Kiến thức cơ sở
Các định nghĩa cơ bản về dãy số…
Dãy số là một hàm số từ một tập hợp vào một tập hợp số hoặc một tập con của các tập hợp đó Các số hạng trong dãy số thường được ký hiệu là u, v, x, y, n Dãy số được ký hiệu là
Dãy số là một trường hợp đặc biệt của hàm số, do đó nó mang các tính chất của hàm số Định nghĩa hàm số co trên tập D được đưa ra như sau: hàm số f: D → D được gọi là hàm số co nếu tồn tại một số thực q trong khoảng (0, 1).
( ) ( ) f x f y q xy ,x y, D Định nghĩa 1.1.3 Dãy số u n được gọi là một dãy tuần hoàn cộng tính nếu tồn tại số nguyên dương l sao cho u n l u n , n (1.1)
Chu kỳ cơ sở là số nguyên dương l nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trong định nghĩa 1.1.4 Dãy số u n được gọi là dãy tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại số nguyên dương s (s > 1) sao cho u sn = u n với mọi n.
Chu kỳ cơ sở là số nguyên dương s nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (1.2) Dãy số u_n được gọi là dãy phản tuần hoàn cộng tính nếu tồn tại một số nguyên dương l sao cho u_{n+l} = -u_n với mọi n.
Chu kỳ cơ sở là số nguyên dương l nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (1.3) Dãy số u_n được gọi là dãy phản tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại số nguyên dương s (s > 1) sao cho u_s*n = -u_n với mọi n.
Số nguyên dương s nhỏ nhất thoả mãn (1.4) được gọi là chu kỳ cơ sở
1.2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ DÃY SỐ Định lý 1.2.1 (Về dãy các đoạn thẳng lồng nhau) Cho hai dãy số thực
Khi tồn tại một số thực duy nhất a sao cho tập hợp giao nhau giữa đoạn [a, b] và n là {a}, theo định lý Bolzano-Weierstrass, từ một dãy bị chặn, ta luôn có thể trích ra một dãy con hội tụ Định lý tiếp theo chỉ ra rằng nếu f(x) là một hàm số liên tục trên D, thì dãy số {x_n} được xác định bởi x_0 = a ∈ D và x_{n+1} = f(x_n) sẽ hội tụ, với giới hạn của dãy số là nghiệm duy nhất trên D của phương trình x = f(x) Cuối cùng, theo định lý trung bình Cesaro, nếu dãy số {x_n} có giới hạn hữu hạn a, thì dãy số các trung bình của nó cũng hội tụ về a.
cũng có giới hạn là a Định lý này có thể phát biểu dưới dạng tương đương như sau:
n Định lí 1.2.5 (Định lí Weil về phân bố đều) Nếu là số vô tỉ thì dãy
n n 1 phân bố đều trên khoảng 0;1 Định lí 1.2.6 Nếu , là các số vô tỉ dương thoả mãn điều kiện 1 1
1 thì hai dãy số x n n , y n n , n 1,2,3 lập thành một phân hoạch của tập hợp các số nguyên dương.
Các định lý cơ bản về dãy số
VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 2.1 MỘT SỐ DÃY SỐ ĐẶC BIỆT
2.1.1 Dãy số dạng x n+1 = f(x ) n Đây là dạng dãy số thường gặp nhất trong các bài toán về giới hạn dãy số Dãy số này sẽ hoàn toàn xác định khi biết f và giá trị ban đầu x 0 Do vậy sự hội tụ của dãy số sẽ phụ thuộc vào tính chất của hàm số ( )f x và x 0 Một đặc điểm quan trọng khác của dãy số dạng này là nếu a là giới hạn của dãy số thì a phải là nghiệm của phương trình x f x( ) Chúng tôi có một số kết quả cơ bản như sau:
Bài toán 1 (Thi HSG Việt Nam, 2000) Cho dãy số x n xác định như sau:
0 0, n 1 n x x c cx Tìm tất cả các giá trị của c để với mọi giá trị
0 (0, ), n x c x xác định với mọi n và tồn tại giới hạn hữu hạn lim n n x
Giải Để x n 1 tồn tại thì ta có c cx n 0, x 0 (0, )c hay
( 1) 0 c c x , x 0 (0, )c c2 Với c2 thì 0 x 1 c Nếu 0x n c thì c cx n c 2 c,suy ra
1 x n tồn tại và 0 x n 1 c Đặt f x( ) c c x thì
Từ đó suy ra ,( )f x q 1 vì mọi x(0, c), tức ( )f x là hàm số co trên
(0, c), suy ra dãy số đã cho hội tụ Vậy tất cả các giá trị c cần tìm là c2.
Một số bài toán về dãy số và phương pháp giải
Một số dãy số đặc biệt
2.1.1 Dãy số dạng x n+1 = f(x ) n Đây là dạng dãy số thường gặp nhất trong các bài toán về giới hạn dãy số Dãy số này sẽ hoàn toàn xác định khi biết f và giá trị ban đầu x 0 Do vậy sự hội tụ của dãy số sẽ phụ thuộc vào tính chất của hàm số ( )f x và x 0 Một đặc điểm quan trọng khác của dãy số dạng này là nếu a là giới hạn của dãy số thì a phải là nghiệm của phương trình x f x( ) Chúng tôi có một số kết quả cơ bản như sau:
Bài toán 1 (Thi HSG Việt Nam, 2000) Cho dãy số x n xác định như sau:
0 0, n 1 n x x c cx Tìm tất cả các giá trị của c để với mọi giá trị
0 (0, ), n x c x xác định với mọi n và tồn tại giới hạn hữu hạn lim n n x
Giải Để x n 1 tồn tại thì ta có c cx n 0, x 0 (0, )c hay
( 1) 0 c c x , x 0 (0, )c c2 Với c2 thì 0 x 1 c Nếu 0x n c thì c cx n c 2 c,suy ra
1 x n tồn tại và 0 x n 1 c Đặt f x( ) c c x thì
Từ đó suy ra ,( )f x q 1 vì mọi x(0, c), tức ( )f x là hàm số co trên
(0, c), suy ra dãy số đã cho hội tụ Vậy tất cả các giá trị c cần tìm là c2
Một trường hợp nữa cũng có thể xét được sự hội tụ của dãy số x n là trường hợp f đơn điệu, cụ thể là
Nếu f là hàm số tăng trên D thì x n sẽ là dãy đơn điệu Dãy số này tăng hay giảm tùy theo vị trí của x 0 so với x 1
Nếu f là hàm giảm trên D thì các dãy con x 2 p , x 2 p 1 là các dãy đơn điệu
Bài toán 2 (Olympic sinh viên Moscow, 1982) Cho dãy số x n xác định bởi 0 1 1
là một hàm số tăng từ 0,1 vào 0,1 nên dãy x n n 2 là một dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1 do đó có giới hạn
Giả sử giới hạn là a ta có 1 a 4 3
Trong trường hợp hàm f là hàm giảm, chúng ta có thể chứng minh rằng dãy hội tụ bằng cách chứng minh hai dãy con của nó đều hội tụ về cùng một giới hạn.
Gặp các hàm số không đơn điệu là thách thức lớn nhất, vì vậy cần phân tích từng khoảng đơn điệu Sự hội tụ của hàm số sẽ phụ thuộc vào giá trị ban đầu.
2.1.2 Dãy số dạng x n+1 = x ± x n n α Đây là trường hợp đặc biệt của dãy số dạng x n 1 f x n Tuy nhiên, với dãy số dạng này vấn đề hội tụ của x n thường không được đặt ra (vì quá đơn giản và giới hạn chỉ có thể là 0 hoặc) Ở đây, ta sẽ có một yêu cầu cao hơn là tìm bậc tiệm cận của x n , cụ thể là tìm sao cho x n O n( )
Định lý 1.2.4 rất hữu ích cho các dãy số có dạng đặc biệt, với nhiều ứng dụng quan trọng trong việc xác định giới hạn của dãy số Định lý này có thể được áp dụng để tìm các loại trung bình như trung bình nhân, trung bình điều hòa và trung bình lũy thừa Trong bài viết này, chúng ta sẽ tập trung vào cách phát biểu thứ hai của Định lý 1.2.4 Để xác định số β sao cho x_n^n β có giới hạn hữu hạn, theo định lý, chúng ta chỉ cần tìm γ sao cho x_n^γ + 1 - x_n^γ có giới hạn hữu hạn Khi đó, lim n→∞ n x_a_n sẽ được xác định.
Bài toán 3 Cho dãy số x được xác định bởi n x o 1, x n 1 sin x n Chứng minh rằng lim n 3 n nx
Giải Dãy số đã cho không có dạng x n 1 x n x n nhưng kết luận của bài toán gợi cho chúng ta nghĩ đến Định lí 1.2.4 Vì 1 nên ta sẽ thử với
2 Dễ dàng chứng minh được rằng lim n 0 n x
(Dùng quy tắc L’Hopitale) Theo Định lý
1.2.4 thì 1 2 1 lim 3 n nx n Vậy lim n 3 n nx Như vậy ta có thể tìm nếu biết Trong trường hợp không biết thì ta phải dự toán
Bài toán 4 (Thi chọn đội tuyển HSG Việt Nam, 1993) Dãy số { }a n được xác định bởi a 1 =1 và n 1 n 1 n a a
a Hãy tìm tất cả các số thực để dãy số
có giới hạn hữu hạn khác 0
Giải Trước hết ta chứng minh a n dần tới vô cùng khi n dần tới vô cùng
Trở lại bài toán xét 3 3
(Quy tắc L’Hopitale) Từ đó suy ra
2 suy ra giới hạn bằng , với 3
2 suy ra giới hạn bằng 0
2 là giá trị duy nhất thoả mãn yêu cầu bài toán
Dãy số dạng x n [n] có nhiều tính chất số học thú vị Nếu 1 thì
Dãy số {[nα]} n ≥ 1 là một tập hợp các số nguyên dương phân biệt, có sự biến thiên tương tự như một cấp số cộng nhưng không hoàn toàn giống Dãy số này đặc biệt thú vị khi α là một số vô tỉ bậc hai.
Bài toán 5 Giả sử f n và g n là hai dãy số nguyên dương hoặc xác định như sau:
2 g n na1– f n , trong đó a là số nguyên lớn hơn 4
3 f n 1 là số nguyên dương nhỏ nhất khác các số ,f f 1 2 , , , ,f n g g 1 2 ,,g n Chứng minh rằng tồn tại các hằng số , sao cho f n = [n], g n [n] với mọi n1,2,3
Giải Theo cách xây dựng f n và g n lập thành một phân hoạch của *
Giả sử ta đã tìm được , thoả mãn điều kiện đầu bài, khi đó 1 1
Ngoài ra, khi n đủ lớn thì na 1 f n g n ~nn , suy ra a
Vậy , β phải là nghiệm của phương trình x 2 –ax a 0
Xét phương trình x² - ax + a = 0 với hai nghiệm α < β, trong đó a > 4 và α, β là các số vô tỉ Dãy số {f_n} và {g_n} được xác định duy nhất, vì vậy để chứng minh khẳng định của bài toán, chỉ cần chứng minh rằng {⌊nα⌋} và {⌊nβ⌋} thoả mãn các điều kiện 1, 2, 3.
Rõ ràng [ ] 1,[a n] [ ( n a)] na [ n] 1 (do n vô tỉ)
Giả sử [n] [ m] k, đặt n k r m, k s với 0r s, 1 thì
( ) r s r s n m k k Điều này không thể xảy ra vì 0 r s 1
Như vậy với mọi m, n ta có
Cuối cùng giả sử k là một số nguyên bất kỳ và 1 k n Nếu k n k n ( k 1) k 1 và [ na ] k
Từ các nhận xét trên ta suy ra mỗi số nguyên dương k có mặt trong dãy số đúng một lần và hai dãy số n và n thoả mãn điều kiện 3
Trong lời giải trên, ta đã không dùng đến kết quả của Định lí 1.2.6 và đó cũng chính là một cách chứng minh cho Định lí 1.2.6.
Dãy số nguyên
Dãy số nguyên đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết dãy số, với các vấn đề như tìm số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên Ngoài ra, các bài toán liên quan đến dãy số nguyên còn tập trung vào các tính chất số học như chia hết, đồng dư, nguyên tố, chính phương và nguyên tố cùng nhau Sự đa dạng của các bài toán về dãy số nguyên cho thấy rằng, trong nhiều trường hợp, dãy số chỉ là bề ngoài, trong khi bản chất thực sự của bài toán lại liên quan đến các khía cạnh số học Nguyên lý Dirichlet cũng là một khía cạnh quan trọng trong nghiên cứu dãy số nguyên.
Nguyên lý Dirichlet là một nguyên lý đơn giản nhưng hiệu quả trong việc chứng minh, đặc biệt là trong việc xác định sự tồn tại của các đối tượng thỏa mãn điều kiện nhất định Nhờ vào nguyên lý này, nhiều kết quả mạnh mẽ đã được chứng minh, như Định lý Fermat – Euler về tổng hai bình phương và Định lý Weil về phân bố đều.
Bài toán 6 (Thi HSG Canađa, 2000) Cho A a a 1 , , , 2 a n là dãy số nguyên thuộc đoạn [ 1000,1000] Giả sử tổng các số hạng của A bằng 1
Chứng minh rằng tồn tại một dãy con (chứa ít nhất 1 phần tử) của A có tổng bằng 0
Giải Ta có thể giả sử trong A không có phần tử nào bằng 0, vì nếu ngược lại thì bài toán hiển nhiên
Để sắp xếp dãy A thành dãy B = (b1, , b2000), ta thực hiện theo quy tắc: b1 > 0, b2 < 0 Đối với mỗi i ≥ 3, b_i sẽ được chọn sao cho có dấu ngược với tổng s_i-1 = b1 + + b_i-1 Qua quá trình này, ta thu được 2000 số s1, s2, , s2000 nằm trong khoảng [999, 1000].
Nếu trong số s i có một số bằng 0 thì bài toán đúng Trong trường hợp ngược lại, theo nguyên lí Dirichlet tồn tại i j sao cho s i s j Khi đó
2.2.2 Hệ đếm cơ số và dãy số nguyên
Hệ đếm cơ số có khả năng tạo ra nhiều dãy số với các đặc điểm thú vị Mặc dù nhìn từ một cơ số khác có thể khó nhận ra quy luật, nhưng việc lựa chọn cơ số phù hợp sẽ giúp bài toán trở nên dễ dàng hơn rất nhiều.
Nhận xét với b là một số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2 thì mọi số nguyên dương N đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng
Bài toán 7 (IMO, 1983) Chứng minh hoặc phủ định mệnh đề sau : “Từ tập hợp 105 số nguyên dương đầu tiên luôn có thể chọn ra một tập con gồm
1983số sao cho không có ba số nào lập thành một cấp số cộng”
Chúng ta sẽ chứng minh mệnh đề tổng quát rằng từ 3n số tự nhiên đầu tiên, luôn có thể chọn ra 2n số sao cho không có ba số nào tạo thành một cấp số cộng.
Trong hệ đếm cơ số 3, tập hợp tất cả các số có tối đa n chữ số chỉ chứa các chữ số 2 và 0 sẽ tạo thành 2n số khác nhau Đặc biệt, không có ba số nào trong tập hợp này có thể lập thành một cấp số cộng.
Bài toán 8 (Thi HSG Singapore, 1995) Cho dãy số { }f n xác định bởi
2 Tìm tất cả các giá trị n với 1 n 1994 sao cho f n M
Giải Ta thấy ngay f n chính là tổng các chữ số của n trong hệ đếm nhị phân
Từ dãy do 1994 < 2048 = 211 suy ra M = 10
2.2.3 Số phức và dãy số nguyên
Số phức đóng vai trò quan trọng trong toán học và lý thuyết dãy số, giúp hiển thị mối quan hệ giữa hàm lượng giác và hàm mũ Nhờ vào số phức, mọi đa thức bậc n đều có n nghiệm, từ đó khẳng định tác dụng của Định lý Viet.
Bài toán 9 Tính tổng S x n ( )C n 0 C 1 n cosx C n n cosnx
Giải Đặt Tn( )x 0 C 1 n sinx C n n sinnx thì
(1 cos isin ) 2 os cos( ) sin( )
Từ đó suy ra ( ) 2 os cos
Bài toán 10 Cho dãy số u n xác định bởi
3, 0, 2, o n n n u u u u u u Chứng minh rằng u luôn chia hết cho p nếu p là số nguyên tố p
Giải Với u 2 2, u 3 3, bài toán luôn đúng
Ta chứng minh bài toán đúng với p3, p nguyên tố
Phương trình đặc trưng của dãy số được biểu diễn dưới dạng x³ - 10x = 0 Để chứng minh kết luận của bài toán, chúng ta có thể áp dụng Định lý nhỏ Fermat nếu phương trình này có nghiệm nguyên Tuy nhiên, thực tế cho thấy các nghiệm của phương trình không phải là số nguyên, và nó chỉ có một nghiệm thực duy nhất Do đó, việc sử dụng số phức là cần thiết để tìm ra các nghiệm khác.
Gọi u v w, , là ba nghiệm của phương trình x 3 – 1 0x thì 0 u v w và uv vw wu 1 suy ra
Với p là số nguyên tố lẻ thì 1
Ta có C i p chia hết cho p với 1 i p 1 (vì p là số nguyên tố ) và
(v w i p i w u i p i u v i p i ) là số nguyên (biểu thức đối xứng đối với u, v, w) nên vế phải là một số nguyên chia hết cho p.
Dãy số và bất đẳng thức
Sắp xếp lại thứ tự là một thủ thuật quan trọng trong các bài toán bất đẳng thức liên quan đến dãy số Việc này tạo ra những tính chất đặc biệt mà một dãy số thông thường không có, ví dụ như nếu a < b < c thì |c - a| = |c - b| + |b - a| Nguyên lý đơn giản này chứng tỏ tính hiệu quả trong nhiều tình huống khác nhau.
Bài toán 11 (Thi HSG Việt Nam, 1998) Tồn tại hay không một dãy số thực
với mọi số nguyên dương mn
Giải Giả sử tồn tại dãy số như vậy Với mỗi số nguyên dương N, ta sắp xếp lại các số x 1 , ,x theo thứ tự tăng dần N x i 1 x i 2 x iN Khi đó
Vì i i 1 2 , , ,i N chỉ là một hoán vị của 1,2,…, N nên ta có
Chọn N đủ lớn sao cho 4 2
ta suy ra mâu thuẫn
Vậy không tồn tại dãy số thoả mãn yêu cầu đề bài
Bài toán 12 (Thi HSG Liên Xô, 1986) Giả sử a a 1 , 2 ,,a n là các số dương tuỳ ý Chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức, ta chỉ cần xem xét trường hợp tổng bên trái lớn nhất, bởi vì vế phải không thay đổi khi thay đổi thứ tự của các phần tử a_i Điều này chỉ xảy ra khi các phần tử a_i được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
Thật vậy, giả sử 0 b 1 b 2 b n là các số a được sắp xếp lại i
Khi đó rõ ràng với mọi k ta có b 1 b 2 b k a 1 a k và
Với mọi k, ghép các số hạng của tổng bên phải thành cặp ta có đánh giá sau
Xác định số hạng tổng quát của một dãy số
Bài toán xác định số hạng tổng quát của dãy số theo hệ thức truy hồi là một vấn đề phổ biến trong chương trình giáo dục phổ thông Bài toán này thường được trình bày dưới dạng một câu hỏi yêu cầu tìm kiếm công thức tổng quát cho các số hạng của dãy số.
Xác dịnh số hạng tổng quát của dãy số x n theo quy luật đa thức được cho bởi hệ thức truy hồi
Trong đó : 1 , 2 , , k là các số thuộc cho trước, còn f là một biểu thức chứa k+2 biến cho trước
Bài toán đang được xem xét là xác định hàm số x n x n thỏa mãn phương trình (2.1) với các điều kiện biên Do đó, bài toán xác định dãy số theo hệ thức truy hồi (2.1) cũng thường được gọi là bài toán giải phương trình (2.1).
2.4.1 Công thức truy hồi là một biểu thức tuyến tính
Ta xét trường hợp hệ thức truy hồi đã cho là hệ thức tuyến tính
Với a a 0 , , 1 ,a k ; (a 0 0; a k 0) là các hằng số thì bài toán có thể được xem như một phương trình sai phân tuyến tính
Bài toán 13 (Thi HSG Vương quốc Anh, 1980) Tìm tất cả các dãy số a n thoả mãn a n 1 2 n 3a n và a n là một dãy số tăng
Giải Xét phương trình sai phân a n 1 2 n 3a n (2.2) Đặt a n u n 2 n Thay vào (2.2) được
Phương trình (2.3) có nghiệm tổng quát là:
Ta có dãy a n tăng nên a n 1 a n Do đó 3 ( 3) 2.2 ( 3) 1.2
C với mọi n Ta không chọn được C vì khi n chẵn thì 3
C với mọi n Ta cũng không chọn được C vì khi n lẻ thì ( 3)
5 n n a là dãy số tăng Vậy dãy số cần tìm là 1.2
2.4.2 Công thức truy hồi là một hệ biểu thức tuyến tính
Bài toán 14 Xác định số hạng tổng quát của các dãy số x n ; y n thoả mãn hệ thức truy hồi dạng
Trong đó a b q p r s là các hằng số thuộc tập , , , , ,
Giải Thay n bởi n +1 vào phương trình thứ 2 trong (2.5) và biến đổi ta được
2 1 1 1+ n n 1 n ( 1– n ) n n n n n n x px qy px q rx sy px qrx s x px
Từ (2.5) ta cũng có x 2 px 1 qy 1 pa qb
Vậy ta thu được phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
Giải phương trình này ta tìm được x n Thay vào (2.5) ta tìm được y n
2.4.3 Công thức truy hồi là biểu thức tuyến tính với hệ số biến thiên
Lý thuyết về phương trình sai phân tuyến tính với các hệ số biến thiên vẫn còn nhiều thiếu sót Giải quyết các phương trình này là một nhiệm vụ phức tạp Trong phần này, chúng tôi sẽ tập trung vào một số dạng đặc biệt và đơn giản của phương trình sai phân tuyến tính với các hệ số biến thiên, chủ yếu thông qua phương pháp đặt dãy số phụ để đưa về dạng phương trình sai phân tuyến tính.
Bài toán 15 yêu cầu tìm số hạng tổng quát của dãy số {x_n}, với điều kiện x_1 = a, x_2 = b và x_{n+2} = a_n x_{n+1} + b_n x_n + f_n Các hàm số a_n, b_n và f_n phụ thuộc vào n, trong đó b(n) khác 0 cho mọi n Ngoài ra, tồn tại số p khác 0 và hàm số q(n) khác 0 sao cho p*q(n+1) = a_n và p*q(n) = -b_n.
Giải Sử dụng điều kiện (2.7) ta có thể viết lại (2.6) dưới dạng
x n 2 – px n 1 – q n x n 1 – px n f n ( 2.8) Đặt: y n x n 1 px n (2.9) Khi đó (2.8) có dạng y n 1 q n y n f n ; y 1 b – pa :
Thay y n vào (2.9) giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thu được ta tìm được công thức số hạng tổng quát cần tìm là
2.4.4 Công thức truy hồi dạng phân tuyến tính với hệ số hằng
Trong phần này, chúng tôi sẽ xác định số hạng tổng quát của dãy số đã cho bằng cách sử dụng công thức truy hồi phân tuyến tính với hệ số hằng, thông qua các bài toán cụ thể.
Bài toán 16 Tìm dãy số { }x thoả mãn các điều kiện sau n
với mọi n (2.10) trong đó a, p,q,r,s cho trước
Giải Lời giải của bài toán này thu được trực tiếp từ bổ đề sau
Bổ đề 1 Nếu y và n z là nghiệm của hệ phương trình sai phân n
z là nghiệm của phương trình 0 ; n 1 n n px q x a x rx s
Chứng minh Thật vậy ta có 0 0
1 n n n n n n n n n n n n n py q y py qz z px q x z ry sz r y s rx s z
Bổ đề 1 cho phép chúng ta giải phương trình sai phân phân tuyến tính (2.10) thông qua việc lập và giải hệ phương trình (2.11) Kết quả từ quá trình này là nghiệm của phương trình (2.10) Phương pháp giải bài toán 16 tương tự như cách giải bài toán sau.
Bài toán 17 Tìm dãy số { }x thoả mãn các điều kiện sau n
Giải Xét hệ phương trình 0 1 0
Giải hệ này ta được
Từ đó theo Bổ đề 1 ta được nghiệm của phương trình đã cho là:
Cho dãy số a o , , ,a 1 a n , hàm sinh F x của dãy số này là biểu thức thình thức F x a o a x 1 a x n n
Các phép toán trên hàm sinh diễn ra một cách tự nhiên mà không cần chú ý đến tính chất giải tích, vì bán kính hội tụ của chuỗi có thể bằng 0 Phép toán quan trọng nhất liên quan đến hàm sinh là phép nhân: nếu F(x) và G(x) là hàm sinh của các dãy số {a_n} và {b_n} tương ứng, thì chúng ta có thể thực hiện phép nhân giữa chúng.
F x G x là hàm sinh của dãy { }c n trong đó
Sơ đồ ứng dụng của hàm sinh vào bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số như sau:
Để tìm số hạng tổng quát của dãy số {a_n} được định nghĩa bởi một công thức truy hồi, ta thiết lập hàm sinh F(x) cho dãy số này Từ hệ thức truy hồi, ta xác định được phương thức cho F(x), giải phương trình để tìm F(x) Cuối cùng, bằng cách khai triển F(x) theo luỹ thừa x (khai triển Taylor), ta có thể xác định a_n cho mọi n.
Bài toán 18 Tìm số hạng tổng quát của dãy số { }a n xác định bởi
Với mọi n tự nhiên, ta thay a n 2 bằng 5a n 1 6a n thì được
Khi tìm hàm F(x), việc áp dụng công thức Taylor để khai triển F(x) có thể là một bài toán phức tạp Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, công thức nhị thức Newton tổng quát lại mang lại hiệu quả tốt hơn.
Một số lớp hàm chuyển đổi các cấp số
Trong mục này chúng tôi sẽ xây dựng một số lớp hàm chuyển đổi các cấp số trong tập số ,
2.5.1 Hàm số chuyển đổi từ cấp số cộng
2.5.1.1 Hàm số chuyển đổi cấp số cộng thành cấp số cộng
Bổ đề 2 Cho cấp số cộng a và hàm số n f : thỏa mãn điều kiện
2 2 x y f x f y f x y khi đó dãy f a ( n ) là một cấp số cộng
Chứng minh Ta có các hệ thức a 1 a 0 a n a n 1 a n 1 a n
Từ đó ta có f a ( n ) là một cấp số cộng
Bài toán 19 Tìm hàm số f x xác đinh và liên tục trên ( ) thỏa mãn điều kiện ( ) ( )
Giải Đặt ( )f x f(0)g x( ), ta có ( )g x liên tục trên , với (0) 0g và
Lần lượt cho y0 và x0 thì ( )
Vì ( )g x liên tục trên nên phương trình trên là phương trình Cauchy và do đó ( )g x ax Suy ra ( )f x ax b , a b,
Thử lại dễ dàng thấy hàm số ( )f x ax b , a b, , thỏa mãn tính chất
Vậy hàm số ( )f x ax b , a b, chuyển đổi mọi cấp số cộng thành cấp số cộng
2.5.1.2 Hàm số chuyển đổi cấp số cộng thành cấp số nhân
Bổ đề 3 Cho cấp số cộng a và hàm số n f : thỏa mãn điều kiện
Khi đó dãy f a ( n ) là một cấp số nhân
Chứng minh Ta có các hệ thức a 1 a 0 a n a n 1 a n 1 a n
Từ đó ta có f a ( n ) là một cấp số nhân
Như vậy ta có hai lớp hàm số chuyển đổi cấp số cộng thành cấp số nhân
Vấn đề cần giải quyết là xác định tất cả các hàm số có khả năng chuyển đổi một cấp số cộng bất kỳ thành một cấp số nhân Để bắt đầu, chúng ta sẽ xem xét bài toán liên quan đến vấn đề này.
Bài toán 20 Tìm hàm f x xác đinh và liên tục trên ( ) thỏa mãn điều kiện
Giải Theo điều kiện bài toán ta suy ra f x( ) 0 , x Nếu tồn tại x 0 để
, y Tức là ( ) 0f x Xét trường hợp ( ) 0f x , x Khi đó ta có ln ( ) ln ( ) ln ( )
2 2 x y g x g y g x y , trong đó ( ) ln ( )g x f x theo kết quả bài toán 19, thì g x( )ax b , a b, Thử lại hàm f x( )e ax b , ,a b thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( )
Vậy ( )f x e ax b , ,a b tùy ý chuyển đổi cấp số cộng thành cấp số nhân
2.5.1.3 Hàm số chuyển đổi cấp số cộng thành cấp số điều hòa
Bổ đề 4 Cho cấp số cộng u n , u n 0 n và hàm số f : thỏa mãn điều kiện 2 ( ) ( )
Khi đó dãy số f u ( n ) là một cấp số điều hòa
Chứng minh Từ giả thiết bài toán dãy số u n là cấp số cộng nên ta có
Theo định nghĩa ta có dãy số f u ( n ) là một cấp số điều hòa
Bài toán 21 Tìm hàm f : xác định và liên tục trên thỏa mãn điều kiện 2 ( ) ( )
Giải Theo giả thiết ta có ( ) 2 , ,
( ) ( ) g x f x theo bài toán 19 ta có ( )g x ax b , a b,
Thử lại ta có hàm số f x( ) 1,b 0
b tùy ý thỏa mãn điều kiện
b tùy ý chuyển đổi một cấp số cộng bất kỳ thành cấp điều hòa
2.5.2 Hàm số chuyển đổi từ cấp số nhân
2.5.2.1 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân thành cấp số cộng
Bổ đề 5 Cho cấp số nhân a n với a n 0, n và hàm số f x thỏa mãn ( ) điều kiện ( ) ( )
2 f x f y f xy x y Khi đó dãy f a ( n ) là một cấp số cộng
Chứng minh Từ giả thiết, ta có hệ thức 0 1
Từ đó ta có dãy f a ( n ) là một cấp số cộng
Vấn đề chính là tìm ra tất cả các hàm số có khả năng chuyển đổi một cấp số nhân bất kỳ thành một cấp số cộng Chúng ta sẽ phân tích bài toán này để tìm hiểu sâu hơn về các hàm số chuyển đổi.
Bài toán 22 Tìm hàm f x xác định và liên tục trên ( ) thỏa mãn điều kiện
Giải Vì x0,y0 nên ta có thể đặt xe y u , e v và f e( ) u g u( ).Khi đó
( ) g u liên tục trên và có dạng ( ) ( )
Khi đó theo bài toán 19 thì ( )g u au b Vậy ta có f x( )alnx b a b , , tùy ý thỏa mãn điều kiện ( ) ( )
Theo bổ đề 5 ta có hàm số ( )f x alnx b a b ; , tùy ý chuyển đổi mọi cấp số nhân thành cấp số cộng
2.5.2.2 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân thành cấp số điều hòa
Bổ đề 6 Cho cấp số nhân a n với a n 0, n và hàm số f : thỏa mãn điều kiện 2 ( ) ( )
Khi đó dãy f a ( n ) là một cấp số điều hòa
Chứng minh Từ giả thiết, ta có hệ thức 1 1
Từ đó ta có dãy f a ( n ) là một cấp số cộng
Chúng ta sẽ khám phá các hàm số có khả năng chuyển đổi một cấp số nhân bất kỳ thành cấp số điều hòa Những hàm số này sở hữu những tính chất đặc biệt, giúp thực hiện quá trình chuyển đổi một cách hiệu quả.
Bài toán 23 Tìm hàm f x xác định và liên tục trên ( ) thỏa mãn điều kiện
Theo kết quả bài toán 22, hàm số \( g(x) = a \ln x + b \) với \( a, b \in \mathbb{R} \) cần thỏa mãn điều kiện \( g(x) \neq 0 \) cho mọi \( x > 0 \) để hàm số \( f(x) \) liên tục trong khoảng này Điều này tương đương với việc \( a = 0 \) và \( b \neq 0 \) Ngoài ra, hàm số \( f(x) \) có thể chuyển đổi từ một cấp số nhân bất kỳ thành cấp số điều hòa.
2.5.2.3 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân thành cấp số nhân
Bổ đề 7 Cho cấp số nhân a với n a n 0, n và hàm số f : , thỏa mãn điều kiện f xy( ) f x f y( ) ( ),x y, Khi đó dãy f a ( n ) là một cấp số nhân
Chứng minh Từ giả thiết, ta có hệ thức 0 1
Từ đó ta có dãy f a ( n ) là một cấp số nhân
Như vậy để xác định hàm số chuyển đổi cấp số nhân thành cấp số nhân trong ta đi tìm các hàm số thỏa nãm tích chất như sau
Bài toán 24 Tìm hàm f x xác định và liên tục trên ( ) thỏa mãn điều kiện f xy( ) f x f y( ) ( ),x y, (2.12)
Giải Thay y1 vào (2.12) ta có ( )f x f x f( ) (1), hay f x( )(1 f(1)) 0, x y, (2.13) Xét (1) 1f thì từ (2.13) ta có ( ) 0f x và nghiệm này thỏa mãn (2.12)
Vậy ( ) 0f x , x và do đó f x( 2 ) f x f x( ) ( ) f x( ) 2 0, x Đặt xe y u , e v và f e( ) t g t( ) khi đó ta có (g u v ) g u( )g v( ),u v,
Dẽ dàng chứng minh được ( )g t a t , t ,a0 tùy ý và do đó ln ln ln
Trong đó lna Nghiệm của (2.12) là một trong các hàm sau
( ) 0 f x , x hoặc f x( )x , x Chuyển đổi một cấp số nhân bất kỳ thành cấp số nhân trong
2.5.3 Hàm số chuyển đổi từ cấp số điều hòa
2.5.3.1 Hàm số chuyển đổi cấp số điều hòa thành cấp số cộng
Bổ đề 8 Cho cấp số điều hòa u n , u n 0, n ,và hàm số f : thỏa mãn điều kiện 2 ( ) ( ) *
Khi đó dãy số f u ( n ) là một cấp số cộng
Chứng minh Vì dãy số u n là cấp số điều hòa nên ta có
Vậy dãy số f u ( n ) là một cấp số cộng
Bài toán 25 Tìm hàm f x( ) xác định, liên tục trên \ 0 và thỏa mãn điều kiện 2 ( ) ( ) *
, , ( ) ( ) u v f g u x y u Khi đó ( )g u liên tục trên \ 0 và (2.14) có dạng ( ) ( )
2 2 u v g u g v g u v Theo bài toán 19 có ( )g u au+b
x tùy ý chuyển cấp số điều hòa thành cấp số cộng
2.5.3.2 Hàm số chuyển đổi cấp số điều hòa thành cấp số điều hòa
Bổ đề 9 Cho cấp số điều hòa u n , u n 0, n ,và hàm số f x( ) xác định và liên tục trên \ 0 và thỏa mãn điều kiện
Khi đó dãy số f u ( n ) là một cấp số điều hòa
Chứng minh Theo giả thiết bài toán ta có *
Từ đó ta có dãy f u ( n ) là một cấp số điều hòa
Vậy để tìm các hàm số chuyển đổi cấp số điều hòa thành cấp số điều hòa ta đi tìm các hàm số thỏa mãn tính chất sau
Bài toán 26 Tìm hàm f x( ) xác định, liên tục trên \ 0 và thỏa mãn điều kiện ( 2 ) 2 , , * , 0
, , ( ) u v ( ) g u x y f x , khi đó ( ) 0,g u u 0 khi đó (2.15) có dạng ( ) ( ) *
2 2 u v g u g v g u v u v Theo kết quả bài toán 19 ta suy ra g u( )au+b Hàm g u( ) 0, u 0 khi và chỉ khi g u( )au,a 0 hoặc ( )g u b,b0.Vậy ( ) x, 0 f x a
b chuyển đổi một cấp số điều hòa thành cấp số điều hòa
2.5.3.3 Hàm số chuyển đổi cấp số điều hòa thành cấp số nhân
Bổ đề 10 Cho cấp số điều hòa u n , u n 0, n ,và hàm số f x xác định ( ) và liên tục trên \ 0 và thỏa mãn điều kiện
Khi đó dãy số f u ( n ) là một cấp số nhân
Chứng minh Theo giả thiết bài toán ta có *
Ta được f u( n ) f u( n 1 ) (f u n 1 ) Từ đó ta có dãy f u ( n ) là cấp số nhân
Vậy để tìm các hàm số chuyển đổi cấp số điều hòa thành cấp số nhân ta đi tìm các hàm số thỏa mãn tính chất sau
Bài toán 27 Tìm hàm f x( ) xác định, liên tục trên \ 0 và thỏa mãn điều kiện 2 *
Giải Từ điều kiện bài toán ta suy ra ( ) 0,f x x 0 Nếu tồn tại x 0 0 sao cho f x( ) 0 0 thì 0 * 0
,với g x( ) ln ( ) f x , theo kết quả bài toán 25 thì ( ) a , , g x b a b
x Do đó ( )f x e a b x ,a b, Thử lại hàm số ( )f x e a b x ,a b, thỏa mãn điều kiện (2.16)
Vậy, hàm số ( ) 0f x hoặc ( )f x e a b x ,a b, tùy ý chuyển đổi một cấp số điều hòa bất kỳ thành cấp số nhân
2.5.4 Một số lớp hàm chuyển đổi các cấp số trong tập số nguyên
2.5.4.1 Hàm số chuyển đổi cấp số cộng thành cấp số cộng
Bài toán 28 Tìm hàm f x xác định trên ( ) và thỏa mãn điều kiện
Giải Trước hết ta khảo sát hàm số ( )f x trong tập hợp
Tại x1,y1 ta được (2)f 2 (1)f đặt (1)f a ta có (2)f 2a
Tại điểm x = 2, y = 1, ta có f(3) = f(2) + f(1), từ đó suy ra f(3) = 3f(1) hay f(3) = a Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được rằng f(n) = nf(1) hay f(n) = na với mọi n thuộc tập số tự nhiên Tiếp theo, ta khảo sát hàm số f(x) trong tập hợp, thay y = -x vào công thức, ta nhận được f(0) = f(x) + f(-x) và từ đó suy ra f(x) = -f(-x).
Khi đó ta có hàm ( )f x là hàm lẻ
Xét n ,n 0 n 0, theo chứng minh ở phần trên ta có
( ) f n na mà ( )f n f( n) nên ( )f n na Vậy hàm số cầm tìm là ( )f x ax, x
Bài toán 29 Tìm hàm f x xác định trên ( ) và thỏa mãn điều kiện
Giải Đặt (0)f b f x, ( ) b g x( ) thì (0) 0g , thay vào công thức (2.18) ta có ( ) ( )
Lần lượt chọn x2 ,k y0, hoặc x0,y2k ta có ( ) ( ) ( )
Suy ra (g x y) g x( )g y( ),x y, Theo kết quả bài toán 28 ta có
Bài toán 30 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để dãy số a lập thành n một cấp số cộng là dãy đó phải thỏa mãn hệ thức
Giải Điều kiện cần Giả sử dãy a n là một cấp số cộng với công sai bằng d Khi đó a n a 0 (n 1) ,d n * Vậy nên a 2 m a 2 n 2a 0 (2m2n2)d và
2a m n 2 a 0(m n 1)d Từ đó ta có ngay công thức (2.19) Điều kiện đủ Giả sử dãy số a n thỏa mãn điều kiện (2.19) Ta chứng minh
a n là một cấp số cộng với công sai d a 1 a 0
Thay m0 vào công thức (2.19) ta có 2a n a 0 a 2 n
Thay n0 vào công thức (2.19) ta có 2a m a 0 a 2 m
Thay kết quả vào công thức (2.19) ta được 2a m n 2a m 2a n 2a 0 (2.20) m n m n 0 a a a a
Thay m1 vào công thức (2.20) ta có a n 1 a n d d, a 1 a 0
Vậy dãy a n là một cấp số cộng
Bổ đề 11 nêu rõ rằng để một hàm số chuyển mội cấp số cộng nguyên dương thành cấp số cộng, điều kiện cần và đủ là hàm số đó phải chuyển tập các số tự nhiên thành cấp số cộng.
Để chứng minh điều kiện cần, nếu hàm f chuyển mọi cấp số cộng thành cấp số cộng, thì hàm f cũng chuyển tập các số tự nhiên thành một cấp số cộng, bởi vì tập các số tự nhiên là cấp số cộng với công sai nhỏ nhất là 1 Đối với điều kiện đủ, hàm f chuyển tập các số tự nhiên thành cấp số cộng, tức là dãy {f(n)} là cấp số cộng cho mọi n Dãy {a_n} là cấp số cộng nguyên dương với công sai d ∈ R Chúng ta cần chứng minh rằng dãy {f(a_n)} cũng là cấp số cộng.
Vì dãy f n ( ) là cấp số cộng nên theo công thức (2.20) ta có
( ) ( ) ( ) (0), , f m n f m f n f m n Dãy a n là cấp số cộng nguyên dương với công sai là d suy ra
Vậy dãy f a ( n ) là một cấp số cộng với công sai ( )f d f(0)
Bài toán 31 Xác định hàm số f : chuyển mọi cấp số cộng
Để giải bài toán theo bổ đề 11, chúng ta cần xác định các hàm số chuyển dãy số tự nhiên thành cấp số cộng Hàm f chuyển dãy số tự nhiên thành cấp số cộng nếu thỏa mãn điều kiện f(m+n) = f(m) + f(n) - f(0) với mọi m, n thuộc tập số tự nhiên.
( ) (0) ( ) (0) ( ) (0), , f m n f f m f f n f m n Đặt ( )g n f n( ) f(0) ta có (g m n ) g m( )g n( ).Theo bài toán 28 ta có ( ) g x ax, x trong đó ag(1)
Do đó ( )f x g x( ) f(0) Đặt (0)f b thì ( )f x ax+b, x
Kết hợp với bài toán 29 ta có hàm số chuyển đổi mọi cấp số cộng thành cấp số cộng trong tập hợp các số nguyên là ( )f x ax+b, x
Thử lại hàm số ( )f x ax+b, x thỏa mãn điều kiện bài toán
Bài toán 32 Xác định hàm f xác định trên * và chuyển cấp số cộng nguyên dương a n cho trước thành cấp số cộng b cho trước n
Giải Nếu a n * theo kết quả bài 31 ta có
Nếu a n * , ta có hàm f : * được xác định như sau
Trong đó c n tùy ý trong chuyển cấp số cộng nguyên dương a n cho trước thành cấp số cộng b n cho trước
2.5.4.2 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân thành cấp số nhân
Bổ đề 12 chứng minh rằng dãy số dương \(\{a_n\}\) lập thành cấp số nhân nếu và chỉ nếu dãy số này thỏa mãn hệ thức \(a_{m+n} = a_m \cdot a_n\) với mọi \(m, n \in \mathbb{N}\).
Đặt \( a_n = b_n \) với mọi \( n \) Khi đó, \( a_n = e^{b_n} \) và biểu thức (2.21) trở thành \( e^{2b_{mn}} + e^{b_{mn}} = e^{b_{2m}} + e^{b_{2n}} \) tương đương với \( 2b_{mn} + e^{b_{mn}} = b_{2m} + b_{2n} \) với mọi \( m, n \) Theo bài toán 30, điều này là điều kiện cần và đủ để dãy số \( \{ b_n \} \) tạo thành cấp số cộng với công sai \( d = b_1 - b_0 \) Từ bổ đề 3, ta suy ra điều cần chứng minh.
Từ công thức (2.21) ta có
Bài toán 33 Xác định các dãy số dương x thỏa mãn điều kiện n
Giải Ta có x 1 n x x 1 n x 1 1 giả sử n p là số nguyên tố
Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được k ( p ) k x p x và nếu n p p 1 1 2 2 p s s thì 1 2
( p ) ( p ) ( ps ) s x n x x x Trong đó x p có thể nhận giá trị tùy ý khi p nguyên tố
Từ đó ta có kết luận x p có thể nhận giá trị tùy ý khi p nguyên tố và
Bài toán 34 Xác định hàm số f thỏa mãn tính chất
Giải Ta có (1 )f n f(1) ( )f n Suy ra (1) 1f Giả sử n p là số nguyên tố Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được f p( k ) f p( ) k và nếu
1 2 s s n p p p thì f n( ) f p( 1 ) 1 f p( 2 ) ( 2 f p s ) s Trong đó f p( ) có thể nhận giá trị tùy ý khi p là một số nguyên tố
Vậy ( )f p có thể nhận giá trị tùy ý khi p là một số nguyên tố và
Hàm số f : * * chuyển mọi cấp số nhân thành cấp số nhân nếu và chỉ nếu hàm số này chuyển cấp số nhân có công bội nguyên tố thành cấp số nhân.
Nếu hàm số f chuyển mọi cấp số nhân thành cấp số nhân, thì nó cũng chuyển cấp số nhân có công bội nguyên tố thành cấp số nhân Để chứng minh điều kiện đủ, nếu hàm f chuyển cấp số nhân có công bội nguyên tố thành cấp số nhân, ta cần chứng minh rằng dãy số {f(u(n))} cũng là cấp số nhân, với u(n) = u*q^0*n Ta sẽ xem xét các trường hợp cụ thể để hoàn tất chứng minh này.
Nếu q là số nguyên tố thì bài toán được chứng minh
Nếu q không phải là số nguyên tố thì q p p 1 1 2 2 p s s trong đó p i là số nguyên tố, i * Khi đó ta có
Theo bổ đề 12 ta chứng minh được f 2 (u m n ) f u( 2 m ) (f u 2 n ) Ta có
Vậy ta có điều phải chứng minh
2.6 DÃY SỐ XÁC ĐỊNH BỞI DÃY CÁC PHƯƠNG TRÌNH
Trong toán học, có nhiều trường hợp mà giá trị cụ thể của các đối tượng như số hay hàm số không thể xác định Tuy nhiên, chúng ta vẫn có thể thực hiện các phép toán trên những đối tượng này Chẳng hạn, mặc dù không biết giá trị các nghiệm của một phương trình, ta vẫn có thể tính được tổng của chúng.
Bài toán 36 Ký hiệu x là nghiệm của phương trình n
1 Chứng minh dãy x n hội tụ
2 Hãy tìm giới hạn của dãy x n
Dãy x n được xác định duy nhất vì hàm số ( ) 1 1 1 n 1 f x x x x n
Trong khoảng (0,1), dãy số x_n là liên tục và đơn điệu, mặc dù không thể xác định giá trị cụ thể của x_n Tuy nhiên, để chứng minh tính hội tụ của x_n, chỉ cần xác minh tính đơn điệu và tính bị chặn Tính bị chặn được đảm bảo vì 0 < x_n < 1 Đối với tính đơn điệu, cần chú ý đến mối liên hệ giữa f_n(x) và f_{n+1}(x), trong đó f_{n+1}(x) = f_n(x) + 1.
Đây chính là chìa khoá để chứng minh tính đơn điệu của x n
Giải Rõ ràng x n được xác định một cách duy nhất, 0x n 1 Ta có
trong khi đó f n 1 0 0 Theo tính chất của hàm liên tục, trên khoảng
0, x n có ít nhất một nghiệm của f n 1 x và nghiệm đó chính là x n 1
Như thế ta đã chứng minh được x n 1 x n , tức là dãy số x n đơn điệu giảm
Do dãy này bị chặn dưới bởi 0 nên dãy số đã cho có giới hạn
Ta sẽ chứng minh giới hạn nói trên bằng 0 Để chứng minh điều này, ta cần đến kết quả quen thuộc sau:
Thật vậy, giả sử lim n 0 n x a khi đó do dãy số giảm nên ta có x n a, n
khi n dần đến vô cùng nên tồn tại N sao cho với mọi nN, ta có 1 1 1 1 1
Khi đó, với nN, ta có
mâu thuẫn Vậy ta phải có lim n 0 n x
Bài toán 37 (VMO, 2007) Cho số thực a 2 và
1 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình f n x a luôn có đúng một nghiệm dương duy nhất
2 Gọi nghiệm đó là x , chứng minh rằng dãy n x có giới hạn hữu hạn khi n n dần đến vô cùng
Kết quả của câu 1) là hiển nhiên vì hàm f n(x) tăng trên khoảng (0, +∞) Dễ dàng nhận thấy rằng 0 < x n < 1 Chúng ta sẽ chứng minh rằng dãy x n tăng, tức là x n + 1 > x n Tương tự như các lời giải trước, chúng ta sẽ tiến hành xem xét.
Vì ta đã có f n+1 1 = a +n+1 > a 10 nên ta chỉ cần chứng minh ax n 1 a là sẽ suy ra x n x n 1 1 Như vậy, cần chứng minh n a 1. x a
Vậy dãy số tăng x n tăng và bị chặn bởi 1 nên hội tụ
Một lần nữa mối liên hệ f n 1 x x f x ( ) 1 n lại giúp chúng ta tìm được mối quan hệ giữa x n và x n 1 Từ lời giải trên, ta có thể chứng minh được rằng lim 1 n n x a
Theo định lý Lagrange thì f c -f x = f’(ξ) c - x n n n n với x c n , , vì
’( ) 10 n n 1 1 f n a n , nên từ đây suy ra kc > c - x n n
Từ đó ta có c kc n x n c Có nghĩa là lim n n x c
Bài toán 38 (VMO, 2002) Cho n là một số nguyên dương Chứng minh rằng phương trình
có một nghiệm duy nhất x n 1 Chứng minh rằng khi n dần đến vô cùng,x dần đến 4 n
Việc chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất x n 1 là hiển nhiên Mối liên hệ 1 1 2
cho thấy x là dãy số tăng ở n đây 2
Dãy số tuần hoàn
Giống như các hàm số thông thường, dãy số {\(x_n\)} có thể được xem như một hàm \(f(x) = x_n\) xác định trên một tập hợp và nhận giá trị trong đó Trong phần này, chúng tôi sẽ tập trung vào hai loại dãy tuần hoàn cơ bản: tuần hoàn cộng tính và tuần hoàn nhân tính.
Bài toán 39 Xác định dãy số u n thỏa mãn điều kiện u n b u n d, n trong đó b ,d
b Thay vào công thức u n b u n d, ta có
( ) n b n d d n b v n v d b b Suy ra v n b v n , do đó v n là dãy tuần hoàn cộng tính chu kỳ b
b với v n là dãy tuần hoàn cộng tính chu kỳ b
Bài toán 40 Xác định dãy số u n thỏa mãn điều kiện u n b c u n , n , trong đó b * ,c
Suy ra v n b v n do đó v n là dãy tuần hoàn cộng tính chu kỳ b
Vậy u n c v n b n với v n là dãy tuần hoàn cộng tính chu kỳ b
Bài toán 41 Xác định dãy số u n thỏa mãn điều kiện u n b c u n d, n trong đó b * ,c
Giải Nếu c = 1 theo kết quả bài toán 40 ta có n d n u n v
b , với v n là dãy tuần hoàn cộng tính chu kỳ b
Hay v n b c v n theo kết quả bài toán 40, ta có v n c n b x n trong đó n n b n x
+ x x x c < 0 tùy ý sao cho với tùy ý sao cho với
b , với v n là dãy tuần hoàn cộng tính chu kỳ b
+ x x x c < 0 tùy ý sao cho với tùy ý sao cho với
Bài toán 42 Xác định dãy số u n thỏa mãn điều kiện u an c u n d, n trong đó a , a 0,1, 1 , , c d , c 0.
Giải Nếu c = 1 khi đó ta có u an u n d.Thay n0 thì u 0 u 0 d suy ra 0 d Khi đó u an u n thì dãy số u n là dãy tuần hoàn nhân tính chu kỳ a
Nếu c1 khi đó ta đặt n n 1 u v d
Hay v an c v n , do đó v 0 0 Đặt log n a c n v
+n s s : s = s , n 0. víi là dãy tuần hoàn với
+n s s : s =-s , n 0. víi là dãy tuần hoàn với
Nếu c1,d 0 thì không tồn tại dãy u n
Nếu c1,d 0 thì u n là dãy tuần hoàn nhân tính chu kỳ a
+n s s : s = s , n 0. víi là dãy tuần hoàn với
+n s s : s =-s , n 0. víi là dãy tuần hoàn với