Về nhóm đồng luân của không gian tôpô

NHÓM ĐỒNG LUÂN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ 19 2.1 Nhóm đồng luân tuyệt đối của không gian tôpô

1.1 Định nghĩa nhóm cơ bản

Trong không gian tôpô X, một ánh xạ liên tục từ khoảng I = [0, 1] vào X được gọi là con đường Điểm đầu của con đường, ký hiệu là ω(0), được gọi là điểm gốc, trong khi điểm cuối, ký hiệu là ω(1), được gọi là điểm cuối Nếu điểm gốc và điểm cuối trùng nhau, tức là ω(0) = ω(1) = x₀, thì con đường này được gọi là con đường đóng tại x₀.

1.1.2 Định nghĩa Cho   , ' là hai con đường trong không gian tôpô X mà

   Ánh xạ liên tục    ' : I  X cho bởi

 nÕu 0 t nÕu được gọi là nối tiếp hai con đường   , '

Chú ý rằng    ' là ánh xạ liên tục vì 2 1 ' 2 1 1

   ' có điểm gốc    '(0)   (0) và điểm cuối    '(1)   '(1)

1.1.3 Định nghĩa Cho hai con đường   , ' có cùng điểm gốc và điểm cuối trong không gian tôpô X Ta nói  tương đương đồng luân mút cố định với

 ' và kí hiệu   ' rel I nếu tồn tại một ánh xạ liên tục h I I :   X sao cho:

Khi đó ta cũng nói  đồng luân mút cố định với  ' nhờ h

Nhận xét: Quan hệ đồng luân mút cố định giữa các con đường trong không gian tôpô X là một quan hệ tương đương Thật vậy

  vì có thể chọn ánh xạ h theo công thức h t ( , )    ( ), t  t ,   I Nếu   ' rel I nhờ ánh xạ h thì  '  rel I nhờ ánh xạ h ' với

Nếu   ' rel I nhờ ánh xạ h ,  '  '' rel I nhờ ánh xạ h ' thì

  nhờ ánh xạ h ''xác định công thức

Lớp tương đương của con đường  được kí hiệu là   

1.1.4 Mệnh đề 1 Nếu   1 rel I ,   1 '  ' rel I và  (1)   '(0) thì     '       1  1 '  

2 Giả sử  x : I  X ,  x ( ) t  x ,   t I (với x là phần thuộc X ) và  là một con đường trong X nối x 0 với x 1

Ta xác định con đường  bởi công thức  ( ) t   (1  t )

4 Nếu  nối x 0 với x 1 ,  ' nối x 1 với x 2 ,  '' nối với x 2 với x 3 thì

Chứng minh 1 Giả sử   1 rel I nhờ h ,   1 ' ' rel I , nhờ h ' Ta xác định ánh xạ h '' : I   I X bởi công thức

Vì h (1, )   h '(0, )  nên h '' là ánh xạ liên tục

Do đó     1  1 '  ' rel I , tức là

 nÕu 0 nÕu Ánh xạ này co đoạn 0, 1

 nÕu 0 nÕu và ánh xạ h ' : I   I X h t '( , )    ((1    ) ( ) t  t  )

Dễ kiểm tra rằng x 1 rel I

3 Vì ( )    nên chỉ cần chứng minh     x 0 Xét ánh xạ h I :   I X

Dễ thấy ánh xạ h là liên tục

4 Ta xác định ánh xạ h I :   I X

Dễ thấy h là ánh xạ liên tục và h t ( , 0)  ((    ')   '') ( ) t h t ( , 1)  (   ( '    '')) ( ) t h (0, )    (0); h (1, )    ''(1)

1.1.5 Định nghĩa Cho không gian tôpô X và x 0  X Kí hiệu  1 ( , X x 0 ) là tập các lớp đồng luân mút cố định của các con đường đóng tại

Ta xác định một phép toán hai ngôi trên tập  1 ( , X x 0 ) :

Với       , ' thuộc  1 ( , X x 0 )ta định nghĩa

Từ định nghĩa trên ta suy ra  1 ( , X x 0 ) cùng với phép toán  là một nhóm

Nhóm  1 ( , X x 0 ) đƣợc gọi là nhóm cơ bản của không gian tôpô X với điểm đánh dấu x 0 (hay với điểm gốc x 0 )

Chúng ta xem xét các cặp (X, A), trong đó X là không gian tôpô và A là một tập con của X Khi A chỉ chứa một điểm x₀, chúng ta ký hiệu là (X, x₀) và gọi đây là không gian tôpô X với điểm đánh dấu x₀ (hay điểm gốc x₀) Ánh xạ f: (X, A) → (Y, B) được hiểu là ánh xạ liên tục f: X → Y sao cho

Cho A là tập con của B Hai ánh xạ f và g từ không gian X A đến Y B được gọi là tương thích trên không gian con X' nếu f(X') = g(X') Hơn nữa, hai ánh xạ f và g được xem là tương đương đồng luân cố định trên X' nếu tồn tại một ánh xạ liên tục giữa chúng.

H : X   I Y I ,    0, 1 thoả mãn các điều kiện:

Khi ký hiệu f g rel X', H được xem là đồng luân cố định trên X', nối f với g tạo thành một quan hệ tương đương Điều này dẫn đến các ánh xạ tương đương đồng luân cố định.

Với thuật ngữ này, con đường  trong X đóng tại x 0 là ánh xạ

  , trong đó I    0,1 là biên của I , còn    là lớp các ánh xạ liên tục đồng luân cố định trên I với 

Cho f và g là các ánh xạ trên không gian X', và H là một quan hệ đồng luân cố định trên X' kết nối f với g Quan hệ đồng luân cố định này không chỉ là một quan hệ tương đương mà còn tạo thành các ánh xạ tương đương đồng luân cố định.

Với thuật ngữ này, con đường  trong X đóng tại x 0 là ánh xạ

  trong đó I    0,1 là biên của I , còn    là lớp các ánh xạ liên tục đồng luân cố định trên I với 

Khi đó nếu  và  ' là hai con đường trong X đóng tại x 0 thì f  và f  ' là hai con đường trong Y đóng tại y 0 Dễ thấy, nếu   ' rel I thì

Do đó ta có ánh xạ f :  1 ( , X x 0 )   1 ( , Y y 0 ) f *        f  

1.1.6 Mệnh đề Ánh xạ f * :  1 ( , X x 0 )   1 ( , Y y 0 ) là đồng cấu nhóm

Chứng minh Ta cần chứng minh

* 1 2 * 1 * 2 f     f   f  với  1 và  2 là hai đường trong X đóng tại x 0 Điều này là hiển nhiên vì f (   1  2 )   f  1    f  2  Đồng cấu f  đƣợc gọi là đồng cấu cảm sinh bởi f

1.1.7 Mệnh đề Cho f g , :( , X x 0 )  ( , Y y 0 ) Nếu f g rel x   0 thì f   g 

Chứng minh Giả sử  : ( , ) I I  ( , X x 0 ) ta có f          f  , g          g  Gọi

H là đồng luân cố định nối f với g , H : X   I Y

Với mỗi t  I , xét ánh xạ H t : X  Y H x , t ( )  H x t ( , )

Do đó f  g  rel I , tức là  f     g   

Chú ý Nếu x 0 , x 1 là hai điểm của không gian tôpô X và giả sử tồn tại con đường  trong X nối x 0 với x 1 ,  (0)  x 0 ,  (1)  x 1 Khi đó ánh xạ

Ánh xạ trên là một đẳng cấu nhóm, cho thấy rằng nếu X là một không gian liên thông cung, thì các nhóm cơ bản  1 ( , X x 0 ) và  1 ( , X x 1 ) luôn đẳng cấu với nhau cho bất kỳ hai điểm x 0 và x 1 trong X Các nhóm đẳng cấu này được ký hiệu chung là  1 ( ) X, được gọi là nhóm cơ bản của không gian liên thông cung X Như vậy, nhóm cơ bản là một bất biến đồng luân quan trọng trong lý thuyết không gian tôpô liên thông cung.

1.1.8 Định nghĩa Không gian tôpô liên thông cung có nhóm cơ bản tầm thường đƣợc gọi là không gian tôpô đơn liên

Ví dụ Không gian thắt đƣợc gọi là không gian đơn liên

Cho không gian thắt đƣợc X và x 0 , x 1 là hai điểm tuỳ ý của X Vì X là không gian thắt đƣợc nên tồn tại ánh xạ liên tục h : X   I X mà h x ( , 0)  x ,

Rõ ràng  là ánh xạ liên tục suy ra  là con đường trong X nối x 0 với x 1 Giả sử      1 ( , X x 0 ) là một phần tử tuỳ ý Xác định ánh xạ

Vậy   x 0 rel I , hay          x 0 , suy ra  1 ( , X x 0 )là nhóm tầm thường

Cho X là không gian liên thông cung, X 1 và X 2 là hai không gian con mở liên thông cung của X , X  X 1  X 2 và X 0  X 1  X 2 liên thông cung khác rỗng

Với x 0  X 0 ta có các phép nhúng j 1 : ( X 0 , x 0 )  ( X 1 , x 0 ) j 2 : ( X 0 , x 0 )  ( X 2 , x 0 ) k 1 : ( X 1 , x 0 )  ( , X x 0 ) k 2 : ( X 2 , x 0 )  ( , X x 0 ) k 0 : ( X 0 , x 0 )  ( , X x 0 )

Ta có biểu đồ giao hoán của các nhóm và các đồng cấu

1.2.1 Mệnh đề Nhóm cơ bản  1 ( , X x 0 ) được sinh ra bởi các ảnh của các đồng cấu ( ) k 1 * và ( ) k 2 *

Xét một phân hoạch của đoạn   0,1 :

Đường nối \( i \) giữa \( t_i \) và \( t_{i+1} \) là một phần thu hẹp của \( \omega \) trên đoạn \( [t_i, t_{i+1}] \) Giả thiết rằng \( \{X_1, X_2\} \) là một phủ mở của \( X \) Theo định lý Lebesgue về \( \epsilon \)-phủ, chúng ta có thể chọn phân hoạch của đoạn \( [0, 1] \) sao cho phù hợp với yêu cầu.

    đƣợc chứa hoàn toàn trong X 1 hoặc X 2 và  2 (0)   ( ) t i  X 0 Với mỗi i  1, 2, , n tồn tại một con đường  i trong X 0 nối x 0 với  ( ) t i

Mỗi con đường  0   1   1   2 , ,  n   n đóng tại x 0 và chứa X 1 hoặc

X 2 nên mệnh đề đƣợc chứng minh 

1.2.2 Hệ quả Với các giả thiết như mệnh đề trên và nếu X 1 , X 2 đơn liên thì

Ví dụ Với n  2, mặt cầu S n là không gian đơn liên Đặt: X 1  S n    N , X 2  S n    S trong đó N  (0, 0, , 1), S  (0, 0, ,  1)

Khi đó X 1 và X 2 đồng phôi với R n

Vì R n là không gian thắt đƣợc nên X 1 và X 2 đơn liên Ngoài ra X 0  X 1  X 2 đồng phôi với R n \  0 là liên thông cung nếu n  2 Do đó S n là không gian tôpô đơn liên

Chú ý Mệnh đề 1.2.1 Là một trường hợp riêng của định lý Van – Kampen, ta sẽ không chứng minh định lý này

Định lý Van – Kampen khẳng định rằng, cho không gian tôpô liên thông X với điểm x₀ thuộc X, nếu có một phủ mở {Uα}α∈A của X đóng kín với giao hữu hạn và mọi Uα liên thông chứa x₀, thì đồng cấu φπα: π₁(Uω, x₀) → π₁(X, x₀) được xác lập bởi sự nhúng Uα vào X.

   : ( U  , x 0 )   1 ( U  , x 0 ) là đồng cấu gây bởi nhúng U   U 

Khi đó, với một nhóm G tuỳ ý và họ các đồng cấu nhóm

: ( , ) g   U  x  G sao cho    ,  A U ,   U  ta có g  ,    g a thì có một và chỉ một đồng cấu nhóm g :  1 ( , X x 0 )  G sao cho g    g a với mọi   A

1.3 Nhóm cơ bản của nhóm tôpô

Trong lý thuyết nhóm tôpô, cho G là một nhóm tôpô, hai đường trong G được ký hiệu là  và  ' Tích của hai đường này, được ký hiệu là   ', là một đường trong G và được xác định theo một quy tắc nhất định.

Dễ thấy nếu và  ' là hai đường đóng tại phần tử đơn vị e  G thì đường   ' cũng là đường đóng tại e

1.3.2 Mệnh đề Nếu   ' rel I ,   1 1 ' rel I thì     1 ' 1 ' rel I

Chứng minh Giả sử   ' rel I bởi h,   1 1 ' rel I bởi h’ Ta xác định ánh xạ

1.3.3 Mệnh đề Nếu   , ' là hai đường trong nhóm G đóng tại e thì các đường     ', '  đồng luân cố định trên I

Chứng minh Giả sử h 1 :     e rel I h 2 :    e  rel I h 3 :  '   e  ' rel I h 4 :  '  '   e rel I

Ta xét các ánh xạ h ', h '', h ''' từ I  I vào G cho bởi các công thức h t '( ,  )  h t 1 ( ,  ) h t 3 ( ,  ) h t ''( ,  )  h t 2 ( ,  ) h t 4 ( ,  ) h '''( , t  )  h t 4 ( ,  ) h t 2 ( ,  )

1.3.4 Mệnh đề Nhóm cơ bản  1 ( , ) G e của nhóm tôpô G là nhóm giao hoán Chứng minh Theo mệnh đề trên

1.4 Nhóm cơ bản của tích các không gian tôpô

1.4.1 Mệnh đề Đối với hai không gian tôpô ( X , x 0 ), ( , Y y 0 ) các phép chiếu p 1 : X  Y  X , p x y 1 ( , )  x p 2 : X  Y  X , p 2 ( , x y )  y cảm sinh đẳng cấu

   (( p 1 ) (     ); ( p 2 ) (     )) Chứng minh Đồng cấu ( p 1 )   ( p 2 )  là toàn cấu Thật vậy, nếu  1 là con đường trong X đóng tại x 0 và  2 là con đường trong Y đóng tại y 0 thì con đường

 : I  X  Y ,  ( ) t  (  1 ( ), t  2 ( )) t là con đường trong X  Y đóng tại ( , x 0 y 0 ) Kí hiệu    1   2 Nếu

  ,  2  2 ' rel I thì dễ thấy  1   2  1 '   2 ' rel I

Vậy ta có ( p 1 )   ( p 2 )     1   2          1 ,  2  Đồng cấu ( p 1 )   ( p 1 )  là đơn cấu Thật vậy, nếu  là con đường trong

X  Y đóng tại ( , x 0 y 0 )sao cho h 1 : p 1  x 0 rel I h 2 : p 2   y 0 rel I thì h  h 1  h 2 :   ( x 0 , y 0 )

Do đó ( p 1 )   ( p 2 )  là đẳng cấu 

1.4.2 Hệ quả Nếu Y là không gian tôpô đơn liên thì phép chiếu

1 : p X   Y X cảm sinh đẳng cấu ( p 1 ) :   1 ( X  Y , ( x 0 , y 0 ))   1 ( X , x 0 ) Nếu X và Y là các không gian tôpô đơn liên thì X  Y là không gian tôpô đơn liên

CHƯƠNG 2 NHÓM ĐỒNG LUÂN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ

2.1 Nhóm đồng luân tuyệt đối của không gian tôpô

Kí hiệu I n là lập phương đơn vị trong R n

Kí hiệu I n là biên của I n

I n   ( , t 1 t n )  I n ; có ít nhất một t i bằng 1 hoặc bằng 0  Với không gian tôpô có điểm đánh dấu ( , X x 0 ) ta kí hiệu

Nhƣ vậy, S n ( X , x 0 ) là tập các ánh xạ liên tục

Kí hiệu   f là tập hợp các ánh xạ trong S X x n ( , 0 ) tương đương đồng luân cố định trên I n với f Để f g rel I n, cần có ánh xạ liên tục h : ( I n  I I , n   I ) ( , X x 0 ) sao cho h x ( , 0)  f x ( ) và h x ( , 1)  g x ( ) cho mọi x thuộc I n, cùng với điều kiện h z t ( , )  x 0 cho mọi z thuộc I n.

Cho không gian tôpô có điểm đánh dấu  X x , 0  Tập  n  X x , 0  là tập hợp các lớp tương đương đồng luân cố định trên I n của các ánh xạ f  S n  X x , 0   n  X x , 0      f ; f  S n  X x , 0  

Ta định nghĩa một phép toán trên tập  n  X x , 0  để nó trở thành một nhóm

2.1.1.Định nghĩa Cho f g ,  S n  X x , 0  Ánh xạ f  g I : n  X đƣợc xác định nhƣ sau:

Với x  I n , ta viết x    t y , , t  I , y  I n  1 Với f I : n  X và ta xác định ánh xạ f y : I  X , f y   t  f t y  , 

Như vậy với mỗi y  I n  1 ta có con đường đóng tại x 0 trong X Ánh xạ f  g được định nghĩa như nối tiếp f y  g y của 2 con đường f y và g y như sau f  g x    f  g t y  ,   f y  g y

Trong đó x  ( , t y ) Chú ý rằng khi 1 t  2 f  1, y   g  0, y   x 0 Ánh xạ f  g biến I n thành x 0 Thật vậy:

Nếu z  I n và z   0, y  thì f  g z    f  0, y   x 0, nếu z  (1, y ) thì f  g z    g  1, y   x 0 , còn nếu z   t 1 , ,  1 , , t n  ,  1  0, 1, i  2, , n thì  2 , t 1 t 2 , ,  i , , t n  và  2 t 1  1, t 2 , ,  i , , t n  đều thuộc I n nên

2.1.2 Mệnh đề Nếu h : f f relI ' n và h ' : g g relI ' n thì

Chứng minh Xét ánh xạ h '' :  I n  I I , n   I   X x , 0  , cho bởi công thức

Theo mệnh đề trên, ta có một phép toán trên tập  n  X x , 0 

2.1.4 Mệnh đề Tập hợp  n  X , x 0  cùng với phép toán  là một nhóm

Chứng minh Phép toán có tính chất kết hợp vì

Phần tử trung hòa của phép toán là x 0

Tương tự, nét ánh xạ h ' :  I n , I n    X , x 0  bởi

Khi đó ánh xạ h :  I n  I , I n  I    X , x 0  cho bởi

  là phần tử đối xứng của   f 

2.1.5 Định nghĩa Nhóm  n  X x , 0  đƣợc gọi là nhóm đồng luân thứ n của không gian tôpô với điểm đánh dấu  X x , 0 

Chú ý rằng khi n = 1, nhóm cơ bản 1(X, x0) không giao hoán Tuy nhiên, với n ≥ 2, các nhóm đồng luân n(X, x0) lại là nhóm giao hoán Để chứng minh điều này, ta cần định nghĩa một phép toán mới trên n(X, x0) với f, g: (I^n, I^n) → (X, x0).

Chứng minh Xác định h :  I n  I I , n  I    X x , 0  bởi h x  ,    h    y t ' , ,    f   y ' ,     t   1   t   với  đƣợc xác định nhƣ trong mệnh đề 2.1.4

: x 0 n h e  f frelI Tương tự, ánh xạ h '    y t ' ,    f   y ' , 1        t   t  

Xác định đồng luân nối x 0 f  e với f h ' : f  e x 0 frelI n 

Chứng minh các đẳng thức trong mệnh đề trên bắng cách tính toán trực tiếp

2.1.7 Mệnh đề Nếu n  2 thì  n  X x , 0  là nhóm giao hoán

Theo mệnh đề 2.1.6 ta có f  g  f  e x 0    e x 0  g    f  e x 0    e x 0  g  f  grelI n g  f  e x 0  g    f  e x 0    e x 0  f    g  e x 0  f  grelI n

Chú ý rằng nếu f grelI n thì  f  grelI n nên  * thực sự là một ánh xạ Ánh xạ  * là đồng cấu nhóm Ngoài ra ta có

Ví dụ 1 Nhóm đồng luân của không gian thắt đƣợc

Cho X là không gian tôpôthắt đƣợc và f  S n  X x , 0 

Ta có ánh xạ liên tục h X :   I X

Xác định ánh xạ k :  I n  I I , n , I    X x , 0  bởi k x t  ,   h f    x , t  Ánh xạ k là liên tục và k x  , 0   h f    x , 0   f   x

Vậy nhóm  n  X x , 0  chỉ bao gồm một phần tử x 0

Ví dụ 2 Nhóm đồng luân của S n

Ta chứng minh rằng nhóm  i  S n , x 0  của mặt cầu S n là nhóm tầm thường nếu i  n

Ta có thể biểu diễn f là hợp thành của hai ánh xạ liên tục

   Vì S i có thể coi là không gian thương I i trên không gian con I i ánh xạ f ' đồng luân với ánh xạ hằng nên

Vậy  i  S n , x 0  chỉ bao gồm một phần tử

Chú ý rằng  n  S n , x 0   Z , việc tính nhóm  i  S n , x 0  , i  n là vấn đề phức tạp vƣợt ra ngoài khuôn khổ cuốn sách này

Ví dụ 3 Cũng nhƣ nhóm cơ bản, nếu p 1 : X   Y X p , 2 : X   Y Y là các phép chiếu thì ta có đẳng cấu nhóm

2.2 Nhóm đồng luân tương đối Dãy khớp đồng luân của cặp không gian tôpô

Cho X là một không gian tôpô A là một không gian con của nó và x 0   A X Ta sẽ định nghĩa nhóm  n  X A x , , 0  với mọi số tự nhiên n  1và trong trường hợp A    x 0 thì  n  X x , 0 , x 0    n  X x , 0 

Một triad (X, A, B) bao gồm không gian tôpô X và hai không gian con A, B của nó Đối với hai triad (X, A, B) và (Y, C, D), ánh xạ giữa hai triad f: (X, A, B) → (Y, C, D) là ánh xạ liên tục f: X → Y sao cho A nằm trong C và B nằm trong D.

I n là lập phương đơn vị trong , kí hiệu I n  1    t 1 , , t n   I n ; t n  0  là mặt của I n ứng với t n  0 Kí hiệu J n  1 là hợp các mặt còn lại của I n

Khi đó ta có triad  I n ; I n  1 , J n  1 

Kí hiệu S n  X A x , , 0  là tập hợp các ánh xạ f :  I n ; I n  1 , J n  1   S n  X A x , , 0  tức là f : I n  X , f  I n  1   A f ,  J n  1   x 0

2.2.2 Định nghĩa Cho f g ,  S n  X A x , , 0  Ta nói f đồng luân với g nếu tồn tại ánh xạ h I  n  I I , n  1  I J , n  1  I    X A x , , 0  sao cho    

Dễ thử rằng quan hệ đồng luân trên tập S n  X A x , , 0  là một quan hệ tương đương Lớp tương đương của f  S n  X , A x , 0  được kí hiệu là   f

Chứng minh Nhắc lại rằng f  g :  I n , I n    X x , 0 

Nếu x   t y ,   J n  1 thì t  0 hoặc t  1 , suy ra f g t y  ( , ) là f   0, y  x 0 hoặc f  1, y   x 0

2.2.4 Mệnh đề Cho f , f ' , g g , ' là các phần tử của S n  X A x , , 0 

Chứng minh mệnh đề này tương tự như chứng minh mệnh đề 2.2.3

2.2.5 Định nghĩa Kí hiệu  n  X A x , , 0  là tập hợp các lớp đồng luân của các ánh xạ f  S n  X A x , , 0  Trên tập  n  X A x , , 0  ta cho một phép toán

     f  g  f  g  Tương tự như mệnh đề 2.1.4, tập  n  X A x , , 0  cùng với phép toán trên là một nhóm

Nhóm  n  X A x , , 0  gọi là nhóm đồng luân tương đối thứ n của cặp ( , X A ) với điểm đánh dấu x 0

Với n ≥ 3, các nhóm πn(XAx, 0) là các nhóm giao hoán Chúng ta sẽ chứng minh rằng từ mỗi bộ ba (XAx, 0) có thể tạo ra một dãy khớp của các nhóm đồng luân.

Nhận xét rằng I n  1  J n  1 và nếu f  S n  X A x , , 0  thì

1 , 0 n n f  f I   S  A x và lớp đồng luân của nó thuộc nhóm  n  1  A x , 0 

I n h  h  là đồn luân nối và f ' và g ' h ' : f ' g relI ' n  1

Dễ thấy  f  g  '  f '  g ' Vậy  là một đồng cấu nhóm

Nhúng chính tắc i :  A x , 0    X x , 0  và j :  X x x , 0 , 0    X A x , , 0  cảm sinh các đồng cấu

Nhƣ vậy ta có một dãy các nhóm đồng luân và các đồng cấu

Và gọi là dãy đồng luân của cặp ( , X A ) với điểm đánh dấu x 0

2.2.6 Mệnh đề Dãy đồng luân của cặp ( , X A ) với điểm đánh dấu x 0 là một dãy khớp

Chứng minh (1) Tính khớp tại n  A x , 0  , n  1

Vậy i *    f    f I n    0 (0 là phần tử trung hòa của nhóm  n  X x , 0 )

Do đó   f       h Suy ra Keri *  Im 

(2) Tính khớp tại  n  X x , 0  , n  2 xét   f  n  A x , 0  và h :  I n  I I , n  1  I J , n  1  I    X A x , , 0 

Do đó j i * *   f  0 Suy ra Im i *  Kerj *

Giả sử   f   n  X x , 0  sao cho x 0 f  trong S n  X A x , , 0 

Khi đó có ánh xạ

Do đó: i h *      '   f Suy ra Kerj *  Im i *

Từ đó suy ra f h 1 trong S n  X A x , , 0  Vì h 1   I n  x 0 , do đó

Sử dụng quan hệ đồng luân ở trên ta có   f  j *   h

Vậy mệnh đề đƣợc chứng minh 

Nếu f :  X A x , , 0    Y B y , , 0  thì dễ suy ra kết quả sau

2.2.7 Mệnh đề Biểu đồ sau giao hoán

2.3 Liên hệ với nhóm đồng điều

Ánh xạ liên tục f: I^n → X được định nghĩa là một lập phương kỳ dị n chiều trong không gian tôpô X Nhóm Abel tự do được ký hiệu là Q_n(X), được sinh bởi các lập phương kỳ dị n chiều của X Đồng cấu sẽ được xác định trong bối cảnh này.

Khi đó   2 0 và ta có phức hợp dây chuyền Q    Q n   X ,   

Kí hiệu D n   X là nhóm Abel tự do sinh bởi các lập phương kì dị

Ta có D   D n   X ,   là phức hợp dây chuyền và là phức hợp con của

 D Các chu trình trong Q n * là các lớp   D n trong đó  Q n và   Q n  1 Còn các biên trong Q n * là các lớp   D n trong đó   D n  1

Ta được lập phương kì dị f I : n  X và   f 0 (1)

Nếu f f relI ' n , tồn tại h :  I n  I I , n  I    X x , 0  sao cho

Khi đó h I : n   I X là lập phương kì dị n  1 chiều và

Từ (1), (2) suy ra mỗi lớp   f   n  X x , 0  xác định duy nhất một lớp đồng đều

(nhóm đồng điều lập phương kì dị của X)

2.3.1 Mệnh đề Với n  1,  n là một đồng cấu nhóm

Chứng minh Ta cần chứng minh rằng  n   f  g        f  g Để làm điều đó ta chứng minh f  g và f +g xác định cùng một lớp đồng điều lập phương kì dị của X

Giả sử  : I 2  I xác định bởi

Xét ánh xạ h I : n   I X cho bởi h t  1 , , t t n ,    f g    t t 1 , 2  , , , t 3 t t n , 

Thay thế hai ánh xạ f, g trong công thức (3) trên bởi các ánh xạ, g và g , g g  ˆ ta nhận đƣợc

 g  g ˆ    g g g   g ˆ  g    s Khi đó từ các quan hệ (4):

4 x g  g b  ac   h  h    s  Cuối cùng công thức (3) có thể viết dưới dạng f   g  f  g     h  g  g ˆ    x 0    l  x 0

Vì  x 0 là lập phương kì dị suy biến nên suy ra

2.3.2 Định nghĩa Đồng cấu   n : n  X x , 0   H n c   X đƣợc gọi là đồng cấu Hurewicz

Với n  1 ta sẽ thấy rằng  1 cho phép hoàn toàn xác định nhóm 1  

H c X là nhóm đồng điều đơn hình kì dị của không gian X vì có đẳng cấu giữa các nhóm đồng điều lập phương kì dị đơn hình

Xét đồng phôi j I :   1 ( 1 là đơn hình một chiều) j t      1 t t ,  và ánh xạ k :   1 S k t t 1 ,  0 , 1    cos 2  t 1 ,sin 2  t 1 

Khi đó kj I :  S t 1 ,   cos 2  t , sin 2  t 

Giả sử     1  X , x 0  Khi đó con đường

Hợp thành fk :   1 X là đơn hình kì dị một chiều của X , fk  C 1   X Hơn nữa f k là một chu trình Thật vậy

2.3.3 Mệnh đề Cho X là không gian liên thông cung, x 0  X Đồng cấu

   là toàn cấu và hạt nhân của  1 là nhóm các giao hoán tử của  1  X x , 0 

Kí hiệu C X ( ) đại diện cho phức hợp các dây chuyền đơn hình kỳ dị của X Hợp phức con C X '( ) được sinh bởi các đơn hình kỳ dị s ' :   1 X, trong đó s ' biến các đỉnh của  1 vào điểm x 0  X Có thể chứng minh rằng nhúng là khả thi trong trường hợp này.

: q ' ( ) q ( ) i C X  C X là một tương đương đồng luân của các phức hợp dây chuyền Trên cơ sở của kết quả này ta có:

Nói khác đi, với      1 ( , X x 0 ) chu trình fk xác định lớp   1     thuộc vào nhóm C X 1 ' ( ) Do đó ta có đồng cấu

Bây giờ ta cần chỉ ra rằng  là toàn cấu và hạt nhân của nó là nhóm các giao hoán tử của ( X x , 0 )

Giả sử   z  H C X 1 ( '( )) với z  C X 1 ' ( ) và   z 0 Ta có z  a s 1 1   a s m m , trong đó s 1 :   1 X và s 1 biến các đỉnh của  1 vào x 0 Khi đó   s 1  C X 1 ' ( ) và

  Nhưng s 1 xác định một con đường  i trong X đóng tại x 0 Xét lớp        1 n 1   1 ( X x , 0 )

Ta kí hiệu nhóm các giao hoán tử của  1 ( , X x 0 ) là   1 ( , X x 0 ),  1 ( , X x 0 )  Chú ý rằng H X 1 ( ) là nhóm Aben,  là đồng cấu nên   1 ( X x , 0 ),  1 ( X x , 0 )   Ker 

      và phép toán trong nhóm kí hiệu theo lối cộng

Giả sử p :  1 ( X x , 0 )   * ( X x , 0 ) là phép chiếu Vì Ke r  chứa nhóm các giao hoán tử nên tồn tại đồng cấu

  * :  ( X x , 0 )  H C 1 ( '( X )) với     p Để hoàn thành chứng minh mệnh đề ta cần chứng tỏ rằng   là đơn cấu

Giả sử s  C X 1 ' ( ) và p sj     thì có ánh xạ q C X : 1 ' ( )    ( , X x 0 )

Ta sẽ chỉ ra rằng một biên bất kỳ đƣợc biến thành 0 qua ánh xạ q

Thật vậy, giả sử t  C X 2 ' ( ) thì

Vậy q cảm sinh đồng cấu q  : H C X 1 ( '( ))    ( , X x 0 )

Tính toán trực tiếp ta có

Vậy   là đơn cấu và mệnh đề đƣợc chứng minh 

2.3.4 Hệ quả Cho X là không gian liên thông cung, x 0  X , thì

Hệ quả này chứng tỏ rằng nhóm cơ bản hoàn toàn xác định nhóm đồng điều kì dị H X 1 ( )

2.3.5 Hệ quả Nếu X là không gian liên thông cung và  1 ( , X x 0 ) là nhóm Aben thì   1 : ( , X x 0 )  H X 1 ( )

Chú ý Trong mệnh đề trên nếu  1 ( ) X  0 thì H X 1 ( )  0 Ta thừa nhận kết quả sau Nếu  1 ( ) X   2 ( ) X    n  1 ( ) X  0 ( n  1) thì H X 1 ( )  H X 2 ( )   H n  1 ( ) X  0 và H X n ( )   n ( ) X