Các khái niệm cơ bản
Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu các khái niệm quan trọng về không gian tôpô, bao gồm cơ sở của không gian tôpô, không gian khả ly, không gian compact, không gian compact địa phương, cùng với các tiên đề tách và kiến thức bổ trợ liên quan, được trích dẫn từ các tài liệu [1] và [5].
Hàm số ρ : X×X → R được gọi là metric trên tập X nếu nó thỏa mãn bốn điều kiện: (i) ρ(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X; (ii) ρ(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y; (iii) ρ(x, y) = ρ(y, x) với mọi x, y ∈ X; và (iv) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) với mọi x, y, z ∈ X Khi ρ là một metric trên X, cặp (ρ, X) được gọi là một không gian metric.
Tập hợp X khác rỗng cùng với họ các tập con T được gọi là một không gian tôpô nếu T thoả mãn các điều kiện sau: (i) ∅ và X là các tập thuộc T; (ii) hợp của bất kỳ họ nào các tập thuộc T cũng là một tập thuộc T; và (iii) giao của một họ hữu hạn các tập thuộc T cũng là một tập thuộc T.
Tập A được định nghĩa là một tập con của không gian tôpô X, với các khái niệm quan trọng như sau: a) Tập A được gọi là tập mở trong X nếu với mỗi điểm x thuộc A, tồn tại một hình cầu mở S(x, r) chứa x và hoàn toàn nằm trong A b) Tập A được xem là tập đóng trong X nếu phần bù X\A là một tập mở c) Tập A được coi là lân cận của điểm x trong X nếu trong A có một tập mở chứa điểm x.
Trong không gian tôpô X, mỗi điểm x ∈ X có một họ tất cả các lân cận được ký hiệu là U x Cơ sở lân cận của điểm x, ký hiệu B(x), là tập hợp các tập con của X thỏa mãn điều kiện rằng với mọi lân cận U ∈ U x, luôn tồn tại một lân cận V ∈ B(x) sao cho x thuộc V và V nằm trong U.
B được định nghĩa là một cơ sở của không gian tôpô X nếu nó là một tập hợp các tập mở thuộc không gian tôpô X, tức B ⊂ T Điều này có nghĩa là mọi tập mở trong X có thể được biểu diễn dưới dạng hợp của một số tập thuộc B.
1.1.6 Định nghĩa ([1]) Cho không gian tôpô (X,T) Họ σ các tập con của X được gọi là tiền cơ sở của tôpô T trên tập hợp X nếu X = [
S và họ tất cả các giao hữu hạn của các phần tử của σ lập thành một cơ sở của T
1.1.7 Định lý ([5]) Họ B các tập là cơ sở của tôpô nào đó trên tập
{B : B ∈ B} khi và chỉ khi đối với hai phần tử bất kỳ U và V của họ B và mỗi điểm x ∈ U ∩V, tồn tại phần tử W trong B sao cho x ∈ W và W ⊂U ∩V.
1.1.8 Định nghĩa ([1]) Giả sử A là một tập con của không gian tôpô
X Khi đó A được gọi là tập trù mật trong X nếu bao đóng của A (giao của họ tất cả các tập hợp đóng chứa A) là tập X.
Tập con A của không gian tôpô X được coi là trù mật trong X nếu và chỉ nếu mọi tập mở khác rỗng trong X đều có điểm chung với A.
1.1.10 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X được gọi là khả ly nếu nó có một tập con đếm được trù mật trong X.
1.1.11 Định lý ([5]) Nếu không gian tôpô X có một cơ sở đếm được, thì không gian X khả ly.
1.1.12 Định nghĩa ([1], [5]) Giả sử X là một không gian tôpô Khi đó
X là T 1 - không gian nếu với mọi x, y ∈ X, x 6= y, tồn tại lân cận U của điểm x, lân cận V của điểm y sao cho x /∈ V và y /∈ U.
1.1.13 Định lý ([1]) Không gian tôpô X là T 1 - không gian khi và chỉ khi mỗi điểm x ∈ X là một tập đóng.
1.1.14 Định nghĩa ([5]) Không gian tôpô X gọi là T 2 - không gian hoặc không gian Hausdorff nếu với mọi x, y ∈ X, x 6= y, tồn tại lân cận U của điểm x, V của điểm y sao cho U∩ V = φ.
Một phủ của tập con A thuộc tập X là một tập hợp các tập con của X, trong đó hợp của chúng bao gồm A Nếu một phủ con của một phủ A cũng là một tập hợp con của phủ đó và vẫn bao phủ A, thì nó được gọi là phủ con của phủ A.
Giả sử A là một tập con của không gian tôpô X Một phủ mở của A được định nghĩa là một tập hợp các phần tử, trong đó tất cả đều là các tập con mở (T-mở) trong không gian tôpô X.
Không gian tôpô X được gọi là compact nếu mỗi phủ mở của X đều có một phủ con hữu hạn Cụ thể, với mỗi phủ {U_s} (s ∈ S) của X, tồn tại một tập con hữu hạn S₀ = {s₁, s₂, , sₖ} ⊂ S sao cho X được bao phủ bởi các tập U₁, U₂, , Uₖ.
Tập con A của không gian tôpô X là compact nếu không gian con A của X là không gian compact, tức là A không gian compact với tôpô cảm sinh.
1.1.17 Định lý ([5]) Tập con A của không gian tôpô X là compact khi và chỉ khi mỗi phủ mở của A đều có một phủ con hữu hạn.
1.1.18 Định lý ([5]) Không gian tôpô X là compact khi và chỉ khi mỗi họ các tập đóng có tính giao hữu hạn đều có giao khác rỗng.
Chứng minh Nếu U là họ các tập con của không gian tôpô X, thì theo công thức Đơ Moocgăng X\S
{X\A : A ∈ U} Do đó, U là một phủ của không gian tôpô X khi và chỉ khi T
Không gian tôpô X là compact khi và chỉ khi mỗi họ các tập mở của nó thỏa mãn điều kiện: mỗi họ con bất kỳ của nó không phủ X, chính nó cũng không phủ X Điều này có nghĩa là với mỗi họ con {V s } s∈S của họ V, luôn tồn tại một phần tử s thuộc S sao cho X không nằm trong phần bù của V s, tức là X\[ s∈S V s ≠ X.
{X\A : A ∈ V} 6= φ Những đòi hỏi này tương đương với đòi hỏi rằng, mỗi họ các tập đóng có tính giao hữu hạn thì khác rỗng.
Định lý Alexandroff (1.1.19) khẳng định rằng nếu σ là tiền cơ sở của tôpô không gian X, và mỗi phủ của X bằng các phần tử của σ có phủ con hữu hạn, thì không gian X được coi là compact.
Để chứng minh, ta định nghĩa một họ các tập con của không gian X là không đầy đủ nếu nó không phủ toàn bộ không gian X Họ này được gọi là không đầy đủ hữu hạn khi bất kỳ họ con hữu hạn nào của nó cũng không thể phủ X.
Điều kiện compact có thể được diễn đạt rằng mỗi họ không đầy đủ hữu hạn các tập con mở của không gian là một họ không đầy đủ Lớp các họ không đầy đủ hữu hạn các tập mở có đặc trưng hữu hạn, vì vậy mỗi họ không đầy đủ hữu hạn đều có thể được chứa trong một họ tối đại nào đó.
Mỗi họ không đầy đủ hữu hạn tối đại U có tính chất đặc biệt: nếu C là tập mở trong X và C thuộc U, thì do tính chất tối đại của U, tồn tại họ con hữu hạn A 1, , A m của U sao cho C ∪ A 1 ∪ ∪ A m = X Điều này dẫn đến bất kỳ tập mở nào chứa C đều không thuộc U Giả sử ngược lại có tập mở C 0 sao cho C ⊂ C 0 và C 0 thuộc U, thì sẽ tồn tại tập A thuộc U sao cho C 0 = A, điều này mâu thuẫn với tính chất của U là họ đầy đủ hữu hạn.
Nếu D là tập mở khác không thuộc U, thì trong U tồn tại các tập hợp
Định lý Matheron cổ điển
Chúng tôi sẽ trình bày quá trình xây dựng tôpô miss-and-hit trong không gian F các tập con đóng của không gian tôpô E, đồng thời cung cấp chứng minh chi tiết cho Định lý Matheron cổ điển.
Trước hết ta có các kết quả sau
Giả sử E là một không gian compact địa phương, Hausdorff và khả ly Trong trường hợp này, với bất kỳ tập hợp compact K ⊂ E, luôn tồn tại một dãy các tập mở giảm trong E.
Trong không gian E, với bất kỳ tập mở G ⊃ K, tồn tại một tập con G n ⊂ G thỏa mãn điều kiện n đủ lớn Đối với bất kỳ tập đóng F và tập compact K rời nhau, có thể tìm thấy hai tập mở G và G’ rời nhau sao cho G bao gồm F và G’ bao gồm K Ngoài ra, với bất kỳ tập mở G ⊂ E, có thể xây dựng một dãy tăng các tập mở, compact tương đối {B n} với B n ⊂ B n+1, sao cho G là hợp của tất cả các B n từ n=1 đến vô cùng.
B n Đặc biệt với tập compact K ⊂ G, ta có bao hàm thức K ⊂ G n với n đủ lớn. d) Tồn tại một họ đếm được B các tập mở trong E sao cho mỗi tập mở
G là hợp của một họ con của B Hơn nữa, có thể chọn B sao cho mỗi
B ∈ B là compact tương đối và mỗi tập mở G là hợp của các tập B ∈ B thoả mãn B ⊂ G.
1.2.2 Kí hiệu ([6]) Trong phần này ta ký hiệu F,K và G tương ứng là họ các tập con đóng, compact và mở trong không gian tôpô E Nghĩa là
Với mỗi tập con A ⊂ E, đặt
Khi đó, với mỗi {B i , i ∈ I} là lớp các tập con của E ta có các đẳng thức
F B i = F S i∈I B i và các bao hàm thức
F B i ⊂ F S i∈I B i Đặc biệt, K ∈ K và {G n }, n ∈ N là hệ cơ sở lân cận mở của tập compact
K, chúng ta có đẳng thức
Với mỗi tập K ∈ K và họ hữu hạn các tập G1 ,G2 , G n ∈ G, n ∈ N, đặt
Trên cơ sở xây dựng phép toán, chúng tôi trình bày không gian tôpô miss- and- hit các tập con đóng của không gian tôpô E.
1.2.3 Định lý ([4], [6]) Cho E là một không gian tôpô Ký hiệuF, K và G tương ứng là họ các tập con đóng, compact và mở trong không gian E Khi đó họ
{ F G K 1 ,G 2 , ,G n :K ∈ K, G 1 , G 2 , , G n ∈ G, n ∈ N} (1.2.2) xác định một cơ sở của tôpô T f trên không gian F và T f được gọi là tôpô miss - and - hit được sinh bởi hai họ F K , K ∈ K và F G , G ∈ G.
Chứng minh Để ý rằng, F G φ = F G và khi n = 0 thì (1.2.1) có dạng F K
Do vậy F K và F G với G ∈ G,K ∈ K thuộc vào hệ (1.2.2) Hơn nữa,
F φ = φ, φ ∈ G và F φ = F, φ ∈ K nên tập F và φ thuộc vào hệ (1.2.2). Khi đó {F K : K ∈ K} là hệ lân cận của tập φ và tập
{F G 1 ,G 2 , ,G n : G 1 ,G 2 , ,G n ∈ G, n ∈ N} là hệ cơ sở lân cận của phần tử
E ∈ F chứng tỏ rằng, với mỗi phần tử F ∈ F, tồn tại K ∈ K và G ∈ G sao cho F ∈ F G K Để chứng minh hệ (1.2.2) được xác định như phép toán ở công thức (1.2.1) là một cơ sở tôpô T f trên không gian F, theo Định lý 1.1.6, cần chỉ ra rằng với mọi U, V thuộc hệ (1.2.2) và với mọi F ∈ U ∩ V, tồn tại
Thật vậy, giả sử hai phần tử thuộc hệ (1.2.2) có dạng là
Với mỗi phần tử tuỳ ý F ∈ U ∩ V = F K
Khi đó với mỗi i = 1,2, , m, j = 1,2, , n ta có W i và W j 0 là các tập mở. Theo tính chất của phần trong, ta có
Rõ ràng tập W chứa phần tử Fvà thoã mãn F ∈ W ⊂ U ∩ V Theo Mệnh đề 1.2.1, tồn tại một tôpô T f trên không gian F.
1.2.4 Định lý ([4], [6]) Giả sử E là không gian compact địa phương, Hausdorff và khả ly Khi đó tôpô miss- and- hit trên không gian F là compact, Hausdorff và khả ly.
Chứng minh a) Đầu tiên ta sẽ chứng minh không gian F là compact.
Rõ ràng lớp các tập đóng ở trong không gian F là lớp đóng với hợp hữu hạn và giao vô hạn được cảm sinh bởi lớp
Theo Định lý 1.1.17, để chứng tỏ không gian F là compact, chúng ta cần chỉ ra rằng, lớp C thoã mãn tính giao hữu hạn.
Thật vậy, giả sử K i , i ∈ I, là họ các tập compact của K và G j , j ∈ J, là họ các tập mở của G thoã mãn ¡ T i∈I F K i ¢ T ¡ T j∈J F G j ¢
Do đó điều kiện (1.2.3) được viết lại là ¡ \ i∈I
Theo công thức (1.2.1) và tính chất giao tập hợp, phần giao giữa các tập hợp sẽ là rỗng nếu và chỉ nếu tồn tại một chỉ số i₀ ∈ I sao cho K i₀ ⊂ Ω Nếu giả sử điều ngược lại xảy ra, tức là
Xét tập đóng khác rỗng F = Ω C T ¡[ i∈I
F K Ω i = φ Như vậy, giả sử i 0 ∈ I là chỉ số sao cho
G j Vì K i 0 là tập compact nên tồn tại phủ mở hữu hạn
G j 1 ,G j 2 , ,G j n của tập compact K i 0 với chỉ số j 1 , j 2 , , j n ∈ J Khi đó
F là không gian compact Để chứng minh F là không gian Hausdorff, ta lấy hai phần tử khác nhau F và F 0 trong F, cùng với một điểm x thuộc F nhưng không thuộc F 0 Do E là không gian compact địa phương, tồn tại một tập mở B compact tương đối với x ∈ B và F 0 ∩ B = φ.
Nếu x thuộc vào một tập E compact địa phương, thì tồn tại một tập mở U chứa x và U là compact tương đối Tập F0 là tập đóng trong không gian E, do đó E\F0 là tập mở chứa x Điều này dẫn đến việc tồn tại một tập mở V chứa x sao cho V nằm trong E\F0.
B = U∩V là tập mở chứa điểm x nằm trong tập compact U, vì tập con đóng của tập compact là compact, suy ra tập B compact và B∩ F 0 = φ.
F ∈ F B và F 0 ∈ F B , nghĩa là F B ,F B tương ứng là lân cận của F và F 0 , đồng thời
Không gian F là không gian Hausdorff Để chứng minh F khả ly, chúng ta cần chỉ ra rằng tôpô T_f trên không gian F có một cơ sở đếm được Theo giả thiết, không gian E là compact địa phương, Hausdorff và khả ly Theo Mệnh đề 1.2.1, tồn tại một cơ sở tôpô đếm được B của E, trong đó mỗi B ∈ B đều là tập mở compact tương đối, tức là B vừa mở vừa compact.
G∈ G là hợp các tập B ∈ B sao cho B ⊂ G.
Giả sử, ký hiệu F b là lớp các tập con của không gian F có biểu diễn
F b bao gồm các phần tử B 1, B 2, , B n và B 0 1, B 0 2, , B 0 k, trong đó tất cả đều thuộc tập B, với n và k là các số tự nhiên Điều này cho thấy F b là một tập đếm được Để hoàn tất chứng minh, cần chỉ ra rằng F b là một cơ sở của không gian F với tôpô T f.
Lấy phần tử tuỳ ý F ∈ F có lân cận F G K 1 ,G 2 , ,G n , trong đó K ∈ K,G 1 ,G 2 , ,G n ∈ G, n ∈ N Khi đó luôn tồn tại V ∈ F b sao cho
Thật vậy, nếu F = φ, chúng ta có n = 0 và có thể chọn một phần tử
B ∈ B sao cho K ⊂ B Đặt V = F B ∈ F b , khi đó phần tử F ∈ F B ⊂ F K Nếu F 6= φ, với mỗi i = 1,2, , n ta lấy một điểm x i ∈ FT
G i và một tập mở B i ∈ B sao cho x i ∈ B i ⊂B i ⊂ G i \
Vì tập K compact, tồn tại một phủ con hữu hạn ©
B 0 j ∈ B, với mọi j = 1,2, , k và với mỗi j = 1,2, , k ta có
Do đó F là không gian khả ly.
VỀ ĐỊNH LÝ MATHERON CHO KHÔNG GIAN TÔPÔ
Chương 2 của bài viết sẽ trình bày việc mở rộng Định lý Matheron cho không gian tôpô E không hoàn toàn đáp ứng các giả thiết như trong trường hợp cổ điển Chúng tôi sẽ cung cấp các ví dụ minh họa cho sự tồn tại của định lý cũng như phản ví dụ để chỉ ra những kết quả không còn đúng.
2.1 Mở rộng Định lý Matheron cho không gian tôpô
2.1.1 Định lý ([4], [7]) Nếu E là một không gian tôpô Hausdorff và khả ly, thì tôpô miss - and - hit trên không gian F là khả ly.
Để chứng minh rằng F là không gian khả ly, cần chỉ ra rằng trên không gian F tồn tại một cơ sở tôpô đếm được.
Trong không gian E, tồn tại một tập con A đếm được và trù mật Nếu A được định nghĩa là tập hợp tất cả các tập con hữu hạn của nó, thì do tập hợp các tập con hữu hạn của một tập đếm được cũng là đếm được, ta có thể kết luận rằng tập A cũng là một tập đếm được.
Với mỗi phần tử F ∈ F, giả sử F G K 1 ,G 2 , ,G n là một lân cận nào đó của
F theo tôpô miss - and - hit trên không gian F Do K là một tập con compact của không gian E Hausdorff, theo Định lý 1.1.15 ta có K là một tập đóng Suy ra G i \K = G i T
K C là một tập mở khác rỗng.
Vì A là tập trù mật trong E, nên với mỗi chỉ số i = 1,2, , n ta chọn được điểm x i ∈ AT
Suy ra F 0 ∈ F G K 1 ,G 2 , ,G n Rõ ràng F 0 là một tập hữu hạn, nên F 0 ∈ A, trong đó A là tập đếm được, kết hợp với Định lý 1.2.3, ta có
{F G K 1 ,G 2 , ,G n ,K ∈ K,G1 ,G2 , ,G n ∈ G, n ∈ N} là một cơ sở tôpô đếm được Do đó F là không gian khả ly.
2.1.2 Định lý ([4], [7]) Giả sử E là không gian tôpô Khi đó tôpô miss - and - hit trên không gian F là compact.
Chứng minh Theo Định lý1.1.18(Alexandroff), để chứng minh tôpô miss
- and hit trên không gian F là compact, chúng ta cần chỉ ra rằng nếu
Trong không gian F, nếu {F G j , G j ∈ G, j ∈ J} là một phủ mở của F với các phần tử thuộc tiền cơ sở của tôpô miss - and - hit, thì tồn tại một phủ con hữu hạn Điều này được chứng minh qua các lý lẽ cụ thể.
, (2.1.1) trong đó K i ∈ K, với mọi i ∈ I và G i ∈ G, với mọi j ∈ J. Đặt Ω = [ j∈J
G j , nó là một tập mở Khi đó, đẳng thức (2.1.1) được viết lại φ = ¡ \ i∈I
Do đó tồn tại chỉ số i 0 ∈ I sao cho K i 0 ⊂ Ω Thật vậy, giả sử ngược lại không tồn tại chỉ số i 0 nào để K i 0 ⊂ Ω, khi đó với mọi i ∈ I ta có
T(E\ Ω) 6= φ Mặt khác ta lại có (E \Ω)T
Ω = φ và E \Ω là tập đóng Do đó E \ Ω ∈ \ i∈I
F K Ω i , mâu thuẫn với giả thiết (2.1.2) Bởi vậy
Vì K i 0 là compact, tồn tại một phủ mở hữu hạn{G j 1 ,G j 2 , ,G j n } củaK i 0 sao cho K i 0 ∈
G j k , trong đó các chỉ số j 1 , j 2 , , j n ∈ J Khi đó
F G jn = φ (2.1.3) Đẳng thức (2.1.3) tương đương với
Do đó F là không gian compact.
2.1.3 Định lý ([4], [7]) Giả sử E là không gian tôpô Khi đó không gian
F với tôpô miss - and - hit là T 1 - không gian.
Chứng minh rằng, với hai phần tử tuỳ ý F1 và F2 trong tập F, với F1 khác F2, tồn tại lân cận của F1 mà không chứa F2 Nếu tập F2 \ F1 là rỗng, thì F1 sẽ là một phần tử độc lập trong không gian lân cận.
Suy ra F E\F φ 2 là lân cận của phần tử F1 nhưng không chứa phần tử F2. Ngược lại F2 \F1 là một tập khác rỗng, tồn tại một điểm x ∈ F2 \F1 Khi đó chúng ta có
Nghĩa là tập F E {x} lân cận của phần tử F 1 nhưng không chứa phần tử F 2
Do đó tôpô miss - and - hit trên không gian F là T 1 - không gian.
2.1.4 Định lý ([7]) Nếu E là T 1 - không gian và có một điểm không compact địa phương, thì tôpô miss - and - hit trên không gian F không phải là Hausdorff.
Để chứng minh không gian F không phải là Hausdorff, cần chỉ ra sự tồn tại của hai phần tử trong không gian F sao cho mọi lân cận của chúng có giao khác rỗng Cụ thể, do không gian E có một điểm không compact địa phương, giả sử là điểm x₀ ∈ E, tức là tại x₀ không có một lân cận compact nào.
Một số ví dụ
2.2.1 Ví dụ ([4]) Cho E là một tập khác rỗng Đặt
T = © φ,E, φ 6= U ⊂E : E \U là một tập hữu hạn ê
Tôpô Zariski trên tập không đếm được E tạo ra một không gian compact và khả ly, nhưng không thỏa mãn tính Hausdorff.
Chứng minh i) Để chứng minh T là một tôpô trên E chúng ta kiểm tra các tiêu chuẩn tôpô Thật vậy, ta có tập φ và E thuộc T.
Nếu U 1 ,U 2 ∈ T, thì E\U 1 và E\U 2 hữu hạn, kéo theo
U 2 ) là tập hữu hạn Do đó U 1 T
Nếu {U t } t∈T là một họ những tập con của E thuộc T Khi đó ta có [ t∈T
U 1 ∈ T nào đó Khi đó xảy ra hai khả năng:
Tập E là một tôpô trong không gian T Để chứng minh rằng không gian E là khả ly, giả sử A là một tập con vô hạn đếm được của X Khi đó, E\A trở thành một tập mở và thuộc T Theo định nghĩa tôpô Zariski, E\A có thể là tập rỗng hoặc có phần bù hữu hạn.
= A, do đó nếu C E (E\A) hữu hạn, thìA hữu hạn mâu thuẫn với A vô hạn Vậy E\A = φ, nghĩa là A = E.
Do đó E là không gian khả ly.
Tiếp theo ta chứng minh không gian E là compact Giả sử {U i } i∈I là một phủ mở của E và U 0 là một tập không rỗng thuộc phủ này Vì vậy
E\U 0 là một tập hữu hạn có biểu diễn
Với mỗi j = 1,2, , n tồn tại một tập U i j thuộc phủ sao cho p i j ∈ U i j
Do đó E là không gian compact.
Cuối cùng, chúng ta sẽ chứng minh rằng không gian E không phải là không gian Hausdorff Giả sử ngược lại, nếu không gian E là Hausdorff, thì với hai điểm phân biệt a và b thuộc E, sẽ tồn tại các lân cận mở U chứa điểm a và lân cận mở V chứa điểm b sao cho U và V không giao nhau.
(E\V) mâu thuẫn, bởi vì vế trái là tập vô hạn và vế phải hữu hạn (vế phải là hợp của hai tập hữu hạn).
Do đó E không phải là không gian Hausdorff.
Trong không gian tôpô E với tôpô Zariski T như đã nêu trong Ví dụ 2.2.1, nếu E là một tập không đếm được, thì tôpô miss-and-hit trên không gian F sẽ là Hausdorff nhưng không khả ly.
Để chứng minh tôpô miss - and - hit trên không gian F không khả ly, chúng ta bắt đầu bằng việc xem xét một tập con đếm được ∆ của không gian F Mục tiêu là chỉ ra rằng tập ∆ không trù mật trong không gian F Cụ thể, chúng ta sẽ thiết lập các điều kiện cần thiết để chứng minh tính chất này.
Mỗi tập hợp F thuộc ∆ và khác E đều là một tập hữu hạn Vì F nằm trong không gian các tập con đóng của không gian tôpô E, nên F là tập đóng Do đó, E \ F trở thành tập mở, dẫn đến E \ F thuộc T E Từ định nghĩa của tôpô T E, ta có thể rút ra các kết luận quan trọng về mối quan hệ giữa các tập hợp trong không gian tôpô này.
E\(E\F) là một tập hợp hữu hạn Bởi vì tất cả các tập con hữu hạn của một tập đếm được cũng là đếm được, nên R trở thành một tập con đếm được của tập không đếm được E Do đó, tồn tại ít nhất một điểm x thuộc E nhưng không thuộc R.
Mỗi tập con của E đều là compact, điều này có thể được minh chứng bằng cách giả sử A là một tập con của E Nếu {V α , α ∈ I} là một phủ mở của A, thì với bất kỳ chỉ số α 0 ∈ I nào, tập E\V 0 sẽ là một tập hữu hạn có biểu diễn.
Giả sử rằng trong tập E\V 0 các điểm x 1 , x 2 , , x k thuộc A, 1 ≤ k ≤ n.
Khi đó tồn tại lân cận mở V x i của điểm x i , với i = 1,2, , k sao cho
Suy ra A là tập compact, kéo theo tập R cũng compact Bởi vậy F E R là một lân cận của {x} và ∆T
F E R = φ, điều đó có nghĩa ∆ là một tập không trù mật trong không gian F.
Do đó không gian F không khả ly. b) Tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh không gian F là Hausdorff.
Lấy hai phần tử tuỳ ý F,F 0 ∈ F,F 6= F 0 vừa là tập mở, vừa là tập compact Nếu F ⊂F 0 , đặt
Khi đó F G K là lân cận của F, F G K 0 là lân cận của F 0 và
Khi đó F G K là lân cận của F, F G K 0 là lân cận của F 0 Thực hiện phép toán giao như trên, ta có
Nếu F* F 0 và F 0 * F, chúng ta chọn
Khi đó ta cũng có F G K là lân cận của F, F G K 0 là lân cận của F 0 và giao
Do đó F là không gian Hausdorff.
Trong Ví dụ 2.2.1, không gian E được xác định là compact, khả ly và không Hausdorff Ngược lại, không gian F với tôpô miss-and-hit lại có tính Hausdorff nhưng không khả ly Điều này cho thấy giả thiết E là không gian Hausdorff trong Định lý 1.2.4 chỉ là điều kiện đủ để đảm bảo rằng không gian F cũng có tính Hausdorff.
Giả sử X là tập hợp các số tự nhiên, và Φ là họ các tập con A của X thỏa mãn điều kiện tồn tại tập con hữu hạn α ⊂ A, sao cho mỗi phần tử a ∈ A có thể được biểu diễn dưới dạng a = mp, với m ∈ α và p ∈ P∪ {1}, trong đó P là tập hợp các số nguyên tố Tập α được coi là một tập sinh hữu hạn của A Do đó, Φ trở thành họ các tập con đóng của một tôpô trên X, trong đó X với tôpô rời rạc là một không gian T1 và compact Tuy nhiên, không gian Φ với tôpô miss-and-hit không phải là Hausdorff.
Chứng minh Đầu tiên chúng ta chứng minh Φ là họ các tập con đóng của một tôpô trên X.
Nếu A là một tập con hữu hạn của X, thì A thuộc về tập hợp rỗng Φ Cụ thể, khi chọn α = A là một tập con hữu hạn của A, mỗi phần tử a trong A đều có thể được biểu diễn dưới dạng a = a.1.
Nếu hai tập A,B ∈ Φ, thì AS
B ∈ Φ Thật vậy, giả sử α, β lần lượt là tập sinh hữu hạn của A,B Khi đó, tập AS
B có tập sinh hữu hạn là α∪β, vì với mỗi a ∈ AS
B chỉ xảy ra một trong hai trường hợp:
Trường hợp 1 Giả sử a ∈ A luôn có biễu diễn a = mp, trong đó m ∈ α ⊂ α∪β, p là số nguyên tố kể cả phần tử {1}.
Trường hợp 2 giả định rằng a ∈ B có thể được biểu diễn dưới dạng a = np, với n thuộc β, một tập con của α∪β, và p là số nguyên tố, bao gồm cả phần tử {1} Điều này dẫn đến việc chứng minh rằng Φ là một họ các tập con đóng của một tôpô.
X, chúng ta cần chỉ ra rằng với mỗi họ {A i } i∈I ⊂ Φ, ta có \ i∈I
Thật vậy, giả sử α i là tập sinh hữu hạn của A i , i ∈ I Lấy một tập sinh tuỳ ý giả sử α i 1 , i 1 ∈ I Khi đó có ba trường hợp sau xảy ra:
Trường hợp a) α i 1 ⊂ α i với mọi i ∈ I\ {i 1 } Khi đó \ i∈I
A i ∈ Φ vì có tập sinh hữu hạn là α i 1 Thật vậy, lấy phần tử tuỳ ý a ∈ \ i∈I
A i , kéo theo a ∈ A i 1 , nghĩa là a = mp, trong đó m ∈ α i 1 , p là số nguyên tố kể cả phần tử {1}.
Trường hợp b) Tồn tại i ∈ I sao cho α i 1 ∩α i = φ Khi đó A i 1 T
Thật vậy, giả sử ngược lại tồn tại a ∈ A i 1 ∩A i có biểu diễn a = mp = nq, (2.2.1) trong đó m ∈ α i 1 , n ∈ α i , p và q là các số nguyên tố kể cả phần tử {1}.
Từ đẳng thức (2.2.1) suy ra m.p chia hết cho n, nhưng p là số nguyên tố kể cả phần tử {1} do đó m chia hết cho n.
Lập luận tương tự ta cũng có n chia hết cho m, do đó m = n mâu thuẫn α i 1 ∩α i = φ Suy ra \ i∈I
Trường hợp c) Khác với trường hợp a), b) Khi đó chọn i 2 ∈ I sao cho φ 6= α i 1 \ α i 2 6= α i 1
Chọn i 3 ∈ I sao cho φ 6= α i 1 \ α i 2 \ α i 3 6= α i 1 \ α i 2 và tiếp tục quá trình cho đến khi không còn tập sinh hữu hạn nào có giao tập con thực sự khác rỗng Khi đó, ta có dãy giảm các tập hữu hạn như α i 1, α i 1 \ α i 2, α i 1 \ α i 2 \ α i 3, và sau k bước, sẽ xảy ra một trong hai trường hợp.
T α i k 6= φvà với mỗii /∈ {i 1 , i 2 , , i k } ta có α i 1 \ α i 2 \
T α i k 6= φ và tồn tại chỉ số i ∈ I sao cho α i 1 \ α i 2 \
Giả sử trường hợp 1) xảy ra, đặt α 0 [ k j=1 α i j và
{1}, p là ước của phần tử a nào đó, a ∈ α 0 ,
P là tập các số nguyên tố}.
Vì mỗi tập sinh của A là hữu hạn, nên α 0 [ k j=1 α i j cũng là tập hữu hạn.
Do đó B là một tập hữu hạn Với bất kỳ a ∈ ¡ \ i∈I
\B, ta có a = m 1 p 1 = m 2 p 2 = = m k p k , trong đó m j ∈ α i j , p j là số nguyên tố và p s không là ước của m t nếut 6= s.
Vì vậy p 1 = p 2 = = p k = p và m 1 = m 2 = = m k = m, kéo theo với mọi a ∈ ¡ \ i∈I
\B luôn có biểu diễn a = mp Điều này chứng tỏ tập ¡ \ i∈I
\B có một tập sinh hữu hạn là
A i có một tập sinh hữu hạn là à
Giả sử trường hợp 2) xảy ra, ta ký hiệu
B = {mp : m ∈ α 0 , p ∈ P ∪ {1}, p là ước của phần tử a nào đó, a ∈ α 0 ,
P là tập các số nguyên tố}.
\B, ta có a = mp = nq, trong đó m ∈
\ k j=1 α i j , n ∈ α i , p và q là các số nguyên tố Vì a /∈ B, nên p6= q và p là ước của n Mặt khác α i và B là các tập hữu hạn Do đó tập ¡ \ i∈I
\ k j=1 α i j , p ước của n} hữu hạn, kéo theo
B cũng là một tập hữu hạn Suy ra \ i∈I
Mỗi tập con hữu hạn của không gian X là tập đóng, dẫn đến tập một điểm {x} của X cũng là tập đóng Theo Định lý 1.1.12, điều này chứng minh rằng X là không gian T1.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh không gian X là compact Thật vậy, giả sử
{G i } i∈I là một phủ mở tuỳ ý của không gian X Với mỗi i ∈ I, đặt
Khi đó A i là một tập đóng, giả sử có tập sinh hữu hạn α i
Nếu \ i∈I α i 6= φ, theo lý luận trường hợp c) ta có \ i∈I
A i 6= φ mâu thuẫn với giả thuyết {G i } i∈I là một phủ mở của không gian X Do đó \ i∈I α i = φ.
Vì α i là một tập hữu hạn nên tồn tại các chỉ số {i 1 , i 2 , , i k } ⊂ I sao cho
\ k j=1 α i j = φ Theo trường hợp 2), ta có
G i j là một tập hữu hạn Suy ra {G i } i∈I có một phủ con hữu hạn là ẵ\ k j=1
Do đó X là không gian compact. Để hoàn thành chứng minh, ta cần chỉ ra rằng tôpô miss - and - hit trên không gian Φ không phải là Hausdorff.
Trước hết, ta đưa ra hai kết quả sau đây:
1) Với mỗi tập compact K 6= X và k ∈ N, tồn tại x /∈ K sao cho λ(x) > k, trong đó λ(x) là số các ước số của phần tử x.
Thật vậy, chọn bất kỳ phần tử x /∈ K và ký hiệu số nguyên tố thứ i là p i Đặt
A 1i là một tập đóng trong X và có một tập sinh hữu hạn
K là một tập đóng trong K.
Nếu A 1i ⊂ K, với mọi i = 1,2, điều đó là mâu thuẫn, vì theo cách xác định của A 1i thì nó có tính chất giao hữu hạn nhưng \ i∈N
A 1i = φ Do đó A 1i * K, tồn tại q 1 ∈ P sao cho xq 1 ∈/ K Tiếp tục quá trình trên bằng cách thay x bởi xq 1 và xét tập
Lập luận tương tự như trên ta cũng chứng minh được A 2i * K, nên tồn tại q 2 ∈ P sao cho q 1 < q 2 và xq 1 q 2 ∈/ K.
Bằng phương pháp quy nạp, ta chỉ ra được dãy số q 1 , q 2 , , q k ∈ P, q 1 < q 2 < < q k sao cho z = xq 1 q 2 q k ∈/ K Rõ ràng λ(z) > k.
2) Với mỗi tập con đóng A 6= X, tồn tại k 0 ∈ N sao cho λ(x) ≤ k 0 , với mọi x ∈ A Thật vậy, giả sử α là một tập sinh hữu hạn của A Đặt k 0 = 2max{λ(x), x ∈ α}.
Số k 0 là giá trị cần xác định Giả sử x 0 ∈ α là phần tử có số ước số lớn nhất Với mỗi x ∈ A\α, ta có thể biểu diễn x = m.p, trong đó m ∈ α và p là một số nguyên tố lớn hơn 1 Vì p là số nguyên tố, ta có λ(x) = λ(mp) ≤ 2λ(m) ≤ 2λ(x 0 ) = k 0.
Trở lại chứng minh không gianΦ không phải là Hausdorff, lấy hai phần tử F = {1,2} và F 0 = {1} hữu hạn, rõ ràng F 6= F 0 , F,F 0 ∈ Φ Giả sử,
F G K 1 ,G 2 , ,G n là lân cận nào đó của điểm F và F G K 0 0
1 ,G 0 2 , ,G 0 m là lân cận nào đó của điểm F 0 Chúng ta sẽ chỉ ra rằng
Thật vậy, với mỗi i = 1,2, , n và j = 1,2, , m, ta có X\G i và X\G 0 j là các tập đóng khác X Theo Kết quả 2, tồn tại k 0 ∈ N sao cho λ(x) ≤ k 0 ,với mọi x ∈ X\G i λ(y) ≤ k 0 ,với mọi y ∈ X\G 0 j
Vì tập K ∪K 0 compact khác X và k 0 ∈ N nói trên Theo Kết quả 1, tồn tại x 0 ∈/ K∪K 0 sao cho λ(x 0) ≥ k 0 + 1.
Mặt khác ta lại có x 0 ∈/ X\G i ,với mọi i = 1,2, , n. x 0 ∈/ X\G 0 j ,với mọi j = 1,2, , m.
G 0 j , với mọi i = 1,2, , n và j = 1,2, , m Bởi vậy, x 0 ∈ F G K 1 ,G 2 , ,G n \
Do đó Φ không phải là không gian Hausdorff.
Luận văn đã đạt được những kết quả chính sau đây:
1 Hệ thống cơ bản một số khái niệm Phát biểu và chứng minh chi tiết một số định lý trong tài liệu tham khảo [1], [5].