CHƯƠNG 3: PHÂN SỐ BÀI 5: SO SÁNH PHÂN SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững cách so sánh hai phân số mẫu, hai phân số khác mẫu + Hiểu khái niệm phân số âm phân số dương  Kĩ + Biết so sánh hai phân số + Biết cách xếp dãy phân số theo thứ tự tăng dần giảm dần Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM So sánh hai phân số mẫu Hai phân số có mẫu dương phân số Ví dụ 1: 4  (vì 4  ) 3 Chú ý: Phương pháp bên sử dụng cho hai phân số có tử lớn lớn mẫu dương Ví dụ 2: Ta chuyển phân số  2 2 có mẫu âm thành phân số có mẫu dương so sánh So sánh hai phân số khác mẫu Ta viết hai phân số không mẫu thành hai phân số có mẫu dương so sánh tử số với Phân số âm, phân số dương Chú ý: Phân số có tử mẫu hai số nguyên dấu phân số dương Phân số âm: phân số nhỏ Phân số dương: phân số lớn Phân số có tử mẫu số nguyên khác dấu phân số âm HỆ THỐNG SƠ ĐỒ HÓA SO SÁNH HAI PHÂN SỐ So sánh hai phân số mẫu So sánh A C B B Quy đồng mẫu So sánh hai phân số khác mẫu Phân số có tử mẫu dấu lớn Phân số lớn phân số dương Phân số có tử mẫu khác dấu nhỏ Phân số nhỏ phân số âm B>0 Nếu A  C A C  B B Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: So sánh phân số mẫu Bài toán So sánh phân số Phương pháp giải Ví dụ: So sánh 5 5 Hướng dẫn giải Bước Viết phân số có mẫu âm (nếu có) thành Ta có: phân số có mẫu dương 2 4 ;   5 5 Vì 2  4 nên Bước So sánh tử phân số: Phân số có tử lớn lớn Vậy 2 4  5  5 5 Ví dụ mẫu Ví dụ So sánh phân số sau: a) ; 4 4 b) 4 ; 7 7 c) 11 11 Hướng dẫn giải a) Viết phân số dạng mẫu dương: Vì 1  3 nên 1 3 Vậy   4 4 4 b) Viết phân số dạng mẫu dương: Vì 3  nên 1 3  ;  4 4 3  4  ;  7 7 3 4  Vậy  7 7 7 Chú ý: Ta nhận xét c) Ta thấy 3 3   nên  7 7 5   nên  11 11 11 11 Bài toán Sắp xếp phân số Phương pháp giải Ví dụ: Sắp xếp phân số sau theo thứ tự tăng dần: 24 13 43 36 ; ; ; ; ; 36 36 36 36 36 36 Hướng dẫn giải Trang Vì   13  24  36  43 nên Bước So sánh phân số 13 24 36 43      36 36 36 36 36 36 Vậy phân số xếp theo thứ tự tăng Bước Sắp xếp phân số theo thứ tự yêu cầu dần là: ; ; 13 ; 24 ; 36 ; 43 36 36 36 36 36 36 tốn Ví dụ mẫu Ví dụ Sắp xếp phân số sau theo thứ tự giảm dần: 5 11 7 13 27 ; ; ; ; ; 48 48 48 48 48 48 Hướng dẫn giải Viết lại phân số dạng mẫu dương: 11 11 13 13 9 ; ;    48 48 48 48 48 48 Vì 27  13  11  9  7  5 nên 27 13 11 9 7 5      48 48 48 48 48 48 Vậy phân số xếp theo thứ tự giảm dần là: 5 7 9 11 13 27 ; ; ; ; ; 48 48 48 48 48 48 Ví dụ Điền số thích hợp vào chỗ chấm: 9 4      11 11 11 11 11 11 Hướng dẫn giải 9 8 7 6 5 4      11 11 11 11 11 11 Giải thích: Do phân số có mẫu (dương) nên ta điền tử số dãy số nguyên tăng dần Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Điền số thích hợp vào vuông: a) 13 8 ;      18 18 18 18 18 18 c) 1 1     24 12 b) 2 2 2 2 2 2 ;      Câu 2: a) Sắp xếp phân số sau theo thứ tự tăng dần: 15 36 2 7 72 97 ; ; ; ; ; 24 24 24 24 24 24 b) Sắp xếp phân số sau theo thứ tự giảm dần: 71 13 21 12 60 ; ; ; ; ; ; 60 60 60 60 60 60 60 Trang Dạng 2: So sánh phân số không mẫu Phương pháp giải Cách Quy đồng mẫu Ví dụ 1: So sánh phân số sau: 15 16 8 Hướng dẫn giải Bước Quy đồng mẫu số phân số (biến đổi Viết lại phân số dạng mẫu số dương 8 thành phân số có mẫu dương) 5 5.2 10 quy đồng mẫu số:    8 8.2 16 Bước So sánh phân số có mẫu Vì 15  10 nên dương Vậy 15 10  16 16 15  16 8 Ví dụ 2: So sánh hai phân số sau: Hướng dẫn giải Tử số chung 12 Cách Quy đồng tử Nếu a; b; c  b  c a a  b c Ta có: 4.3 12 3.4 12   ;   5.3 15 7.4 28 Vì 15  28 nên Vậy Cách Sử dụng phân số trung gian a x  b y  a c   c x b d  d y  12 12  15 28  Ví dụ 3: So sánh phân số sau Hướng dẫn giải Vì 7 7   nên  11 11 Ngồi ra, cịn số phương pháp khác để so Ví dụ 4: So sánh phân số sau: sánh hai phân số: • Rút gọn phân số • Sử dụng định nghĩa hai phân số 7 11 21 36 108 Hướng đẫn giải Cách Rút gọn Ta có: 21 21:   108 108 : 36 Suy 21  36 108 Cách Sử dụng định nghĩa phân số nhau: Trang Ta có: 7.108  756 ; 36.21  756 Suy 21  36 108 Ví dụ mẫu Ví dụ So sánh phân số sau hai cách quy đồng tử số quy đồng mẫu số: a) 5 4 ; b) 7 6 Hướng dẫn giải a) Cách (Quy đồng mẫu số) Mẫu số chung 56 Ta có: 5 5.7 35 4 4.8 32   ;   8.7 56 7.8 56 Vì 35  32 nên Vậy 35 32  56 56 5 4  Cách (Quy đồng tử số) Ta so sánh hai phân số vả Tử số chung 20 Ta có: 5.4 20 4.5 20   ;   8.4 32 7.5 35 Vì 32  35 nên Suy 20 20  32 35 5 4  Vậy  8 Chú ý: Sai lầm thường gặp so sánh hai phân số cách quy đồng tử số: 5 5.4 20 4 4.5 20 ;     8.4 32 7.5 35 Nhận xét 32  35 nên Vậy 20 20  32 35 5 4  b) Cách (Quy đồng mẫu số) Mẫu số chung 15 Trang 7 7.5 35 6 6.3 18 ;     3.5 15 5.3 15 Ta có: Vì 35  18 nên Vậy 35 18  15 15 7 6  Chú ý: Khi so sánh hai phân số âm ta so sánh hai phân số đối hai phân số đó, từ suy kết luận hai phân số ban đầu Cách (Quy đồng tử số) Ta so sánh hai phân số Tử số chung 42 7.6 42 6.7 42 ;     3.6 18 5.7 35 Ta có: Vì 18  35 nên Suy 42 42  18 35 7 6  Vậy  5 Ví dụ Khơng quy đồng tử mẫu, so sánh phân số sau: a) ; c) 18 15 31 37 b) 935 10 ; 732 Hướng dẫn giải a) Vì 5  (tử lớn mẫu)  (tử nhỏ mẫu) nên  6 b) Vì 935 10 935 10  (tử mẫu dấu)  (tử mẫu trái dấu) nên  732 732 c) Ta có: 18 18 15 18 18 15   Suy  31 37 37 37 31 37 Chú ý: Ta dùng hoặc phân số làm số trung gian để so sánh hai phân số Phân số có tử mẫu hai số nguyên dấu lớn (phân số dương) Phân số có tử mẫu hai số nguyên trái dấu nhỏ (phân số âm) Phân số dương có tử lớn mẫu phân số lớn Phân số dương có tử nhỏ mẫu phân số nhỏ Cách chọn phân số trung gian Trang So sánh Chọn a c ; b d a c d b Ví dụ Khơng quy đồng tử mẫu, so sánh phân số sau: a) 15 13 ; 19 17 b) 13 17 20 28 Hướng dẫn giải a) Ta có: 15.17  255 ; 19.13  247 Suy 15.17  19.13 b) Ta có: 15 13  19 17 13.28  364 ; 20.17  340 Suy 13.28  20.17 13 17  20 28 13 17  20 28 Vậy Ví dụ a) Cho phân số a b Chứng minh rằng:  a, b  , b   Giả sử a  m  * b a am  b bm b) Áp dụng kết câu a) để so sánh: A  1718  1717  ; B  1719  1718  Hướng dẫn giải a) Ta có: a a  b  m  a.b  a.m   b b  b  m  b  b.m a  m  a  m  b a.b  m.b   b  m  b  m  b b  m.b Vì a  nên a  b suy a.m  b.m với m  * b Do a.b  a.m  a.b  b.m suy Vậy a am với m  *  b bm b) Vì 1718   nên 1719  a.b  a.m a.b  b.m  b  b.m b  b.m Trang A 17 1718  1718   16 1718  17 17 17  1 1717      B 1719  1719   16 1719  17 17 1718  1 1718  Vậy A  B Bài tập tự luyện dạng Câu 1: So sánh cặp phân số sau cách quy đồng mẫu số: a) ; b) 4 3 ; c) 5 63 ; 70 d) 11 13 d) 13 39 27 47 Câu 2: So sánh cặp phân số sau cách quy đồng tử số: a) ; b) 3 ; 9 c) 4 3 ; 13 Câu 3: a) Thời gian dài hơn: giờ? b) Đoạn thẳng ngắn hơn: c) Khối lượng lớn hơn: d) Vận tốc nhỏ hơn: m m? 12 kg hay kg? 9 km/h km/h? 10 số học sinh thích bóng chuyền, số học sinh thích cầu lơng số học sinh 12 thích bóng đá Hỏi môn thể thao nhiều học sinh lớp 6A u thích nhất? Câu 4: Lớp 6A có Câu 5: Không quy đồng tử mẫu, so sánh phân số sau: a) 13 ; 12 b) 25 26 ; 34 35 c) 120 45 133 51 Câu 6: Sắp xếp phân số sau theo thứ tự tăng dần: a) 13 ; ; ; ; 20 20 b) 37 17 23 7 2 ; ; ; ; 100 50 25 10 Câu 7: Sắp xếp phân số sau theo thứ tự giảm dần: a) 13 152 13 ; ; ; 21 17 17 21 b) 1 2 ; ; ; 4 5 Bài tập nâng cao Câu 8: Điền số nguyên thích hợp vào ô vuông: 8 7   15 40 15 Câu 9: Không quy đồng tử mẫu, so sánh phân số sau: a) 23 21 ; 35 37 b) 17 13 ; 24 28 c) 11 ; 16 24 d) 12 19 47 77 Câu 10: Tìm số tự nhiên x cho: Trang a) x   ; 30 b)   x Câu 11: Tìm ba phân số có mẫu khác nhau, phân số lớn 1 nhỏ Câu 12: So sánh: a) A  9889  9888  B  9899  9898  b) C  1516  1515  D  1517  1516  Câu 13: Tìm hai phân số có mẫu khác nhau, phân số lớn 1 nhỏ Trang 10 ĐÁP ÁN Dạng 1: So sánh phân số mẫu Câu a) 13 12 11 10 9 8      18 18 18 18 18 18 b) Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2           Suy ; 9 c) Quy đồng phân số với mẫu số chung 24, ta được: Suy Vậy 12 8     24 24 24 24 24 12 11 5 3 8     24 24 24 24 24 1 11 5 3 1     24 12 Câu a) Các phân số xếp theo thứ tự tăng dần là: 97 72 36 15 7 2 ; ; ; ; ; 24 24 24 24 24 24 b) Các phân số xếp theo thứ tự giảm dần là: 71 60 21 13 12 ; ; ; ; ; ; 60 60 60 60 60 60 60 Dạng 2: So sánh phân số không mẫu Bài tập Câu 1: So sánh cặp phân số sau cách quy đồng mẫu số: a) Mẫu số chung Ta có: Vậy 2.2    3.2 6  b) Mẫu số chung 35 Ta có: Vì 4 4.7 28   ; 5.7 35 3 3.5 15   7.5 35 28 15 4 3 nên   35 35 c) Rút gọn phân số 63 63: 9    70 70 : 10 10 Mẫu số chung 30 Ta có: 5 5.5 25 9 9.3 27   ;   6.5 30 10 10.3 30 Trang 11 Vì 25 27 5 63 nên   30 30 70 d) Mẫu số chung 11.13  143 (vì 11 13 hai số nguyên tố nhau) Ta có: Vì 3.13 39 4.11 44 ;     11 11.13 143 13 13.11 143 39 44  nên  143 143 11 13 Câu a) Ta có: 3.2 6    Vậy  4.2 7 : b) So sánh hai phân số Ta có Vì 3.2   ; 7.2 14 6 3 nên  Vậy   14 27 9 c) So sánh hai phân số Ta có: Vì 2.3   9.3 27 : 13 4.3 12   ; 9.3 27 3.4 12   13 13.4 52 12 12 4 3 nên  Vậy   27 52 13 13 d) Ta có 13 13.3 39 39 13 39    Vậy  27 27.3 81 47 27 47 Câu 3: a) Vì 2.4   3.3  nên 3  Vậy dài 4 b) Ta có: 5.2 10 7 m ngắn    Vậy đoạn thẳng 6.2 12 12 12 c) Ta có: 7.9 63   ; 8.9 72 Vậy 8.8 64   Suy  9.8 72 kg lớn d) Ta có: 4.2    Vậy vận tốc km/h nhỏ 5.2 10 10 Câu Ta so sánh phân số: ; 12 Quy đồng tử số phân số: 2.15 30 ;   5.15 75 3.10 30 ;   8.10 80 5.6 30   12 12.6 72 Trang 12 Vì 30 30 30 nên     72 75 80 12 Vậy mơn bóng đá nhiều học sinh lớp 6A yêu thích Câu a) Ta có:  (vì tử nhỏ mẫu); 13  (vì tử lớn mẫu) 12 Suy 13  12 b) Ta có 25  (vì tử mẫu trái dấu); 34 26  (vì tử mẫu dấu) 35 Suy 25 26  34 35 c) Ta có 120  (vì tử mẫu trái dấu); 133 45  (vì tử mẫu dấu) 51 Suy 120 45  133 51 Câu a) Ta thấy 9  phân số lại nhỏ nên phân số lớn 4 Quy đồng mẫu số phân số lại với mẫu số chung 20 Ta có: Vì 2.4   ; 5.4 20 1.10 10   2.10 20 10 13 13 nên       20 20 20 20 20 20 Vậy phân số xếp theo thứ tự tăng dần là: 13 ; ; ; ; 20 20 b) Viết lại phân số dạng mẫu số dương: 17 17 23 23  ;  50 50 25 25 Quy đồng mẫu số phân số với mẫu số chung 100: 17 17.2 34   ; 50 50.2 100 Vì 23 23.4 92 7 7.10 70   ;   ; 25 25.4 100 10 10.10 100 2 2.20 40   5.20 100 92 70 40 37 34 23 7 2 37 17 nên         100 100 100 100 100 25 10 100 50 Trang 13 Vậy phân số xếp theo thứ tự tăng dần là: 23 7 2 37 17 ; ; ; ; 25 10 100 50 Câu a) Ta có: Lại có 13 152 ;  17 17 13  21 21 13 13 13 13 152  suy    21 17 21 21 17 17 Vậy phân số xếp theo thứ tự giảm dần là: b) Trước hết ta so sánh phân số Quy đồng tử số phân số: Vì 152 13 13 ; ; ; 17 17 21 21 ; ; ; 1.12 12   ; 2.12 24 3.4 12   ; 4.4 16 2.6 12   ; 3.6 18 4.3 12   5.3 15 12 12 12 12    nên    24 18 16 15 Suy 1 2    4 5 Vậy phân số xếp theo thứ tự giảm dần là: 1 2 ; ; ; 4 5 Bài tập nâng cao Câu Ta có BCNN 15, 40   120 nên quy đồng mẫu số phân số, ta được: 8.8 7.8 64 56   hay   15.8 40.3 15.8 120 120 120 Suy 64   56 ,  63; 60; 57   21; 20; 19 Vậy giá trị thích hợp –21; –20; –19 Câu a) Chọn phân số trung gian Ta có: 23 23 21 23 23 21  ;  Suy  35 37 37 37 35 37 b) Ta so sánh hai phân số Chọn phân số Ta có 23 37 17 13 24 28 17 làm phân số trung gian 28 17 17 13 17 17 13 17 13  ;  Suy  Do  24 28 28 28 24 28 24 28 Trang 14 c) Ta thấy hai phân số Ta có: 11 12 11   ;   Suy  16 16 24 24 16 24 d) Ta thấy hai phân số Ta có: 11 1 xấp xỉ nên ta dùng phân số làm phân số trung gian 16 24 2 12 19 1 xấp xỉ nên ta dùng phân số làm phân số trung gian 47 77 4 12 12 19 19 12 19   ;   Suy  47 48 77 76 47 77 Câu 10 a) Quy đồng mẫu số phân số với mẫu số chung 60, ta được: 1.12 x.2 1.15 12 x.2 15 hay     5.12 30.2 4.15 60 60 60 Suy 12  x.2  15 , x.2  14 hay x  Vậy x  b) Quy đồng tử số phân số với tử số chung 40, ta được: 8.5 4.10 5.8 40 40 40 hay     5.5 x.10 7.8 25 x.10 56 Suy 25  x.10  56 , x.10  30; 40;50 Vậy x  3; 4;5 Câu 11 Quy đồng phân số với mẫu số chung 48, ta được: 1.12 12 ;   4.12 48 Ta có: 1.16 16   3.16 48 12 13 14 15 16     48 48 48 48 48 Rút gọn phân số ta được: Vậy ba phân số cần tìm là: 13     48 24 16 13 ; 48 24 16 Câu 12 a) Ta thấy A  9889   (vì tử nhỏ mẫu) nên: 9899  88 9889  9889   97 9889  98 98  98  1 9888  A  99     B 98  9899   97 9899  98 98  9898  1 9898  Vậy A  B b) Ta thấy C  1516   (vì tử nhỏ mẫu) nên: 1517  15 1516  1516   14 1516  15 15 15  1 1515  C  17     D 15  1517   14 1517  15 15 1516  1 1516  Vậy C  D Câu 13 Trang 15 Quy đồng hai phân số 1 với mẫu số chung 60, ta được: 1.12 12   ; 5.12 60 Ta có: 1.15 15   4.15 60 12 13 14 15    60 60 60 60 Rút gọn phân số ta được: Vậy hai phân số cần tìm là: 13    60 30 13 60 30 Trang 16 ... có tử mẫu số nguyên khác dấu phân số âm HỆ THỐNG SƠ ĐỒ HÓA SO SÁNH HAI PHÂN SỐ So sánh hai phân số mẫu So sánh A C B B Quy đồng mẫu So sánh hai phân số khác mẫu Phân số có tử mẫu dấu lớn Phân... số  2 2 có mẫu âm thành phân số có mẫu dương so sánh So sánh hai phân số khác mẫu Ta viết hai phân số không mẫu thành hai phân số có mẫu dương so sánh tử số với Phân số âm, phân số dương Chú... âm B>0 Nếu A  C A C  B B Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: So sánh phân số mẫu Bài toán So sánh phân số Phương pháp giải Ví dụ: So sánh 5 5 Hướng dẫn giải Bước Viết phân số có mẫu âm (nếu