KHÁI NIỆM VỀ BIỂU DIỄN NHÓM
§ 1 ĐỊNH NGHĨA VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN
Giả sử G là một nhóm hữu hạn, K là một trường, V là một không gian vectơ hữu hạn chiều trên K
Một biểu diễn (tuyến tính ) của G trong V là một đồng cấu nhóm
, từ G vào nhóm GL(V) các tự đẳng cấu tuyến tính của V
Ký hiệu (s )bởi s với s G Ta có:
Với s, t G và e là đơn vị của nhóm G
V được gọi là không gian biểu diễn của nhóm G, hay còn gọi là G - không gian Cấp của biểu diễn được xác định bởi số chiều của V trên trường K Nếu K là trường hữu tỉ, thực hoặc phức, thì biểu diễn này được gọi tương ứng là biểu diễn hữu tỉ, thực hoặc phức của G.
Biểu diễn : G GL ( V ) được gọi là biểu diễn trung thành nếu là một đơn cấu R * nhóm; được gọi là tầm thường nếu e id v với mọi s G
Mỗi biểu diễn cấp một của nhóm G là một đồng cấu : G GL(K), trong đó K là trường số phức không chứa 0 Đặt g = G, ta có s g = e với mọi s thuộc G, do đó s g = 1 trong K* Như vậy, s là một căn bậc g của đơn vị 1 trong K* với mọi s thuộc G Điều này cho thấy các biểu diễn phức phong phú hơn các biểu diễn thực, vì trong K* có đúng g căn bậc g của 1, trong khi đó K chỉ chứa tối đa hai căn bậc g của 1, tùy thuộc vào tính chẵn hay lẻ của g.
Trong mục này trở đi chúng ta chỉ xét các biểu diễn phức
Giả sử V là một trường không gian vectơ phức n chiều và a: V V là một phép biến đổi tuyến tính có ma trận A ( A ij ) trong cơ sở e 1 , e 2 , , e n của V Số phức
( được gọi là vết của a
Giả sử : G GL ( V ) là một biểu diễn tuyến tính của nhóm G trong không gian vectơ V Hàm số : G C được định nghĩa bởi công thức:
s Tr ,( s G ) được gọi là đặc trưng của biểu diễn
Nếu là đặc trưng của một biểu diễn có cấp n, thì:
2.3 Định lý Đặc trưng r G của biểu diễn chính quy của G được cho bởi công thức
Chọn một cơ sở của nhóm G là các phần tử t thuộc G Dựa trên cơ sở này, ánh xạ s được định nghĩa với công thức s (t) = st Nếu s khác e, thì st sẽ không bằng t với mọi t thuộc G Khi biểu diễn ánh xạ s dưới dạng ma trận, ta thu được ma trận A với các phần tử a ij n s.
, suy ra các phần tử trên đường chéo A s đối với cơ sở trên đều bằng 0 Tức là
( s Tr s e r G s (trong đó Tr ( s )là vết của )
Vậy theo Mệnh đề 2.2, ta có
Từ định lý trên ta có hai hệ quả sau:
Mối biểu diễn bất khả quy đều được chứa trong biểu diễn chính quy với số bội bằng cấp của nó
Giả sử W1, W2, , Wp là các không gian G bất khả quy, đôi một không đẳng cấu với các đặc trưng tương ứng là 1, 2, , p và cấp tương ứng là n1, n2, , np Khi đó, có hai điều kiện quan trọng: thứ nhất, tổng bình phương các cấp n1, n2, , np bằng G; thứ hai, điều kiện ( ) 0, ,
Hàm f : G C được gọi là hàm lớp trên G nếu, f ( tst 1 ) f ( t ), s , t G
Ký hiệu bởi R C (G )là không gian vectơ con của F(G,C) gồm tất cả các hàm lớp trên G
Số biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu của G bằng số liên hợp của G
Giả sử D1, D2, , Dk là tất cả các lớp liên hợp trong nhóm G Hàm f: G → C được coi là một hàm lớp nếu và chỉ nếu f là một hằng số trên một lớp liên hợp Di (với i = 1, 2, , k) Các hằng số phức này có thể được chọn tùy ý, dẫn đến dim(RC(G)) = k Ngược lại, dim(RC(G)) cũng bằng số lượng các biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu.
Tập hợp các biểu diễn của nhóm G, được trang bị hai phép toán và , có nhiều tính chất tương tự như một vành, nhưng không hoàn toàn là vành do chưa xác định được “hiệu” của hai biểu diễn Để khắc phục vấn đề này, chúng ta cần mở rộng tập các biểu diễn thành tập các biểu diễn suy rộng.
Giả sử 1 , 2 , , p là tất cả các biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu của G Khi đó, mỗi biểu diễn của G có thể phân tích thành tổng p m p m
1 1 với các hệ số m i nguyên không âm Nếu n 1 1 n p p cũng là một biểu diễn của G, thì ta có p p p n m n m
Mối biểu diễn i j lại có thể phân tích qua 1 , 2 , , p Ta thế vào những đẳng thức trên ta thu được phân tích của
R(G) là tập hợp các tổng hình thức = m11 ⊕ ⊕ mpp, với các hệ số mi là số nguyên (có thể dương, âm hoặc bằng 0) Mỗi phần tử trong R(G) được gọi là biểu diễn suy rộng của G Tổng ⊕ ψ và tích ⊗ ψ của hai biểu diễn suy rộng và ψ được xác định theo công thức tương tự như trường hợp các biểu diễn.
Ta thấy rằng R(G) lập thành một vành (giao hoán) đối với hai phép toán và Nó được gọi là vành biểu diễn của nhóm G
Giả sử i là đặc trưng của biểu diễn i Khi đó, R(G) có thể đồng nhất với tập các hàm là tổ hợp tuyến tính của 1 , , p
Với các hệ số m i nguyên Mỗi hàm như thế được gọi là một đặc trưng suy rộng của G Hai phép toán được định nghĩa như sau:
Vì thế R(G) cũng được gọi là vành đặc trưng của G Đối với phép cộng, R(G) là một nhóm Abel tự do trên tập hợp
Hơn nữa R(G) R G c Ngoài ra, ta thấy c ( ) z
Biểu diễn đơn vị của nhóm G, ký hiệu là 1, là một biểu diễn cấp một từ G đến GL(C), được định nghĩa bởi 1(s) = id_c cho mọi phần tử s trong G Đặc trưng 1 của biểu diễn này được xác định bởi 1(1, s) = 1 cho mọi s thuộc G.
Rõ ràng 1 là đơn vị của vành R(G) Tóm lại ta thu được
Các đặc trưng suy rộng của G lập thành một vành giao hoán R(G) với đơn vị là đặc trưng 1 của biểu diễn đơn vị
Phép nhân trong vành R(G) được hoàn toàn xác định thông qua các hệ số cấu trúc, tức là các số nguyên không âm m i j k xuất hiện trong phân tích k i j ij k k
Nhân hai vế của đẳng thức i ( ) j ( ) ij l ( ) l l t t m t
Với G 1 k ( ) t rồi lấy tổng t G Quan hệ trực giao giữa các đặc trưng bất khả quy dẫn tới ij k 1 i ( ) j ( ) k ( ) t G m t t t
Nếu i là một biểu diễn bất khả quy cấp một và j là một biểu diễn bất khả quy cấp tuỳ ý, thì i j cũng là một biểu diễn bất khả quy
Ta có đặc trưng của i j i j Vì i có cấp bằng 1, nên với mọi t G , i ( ) t là một căn phức của 1 Do đó i ( ) t i ( ) 1 t Ta có
Vậy i j là một biểu diễn bất khả quy.
MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN
§ 1 BIỂU DIỄN CỦA NHÓM ABEN
Trong bài viết này, tác giả sẽ áp dụng lý thuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn để nghiên cứu các biểu diễn của một số nhóm đặc biệt, bao gồm nhóm Aben, nhóm cyclic và nhóm đối xứng S_n (với n = 1, 2, 3).
Nhóm G là nhóm Aben khi và chỉ khi mọi biểu diễn bất khả quy của G đều có cấp bằng 1
Gọi n1, n2, n3, , np là cấp của tất cả các biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu của nhóm G Theo kết quả từ biểu diễn chính quy, ta có công thức n1^2 + n2^2 + + np^2 = |G|.
Nhóm G được coi là nhóm Abel nếu và chỉ nếu mọi lớp liên hợp của nó chứa đúng một phần tử, tức là số lớp liên hợp của G bằng p Do đó, G phải bằng p.
Từ định lý 1.1 ta có hệ quả sau:
Giả sử H là nhóm con của G, H giao hoán Khi đó mọi biểu diễn bất khả quy của G đều có cấp nhỏ hơn hoặc bằng G : H
Theo định nghĩa về biểu diễn một nhóm, giả sử f : G → GL(V) là một biểu diễn bất khả quy của G, ta có thể xem xét hạn chế fH : H → GL(V) của f trên nhóm con H.
Bây giờ ta giả sử W V là một không gian biểu diễn con bất khả quy của f H ,
Theo Định lý 1.1 thì dimW = 1 Đặt
Vì fH là hạn chế của f trên H, khi đó V’ ổn định dưới tác động của G Vì f bất khả quy và V’ 0 Nên V = V’
Mặt khác, sG,s'H, ta có: fss’(w) = fs fs’(w) = fs(w)
Do đó, số các không gian khác nhau có dạng fs(w) là không vượt quá số lớp G : H .Vậy dimV G:H .dimWG:H.
Cho G là một nhóm, với x và y là hai phần tử của G Phần tử x -1 y -1 xy được gọi là hoán tử của x và y Nhóm con H, được tạo ra từ tất cả các hoán tử của mọi cặp x, y trong G, là nhóm con chuẩn tắc của G Nhóm con H này được gọi là nhóm giao hoán tử của G, ký hiệu là [G, G], và thương nhóm G / [G, G] là nhóm Abel.
Ta cần chứng minh H là nhóm chuẩn tắc của G
1 Đặt ab a 1 b 1 ab ,khi đó s i a i , b i ,
có a = s1s2 sn trong đó si = a i , b i
Khi đó ta có a g = (s1.s2 sn) g = s 1 g s 2 g s n g t 1 t 2 t n
Mà A = G, G nhóm con của G nên A = G , G G
Vậy A là nhóm con chuẩn tắc của G
+ Chứng minh A = G, G là nhóm giáo hoán từ đó suy ra G/ G, G là nhóm
Ta phải chứng minh x , y G có xA yA = yA xA
Vậy A là nhóm Abel G / A G / G , G là nhóm Abel
Từ định lý trên ta có các kết quả sau
Nhóm Cho G có sự tương ứng giữa các biểu diễn cấp 1 của G và các biểu diễn bất khả quy của nhóm Abel G/ G, G Số lượng các biểu diễn cấp 1 không đẳng cấu với nhau của G tương ứng với chỉ số G, G trong G.
Giả sử f là một biểu diễn cấp một của nhóm G, với f : GGL(C) Do GL(C) là một nhóm Abel, nên ảnh của f, Imf, cũng sẽ là một nhóm con Abel trong GL(C).
Như ta đã biết G , G G và kerf G , nhưng G , G ker f
Vì lấy m G , G m x 1 y 1 xy f ( m ) f ( x 1 y 1 xy ) e (e là đơn vị của
có nghĩa kerf chứa nhóm G, G các giao hoán tử của G
Bây giờ ta xây dựng một biểu diễn của G/ G, G sinh bởi f như sau:
: G G G GL C f Được xác định bởi f s G , G f ( s ), s G
Chúng ta có thể chứng minh rằng ánh xạ f không phụ thuộc vào phần tử đại diện của lớp ghép s[G, G] Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng f là cấp một theo định lý 1.1.
Suy ra f bất khả quy
Giả sử có một biểu diễn không khả quy của nhóm thương Abel G/ G, G , theo định lý 1.1, ta có cấp một Từ biểu diễn của G/ G, G , ta có thể cảm sinh một biểu diễn mới của G, được xác định bởi : G GL (C).
trong đó : G G / G , G là phép chiếu tự nhiên
Tóm lại: Nếu có một biểu diễn f của G, ta xây dựng được biểu diễn của
G Do vậy, tương ứng là ngược của tương ứng f f (chứng minh được đây là tương ứng một - một)
Do tương ứng một - một vừa thiết lập ở trên và do G/ G, G là nhóm Abel
số biểu diễn cấp một không đẳng cấu với nhau của G bằng ord( G / G , G ) = G : G , G
Cho G a n n Z là nhóm xyclic cấp n sinh bởi phần tử a Mô tả các biểu diễn bất khả quy của G
Nhóm xyclic là nhóm Abel, và theo định lý 1.1, mọi biểu diễn bất khả quy của G đều có cấp một Theo lý thuyết đặc trưng của biểu diễn, một biểu diễn bất khả quy cấp một f của G tương ứng với đặc trưng của nó, được thể hiện dưới dạng đồng cấu f: G → C \{0\} Với a ∈ G, ta đặt w = f(a), do đó f(a) = [f(a)]m = wm.
Mặt khác vì ord(G) = n (có nghĩa a n e w n f ( a ) f ( a n ) f ( e ) 1) (vì đồng cấu nhóm bảo tồn phần tử đơn vị)
w n có nghĩa là w là giá trị căn bậc n của 1 n e ik w 2 /
Khi đó ta thu được n biểu diễn bất khả quy cấp 1 của G với đặc trưng là n ikm m k ( a ) e 2 /
Theo dạng lượng giác của số phức ta có: k k ' k k ' (cộng theo chỉ số k được lấy theo mod n )
Vậy khi đó vành biểu diễn của G là R ( G ) Z 1 /( 1 n 1 ).
Cho S n là nhóm nhân các phép thế bậc n Tìm các biểu diễn cấp 1 của G
Trong Sn ta xét tập hợp
A n n tập hợp các phép thế chẵn
Khi đó A n S n ,vì n c n n n sign ab sign a sign b A S
S A x sign a sign x sign xax sign S x A a
Lấy hai phần tử a,b S n , xét hoán tử a , b aba 1 b 1 khi đó ta có nhóm con sinh bởi các hoán tử của S n , ký hiệu là:
sign aba b sign a sign b sign a sign b
Như ta đã biết, với n 2 thì An là nhóm con sinh bởi các vòng xích có độ dài 3.Mặt khác:
( ij ), ( ik ) ( ij )( ik )( ij ) 1 ( ik ) 1 ( ij )( ik )( ij )( ik ) ( ijk ).
Vậy mỗi vòng xích có độ dài 3, đó là
Do đó, với n 2 , thì An = S n , S n
Khi đó theo Định lý 1.3 thì S n có đúng hai biểu diễn cấp một là biểu diễn đơn vị 1 và một biểu diễn 2
Một số trường hợp cụ thể của n:
Với n=1: biểu diễn của nhóm đơn vị S1 = e
Với n=2: biểu diễn của S2 C2 (xét ở ví dụ 1.5)
Với n=3: xét biểu diễn của nhóm S 3
Ta có S3 có 3 lớp liên hợp, được đại diện (e ), ( 1 2 ), ( 1 2 3 ) Vậy S3 có
Có ba biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu với nhau, trong đó có hai biểu diễn cấp một, đó là 1 và 2, được xác định rõ ràng.
Biểu diễn bất khả quy thứ 3 là 3 có cấp bằng S 3 1 2 1 2 2được xác định bởi phương trình
trong đó r S 3 là đặc trưng của biểu diễn chính quy của S3 § 2 BIỂU DIỄN BỞI NHÓM ĐỐI XỨNG
Giả sử tập A = a 1 , , a n là tập hữu hạn Ký hiệu
S(A) = f A : A f song ánh Khi đó S(A) cùng với phép hợp thành các ánh xạ là một nhóm
Nhóm S(A) được gọi là nhóm đối xứng trên tập hợp A Mỗi nhóm con của S(A) được gọi là nhóm các phép thế trên A
Nếu A = {1, 2, , n}, thì S(A) được ký hiệu là Sn, đại diện cho nhóm đối xứng trên n phần tử, hay còn gọi là nhóm phép thế bậc n Mỗi ánh xạ f thuộc Sn được gọi là một phép bậc n.
Hai phép thế , thuộc nhóm phép thế G được gọi là phép thế liên hợp nếu trong G tồn tại một phép thế sao cho: 1
Hai phép thế và được coi là liên hợp trong nhóm đối xứng khi và chỉ khi chúng có số vòng xích rời rạc giống nhau và mỗi vòng xích đều có độ dài đồng nhất.
+ Điều kiện cần: , liên hợp trong nhóm đối xứng
Giả sử a 11 , a 12 , , a 1 r a m 1 , a m 2 , , a mt khi đó tồn tại sao cho
Khi đó 1 b 11 , ,b 1 r b m 1 , ,b mt , có cùng số vòng xích và mỗi vòng xích có độ dài như nhau
Là hai phép thế có cùng số vòng xích và mỗi xích có độ dài như nhau khi đó tồn tại
2.4 Nhóm phép thế bắc cầu
Nhóm phép thế G được gọi là nhóm phép thế bắc cầu trên S nếu thoả mãn các điều kiện sau: i, s S , f G thì f(s) S ii, S i , S j S thì G : ( S i ) S j
Khi đó tập S được gọi là miền bắc cầu
Cho G là nhóm phép thế trên tập X và S là một tập con của X Gọi x 1 là một phần tử cố định trong S và x i S khi đó tồn tại G sao cho x 1 ( x i ) thì
G là một miền bắc cầu trên S
Ta chỉ cần chứng minh G thoả mãn hai điều kiện của định nghĩa
Do G là một nhóm nên i 1 G và 1
Với x i , x j S khi đó theo giả thiết i , j G sao cho
Vậy G là miền bắc cầu trên S
Giả sử S = {s1, s2, , sk} là miền bắc cầu của nhóm G Tập hợp H bao gồm tất cả các phép thế của G giữ nguyên tại chỗ s1 Đối với mỗi si ∈ S, ta chọn một phần tử trong G sao cho αi(s1) = si Kết quả là H trở thành một nhóm con của G, và G có thể được biểu diễn dưới dạng G = α1H + α2H + + αkH.
+ Chứng minh: H nhóm con của G ?
H do id H , với id là đơn vị của G
Do G là nhóm, 1 G , i 1 , n , H là nhóm con của G khi đó
Do G là nhóm bắc cầu trên S nên f G , thì f(s1) S
Vì G là một nhóm với mọi f, với mỗi i luôn h G sao cho f h i
Từ (1) và (2) ta có G = A Đpcm
2.5 Biểu diễn nhóm bởi nhóm đối xứng
Cho G1 và G2 là hai nhóm bất kỳ, một đồng cấu : G 1 G 2 được gọi là một biểu diễn nhóm G 1 bởi nhóm G2
- Biểu diễn được gọi là biểu diễn thực sự nếu là đơn cấu
Mọi nhóm G đều đẳng cấu với nhóm phép thế nào đó trên các phần tử của G
Nói cách khác: Nếu gọi S(G) là nhóm phép thế các phần tử của G, khi đó tồn tại một đơn cấu nhóm : G S ( G )
+ Với mỗi g G ta xét ánh xạ g : G G x gx
Rõ ràng g là một song ánh với g G Vì g là một phép thế trên G + Xét ánh xạ : G S ( G ) g g
Ta sẽ chứng minh là một biểu diễn thực sự của G vào nhóm đối xứng S(G).Thật vậy:
Nếu có g g g ( x ) g ( x ) g ' x gx x G do G là một nhóm nên phép toán trong G có luật giản ước g ' g hay là đơn ánh
là một đơn cấuđpcm
Biểu diễn ở trong Định lý 2.5.1 gọi là biểu diễn chính quy trái của nhóm G
Xét biểu diễn nhóm Dihedral D 3 vào nhóm S 6
Khi đó D 3 = e , a , a 2 , ab , a 2 b , b Các phần tử của D 3 có tính chất a 3 = e,b 2 =e, (ab) 2 = e
Trước hết ta đánh số các phần tử D 3 bởi song ánh
Khi đó ta lập biểu diễn chính quy trái như sau: với g D 3 , xét song ánh
Biểu diễn chính quy trái : D 3 S 6
Tương tự biểu diễn chính quy trái, ta có biểu diễn chính quy phải như sau:
Rõ ràng g là một đẳng cấu trên G( g là một phép thế trên G)
Khi đó p không phải là một đồng cấu và gọi là phản đồng cấu nhóm Imp Thật vậy, g , g ' G gg ' ( x ) xgg ' ( xg ) g ' g ' ( xg ) g ' g ( x )
Rõ ràng g ' g ( x ) g g ' ( x ) (nếu G không giao hoán)
gg ' g g ' không phải là đồng cấu
Biểu diễn chính quy trái tương đương với biểu diễn chính quy phải
Khi và chỉ khi G là nhóm giao hoán
+ Giả sử biểu diễn chính quy trái tương đương với biểu diễn chính quy phải , có nghĩa là ( g ) ( g ), g G hay x , g G gx xg G là nhóm giao hoán
+ Giả sử G là nhóm giao hoán
Bây giờ chúng ta nghiên cứu tính chất ảnh biểu diễn Im trong nhóm đối xứng S(G)
2.6 Tính chất ảnh của biểu diễn trong nhóm đối xứng S(G)
Cho G là một nhóm và S là tập con của G Khi đó tập hợp
C G (S) = g G \ g 1 sg s , s S gọi là tâm tập của S trong G và tập hợp
NG(S) = g G \ g 1 sg S , s S gọi là chuẩn tập của S trong G
Cho G là nhóm hữu hạn, ảnh biểu diễn chính quy của G, ký hiệu là Imp, là tâm của ảnh biểu diễn chính quy trái Im trong nhóm đối xứng S(G) Ngược lại, Im cũng là tâm của Imp trong S(G).
+ Chứng minh Imp là tâm tập của Im Đặt A = S ( G ) \ g g , g Im
Chọn g = x 1 ( e ) x 1 ( x ), x G (*) Đặt g’ = (e ) thay vào (*) ta được:
Từ (1) và (2) suy ra A=Imp suy ra điều phải chứng minh
+ Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được Imlà tâm tập của Imp trong S(G)
Nếu G là nhóm Abel thì Imp = Im và chúng là nhóm con giao hoán cực đại trong S(G)
+ Rõ ràng với G là nhóm Abel thì Imp = Im
+ Chứng minh Imlà nhóm con cực đại trong S(G)
Giả sử A là nhóm con giao hoán trong S(G) và Im A ta có:
thuộc vào tâm tập của Im Im p hay Im A Im Hay
Imlà nhóm con cực đại trong S(G)
Sau đây ta xét ví dụ:
Tìm biểu diễn chính quy phải : D 3 S 6 Khi đó Im là tâm tập của
Im, thật vậy Ta có D 3 = e , a , a 2 , ab , a 2 b , b Từ bảng nhân của D 3 ta có:
Ta chứng minh Imp là tâm tập của Im
Tương tự ta có thể kiểm tra các trường hợp còn lại
Nếu H là chuẩn tập của lm trong S(G) ,G là nhóm có tâm bằng e và mọi tự đẳng cấu là tự đẳng cấu trong thì H lm x lm
+ Từ Im ,Im là các nhóm con của S(G), H là chuẩn tập của Im =>
Im ? là tâm tập của Im , H là chuẩn tập của Im => Im ? , thật vậy :
Mà 1 g ' S ( G ) 1 g ' Im là tâm tập của Im
+ Chứng minh Im Im { id } ,thật vậy :
Giả sử Im Im Im và Im
Mà theo giả thiết thì C(G) = e g e p id
(do H là chuẩn tập của Im)
Vì G hữu hạn S(G) hữu hạn H hữu hạn
Ta lại có là một biểu diễn thự sự của G nên G Im
Từ giả thiết tự đẳng cấu của Im đều là tự đẳng cấu trong, do đó:
(do Imp là tâm tập của Im) Đặt y i x i a 1 Im p ta có:
Im i 1 i i x a x y (do Imlà một nhóm và a 1 Im )( i 1 , 2 , , n )
Khi đó với mỗi H thì y i Im
Hay H Im p Im Im Im p
(Do y i Im Im y i vì Im H )
Im H; ImpH; Im Imp = id
Im Imp = Im Im p Im Im p Im Im p p
(đpcm) § 3 BIỂU DIỄN NHÓM BỞI NHÓM ĐỐI XỨNG TỔNG QUÁT