Tính ổn định của một lớp hệ rời rạc có trễ

Một số kiến thức chuẩn bị

Một số cơ sở về lý thuyết ổn định Lyapunov đối với hệ sai phân

1.5 Sự ổn định của hệ rời rạc phi tuyến

1.6 Sự ổn định của hệ tuyến tính có trễ

Chương 2: Tính ổn định của một lớp hệ rời rạc có trễ là nội dung chính của luận văn gồm các nội dung sau:

2.1 Bài toán ổn định hóa

2.2 Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính

2.3 Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính có trễ

2.4 Tính ổn định vững và ổn định hóa của hệ chuyển đổi tuyến tính có trễ

2.5 Một số điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Phan Lê Na Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô giáo và Ban chủ nhiệm khoa sau đại học cùng Ban chủ nhiệm khoa Toán của trường.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Giải tích thuộc khoa Toán đã tận tâm giảng dạy và hỗ trợ tác giả trong suốt quá trình học tập.

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, đặc biệt là Ban Giám

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Hiệu trưởng, Tổ Văn hóa Trường TCN Hưng Yên cùng các bạn trong lớp Cao học 17 Giải tích đã hỗ trợ, động viên và cộng tác trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Mặc dù đã nỗ lực rất nhiều, luận văn vẫn còn một số hạn chế và thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ quý Thầy Cô và bạn đọc để hoàn thiện luận văn này.

Tính ổn định của một lớp hệ rời rạc có trễ

Tính ổn định vững và ổn định hóa của hệ chuyển đổi tuyến tính có trễ

Một số điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Phan Lê Na Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô giáo và chân thành tri ân Ban chủ nhiệm khoa sau đại học cùng Ban chủ nhiệm khoa Toán của trường.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các Thầy, Cô giáo trong tổ Giải tích thuộc khoa Toán, những người đã tận tâm giảng dạy và hỗ trợ tác giả trong suốt quá trình học tập.

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, đặc biệt là Ban Giám

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Tổ Văn hóa Trường TCN Hưng Yên cùng các anh chị trong lớp Cao học 17 Giải tích đã hỗ trợ, động viên và cộng tác trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Mặc dù đã nỗ lực rất nhiều, luận văn vẫn không thể tránh khỏi một số hạn chế và thiếu sót Chúng tôi mong nhận được ý kiến đóng góp từ quý Thầy Cô và bạn đọc để giúp luận văn hoàn thiện hơn.

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này giới thiệu kết quả về phương trình sai phân và lý thuyết ổn định Lyapunov cho hệ sai phân Nội dung bao gồm kiến thức về phương trình sai phân, khái niệm ổn định và ổn định tiệm cận, sự ổn định của hệ rời rạc tuyến tính, hệ rời rạc phi tuyến có trễ, cùng với các kiến thức đại số tuyến tính cần thiết cho luận văn.

1.1 Một số yếu tố về đại số tuyến tính

Ma trận A      a ij , i  1, m , j  1, n , với a ij  có m hàng và n cột gọi là ma trận cấp  m n  

Giả sử R n m  là tập hợp tất cả các ma trận cấp  n m  , chuyển vị của ma trận A kí hiệu là A ' , I và I m là ma trận đơn vị trong R n n  và R n m  tương ứng

Ma trận Q thuộc không gian n chiều được gọi là xác định không âm nếu với mọi vector x, điều kiện x Qx' ≥ 0 được thỏa mãn Nếu điều kiện x Qx' > 0 (hoặc x Qx' < 0) cho tất cả x khác 0, thì ma trận Q được xác định dương (hoặc âm) và được ký hiệu lần lượt là Q > 0 (hoặc Q < 0).

Ta thấy rằng Q > 0 (Q < 0, tương ứng) khi và chỉ khi

Giả sử A là ma trận vuông cấp  n n   , A      a ij , i j ,  1, n , chuẩn của ma trận A sẽ được xác định bởi

Véctơ v  n , v  0 gọi là véctơ riêng của ma trận A - n n   ứng với giá trị riêng (số thực hay số phức) nếu Av   v Tập các giá trị riêng của A kí hiệu là

 Các giá trị riêng của A được xác định từ phương trình đặc trưng của A là

Nếu ma trận A  A ' thì A được gọi là ma trận đối xứng Ta luôn có AA ' là đối xứng và   AB '  B A ' '

Ma trận A được xác định dương thì tồn tại ma trận ngược A  1 và ta có khẳng định sau đây

1.1.1 Định lý (Định lý bổ sung Schur) Giả sử các ma trận M có cấp ( n n  ),

P có cấp ( n m  ), Q có cấp ( m m  ) sao cho Q  0, Q  Q ' , thì

1.1.2 Định lý Cho P  0, F k F k '      I , và M, N là các ma trận hằng Nếu tồn tại một số   0 sao cho  I – M PM 0 '  thì khi đó ta có các bất đẳng thức ma trận sau

1.1.3 Định lý Các điều kiện sau tương đương i) A là ma trận xác định dương ii)   c 0,  Ax x ,   c x 2 ,   x n

1.1.4 Định lý (Sylvester conditions) Ma trận A -  n n   là xác định dương nếu

  det D i > 0, i  1,2, , n và xác định âm nếu    1 det i   D i > 0 , i  1,2, , n Trong đó

Ba bổ đề dưới đây khá quan trọng và được sử dụng ở phần sau

Bổ để 1 Giả sử A, B là các ma trận vuông (n  n) Khi đó nếu I  AB khả nghịch thì I + BA khả nghịch, hơn nữa

 I  BA   1   I B  I  AB   1 A Điều ngược lại cũng đúng

Bổ đề 2 đề cập đến ba ma trận vuông A, B, C kích thước n x n, trong đó B là ma trận khả nghịch Các khẳng định quan trọng bao gồm: i) Ma trận B + AC không suy biến nếu và chỉ nếu ma trận I + CBA⁻¹ không suy biến ii) Nếu B + AC không suy biến, thì các điều kiện liên quan cũng được xác định.

Bổ đề 3 Giả sử F, G là hai ma trận bất kì có cùng cấp, với  là một số dương nào đó ta luôn có bất đẳng thức sau

1.2 Một số yếu tố về phương trình sai phân

Mục này trình bày các kiến thức cơ bản của phương trình sai phân

Xét hệ phương trình x k    1  f k x k  ,    , k  0,1, 2 (1.1) trong đó f   :   n  n cho trước

Khi đó với trạng thái ban đầu x   0  x 0 hệ luôn có nghiệm xác định bởi công thức truy hồi

Khác với hệ vi phân, hệ nghiệm (1.1) tồn tại một cách đơn giản mà không yêu cầu điều kiện liên tục hay Lipschitz cho hàm f Trong trường hợp hệ (1.1) là tuyến tính với dạng x(k+1) = A(k)x(k) + g(k), tồn tại điều kiện ban đầu x(0) = x0 tùy ý cùng với dãy nghiệm tương ứng.

 0 , 1 , , 1 ,  g  g g g k  , nghiệm x k   tại bước k  0 cho bởi công thức Cauchy

    trong đó F k s   , là ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính thuần nhất

Ta có thể biểu diễn công thức của F k s   , như sau

F k s  A k  A k  A s , k   s 0, F k k   ,  I Nếu A   là ma trận hằng số thì F k s   ,  A k s  , k   s 0 và khi đó nghiệm của hệ tuyến tính dừng với thời gian rời rạc là

Bất đẳng thức ma trận dưới đây rất quan trọng khi ta nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa được của hệ phương trình rời rạc

1.3 Một số cơ sở về lý thuyết ổn định Lyapunov đối với hệ sai phân

Xét hệ (1.1) ở trên ta có định nghĩa

1.3.1 Định nghĩa Hệ (1.1) gọi là ổn định nếu với mọi   0, k 0   tồn tại

  0 ( phụ thuộc vào , k 0 ) sao cho với mọi nghiệm x k   của hệ mà

1.3.2 Định nghĩa Hệ là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và có một số  0  0 sao cho lim   0 k x k

1.4 Sự ổn định của hệ rời rạc tuyến tính

Mục này trình bày một số khái niệm về tính ổn định và ổn định tiệm cận theo Lyapunov

Xét hệ rời rạc tuyến tính \( x(k+1) = Ax(k) \) với \( x(0) = x_0 \), nghiệm của hệ này được biểu diễn bởi \( x(k) = A^k x_0 \) Để đảm bảo \( x(k) \) tiến tới 0 khi \( k \) tiến tới vô cùng, theo định nghĩa về ổn định tiệm cận, ma trận \( A \) cần thỏa mãn điều kiện \( \|A\| < 1 \) hoặc \( A^k \rightarrow 0 \) khi \( k \rightarrow \infty \) Ma trận \( A \) được coi là ổn định nếu phần thực của tất cả các giá trị riêng của nó là âm Do đó, ta có thể đưa ra định lý liên quan đến tính ổn định của hệ thống.

1.4.1 Định lý Hệ (1.3) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau xẩy ra i) Tồn tại số q : 0   q 1 sao cho A   q 1 ii)   1 với mọi      A :    : det A   E  0 

Bây giờ ta xét hệ tuyến tính dừng x k    1  A k x k     , k   (1.4)

1.4.2 Định lý Đối với hệ (1.4) ta có khẳng định sau i) Nếu A k     A C k   trong đó A là ma trận ổn định và C k    a khi đó hệ sẽ ổn định với a đủ nhỏ ii) Hệ là ổn định tiệm cận nếu tồn tại q    0,1 sao cho A k    q với mọi k  

 Xét tính ổn định tiệm cận của hệ

 nên theo định lý 1.4.2 thì hệ là ổn định tiệm cận

1.5 Sự ổn định của các hệ rời rạc phi tuyến

Xét hệ rời rạc phi tuyến

1.5.1 Định lý Trong (1.5), với f(k, x) = A(k)x + g(k, x), giả sử i) Tồn tại q  (0, 1) sao cho A(k)   q, k  ii) g(k, x) L(k) x , k   q, k  với klim sup L(k) 0

Khi đó hệ (1.5) là ổn định tiệm cận Định lý dưới đây là một áp dụng phương pháp thứ hai của Lyapunov cho hệ rời rạc

1.5.2 Định lý (Lyapunov) Nếu tồn tại hàm số V(x): n  thoả mãn: i)    1 0,  2  0 :  1 x 2  V x     2 x 2 ii)    3 0 :  V x     V x k (   1   V x k        3 ( x k   )

Khi đó hệ (1.5) là ổn định tiệm cận Nếu vi phạm một trong hai điều kiện trên thì hệ (1.5) là không ổn định

Khi (1.5) có dạng tuyến tính dừng, ta có hệ quả

Hệ quả 1 Xét hệ phương trình

Nếu tồn tại hai ma trận đối xứng xác định dương P, Q sao cho

A PA P Q    thì hệ phương trình trên là ổn định tiệm cận

Do đó theo hệ quả 1 hệ trên là ổn định tiệm cận

1.6 Sự ổn định của hệ tuyến tính có trễ

Xét hệ rời rạc có trễ x k    1  Ax k    Bx k   h  , k   (1.6) trong đó x    n , A B ,  R n n  , h  0 cho trước Điều kiện ban đầu của hệ có dạng

Với mỗi x 0 cho trước có nghiệm xác định, nghiệm ở bước thứ k được truy hồi k  h bước trước đó

1.6.1 Định nghĩa Hệ (1.6) được gọi là ổn định tiệm cận không phụ thuộc vào độ trễ nếu với bất kỳ h  0 nào đó thì hệ cũng là ổn định tiệm cận

1.6.2 Định lý Hệ (1.6) là ổn định tiệm cận nếu một trong hai điều kiện sau xẩy ra i) Tồn tại một số hai ma trận đối xứng xác định dương P, W sao cho

X P  A PA W   B PB  P ii) Tồn tại một bộ hai ma trận đối xứng xác định dương , Z sao cho

Thì P, Q là xác định dương và 1 1

Suy ra tồn tại các ma trận P, W thỏa mãn của định lý nên hệ phương trình trên là ổn định tiệm cận

Hệ (1.6) được coi là ổn định tiệm cận khi thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: i) Có sự tồn tại của các ma trận đối xứng xác định dương P, R, A và W, đồng thời nghiệm của hệ là đúng.

 (1.9) ii) Tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương  , S, và  nghiệm đúng hệ

Hệ quả 3 Hệ (1.6) là ổn định tiệm cận nếu A hoặc B không suy biến và tồn tại hai số dương p, q sao cho

1 1 1 p q (1.11) và các ma trận đối xứng xác định dương X, Q thoả mãn phương trình Lyapunov tổng quát pA'XA + qB'XB + Q = X (1.12)

Hệ quả 4 Hệ (1.6) là ổn định tiệm cận nếu tồn tại một số a dương sao cho

Tìm điều kiện của a để hệ ổn định tiệm cận

Theo hệ quả 4 để hệ là ổn định tiệm cận thì

AA '  aI  a BB   '  aI    1   AA '  aI    BB '  aI    aI

 a  a 1    a  a   a, hay 0   a a(1 a)  Vậy với 0 a a(1 a) thì hệ trên là ổn định tiệm cận

Chương 2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP HỆ RỜI RẠC CÓ TRỄ

Chương này giới thiệu về bài toán ổn định hóa, cùng với các khái niệm và tính chất liên quan đến sự ổn định của hệ tuyến tính Ngoài ra, nó cũng đề cập đến sự ổn định và ổn định hóa của hệ tuyến tính có trễ, cùng một số điều kiện đủ cần thiết để đảm bảo tính ổn định của hệ thống.

2.1 Bài toán ổn định hóa

Xét hệ điều khiển rời rạc n m x(k 1) f (k, x(k), u(k), k x(k) , u(k)

2.1.1 Định nghĩa Hệ (2.1) gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm u(k) = h(x(k)): n  m sao cho với hệ phương trình sai phân x(k + 1) = f(k,x(k)), h(k), k  + là ổn định tiệm cận Hàm h(k) được gọi là hàm điều khiển ngược

2.2 Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính

Xét hệ phương trình x  k  1   A x   k  Bu k   , k  + (2.2) trong đó A  R n n  và B  R n m 

2.2.1 Định lý Hệ (2.2) là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận đối xứng xác định dương P sao cho

  (2.3) trong đó X(P) = A'PA - P, với điều khiển ngược u(k)= -(B'PB) -1 B'PAx(k)

Xét tính ổn định hoá của hệ phương trình

Ta thấy B khả nghịch, lấy 1 0

  khi đó với điều khiển ngược u(k) = Kx(k) ở đó

  thì hệ trên là ổn định hoá được

2.3 Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính có trễ

Xét hệ phương trình x (k+1) = Ax(k) + Bx(k - h) + Cu(k), k  + (2.4) với điều kiện ban đầu của hệ là x(0) = x(-1) = = x(-h) = x0 , trong đó A B ,  R n n  , C  R n m  , x  n , u  m ( m  n) là biến điều khiển