CÁC QUY TẮC ĐẾM
Một công việc X được thực hiện theo một trong k phương án A A 1 , 2 , , A k , trong đó:
Phương án A 1 có n 1 cách thực hiện
Phương án A 2 có n 2 cách thực hiện
Phương án A k có n k cách thực hiện
Số cách hoàn thành công việc X là n X n 1 n 2 n k cách
Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức đã công bố danh sách gồm 31 đề tài, trong đó có 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con người và 6 đề tài về văn hóa Mỗi thí sinh sẽ có 31 khả năng để chọn đề tài cho cuộc thi.
Giả sử từ tỉnh đến tỉnh có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa hoặc máy bay
Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa và 3 chuyến máy bay Hỏi một ngày có bao nhiêu cách lựa chọn đi từ tỉnh đến tỉnh ?
Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B
Công đoạn A có thể làm theo n cách
Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách
Khi đó, công việc có thể thực hiện theo n m cách
Các bài toán đếm cơ bản
Ta thường gặp các bài toán sau:
01 Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên
Khi lập một số tự nhiên x a 1 a n ta cần lưu ý:
x là số chẵn a n là số chẵn
x là số lẻ a n là số lẻ
x chia hết cho 3 a 1 a 2 a n chia hết cho 3
x chia hết cho 4 a a n 1 n chia hết cho 4
An có thể đến nhà Cường qua nhà Bình bằng 4 con đường từ nhà An đến nhà Bình và 6 con đường từ nhà Bình đến nhà Cường Do đó, tổng số cách chọn con đường từ nhà An đến nhà Cường là 4 nhân với 6, tức là 24 cách.
Lớp 11A có 30 học sinh, và tập thể lớp cần bầu chọn một lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ Số cách để chọn ban cán sự này là một bài toán tổ hợp thú vị, giúp chúng ta khám phá khả năng lựa chọn từ 30 học sinh.
x chia hết cho 8 a n 2 a a n 1 n chia hết cho 8
x chia hết cho 9 a 1 a 2 a n chia hết cho 9
x chia hết cho 11tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho 11
x chia hết cho 25 hai chữ số tận cùng là 00 25 50 75, , ,
02 Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế
03 Đếm số phương án liên quan đến hình học
Ta thường gặp bài toán đếm số phương án thực hiện hành động H thỏa mãn tính chất T Để giải bài toán này ta thường giải theo hai cách sau:
Nhận xét đề bài để phân chia các trường hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm
Đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó
Kết quả của bài toán là tổng số phương án đếm trong cách trường hợp trên
Cách 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)
Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau:
Đếm số phương án thực hiện hành động H (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay không) ta được a phương án
Đếm số phương án thực hiện hành động H không thỏa tính chất
Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: a b
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Một người có 7 áo, bao gồm 3 áo trắng, và 5 cà vạt, trong đó có 2 cà vạt vàng Để tính số cách chọn bộ áo và cà vạt, ta cần xem xét tất cả các sự kết hợp có thể giữa áo và cà vạt Số cách chọn áo là 7, và số cách chọn cà vạt là 5 Do đó, tổng số cách chọn bộ áo và cà vạt là 7 nhân với 5, tương đương với 35 cách khác nhau.
⓵ Chọn áo nào cũng được, và cà vạt nào cũng được
⓶ Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt vàng
Nếu bạn muốn chọn áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40, bạn có tổng cộng 5 màu cho cỡ 39 và 4 màu cho cỡ 40 Tổng số sự lựa chọn về màu sắc và cỡ áo sẽ là 5 + 4 = 9 sự lựa chọn khác nhau.
Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ
⓵ Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
Nhà trường cần lựa chọn hai học sinh, bao gồm một nam và một nữ, để tham gia trại hè của học sinh thành phố Để tính số cách chọn, chúng ta cần xác định số lượng học sinh nam và nữ trong trường Sau đó, nhân số học sinh nam với số học sinh nữ để tìm ra tổng số cách chọn.
Mỗi biển số xe gắn máy tại thành phố X được cấu tạo từ hai chữ cái ở phần đầu và bốn chữ số từ 0 đến 9 ở phần sau Ví dụ minh họa cho cấu trúc này là: AB 1234.
SA EY Hỏi có bao nhiêu cách tạo bảng số xe theo cấu tạo trên? ( Giả sử bảng chữ cái có tất cả 26 chữ cái)
Trong bản đồ kỹ thuật số của thành phố X, mỗi căn nhà được gán một địa chỉ số gồm 16 chữ số, chỉ sử dụng hai ký tự 0 và 1 Địa chỉ này có thể được trình bày dưới dạng chuỗi như: 0000110000111100, với sự phân bố cụ thể của các chữ số 0 và 1 Để xác định số lượng căn nhà tối đa mà thành phố X có thể có, ta cần tính toán tất cả các khả năng tổ hợp của dãy số 16 chữ số này.
Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn?
Có bao nhiêu số nguyên dương n gồm 3 chữ số có nghĩa (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong mỗi trường hợp sau đây:
⓵ Không có yêu cầu gì thêm
⓶ Chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị của n giống hệt nhau
⓷ Chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị của n giống hệt nhau và hai chữ số này khác chữ số hàng trăm của n
Từ các chữ số 1 2 3 4 5 6 7 8 9, , , , , , , , có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n trong mỗi trường hợp sau đây:
⓵ n gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bằng 56 hoặc 65
⓶ n gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và tận cùng bằng một chữ số khác 3
⓷ n gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó phải có 1 và 3 đứng cạnh nhau, không kể thứ tự trước sau
Có bao nhiêu số nguyên dương n gồm 5 chữ số có nghĩa (chữ số đầu tiên phải khác 0 ) trong mỗi trường hợp sau đây:
Từ các chữ số 1 4 5 8 9, , , , có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n trong mỗi trường hợp sau đây:
⓶ n gồm bốn chữ số đôi một khác nhau
⓷ n 800 và gồm các chữ số đôi một khác nhau
⓹ n là số lẻ gồm năm chữ số , trong đó các chữ số cách đều chữ số chính giữa thì giống nhau
Dãy x x 1 , 2 , , x 10 trong đó mỗi kí tự x i chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 được gọi là dãy nhị phân
⓵ Có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit
⓶ Có bao nhiêu dãy nhị phân 10 bit trong đó có ít nhất ba kí tự 0 và ít nhất ba kí tự 1
Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng 2000 3000 ; có thể tạo nên bằng các chữ số
⓵ Các chữ số không nhất thiết khác nhau
⓶ Các chữ số của nó khác nhau
Có bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 4000 có bốn chữ số được tạo thành từ các chữ số 1 3 5 7, , , nếu:
⓵ Các chữ số này không nhất thiết khác nhau
⓶ Các chữ số này khác nhau
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1 Từ các số 1 2 3 4 5 6 7, , , , , , lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số chẵn:
Câu 2 Từ các số 1 2 3 4 5 6 7, , , , , , lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số lẻ
Câu 3 Cho các số 1 5 6 7, , , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số với các chữ số khác nhau:
Câu 4 Từ các chữ số 2 3 4 5, , , có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số:
Câu 5 Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số
Câu 6 Cho 6 chữ số 2 3 4 5 6 7, , , , , số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số lập thành từ 6 chữ số đó:
Câu 7 Cho các số Số các số tự nhiên gồm chữ số lấy từ chữ số trên sao cho chữ số đầu tiên bằng là:
Câu 8 Từ các số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có chữ số:
Câu 9 Có bao nhiêu số có chữ số, mà tất cả các chữ số đều lẻ:
Câu 10 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số lớn hơn và đôi một khác nhau:
Câu 11 Cho tập Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau
Câu 12 Từ các số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau và mỗi số có các chữ số khác nhau:
Câu 13 Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ
Câu 14 Tính tổng các chữ số gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5?
Câu 15 Có 100000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999 Hỏi số vé gồm 5 chữ số khác nhau.
Câu 16 Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn chia hết cho và
12 16 17 20 khác nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5.
Câu 18 Từ các số lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và là số chia hết cho 5
Câu 19 Cho tập Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và chia hết cho 5.
Câu 20 Số các số tự nhiên gồm chữ số chia hết cho là:
HOÁN VỊ
Cho tập A gồm n phần tử n 1 Mỗi kết quả của cách sắp xếp thứ tự ncủa tập A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó
Số các hoán vị của n phần tử đó là: P n n n 1 n 2 3 2 1 n !
Giả sử muốn xếp 3 bạn ngồi vào một bàn dài có 3 ghế Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho mỗi bạn ngồi một ghế?
Có 5 quyển sách toán, 4 quyển sách lý và 3 quyển sách hóa Hỏi có bao nhiêu cách xếp số sách đó lên một kệ dài trong mỗi trường hợp sau:
⓵ Các quyển sách được xếp tùy ý
⓶ Các quyển sách cùng môn được xếp cùng nhau
HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Định nghĩa
Cho tập A có n phần tử (n ≥ 1) Việc chọn k phần tử khác nhau từ n phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định được gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử của A, hay còn gọi là chỉnh hợp n chập k của A.
Số các chỉnh hợp chập k của của một tập hợp có n phần tử là: A n k n k n ! ! với 1 k n
Giả sử muốn chọn 3 trong 5 bạn và sắp 3 bạn này vào một cái bàn dài Hỏi có bao nhiêu cách?
Cho tập hợp Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số, sao cho:
⓶ Số tự nhiên lẻ và đôi một khác nhau
III TỔ HỢP Định nghĩa
Cho tập hợp A có n phần tử n 1 Mỗi tập con k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n của A
Số các tổ hợp chập k của tập hợp có n là:
Có bao nhiêu cách chọn một ban chấp hành có 3 người trong một chi đoàn gồm 14 đoàn viên?
Vòng chung kết bóng đá Euro có 24 đội bóng thi đấu Hỏi có bao nhiêu cách dự đoán 4 đội vào vòng chung kết?
Một lớp học có học sinh, cần lập ra một tổ công tác gồm học sinh Hỏi có bao nhiêu cách?
Phân loại Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
Ta phân loại như sau:
Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp
Mỗi sắp xếp có thứ tự n phần tử của tập A là một hoán vị
Mỗi sắp xếp có thứ tự k phần tử lấy trong n phần tử của tập A là một chỉnh hợp chập k của phần tử
Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy từ n phần tử của tập A được gọi là tổ hợp chập k của tập A Khi liệt kê các phần tử của A, thứ tự không cần thiết.
Số các hoán vị: P n n ! Số các chỉnh hợp: A n k n k n ! ! Số các tổ hợp: C n k k n k ! n ! !
IV BÀI TẬP TỰ LUẬN
Dạng 1 BÀI TẬP VỀ HOÁN VỊ
Trong một giải bóng đá có 5 đội, có tổng cộng 120 khả năng khác nhau cho thứ tự xếp hạng giữa các đội, với giả định rằng không có hai đội nào có điểm số giống nhau.
Trong không gian, cho tập hợp gồm điểm, trong đó không có điểm nào thẳng hàng
⓵ Có bao nhiêu đường thẳng tạo thành?
⓶ Có bao nhiêu tam giác được tạo thành?
Có bao nhiêu hoán vị của tập hợp a b c d e f , , , , , mà phần tử cuối cùng bằng a
Với các chữ số 1 2 3 4 5, , , , có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n trong mỗi trường hợp sau đây
⓵ n có 5 chữ số đôi một khác nhau
⓶ n là số chẵn có 5chữ số đôi một khác nhau
⓷ n là số lẻ có 5chữ số đôi một khác nhau
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, chúng ta có thể tạo ra tất cả các số có sáu chữ số khác nhau Câu hỏi đặt ra là trong số các số đã được thiết lập, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 5 không đứng cạnh nhau.
Xét các số gồm 9 chữ số với năm chữ số 1 và bốn chữ số khác là 2, 3, 4, 5, trong đó yêu cầu năm chữ số 1 phải được xếp liền nhau Để tìm số lượng các số thỏa mãn điều kiện này, ta có thể coi năm chữ số 1 như một khối duy nhất Do đó, ta sẽ có 5 "khối" để sắp xếp: một khối 11111 và bốn chữ số còn lại 2, 3, 4, 5 Số lượng cách sắp xếp những khối này sẽ là 5!/(1!4!) = 5 Mỗi cách sắp xếp này có thể kết hợp với các cách sắp xếp của bốn chữ số khác, tức là 4! = 24 Vậy tổng số cách sắp xếp các số là 5 x 24 = 120.
Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A B C D E, , , , vào một chiếc ghế sao cho:
⓵ C ngồi chính giữa ⓶ A và E ngồi ở hai đầu ghế
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho năm người gồm 3 nam và 2 nữ vào năm cái ghế xếp thành một dãy nếu:
⓵ Không có yêu cầu gì thêm ⓶ Nam nữ ngồi xen kẽ nhau
⓷ Hai nữ ngồi ở đầu và cuối dãy ghế ⓸ Hai nữ luôn luôn ngồi kề nhau
Trong một phòng thi có 40 thí sinh, bao gồm thí sinh A và B, được xếp chỗ ngồi tại 20 bàn, mỗi bàn có 2 thí sinh Để tính số cách xếp chỗ ngồi sao cho thí sinh A và B ngồi cùng một bàn, trước tiên ta đặt A và B vào một bàn Sau đó, ta cần xếp 38 thí sinh còn lại vào 19 bàn Số cách thực hiện điều này sẽ giúp xác định tổng số cách xếp chỗ ngồi phù hợp với yêu cầu.
Trong phòng thi, có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế, và người ta cần xếp chỗ ngồi cho 6 nam sinh và 6 nữ sinh Để tính số cách xếp chỗ ngồi, cần xem xét các trường hợp khác nhau cho việc phân bổ nam và nữ vào hai dãy ghế này.
⓵ Các học sinh ngồi tùy ý
⓶ Nam sinh và nữ sinh ngồi riêng dãy
⓷ Nam sinh và nữ sinh ngồi xen kẽ nhau trong từng dãy
⓸ Bất cứ 2 người nào ngồi cạnh nhau cũng đều khác giới và bất cứ 2 người nào ngồi đối diện nhau cũng đều khác giới
⓹ Bất cứ 2 người nào đối diện nhau cũng đều khác giới
Có 40 học sinh, bao gồm 20 học sinh trường A và 20 học sinh trường B, cần được xếp thành 4 hàng dọc, mỗi hàng gồm 10 người Điều này tương đương với việc tạo ra 10 hàng ngang, mỗi hàng có 4 người Số cách xếp các học sinh này có thể được tính toán dựa trên các quy tắc sắp xếp và phân phối hợp lý giữa hai trường.
⓵ Không có yêu cầu gì thêm
⓶ Không có học sinh cùng trường đứng kề nhau mỗi hàng ngang và tất cả các học sinh trong mỗi hàng đều cùng trường
⓷ Không có học sinh cùng trường đứng kề nhau trong mỗi hàng dọc cũng như trong mỗi hàng ngang
⓸Không có học sinh cùng trường đứng kề nhau trong mỗi hàng dọc và tất cả các học sinh trong mỗi hàng ngang đều cùng trường
Một nhóm học sinh gồm n nam và n nữ đứng thành hàng ngang Có bao nhiêu tình huống mà nam, nữ đứng xen kẽ nhau
Cho năm chữ số 1 2 3 4 5, , , , Hãy tính số các số tự nhiên
⓵ Có năm chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bởi chữ số khác chữ số 1
⓶ Có năm chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu bởi 24
⓷ Có năm chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bởi 241
Từ các chữ số 3 4 5 6 7 8, , , , , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau, trong đó ba chữ số chẵn phải đứng liền nhau?
Để sắp xếp 8 người thành một hàng dọc sao cho hai vợ chồng không đứng liền kề nhau, trước tiên chúng ta tính tổng số cách sắp xếp 8 người, sau đó trừ đi số cách sắp xếp khi hai vợ chồng đứng cạnh nhau Tổng số cách sắp xếp 8 người là 8! Khi hai vợ chồng được coi như một đơn vị, ta có 7 đơn vị cần sắp xếp, dẫn đến 7! Cuối cùng, số cách sắp xếp hai vợ chồng trong đơn vị này là 2! Do đó, số cách sắp xếp mà hai vợ chồng không đứng cạnh nhau là 8! - 7! * 2!.
Có ba cặp vợ chồng trong đó có hai vợ chồng ông bà Vương đến dự một bữa tiệc Họ được xếp ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn
⓵ Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
⓶ Có bao nhiêu cách xếp trong đó hai ông bà Vương phải ngồi cạnh nhau?
Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi quanh bàn tròn sao cho hai bông bà Vương không ngồi cạnh nhau? Hai cách xếp được coi là giống nhau nếu vị trí của những người ngồi bên trái và bên phải mỗi người A trong nhóm không thay đổi.
Dạng 2 BÀI TẬP VỀ CHỈNH HỢP
Trong một cuộc thi chạy với 8 vận động viên, nếu không tính trường hợp có hai vận động viên về đích cùng lúc, số cách sắp xếp cho các vị trí thứ nhất, thứ nhì và thứ ba là 336.
Có tổng cộng 20 đoàn viên trong chi đoàn, và để bầu một ban chấp hành gồm 3 người với các vị trí cụ thể là một bí thư, một phó bí thư và một ủy viên, ta cần xác định số cách bầu chọn Đầu tiên, chọn bí thư từ 20 đoàn viên, sau đó chọn phó bí thư từ 19 đoàn viên còn lại, và cuối cùng chọn ủy viên từ 18 đoàn viên còn lại Tổng số cách bầu ban chấp hành chi đoàn là 20 x 19 x 18.
Từ 6 chữ số 9, 8, 7, 6, 5, 4, chúng ta có thể lập ra các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau Để tìm số lượng các số này, ta cần tính số cách chọn 3 chữ số từ 6 chữ số đã cho và sắp xếp chúng Sau khi xác định số lượng, ta sẽ tính tổng các số tự nhiên đó.
Trong một lớp học có 25 học sinh nam và 13 học sinh nữ, giáo viên chủ nhiệm cần lựa chọn ba vị trí quan trọng: một lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ.
⓵ Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
⓶ Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu lớp trưởng phải là học sinh nam?
Trong một ban chấp hành gồm 7 người, việc lựa chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ Bí thư, Phó Bí thư và Ủy viên thường vụ có thể thực hiện bằng cách tính số cách chọn Đầu tiên, ta chọn 3 người từ 7 người, sau đó sắp xếp họ vào 3 vị trí khác nhau Tổng số cách chọn và sắp xếp này sẽ cho biết có bao nhiêu phương án khác nhau để thành lập ban thường vụ.
Trong mặt phẳng cho một tập hợp P gồm n điểm Hỏi có bao nhiêu véctơ khác véctơ 0mà có điểm đầu và điểm cuối đều thuộc P
Với các chữ số 1 2 3 4 5 6 7 8 9, , , , , , , , có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương n trong mỗi trường hợp sau đây:
⓵ n có 5 chữ số đôi một khác nhau
⓶ có 5 chữ số chẵn đôi một khác nhau
⓷ n có 5 chữ số lẻ đôi một khác nhau
