Một số kiến thức cơ sở
Trong phần này, chúng tôi sẽ tổng hợp lại các kiến thức quan trọng về độ đo, mêtric Hausdorff, ánh xạ co, ánh xạ đồng dạng, tập tự đồng dạng, tập hoàn hảo và tập liên thông, những khái niệm cần thiết cho các nội dung chính của luận văn.
Độ đo trên một đại số các tập con C của tập hợp X là một hàm từ C đến R, thỏa mãn các điều kiện sau: (i) độ đo của mọi tập A thuộc C đều không âm, (ii) độ đo của tập rỗng là 0, và (iii) độ đo là σ-cộng tính, tức là đối với một dãy các tập Ai thuộc C, nếu chúng đôi một không giao nhau, thì độ đo của hợp của chúng bằng tổng độ đo của từng tập.
P i=1 à(A i ). Độ đo à trờn σ - đại số L cỏc tập con của X được gọi là độ đo đủ nếu
Hàm được định nghĩa là một độ đo ngoài trên C nếu thỏa mãn các điều kiện i), ii) và điều kiện iii') với iii') là σ-dưới cộng tính Cụ thể, nếu A_i thuộc C với i = 1, 2, , thì hàm này đáp ứng yêu cầu của định nghĩa.
1.1.2 Định nghĩa ([5]) Cho D là một tập con đóng trong không gian mêtric( R n , d) với d là mêtric được xác định bởi d(x, y) = |x − y| = s n
|x i − y i | 2 , với ∀x, y ∈ R n , với mỗi x ∈ R n và tập con A của D đặt d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A} và với mỗi số thực dương δ, đặt A δ = {x ∈ R n : d(x, A) ≤ δ} và gọi A δ là δ- bao của A.
Gọi K là lớp tất cả các tập con compact, khác rỗng của D Với hai tập
A, B thuộc K, ta ký hiệu d H (A, B) = inf{δ > 0 : A ⊂ B δ và B ⊂ A δ } (1.1)
1.1.3 Bổ đề Với A, B ∈ K, d H (A, B) cho bởi công thức (1.1) còn được xác định bởi d H (A, B) = max{sup{d(a, B) : a ∈ A},sup{d(b, A) : b ∈ B}}. Nhờ Bổ đề 1.1.3 ta chứng minh được kết quả sau.
1.1.4 Định lý ([1]) Với cách xác định d H như ở (1.1) thì d H là một mêtric trên K Hơn nữa, (K, d H ) là không gian mêtric đầy đủ.
1.1.5 Định nghĩa ([5]) Cho D là một tập con đóng trong R n Ánh xạ
S : D → D được gọi là ánh xạ co trên D nếu tồn tại hằng số c ∈ [0; 1) sao cho |S(x) − S(y)| ≤ c|x − y| với mọi x, y ∈ D, khi đó c được gọi là tỷ số co của S.
Nếu dấu "=" trong bất đẳng thức trên xảy ra với mọi x, y ∈ D thì S được gọi là ánh xạ đồng dạng với tỷ số đồng dạng c.
Một họ hữu hạn ánh xạ co {S i } N i=1 với S i : D → D được gọi là một hệ hàm lặp (viết tắt là IFS - Interated Function System) trên D.
1.1.6 Mệnh đề ([5]) Cho N ánh xạ co {S i } N i=1 trên D Ta xác định ánh xạ
S i (E) (1.2) thì d H (S (A), S(B)) ≤ c max d H (A, B ), trong đó c max = max
1≤i≤N {c i } với c i là tỷ số co của S i , i ∈ {1, 2, , N }.
1.1.7 Định lý ([5]) Cho hệ hàm lặp {S i } N i=1 và S là ánh xạ co được xác định bởi (1.2) Khi đó tồn tại duy nhất một tập F ∈ K sao cho S(F ) = F.
Hơn nữa, nếu có tập E ∈ K sao cho S i (E) ⊆ E với ∀i ∈ {1, 2, , N } thì
S k (E) với S k là sự lặp lại k lần ánh xạ S.
1.1.8 Định nghĩa ([5]) Tập F được xác định trong Định lý 1.1.7 được gọi là tập bất biến của hệ hàm lặp.
Nếu S i , 1 ≤ i ≤ N là các ánh xạ đồng dạng thì tập bất biến F được gọi là tập tự đồng dạng.
Các tập bất biến được gọi là các tập Fractal, với một đặc điểm quan trọng là tính tự đồng dạng Điều này có nghĩa là bất kỳ phần nhỏ nào được chọn từ một tập tự đồng dạng F đều sẽ là "bản sao" của toàn bộ tập F.
1.1.9 Định nghĩa Một điểm x được gọi là điểm tụ của một tập F khi mọi lân cận của x đều chứa vô số điểm của F.
Cho một tập F trong không gian mêtric X Một điểm x ∈ F không phải là điểm tụ của F được gọi là điểm cô lập của F.
Một tập đóng F mà không có điểm cô lập được gọi là tập hoàn hảo.
Điểm x được coi là điểm tụ của tập F nếu mỗi lân cận của x đều chứa ít nhất một điểm khác thuộc F Ngược lại, điểm x trong F là điểm cô lập khi tồn tại một lân cận của x không chứa bất kỳ điểm nào khác từ tập F ngoại trừ chính x.
Không gian tôpô X được coi là liên thông nếu nó không thể phân chia thành hợp của hai tập con rỗng và tách biệt Một tập con A ⊂ X được gọi là tập liên thông nếu không gian con A với tôpô cảm sinh cũng là một không gian liên thông.
Giả sử X là không gian tôpô, A ⊂ X Tập A được gọi là thành phần liên thông của X nếu A là tập liên thông cực đại.
Không gian tôpô X được gọi là hoàn toàn không liên thông nếu mỗi thành phần liên thông của X chỉ là một điểm.
Cách xây dựng tập Cantor cổ điển và tập kiểu Cantor
Trong mục này chúng tôi trình bày cách xây dựng tập Cantor cổ điển, tập tựa Cantor, tập Cantor đều, bụi Cantor, tập Cantor tổng quát.
1.2.1 Tập Cantor cổ điển (C 3 - Middle third Cantor set)
Tập Cantor C 3 được hình thành từ đoạn thẳng [0; 1] bằng cách chia đoạn này thành ba phần bằng nhau, loại bỏ khoảng mở I 1 = (1/3; 2/3) ở giữa và giữ lại hai đoạn ở hai đầu, tức là tập F 1 = [0; 1] \ I 1 = [0; 1/3] ∪ [2/3; 1] Quá trình này tiếp tục được lặp lại với tập F 1, trong đó khoảng I 2 = (3/12; 3/22) ∪ (3/72; 3/82) sẽ bị loại bỏ, và các đoạn còn lại sẽ được giữ lại.
Lặp lại quy trình tương tự cho từng đoạn, chúng ta sẽ thu được tập Cantor C3 Khoảng mở bị loại bỏ trong đoạn [0; 1] sau mỗi bước k sẽ tạo ra khoảng bù cấp k của tập Cantor C3 Cụ thể, khoảng [1/3; 2/3] được gọi là khoảng bù cấp 1, trong khi các khoảng [3/8; 3/2] và [3/2; 2/3] là những khoảng bù cấp tiếp theo.
Tập tựa Cantor C k được hình thành từ số nguyên k (k ≥ 3) bằng cách chia đoạn thẳng [0; 1] thành 3 phần, loại bỏ khoảng mở ở giữa có độ dài 1/k, và giữ lại hai đoạn ở hai đầu với độ dài mỗi đoạn bằng (1/2) - (2^(k-1)) Quy trình này được lặp lại cho từng đoạn còn lại, tạo ra tập tựa Cantor C k sau nhiều lần lặp lại.
Xây dựng tập tựa Cantor C 4
Xây dựng tập tựa Cantor C 5
Cho đoạn I = [0; 1], số nguyên m ≥ 2và r ∈ (0; m 1 ) Ta thay I bởim đoạn
Các đoạn I1, I2, , Im được sắp xếp cách đều nhau với độ dài mỗi đoạn là r|I| Điểm mút bên trái của đoạn I trùng với điểm mút bên trái của đoạn I1, trong khi đó, điểm mút bên phải của đoạn I cũng được xác định tương ứng.
I trùng với điểm mút bên phải của I m Đặt F 1 = m
Tiếp tục quy trình tương tự cho từng đoạn I1, I2, , Im, chúng ta sẽ thu được tập F2 Tiến hành lặp lại cách làm này cho mỗi đoạn con của F2 và tiếp tục cho đến khi hoàn tất Cuối cùng, ta có tập F =
F k được gọi là tập Cantor đều.
Bắt đầu từ một hình vuông đơn vị, chúng ta chia nó thành 9 hình vuông nhỏ với cạnh dài 1/3, giữ lại 4 hình vuông ở 4 góc và loại bỏ 5 hình vuông còn lại Tiếp tục quá trình này cho đến bước thứ k, ta sẽ có 4^k hình vuông với độ dài cạnh là 3^(1-k) Quá trình này được lặp lại vô hạn, và tập hợp thu được được gọi là bụi Cantor.
Chọn một dãy giảm dần các tập E_k = [0; 1] với E_0 ⊃ E_1 ⊃ E_2 ⊃ trong đó mỗi E_k (k = 1, 2, ) là hợp hữu hạn các khoảng con đóng rời nhau, được gọi là khoảng cơ sở cấp k Mỗi khoảng trong E_k chứa ít nhất hai khoảng con của nó.
E k+1 và chiều dài lớn nhất của khoảng cơ sở cấp k dần về 0 khi k → ∞. Khi đó, tập F =
E k là một tập con hoàn toàn không liên thông của đoạn[0; 1], là một fractal và ta gọi là tập Cantor tổng quát.
Một số phương pháp tính chiều Hausdorff của tập Cantor 21 2.1 Chiều Hausdorff
Chiều hộp
2.2.1 Định nghĩa ([5]) Cho F là một tập con bị chặn, khác rỗng của R n , ta gọi chiều hộp dưới của F, ký hiệu là dim B F, là giá trị được xác định bởi dim B F = lim δ→0 + log N δ (F )
− log δ , trong đó N δ (F ) là số tối thiểu các tập có đường kính δ phủ F.
Tương tự, chiều hộp trên của F, ký hiệu là dim B F, là giá trị được xác định bởi dim B F = lim δ→0 + log N δ (F)
− log δ Nếu dim B F = dim B F thì giá trị chung đó được gọi là chiều hộp của F, ký hiệu dim B F.
2.2.2 Nhận xét ([5]) i) Nếu tồn tại dim B F thì dim B F = lim δ→0 + log N δ (F)
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các khái niệm liên quan đến dim H và dim B của một tập hợp F Cụ thể, ta có dim H F ≤ dim B F ≤ dim B F Nếu tồn tại dim B F, chúng ta có thể thay thế N δ (F) trong định nghĩa dim B bằng các yếu tố sau: a) số tối thiểu hình cầu đóng bán kính δ phủ F; b) số tối thiểu hình lập phương cạnh δ phủ F; c) số tối thiểu hình cầu rời nhau bán kính δ có tâm thuộc F; và d) số tối thiểu các tập có đường kính nhỏ hơn hoặc bằng δ phủ F.
Một số phương pháp tính chiều fractal của tập Cantor
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một số phương pháp phổ biến và tiện lợi để tính chiều fractal của tập Cantor cổ điển, dựa trên các đặc điểm của tập fractal Do tính chất phức tạp của việc chứng minh các định lý liên quan, chúng tôi sẽ không trình bày chi tiết các chứng minh trong khuôn khổ của luận văn này.
2.3.1 Tính chiều Hausdorff của tập Cantor C 3 dựa vào độ đo
2.3.1.1 Mệnh đề ([5]) Cho F ⊂ R n Nếu tồn tại s ∈ [0; +∞] mà 0 dim H F, theo định nghĩa dim H F thì H s (F ) = 0. Nếu s < dim H F thì H s (F ) = +∞ Vậy, từ giả thiết ta có s = dim H F.
2.3.1.2 Mệnh đề Cho C 3 là tập Cantor và s = log 2 log 3 Khi đó, ta có 1 2 0, ta có thể chọn n ∈ N sao cho δn+1 = 3n+1 với 1 ≤ δ ≤ 3 và n = δn.
N δ n (C 3 ) ≤ N δ (C 3 ) ≤ N δ n+1 (C 3 ) Vì vậy, n − 1 n + 1 log 2 log 3 ≤ log N δ n (C 3 )
Khi n → ∞ ta có dim B C 3 = lim δ→0 + log N δ (C 3 )
Từ Mệnh đề 1.3.14 và Mệnh đề 2.3.2.2 ta có dim H C 3 = dim B C 3 = log 2 log 3
2.3.3 Tính chiều Hausdorff của tập Cantor C 3 dựa vào điều kiện tập mở
2.3.3.1 Định nghĩa ([5]) Cho hệ hàm lặp {S i } N i=1 Ta nói hệ hàm lặp đã cho thoả mãn điều kiện tập mở (viết tắt là OSC- Open Set Condition) nếu tồn tại tập mở bị chặn khác rỗng V ⊂ R n sao cho
S i (V ) ∩ S j (V ) = ∅, i 6= j 2.3.3.2 Định lý ([5]) Nếu F ⊂ R n sinh bởi hệ hàm lặp {f 1 , f 2 , , f m } thoả mãn OSC thì tồn tại dim B F và dim H F = dim B F = s là nghiệm duy nhất của phương trình m
P i=1 c s i = 1 với c i, i = 1, 2, , m là tỷ số co của các ánh xạ co f 1 , f 2 , , f m tương ứng.
2.3.3.3 Mệnh đề Cho tập Cantor C 3 Khi đó, C 3 là tập tự đồng dạng sinh bởi hệ hàm lặp thoả mãn OSC và dim H C 3 = log 2 log 3
Chứng minh Xét tập mở V = (0; 1) và hệ hàm lặp {f 1 , f 2 } trong Mệnh đề 1.3.14 Khi đó f 1 (V ) = (0; 1 3 ), f 2 (V ) = ( 2 3 ; 1) vì vậy f 1 (V ) ∪ f 2 (V ) ⊆ V và f 1 (V ) ∩ f 2 (V ) = ∅ Do đó hệ hàm lặp {f 1 , f 2 } thoả mãn OSC.
Mặt khác f 1 , f 2 là hai ánh xạ đồng dạng với tỷ số đồng dạng c i = 1 3 , i = 1, 2 Theo Mệnh đề 1.3.14 ta có tập Cantor C 3 sinh bởi hệ hàm lặp
{f 1 , f 2 } Vì vậy, dim H C 3 = dim B C 3 = s là nghiệm duy nhất của phương trình c s 1 + c s 2 = 1 hay 2( 1 3 ) s = 1 Giải phương trình ta có nghiệm s = log 2 log 3
2.3.4 Tính chiều Hausdorff của tập Cantor C 3 dựa vào nguyên tắc về sự phân bố khối lượng
2.3.4.1 Định nghĩa ([5]) Cho à là một độ đo trờn R n i) Giỏ của độ đo à ký hiệu là sptà là tập đúng bộ nhất sao cho à( R n \sptà) = 0. ii) Cho A là tập bị chặn trong R n ta núi à là độ đo trờn A nếu sptà ⊂ A. iii) Choàlà một độ đo trờn tập con bị chặn của R n thoả món0 < à( R n ) < +∞ Khi đú, à được gọi là một sự phõn bố khối lượng (Mass distributions) và à(A) được xem là khối lượng của A ⊂ R n
2.3.4.2 Định lý ([5]) (Nguyên tắc phân bố khối lượng) Cho F là một tập compact, khỏc rỗng trong R n và à là một sự phõn bố khối lượng trờn F Nếu với mỗi s ≥ 0 tồn tại c > 0 và δ > 0 sao cho à(U ) ≤ c|U | s với mọi U mà
2.3.4.3 Mệnh đề Nếu F bất biến qua hệ các ánh xạ co với tỷ số co là c i , i = 1, 2, thì dim H F ≤ s với s là nghiệm duy nhất của phương trình m
2.3.4.4 Mệnh đề Cho tập Cantor C 3 Khi đó, ta có thể xây dựng một sự phân bố khối lượng trên C 3 và với s = log 2 log 3 thì dim H C 3 = s.
Chứng minh Tập Cantor C 3 là tập Borel, bị chặn trong R.
Ta xây dựng một sự phân bố khối lượng trên C 3 như sau.
Với mỗi k = 1, 2, ký hiệu U k,i , i = 1, 2, , 2 k là các đoạn cơ sở của tập
F k trong quá trình xây dựng tập Cantor C 3 Khi đó, đường kính của các tập
U k,i là 3 −k → 0 khi k → ∞ Ta gỏn à(U k,i ) = 2 1 k Khi đú,
1 = à(F 0 ) = à([0; 1]) Ta cú thể mở rộng à thành một độ đo trờn R sao cho à( R ) = 1.Rừ ràng giỏ của àbằng C 3 Vỡ vậy, à là một sự phõn bố khối lượng trên C 3
Giả sử U là tập với |U | < 1 luôn tồn tại số nguyên k sao cho 3 −(k+1) ≤
|U | ≤ 3 −k Do đú U giao với nhiều nhất một tập của F k và à(U ) ≤ 2 −k =
(3 log 2 log 3 ) −k = (3 −k ) log 2 log 3 ≤ (3|U |) log 2 log 3 Vì vậy, s = log 2 log 3 ≤ dim H F.
Theo Mệnh đề 1.3.14, tập C 3 là tập bất biến của hệ {f 1 , f 2 } với hai ánh xạ đồng dạng có tỷ số đồng dạng c 1 = c 2 = 1/3 Dựa vào Mệnh đề 2.3.4.3, ta có dim H C 3 ≤ s, trong đó s là nghiệm của phương trình c s 1 + c s 2 = 1, dẫn đến s = log 2 log 3 Do đó, ta kết luận rằng dim H C 3 = log 2 log 3.
2.3.5 Một số kết quả về việc tính chiều Hausdorff của các tập mô tả ở Mục 1.2
Tương tự như đã trình bày đối với tập Cantor C 3 ta có các kết quả sau.
2.3.5.1 Mệnh đề Chiều của tập tựa Cantor C k là dim H C k = log 2 log( k−1 2k ).
2.3.5.2 Mệnh đề Cho F là tập Cantor đều, m ≥ 2 và r ∈ (0; m 1 ) Khi đó, dim H F = − log log m r và 0 < H − log log m r (F ) < ∞.
2.3.5.3 Mệnh đề Cho F là bụi Cantor Khi đó, dim H F = log 4 log 3
Luận văn thu được các kết quả sau.
1 Trình bày cụ thể cách xây dựng tập Cantor cổ điển, tập tựa Cantor C k , tập Cantor đều, Bụi Cantor và tập Cantor tổng quát.
2 Hệ thống và chứng minh chi tiết các tính chất của tập Cantor cổ điển trong các Mệnh đề, Định lý từ 1.3.1 đến 1.3.14.
3 Trình bày bốn phương pháp cơ bản tính chiều của tập fractal và lấy tập Cantor làm ví dụ mô tả cho các phương pháp đó.
4 Chứng minh chi tiết một số Mệnh đề mà các tài liệu chưa chứng minh hoặc chứng minh còn vắn tắt.
Nghiên cứu về tập Cantor cho thấy đây là một tập hợp đơn giản nhưng chứa đựng nhiều tính chất tinh tế và thú vị Những đặc điểm này cho phép chúng ta dễ dàng tính toán chiều fractal của tập Cantor, đồng thời áp dụng kết quả này để nghiên cứu các tập fractal khác.
