Một số bài toán về khí lý tưởng

NỘI DUNG

Khí lý tưởng là một khái niệm quan trọng trong nhiệt động lực học, được đặc trưng bởi các tính chất như không có khối lượng, các phân tử chuyển động tự do và va chạm đàn hồi Trong nghiên cứu khí lý tưởng, chúng ta có thể áp dụng các định luật cơ bản của nhiệt động lực học để hiểu rõ hơn về hành vi của chúng trong các điều kiện khác nhau.

- Trong một thể tích vĩ mô của khí lý tưởng có chứa một số rất lớn phân tử

Kích thước của phân tử rất nhỏ so với khoảng cách giữa chúng, vì vậy trong nhiều tính toán, ta có thể coi phân tử như những chất điểm và bỏ qua kích thước thực của chúng.

- Các phân tử luôn luôn chuyển động hỗn loạn, chúng va chạm với nhau và với thành bình

Lực tương tác giữa các phân tử chỉ xuất hiện khi có va chạm, trong khi giữa hai va chạm liên tiếp, các phân tử di chuyển tự do với chuyển động thẳng đều Các va chạm giữa các phân tử và với thành bình diễn ra theo quy luật va chạm đàn hồi.

Những tính chất trên phản ánh một cách gần đúng những tính chất cơ bản của khí thực

1.1 Định luật khí lý tưởng

Vào năm 1664, R Boyle đã khám phá ra mối quan hệ giữa áp suất và thể tích của khí, và sau đó vào năm 1676, E Mariotte độc lập xác nhận điều này Mối quan hệ được mô tả bởi công thức pV = p₀V₀ với nhiệt độ giữ nguyên (T = const) Trong đó, áp suất được định nghĩa là lực tác dụng vuông góc lên một đơn vị diện tích.

KHÍ LÝ TƯỞNG

Định luật khí lý tưởng

Vào năm 1664, R Boyle đã phát hiện ra mối quan hệ giữa áp suất và thể tích của khí, và vào năm 1676, E Mariotte đã độc lập xác nhận điều này khi nhiệt độ không đổi Mối quan hệ này được biểu diễn bằng công thức pV = p₀V₀, với T = const Trong đó, áp suất được định nghĩa là lực tác dụng vuông góc lên một đơn vị diện tích.

Áp suất có nguồn gốc vi mô từ sự va chạm của các hạt vào bề mặt, nơi chúng phản xạ và truyền động lượng Năm 1802, Gay-Lussac đã nghiên cứu mối quan hệ giữa thể tích khí và nhiệt độ, từ đó phát hiện ra phương trình quan trọng.

Các giá trị p V T 0 , , 0 0 là áp suất, thể tích và nhiệt độ tuyệt đối của khí ở một trạng thái xác định tùy ý

Chúng ta sẽ khám phá mối quan hệ giữa áp suất, thể tích và nhiệt độ khi chất khí chuyển từ trạng thái ban đầu (p, V, T) đến trạng thái cuối (p, V, T) Đầu tiên, áp suất sẽ được điều chỉnh ở nhiệt độ không đổi cho đến khi đạt giá trị mong muốn p, lúc này thể tích sẽ đạt đến giá trị V 0 '.

0 0 0 pV  p V T 0  c ons t (1.1) Tiếp đó ta thay đổi nhiệt độ dưới áp suất không đổi: p(10 Pa)

Hình 1 Đồ thị pV cho 1 mol khí lí tưởng

 T p  c ons t (1.2) Khử giá trị trung gian ở hai phương trình (1.1) và (1.2) ta thu được:

Khi số lượng phân tử khí rất lớn, tỉ số giữa số phân tử và số lượng khí sẽ tăng lên khi số phân tử tăng Chúng ta có thể đưa vào giá trị kN, trong đó k là hằng số.

Boltzman, k = 1,380658.10 -23 JK -1 Phương trình (1.3) được viết lại như sau:

T  T  , pV  NkT hoặc p   kT (1.4) Đây là định luật khí lý tưởng Trong phương trình (1.4)  là mật độ hạt được xác định bởi tỉ số N V /

Thuyết động học phân tử của khí lý tưởng

Nhiệt độ của khí lý tưởng phản ánh động năng của các phân tử khí Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá một số khái niệm cơ bản trong vật lý thống kê, những khái niệm này sẽ được áp dụng rộng rãi trong các phần tiếp theo.

Mỗi phân tử khí có một véc tơ vận tốc v

Theo thời gian, trạng thái cân bằng nhiệt động duy trì một số lượng hạt nhất định trong một khoảng vận tốc cụ thể, mặc dù vận tốc của từng hạt riêng lẻ có sự thay đổi liên tục Do đó, khi xem xét xác suất để một hạt nằm trong khoảng d v, điều này phản ánh sự phân bố vận tốc của các hạt trong hệ thống.

Phân bố vận tốc của chất khí trong trạng thái cân bằng nhiệt động không thay đổi theo thời gian Mặc dù chúng ta chưa đi sâu vào dạng chính xác của phân bố này, nhưng có thể khẳng định rằng nó tồn tại Ở phần tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu chi tiết về dạng của sự phân bố này và số lượng các hạt dN v.

 trong khoảng vận tốc lân cận v

 là hàm phân bố vận tốc thoã mãn điều kiện chuẩn hoá

Như đã nói ở trên áp suất của chất khí bắt nguồn từ sự truyền động lượng của các phân tử khi chúng phản xạ tại bề mặt

Chọn trục z của hệ tọa độ vuông góc với mặt A Các hạt tới va chạm và truyền cho A một phần động lượng

Tất cả các hạt có vận tốc v

Va chạm với một đơn vị bề mặt A trong khoảng thời gian dt nằm trong hình trụ xiên có đáy là A và chiều cao v dt z Trong thời gian này, các đối tượng chuyển động một khoảng d r v dt.

Khi các hạt va chạm vào bề mặt trong hình trụ xiên tại thời điểm bắt đầu của khoảng thời gian dt, số lượng hạt có vận tốc trong ống hình trụ xiên có thể được tính bằng công thức: dN = N dV f(v) dv.

V là tỷ lệ tổng thể tích chiếm chỗ bởi ống hình trụ, với dV = Av dt z Mỗi hạt truyền một động lượng p = 2 mv z, do đó xung lượng của lực trên diện tích A được tính như sau.

A z z dF dt mv dN Nmv f v d v Adt

Nếu ta khử dt và chia cả 2 vế cho A ở thì sự đóng góp của các hạt có vận tốc v

Áp suất tổng cộng được xác định bằng cách tích phân tất cả các giá trị vận tốc có thành phần v z > 0, vì các hạt chuyển động ngược chiều sẽ không va chạm với thành bình.

1 A N x y z ( )2 z p dF dv dv dv f v mv

Khi chất khí ở trạng thái cân bằng nhiệt động thì hàm phân bố f v ( )

 không phụ thuộc vào chiều của v

 mà chỉ phụ thuộc vào v Khi đó ta có thể viết tích phân

  và thu được: pV mN d vf v v 3 ( ) z 2

Tích phân (1.9) đại diện cho giá trị trung bình bình phương của vận tốc theo hướng vuông góc với bề mặt Do tính đẳng hướng của chất khí, giá trị này là đồng nhất theo mọi hướng trong không gian.

  là động năng trung bình của một hạt Nếu so sánh với phương trình (1.4) thì ta được 3 kin 2 kT

Đại lượng kT chính là thước đo chính xác cho động năng trung bình của một phân tử trong khí lý tưởng Mối quan hệ này không chỉ áp dụng cho khí lý tưởng mà còn thể hiện một định luật tổng quát trong lĩnh vực vật lý.

Phân bố vận tốc Maxwell

Bây giờ chúng ta tìm dạng hàm phân bố vận tốc một cách chi tiết hơn

Vì tính đẳng hướng của chất khí nên f ( ) v

Phân bố vận tốc của phân tử có thể được mô tả bằng hàm theo mô đun vận tốc v hoặc v^2, và độc lập với các thành phần khác Cụ thể, công thức f(v^2 x + v^2 y + v^2 z) = f(v^2 x) (f(v^2 y) (f(v^2 z) thể hiện sự độc lập này Hàm toán học thỏa mãn công thức trên là một hàm mũ, do đó chúng ta lựa chọn dạng hàm mũ cho mô hình.

( ) exp f v  C av , C và a là các hằng số không phụ thuộc vào v

 và có thể chọn tùy ý Để f v   2 thoã mãn điều kiện chuẩn hóa thì a < 0

Một hàm f v   2 như vậy tương đương với một phân bố Gauss của các thành phần vận tốc Hằng số C được xác định từ việc chuẩn hóa hàm ( )f v i

     trong đó viết - a với a > 0 Dễ dàng xác định được giá trị của tích phân này là

Dựa vào phương trình (1.12) ta có thể tính được hằng số a: kT  m v z 2 m d v f v v  3 ( ) z 2 m dv f v x ( 2 x ) dv f v y ( y 2 ) dv f v z ( z 2 ) v 2 z

   Đặt x  av z 2 thì ta có 1 z 2 dv dx a x

   chúng ta thường gặp các tích phân dạng này Chúng được giải bởi số hạng của hàm  được định nghĩa như sau:

   với  (1 / 2)   ,  (1)  1, và công thức truy hồi    (z 1) z ( )z ta có thể tính toán được một tích phân tùy ý có dạng như trên với z nguyên dương hoặc bán nguyên Ta có:

 kT Hàm phân bố vận tốc của một khí lý tưởng cho 1 thành phần bởi vậy có thể viết:

Và ta có hàm phân bố đầy đủ là:

Biến đổi trạng thái - quá trình thuận nghịch và bất thuận nghịch

Các hiện tượng hàng ngày cho thấy rằng một quá trình tự nhiên diễn ra cho đến khi đạt trạng thái cân bằng, và những quá trình này không thể tự diễn ra ngược lại, do đó được gọi là bất thuận nghịch Ví dụ điển hình bao gồm sự giãn nở của khí từ thể tích nhỏ đến lớn hơn và các quá trình sinh nhiệt do ma sát.

Một con lắc đồng hồ không có lực dẫn động sẽ dần dừng lại sau một thời gian do sự chuyển đổi công cơ học thành nhiệt từ ma sát Quá trình thuận nghịch của con lắc tự bắt đầu dao động mà không làm nóng môi trường xung quanh vẫn chưa từng được quan sát.

Quá trình bất thuận nghịch đặc trưng bởi sự biến đổi qua các trạng thái không cân bằng, trong khi quá trình thuận nghịch chỉ đi qua các trạng thái cân bằng Quá trình thuận nghịch là lý tưởng và không tồn tại thực tế, vì khi một hệ ở trạng thái cân bằng, các biến số trạng thái không phụ thuộc vào thời gian Tuy nhiên, có thể tạo ra các quá trình gần như thuận nghịch bằng cách thực hiện những biến đổi rất nhỏ, trong đó trạng thái cân bằng chỉ bị ảnh hưởng ít Điều quan trọng là mỗi bước nhỏ trong quá trình thuận nghịch là một trạng thái cân bằng với các giá trị xác định, dẫn đến biến đổi tổng cộng rất nhỏ Ngược lại, trong quá trình bất thuận nghịch, không thể xác định giá trị của các thông số trạng thái.

Sự giãn nở đẳng nhiệt

Chúng ta nghiên cứu sự giãn nở của khí ở nhiệt độ không đổi, hay còn gọi là giãn nở đẳng nhiệt Trong thực tế, nhiệt độ không đổi này được duy trì nhờ một bể nhiệt, chẳng hạn như một bình lớn chứa nước ở nhiệt độ T, có liên kết với hệ và đạt trạng thái cân bằng nhiệt với hệ đó.

Sự giãn nở đẳng nhiệt của khí từ thể tích V1 đến V2 có thể được thực hiện đơn giản bằng cách tác dụng lực F a lên pít tông và giữ pít tông ở trạng thái cân bằng Quá trình này cho phép khí giãn nở nhanh chóng đến thể tích V2, dẫn đến sự thay đổi áp suất trong hệ, đồng thời tạo ra gradient nhiệt độ và mật độ.

Quá trình này tự xảy ra và sẽ không bao giờ tự đảo lại được Vì vậy nó là bất thuận nghịch

Trong quá trình giãn nở, chúng ta không thể xác định giá trị cho các tham số vĩ mô cho đến khi trạng thái cân bằng được thiết lập lại Công thực hiện bởi sự giãn nở của hệ là bằng 0 khi sử dụng một pít tông lý tưởng không trọng lượng.

Trong quá trình giãn nở đẳng nhiệt thuận nghịch, chúng ta giảm lực tác dụng một cách từ từ và chờ đợi hệ đạt trạng thái cân bằng mới Thời gian chờ này phụ thuộc vào khả năng hồi phục của hệ thống Khác với giãn nở đẳng nhiệt bất thuận nghịch, trong quá trình này, các biến nhiệt động có giá trị xác định tại mỗi giai đoạn, cho phép áp dụng phương trình trạng thái Đối với khí lý tưởng, điều này càng trở nên rõ ràng hơn.

/ pNkT V, và có thể tính công tổng cộng thực hiện bởi sự giãn nở của hệ như sau:

V dW pdV NkT dV NkT

Trong quá trình giãn nở bất thuận nghịch, hệ thống của chúng ta cần thực hiện công để chống lại ngoại lực F a Cần lưu ý rằng trong quá trình thuận nghịch, công mà hệ sinh ra đạt giá trị lớn nhất.

Sự giãn nở của chất khí diễn ra trong hai trường hợp: hoàn toàn bất thuận nghịch với công thực hiện là ΔW = 0 và hoàn toàn thuận nghịch với công thực hiện là ΔW = -NkT ln(V2/V1) Quá trình này được minh họa rõ ràng qua giãn đồ trong Hình 4.

Trong trường hợp bất thuận nghịch, chỉ có thể xác định trạng thái đầu và trạng thái cuối, trong khi tất cả các điểm trên đồ thị pV chỉ đạt được trong quá trình thuận nghịch Mặc dù trạng thái đầu và cuối giống nhau trong cả hai quá trình, công sinh ra lại khác nhau hoàn toàn Quá trình thuận nghịch dẫn đến thất thoát công, và điều này cũng xảy ra tương tự trong quá trình nén đẳng nhiệt, nơi cần một công cho quá trình thuận nghịch.

Trong quá trình nén pít tông, lực tác dụng chỉ tăng một lượng rất nhỏ ở mỗi bước Nếu sử dụng một lực lớn để nén pít tông, công cần thiết sẽ tăng lên đáng kể và phần công này cuối cùng sẽ chuyển hóa thành nhiệt.

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHÍ LÝ TƯỞNG

Nội năng và tổng đạo hàm

Như một bài toán ta tính nội năng của một khí lý tưởng Trong phần “Thuyết động học phân tử của khí lý tưởng” ta có phương trình sau:

Động năng trung bình của một chất điểm trong khí lý tưởng được biểu diễn bằng công thức 3 kin pV = NkT = N ε kin, trong đó ε kin là động năng trung bình Ở trạng thái khí lý tưởng, các chất điểm chỉ có động năng mà không có thế năng.

 kin cũng chính là tổng năng lượng trung bình Tuy nhiên nội năng trong hệ được tính bằng tổng năng lượng trung bình của cả hệ, nghĩa là:

Nhiệt dung riêng của khí lý tưởng được xác định thông qua công thức U = 2NkT Để nghiên cứu, ta xem xét một bình chứa khí với thể tích không đổi ở nhiệt độ T Khi nhiệt độ thay đổi một lượng dT, ta có mối quan hệ dU = δW + δQ.

Mặt khác công trao đổi với xung quanh là:

Do đó, ta có công thức dU = C_V(T) dT, trong đó C_V là nhiệt dung với thể tích không đổi Cần lưu ý rằng nhiệt lượng δQ có thể được đo bằng phương pháp thực nghiệm Đối với các khí loãng, nhiệt dung được coi là không đổi Từ công thức này, ta có thể rút ra các kết luận quan trọng về mối quan hệ giữa nội năng và nhiệt dung.

Nếu coi nhiệt dung riêng tỷ lệ thuân với số hạt, C V  Nc V thì ta có:

U T ( )  U 0 ( T 0 )  Nc V ( T  T 0 ) (2.3) trong đó c V là nhiệt dung riêng không đổi trên một chất điểm của khí lý tưởng So với phương trình (2.1):

Nhiệt dung riêng đóng vai trò quan trọng trong thực tiễn, cho phép xác định nội năng của các khí thực thông qua việc đo nhiệt dung riêng của chúng Ở thể tích không đổi, nhiệt dung riêng có thể được tính toán theo công thức cụ thể.

Phương trình (2.3) mang ý nghĩa tổng quát, cho thấy rằng nhiệt dung riêng của một số chất có thể coi là hằng số trong một khoảng nhiệt độ nhất định Do đó, phương trình này cũng áp dụng cho các kim loại và khí thực khi sự chênh lệch nhiệt độ không quá lớn.

Các phương trình bảo toàn nhiệt cho khí lý tưởng

Hãy xét mối tương quan giữa nhiệt độ và thể tích của một khí lý tưởng nếu không có sự trao đổi nhiệt với môi trường xung quanh

Một quá trình không có sự trao đổi nhiệt được gọi là quá trình bảo toàn nhiệt Theo định luật thứ nhất của nhiệt động lực học, trong trường hợp này, ta có  Q  0.

   ta có: dU  W rev   pdV

Với một quá trình bảo toàn nhiệt thuận nghịch Nếu hệ được nén với thể tích dV thì năng lượng của hệ tăng lên dU   pdV  0 ( dV  0)

Từ phương trình (2.1) ta thấy rằng đối với một khí lý tưởng (cũng với dV

≠ 0) dU  C dT V Do đó ta có được mối quan hệ giữa dT và dV với những thay đổi bảo toàn nhiệt của thể tích khí lý tưởng:

Nếu ta áp dụng định luật khí lý tưởng vào phương trình trên ta có:

Phương trình vi phân V (2.4) mô tả mối quan hệ giữa thể tích V và nhiệt độ T trong các quá trình biến đổi trạng thái bảo toàn nhiệt Khi C V giữ hằng số, ta có thể kết hợp với phương trình (2.4) bằng cách thực hiện tích phân từ trạng thái ban đầu (T 0, V 0) đến trạng thái cuối (T, V).

Thay C V  3 / 2 Nk vào phương trình trên ta có:

Kết hợp định luật khí lý tưởng, chúng ta có thể thiết lập các phương trình tương đương mô tả mối quan hệ giữa áp suất (p) và thể tích (V), cũng như giữa áp suất (p) và nhiệt độ (T) trong quá trình đoạn nhiệt.

Các phương trình (2.5) và (2.6) thể hiện các nguyên tắc bảo toàn nhiệt cho khí lý tưởng, khác biệt với định luật khí lý tưởng do xét đến quá trình bảo toàn nhiệt đặc biệt Trong các quá trình đẳng nhiệt, đẳng áp, hoặc đẳng tích, chúng ta có thể loại bỏ một biến trong phương trình khí lý tưởng Đối với các quá trình bảo toàn nhiệt thuận nghịch, tổng entropy của hệ không đổi, được gọi là đẳng entropy Đường đẳng entropy (pV^5/3 = hằng số) trong đồ thị pV có độ dốc lớn hơn so với đường đẳng nhiệt (pV = hằng số).

Entropy của khí lý tưởng

Biểu diễn entropy của một lượng khí lý tưởng xác định (có số hạt không đổi) như một hàm của T và V

Đối với các quá trình biến đổi trạng thái thuận nghịch, theo định luật thứ nhất, ta có công thức dU = TdS - pdV Đặc biệt, đối với khí lý tưởng khi dN = 0, các phương trình liên quan sẽ được áp dụng để mô tả sự biến đổi này.

U  2 NkT , pV  NkT thì từ phương trình (2.7) ta có thể suy ra dS:

2 dT dV dS NkT Nk

Lấy tích phân của phương trình trên từ trạng thái T V 0 , 0 với entropy S 0 ta có:

Entropy của khí lý tưởng tăng theo nhiệt độ và thể tích Mặc dù N xuất hiện trong phương trình (2.8), phương trình này không phụ thuộc rõ ràng vào N đối với hệ có số hạt thay đổi Để điều chỉnh, ta thêm số hạng dN vào phương trình (2.7), tạo ra hàm (N, V, T) Tuy nhiên, do entropy là đại lượng cộng tính, nó phải tỷ lệ thuận với số hạt N.

2.4 Thế hóa của khí lý tưởng

Thông qua hệ thức Gibbs-Duhem hãy tính thế hóa của khí lí tưởng như

1 hàm của nhiệt độ T và áp suất p

Lời giải Đối với 1 hạt hệ thức Gibbs-Duhem có dạng:

0S dT V dp N d   hoặc: d ( , ) p T S p T ( , ) dT V p T ( , ) dp

Nếu thay S (T, p) từ phương trình (2.9) và thay V T p ( , )  NkT p / vào phương trình trên ta được:

 là một hàm trạng thái và như vậy ta có một vi phân đầy đủ Có thể biểu diễn phương trình (2.10) bởi đồ thị như Hình 5

Lấy tích phân 2 vế phương trình (2.10) ta được:

                     , (2.11) khi p = p 0 và dp = 0 ở tích phân 1, dT = 0 ở tích phân 2 ta có thể viết (2.11) như sau:

Thế hóa chủ yếu phụ thuộc vào động năng trung bình của các hạt, cụ thể là tỉ lệ thuận với kT Để thêm một hạt vào khí lý tưởng trong trạng thái cân bằng ở nhiệt độ T và áp suất p, chúng ta cần có μ(p, T) theo phương trình (2.12), không phụ thuộc vào số lượng hạt có sẵn trước đó.

2.5 Phương trình Euler cho khí lý tưởng

Hãy chỉ ra rằng đối với một khí lý tưởng, phương trình Euler:

Hình 5 p được nghiệm đúng khi ( p T 0 , 0 ) và S p T ( 0 , 0 ) thoã mãn một hệ thức nhất định

Lời giải: Đầu tiên, ta chỉ ra các kết quả trước đây với các số hạng cụ thể Ta chọn N, p và T làm các biến số độc lập

Trong phương trình (2.14) ta sử dụng phương trình (2.9) Từ Phương trình (2.12), ta suy ra:

Do vậy phương trình (2.13) trở thành:

Sau khi sắp xếp lại cho phù hợp, ta có:

Phương trình (2.15) không còn phụ thuộc vào áp suất (p) và nhiệt độ (T), cho thấy rằng phương trình Euler cho khí lý tưởng luôn chính xác khi các điều kiện μ(p, T) và S(p, T) thỏa mãn một hệ thức nhất định Bằng cách thay thế phương trình (2.15) vào phương trình (2.12), chúng ta nhận được một phương trình chặt chẽ mô tả thế hóa khí lý tưởng.

Entropy và nội năng nhiệt động lực học

Entropy và nội năng là những hàm trạng thái cơ bản, thường được xem như những biến tự nhiên trong nhiều ví dụ.

Trong một hệ cô lập, việc xác định các biến số nhiệt động như nội năng (U), entropi (S), thể tích (V) và số lượng hạt (N) đảm bảo rằng tất cả các biến số nhiệt động khác cũng có thể được tìm thấy Chẳng hạn, nếu biết nội năng U phụ thuộc vào các biến S, V, N, và mối quan hệ dU = TdS - pdV + μdN, ta có thể suy ra các thông tin quan trọng khác về hệ thống.

Nhiệt độ, áp suất và thế hóa học được coi là các biến tự nhiên Tương tự, entropy S (U, V, N, ) cũng có thể được khẳng định Nếu chúng ta xem xét lại phương trình (2.16), ta có thể viết dS = (1/dU) dp dV dN

2.6 Entropy của các khí lý tưởng

Hãy chỉ ra rằng entropy của các khí lý tưởng như một thế nhiệt động Xét entropy của khí lý tưởng như đã đưa ra trong phương trình (2.9):

Nếu ta viết lại phương trình này theo các biến số độc lập U, N và V sử dụng 3

U  2 N kT và p V 0 0  N kT 0 0 tương ứng) ta có:

Khi đã biết phương trình (2.20), tất cả các phương trình trạng thái khí lý tưởng có thể đặt được thông qua phép lấy đạo hàm riêng theo phương trình (2.19)

Nếu thay phương trình (2.21) và (2.22) vào (2.23), ta sẽ nhận được giá trị của thế hóa

Thêm vào đó, bằng cách so sánh ta lại có được hệ thức

         Chú ý theo phương trình (2.24) thế hóa không tạo ra phương trình trạng thái độc lập nào ngoại trừ liên quan tới T và p thông qua hệ thức Gibbs-Duhem

2.7 Vận tốc trung bình và vận tốc có xác suất lớn nhất

Để tính toán vận tốc có xác suất lớn nhất, vận tốc trung bình và giá trị trung bình bình phương của vận tốc (vận tốc căn quân phương), cần sử dụng phân bố vận tốc Việc này giúp xác định các thông số quan trọng liên quan đến chuyển động, từ đó hỗ trợ trong việc phân tích và dự đoán hành vi của các đối tượng trong không gian.

Vi phân \( d^3v \) được biểu diễn bởi phương trình \( f(v) d^3v \) (2.25), cho thấy xác suất tìm thấy một hạt trong khí lý tưởng có véc tơ vận tốc \( v \) trong khoảng \( (v_x, v_y, v_z) \) và \( (v_x + dv_x, v_y + dv_y, v_z + dv_z) \) là độc lập với vị trí của nó Để tính xác suất tìm thấy một hạt có giá trị tuyệt đối của vận tốc nằm giữa \( v \) và \( v + dv \), ta thay véc tơ vận tốc vào tọa độ cầu và thực hiện tích phân trong toàn bộ không gian.

Phương trình (2.26) mô tả sự phân bố vận tốc Maxwell cho khí lý tưởng, trong đó vận tốc có xác suất lớn nhất là v*, tương ứng với cực đại của hàm số F(v) = dw/dv Kết quả cuối cùng được tính toán từ đây.

2 2 v m m mv mv v v kT kT kT kT m v v kT v kT m

Trung bình tuyệt đối của vận tốc v được định nghĩa bởi:

2 2 m mv v F v v dv v dv kT kT

Thay y  m v 2 / 2 kT ta có thể rút gọn tích phân trên về dạng hàm 

          Giá trị của hàm  (2) 1  sau khi biến đổi: v 8 kT m 

Trung bình bình phương vận tốc được tính hoàn toàn tương tự:

            , sử dụng phép thế như phương trình (2.28) ta được:

Vì  5 / 2   3 / 2    3 / 2   3 / 2 1/ 2    vậy ta có: v 2 3kT

Phân bố vận tốc Maxwell, như được trình bày trong Hình 6, cho thấy vận tốc có xác suất lớn nhất được chuẩn hóa bằng cách chọn đơn vị trên trục hoành Để xác định tỉ số kT/m và động năng trung bình của hạt, ba vận tốc v*, v và v2 là cần thiết, với điều kiện v* < v < v2.

Trùng hợp với kết quả (1.12) vì tính đẳng hướng của sự phân bố f v ( ) ta có:

2.8 Phân bố vận tốc của các phần tử bay hơi

Tìm phân bố vận tốc f*(v) của các phần tử bay hơi từ lỗ trong bình chứa khí lý tưởng ở nhiệt độ T Giả định rằng cân bằng bên trong bình không bị ảnh hưởng bởi quá trình bay hơi Tính toán vận tốc trung bình theo trục z và vận tốc bình phương trung bình của các phần tử bay hơi, cũng như tỉ lệ R = dN/dt dA² của hạt rời khỏi bình chứa trong một đơn vị thời gian và diện tích lỗ.

Chỉ ra trong trường hợp tổng quát 1 ( / )

R  4 N V v , nếu v là trung bình giá trị tuyệt đối của vận tốc bên trong

Hình 6 Phân bố vận tốc Maxwell

Mỗi phần tử va chạm vào nguyên tố diện tích bề mặt dA từ bên trong đều rời khỏi bình chứa với vận tốc đồng nhất Theo phương trình (1.7) trong chương 1, khi xem xét phần tử đến va chạm với nguyên tố bề mặt dA trong khoảng thời gian dt với vận tốc v, ta có thể rút ra những kết luận quan trọng về hành vi của các phần tử này.

Khi chọn trục z vuông góc với bề mặt A, phân bố vận tốc của chất khí chỉ được áp dụng cho trường hợp v z > 0, vì nếu v z < 0, các phần tử sẽ chuyển động theo hướng khác.

Bây giờ ta dễ dàng hiểu rằng phân bố vận tốc f v * ( ) của các phần tử rời khỏi bình chứa phải tỉ lệ với v f v z ( ), f * ( ) v  cv f v z ( ) (2.30)

Do đó nếu một hạt có v z  0 nó sẽ không ra khỏi bình, * ( ) 0 0 v z f v

  Ta đã tính đến phương trình (2.29) với giả sử rằng cân bằng trong bình sẽ không bị ảnh hưởng bởi những phần tử thoát ra ngoài

Hằng số tỉ lệ c được xác định từ điều kiện chuẩn hóa:

Hình 7 Để đơn giản cho những tính toán tiếp theo, ta đặt hàm phân bố vận tốc Maxwell f v ( ) dưới dạng:

Với phân bố của một phần tử đơn lẻ:

Vận tốc của các hạt bay ra theo phương x và y tuân theo phân bố Gaussian, trong khi thành phần z được điều chỉnh bởi yếu tố v z > 0 Do đó, phương trình (2.31) được chuẩn hóa riêng rẽ và bằng 1.

Thường sử dụng phép thế: y  mv z 2 / 2 kT , ta được:

 chuẩn hóa hàm phân bố vận tốc của các phần tử bay ra khỏi bình chứa:

  điều này cho biết vận tốc trung bình của các phần tử theo phương z:

0 exp 2 z z z mv m v dv kT kT

(3 / 2) m kT kT y kT y e dy kT m m m

Dấu * ở dấu ngoặc giá trị trung bình ký hiệu rằng nó phải được lấy trung bình bằng cách sử dụng phân bố f * Vì  (3 / 2)   / 2 ta được:

Bên trong bình chứa đều có v z 0 Tương tự vận tốc trung bình bình phương theo phương z cho bởi công thức:

(2) z z z y mv m v dv kT kT m kT kT kT y e dy kT m m m

 m nói cách khác vận tốc trung bình bình phương theo phương x và y có cùng giá trị với khí trong bình

    m Động năng trung bình của các hạt thoát khỏi bình chứa là:

Phương trình Euler cho khí lý tưởng

Hãy chỉ ra rằng đối với một khí lý tưởng, phương trình Euler:

Hình 5 p được nghiệm đúng khi ( p T 0 , 0 ) và S p T ( 0 , 0 ) thoã mãn một hệ thức nhất định

Lời giải: Đầu tiên, ta chỉ ra các kết quả trước đây với các số hạng cụ thể Ta chọn N, p và T làm các biến số độc lập

Trong phương trình (2.14) ta sử dụng phương trình (2.9) Từ Phương trình (2.12), ta suy ra:

Do vậy phương trình (2.13) trở thành:

Sau khi sắp xếp lại cho phù hợp, ta có:

Phương trình (2.15) không còn phụ thuộc vào áp suất (p) và nhiệt độ (T), do đó phương trình Euler cho khí lý tưởng luôn đúng khi μ(p, T) và S(p, T) thỏa mãn một hệ thức nhất định Khi thay thế phương trình (2.15) vào phương trình (2.12), ta nhận được một phương trình chặt chẽ cho thế hóa khí lý tưởng.

Entropy và nội năng nhiệt động lực học

Entropy và nội năng là những hàm trạng thái cơ bản trong nhiều ví dụ Chúng có thể được coi là những biến tự nhiên quan trọng trong nghiên cứu và ứng dụng khoa học.

Trong một hệ cô lập, việc biết các biến số như U (S, V, N, ) sẽ cho phép xác định hoàn toàn các biến nhiệt động khác Cụ thể, nếu biết U, ta có thể sử dụng công thức dU = TdS - pdV + μdN để tìm ra các thông số nhiệt động lực học liên quan.

Nhiệt độ, áp suất và thế hóa học được coi là các biến tự nhiên trong hệ thống Tương tự, entropy S cũng là một yếu tố quan trọng, được biểu diễn qua phương trình dS = (dU + pdV + μdN), trong đó U, V, N là các đại lượng trạng thái.

2.6 Entropy của các khí lý tưởng

Hãy chỉ ra rằng entropy của các khí lý tưởng như một thế nhiệt động Xét entropy của khí lý tưởng như đã đưa ra trong phương trình (2.9):

Nếu ta viết lại phương trình này theo các biến số độc lập U, N và V sử dụng 3

U  2 N kT và p V 0 0  N kT 0 0 tương ứng) ta có:

Khi đã biết phương trình (2.20), tất cả các phương trình trạng thái khí lý tưởng có thể đặt được thông qua phép lấy đạo hàm riêng theo phương trình (2.19)

Nếu thay phương trình (2.21) và (2.22) vào (2.23), ta sẽ nhận được giá trị của thế hóa

Thêm vào đó, bằng cách so sánh ta lại có được hệ thức

         Chú ý theo phương trình (2.24) thế hóa không tạo ra phương trình trạng thái độc lập nào ngoại trừ liên quan tới T và p thông qua hệ thức Gibbs-Duhem

2.7 Vận tốc trung bình và vận tốc có xác suất lớn nhất

Tính toán vận tốc có xác suất lớn nhất, vận tốc trung bình và giá trị trung bình bình phương của vận tốc (vận tốc căn quân phương) là cần thiết khi sử dụng phân bố vận tốc Việc này giúp xác định các chỉ số quan trọng trong phân tích dữ liệu vận tốc, từ đó hỗ trợ việc hiểu rõ hơn về các hiện tượng liên quan đến chuyển động.

Phương trình (2.25) mô tả xác suất tìm thấy một hạt trong khí lý tưởng có véc tơ vận tốc v trong khoảng (v, v + dv) và độc lập với vị trí của nó Để tính xác suất này, ta cần xác định số lượng hạt có giá trị tuyệt đối của vận tốc nằm giữa v và v + dv Điều này được thực hiện bằng cách chuyển véc tơ vận tốc sang tọa độ cầu và thực hiện tích phân trên toàn bộ không gian.

Phương trình (2.26) mô tả phân bố vận tốc Maxwell cho khí lý tưởng, trong đó vận tốc có xác suất lớn nhất là v*, tương ứng với cực đại của hàm số F(v) = dw/dv Kết quả cuối cùng được tính toán từ hàm phân bố này.

Vì  5 / 2   3 / 2    3 / 2   3 / 2 1/ 2    vậy ta có: v 2 3kT

Phân bố vận tốc Maxwell được thể hiện trên Hình 6, trong đó vận tốc có xác suất lớn nhất được chuẩn hóa theo đơn vị trên trục hoành Ba vận tốc v1, v2, và v3 cần thiết để xác định tỉ số kT/m, giúp tính toán động năng trung bình của hạt.

Tìm phân bố vận tốc f*(v) của các phần tử bay hơi từ lỗ trong bình chứa khí lý tưởng ở nhiệt độ T, với giả định rằng cân bằng bên trong không bị ảnh hưởng bởi quá trình bay hơi Tính toán vận tốc trung bình theo trục z và bình phương vận tốc của phần tử bay hơi, cùng với tỉ lệ R = dN/dt * dA² của hạt rời khỏi bình chứa trong một đơn vị thời gian và diện tích lỗ.

Mỗi phần tử tiếp cận nguyên tố diện tích bề mặt dA từ bên trong đều rời khỏi bình chứa với cùng một vận tốc Theo phương trình (1.7) trong chương 1, khi xem xét phần tử va chạm vào bề mặt dA của thành bình trong khoảng thời gian dt với vận tốc v, ta có thể phân tích rõ hơn về quá trình này.

Khi chọn trục z vuông góc với bề mặt A, phân bố vận tốc của chất khí chỉ đúng khi v z > 0, vì nếu v z < 0, các phần tử sẽ chuyển động theo hướng khác.

Vận tốc của các hạt bay ra theo phương x và y tuân theo phân bố Gaussian trong bình, trong khi thành phần z được điều chỉnh bởi yếu tố v z > 0 Do đó, phương trình (2.31) được điều chỉnh tương ứng.

Giá trị động năng của các phân tử trong bình lớn hơn động năng của các hạt khác, với động năng của chúng chỉ đạt 3/2kT Phương trình (2.29) dẫn đến hệ số 2 dAd.

 t bằng phép tích phân theo tất cả các vận tốc

Khí trong bình có phân bổ f v ( ) thay vì f * ( ) v theo lý thuyết Phương trình (2.32) có thể được tích phân trực tiếp với phân bổ vận tốc Maxwell, nhưng chúng ta chọn phương pháp đầy đủ hơn để đảm bảo chính xác cho mỗi phân bố f v ( ), mà chỉ phụ thuộc vào giá trị độc lập v của vận tốc Để làm rõ điều này, chúng ta chuyển sang tọa độ cầu Lưu ý rằng v z >0 nên phải giới hạn trong góc 0.

Dễ dàng tính được 2 tích phân góc  sin cos    d  sin  d  sin   ,

Trong bài tập trước chúng ta đã giới thiệu phân bổ các giá trị độc lập của vận tốc F v    4  v f v 2 ( ) do đó:

Hệ số các hạt bay hơi tỷ lệ thuận với mật độ các hạt N/V và không phụ thuộc vào giá trị trung bình của vận tốc v Đặc biệt, trong trường hợp khí lý tưởng, chúng ta có thể tính toán theo phương trình (2.28) với v.

Trong khuôn khổ khóa luận này, chúng tôi đã trình bày những nội dung:

- Giới thiệu về khí lý tưởng, định luật khí lý tưởng

- Thuyết động học phân tử của khí lý tưởng

- Phân bố vận tốc Maxwell

- Biến đổi trang thái - quá trình thuận nghịch và bất thuận nghịch

- Sự giãn nở đẳng nhiệt

2 Về phần các bài toán về khí lý tưởng:

- Nội năng và tổng đạo hàm

- Các phương trình bảo toàn nhiệt cho khí lý tưởng

- Entropy của khí lý tưởng

- Thế hoá của khí lý tưởng

- Phương trình Euler cho khí lý tưởng

- Entropy của các khí lý tưởng

- Vận tốc trung bình và vận tốc có xác suất lớn nhất

- Phân bố vận tốc của các phân tử bay hơi.

Vận tốc trung bình và vận tốc có xác suất lớn nhất

Để tính toán vận tốc có xác suất lớn nhất, vận tốc trung bình và vận tốc căn quân phương (hay còn gọi là trung bình bình phương giá trị tuyệt đối của vận tốc), cần sử dụng phân bố vận tốc Việc này giúp xác định các chỉ số vận tốc một cách chính xác và hiệu quả, từ đó phục vụ cho các phân tích và ứng dụng trong lĩnh vực nghiên cứu liên quan.

Phương trình (2.25) mô tả xác suất tìm thấy một hạt trong khí lý tưởng có véc tơ vận tốc v trong khoảng (v, v + dv) và độc lập với vị trí của nó Để tính xác suất này, chúng ta cần xác định số lượng hạt có vận tốc nằm giữa v và v + dv Bằng cách thay véc tơ vận tốc vào tọa độ cầu và thực hiện tích phân trong toàn bộ không gian, ta sẽ có được xác suất cần thiết.

Phương trình (2.26) mô tả phân bố vận tốc Maxwell cho khí lý tưởng, trong đó vận tốc có xác suất lớn nhất được ký hiệu là v*, tương ứng với cực đại của hàm số F(v) = dw/dv Kết quả cuối cùng được tính toán dựa trên các yếu tố này.

Vì  5 / 2   3 / 2    3 / 2   3 / 2 1/ 2    vậy ta có: v 2 3kT

Phân bố vận tốc Maxwell được thể hiện trong Hình 6, với vận tốc có xác suất lớn nhất được chuẩn hóa theo đơn vị trên trục hoành Để xác định tỉ số kT/m, ba vận tốc v*, v và v2 là cần thiết, từ đó giúp tính toán động năng trung bình của hạt.

Tìm phân bố vận tốc f*(v) của các phần tử bay hơi từ lỗ trong bình chứa khí lý tưởng ở nhiệt độ T Giả sử cân bằng bên trong bình không bị ảnh hưởng bởi quá trình bay hơi Tính toán vận tốc trung bình theo trục z, bình phương vận tốc trung bình của phần tử bay hơi, và tỉ lệ R = dN/dt dA của hạt thoát ra khỏi bình chứa trong một đơn vị thời gian và diện tích lỗ.

Mỗi phần tử va chạm vào nguyên tố diện tích bề mặt dA từ bên trong đều rời khỏi bình chứa với vận tốc giống nhau Theo chương 1, từ phương trình (1.7), khi xem xét phần tử va chạm với nguyên tố bề mặt dA của thành bình trong khoảng thời gian dt với vận tốc v, chúng ta có thể rút ra kết luận quan trọng về chuyển động của các phần tử này.

Khi chọn trục z vuông góc với bề mặt A, phân bố vận tốc của chất khí chỉ đúng khi v z > 0, vì nếu v z < 0, các phần tử sẽ chuyển động theo hướng khác.

Vận tốc của các hạt bay ra theo phương x và y được chuẩn hóa riêng rẽ và tuân theo phân bố Gaussian trong bình, trong khi thành phần z được tăng thêm bởi yếu tố v z > 0 Do đó, phương trình (2.31) được điều chỉnh tương ứng.

Giá trị này vượt qua động năng của các phân tử khác trong bình, trong khi động năng của các hạt này chỉ đạt 3/2kT Phương trình (2.29) trực tiếp tạo ra hệ số 2 dAd.

 t bằng phép tích phân theo tất cả các vận tốc

Khí trong bình có phân bổ f v ( ) thay vì f * ( ) v theo lý thuyết Phương trình (2.32) có thể được tích phân trực tiếp với phân bổ vận tốc Maxwell, nhưng chúng ta chọn phương pháp đầy đủ hơn để đảm bảo tính chính xác cho mỗi phân bố f v ( ), phụ thuộc vào giá trị độc lập v của vận tốc Để làm rõ, chúng ta chuyển sang tọa độ cầu, lưu ý rằng v z >0 nên phải giới hạn trong góc 0.

Dễ dàng tính được 2 tích phân góc  sin cos    d  sin  d  sin   ,

Trong bài tập trước chúng ta đã giới thiệu phân bổ các giá trị độc lập của vận tốc F v    4  v f v 2 ( ) do đó:

Hệ số các hạt bay hơi tỷ lệ thuận với mật độ các hạt N/V và không phụ thuộc vào giá trị trung bình của vận tốc v Đặc biệt, trong trường hợp khí lý tưởng, theo phương trình (2.28), chúng ta có thể xác định mối quan hệ này với vận tốc v.

KẾT LUẬN

Định dạng
Số trang	34
Dung lượng	777,06 KB