Tài liệu Chuyên đề: Bài toán cực trị trong hình học giải tích pptx

Chuyén dé

Bài tốn cực tri trong hình học giải tích

Chuyên để 2

BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Bài tốn cực trị trong hình học giải tích thường được phát biểu dưới dạng yêu

cầu xác định toạ độ của một điểm, phương trình của một đường hay một mặt để

một biểu thức hình học nào đĩ đạt giá trị lớn nhất hay bé nhất Khi gặp bài tốn

dạng này, ta cĩ thể nghĩ tới một trong hai phương pháp sau :

Cách 1 : Dùng các phương pháp của hình học thuần tuý để khảo sát biểu thức

cần tìm cực trị Chỉ sau khi đã xác định được vị trí về mặt hình học của điểm (hay

của đường, mặt) cần tìm thì ta mới tính toạ độ (hay viết phương trình) của nĩ Trong khi khảo sát bằng phương pháp hình học, cần lưu ý rằng ngoại trừ các bài

tốn đã quen thuộc trong Hình học thuần tuý mà ta đã cĩ phương pháp khảo sát

riêng, cịn nĩi chung ta cần biến biểu thức cần khảo sát vẻ dạng mới để trong đĩ

chỉ cịn một đại lượng biến thiên

Cách 2 : Đặt một đại lượng thay đổi nào đĩ bằng biến / rồi viết biểu thức cần

khảo sát thành một hàm của biến ¿ Sau đĩ khảo sát hàm vừa tìm được bằng các

phương pháp của đại số Trong khi sử dụng phương pháp này, cần lưu ý việc lựa chọn một đại lượng để đặt bằng biến ¿ để thuận lợi trong việc tính tốn biểu thức

cần khảo sát theo / (và được một hàm số cĩ thể khảo sát được sự biến thiên của

nĩ) Cũng cần lưu ý tới miền xác định của biến /, bởi nĩ ảnh hưởng tới việc tìm

cực trị của hàm xác định trên biến đĩ

Nhận xét : Ư cách 1 hay cách 2, ta đều nhấn mạnh tới việc chuyển biểu thức cần khảo sát về dạng mới mà trong đĩ chỉ cịn một đại lượng biến thiên (đại lượng

hình học ở cách 1 và đại số ở cách 2) Tuy vậy, khơng phải với bài tốn nào cũng cĩ thể thực hiện được điều đĩ Trong trường hợp cần khảo sát một biểu thức cĩ ` nhiều đại lượng biến thiên, ta cĩ thể sử dụng cách sau :

Cách 3 : Dùng các bất đẳng thức đại số để đánh giá biểu thức cần khảo sát

Xét dấu đẳng thức xảy ra khi nào và cĩ kết luận tương ứng về giá trị cực trị của

biểu thức cần khảo sát Trong khi sử dụng phương pháp này, kĩ năng sử dụng các

bất đẳng thức đại số là rất quan trọng Cần nắm được đặc trưng của từng bất đẳng

thức đại số cổ điển và các nguyên tắc sử dụng chúng Thí dụ, khi sử dụng bất đẳng

thức Cauchy, một bất đẳng thức được khai thác nhiều trong Tốn phổ thơng, ta cần

lưu ý những điểm sau :

e Các tham số tham gia vào bất đẳng thức Cauchy là khơng âm ;

quyết định cách nhìn đối tượng dưới gĩc độ nào, và cách nhìn nhận đối tượng sẽ

quyết định hướng giải quyết) ;

e Khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy, cần lưu ý hướng tới dấu đẳng thức cĩ thể

xảy ra Trước hết, cần suy diễn để biết rằng dấu bằng của bất đẳng thức cần chứng

minh xảy ra khi nào Trên cơ sở đĩ, ta chỉ sử dụng bất đẳng thức Cauchy đối với

những số cĩ khả năng bằng nhau

Ta hãy xem xét những lưu ý trên trong một ví dụ cụ thể sau : "Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1 Chứng minh rằng :

no

Ở đây, mục đích ta đang cần đánh giá biểu thức vế trái của bất đẳng thức là lớn Do đĩ, ta cần nhìn nhận nĩ dưới dạng là tổng Như vậy, ta cần nhìn vào từng

thành phần 1 + _ + ty + : để thấy chúng là các tổng, do đĩ cĩ thể đánh giá

chúng lớn theo bất đảng thức Cauchy (nếu ta nhìn vào tồn biểu thức

i + hi + fh + :] thì ta sẽ thấy đây là một tích) x y Z

2 on 8 1 1 1 ` L2 Là ›

Đề đánh giá tổng [i +—,14+—,1+ :| là lớn, ta cần hướng tới dấu băng của

x y Z

bất đẳng thức trong bài tốn Dễ dàng kiểm tra được dấu bằng xảy ra

¬ ee a8 ‘

khix=y=z= 3” và khi đĩ — = 3 Vì vậy, ta cần biểu diễn tổng 144 dưới

x xX

1 1 1 , ope we ae › ae ,

dang 1 + — +— + — (là tổng của bốn số cĩ khả năng bảng nhau) Từ đĩ ta cĩ 3x 3x 3x

lời giải sau :

Tacĩ:1+ L=1+-L-+-L+-L>44 |

Xx 3x 3x 3x 273

Mặt khác : l = x + y + z > 3Ÿxyz => xyz< 2 > 27x3yz <1

Do đĩ ta nhận được bất đẳng thức cần chứng minh

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng A đi qua

` 1 1

M(1 ; 2) và cắt các trục Ĩx, Ĩy lần lượt tại A, B khác Ĩ sao cho ——— + ———

OA? OB?

bé nhất

Lời giải (h.61) Ay

Ở ví dụ này, ta trình bày ba cách giải theo ba

phương pháp nĩi trên

Cach 1 Ha OH L A Trong tam giác vuơng

OAB, ta cĩ :

1 + 1 = 1 > 1 (khơng đổi)

OAT OB? OHT OM? 5 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

H=MSOM LA Hinh 61 1 1 2 , sở

Vậy ——— + ——— đạt giá trị bế nhất khi đường thang A di qua diém M(1 ; 2)

OA? OB?

va co phdp vecto 14 OM (1;2) Vay đường thẳng A cần tìm là :

1(xT—1)+2(y—2)=0 ©x+2y- 5 =0

Nhận xét :

e Phép biến đổi —= + — 1 z là chuyển biểu thức ban đầu với hai đại

OA OB OH

luong bién thién OA, OB về biểu thức cịn một đại lượng biến thiên ĨH

e Cách giải trên khơng mở rộng được cho bài tốn tổng quát hơn : xác định vị

—#_ + —F — nhỏ nhất (z >0, b >0)

trí của đường thẳng A để

OA? OB?

Cách 2 Đường thẳng A đi qua M(1 ; 2), cắt các trục toạ độ và khơng đi qua

gốc nên nĩ là đường thẳng cĩ hệ số gĩc k với k z 0,k # 2 Khi đĩ : A:y-=2 =kÍx-—1) ©y =kx—k+2 Ta cĩ : A*T?:0) 80:2 = ) và Jot eae OA2 OB? (k -2Ÿˆ ¬ k? +1 Xét hàm số : ƒ(k) = —— (k # 0,2) &-2) -4k? + 6k + 4 #)=—————— &~2) k=2 Ta cĩ: fi(k)=00 4h +6k4+4=00 i 2 Ta cĩ bảng biến thiên của hàm số f(x) :

k —00 1 2 0 2 +00 f'(k) _ 0 + _ l +00 | +00 fb) Jt a 44 1i 5 1

Vay ƒ(k) nhỏ nhất khi và chỉ khi k = >

Dodo + +, nhỏ nhất khi và chỉ khi k=-le A:x+2y-5=0

OA“ OB , 2

“Cách 3 Giả sử : Am ; 0), BO; n), myn # 0 Khi đĩ A : — + ” = I đi qua M(I ; 2) nên :

m n 2 tee, m n Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta cĩ : 2 l= (= + 2) < (? + |5 + 5] m H m n

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

mon 1 2 m=5 1 —+—=l 1 — 4m đn > n=2 —= 2 1 m=2 " 2 _ oA Nhu vay + == OA OB m n n= ? nghĩa là A:x+2y-5=0

Ví dụ 2 Viết phương trình đường thang A di qua M(2 ; 3), cat chiéu duong của các trục toạ độ Ĩx, Ĩy tại các điểm A, B sao cho AAĨB cĩ diện tích nhỏ nhất

Loi giải

Giả sử : AŒn ; 0), B(O ; n), m, n > 0

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Z.3.1 <a m =4,n = 6 mn

Do đĩ diện tích tam giác O4 nhỏ nhất khi và chỉ khi A 7 + s =1

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng toạ độ Ĩxy, viết phương trình đường thing A di qua điểm M(I ; 8), cắt chiều dương của các trục Ĩx, Ĩy tai A, B sao cho AB nho nhất

` Lời giải

Giả sử : AŒn ; 0), B(0; n), m,n >0

Khi đĩ A : -Ễ + È =1, Vì A đi qua M(I ; 8) nên -L + Š = 1,

m n m n

taco: 1-243 2 ty tity bs poi

m n 2m 2m on n 4m “nỗ

z 4 10° vo 2 4 2 ` ` 2

Do đĩ : mn 3 os Dau dang thức xảy ra khi và chỉ khi

—+—=l]l m on m= 1] 1 an 2m on Ta cĩ : 2 2 2 2 2 8

AB? = OA? +O0B =m tr =m 47-45 45423597"

4 4 4 4 44

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m? = T <> n= 2m

2,8 10

Vay: AB? > 5." > 5.940 = 125, 4 4

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m = 5,n = 10

Vậy AB nhỏ nhất khi và chỉ khi A Sto =1 hay A:2x+y-10=0 Ví dụ 4 Trong mặt phẳng toạ độ Ĩxy cho ba điểm A(I ; 1), B(3 ; 2), C(7; 10)

a) Chứng minh rằng gĩc A của tam giác ABC nhọn

b) Viết phương trình đường thẳng A đi qua A sao cho tổng các khoảng cách từ

B va C tới đường thẳng A là lớn nhất

Lời giải AA

a) Ta cĩ : AB = (2:1), AC = (6:9)

——— — — 2.6 + 1.9

cosBAC = cos| AB,AC | = ————————— > 0

42? +12.\6? + Ø# : ; `,

Do dé: BAC < 90° Hinh 62

b) + Nếu đường thẳng A cắt đoạn BC tai mot diém M Khi do :

d(B, A) + d(C, A) < BM + CM = BC

Dấu đẳng thức xảy ra khi đường thẳng A vuơng gĩc với 8C

+ Nếu đường thang A khong cat đoạn 8C (h.62) Gọi /(5 ; 6) là trung điểm

cla BC Taco:

d(B, A) + d(C, A) = 2d(I, A) < 2AI

Dấu đẳng thức xảy ra khi đường thang A vuơng gĩc với A7 (để ý rằng khi đĩ đường thẳng A khơng cắt đoạn 8C)

Do tam giác ABC nhọn nên 2Aï > BC

Do đĩ d(B, A) + d(C, A) lớn nhất khi và chỉ khi đường thẳng A đi qua điểm

A(I ; 1), cĩ pháp vectơ AI(4 ; 5) Đường thẳng A cần tìm là

4(x - 1) + 5(yT-1)=0 © 4x+5y—-9=0

Ví dụ 5 Trong khơng gian toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (z):x—y+z—1=0 và

các điểm A(1;2; —1), B(I;0; —1),C(2;1;—2) Tìm điểm AM thuộc mặt phẳng (2) sao cho MA? + MB? — MC7 nhỏ nhất

Lời giải

Gia st] = (x; y; z) Ta cĩ : IA = (1-x;2-y;-1- 2), IB = (1- x;- y;-1-2), IC = (2-x31-y;-2-2) ¬ —x=0 Do đĩ : /A + 1B — JC = 0 © 41— y=0 ©T =(0;1;0) -z =0 Ta cĩ :

MA? + MB? - MC? = (Mi + TA) + (ii + 1B) — (Mi + IC)

—

= MP + IA? + IB2 ~ IC2 + 2MI|1A 4 IB - Ic)

= MI” + 1A? + IB? - IC?

Do đĩ : MA” + MB” — MC” nhỏ nhất ©› Ä/ nhỏ nhất © M7 L (ø)

Khi đĩ Mĩ đi qua /(0 ; I ; 0) và cĩ vectơ chỉ phương Na (1 ;-1;1) nén cé

phuong trinh :

x=t

if =]-f

[z =¢

Vay toạ độ điểm Ä⁄ cần tìm ứng với giá trị / là nghiệm của phương trình rh(IS)+r<1=0œr=S,

Vay MA? + MB? — MC” nhỏ nhất khi M = Ge

Ví dụ 6 Trong khơng gian toa dd Oxyz cho mat phang (a): x-3y+3z-11=0

và các điểm A(3 ;—4; 5),B(3; 3; -3) Tìm diém M thudc mat phang (a) sao cho MA — MB] 16n nhat

Lời giải (h.63)

Lần lượt thay toạ độ của A(3;—4;5) và B(3;3;-—3) vào vế trái của phương trình mặt phẳng (ø), ta được hai số trái dấu Do đĩ A và B nằm về hai phía của mặt phang (a) Goi A' là điểm đối xứng với A qua (2)

Ta cĩ : |MA - MB| = |MA'- MB| < A'B

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M, A’, B thang hang và điểm M nằm ngồi đoạn thẳng A'B Mặt khác, M thuộc mặt phẳng (a) con A' và 8 nằm về một phía

của mặt phang (a) Do đĩ, dấu bằng của đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi

M = ABn(a)

B

Đường thẳng AA' đi qua diém AG ; —4; 5), af

vuơng gĩc với mặt phẳng (œ) nên cĩ vectơ ⁄

chỉ phương ny (i ;-3;3) ⁄ x=3+í M I AA':5y =-4— 3i z=5+ải

Toạ độ giao điểm / của AA' với mặt A

phẳng (ø) ứng với giá trị / là nghiệm của Hình 63 phương trình :

3+r— 3(—4 - 3) + 3(5 + 37) -11= 0

© I9%+I9=0<©r=-I Vay J = (2;—1;2)

Gia sit A’ = (x;y; z) Khi đĩ / là trung điểm của AA' nên

——

Vì A'ð = (2;1;~2) nên đường thẳng A'B cĩ phương trình

x=l+2/ AB:4y=2+f

z=—l- 2t

Toa độ của điểm cần tìm ứng với giá trị ? là hghiệm của phương trình :

(L+22)~3(2 +)+3(—1~2)~11= 0£ r= —”,

Vậy [MA - MB| lớn nhất khi M =[~Š";— 7 Š; | 7 7

( ` ; x+y—-z-1=0

Ví dụ 7 Cho đường thang A:

2x-y-1=0

va hai diém A(2;~1;1), B(I;—1;0) Tìm điểm É thuộc đường thẳng A để

diện tích tam gidc AMB đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

Xét n, = (15131), m = (23-150)

Đường thẳng A cĩ vectơ chỉ phương

¬ — 1 -l El IjJH I

xa]: =(_-l;-2;-3 1;2;3) -!1 0; ;O0 2 2 ‘) ( )/{ 3)

Mặt khác đường thẳng A di qua diém N(1 ; 1; 1) nén

Xét hàm số f(t) = 12/2 + 20: +9 Hàm số này cĩ đơ thị là parabol quay bề

lõm lên phía trên Do đĩ ƒ(?) nhỏ nhất © r = -ŠœM=|};-2;-° |

6 6 3 2

wa vế 1s ¬ 1 2 3

Vay dién tich tam giac AMB nho nhat khi M = 6 3 5

Ví dụ 8 Trong các mặt phẳng đi qua các điểm A(I;2;—1), B(—1;1;2), viết

phương trình mặt phẳng (2) tạo với mặt (xĨy) một gĩc nhỏ nhất

Lời giải

=1 y— —=2y+3=0

_x—l_ y-2 z+1 | ap JF y

2 1 -3 3y+z—-5=0

Mặt phẳng (ø) chứa AB nên cĩ phương trình dạng :

(a) : u(x - 2y +3) + 3y + z— 5) = 082 + 2 > 0),

e Nếu w =0 thì (#) : 3y + z — 5 = 0 cĩ pháp vectơ n„(0;3;1)

Mặt phẳng (xĨy) cĩ pháp vectơ n(0 ;0;1)

Khi đĩ cos((a), (xOy)) = eos(n Ì = i

v10

e Nếuu # 0, cĩ thể coi u = I Khi đĩ :

(ø): x + (3 — 2)y + 0z — 5t + 3 = 0 cĩ pháp vectơ ny (1;3t — 230) Khi đĩ cos((a), (xOy)) = cos(nig , Ì 7 TH

Ta cĩ bảng biến thiên : t —œ 0 = +00 ƒŒ) ~ 0: + 0 ~ 1 — Z@ | 19 NN Ua" NN ; 0 ˆ To

Do đĩ cos((z), (xĨy)) lớn nhất bằng độ khi / = =

So sánh hai trường hợp trên, suy ra mặt phẳng (ø) tạo với (xOy) một gĩc nhỏ nhất khi ¡ = >,

6

Vậy mặt phẳng (a) cần tìm cĩ phương trình là

5 5 5

x+ 3-2 yt er Se+3=0 = 6x+3y+5z-7=0 Ví dụ 9 Cho đường thẳng

A:jx†y+z-1=0 "|x-y+z-1=0

và các điểm A(2;1;—I), B(_—1;2;0) Trong các đường thắng đi qua 8 và cắt

đường thẳng A, viết phương trình đường thẳng sao cho khoảng cách từ A tới nĩ là lớn nhất ? Bé nhất ?

Lời giải

Xét m = (15151), my = (15-151)

Đường thẳng A di qua N(1 ; 0; 0) và cĩ vectơ chỉ phương

[75m | = (2305-2) / (1505-1)

Gọi ¿/ là đường thang bất kì đi qua Ø(—1; 2; 0) và cắt đường thẳng A Giả sử di cắt đường thẳng A tại M(l+:;0;—r) Khi đĩ đ cĩ vectơ chỉ phương là BM = (2+1;-2;-x) Ta cĩ BA = (3;-1;-1), | BM, BA| = (2-132 - 2134-2) Do đĩ : d(A,d) = [=m BA] - (6 -Ý +0 - 2ý + (4 - BM J¿+r+4+# - (SG 2 3t - ee 2 +4r+8 ?+20+4 ` ,- 372 —10r+12 2 Xét ham s6: f(r) = Ta cĩ ƒ()=— 9= r++ (? +2044) lr=2 Lf = ~2 Ta cĩ bảng biến thiên : ft) =0 © t 0 -2 2 +00 fœ + 0 - 0 + Ze Ne

Vậy khoảng cách từ A tới đ lớn nhất bằng VI1 khi ? = -2 ứng với

d(A, d) max <> M = (-1;0;2) Ÿdi TT c2 rễ

an x+l=0

an yt+z-2=0 d(A, d) min <> M = (3;0;-2) od:2t! -252-4

end: x+2y-3=0 "ly-z-2=0

Bài tập

1 Trong mặt phẳng toạ độ xĨy, viết phương trình đường thẳng A đi qua điểm

|

+ —

OM? ON?

A(-1;3) và cắt các trục Ox, Oy lan lvot tai M, N sao cho

nhỏ nhất

2 Trong mặt phẳng toạ độ xĨy, viết phương trình đường thẳng A đi qua điểm

M2 ; 5), cắt chiều đương của các trục Ĩx, Ĩy lần lượt tại các điểm A, 8 khác gốc toa độ sao cho diện tích tam gidc OAB nhỏ nhất

3 Trong mặt phẳng toạ độ xĨy cho đường thẳng

A: mx + y+ 2m =0

Tìm m để khoảng cách từ A(3 ; 4) tới đường thẳng A đạt giá trị lớn nhất

4 Trong mặt phẳng toạ độ xĨy, viết phương trình đường thang A di qua điểm

MG ; 2), cắt chiều dương của các trục Ĩx, Ĩy tương ứng tại các điểm A, B

khác gốc toa độ sao cho ØA + 28 đạt giá trị nhỏ nhất

5 Trong mặt phẳng toa do xOy cho các điểm A(I ; 1), 8(2 ; 5), C(4 ; 7) Chứng

minh rằng AABC cĩ gĩc A nhọn

Viết phương trình đường thẳng A đi qua A sao cho :

a) d(B, A) + d(C, A) lớn nhất ; b) 2d(B, A) + d(C A) lớn nhất

6 Trong mặt phẳng toa độ xĨy cho đường thẳng A : x + y + 2 =0 và các điểm A(2; 1), B(—1; —3), C(;3) Tìm điểm ÉM thuộc đường thẳng A sao cho

a) |MA — MB| lớn nhất ;

b) MA + MC nhỏ nhất ;

10

c) MA* + MB? — MC? nho nhat;

d) |MA + MB + MC| nhỏ nhất

Trong khơng gian toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (ø) đi qua điểm

A(I ; 2; 4) và cắt chiều dương của các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lan luot tai M, N,P khác gốc toạ độ sao cho tứ điện OMNP cĩ thể tích nhỏ nhất

Trong khơng gian toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (ø) đi qua điểm M(1 ; 2; 3), cắt các trục toạ độ Ĩx, Ĩy, Ĩz lần lượt tại A, B, C sao cho

— + —= + — nhỏ nhất

OA* OB’ OC

Trong khơng gian toạ độ Ĩxyz, viét phuong trinh mat phang (a) di qua điểm

M(2; 5 ; 3) và cát chiều dương của các trục Ĩx, Ĩy, Ĩz lần lượt tại các điểm

A, B, C sao cho OA + OB + OC nho nhat

Cho mat phang (a): x - y + 2z =0 và các điểm A(I;2;-I), B(3;!;—2),

C{I;—2;1) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (2) sao cho

a) MA + MB nhỏ nhất ; b) |MA — MC| lớn nhất ; c) MA? - MB? — MC? lớn nhất; d) IMA + MB + MC| nhỏ nhất 11 Cho các đường thẳng x+2y-z+1=0 Ay: x-y+z+1=0,

Trong các đường thẳng di qua A(2 ; —1 ; 2) va cat dudng thing A,, viét

phương trình đường thẳng A sao cho khoảng cách giữa A va A, I6n nhat

12 Trong các mặt phẳng đi qua A(2 ; —L ; Ư) và song song với đường thẳng ag: ttt lyre 71T

1 1 -l

viết phương trình mặt phẳng (a) tạo với mặt phẳng (xĨy) một gĩc nhỏ nhất

13 Trong cdc mat phang di qua A(1 ; 1 ; —1) và vuơng gĩc với mặt phẳng (Ø):2x-y+z+2=0,

viết phương trình mặt phẳng tạo với đường thẳng Oy một gĩc lớn nhất 14 Cho mặt phẳng (đ) : x + y - z + 1 = 0 và đường thẳng

ai +y+z-3=0

"|2x-y+z-2=09

Trong các đường thẳng đi qua A(1 ; —l ; 2) và song song với mặt phẳng (0),

viết phương trình đường thẳng A sao cho khoảng cách giữa A và ¿ lớn nhất

x=l y+l z-] và hai điểm A(2 ; 1 ; -l),

1 2 -1

15 Cho đường thẳng đ: B@; -2; l)

Trong các đường thẳng đi qua Ư và cắt đường thẳng ¿, viết phương trình các

đường thẳng sao cho khoảng cách từ A tới nĩ là lớn nhất ; bé nhất

16 Cho đường thẳng x+y-z-1=0 A: 2x-y-z=0 va hai diém A(2; 1; 1), B(-1 ; 2; 0)

Tìm điểm M thuộc đường thẳng A sao cho MA? + MB? nhỏ nhất

17 Cho hai đường thẳng A, : vat itt p AES 2e8 En

a) Chứng minh rằng các đường thắng A, va A, chéo nhau

b) Trong các mặt cầu tiếp xúc với các đường thẳng A¡ và A›, viết phương

trình mặt cầu (S) cĩ bán kính nhỏ nhất

18 Trong các mặt cầu đi qua A(Í ; 2 ; —1) và tiếp xúc với mặt phẳng (z):x+y+2z—13=0,

viết phương trình mặt cầu cĩ bán kính nhỏ nhất

19 Cho mặt cầu (S): xˆ + yˆ + zˆ — 2x + 2z — 4 = 0 và mặt phẳng

(z):2x—2y+z+8=0

Tìm điểm / thuộc (Š) sao cho khoảng cách từ M tới mặt phẳng (ø) là lớn nhất

20 Cho mặt cầu

(S):x? + y? +27 -2x42z7-2=0

và các diém A(O; 1; 1), B(-1 ; 2; -3), CU; 0; -3)

Tim diém D thudc mat cau (S) sao cho thé tich nit dién ABCD lớn nhất

Lời giải

1 Giả sử M=(m;0),N=(0;n) (mã #0)

Đường thẳng A đi qua M, N nên cĩ phương trình là :

Hơn nữa A(-1;3) e A nén al +

m 1 + ——— = 2 OM? ON? m nh Ta cĩ : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta cĩ : 2 2 2 2 1-(2-3) < (2) (4 () 1] mon m n 42 19/ 2 1 2 1 2 ty Oa) ae ee

Dấu "=” xảy ra khi và chỉ khi :

-2_ 1 m = —6n nai?

: —- 6

—=+ =1 lạ n" m = -19

m n

Vay đường thẳng A cĩ phương trình là : —x + 6y — 19 = 0

2 Gidstr A =(a;0), B=(0;b) (a > 0,b > 0) Đường thang A cĩ phương trình là :

aie tr =I,

Do đường thẳng A đi qua M2 ; 5) nên 2

a +221, b

Ap dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương 2 va >, tả CĨ :

a

pa 243521! & ub > 40

ab ab

Dau "=" xây ra khi và chỉ wie? S oho! a ab 2 |b=10 Vay Spag bé nhat bing 20 khi « = 4,h = 10

Khi đĩ đường thẳng A cĩ phương trình :

x Ly

4 10

Khoảng cách từ A(3 ; 4) tới đường thẳng A : mx + y + 2m = Ơ là :

Bm+4+2m| m+ 4 Vm +1 Vm? +1 Cách 1 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta cĩ : (m2 + 1Ì|52 + 4) > (Sm + 4ƒ <> 41(m? +1) > (Sm + 4} (5m + 4Ÿ os <4I m +1 Sm + œ +4 vai Ymˆ +1 “ „" " ” ` > m 1 5

Dau "=" xay ra khi va chi khi — = — hay m = —

5 4 4

Vậy khoảng cách từ A đến đường thẳng A đạt giá trị lớn nhất bằng V41 khi

m= 2 4

2 5m +4 2 Cách 2: Đặt f(m) = ( m ) _ 25m + 40m +16 Khi đĩ m“ + m +1 -40m2 + 18m + 40 f(a) = ~~ (m + 1) fi(m)=02 m= ~E hoặc m= > lim f(m) = 25 Mm-PD Ta cĩ bảng biến thiên : +00 a CO] AlN f'(m) _ 0 + NO

Từ đĩ f(m) dat gid tri lớn nhất bằng 41 khi m = : hay khoảng cách từ A tới

đường thẳng A lớn nhất bằng V41 khim = 7

4 Giá sử A(a;0), B(O;b) (a>0,b >0) là giao điểm của đường thẳng A với

chiều dương của các trục toạ độ Khi đĩ đường thẳng A cĩ phương trình là :

*+ “=1 a hb 3 2 Do M(3;2) e A nên: — + — = Ï a b = 2a + 3b = ab => 2u = (a - 3)b (*)

Via>0, b>Onén ti (*) suy rag >3 va b= 2a

a-

4a ata a-3 a-3_ Ta cĩ : OA+20B =a+2b=a+t a+ Dat f(a) = Ta cĩ

(20 + 1\e- 3) - a’ -4_a 64-3

PT a3) &-3Ÿ

(a) <0 eo (4737283

Fla)=0 Am 3+ 2x3 lim f(a) = lim a f(a) = +00,

a-—>3+

Ta cĩ bảng biến thiên :

3 3+2x3 +00

ky T

Từ đĩ f(a) dat giá trị nhỏ nhất bằng 7+4V3 khi z = 3+2/3 hay OA + 20B đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7 + 443 khi a=3 + 243

Với a= 3+ 243 thì b = 2 + 43 Phương trình đường thẳng A cần tìm là : x y 342/3 2+ 3 Tacĩ: A8 = (1;4),AC = (3;6) AB.AC = 1.3+ 4.6 = 27

AB.AC = AB.ACcosBAC = V17.V45.cosBAC

— 27 ——

= cosBAC = > 0 = BAC nhọn

V17V45

a) Nếu đường thẳng A cắt đoạn BC tại một điểm M thì :

d(B, A) + d(C, A) < BM + CM = BC

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng A vuơng gĩc với BC

Nếu A khong cat doan BC thi d(B, A) + d(C, A) = 2dU/, A) < 2AI, ở đĩ

1(3;6) là trung điểm của BC Dau "=" xảy ra khi và chỉ khi A vuơng gĩc

với Ạ

Do tam giác ABC cĩ BAC nhọn nên 2Aƒ/ > ĐC

Vậy d(P, A) + d(C, A) lớn nhất khi và chỉ khi đường thẳng A đi qua điểm A(I ; 1) và cĩ vectơ pháp tuyến /A = (-2;-5)

Đường thẳng A cần tìm cĩ phương trình :

-2(x ~1)-5(y-1)=0 = 2x+5y-7=0

b) Trén tia AB lay diém B' sao cho B 1a trung diém cia AB’

Ta cĩ : B'= (3 ; 9) va d(B’, A) = 2d(B, A)

Tir dé : 2d(B, A) + d(C, A) = d(B’, A) + d(C, A)

Tương tự như cách giải câu a) áp dung cho tam giac AB'C, ta ciing chia lam hai trường hợp :

e Nếu đường thẳng A di qua A va cat doan B'C tai M thì :

d(B’, A) + d(C, A) < B'M + CM = BC

Dau "=" xay ra khi vachikhiA 1 B'C e Nếu đường thẳng A khong cat doan B'C thi

d(B’, A) + d(C, A) = 2d(I’, A) < 2A

với | (3 ; 3 là trung điểm của cạnh #C

Dấu "=" xảy ra khi đường thang A vuơng gĩc với ƑA

Vay d(B', A) + d(C, A) lớn nhất khi và chỉ khi đường thẳng A đi qua A(I ; 1)

và cĩ vectơ pháp tuyến 2š ; 7} Đường thẳng A cần tìm là :

S~1)+7(~1)=0 ôâ 5z + l4y - 19 =0

a) A(2; 1) va B(—1 ; —3) thuộc hai nửa mặt phang khác nhau với bờ là đường

thẳng A: x+ y+2=0 vì

(x4 + y4 + 2)(xg + yg + 2) = S(-2) <0

Goi A' 1a diém d6i ximg véi A qua dudng thang A Khi do A’ va B thuéc cing một nửa mặt phẳng bờ A

Ta cĩ : |MA — MB| = |MA— MB| < A'B

Dấu "=" xảy ra khi va chỉ khi M, A', B thang hang va M ở ngồi đoạn A'B

<> {M} = A'BOA (vi Me A vàA', B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ A) AA' đi qua A(2 ; 1) và vuơng gĩc với đường thẳng A nên AA‘ cé vecto chi

phương là mạ = (1;1)

` x=2+í

AA' cĩ phương trình

y=l+t

{1} = AAm A thì toa do cha 7 tương ứng với giá trị ? là nghiệm của phương

trình: (2+/)+(L+/)}+2=0

©2r+5=0 ce ra số,

L_ 3 Vậy Ï =|—-—;—~! wt =(-F3-5]

Vì / là trung điểm cia AA’ nén

* 2 Xa = 2X —X X4 = —3

=> > => A'=(-3; -4)

— Ya * Ja ya = 2y, — Ya ya = -4 2

; , ` x=~3+2I Suy ra đường thắng A'B cĩ phương trình :

y=-4+t

Giao điểm M của A'B và đường thẳng A ứng với / là nghiệm của phương trình :

(-3 + 2r)+(-4+2)+2=0

1 7 =3 <5=0œ= Š © M =[Š¡- 3]

3 3 3

Vậy |MA — MB| lớn nhất khi M = l ; -3}

b) Gọi A' là điểm đối xứng với A qua A Khi đĩ, A' và C nằm ở hai phía khác

nhau đối với đường thẳng A

Với M tuỳ ý trên đường thẳng A ta cĩ :

MA +MC =MA +MC> AC

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của A'C và A (tức M ở giữa A' và

C, điều này cĩ được do A' và C thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau cĩ bờ là đường thẳng A)

Theo cau a) : A'(-3 ; -4), A'C = (4;7)

Phương trình đường thẳng A'C :

x=-3+4i ( = -4 + 7t

Toạ độ của M ứng với giá trị là nghiệm của phương trình :

(—-3+42)+(-4+7?)+2=0

c) Với M(z ; y) thuộc đường thẳng A, ta cĩ : x = —y ~ 2

MA? = (x2) +(y-1),

suy ra MA? + MB? - MC? = x2 + yˆ +10y + 5

=(-y- 2) + yŸ + 10y +5

=2y? +14y+9

Xét ham sé f(y) = 2y? + 14y +9 c6 dé thi 1a parabol quay bé 16m lén trên Do đĩ ƒ(y) nhỏ nhất khi y = s © M = (š:-;]

Vậy MA? + MB? — MC” nhỏ nhất khi M = lš:-;]

d) Gid sit M = (x; y) tht MA =(2-x;1-y), MB =(-1-x;-3-y),

MC = (1-x;3~-)

=> MA + MB + MC = (2 -3x;1-3y)

[MA + MB + MC| = y(2-3x) +(1-3y) hd nhất khi và chỉ khi

(2- 3x)“ +(1— 3y)” nhỏ nhất

Với M(x ; y) thuộc đường thẳng A thì x = —y — 2, do đĩ :

(2-3xŸ' +(L- 3yŸˆ = (3y + 8Ÿ +(1- 3y = 18y* + 42y +65

Xét ham s6 f(y) = 18y? + 42y + 65 Ham s6 nay cé dé thi là parabol quay bẻ

lõm lên trên Do đĩ ƒ (y) nho nhat khi y = ~ © M -(-2-4],

Vay [mA + MB + MC| nho nhat khiM = (2-2),

Gia sit M(m;0;0), N(O;7;0), P(0;0; p) (m > 0,n > 0, p > 0)

Mặt phẳng (ø) cĩ phương trình : — + “+ ~ = 1

mn p

Điểm A(I ; 2; 4) thuộc mặt phẳng (ø) nên : + +244 =1

m np

190

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số đương i 2 4 ta CĨ :

mn p 8 mnp 1= + 3.3 = {fh 1 — + m > [+b IV => mnp 2 216 40 2 n ; 1 Dau "=" xay ra <> + = =~ m 3 6 12 II m => 5n p ON m=3 p=12 và mặt phẳng (ø) cần tìm cĩ phương trình là : y Zz — — + — = 3 6 12

Hạ OH vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC)

l l 1 1

Vi tur dién OABC vung tai O nén: z†—;†—_z~ >:

OAS OB’ OC OH

> I

OR? OM?

Dau "=" xay ra khi va chi khi H = M < OM vuơng gĩc với mặt phẳng

(ABC)

l 1

Vậy ——+——+

OA? OB OC?

M(I ; 2; 3) và nhận OM(I 52; 3) 14 vecto phap tuyén |

Vi OH < OM nên khơng đổi

đạt giá trị nhỏ nhất khi mặt phẳng (ø) đi qua

Vậy mặt phẳng (2) cần tìm là : I{x - 1) + 2(y — 2) + 3(z — 3) = 0 hay

9 Giả sử A(a;0;0), B(O; b;0), C(O;0;c) (với a,b,c > 0)

A

1[N

Mat phẳng (ø) cĩ phương trinh : ~ + ; +—=l đi qua M(2;5;3) nên a 3 2 5 —+—+—=Ïl * a oboe ) Tac6:0A+OB+OC=at+b+c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta cĩ :

LÊ] :t6] :(Ê]| J7 si x#f|#ee4j a b c

hay (249 4 2\as nace (VE V5 + V5) a

Suy ra L(ø + ð +c) > (V2 + V3 + V5} (do (*)) Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

J2 VS Va a= V2(V2 +V3 + V5) =2+ Vo + Vi0

ab 6g b = V5(V2 + V3 + V5) = 5+ V10 + Vi5

a bic le=V3(v2 + V3 + V5) = Vi5 + 6 +3

Vay OA+OB+OC nho nhatkhi =a =2+V64+V10, b= 5+V10 + V15,

c=3+ 6415

Mặt phẳng (a) cn tim 1a:

x + y Z

+ = 1,

24+J6+VJ1I0 54+VJ1I0+VI5 34+ 6415

10 a) Hai điểm A(I ; 2 ; —1) và 8 ; 1 ; -2) nam về cùng một phía đối với mặt

phẳng (ø) vì thay toạ độ hai điểm này vào vế trái phương trình tổng quát của mặt phẳng (a), ta được hai số cùng dấu

Gọi A' là điểm đối xứng với Á qua mat phang (a), ta cĩ :

MA + MB = MA'+ MB > AB

Dấu đẳng thức xảy ra ©> M, A', B thẳng hàng và M thuộc đoạn A'B

Do A' và B khơng thuộc cùng một phía đối với mặt phẳng (a) nén {M} = A'B ¬ (œ) Đường thẳng AA' đi qua A và vuơng gĩc với mặt phẳng (2)

nên AA' cĩ vectơ chỉ phương n, = (1;—1;2)

x=l+t

AA':,y=2-t z= —1 +21

Toa do giao điểm / của AA' với mặt phẳng (a) ứng với giá trị ? là nghiệm của phương trình :

1+¢-(2-1)+2(-1+ 22) =0

2 61-3=0e01= 2

Vay J = E ; 5:0) Vì 7 là trung điểm của AA' nên :

- XA tử*A: 2 XA! = 2x, - X4 _ + + 1 yy = Ak = y4 = 2ÿ¡ — yA = Á =(2;1;1} x} ZA) = 2Z¡ —ZA 2) = ZA a

Vì A'B = (1;0;— 3) nên đường thẳng A'B cĩ phuong trinh :

.Jx=2+íf y=l z=l—3!/

Toạ độ điểm M cần tìm ứng với giá trị ? là nghiệm của phương trình :

2+r~1+2{1-3:) =0

so cất +3.= 0 sp =Ộ hay M = (2 L$}

5 5

b) Thay toa do cua A(1 ; 2; -1) va C(I ; -2 ; 1) vào vế trái của phương trình

mặt phang (a), ta được hai số trái dấu nên hai điểm này nằm về hai phía của

mặt phẳng (a) Do dé A' và C nằm cùng một phía của mặt phẳng (2) Ta cĩ : |MA - MC| = |MA- MC| < AC

Dấu "=” xảy ra khi và chỉ khi M, A', C thẳng hàng và M4 nằm ngồi đoạn AC Mặt khác, M thuộc mặt phẳng (ø) và A', C nam về một phía của mặt phẳng

(a) Do đĩ, dau "=" trong bất đẳng thức trên xay ra khi {M} = A'C 1 (@)

Ta cĩ A'C = (-1 373; 0) nén A'C co phuong trình :

x=Il-¢t

y=-2-3t z=,

Toa độ điểm M can tim img v6i gid tri 11a nghiém cia phuong trinh : I—1- (2-3) +2=06 2945-002 0=-5

Vậy |MA — MC| lớn nhất khi M = Ca | c) Xét diém / sao cho: IA ~ IB — IC = 0

Giả sử /(v; y; z), ta CĨ : — IA — IB — 1C =(l—x;-2—y;l—z} ([-x;2-y;-I-2), (-x;I-y;-2-?) -=3+x=0 Do đĩ : 1A - 08 ~!1C =0 ©43+y=0 <1? =(3;-3;0) z=0 Taco: _— — J—_— —4\2 —¬ —2

MA? - MB? - MC2 = (Mĩ + TA) - [Mi + 18) - (MI + IC)

= -MI? + IA? ~ IB? ~ IC? + 2Mi(IA - IB - IC)

= —MI? + IA? — IB? — IC’

Do đĩ MA? - MB? - MC7 lớn nhất © Mi? nhỏ nhất © MI nho nhat

© Mi vuơng gĩc với mặt phẳng (ø)

Khi đĩ M7 đi qua /(3 ; —3 ; 0) và cĩ vectơ chỉ phương là Hy =(1;—1;2)

x=3+í

Phương trình của Mỹ là : 4y = —3 —

z = 2t,

Toa do điểm Mí cần tìm ứng với giá trị / là nghiệm của phương trình :

3+r—(-3-/)+2.2=0 ©6:+6=0€©r=-l

Vậy MA? - MB” ~ MC” lớn nhất khi M = (2 ; -2; -2) d) Goi G 1a diém thod man GA + GB + GC = 0

Toa do claG 1a:

XA + Xp t Xe y _ 3A †3yg *%C _œ_[3.1, 2 G 3 373° 3) Za †+'Zg +7c Ta cĩ : MA + MB + MC = (MG + GA) + (MG + GB) + (MG + GC) = 3MG + (GA + GB + GC) = 3MG Do đĩ [MA + MB + MC| = BMG| = 3mG —_—_— ` >

Vậy IMA + MB + MC| bé nhat <> MG bé nhất <> MG vuơng gĩc với mặt

phang (a)

` 2 5 1 2 x 2 ? `

Duong thang MG di qua G 333 và cĩ vectơ chỉ phương là

11

Vậy phương trinh cua MG 1a:

5 x==+f 3 .Ả_, Ta p= 4 28, 3

Toa độ điểm M cần tìm ứng với giá trị ? là nghiệm của phương trình : š*r-[~r]+ 2-5 +2:|~0

3 3 3

©6¡=0<¡r=0

Vậy |MA + MB + MC| bé nhất khi M = (3:3:-3}

3 3 3 x=l+2/

z=l+t

Giả sử M e A; thì M =(L+20;—1+r;1+?), AM = (2£ ~1;t;t— 1),

Đường thẳng AM đi qua A(2 ; —1 ; 2), cĩ vectơ chỉ phương là u= AM va dudng thang d6 luon cat dudng thang A,

2

d(AM,A;) lớn nhất © f(r) = cớ lớn nhất

Khảo sát cực trị của hàm số ƒ(?) ta thấy ƒ(f) đạt giá trị lớn nhất tại : = 68 Khi đĩ u = a1 ,68;—27) và do đĩ, đường thang A can lap cĩ phương trình :

x2 y+l z-2

4I 68 -27

12 Mặt phẳng (ø) qua A(2 ; —1 ; 0) cĩ phương trình đạng

m(x — 2) + n(y +])+ pz =0 (m? +0? + p? #0)

hay mx +ny+ pz-2m+n=0

Ta cé ng (mn; p),ug(1315—1)

Truong hop 1: m = 0 => (a): ny + pz+n =0

(a) Id nguy =0 n-p =O

Chon n = 1=> p = 1, khi dé mat phang (a) c6 phuong trinh: y + z+1=0

— —

Ny

VÀ cos@ = iat = 2 ở đĩ ø là gĩc giữa hai mặt phẳng (a) va (Oxy) ; mịn

Hy = (0 31; 1) VÀ n= (0;0 ; 1) lần lượt là vectơ pháp tuyến cua (a) va (Oxy)

n+2n+1 ; + 7A Ca lớn nhất 2n” +2n+2 n 2{n? +nt i lớn nhất o-—+ > 5 n —— lớn nhất „ Lew notnt+] ¬ 1 Dé thay =—— < = no+n4+1 3

Dấu "=” xảy ra khi và chỉ khi ø = 1 Khi đĩ ta cĩ cosø = sẻ

So sánh kết quả hai trường hợp I và 2, thấy rằng ø nhỏ nhất khi ø = 1 và khi đĩ, mặt phẳng (z) cĩ phương trình :

x+y+2z-1=0

13, Mat phang («) qua A(1 ; | ; —1) c6 phuong trinh dang :

m(x = 1) + nly = 1) + p(z + 1) = 0 [øỂ +n +p z0) hay mMxX + nÿy + pz—m—n+p=Q0

Do (a) L (B) = ng.ng =0 = 2m-n+ p=0,

ở đĩ n„(m ;H; p), n;(2 ; =1; I) lần lượt là vectơ pháp tuyến của (a) và (/)

Trường hợp l: m = Ũ > —n +p=0

Chọn ø =1 thì p = 1 Khi đĩ (ø): y + z =0

Do0<ø< 5 nên @ lớn nhất <> sinø lớn nhất 2+ oe Lt ton aha N5 + 4p + 2p? 2 PT ẰP + lớn nhất 2p +4p+5 2 xétham f(p) = **P** ta 06 2p’ +4p+5 p=-2 : -4p* -6p +4 ; fp) =A Pt p(p)~0e| sa (2p° +4p+ 5} ph» " l 1 5 cổ z edt ox

Tacĩ lim f(p) =—;f(-2) =0, f/—| == Do d6 f(p) 1én nhat khi và chi

p— too 2 2 6

] -

khi p = — Ba

Khi đĩ ø = Ÿ và (ø): x + Šy + ~z ~ 3 =0, 2 2ˆ 2

nm

So sánh hai trường hợp (1) và (2), do ° < s nên (a) txt = + 2? —=3=0

là mặt phẳng cần tìm

14 (œ): x + y—z +1 = Ơ cĩ vectơ pháp tuyến n{ ;1;—1) Đường thẳng Hắn ng

2x-y+z-2=0

x=-Ì+2/

cĩ phương trình tham số : 4 y = f

z=4- ải

Giả sử u(a;b;c) là vectơ chỉ phương của đường thẳng A cần tìm

(a? +b? +0? #0).Do Ai/(a) nen a+b-c=0

L (3 3) 5 va lim ƒ0\)=L;/l-S|=0;/|S|=>— lim £0) = 6 ff | (3) 14 Vậy ƒ(b) lớn nhất khi và chỉ khi b =

Khi đĩ f(b) = > va d(A,d) = đệ

So sánh kết quả ở trường hợp 1 và 2, ta thấy đường thẳng qua Á, song song với

x=l

(a) va cach d mot khoảng lớn nhất là A : 4y = —l + s _ |lz=2+s

15 Đường thẳng ¿ cĩ phương trình tham số là :

x=l+í y=-l+*+2t z=1-t

Giả sử đường thang A bat ki di qua Ø8 ; -2 ; 1) và cắt đường thẳng ¿ở tại

M(1+1;2r—1;1-1) Khi đĩ, đường thắng A cĩ vectơ chỉ phương là

BM = (t~2;21+1;—r)

Ta cĩ : BA = (~1;3;~2)

Khoảng cách từ A tới đường thẳng A là :

Ta cĩ bảng biến thiên : 5 7 t ~® —= = +00 7 6 f(t) + 0 - 0 + 14 : t 6 6 2 z ` 2 x 2 Z 2 = : 5 4

Vậy khoảng cách từ A tới đường thăng A lớn nhất bảng M14 khi r= “5 ung

với Mĩ 2, 11,12 `" `1

7 7 7 6 6 6 3

Phương trình đường thẳng cách A một khoảng lớn nhất là :

x-3 y+2 2-1 x-3 y+2 z-]

9° 3 5 1p 4 SỐ

7 7 7

Phương trình đường thẳng cach A một khoảng bé nhất là :

x-3_ y+2 _ z—] = x-~3 _yt2 _ z1 5° 20 7š 20 7 6 6 6 x+y-z-1=0 16 A: 2x-y-z=0 - Xét: m =(1;1;-1), ny = (2;-1;-1)

Đường thẳng A cĩ vectơ chỉ phương :

—— là -Í I 1|! 1

[msn | =

-1 -l} Fl 2 |2 -1

Diém N(1 ; 1; 1) thudc dudng thang A nên A cĩ phương trình tham số :

17

Gọi M(I+2/;1+?;1+ 3) e A Ta cĩ:

AM = (2—1;:;3), BM = (22+2;7—1;1+3r)

Suyra AM? + BM? = (2~ Ý + 2 + (8ˆ +(%r+ 2Ÿ +(r= J +(+ 3 = 28/2 + 8 + 7

Xét f(t) = 281? + 8r +7 cĩ đơ thị là parabol quay bề lõm lên trên nên ƒ(?)

nhỏ nhất khi và chỉ khi ¡ = 5 © M= l2)

Vậy MA? + MB” nhỏ nhất khi M = (3:$:5}

a) Từ các phương trình của đường thẳng A, va A, taco:

e A, di qua A(O ; 2 ; -4) và cĩ vectơ chỉ phương là m(I ;—1;2)

e A, di qua B(-8 ; 6 ; 10) và cĩ vectơ chỉ phương là „(2 31 ;—])

Do Hạ và Họ khác phương nên A; khơng song song với A; Chúng cĩ phương

trình tham số : x= x =—-84+2s Ai:+y=2-f A2:+y=6+s z=-4+2i z=l0— s t=-Đ+2s (1) Xét hệ : 42 —-/ =6+ s (2) —4 — 2t = 10 - s (3)

Tir (1) va (2) suy ra s = > t= h khơng thoả mãn (3) Do đĩ, hệ ba

phương trình trên vơ nghiệm Vậy A; và A+; chéo nhau b) Giả sử (S) là mặt cầu tâm 7, bán kính Â

trong dé HK 1a duéng vudng géc chung cia hai dudng thang A, va

Ay (H € A,,K € Ay)

Dấu đẳng thức ở (*) xây ra khi và chỉ khi (S) là mặt cầu đường kinh HK

Goi H(t;2 — r;—4 + 27), KÍC8 + 2š;6 + s; 10 — 3)

Ta cĩ: HK = (=8 + 2s —1;4 + s+f;14= s— 27)

Vi HK 1a đường vuơng gĩc chung của A, va A; nên :

HK Lu, (HKu,=0 ([-84+2s-1-4-s-1+2(14-s-2) =0 _—_, 1,84, c© HK 1 wy HK uw, = 0 2(_8+2s~/)+4+s+r—14+s+27=0 16-s-—6t=0 t=2 & > -26+6s+t=0 s4 Từ đĩ : H = (2;0;0),K = (0:10;6) và HK = V22 + 10 + 6? = V140 Đường trịn (Š) cần tìm cĩ tâm /(1 ; 5 ; 3), bán kính R = 435 và cĩ phương trình : (x-1ƒ +(y-5Ÿ +(z- 3ƒ = 35

18 Giả sử mặt cầu (S) cĩ tâm 7, bán kính # đi qua A(I ; 2 ; —1) và tiếp xúc với mặt

phẳng (a) tại Ư

Khi đĩ : 2R=IA+IB>AB>AH,

trong đĩ H là chân đường vuơng gĩc hạ từ A tới mặt phẳng (2) Dau dang thức xảy ra khi và chỉ khi (S) là mặt cầu đường kính AH

Đường thẳng AH đi qua A(I ; 2 ; —1) và cĩ vectơ chỉ phương là Hy = (I 51 ;2) Do đĩ AH cĩ phương trình tham số là :

x=l+íf

y=2+í z=—l+2/

Toa d6 cha diém H ứng với giá trị ? là nghiệm của phương trình

I+r+2+/+2(-I+2¡)—13=0

© -6:+12=0 ¡=2 © H =(3;4;3)

19

204

Mặt cầu (S) cần tìm cĩ tâm là trung điểm /(2 ; 3 ; 1) của đoạn AH và cĩ bán

kính là A! - V6,

2

Phương trình của mặt cầu cần tìm là :

(x -2) +(y-3) +(¢-1) =6

(S) x7 + y? +27 -2x4+2z-4 = 0 1a mat cầu cĩ tâm /(1 ; 0 ; =1), bán kính

R = V6

Khoảng cách từ 7 tới mặt phẳng (ø) : 2x - 2y+z+8=0 là 2.1-2.0-14+8

Pl= 20-144 93, Bok

2+(-2 + 3

Do dé (a) va (S) khong cĩ điểm chung

Giả sử H là chân đường vuơng gĩc hạ từ ï xuống mặt phẳng (a), A 1a giao điểm của đoạn HI với -

(S), Al kéo dai cat (S) tai B

Voi M tuy y trén mat cau (5S), gọi () là mặt phẳng qua M và song song với (ø), (Ø) cắt AB tại K

Khi đĩ, K ở giữa A và B (vi nếu K thuộc ta AH

thi JK = d(I;(B))>IA=R Hinh 64

Điều này dẫn đến () (S) = @ : volivi M € (B) (S)

Tương tự K khơng thể thuộc tia đối của tia BA Ta cĩ: d(M, (œ)) = KH

Từ AH < KH < BH suy ra KH lớn nhất bảng BH khi M = B

Đường thang IH di qua /(1 ; 0; -1), c6 vecto chi phương là No = (2 :—2) 1) nén:

x=1+2t