) Đặt r 3 sup  f (x) :  I  và xác định hàm g : KR bởi công thức

Vì x là điểm cô lập nên g liên tục trên K, tức là gC(K)

(g) lim f g lim f (x) r Điều này chứng tỏ tồn tại  lim f (x) I Kết hợp với Bất đẳng thức (2) ta có l(x) = u(x) Do đó (L,u) là sc –cặp Theo Bổ đề 2.2.6 và 2.2.7 ta có

2.2.11 Mệnh đề Nếu (l,u) là sc- cặp thì hàm  : C(K)Rxác định bởi

(g)max ( lg , ug ), gC(K) (1) là một dạng trên C(K)

Giả sử (l,u) là cặp sc trên K và τ được xác định bởi (1) Chúng ta sẽ sử dụng Mệnh đề 2.1.3 để chứng minh rằng τ là một dạng trên C(K) Để thực hiện điều này, cần chứng minh rằng với mỗi n ∈ N và g₁, g₂, , gₙ ∈ C(K), cũng như với mỗi ε > 0, tồn tại F ∈ C(K) sao cho τ(gᵢ) - F + gᵢ ≤ ε với mọi i = 1,…,n.

Cố định g , g g 1 2 n và  0 Chọn phủ mở hữu hạn P của K sao cho tất cả các V  P, với mọi x, yV và với mọi i = 1,…n ta có

(Vì các hàm g , g g 1 2 n liên tục trên tập compact K nên chúng liên tục đều, dó đó phủ P là tồn tại)

Ta xác định các hàm L, U : KR bởi các công thức

Theo Bổ đề 2.2.9, hàm L nửa liên tục từ dưới và hàm U nửa liên tục từ trên trên tập K Theo Định lý 2.2.8, tồn tại hàm f thuộc C(K) sao cho U ≤ f ≤ L Sử dụng (1) trong chứng minh Bổ đề 2.2.6, có thể chọn tập hữu hạn S thuộc K sao cho với mọi i từ 1 đến n, ta có max {l + g, u_i + g_i} = max {- (l(z) + g(z)), u(z)_i + g(z) : z_i thuộc S}.

Ta viết S   z , z p p , trong đó p,qZ, p 0 q, các điểm   z j q j p  đôi một rời nhau và z j là điểm cô lập trong K khi và chỉ khi p j 0

Với mỗi j0,1, q chọn các tập rời nhau j

Hơn nữa, có thể giả thiết rằng với mọi k0,1, 2q 1, và với mọi x, yV k ta cã

Theo Bổ đề Urysohn có thể chọn d-ợc các hàm lên tục f , , f p 2q 1  thoả mãn các điều kiện:

Với mọi j p, p1, , chọn f j sao cho f j K\ z   j 0 và f (z ) j j u(z ) j  f (z ) j l(z ) j  f (z ) j

Với mỗi j0, ,q chọn f 2 j 0 và f 2 j 1  0 sao cho

   Chúng ta sẽ chứng minh rằng

  i  i      i    i  i    max l g , u g F g max l g , u g Đầu tiên, ta chứng minh bất đẳng thức bên phải

Lấy i   1,2, ,n  và cố định i Với mỗi xK ta có

Ta chia ra các tr-ờng hợp sau:

Tr-ờng hợp 1 x   z , , z p  1    ( 2q 1 k 0   V ) k Khi đó, F(x) = f(x) Chúng ta có thể chọn 1 2 x V,V P y , y V

  sao cho l(y ) 1 u(x) và u(y ) 2 L(x) Việc chọn y , y 1 2 thực hiện đ-ợc bởi vì l nửa liên tục d-ới (t-ơng ứng u nửa liên tục trên) và các xác định U (t-ơng ứng L)

Tr-ờng hợp 2 xz i với j nào đó thuộc  p, p  1, , 1   Khi đó

Tồn tại y 1 V 2 j sao cho f (y ) 2 j 1 L(z ) j  f (z ) j (vì f 2 j L(z ) j  f (z ) j ) Hơn nữa ( tồn tại 2 x V,V P y V

(Trong bất đẳng thức cuối cùng, ta đã sử dụng 2 bất đẳng thức f (x) f (z ) j

Tr-ơng hợp 4 xV 2 j 1  với j   0,1, ,q  Tr-ờng hợp này đ-ợc chứng minh t-ơng tự nh- tr-ờng hợp 3

Kết hợp các tr-ờng hợp từ 1 đến 4 ta có

Bây giờ ta chứng minh

Cố định i   1, ,n  theo cách xây dựng S ắt tồn tại zS sao cho

Với z đã chọn, xảy ra 2 tr-ờng hợp sau

Tr-ờng hợp 1 zz j với j   p, , 1   Khi đó, j i j j i j j i j u(z )g (z )l(z )g (z )F(z )g (z )

Tr-ờng hợp 2 zz j với j   0,1, ,q  Khi đó tồn tại

Giả sử (l, u) và (l, u) là hai cặp sc, với τ1 và τ2 là hai dạng trên C(K) được xác định bởi các cặp (l, u) nhờ công thức trong mệnh đề 2.2.10 Khi đó, các điều kiện tương đương sẽ được áp dụng.

Bây giờ ta chứng minh 1) =>2) Ta chia ra 2 tr-ờng hợp sau

Trong trường hợp \( u_1 \neq u_2 \), tồn tại \( x \in K \) sao cho \( u(x)_1 \neq u(x)_2 \) Giả thiết mà không mất tính tổng quát là \( u(x)_1 > u(x)_2 \), dẫn đến tồn tại \( \epsilon > 0 \) sao cho \( u(x)_1 > u(x)_2 + 2\epsilon \) Đặt \( U = \{ y \in K : u(y)_2 < u(x)_2 + \epsilon \} \), do \( u_2 \) nửa liên tục nên \( U \) là lân cận của \( x \) Theo Bổ đề Urysohn, tồn tại \( g_0 \in C(K) \) với \( g_0 = 2r \) sao cho \( g_0|_{K \setminus U} = 0 \) và \( g_0 = 2r \), trong đó \( r = \max \{ u_1, u_2 \} \) Đặt \( s = \max \{ l_1, l_2 \} \), từ đó với \( i = 1, 2 \) ta có \( u_{i_0} + (r + s)e + g \geq l_{i_0} + (r + s)e + g \).

Trong đó e : K R với e(x)1 với mọi xK

Do đó với i = 1, 2 ta có

Bất đẳng thức này mâu thuẫn với (a)

Tr-ờng hợp 2 l 1 l 2 Chứng minh t-ơng tự nh- tr-ờng hợp 1, ta cũng có ®iÒu m©u thuÉn

Kết hợp ba Mệnh đề 2.2.10, 2.2.11 và 2.2.12 ta có định lý sau nói lên mối quan hệ giữa dạng trên C(K) và cặp các hàm nửa liên tục trên K

2.2.13 Định lý 1) Nếu  là một dạng trên K thì tồn tại sc – cặp (l,u) sao cho  (g)  max  l  g , u  g  , g  C(K) ; (1)

2) Nếu (l,u) là sc – cặp trên K thì hàm  xác định bởi (1) là một dạng trên C(K)

3) Sự t-ơng ứng giữa các dạng trên K và sc – cặp là một song ánh

Luận văn đã đạt đ-ợc các kết quả chính sau đây: