TÀI LIỆU KHẢO SÁT HÀM SỐ

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y  f x   là một hàm số xác định trên K, ta có:

– Hàm số f x   được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu  x x 1 , 2  K x , 1  x 2  f x     1  f x 2

– Hàm số f x   được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu  x x 1 , 2  K x , 1  x 2  f x     1  f x 2

– Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K. Định lý 01

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

– Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f x       0, x K

– Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f x       0, x K Định lý 02

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

– Nếu f x       0 , x K thì hàm số f đồng biến trên K.

– Nếu f x       0, x K thì hàm số f nghịch biến trên K.

– Nếu f x       0, x K thì hàm số f không đổi trên K.

Ta có các nhận xét sau:

– Nếu hàm số và cùng đồng biến (nghịch biến) trên thì hàm số cũng đồng biến (nghịch biến) trên Tính chất này có thể không đúng đối với hiệu

– Nếu hàm số và là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên thì hàm số cũng đồng biến (nghịch biến) trên

Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số không là các hàm số dương trên

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Định lý về điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

– Nếu f x       0, x K và f x     0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K – Nếu f x       0, x K và f x     0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f nghịch biến trên K

CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng toán 1 Tìm khoảng đơn điệu của hàm số cho BBT hoặc Đồ Thị

 Đề cho đồ thị hàm số y  f x   hoặc Bảng biến thiên nhìn hướng đi của đồ thị:

 Khoảng mà đồ thị có hướng “đi lên”  hàm số đồng biến trên khoảng đó

 Khoảng mà đồ thị có hướng “đi xuống” hàm số đồng biến trên khoảng đó

 Đề cho đồ thị hàm số y  f x     làm theo các bước sau:

 Bước 01 Tìm các giao điểm của đồ thị f x    với Ox

 Bước 02 Lập bảng xét dấu của f x    bằng cách nhìn:

 Phần trên Ox mang dấu   Phần dưới Ox mang dấu 

 Bước 03 Từ bảng xét dấu ta tìm được chiều “lên – xuống” của f x  

Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

– Cho hàm số , xác định với và Hàm số cũng xác định với Ta có nhận xét sau:

+ Giả sử hàm số đồng biến với Khi đó, hàm số đồng biến với đồng biến với

+ Giả sử hàm số nghịch biến với Khi đó, hàm số nghịch biến với nghịch biến với Nhận xét 03

Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số y  f x   có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số y  f x   nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số y  f x   có đạo hàm liên tục trên , hàm số y  f x    có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số y  f x   nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Dạng toán 2 Tìm khoảng đơn điệu của hàm số cho trước f’(x)

Phương pháp giải Bài toán tổng quát: cho hàm số y  f x   có đạo hàm f x     ,   x K Tìm khoảng đơn điệu của hàm số y  f x  

 Bước 1 Tìm nghiệm f x     0 (nếu có)

 Bước 2 Lập bảng xét dấu của f x   , khi đó tìm được khoảng đơn điệu của y  f x  

 Khoảng f x    chứa dấu  thì y  f x   đồng biến trên khoảng đó

 Khoảng f x    chứa dấu  thì y  f x   nghịch biến trên khoảng đó

(MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số y  f x   có đạo hàm f x     x 2  1 ,   x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng  1; 

B Hàm số nghịch biến trên khoảng    1 1 ;

C Hàm số đồng biến trên khoảng    ; 

D Hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 0 

Cho hàm số y  f x   có đạo hàm f x     x 2  2 x ,  x  Hàm số y   2 f x   đồng biến trên khoảng

Cho hàm số y  f x   có đạo hàm f x      x x  1   2 x  3  ,  x  Hàm số y  f x   nghịch biến trên khoảng

Dạng toán 3 Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

Phương pháp giải Bài toán tổng quát: cho hàm số y  f x   Tìm khoảng đơn điệu của hàm số y  f x  

 Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số.

 Bước 2 Tính f x    và t ìm nghiệm f x     0 (nếu có)

 Bước 3 Lập bảng xét dấu của f x   , khi đó tìm được khoảng đơn điệu của y  f x  

 Khoảng f x    chứa dấu  thì y  f x   đồng biến trên khoảng đó

 Khoảng f x    chứa dấu  thì y  f x   nghịch biến trên khoảng đó.

(MĐ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số yx 3 3 x 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng   0 2 ;

B Hàm số nghịch biến trên khoảng   0 2 ;

C Hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 0 

D Hàm số nghịch biến trên khoảng  2;  

(ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Hỏi hàm số y2 x 4 1 đồng biến trên khoảng nào?

(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số 2

A Hàm số nghịch biến trên khoảng    ; 

B Hàm số nghịch biến trên khoảng    1 ; 

C Hàm số nghịch biến trên khoảng    ; 1 

D Hàm số đồng biến trên khoảng    ; 1 

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

Dạng toán 4 Tìm tham số m để hàm số đơn điệu

Dạng 4.1 Hàm bậc ba y  ax 3  bx 2  cx d a    0 

Dạng 4.1.1 Hàm bậc ba y  ax 3  bx 2  cx d a    0  đơn điệu trên TXĐ

 Bước 2 Thực hiện yêu cầu bài toán:

 Hàm số đồng biến trên thì

 Hàm số nghịch biến trên thì

 Hàm số đồng/nghịch biến trên thì

Tìm các giá trị của tham số để hàm số y  x 3  3 x 2  3  m  2  x  3 m  1 đồng biến trên

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y    x 3 3 x 2  3  m 2  1  x  3 m 2  1 nghịch biến trên

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 1  3  3  3  2  2  3 y  3  m x  m  x  m  x  đồng biến trên

Dạng 4.1.2 Hàm bậc ba y  ax 3  bx 2  cx d a    0  đơn điệu trên khoảng   a b ;

 Phương pháp 1 (Khi f x     0 nhẩm được nghiệm)

 Bước 3 Lập bảng xét dấu, xác định các khoảng đơn điệu của hàm số

 Bước 4 Từ bảng xét dấu, giả sử điều kiện để hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến theo yêu cầu bài toán) là D

 Bước 5 Để hàm số đơn điệu trên K là KD

 Phương pháp 2 (Khi f x '    0 không nhẩm được nghiệm)

 Bước 2 Cô lập m , đưa về một trong các dạng sau:

Trong trường hợp hàm g(x) không có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, cần xem xét cận trên đúng và cận dưới đúng của hàm này Đồng thời, cần chú ý đến dấu "=" khi phân tích để đảm bảo tính chính xác trong việc xác định các giới hạn của hàm.

Tìm m để hàm số y  x 3 3 x 2 3 mx1 nghịch biến trên khoảng  0;  

Tìm m để hàm số 1 3  1  2  3  4 y   3 x  m  x  m  x  đồng biến trên khoảng   0 3 ;

Tìm m để hàm số y  x 3   2 m  1  x 2   m 2  2 m x   1 đồng biến trên khoảng  0;  

Dạng 4.1.3 Hàm bậc ba y  ax 3  bx 2  cx d a    0  đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng k hoặc nhỏ/lớn hơn k với k0

 Bước 2 Tìm điều kiện của tham số để hàm số có khoảng đơn điệu: 0

 Bước 4 Sử dụng định lý Vi-ét để đưa    thành phương trình theo tham số

 Bước 5 Giải    , so sánh điều kiện để chọn kết quả thỏa mãn

Tìm a để hàm số yx 3 3 x 2 ax a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1

Tìm m để hàm số 1  1  3  2 1  2  3 2  y  3 m  x  m  x  m  x m  nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 4

Tìm m để hàm số 1 3 2  3 2  3 y   3 x  x  m  x m   đồng biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 4

Dạng 4.2 Hàm phân thức y ax b  ad cb 0  cx d

Dạng 4.2.1 Hàm phân thức y ax b  ad cb 0  cx d

 đơn điệu trên từng khoảng xác định

 Bước 2 Thực hiện yêu cầu bài toán:

 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định  

0 ad cb 0 0 f x ad cb cx d

 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định  

0 ad cb 0 0 f x ad cb cx d

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 7

  đồng biến trên mọi khoảng của tập xác định

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2

  nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó

Dạng 4.2.2 Hàm phân thức y ax b  ad cb 0  cx d

 Bước 1 Điều kiện xác định cx d 0 x d

 Bước 3 Thực hiện yêu cầu bài toán:

 Hàm số đồng biến trên khoảng   a b ;  

 Hàm số nghịch biến trên khoảng   a b ;  

Tìm m để hàm số y mx 4 x m

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y mx 4 x m

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y mx 1 x m

Bài toán Cho đồ thị y  f x    hỏi tính đơn điệu của hàm y  f u  

 Bước 2 Để giải    ta tìm f x     0 (đồ thị cắt trục hoành)

 Bước 3 Lập bảng xét dấu của y    u f u      khoảng đơn điệu cần tìm

Cho hàm số y  f x   có đạo hàm f x     x x 2   9  x  4  2 Khi đó hàm số y  f x   2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số y  f x   liên tục trên Hàm số

' y  f x có đồ thị như hình vẽ bên

Hãy xét sự đơn điệu của hàm số y  f  2  x 

Cho hàm số y  f x   Đồ thị hàm số y  f x    như hình bên.Hàm số g x    f x   3 đồng biến trên khoảng nào ?

Cho hàm số y  f x   Đồ thị hàm số y  f x    cho bởi hình bên dưới Đặt g x    f x  2  2  Mệnh đề nào dưới đây sai ?

A Hàm số g x   đồng biến trên khoảng  2;   

B Hàm số g x   nghịch biến trên khoảng   0 2 ;

C Hàm số g x   nghịch biến trên khoảng   1 0 ; 

D Hàm số g x   nghịch biến trên khoảng    ; 2 

Cho hàm số y  f x   Đồ thị hàm số y  f x    như hình bên

Hỏi hàm số g x    f  1  x 2  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

Bài toán Cho đồ thị y  f x    hỏi tính đơn điệu của hàm y  f x      h x

 Bước 2 Giải    bằng cách vẽ thêm h x    vào hệ trục tọa độ và xét các điểm mà f cắt h

Sau khi tìm được các nghiệm ta lập bảng xét dấu của y   f x       h x 

 Bước 3 Từ bảng xét dấu của y   f x       h x   khoảng đơn điệu cần tìm

Cho hàm số y  f x   có đạo hàm liên tục trên và đồ thị của hàm số y  f x '   như hình vẽ Đặt g x    2 f x    x 2  2 x Tìm các khoảng đồng biến của hàm số

Từ đồ thị hàm số y  f x    như hình vẽ Hàm số y  f x    2  3 đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?

Cho hàm số y  f x   Đồ thị của hàm số y  f x    như hình bên Đặt g x      f x  x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số y  f x   có đồ thị của hàm số y  f x    được cho như hình bên Hàm số y   2 f  2  x   x 2 nghịch biến trên khoảng

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Câu 1 (MĐ101 – 2020 L1) Cho hàm số f x   có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 2 (ĐMH 2020 – L1) Cho hàm số f x   có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 3 (ĐMH 2020 – L2) Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 4 (MĐ02 – 2020 L1) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 5 (MĐ103 – 2020 L1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: ( )

Hàm số đã chođồng biến trên khoảng nào dưới đây

Câu 6 (MĐ104 – 2020 L1) Cho hàm số f x   có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 7 (MĐ102 – 2020 – L2) Cho hàm số y  f x   có đồ thị là đường cong trong hình bên Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 8 (MĐ 107 – 2020 L2) Cho hàm số y  f x   có đồ thị là đường cong trong hình bên Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 9 (MĐ 103 – 2020 – L2) Cho hàm số y  f x   có đồ thị là đường cong hình bên Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 10 (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho hàm số y  f x   có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng    ; 2 

B Hàm số đồng biến trên khoảng   2 0 ; 

C Hàm số đồng biến trên khoảng   ; 0 

D Hàm số nghịch biến trên khoảng   0 2 ;

Câu 11 (ĐMH 2018) Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y  f x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 12 (ĐMH 1, NĂM 2017) Hỏi hàm số y2x 4 1 đồng biến trên khoảng nào?

Câu 13 (ĐMH 2, NĂM 2017) Cho hàm số y x 3 2x 2  x 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng 1 1

  B Hàm số nghịch biến trên khoảng 1

C Hàm số đồng biến trên khoảng 1 1

  D Hàm số nghịch biến trên khoảng  1 ;  

Câu 14 (MĐ 110 - NĂM 2017) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng    ;  ?

Câu 15 (ĐMH NĂM 2017) Cho hàm số 2

 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng    ; 

B Hàm số nghịch biến trên khoảng    1 ; 

C Hàm số nghịch biến trên khoảng    ; 1 

D Hàm số đồng biến trên khoảng    ; 1 

Câu 16 (ĐMH NĂM 2017) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng    ;  ?

Câu 17 (MĐ 110 NĂM 2017) Cho hàm số yx 3 3x 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng   0 2 ; B Hàm số nghịch biến trên khoảng   0 2 ;

C Hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 0  D Hàm số nghịch biến trên khoảng  2;  

Câu 18 (MĐ 123 NĂM 2017) Hàm số 2 2 y 1

 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 0  và đồng biến trên khoảng  0;  

B Hàm số đồng biến trên khoảng   ; 0  và đồng biến trên khoảng  0;  

C Hàm số đồng biến trên khoảng    ; 

D Hàm số nghịch biến trên khoảng    ; 

Câu 20 (MĐ 104 NĂM 2017) Cho hàm số y  2 x 2  1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng  0;   

B Hàm số đồng biến trên khoảng   ; 0 

C Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;   

D Hàm số nghịch biến trên khoảng   1 1 ; 

Câu 21 (ĐMH NĂM 2017) Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y   m 2  1  x 3   m  1  x 2   x 4 nghịch biến trên khoảng    ; 

Câu 22 (MĐ 123 NĂM 2017) Cho hàm số y    x 3 mx 2   4 m  9  x  5 , với m là tham số Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng    ; 

Câu 23 Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số hàm số

1 2 3 2 y3 m m x  mx  x đồng biến trên khoảng     ;  ?

Câu 24 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y mx  3  mx 2  m m   1  x  2 đồng biến trên

Câu 25 Cho hàm số 1 3 2  3 2  1 y 3x mx  m x Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên

Câu 26 Tìm m để hàm số y  x 3  3 mx 2  3 2  m   1  1 đồng biến trên

A Không có giá trị m thỏa mãn B m1

C m1 D Luôn thỏa mãn với mọi m

Câu 27 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3 2 2  3 5 

3 ymx  mx  m x đồng biến trên

Câu 28 Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số 1 3 2

3 4 y x mx  x m đồng biến trên khoảng    ; 

Câu 29 Cho hàm số 1 3 2 2  2 1  3 2 y 3x  x  a x a ( a là tham số) Với giá trị nào của a thì hàm số nghịch biến trên ?

Câu 30 Tìm điều kiện của tham số thực m để hàm số y  x 3  3 x 2  3  m  1  x  2 đồng biến trên

Câu 31 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y   m  1  x 3  3  m  1  x 2  3 x  2 đồng biến biến trên

Câu 32 (ĐMH NĂM 2019) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

6 4 9 4 y    x x  m  x  nghịch biến trên khoảng    ; 1  là

Câu 33 Cho hàm số yx 3 3x 2 mx4 Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng   ; 0  là

Câu 34 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

( ) mx 3 y  f x   mx  x m   giảm trên nửa khoảng [ ; 1  )?

Câu 35 Xác định các giá trị của tham số m để hàm số y x 3 3mx 2 m nghịch biến trên khoảng  0 1 ; ?

Câu 36 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số yx 3 3x 2 mx1 đồng biến trên khoảng

Câu 37 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số yx 3mx 9m x nghịch biến trên khoảng   0 1 ;

Câu 38 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 1 3 2  2 1  2 y3x mx  m x m  nghịch biến trên khoảng   2 0 ; 

Câu 39 Tìm tất cả các giá trị m để hàm số yx 3 3x 2 mx2 tăng trên khoảng  1 ;   

Câu 40 Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  x 3  mx 2   m  6  x  1 đồng biến trên khoảng   0 4 ; là:

Câu 41 Tìm tất cả các giá thực của tham số m sao cho hàm số y2x 3 3x 2 6mx m nghịch biến trên khoảng    1 1 ;

Câu 42 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số yx 3 6x 2 mx1 đồng biến trên khoảng  0;   ?

Câu 43 Tập hợp các giá trị m để hàm số y mx 3 x 2 3x m 2 đồng biến trên   3 0 ;  là

Câu 44 Tìm m để hàm số y  x 3 3x 2 3mx m 1 nghịch biến trên  0;  

Câu 45 (MĐ 104 NĂM 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 2

Câu 46 (MĐ 103 NĂM 2017-2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 1

Câu 47 (MĐ 101 NĂM 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 2

Câu 48 (MĐ 104 NĂM 2017) Cho hàm số mx 4m y x m

Để xác định số phần tử của tập hợp S, trong đó S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định, cần phân tích các điều kiện liên quan đến tính nghịch biến của hàm số.

Câu 49 (MĐ 102 NĂM 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 6

Câu 50 (MĐ 105 NĂM 2017) Cho hàm số mx 2m 3 y x m

Để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định, cần xác định tập hợp S chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m Mục tiêu là tìm số lượng phần tử trong tập hợp này.

Câu 51 (ĐMH NĂM 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số tan 2 tan y x x m

Câu 52 Tìm m để hàm số cos 2 cos y x x m

Câu 53 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số cos 3 cos y x x m

   Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng   10 10 ;  sao cho hàm số đồng biến trên   8 5 ;  ?

Câu 55 (ĐMH 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số 3 1 5 y x mx 5

Câu 56 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

  1 5 2 5 1 3 3 10 2  2 20  f x  m x  mx  x  m  m x đồng biến trên Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng

Câu 57 Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số 1

 đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó là

Câu 58 (ĐMH 2018) Cho hàm số y f x( ) Hàm số y f x'( ) có đồ thị như hình bên Hàm số

Câu 59 (MĐ 104 - 2019) Cho hàm số f x  , bảng xét dấu của f x    như sau:

Hàm số y  f  5 2  x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 60 (MĐ 103 - 2019) Cho hàm số f x , bảng xét dấu của ( ) f x( ) như sau:

Hàm số y  f  3 2  x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 61 (MĐ 102 - 2019) Cho hàm số f x có bảng dấu ( ) f x( ) như sau:

Hàm sốy f(5 2 x)nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 62 (MĐ 101 - 2019) Cho hàm số f x  , bảng xét dấu của f x '   như sau:

Hàm số y  f  3 2  x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 63 Cho hàm số f x( ) có bảng xét dấu như sau:

Hàm số y  f x  2  2 x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 64 Cho hàm số y  f x   có đạo hàm f x '   trên Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y  f x '  

Hàm số g x    f x x   2  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Câu 65 Cho hàm số y  f x '  có đồ thị như hình vẽ

Hàm số y  f  2  x 2  đồng biến trên khoảng nào dưới đây

Câu 66 (ĐMH NĂM 2019) Cho hàm số f x   có bảng xét dấu của đạo hàm như sau x  1 2 3 4 

Hàm số y  3 f x    2  x 3  3 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 67 Cho hàm số f x   có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số y  2 f  1  x   x 2   1 x nghịch biến trên những khoảng nào dưới đây

Câu 68 Cho hàm số bậc bốn y f x( ) có đồ thị của hàm số y f x( ) như hình vẽ bên

Hàm số y3f x( )x 3 6x 2 9x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Câu 69 Cho hàm số y  f x   liên tục trên Hàm số y  f x    có đồ thị như hình vẽ Hàm số

   đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 70 Cho hàm số y  f x   có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số y   2 f x    2019 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? x y

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa 01

Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x 0  K Ta nói:

 x 0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại   a b ; chứa x 0 sao cho   a b ;  K và

    0 ,     ; \ 0 f x  f x   x a b x Khi đó f x   0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f

 x 0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại   a b ; chứa x 0 sao cho   a b ;  K và

    0 ,     ; \ 0 f x  f x   x a b x Khi đó f x   0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị x 0

 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị (giá trị cực trị) y 0

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số M x f x  0 ;   0  Định lý 01 (điều kiện cần)

Giả sử hàm số y  f x  đạt cực trị tại điểm x 0

 Khi đó, nếu y  f x   có đạo hàm tại điểm x 0 thì f x    0  0

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Định lý 02 (điều kiện cần)

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x 0

 Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm x 0 thì f x '   0  0

 là một điểm cực đại của hàm số f x  

 là một điểm cực tiểu của hàm số f x   Định lý 03

Giả sử y  f x   có đạo hàm cấp 2 trong khoảng  x 0  h x ; 0  h  với h0 Khi đó:

 Nếu f x    0  0, f    x 0  0 thì hàm số f đạt cực đại tại x 0

 Nếu f x    0  0 , f    x 0  0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x 0

Từ định lí 03, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

 Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f x   

 Bước 2: Tìm các nghiệm x i  i  1 2 ; ;  của phương trình f x     0

 Nếu f    x i  0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x i

 Nếu f    x i  0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x i

MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP

Cực trị của hàm đa thức bậc ba y = ax 3 +bx 2 +cx+d

2.1.1 Cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

 Đạo hàm có thể bằng tại điểm nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm

 Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm

 Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

 Chú ý: Điều kiện Cách giải quyết

Có hai cực trị b 2 3ac0

(hàm số đơn điệu trên )

Có hai cực trị trái dấu

phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu

Có hai cực trị cùng dấu

 phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

Có hai cực trị cùng dấu dương

 phương trình y 0 có hai nghiệm dương phân biệt

Có hai cực trị cùng dấu âm

 phương trình y 0 có hai nghiệm âm phân biệt

2.1.2 Cực trị thỏa mãn điều kiện với đường thẳng

2.1.2.1 Cực trị nằm cùng phía, khác phía so với một đường thẳng

Tổng quát: VTTĐ giữa 2 điểm với đường thẳng Cho 2 điểm A x y  A ; A   , B x y B ; B  và đường thẳng :ax by c  0

 Nếu  ax A  by A  c ax  B  by B   c  0 thì hai điểm A B, nằm khác phía so với đường thẳng .

 Nếu  ax A  by A  c ax  B  by B   c  0 thì hai điểm A B, nằm cùng phía so với đường thẳng . Đặc biệt:

Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng phía đối với trục Oy

hàm số có 2 cực trị cùng dấu

 y 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

Các điểm cực trị của đồ thị nằm khác phía đối với trục Oy

 hàm số có 2 cực trị trái dấu

 y 0 có hai nghiệm trái dấu

Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng phía đối với trục Ox

 y 0 có hai nghiệm phân biệt và y CD y CT  0

 Cùng về phía trên đối với trục Ox

 y 0 có 2 nghiệm phân biệt và 0

 Cùng về phía dưới đối với trục Ox

 y 0 có 2 nghiệm phân biệt và 0

Các điểm cực trị của đồ thị nằm khác phía đối với trục Ox

 y 0 có 2 nghiệm phân biệt và y CD y CT  0

 f x    0 có 3 nghiệm phân biệt (khi nhẩm được nghiệm)

2.1.2.2 Phương trình đường thẳng qua các hai cực trị:

2.1.2.3 Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 là:

Cực trị của hàm đa thức bậc bốn (trùng phương) y = ax 4 +bx 2 +c

2.2.1 Cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

 Xét hàm số bậc bốn y ax  4  bx 2  c a   0  Điều kiện Tổng quát Cụ thể

Có một điểm cực trị

(một cực trị) ab  0 Đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu 0

    Đúng một cực trị và cực trị là cực đại 0

Có ba điểm cực trị

Hai cực tiểu và một cực đại     b a  0 0

Một cực tiểu và hai cực đại     b a  0 0

2.2.2 Cực trị thỏa mãn điều kiện hình học

Giả sử hàm số y ax 4 bx 2 c có 3cực trị:   0

    tạo thành tam giác ABCthỏa mãn dữ kiện: ab0 Đặt BAC 

DỮ KIỆN CỤ THỂ CÔNG THỨC THỎA MÃN

Nội/ngoại tiếp đường tròn

ABCcó bán kính đường tròn nội tiếp r  ABC  r 0

ABCcó bán kính đường tròn ngoại tiếp R  ABC  R

ABCcó O là tâm đường tròn nội tiếp

ABCcó O là tâm đường tròn ngoại tiếp

Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là:

Liên quan trục tọa độ

ABCcó cực trị B C Ox,  b 2 4ac ABC có điểm cực trị cách đều Ox b 2 8ac

Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau

Liên quan tứ giác ABC cùng gốc O tạo thành hình thoi

CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng toán 1 Tìm cực trị của hàm số y=f(x) khi cho BBT hoặc Đồ Thị

 Đề cho đồ thị hàm số y  f x   hoặc Bảng biến thiên  nhìn vị trí “cù chỏ”:

 Thấy “đi lên” rồi “đi xuống” “cù chỏ” là cực đại

 Thấy “đi xuống” rồi “đi lên” “cù chỏ” là cực tiểu

 Đề cho bảng xét dấu f x     nếu đề hỏi:

 Số điểm cực trị đếm số lần f x    đổi dấu ( f x    đổi dấu bao nhiêu lần thì f x   có bấy nhiêu cực trị)

 Số điểm cực đại/cực tiểu  từ bảng xét dấu của f x   “phác họa” đường đi của f x   rồi kết luận

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị x 0

 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị (giá trị cực trị) y 0

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số M x f x  0 ;   0 

Khi đó ta có hệ quả:

 Khoảng cách giữa: Công thức

 Hai điểm cực trị của hàm số: x 2  x 1

 Hai cực trị của hàm số: y 2  y 1

 Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:  x 2  x 1   2  y 2  y 1  2

Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như sau: Điểm cực đại của hàm số y  f x   là

Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số y  f x   là

Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như sau: Đồ thị hàm số y  f x   có bao nhiêu điểm cực trị ?

Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như hình bên

Giá trị cực tiểu của hàm số y  f x   là

Cho hàm số y  f x   liên tục trên và có bảng xét dấu của f x    như sau:

Thực hiện các yêu cầu sau:

1 Đồ thị hàm số y  f x   có bao nhiêu điểm cực trị:

2 Đồ thị hàm số y  f x   có bao nhiêu điểm cực tiểu:

3 Đồ thị hàm số y  f x   có bao nhiêu điểm cực đại:

Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như hình bên

Thực hiện các yêu cầu sau:

1 Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số y  f x   là:

2 Khoảng cách giữa hai cực trị của hàm số y  f x   là:

3 Khoảng cách giữa điểm cực trị của đồ thị hàm số y  f x   là:

Dạng toán 2 Tìm cực trị của hàm số tường minh

 Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số

 Bước 2 Tính f x    Tìm các điểm tại đó f x    bằng 0 hoặc f x    không xác định

 Bước 3 Lập bảng biến thiên

 Bước 4 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

 Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số

 Bước 2 Tính f x    Giải phương trình f x     0 và ký hiệu x i  i  1 2 3 , , ,  là các nghiệm của nó

 Bước 4 Dựa vào dấu của f    x i suy ra tính chất cực trị của điểm x i

Tìm cực trị của hàm số y x 3 3 x 2 9 x1

Tìm cực trị của hàm số

Tìm cực trị của hàm số

Tìm cực trị của hàm số

Tìm cực trị của hàm số

Tìm cực trị của hàm số y  x 2  4 x  3

Dạng toán 3 Tìm m để hàm số y=f(x) đạt cực trị tại x 0

Bài toán: Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số f x     0 đạt cực trị tại x  x 0

 Bước 2 Thực hiện yêu cầu bài toán:

 Hàm số đạt cực đại tại  

 Hàm số đạt cực tiểu tại  

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y  1 3 x 3  mx 2   m 2  4  x  3 đạt cực đại tạix3

Tìm m để hàm số y x 3 2 mx 2 mx1 đạt cực tiểu tại x1

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số yx 3 3 x 2 mx1 đạt cực tiểu tại x2

Tìm tất cả tham số thực m để hàm số y   m  1  x 4   m 2  2  x 2  2019 đạt cực tiểu tại x 1

Dạng toán 4 Tìm m để hàm số y=f(x) có n cực trị

 Hàm bậc 3 y  ax 3  bx 2  cx d a    0  :

Có 2 điểm cực trị b 2 3ac0

Không có điểm cực trị b 2 3ac0

 Hàm bậc 4 (trùng phương) y ax  4  bx 2  c a   0  :

Có 3 điểm cực trị ab0

Có 1 điểm cực trị ab0

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  m x 2 4   m 2  2019 m x  2  1 có đúng một cực trị?

Cho hàm số y  x 3  3  m  1  x 2  3 7  m  3  x Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để hàm số không có cực trị Số phần tử của S là

Tập hợp các giá trị củam để hàm số 1 3 2  2  1 y3x mx  m x có hai cực trị là:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

3 y   x  mx  mx  có hai điểm cực trị

Cho hàm số y mx 4 x 2 1 Tập hợp các số thực m để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị là

Dạng toán 5 Đường thẳng qua hai điểm cực trị

Bài toán: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số y ax 3 bx 2 cx d :

 Sử dụng một trong các cách sau:

 Dùng phép chia đa thức: đề chia đạo  lấy dư

Bài toán: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số ax 2 bx c y dx e

 Sử dụng tính chất: Nếu x 0 là điểm cực trị của hàm số hữu tỷ   u x   y  v x thì giá trị cực trị tương ứng của hàm số là  

 (đạo tử chia đạo mẫu)

Ví dụ 01 Đồ thị của hàm số y x 3 3 x 2 9 x1 có hai điểm cực trị A và B Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB

Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d y :   3 m  1  x   3 m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx 3 3 x 2 1

Để tìm tổng tất cả các giá trị thực của tham số m, ta cần xác định điều kiện để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x³ + 3(m - 1)x² + 6m(1 - 2mx) song song với đường thẳng y = -4x Việc này yêu cầu phân tích các điểm cực trị và thiết lập mối quan hệ giữa hệ số góc của đường thẳng và đạo hàm của hàm số.

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Dạng toán 6 Cực trị hàm bậc ba thỏa điều kiện với đường thẳng

Cho 2 điểm A x y  A ; A   , B x y B ; B  và đường thẳng :ax by c  0.

Xét biểu thức T   ax A  by A  c ax  B  by B  c  Khi đó:

 Nếu T  0 thì hai điểm A B, nằm khác phía so với đường thẳng .

 Nếu T  0 thì hai điểm A B, nằm cùng phía so với đường thẳng .

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng phía đối với trục Oy

hàm số có 2 cực trị cùng dấu

 y 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm khác phía đối với trục Oy

 hàm số có 2 cực trị trái dấu

 y 0 có hai nghiệm trái dấu

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng phía đối với trục Ox

 y 0 có hai nghiệm phân biệt và y CD y CT  0

 Cùng phía trên đối với trục Ox  y 0 có 2 nghiệm phân biệt và 0

 Cùng phía dưới đối với trục Ox  y 0 có 2 nghiệm phân biệt và 0

 Các điểm cực trị của đồ thị nằm khác phía đối với trục Ox

 y 0 có 2 nghiệm phân biệt và y CD y CT  0

 f x    0 có 3 nghiệm phân biệt (khi nhẩm được nghiệm)

 Bài toán: Hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng d

 Bước 1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu  m D 1

 Bước 2 Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A B, Có 2 trường hợp thường gặp:

 Trường hợp 1: y 0 có nghiệm đẹp x x 1 , , 2 tức có A x y  1 ; 1   , B x y 2 ; 2 

 Trường hợp 2: y  0 không giải ra tìm được nghiệm Khi đó ta cần viết phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị là và lấy A x y  1 ; 1   , B x y 2 ; 2  

  là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Do A B, đối xứng qua d nên thỏa hệ 2

 Bài toán: Hai điểm cực trị cách đều đường thẳng d

 Bước 1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu   m D 1

 Bước 2 Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A B, Có 2 trường hợp thường gặp:

 Trường hợp 1: y  0 có nghiệm đẹp x x 1 , , 2 tức có A x y  1 ; 1   , B x y 2 ; 2 

 Trường hợp 2: y 0 không giải ra tìm được nghiệm Khi đó ta cần viết phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị là và lấy A x y  1 ; 1   , B x y 2 ; 2  

 Bước 3 Do A B, cách đều đường thẳng d nên d A d     ;  d B d ;   m D 2

Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 m có hai điểm cực trị A , B thỏa mãn OA OB (O là gốc tọa độ)?

Cho hàm số y  x 3   m  6  x 2   2 m  9  x  2 Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành

Tập hợp S chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = (1/3)x³ - mx² + (m² - 1)x có hai điểm cực trị A và B, với A và B nằm ở hai phía khác nhau và cách đều đường thẳng dy = 5x - 9 Cần tính tổng tất cả các phần tử trong tập hợp S.

Tổng tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y = 3 - 3mx² + 4m³ có điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là một bài toán quan trọng trong toán học Để giải quyết bài toán này, cần xác định các điều kiện cho m sao cho đồ thị thỏa mãn tính chất đối xứng.

Dạng toán 7 Cực trị hàm bậc ba thỏa điều kiện x 1 ,x 2

Bài toán: Hàm số có hai điểm cực trị x x 1 ; 2 thỏa điều kiện:

 Bước 2 Tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị x x 1 ; 2   1

 Bước 3 Áp dụng định lý Vi-ét: 1 2  

 Bước 4 Biến đổi ycbt về dạng S P;  thay    vào ycbt giải tìm m   2

Cho hàm số 1 3  1  2 3  2  2018 y3mx  m x  m x với m là tham số Tổng bình phương tất cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x x 1 ; 2 thỏa mãn x 1  2 x 2  1 bằng

Tìm tất cả cả các giá trị của tham số m để y x 3 3x 2 mx1 đạt cực trị tại x x 1 , 2 thỏa mãn

Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

3 3 y x mx  m  x có hai điểm cực trị có hoành độ x 1 , x 2 sao cho

Dạng toán 8 Cực trị hàm trùng phương

Phương pháp giải Điều kiện Tổng quát Cụ thể

Có một điểm cực trị

(một cực trị) Đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu Đúng một cực trị và cực trị là cực đại

Có ba điểm cực trị

Hai cực tiểu và một cực đại

Một cực tiểu và hai cực đại

 Giả sử hàm số có cực trị:   0

    tạo thành tam giác thỏa mãn dữ kiện: ab0 và có

 Phương trình qua điểm cực trị:

 Phương trình đường tròn đi qua A B C x , , : 2  y 2    c n x c n    0 , với 2 n 4 b a

   và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là

Xem thêm các dạng ở mục “2.2.2 Cực trị thỏa mãn điều kiện hình học”

Cho hàm số yx 4 2 x 2 2 Diện tích S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho có giá trị là

Tìm m để đồ thị hàm số y x 4 2 mx 2 1 có ba điểm cực trị A   0 1 ; , , B C thỏa mãn BC4?

Tập hợp S chứa tất cả các giá trị của tham số m, để đồ thị hàm số y = x^4 - 2(m + 1)x^2 + m^2 có ba điểm cực trị, tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông Số lượng phần tử trong tập hợp S cần được xác định.

Cho hàm số y  x 4  2  m  4  x 2   m 5 có đồ thị   C m Tìm m để   C m có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm

Dạng toán 9 Cực trị hàm hợp y=f(u(x))

Bài toán: Cho hàm số y  f x   (đề có thể ra bằng hàm, đồ thị, bảng biến thiên của f x     , f x  )

Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f u  

 Bước 3 Giải lần lượt u 0 và f u     0 thông thường giải u 0 sẽ đơn giản, để giải f u     0 ta tìm f x   0 x a x b

 Bước 4 Lập bảng xét dấu của y   u f u    

 Bước 5 Từ bảng xét dấu kết luận yêu cầu bài toán

 Bước 2 Từ đề ra ta tìm được f x   , giả sử đề ra:

 Bảng xét dấu của f x     nhìn những vị trí f x   0 x a f x    x a   x b  x b

 Đồ thị của f x     nhìn những vị trí đồ thị cắt Ox x a f x    x a   x b  x b

 Đồ thị của f x    nhìn những vị trí “cù chỏ” x a f x    x a   x b  x b

 Bước 3 Từ f x     f u    bằng cách chỗ nào có x thay bằng u

 Bước 4 Ta có được y   u x f u x          lập bảng xét dấu của hàm này

 Bước 5 Từ bảng xét dấu kết luận yêu cầu bài toán

Cho hàm số y  f x   xác định trên , có đồ thị f x   như hình vẽ bên Hàm số g x    f x  3  x  đạt cực tiểu tại điểm x 0 Giá trị x 0 thuộc khoảng nào sau đây

Cho hàm số y  f x   liên tục trên , có đồ thị f x    như hình vẽ Số điểm cực tiểu của hàm số g x    f    x 2 x  là

Cho hàm số y  f x   có đạo hàm liên tục trên

, bảng biến thiên của hàm số f x '   như sau:

Số điểm cực trị của hàm số y  f x  2  2 x  là:

Cho hàm số y  f x   có đúng ba điểm cực trị là  2; 1 0; và có đạo hàm liên tục trên Khi đó hàm số y  f x  2  2 x  có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số y  f x   xác định trên và hàm số y  f x    có đồ thị như hình vẽ Tìm số điểm cực trị của hàm số

Biết rằng hàm số f x   có đồ thị được cho như hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị của hàm số y   f f x      ?

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Câu 1 (MĐ 105 – 2017) Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đạt cực tiểu tại x 5 B Hàm số có bốn điểm cực trị

C Hàm số đạt cực tiểu tại x2 D Hàm số không có cực đại

Câu 2 (ĐMH – 2019) Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như sau x y

Câu 3 (MĐ 104 – 2018) Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

Câu 4 (MĐ 110 – 2017) Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như sau

Tìm giá trị cực đại y CĐ và giá trị cực tiểu y CT của hàm số đã cho

A y CĐ  2 và y CT  0 B y CĐ  3 và y CT  0

C y CĐ  3 và y CT   2 D y CĐ   2 và y CT  2

Câu 5 (MĐ 103 – 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: ( )

Hàm số đạt cực đại tại:

Câu 6 (MĐ 103 – 2018) Cho hàm số y ax 4 bx 2 c ( a , b , c ) có đồ thị như hình vẽ bên

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 7 (MĐ 102 - 2019) Cho hàm số f x   có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực đại tại

Câu 8 (MĐ 123 - 2017) Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây sai

A Hàm số có giá trị cực đại bằng 3 B Hàm số có hai điểm cực tiểu

C Hàm số có giá trị cực đại bằng 0 D Hàm số có ba điểm cực trị

Câu 9 (MĐ 104 - 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: ( )

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

Câu 10 (MĐ 102 - 2018) Cho hàm số y ax 3 bx 2 cx d  a b c d , , ,   có đồ thị như hình vẽ bên Số điểm cực trị của hàm số này là

Câu 11 (MĐ 104 - 2019) Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như sau:

Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Câu 12 (MĐ 101 - 2019) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: ( )

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

Câu 13 (MĐ 101 - 2018) Cho hàm số y ax  3  bx 2  cx d a b c d   , , ,   có đồ thị như hình vẽ bên Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 14 (ĐMH - 2018) Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực đại tại điểm

Câu 15 (ĐMH - 2017) Tìm giá trị cực đại y C§ của hàm số y x 3 3x2

 có bao nhiêu điểm cực trị?

 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Cực tiểu của hàm số bằng 3 B Cực tiểu của hàm số bằng 1

C Cực tiểu của hàm số bằng 6 D Cực tiểu của hàm số bằng 2

Câu 18 (ĐMH - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm ( ) f x( )x x( 1)(x2) 3 ,  x R Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 19 (MĐ 101 - 2019) Cho hàm số f x có đạo hàm ( ) f x  ( )  x x   2  2 , x   Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 20 (MĐ 103 - 2019) Cho hàm số f x   có đạo hàm f x      x x  1  2 ,   x R Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 21 (MĐ 104 - 2019) Cho hàm số f x   có đạo hàm f x      x x  1  2 ,   x Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 22 (MĐ 102 - 2019) Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f x( )x x( 2) 2 ,  x Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 23 Cho hàm số f x   có đạo hàm f x '     x 1  x   2 3  x   3 x  2  4 với mọi x Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

Câu 24 Cho hàm số f x   có đạo hàm f x     x x 3   1  x  2  ,   x Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 25 =Hàm số y  f x   có đạo hàm f x      x  1  x  2   x  2019  ,   x R Hàm số y  f x   có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu?

Câu 26 Điểm cực đại của đồ thị hàm số yx 3 6x 2 9x có tổng hoành độ và tung độ bằng

Câu 28 Đồ thị hàm số y x 4 x 2 1 có bao nhiêu điểm cực trị có tung độ là số dương?

Câu 29 Hàm số nào dưới đây không có cực trị?

Câu 30 Tìm giá trị cực đại của hàm số yx 3 3x 2 2

Câu 31 Nếu hàm số f x   có đạo hàm là f x '    x x 2   2   x 2   x 2   x  1  4 thì tổng các điểm cực trị của hàm số f x   bằng

Câu 32 Điểm cực đại của đồ thị hàm số y  x 3 3x1 là:

Câu 33 Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y  1 3 x 3  mx 2   m 2  4  x  3 đạt cực đại tạix3

Câu 34 Tìm m để hàm số y x 3 2mx 2 mx1 đạt cực tiểu tại x1

Câu 35 Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số y  1 3 x 3  mx 2   m 2  4  x  3 đạt cực đại tại x3

Câu 36 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số yx 3 3x 2 mx1 đạt cực tiểu tại x2

Câu 37 Có bao nhiêu số thực mđể hàm số y  1 3 x 3  mx 2   m 2   m 1  x  1 đạt cực đại tại x1

Câu 38 (MĐ 102 – 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

Câu 39 (MĐ 101 – 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

Câu 40 (ĐMH – 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

Câu 41 (MĐ 104 – 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số

3 4 y x  mx  m có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ

Câu 42 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

3 y   x  mx  mx  có hai điểm cực trị

Câu 43 Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số có cực đại và cực tiểu?

Câu 44 Tập hợp các giá trị của m để hàm số 1 3 2  2  1 y3x mx  m x có hai cực trị là:

Câu 45 Cho hàm số y mx 4 x 2 1 Tập hợp các số thực m để hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị là

Câu 46 Cho hàm số y mx 4 (2m1)x 2 1 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có đúng một điểm cực tiểu

Câu 47 Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  x 4  2  m 2   m 6  x 2   m 1 có ba điểm cực trị

Câu 48 Hàm số y  mx 4   m  1  x 2   1 2 m có một điểm cực trị khi

Câu 49 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m trên miền    10 10 ;   để hàm số

2 2 1 7 y  x  m  x  có ba điểm cực trị?

Để xác định số nguyên m sao cho hàm số y = mx + (m - 6)x + 4 có ba điểm cực trị, trong đó có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại, ta cần phân tích điều kiện của hàm số Cụ thể, hàm số sẽ có ba điểm cực trị khi đạo hàm bậc nhất của nó có hai nghiệm phân biệt dương và một nghiệm phân biệt âm, điều này phụ thuộc vào giá trị của m Do đó, cần tìm các giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện trên để đảm bảo hàm số đạt được cấu trúc cực trị mong muốn.

Câu 51 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  mx 4   m  1  x 2   1 2 m có một cực trị

Để tìm giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng d y = (2m - 1)x + 3m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x^3 - 3x^2 + 1, trước tiên cần xác định các điểm cực trị của hàm số này Các điểm cực trị sẽ được tìm bằng cách tính đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0 Sau đó, sử dụng hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực trị để thiết lập điều kiện vuông góc với đường thẳng d Từ đó, tìm giá trị của m thỏa mãn điều kiện đã đề ra.

Câu 53 (MĐ 123 - 2017) Đồ thị hàm số y x 3 3x 2 9x1 có hai cực trị A và B Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB ?

Câu 54 (MĐ 105 - 2017) Đồ thị của hàm số y  x 3 3x 2 5 có hai điểm cực trị A và B Tính diện tích S của tam giác OAB với O là gốc tọa độ

Câu 55 Đồ thị của hàm số y x 3 3x 2 9x1 có hai điểm cực trị A và B Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB

Câu 56 Biết đồ thị hàm số y x 3 3x1 có hai điểm cực trị A , B Khi đó phương trình đường thẳng

Câu 57 Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d y :   3 m  1  x   3 m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx 3 3x 2 1

Câu 58 (ĐMH - 2017) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số

1 1 y3x mx  m  x có hai điểm cực trị A và B sao cho ,A B nằm khác phía và cách đều đường thẳng d y: 5x9 Tính tổng tất cả các phần tử của S

Câu 59 Cho hàm số 1 3  1  2 3  2  2018 y3mx  m x  m x với m là tham số Tổng bình phương tất cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x x 1 ; 2 thỏa mãn x 1  2 x 2  1 bằng

Câu 60 Tìm tất cả cả các giá trị của tham số m để y x 3 3x 2 mx1 đạt cực trị tại x x 1 , 2 thỏa mãn

Câu 61 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y  x 3  8 x 2   m 2  11  x  2 m 2  2 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục Ox

Câu 62 Cho hàm số y  x 3   2 m  1  x 2   m  1  x m   1 Có bao nhiêu giá trị của số tự nhiên m20 để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành?

Câu 63 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị của hàm số

1 2 3 y  x  m  x  m  x m   có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về hai phía khác nhau đối với trục hoành?

Để xác định tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số y = 2x³ + 3(m - 1)x² + 6(m - 2)x - 1 có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng (-2, 3), ta cần phân tích đạo hàm của hàm số và tìm điều kiện cho m Việc này sẽ giúp xác định vị trí của các điểm cực trị và đảm bảo chúng nằm trong khoảng đã cho.

Câu 65 Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số: y  3 x 3  2  m  1  x 2  3 mx m   5 có hai điểm cực trị x x 1 ; 2 đồng thời y x y x     1 2  0 là:

Câu 66 Gọi S là tập các giá trị dương của tham số m sao cho hàm sốy x 3 3mx 2 27x3m2 đạt cực trị tại x x 1 , 2 thỏa mãn x 1  x 2  5 Biết S   a b ;  Tính T  2 b a 

Câu 67 Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số

3 y  x  x  mx  có hai điểm cực trị x x 1 , 2 4 Số phần tử của S bằng

Câu 68 Tìm giá trị thực của tham số mđể hàm số y  x 3  4  m  2  x 2  7 x  1 có hai điểm cực trị x x 1 ; 2

Câu 69 (ĐMH - 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số

2 1 y x  mx  có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

Để tìm tất cả các giá trị thực của tham số m, cần xác định điều kiện để đồ thị hàm số y = 4 - 2mx² có ba điểm cực trị Những điểm cực trị này phải tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 Việc phân tích đồ thị và tính toán diện tích tam giác từ các điểm cực trị là cần thiết để xác định các giá trị phù hợp của m.

Câu 71 (ĐMH - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  3 x 4  4 x 3  12 x 2  m có 7 điểm cực trị?

Câu 72 Biết phương trình ax 3 bx 2   cx d 0  a  0  có đúng hai nghiệm thực Hỏi đồ thị hàm số

3 2 y  ax  bx  cx d  có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 73 Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y  x 4  2 mx 2  2 m 2   m 12 có bảy điểm cực trị

Câu 74 Số điểm cực trị của hàm số y   x  1  x  2  2 là

Câu 75 (MĐ 110 - 2017) Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như sau Đồ thị của hàm số y  f x   có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 76 (MĐ 101 - 2019) Cho hàm số y  f x  , bảng biến thiên của hàm số f x '   như sau:

Số điểm cực trị của hàm số y  f x  2  2 x  là

Câu 77 (MĐ 104 - 2019) Cho hàm số f x  , bảng biến thiên của hàm số f x    như sau:

Số điểm cực trị của hàm số y  f  4 x 2  4 x  là

Câu 78 (MĐ 103 - 2019) Cho hàm số f x  , bảng biến thiên của hàm số f x    như sau:

Số cực trị của hàm số y  f  4 x 2  4 x  là

Câu 79 Cho hàm số x xác định trên và có đồ thị hàm số y  f x    là đường cong ở hình vẽ Hỏi hàm số y  f x   có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 80 Cho hàm số f(x) xác định trên và có đồ thị f x( )như hình vẽ bên Đặt g x( ) f x( )x

Hàm số đạt cực đại tại điểm thuộc khoảng nào dưới đây?

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa 01

Cho hàm số y  f x   xác định trên tập D

 Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f x   trên D nếu:  

 Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f x   trên D nếu:  

A.2 Phương pháp tìm Max – Min:

Phương pháp tìm max – min

Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

 Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

Hàm số đã cho y  f x   xác định và liên tục trên đoạn   a b ;  

, nghiệm nào    a b ;   nhận và tất cả các điểm i    a b ; làm cho f x    không xác định

Phương pháp 03 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

, nghiệm nào    a b ;   nhận và tất cả các điểm i    a b ; làm cho f x    không xác định

 Bước 3: So sánh các giá trị tính được và kết luận     max;

Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng toán 1 Max – Min hàm số cho trước đoạn [a;b]

, nghiệm nào    a b ;   nhận và tất cả các điểm

  ; i  a b làm cho f x    không xác định

– Nếu đồng biến trên thì

– Nếu nghịch biến trên thì

– Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó

– Nếu y  f x   đồng biến trên   a b ;   thì

– Nếu y  f x   nghịch biến trên   a b ;   thì

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 3 3 x1 trên đoạn   0 2 ;  

Tìm GTLN, GTNN của hàm sốyx 4 2 x 2 1 trên đoạn   1 ; 3  

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1

  Tính giá trị của biểu thức 5M m

Gọi giá trị lớn nhất của hàm số, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x   x 2 4 x

Dạng toán 2 Max – Min hàm số cho trước đồ thị hoặc BBT

 Bước 1 Xác định chính xác đoạn cần xét:

 Nếu đề ra đồ thị thì xác định trên trục Ox  đoạn không cần xét gạch bỏ

 Nếu đề ra BBT thì xác định trên hàng x  đoạn không cần xét gạch bỏ

 Bước 2 Tra các vị trí cao nhất và thấp nhất  kết luận max  a b ,  f x   ; min  a b ,  f x  

Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng [-5, 6] và có đồ thị được minh họa Trong khoảng [-2, 2], M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Câu hỏi đặt ra là giá trị của M + m bằng bao nhiêu?

Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-1, 5] có đồ thị minh họa rõ ràng Trong đoạn [0, 5], ta xác định giá trị nhỏ nhất là m và giá trị lớn nhất là M Câu hỏi đặt ra là giá trị của 2m - 3M là bao nhiêu?

Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0, 4] và có đồ thị được minh họa Trong đoạn [0, 2], ta xác định giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số Câu hỏi đặt ra là giá trị của M - m bằng bao nhiêu?

Hàm số f(x) là một hàm liên tục trên khoảng [3, 7] và có bảng biến thiên như hình vẽ Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên khoảng này Cần tính giá trị của M - m.

Cho hàm số y  f x   xác định và liên tục trên khoảng 1

  Đồ thị hàm số y  f x   là đường cong trong hình vẽ bên Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

Dạng toán 3 Max – min trên khoảng (a;b)

, nghiệm nào    a b ;   nhận và tất cả các điểm

  ; i  a b làm cho f x    không xác định

 Bước 3: So sánh các giá trị tính được và kết luận     max;

 Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

Cho hàm số 3 3 2 1 yx 2x  Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng 25 11

Giá trị lớn nhất của hàm số y  x 3 3 x1 trên khoảng  0;   bằng :

Trên khoảng  0 ;   thì hàm số y  x 3 3 x1

A Có giá trị lớn nhất là Max y–1 B Có giá trị nhỏ nhất là Min y–1

C Có giá trị lớn nhất là Max y3 D Có giá trị nhỏ nhất là Min y3

Cho hàm số y x 4 2 x 2 5 Khẳng định nào sau đây đúng:

A Hàm số không có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất

B Hàm số có giá trị nhỏ nhất, có giá trị lớn nhất

C Hàm số có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất

Dạng toán 4 Max – min hàm vô tỉ

 Bước 1: Tìm tập xác định D?, khi đó sẽ xét max – min trên D? nếu đề không yêu cầu xét trên đâu

 Bước 3: So sánh các giá trị tính được và kết luận     max;

Tìm tập giá trị T của hàm số y   x 4  x 2

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x      x 1 2  x 2 Tính

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  2017  2019  x 2  trên tập xác định của nó Tính M m

Dạng toán 5 Max – min hàm lượng giác

 Dùng điều kiện để phương trình asinX b cosX c có nghiệm: a 2  b 2 c 2

Giá trị lớn nhất của hàm số   sin 4 sin y    x  

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x    cos 2 2 x  sin cos x x  4 trên

Tập giá trị của hàm 1

  Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho Chọn mệnh đề đúng

Giả sử M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y3sinx4cosx1 Khi đó

Dạng toán 6 Max – min hàm trị tuyệt đối

Bài toán: Cho hàm số y  f x m  ;  liên tục trên D Tìm max  

Các tính chất quan trọng:

 Giả sử y  f x m  ;  xác định trên D và tồn tại  

 x  y   x y , dấu “=” xảy ra khi xy0 (mục tiêu để khử biến)

Bên cạnh đó ta có các bước làm như sau:

 Bước 1: Tính f x   và lập bảng biến thiên trên đoạn   a b ;  

  , từ đó kết luận   max ;

Cho hàm số y = x² + 2xm - 3 Xác định tập S gồm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2, 2] bằng 10 Tổng tất cả các phần tử trong tập S là kết quả cần tìm.

Cho hàm số y = x³ - 3x² + 2m - 1, xác định tập S chứa tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1, 1] bằng 6 Tích của tất cả các phần tử trong tập S sẽ được tính toán.

Tập hợp S bao gồm tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng \(-2021; 2021\) sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f(x) = x^5 - 5x + 2m - 1\) trên đoạn \([-2; 0]\) lớn hơn 5 Số lượng phần tử trong tập S cần được xác định.

  Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn   1 2 ;   Có bao nhiêu số nguyên a sao cho M2 m

Cho hàm số y  x 3  3 x m   4 Khi m  m 0 thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn   0 3 ;   đạt giá trị nhỏ nhất bằng

III BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-1, 3] có đồ thị như hình vẽ Trong đoạn này, M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số Cần xác định giá trị của M - m.

Hàm số y = f(x) được xác định và liên tục trên đoạn [-2, 2] Để tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số này, ta cần phân tích đồ thị của hàm số trong khoảng đã cho Việc xác định các điểm cực trị và giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn sẽ giúp chúng ta xác định m và M một cách chính xác.

Câu 3 Cho hàm số y  f x  xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1

B Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng  1

C Hàm số đạt cực đại tại x0 và đạt cực tiểu tại x1

D Hàm số có đúng một cực trị

Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng [-3, 2] và có bảng biến thiên đã cho Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [-1, 2] Nhiệm vụ là tính giá trị M + m.

Câu 5 Cho hàm số y  f x   liên tục trên , có bảng biến thiên như hình sau:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

A Hàm số có hai điểm cực trị

B Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 3

C Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận

D Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng    ; 1   , 2 ;  

Câu 6 Cho hàm số y  f x   liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Phương trình f x    0 có 4 nghiệm phân biệt

B Hàm số đồng biến trên khoảng  0;  

C Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0

D Hàm số có 3 điểm cực trị

Câu 7 Cho hàm số y f x( ) liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn    1 3 ;   như hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây đúng ?

Câu 8 Cho hàm số f x   liên tục trên    1 5 ;   và có đồ thị trên đoạn

  như hình vẽ bên dưới Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x   trên đoạn    1 5 ;  bằng

Câu 9 Cho hàm số y  f x   xác định, liên tục trên 1 5

 và có đồ thị là đường cong như hình vẽ Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số f x   trên 1 5

Câu 10 Cho hàm số y  f x   có đồ thị như hình vẽ Giá trị lớn nhất của hàm số f x   trên đoạn   0 2 ;   là:

Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-1, 3] và có đồ thị như hình vẽ Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1, 4] Giá trị của M + m là một thông số quan trọng cần xác định trong bài toán này.

Câu 12 Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên trên   5 7 ;  như hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?