Đạo hàm lie của liên thông tuyến tính

ĐA TẠP KHẢ VI

ĐẠO HÀM LIE CỦA LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH

ĐẠO HÀM LIE CỦA LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH

Luận văn hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy, người đã đồng hành và hỗ trợ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo trong bộ môn Hình học – Tôpô, cũng như các thầy cô trong khoa Toán và khoa đào tạo Sau đại học – Trường Đại học Vinh, vì đã tận tình giảng dạy, góp ý và hỗ trợ tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến bạn bè và gia đình đã luôn động viên và hỗ trợ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

CHƯƠNG I ĐA TẠP KHẢ VI

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về đa tạp khả vi liên thông tuyến tính, ánh xạ tiếp xúc trên đa tạp

Giả sử M là một T2 - không gian với cơ sở đếm được, U là tập mở trong M,

V là tập mở trong R n và ánh xạ  : U  V là đồng phôi thì ( U ,  ) được gọi là một bản đồ của M

Với p  U,  ( p )  ( x 1 , x 2 , , x n ) Khi đó( x 1 , x 2 , , x n )được gọi là tọa độ địa phương của p đối với ( U ,  ) (( U ,  )được gọi là hệ tọa độ địa phương của M)

Một điểm p có thể thuộc nhiều bản đồ của M, do đó p có nhiều bộ tọa độ địa phương khác nhau

Trong R 2 , ta lấy M  S 1   ( x ; y ) / x 2  y 2  1  Ta xét U 1   ( x ; y )  S 1 / y  0 ;

Rõ ràng U1 là tập mở của S1 và V1=(-1; 1); là tập mở trong R

Khi đó  : U 1  V 1 , là ánh xạ đồng phôi

Như vậy, ( U 1 ,  1 ) là một bản đồ của S 1

 Ta lấy hai điểm A ( x 1 , 1  x 1 2 ), B ( x 2 , 1  x 2 2 )thuộc U 1

Từ A ≠ B, ta suy ra x1 ≠ x2 Do đó  1 ( A )   1 ( B )

 Với bất kỳ x  V1, ta xét điểm A ( x , 1  x 2 )  U 1 , ta có:  1 (A) ≠ 1 (B)

* Vì  1 là phép chiếu lên trục hoành nên  1 liên tục

Từ  1 , 2 liên tục, ta suy ra  1  1 liên tục

Như vậy, ( U 1 ,  1 )là một bản đồ của S 1

Giả sử ( U 1 ,  1 ) và ( U 2 ,  2 ) là hai bản đồ của M và W 1  U 1  U 2   Khi đó

( U 1  1 và ( U 2 ,  2 )được gọi là phù hợp nếu ánh xạ  2 o  1 là một vi phôi

 Ta ký hiệu W1 =  1 (W), W2= 2 (W) Khi đó ( U 1 ,  1 ) và ( U 2 ,  2 )phù hợp nếu ánh xạ  2 o  1  1 :W1  W2 là vi phôi

 Nếu U 1 U 2 = , ta quy ước rằng ( U 1 ,  1 ) và ( U 2 ,  2 )phù hợp

Ta trở lại ví dụ 1.2 ở trên và xét thêm bản đồ

Ta kiểm tra tính phù hợp của ( U 1 ,  1 ) và ( U 2 ,  2 )

Khi đó, ta có: f   2 o  1  1 : W 1  W 2 x  1  x 2 là một song ánh và khả vi

Mặt khác, với bất kỳ y  (0;1), ta có: f  1 ( y )  (  2 o  1  1 )  1 ( y )  (  1 o  2  1 )( y )   1 (  2  1 ( y ))

Vậy f là vi phôi hay ( U 1 ,  1 ) và ( U 2 ,  2 )là hai bản đồ phù hợp của S 1

 Một hệ bản đồ  U  ;      I ; thỏa mãn:

+ ( U  ,   )và ( U  ,   )là phù hợp; với mọi  ,   I , được gọi là một cấu trúc khả vi của M

 Tập M cùng với một trúc khả vi được gọi là một đa tạp khả vi n – chiều

Ta tiếp tục xét M = S 1 , cùng thêm các bản đồ sau:

Trở lại với ví dụ 1.4 Ta đặt:

 1 và hai bản đồ bất kỳ đều phù hợp Do đó ( U  ,   )  4  1 là một cấu trúc khả vi của S 1

Vậy S 1 là một đa tạp khả vi 1 - chiều

II.LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI

Trong mục này, ta luôn giả thiết M là đa tạp khả vi thực với hệ bản đồ ( U  ,   )   I

B(M) =  X X | là trường véc tơ tiếp xúc, khả vi trên M 

TpM =  Không gian các véc tơ tiếp xúc với M tại p  M 

1.2.1.Định nghĩa: (Xem [5]) Ánh xạ : B(M) x B(M)  B(M)

(X,Y) XY được gọi là liên thông tuyến tính trên M nếu và chỉ nếu  thoả mãn các điều kiện sau:

 được gọi là đạo hàm của trường véc tơ Y dọc theo X đối với 

1 M = R n với trường mục tiêu tự nhiên,  = D,

Trong đó Y có toạ độ (Y1,…,Yn) Khi đó  là liên thông tuyến tính

Thật vậy,  thoả mãn 4 điều kiện của định nghĩa liên thông tuyến tính:

2 X+YZ = DX+YZ = DXZ + DYZ

2 M là đa tạp khả song với trường mục tiêu  E1 , , En  và Y = 

Khi đó  là một liên thông tuyến tính

Vậy  là liên thông tuyến tính

1.2.3 Mệnh đề (Xem [5]) Trên M luôn tồn tại liên thông tuyến tính 

Chứng minh: Trước hết ta chứng minh trên mỗi U luôn tồn tại liên thông tuyến tính   Thật vậy, giả sử X, Y  B(U) Ta chú ý tới vi phôi  : U   V  , (V là tập mở trong R n )

Y     Khi đó   là liên thông tuyến tính trên U

Giả sử {g}I là phân hoạch đơn vị liên kết với {U}I Ta đặt 

Khi đó  là liên thông tuyến tính trên M

1.2.4 Mệnh đề (xem [1]) Giả sử MN,  là liên thông tuyến tính trên N

X YB(M), đặt  X Y  ( X Y) T khi đó  là liên thông tuyến tính trên M

X Y Z, , B(M) ta kiểm tra các điều kiện:

Vậy  là liên thông tuyến tính trên M

Giả sử M=R n  X Y D Y X S X Y( , )(S là ánh xạ song ánh Khi đó  là liên thông tuyến tính trên M

Chứng minh X Y Z, , B(M) ta kiểm tra các điều kiện

Vậy  là liên thông tuyến tính trên M

M = R 3 , XY = DXY +  X  Y  Khi đó:  liên thông tuyến tính

Ta kiểm tra 4 điều kiện của định nghĩa:

Vậy  là liên thông tuyến tính

Giả sử   1 , 2 là hai liên thông tuyến tính trên M, ta đặt       1  2 Khi đó

 là liên thông tuyến tính nếu và chỉ nếu     1 ;   ,   F(M)

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử   1 , 2 là hai liên thông tuyến tính trên M và       1  2 là liên thông tuyến tính Ta chứng minh      1;   ,  F(M)

Thật vậy, với X, Y  B(M),    , ,  F(M) Ta có

Do  là liên thông tuyến tính nên  X   Y  X    Y    X Y (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra     1 Điều kiện đủ Giả sử     1 Ta chứng minh       1  2 liên thông tuyến tính

Thật vậy, với X, X ’ , Y, Y ’  F(M) Ta kiểm tra 4 điều kiện của liên thông tuyến tính

Từ mệnh đề 2.5 ta có nhận xét rằng: tổng của hai liên thông tuyến tính không phải là một liên thông tuyến tính

III.ÁNH XẠ TIẾP XÚC

1.3.1 Định nghĩa (xem [4]) Giả sử f là ánh xạ khả vi từ đa tạp M vào đa tạp N Ánh xạ tiếp xúc của f tại p là: f *| p :T M p T N p v f *| p ( ) v  v ' và được xác định như sau: Nếu v  TpM là véc tơ tiếp xúc với cung (t) trong M tại p thì f*|p(v) = v ’ là véc tơ tiếp xúc với cung fo(t) tại p ’

Khi đó, với t = 0 ta có (0) = t và  ’ (0) = 0 Ảnh của cung (t) qua ánh xạ f là:

Giả sử f : M  N và h: N  R là các ánh xạ khả vi Khi đó:

Giả sử v  TpM thì v tiếp xúc với cung (t) của M tại to, ta có:

Giả sử ánh xạ f : M m  M n khả vi và f(p) = p ’ , trong đó p  U p và (x i ) là hệ tọa độ địa phương trong U p , p ’  V p và (y i ) là hệ tọa độ địa phương trong V p ' Với v(v i )  T p M và f * / p ( v )  v ' ( v ' j )

Ta chú ý tới các ánh xạ, y j : V p '  R

Mặt khác, áp dụng bổ đề ta có v ' j  v ' ( y j )

Trở lại ví dụ 3.2.Ta có J f p |

Nếu f : M  N khả vi tại p  M thì f *|p là ánh xạ tuyến tính Nếu f là vi phôi thì f là đẳng cấu tuyến tính, *|p  p  U p

Giả sử f : M  N khả vi tại p  M Khi đó f *|p : '

Vậy f *|p là ánh xạ tuyến tính Nếu f là vi phôi thì J f p | 0., do đó f *|p là đẳng cấu tuyến tính;  p  M

Giả sử f : M  N và g : N  R là các ánh xạ khả vi và p  M Khi đó:

Từ (1) và (2), ta suy ra:   g f *| p g *| ( ) f p f *| p

CHƯƠNG II ĐẠO HÀM LIE CỦA LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH

Trong chương này, chúng tôi khám phá độ cong trên đa tạp và đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính Chúng tôi sẽ tìm hiểu và chứng minh một số tính chất quan trọng của đạo hàm Lie, đồng thời phân tích mối quan hệ giữa ánh xạ tiếp xúc f* và đạo hàm Lie.

Ta ký hiệu: M là đa tạp khả vi thực n – chiều với cơ sở đếm được

B(M) = { Tập các trường véc tơ khả vi trên M}

I.ĐỘ CONG TRÊN ĐA TẠP

2.1.1 Định nghĩa độ cong trên đa tạp (xem [1])

Giả sử  là một liên thông trên đa tạp M và  X, Y, Z  B(M)

R được gọi là độ cong trên đa tạp M

2.1.2 Bổ đề (xem [7]) a Độ cong R là ánh xạ tam tuyến tính b Trong trường mục tiêu n i i x

  của một bản đồ địa phương (U, X) trên M ta có [Xi, Xj] = 0;  i , j  1 , n

Chứng minh a Độ cong R là ánh xạ tam tuyến tính

Thật vậy, ta kiểm tra R tuyến tính đối với X

Lấy đẳng thức (1) trừ (2) và (3), ta có R(X, Y, Z) = (XYZ - YXZ - [X,Y]Z) = R(X, Y, Z), cho thấy R tuyến tính đối với Y Tiếp theo, kiểm tra R tuyến tính đối với Z, với mọi X, Y, Z, Z’ thuộc B(M), ta có R(X, Y, Z + Z’) = R(X, Y, Z) + R(X, Y, Z’) Cuối cùng, với mọi X, Y, Z thuộc B(M) và mọi  thuộc F(M), ta có R(X, Y, Z) = XYZ - YXZ - [X,Y] Z.

Trong đó XyZ = X(Y[].Z + yZ) = X(Y[].Z + X(YZ) = X[Y[]] Z + Y[] XZ + X[] YZ + XYZ (1)

Tương tự, ta tính được

= X[Y[]].Z – Y[X[]].Z + [X+Y].Z (3) Lấy đẳng thức (1) trừ (2) trừ (3) ta được

  của một bản đồ địa phương (U, X) trên M ta có [X i , X j ] = 0;  i , j  1 , n

Giả sử X, Y, Z là các trường véc tơ trên M thì a R(X, Y, Z) = - R(Y, X, Z) b R(X, Y, Z) + R(Y, Z, X) + R(Z, X, Y) = 0

Chứng minh a.Từ định nghĩa độ cong ta có

= - R(Y, X, Z) b Áp dụng bổ đề 1.2 ta có R là tam tuyến tính nên ta chỉ cần chứng minh b) đúng trong trường mục tiêu của một bản đồ địa phương (U,X);  

Mặt khác, ta có [Xi, Xj] = 0;  i , j  1 , n

Suy ra XY = YX; ZY = YZ; ZX = XZ

2.1.4 Mệnh đề (xem [7]) Ánh xạ R là F(M) – đa tuyến tính

+ R(fX, Y, Z) = fXYZ - YfXZ - [fX,Y]Z

= fX(YZ) – (Yf)XZ - fY(XZ) - f[X,Y]Z + (Yf)XZ

= X(Yf)Z +(Yf)XZ +(Xf)YZ + fXYZ – Y(Xf)Z – (Xf)YZ

- (Yf)XZ - fYXZ – (X(Yf) – Y(Xf))Z - f[X,Y]Z

II ĐẠO HÀM LIE CỦA LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH

Tích Lie hai trường véc tơ X, Y trên đa tạp M được ký hiệu [X, Y]; đó là một trường véc tơ và được xác định bởi

2.2.3 Mệnh đề (xem [3]) Tích Lie thỏa mãn tính chất Jacôbi, nghĩa là

2.2.4 Định nghĩa đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính

Ký hiệu LX(Y) : = [X, Y] Ánh xạ LX : B(M)  B(M)   B(M) gọi là đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính  nếu

2.2.5 Ví dụ Trong R 2 , với X(2x;y), Y(x;xy) và Z(xy,x 2 y) Tính (LX)(Y,Z) với

Giải Áp dụng các công thức  = D, XY = D X Y, [X,Y] = D X Y – D Y X và

Thật vậy, theo Định nghĩa 2.4 ta có

2.2.7 Các mệnh đề a Mệnh đề 1 Đạo hàm Lie L X  thỏa mãn các điều kiện

1 (LX)(Y,Z) tuyến tính thực đối với  Y, Z  B(M)

1 ( LX)(Y,Z) tuyến tính thực đối với  Y, Z  B(M)

+) Ta kiểm tra LX tuyến tính đối với Y

= LX(YZ) + LX(Y’Z)- Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z = LX(YZ) - Y(LXZ) - [X,Y]Z + LX(Y’Z) - Y’(LXZ) -[X,Y’]Z

+) Ta kiểm tra LX tuyến tính đối với Z

= [X,YZ]+[X,Y Z’] - Y[X,Z] - Y[X, Z’] - [X,Y]Z - [X,Y]Z’ = [X,YZ] - Y[X,Z] - [X,Y]Z +[X,Y Z’]] - Y[X, Z’] - [X,Y]Z’ = LX(YZ) - Y[X,Z] - [X,Y]Z + LX(YZ’) - Y[X, Z’] - [X,Y]Z’

Như ta đã biết, với  Y, Z  B(M) thì

Từ đó, ta có mệnh đề sau c Mệnh đề 3 ( L T Y Z X )( , )  ( L X  )( , ) ( Y Z  L X  )( , ) Z Y

2.2.8 Quan hệ giữa ánh xạ tiếp xúc f * với đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính

Giả sử f: M  N là một vi phôi

 : Liên thông tuyến tính trên M f * : B(M)  B(N)

 a Định nghĩa f* : B(N) x B(N)  B(N) được gọi là ánh xạ tiếp xúc của liên thông tuyến tính nếu

Để phân tích mối quan hệ giữa f* và đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính, cần đến hai bổ đề Bổ đề 1 nêu rõ rằng nếu ∇ là liên thông tuyến tính trên M và ta đặt ∇ = ∇ f*, thì ∇ cũng sẽ là một liên thông tuyến tính trên N.

Chứng minh Ta có f * : B(M)  B(N) là một đẳng cấu tuyến tính

T3 Ta có nhận xét: Với mọi F(N) thì f*X = f*(of)X

Trở lại chứng minh T 3 , ta có

 f X Y * [ , ] [  f X f Y * , * ] d Định nghĩa (f * (L X )) : B(N) x B(N)  B(N) được xác định bởi :

Khi đó, ta có mệnh đề sau e.Mệnh đề 2.2.8 f * bảo tồn đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính, nghĩa là