MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Nhìn lại lịch sử tốn học ta thấy có nhiều tri thức tốn học phổ thơng mơ hình (hình ảnh) tốn học cao cấp Sự liên hệ thể nhiều chủ đề như: Lý thuyết tập hợp, quan hệ, ánh xạ bất biến ánh xạ, véc tơ phép toán chúng, cấu trúc đại số… Song hạn chế tri thức học sinh phổ thông nên việc trình bày sách giáo khoa phổ thơng có nhiều phải tránh mối liên hệ Điều làm cho khơng sinh viên khoa toán trường sư phạm tiếp xúc với toán học cao cấp cho toán học cao cấp giới riêng tách biệt với toán học phổ thông mà họ học bậc phổ thông Vấn đề đặt làm để giúp sinh viên khoa toán trường sư phạm học tốn học cao cấp tự nhận mối liên hệ tốn học cao cấp mơn tốn trường phổ thơng, giúp họ giáo viên tương lai trường phổ thông tự tìm thấy khai thác khả vận dụng toán học cao cấp giảng dạy sau để từ nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ cho họ Vì chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu: “Xác lập mối liên hệ tốn học cao cấp tốn học phổ thơng nhằm giúp sinh viên ngành toán rèn luyện tay nghề dạy học” Tuy nhiên, đề tài rộng phong phú, khóa luận chúng tơi xác lập mối liên hệ vấn đề: Tập hợp ánh xạ, không gian vectơ, không gian vectơ ơclit, không gian afine, không gian ơclit Ứng dụng tốn học cao cấp vào việc giảng dạy mơn tốn trường phổ thơng đề tài nhiều nhà nghiên cứu giáo dục giới quan tâm nghiên cứu Qua nghiên cứu số tài liệu, chúng tơi nhận thấy, giới có hai hướng chủ yếu khai thác năm qua là: (1) Giải tốn sơ cấp cơng cụ toán học cao cấp: Theo hướng này, vấn đề giải cách đơn lẻ không khái quát khơng mang tính lí luận lại đáp ứng nhu cầu mà thực tế dạy học bậc phổ thơng địi hỏi Nó giúp Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi cho giáo viên thơng qua cách giải tốn học cao cấp, tìm thấy lời giải phù hợp với học sinh phổ thơng (2) Biên soạn giáo trình sở toán học cao cấp dạng giảng ngôn ngữ đơn giản: Mỗi khái niệm có liên quan đến mơn tốn bậc phổ thơng hình thành đường kiến tạo, xuất phát từ khái niệm tốn học phổ thơng để khái quát hoá, trừu tượng hoá thành khái niệm toán học cao cấp Theo hướng này, tài liệu biên soạn thường cơng kềnh khó đem dạy trường sư phạm chúng lại tài liệu tham khảo bổ ích cho giảng viên sinh viên ngành toán trường sư phạm Ở nước ta nay, việc nghiên cứu mối quan hệ nội dung toán học cao cấp nội dung tốn học phổ thơng số nhà nghiên cứu giáo dục quan tâm như: Đặng Quang Việt, Phan Văn Lý, Nguyễn Văn Dũng, Nguyễn Thị Minh Yến, Vương Hội Các tác giả tập trung vào việc nghiên cứu giảng dạy phân mơn tốn học cao cấp sở liên hệ với nội dung chương trình mơn tốn trường phổ thông nhằm tăng cường định hướng sư phạm cho sinh viên Tính cấp thiết Để nâng cao khả học tập giải tốn phổ thơng cho học sinh trung học, sinh viên cần phải hiểu mối quan hệ toán học cao cấp với tốn học phổ thơng để từ giúp cho sinh viên - người giáo viên tương lai tự tìm thấy khai thác khả vận dụng toán học cao cấp dạy học tốn học phổ thơng sau Từ đó, nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ sư phạm cho họ Hiện nay, nước ta, chưa có nhiều tài liệu tham khảo viết mối liên hệ toán học cao cấp toán học phổ thơng Do đó, việc nghiên cứu chủ đề tác giả có ý nghĩa thực tiễn lý luận Kết nghiên cứu đề tài (dự kiến) chắn tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên ngành toán Mục đích nghiên cứu Xác lập số mối liên hệ toán học cao cấp toán học phổ thông vấn đề tập hợp ánh xạ, không gian vectơ, không gian vectơ ơclit, không gian afine khơng gian ơclit để từ hình thành số định hướng giúp sinh viên giải tốn phổ thơng sở định hướng toán học cao cấp Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu mối liên hệ toán học cao cấp tốn học phổ thơng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu: tập hợp tham khảo tài liệu liên quan đến đề tài kết hợp nghiên cứu, trao đổi, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo đề tài gồm ba chương Chương 1: Mối liên hệ toán học cao cấp toán học phổ thông lý thuyết tập hợp, ánh xạ Chương 2: Mối liên hệ toán học cao cấp tốn học phổ thơng khơng gian vectơ, không gian vectơ ơclit, không gian afine, không gian ơclit Chương 3: Thực hành giải tốn phổ thơng sở sử dụng mối liên hệ toán học cao cấp tốn học phổ thơng Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Chương MỐI LIÊN HỆ GIỮA TOÁN HỌC CAO CẤP VÀ TỐN HỌC PHỔ THƠNG ĐỐI VỚI LÝ THUYẾT TẬP HỢP, ÁNH XẠ Tập hợp ánh xạ chương trình tốn học cao cấp trình bày cách tường minh có chiều sâu với nội dung cụ thể sau: 1.1 Lý thuyết tập hợp 1.1.1 Lý thuyết tập hợp toán học cao cấp 1.1.1.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp (hay tập) khái niệm tốn học, khơng định nghĩa Người ta thường mô tả tập hợp Chẳng hạn tập hợp học sinh lớp, tập hợp số nguyên dương, tập hợp bàn học lớp, tập hợp số tự nhiên… Tập hợp thường kí hiệu chữ in hoa A, B, X, Y,… Một vật đối tượng nằm tập hợp gọi phần tử tập hợp Ta kí hiệu x ∈ X x phần tử tập X, x ∉ X x phần tử tập X Một tập hợp coi cho ta xác định đối tượng thuộc hay khơng thuộc tập hợp Tập khơng có phần tử gọi tập hợp rỗng kí hiệu ∅ Tập hợp chứa phần tử x, kí hiệu {x}, gọi tập hợp phần tử Tập hợp gồm hai phần tử x y, kí hiệu {x, y} gọi tập hợp hai phần tử Định nghĩa tương tự cho tập hợp ba, bốn , …, n phần tử Các tập hợp với tập hợp ∅ gọi tập hợp hữu hạn tập hợp khác gọi tập hợp vơ hạn Kí hiệu P(X) tập hợp phận X Nếu X tập hợp hữu hạn gồm n phần tử P(X) tập hợp hữu hạn có 2n phần tử Cho hai tập A B Ta bảo A tập B kí hiệu A ⊂ B (hay B ⊃ A) phần tử tập A phần tử tập B Ta có ∅ ⊂ X với tập X Nếu A ⊂ B và B ⊂ A ta nói A, B kí hiệu A = B 1.1.1.2 Phép toán tập hợp Tập hợp gồm phần tử thuộc hai tập A B gọi hợp hai tập kí hiệu A ∪ B Tập hợp gồm phần tử thuộc đồng thời hai tập hợp gọi giao hai tập kí hiệu A ∩ B Nếu giao hai tập rỗng ta bảo hai tập rời Hợp giao có tính chất:  Giao hốn : A ∪ B = B ∪ A ; A ∩ B = B ∩ A  Kết hợp : (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C); (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)  Phân phối : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C); A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Tập hợp gồm phần tử thuộc tập A không thuộc tập B gọi hiệu tập A trừ tập B (kí hiệu A ∖ B A – B) Nếu B ⊂ A ta gọi hiệu A ∖ B phần bù tập B tập A kí hiệu C B  Công thức De morgan: X − (A ∪ B) = (X − A) ∩ (X − B), X − (A ∩ B) = (X − A) ∪ (X − B) Giữa phần bù hợp giao tập E∝ tập X (E∝ ⊂ X) có công thức đối ngẫu (De Morgan) quan trọng sau: C (⋃∝ E∝) = ⋂∝(C E∝ ) C (⋂∝ E∝) = ⋃∝(C E ) Các cơng thức phát biểu sau: Phần bù hợp giao phần bù Phần bù giao giao phần bù Cho hai tập X Y Ta xét cặp thứ tự (x, y), x ∈ X, y ∈ Y Hai cặp (x, y) (x’, y’) coi x = x , y = y′ Tập hợp tất cặp thứ tự (x, y) x ∈ X, y ∈ Y gọi tích Đêcac (hoặc tích) hai tập X Yvà kí hiệu X × Y Khái niệm tích Đêcac mở rộng cho trường hợp nhiều tập hợp Nếu X, Y, Z, T tập hợp, người ta định nghĩa: Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi X × Y × Z = (X × Y) × Z X × Y × Z × T = (X × Y × Z) × T … Các phần tử X × Y × Z ba (x, y, z) với x ∈ X, y ∈ Y, z ∈ Z Cũng vậy, phần tử X × Y × Z × T bốn (x, y, z, t) với x ∈ X, y ∈ Y, z ∈ Z, t ∈ T Cuối X tập hợp, ta đặt X = X × X, X = X × X × X, X = X × X × X × X, … 1.1.1.3 Xây dựng hệ thống số nhờ lý thuyết tập hợp Con đường tổng quát sau: Tập X phân chia thành tập khác ∅ cặp không giao X ∝ ∝∈ A – số lấy họ tập A mà A∝ phần tử - lớp nói Gọi Y tập nhân tử tương ứng (tập phần tử của tập A ∝) Mỗi A∝ phần tử P(X) tập {X ∝ , ∝∈ A} tập P(X) phần tử P(P(X)) Do Y phần tử P(P(X)) Từ phân chia tập hợp thành tập khơng giao phép tốn tạo thành phần tử biểu diễn qua phép toán tạo thành tập tập phần tử - Xây dựng tập số nguyên theo bước sau:  Lấy tích đề N × N = N – tập cặp (m, n), m ∈ N, n ∈ N  Phân hoạch N thành lớp khác ∅ cặp không giao theo quan hệ tương đương: (m , n )~(m , n ) ⟺ m + n = m + n Khi lớp tương đương số nguyên Vậy tập số nguyên tập nhân tử tập N hay ℤ phần tử P(P(N )) - Tương tự tập Q số hữu tỉ phần tử P(P(ℤ × N∗ )) - Tập số thực phần tử P(P(ℤ × P(N))) - Quan hệ bé N cho phần tử X ∈ P(N ) - Mỗi hàm tuần hoàn xác định đồ thị – tập R nghĩa phần tử P(R ) Từ hàm số đối phần tử P(P(R )) Cũng hàm nhiều biến phần tử P(P(R )) - Các phép toán cộng trừ nhân R phần tử P(R ) - Các phép biến hình hình học mơ tả lí thuyết tập hợp sau: Mỗi phép biến hình f cho đồ thị: cặp (A,B) A điểm không gian E3; B ảnh f Nhưng đồ thị tập E × E nghĩa phần tử P(E × E ) 1.1.2 Lý thuyết tập hợp tốn học phổ thơng Về thực chất lý thuyết tập hợp sử dụng lớp trung học sở phải đến lớp 10 trình bày cách tường minh lý thuyết tập hợp bậc phổ thơng trình bày theo quan điểm “ ngây thơ” Những vấn đề lý thuyết tập hợp gói gọn chương I sách đại số 10 nâng cao hay 2, chương I sách đại số 10 Ở trình bày vấn đề sau: - Khái niệm khái niệm, ví dụ, phần tử thuộc hay không thuộc tập hợp, cách cho tập hợp - Tập hợp tập hợp nhau, biểu đồ ven - Một số tập hợp tập hợp số thực - Các phép toán tập hợp: Phép hợp, phép giao, phép lấy phần bù Mặc dù lý thuyết tập hợp chương trình tốn phổ thơng chưa sâu sắc song phép toán tập hợp sử dụng rộng rãi xun suốt chương trình tốn phổ thơng như: - Các phép toán tập hợp dùng giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình… - Các tập hợp số trường phổ thông nhận từ việc lấy giao phần bù tập hợp (−∞, a] = ℝ(a, +∞) - Các khái niệm đại số tổ hợp trình bày dựa vào tập hợp - Các tốn tìm quỹ tích điểm - Các hình mặt phẳng hay không gian xem tập hợp điểm xét vị trí tương đối chúng Khi giải phương trình, bất phương trình tập nghiệm phần tử tập hợp, khoảng, đoạn Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Ví dụ: Giải phương trình: f (x) f (x ) … f (x) = (1) Ta kí hiệu Mi tập nghiệm phương trình f (x) = 0, cịn N i miềm giá trị thừa nhận f (x ), ≤ i ≤ n Khi tập nghiệm phương trình (1) là: ∪ (N ∩ N ∩ … ∩ N Vì tập N ∩ N ∩ … ∩ N ∩M ∩N ) ∩M ∩N nhân tử f (x ) = nhân tử lại xác định − x sin2x = (2) Chẳng hạn giải phương trình: Học sinh thường sai lầm dẫn tới giải: (2) ⟺ −x =0 sin2x = x=∓ x = ⟺ ⟺ , k ∈ ℤ x= 2x = kπ Giải là: π ⎡ ⎡ x = ∓3 π π ⎢ ⎢ kπ ⎡ −x =0 x = ⎢ ⎢⎧ x = 9 ⎢ , k ∈ ℤ (2) ⟺ ⎢ sin2x = ⟺ ⎢ 2x = kπ ⟺ ⎢⎪ ⎢ ⎢ x ≤ −π π ⎢π ⎢ x ≥ ⎢⎨ ⎣ −x ≥0 π ⎢ ⎢⎪ x≥ ⎣ ⎣⎩ 1.2 Lý thuyết ánh xạ 1.2.1 Lý thuyết ánh xạ toán học cao cấp 1.2.1.1 Ánh xạ Định nghĩa 1: Giả sử X Y hai tập cho Một ánh xạ f từ X đến Y quy tắc cho tương ứng với phần tử x X phần tử xác định, kí hiệu f(x) Y Ta viết f∶X→Y x ↦ f(x) Tập X gọi tập nguồn hay miền xác định tập Y gọi đích hay miền giá trị ánh xạ f Ánh xạ f coi không đổi ∀x ∈ X ∶ f(x) = y y phần tử xác định Y Ví dụ: 1) Xét tập hợp ℕ số tự nhiên tập hợp ℤ số nguyên không âm nhỏ số nguyên dương cho m Với ∈ ℕ ta chia x cho m số dư kí hiệu f(x) Số f(x) thuộc ℤ Tương ứng x ↦ f(x) xác định ánh xạ f ∶ ℕ → ℤ 2) Xét tập hợp số thực ℝ Tương ứng x ↦ x xác định ánh xạ từ ℝ đến ℝ Định nghĩa 2: Giả sử f ∶ X → Y Bộ phận Γ X × Y gồm cặp x, f(x) với x ∈ X gọi đồ thị ánh xạ f Như vậy, cho ánh xạ f ∶ X → Y, ta phận Γ X × Y có tính chất: với x ∈ X, có cặp, có phần tử thứ x, thuộc Γ Đảo lại, cho phận Γ X × Y có tính chất đó, Γ cho ta ánh xạ f ∶ X → Y mà đồ thị Γ Cho nên người ta đồng ánh xạ f với đồ thị phận tích đề X × Y 1.2.1.2 Ảnh tạo ảnh Định nghĩa 3: Giả sử f ∶ X → Y ánh xạ cho, x phần tử tùy ý X; A phận tùy ý X, B phận tùy ý Y Thế người ta gọi: - f(x) ảnh x f hay giá trị ánh xạ f điểm x - f(A) = {y ∈ Y| tồn tại x ∈ A sao cho f(x) = y} ảnh A f - f (B) = {x ∈ X|f(x) ∈ B} tạo ảnh toàn phần B f Đặc biệt với b ∈ Y, f viết f (b) thay cho f ({b}) = {x ∈ X|f(x) = b} Để đơn giản kí hiệu ta ({b}) gọi tạo ảnh tồn phần b f Kí hiệu f(A) điều lạm dụng f(A) có nghĩa A ∈ X Rõ ràng ta có f(∅) = ∅ với f Ta chứng minh dễ dàng quan hệ: Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi - ⊂f -B⊃f f f(A) với phận A X (b) với phận B Y Nhưng ta quyền, quan hệ ấy, thay dấu bao hàm dấu đẳng thức Chẳng hạn ví dụ 2) mục a), lấy A = {1} ta có f f(A) = {−1, 1} B = {−1, 1} ta có f f (b) = {1} 1.2.1.3 Đơn ánh - toàn ánh - song ánh Định nghĩa 4: Ánh xạ f ∶ X → Y đơn ánh với x, x′ ∈ X, quan hệ f(x) = f(x’) kéo theo quan hệ x = x’ hay x ≠ x′ kéo theo f(x) ≠ f(x ); hay với y ∈ Y có nhiều x ∈ X cho y = f(x) Người ta gọi đơn ánh f ∶ X → Y ánh xạ đối Ví dụ: 1) Xét ánh xạ f ∶ ℝ → ℝ x ↦ x Rõ ràng f đơn ánh, ví x y số thực quan hệ x = y kéo theo x = y Nếu ta thay ℝ ℂ ánh xạ f ∶ ℂ → ℂ x ↦ x đơn ánh nữa, gọi ε , ε , ε ba giá trị bậc ba đơn vị, ta có ε = ε = ε = 2) Giả sử X tập hợp, ánh xạ X → X x↦x Gọi ánh xạ đồng X kí hiệu 1x ex Hiển nhiên 1x đơn ánh 3) Cho X ⊂ Y Ánh xạ j ∶ X → Y x ↦ j(x ) = x Gọi đơn ánh tắc tứ X đến Y Ta có nhiều đơn ánh từ X đến Y, đơn ánh j gọi tắc xây dựng cách tự nhiên 10 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi 3.3 Dạng Sử dụng bất biến afine, Ơclit để giải toán Bài toán 5: Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 Gọi I, J lần I lượt điểm đối xứng A D1 qua A D qua C1 M D B trung điểm cạnh BB1 Chứng minh ba điểm I, M, J thẳng M hàng C A D B1 Định hướng cao cấp: C - Bài tốn chứa hồn tồn bất biến afin: - Hình hộp – khái niệm Afin - Đối xứng quy tỉ số: J Hình AI C D = = −1 A D C J khái niệm Afin (bất biến Afin; Trung điểm M BB1 khái niệm afin - Thẳng hàng bất biến Afin Từ dẫn tới việc sử dụng hệ tọa độ afin A, AB⃗, AD⃗, AA ⃗ để giải toán chứng tỏ MI⃗ = k MJ⃗ Lập luận chứng minh nhờ biểu diễn véc tơ MI⃗, MJ⃗ qua sở để tìm k Cách giải phổ thơng: Xét hình hộp ABCD.A1B1C1D1 (hình 4) Cần chứng tỏ MI⃗ = k MJ⃗ (tìm k): Muốn vậy, cần biểu diễn MI⃗, MJ⃗ qua ba véc tơ không đồng phẳng AB⃗ = a⃗; AD⃗ = b⃗; AA ⃗ = c⃗ Áp dụng quy tắc tam giác ta có: MI⃗ = MA⃗ + AI⃗ = MB⃗ + BA⃗ + AI⃗ = c⃗ − a⃗ − D A⃗ = c⃗ − a⃗ − c⃗ − b⃗ = − a⃗ + b⃗ + c⃗ (1); Tương tự ta có MJ⃗ = a⃗ + b⃗ + c⃗ (2) Từ (1) (2) suy MI⃗ = −MJ⃗ ⟹ Đpcm 44 Bài tốn 6: Một đường thẳng chuyển động ln song song với mặt phẳng (α) cố định tựa hai đường thẳng chéo a, b hai điểm M, N Tìm tập hợp điểm I thuộc đoạn thẳng MN cho: IM =k IN (k số dương cho trước) Định hướng cao cấp: Bài toán chứa bất biến afine: đường thẳng, giao đường thẳng, tỉ số đoạn phương giải sử dụng phép biến đổi afin Cách giải phổ thơng: Khơng làm tính tổng qt giả sử a, b cắt (α) hai điểm M , N I điểm giới hạn quỹ tích Theo định lí đảo định lí Talet I, I thuộc mặt phẳng song song với a, b mặt phẳng (I E I ) với I ∈ M N cho: I M =k I N Trong mặt phẳng ta chứng minh I , I, I thẳng hàng Như vậy, chuyển toán phẳng; đó, I , E, E thuộc đường thẳng song song với a, E ∈ (α) MK//M K //M N Theo định lí Talet phẳng: I E N K KN = = (1) I E N K K N Mặt khác, ta có: EI ME E I M E = = KN MK K N M K Từ đó: EI KN = (2) E I K N Từ (1) (2) suy ra: EI I E = E I I E nên I , I, I thẳng hàng, I thuộc I I 45 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Ngược lại, chứng minh được, I thuộc đoạn I I tồn đoạn MN cho: MN ∕∕ (α)M ∈ a, N ∈ b và IM =k IN Vậy tập điểm I đường thẳng I I (trừ điểm I ) Bài toán 7: Cho ∆ABC Một điểm M nằm tam giác, chuyển động song song với cạnh BC cắt cạnh CA, sau song song với AB cắt cạnh BC, song sog với AC cắt AB, v.v… Chứng minh sau số bước quỹ đạo chuyển động M khép kín Định hướng cao cấp: Bài tốn chứa khái niệm afine: tam giác, đường thẳng khái niệm afine.Hai đường thẳng song song, cắt tính chất afine.Ta sử dụng phép biến đổi afine để giải B Cách giải phổ thơng: A3 Kí hiệu điểm liên tiếp quỹ đạo cạnh tam giác A1, B1, B2, C2, C3, A3, A4, B4, B5, C5, C6,…(h.4) Bởi A B ∕∕ AB , C3 M B2 B1 B B ∕∕ CA , B C ∕∕ B C nên ∆AB C nhận từ A A1 C2 ∆A B C qua phép tịnh tiến Tương tự ∆A BC nhận từ ∆AB C qua C Hình phép tịnh tiến, cịn ∆A B C – từ ∆A BC Nhưng ∆A B C nhận từ ∆A BC qua phép tịnh tiến Do A1 = A4, tức sau bước quỹ đạo khép kín (cũng khép kín sớm hơn) Bài tốn 8: Trên cạnh AB, BC, CD, DA hình bình hành ABCD lấy điểm A1, B1, C1, D1 cho A1B1C1D1 hình bình hành Chứng minh tâm hai hình bình hành trùng Định hướng cao cấp: Bài tốn chứa bất biến afine hình bình hành, ta sẻ sử dụng phép biến đổi afine (phép đối xứng qua tâm O hình bình hành) 46 Cách giải phổ thông: Giao điểm đường chéo hình bình hành tâm đối xứng Giả sử O tâm đối xứng hình bình hành ABCD Qua phép đối xứng tâm O điểm A1 B1 biến thành điểm A2 B2 nằm cạnh CD AD, A B ⃗ = B A ⃗ Do tam giác B A D D C D có cạnh tương ứng song song B A = D C Suy B = D A = C Từ thấy điểm O tâm đối xứng hình bình hành A1B1C1D 3.4 Dạng Sử dụng tập hợp, ánh xạ tập hợp hình học để giải tốn Bài tốn 9: Bài tốn sau định hướng cách giải nhờ tích ánh xạ “Trên đường trịn ( ) cho ba điểm A, B, C Giả sử A điểm thuộc đường tròn ( ), A ≠ A Đường thẳng vẽ qua A vng góc với BC cắt ( ) M; đường thẳng vẽ qua M vng góc với AC cắt ( ) B Chứng minh AA //BB Định hướng cao cấp: δ Do tính chất đường vng B góc, điểm A1 xác định M điểm M; điểm M xác định B1, nên B1 ảnh A1 qua ánh xạ f: A → B Từ toán dẫn đến xác δ A O định ánh xạ f cụ thể A Cách giải phổ thông: B C Ta kí hiệu δ , δ đường thẳng qua O song song với Hình AC, BC (hình 5) Khi δ , δ trung trực B1M, A1M; Giả sử Đ ; Đ phép đối xứng trục δ , δ Ta thực liên tục hai phép đối xứng theo thứ tự Đ và Đ Mặt khác, thực liên tục theo thứ tự Đ và Đ biến A1 thành B1 ta thực phép quay Q với α = ∠(CB, CA) Q : A → B ⟹ cung BA = cung AB ⟹ AA //BB A →B 47 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Như ánh xạ f ta cần xác định tích hai phép đối xứng trục Đ ∘ Đ phép quay Q tâm O góc α Bài tốn 10:Trong xâu nhị phân có độ dài n, gọi an số xâu không chứa số liên tiếp 0, 1, bn số xâu không chứa số liên tiếp 0,0,1,1 1,1,0,0 Chứng minh bn+1 = 2an Định hướng cao cấp: Ta giải toán theo hướng xây dựng song ánh từ tập hợp xâu có chứa số liên tiếp 0, 1, độ dài n đến tập hợp xâu có khơng chứa số hạng liên tiếp 0, 0, 1, 1, 1, 0, độ dài n + Cách giải phổ thông: Ta gọi xâu thuộc loại A khơng chứa số liên tiếp 0, 1, gọi xâu thuộc loại B khơng chứa số hạng liên tiếp 0, 0, 1, 1, 1, 0,0 Với xâu X = (x1, x2, , xn), ta xây dựng f(X) = (y1, y2, , yn+1) sau: y1 = 0, y ≡ x + x + +x (mod2) k {2, , n+1} Rõ ràng X chứa số liên tiếp 0, 1, f(X) chứa số hạng liên tiếp 0, 0, 1, 1, 1, 0, tức X thuộc loại A f(X) thuộc B Vậy f song ánh từ tập xâu loại A độ dài n đến tập xâu loại B độ dài n+1 mà bắt đầu Nhưng từ xâu X thuộc B ta nhận xâu X thuộc B cách đổi phần tử X theo quy tắc  0,  nên số xâu loại B độ dài n+1 gấp đôi số xâu loại B độ dài n+1 mà bắt đầu số Từ ta có điều phải chứng minh 3.5 Dạng Sử dụng hệ tọa độ để giải tốn Khi giải tốn hình học phổ thơng phương pháp tọa độ, giả thiết kết luận chứa đựng bất biến afin bất biến lượng, kết tốn khơng phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa độ? (nhờ mà ta cố gắng chọn hệ tọa độ thích hợp với toán để giải cho kiện tốn dịch sang ngơn ngữ tọa độ đơn giản) Để giải thích tượng đó, SV phải nắm bất biến phép biến đổi đẳng cự Các bất biến afin bất biến lượng bất biến phép đẳng cự Và hệ tọa độ biến thành hệ tọa độ khác nhờ 48 phép biến đổi đẳng cự (ứng với ma trận chuyển hai sở đó) Do đó, kết tốn khơng thay đổi ta chọn hệ tọa độ hay hệ tọa độ khác để giải Bài tốn 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng có AB = AC = a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) SA = √ a Tính góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) b Tính khoảng cách hai đường thẳng AI SC với I trung điểm cạnh BC Định hướng cao cấp: Bốn điểm A, B, C, S không đồng phẳng Và AB, AC, AS đôi vng góc nên ta xây dựng hệ tọa độ Đề vng z góc với gốc A S Cách giải phổ thông: Do AB, AC, AS đôi vng góc nên chọn hệ trục tọa độ Oxyz (hình 6) cho A C a √2 O ≡ A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); S 0; 0; I a Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến ⃗ı = (1; 0; 0), mặt phẳng (SBC) có cặp vectơ B x phương là: SB⃗ a; 0; − a √2 a √2 ; SC⃗ 0; a; − 2 Hình Ta có SB⃗, SC⃗ = a √2 a √2 ; ;a 2 = a √2 1; 1; √2 Nên mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến n⃗ 1; 1; √2 Gọi φ góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC): cos φ = |⃗ı n⃗| 1 = = ⇒ φ = 60° |⃗ı||n⃗| √1 + + 2 49 y Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi b Khoảng cách hai đường thẳng AI SC: I trung điểm đường thẳng BC suy I = AI⃗ = ; ; nên ta có: a a √2 ; ; ; SC⃗ = 0; a; − 2 AI⃗, SC⃗ = − AS⃗ = 0; 0; AI⃗, SC⃗ = a √2 a √2 a ; ; 4 a √2 √2 ⇒ AI⃗, SC⃗ AS⃗ = a a a a + + = 8 √2 Vậy khoảng cách hai đường AI SC d(AI, SC) = ⃗, ⃗ ⃗ ⃗, ⃗ = √ √ = z Bài tốn 12: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Hãy xác định điểm M AC1, N B C B1D cho MN//A1D D Định hướng cao cấp: Hình hộp - hộp không gian afine - hệ điểm độc lập Ta giải toán cách xây dựng hệ tọa độ afine B ; B C ⃗, B A ⃗, B B⃗ x B1 chiều bốn điểm B1, B, C1, A1 không đồng phẳng C1 A1 D1 y Cách giải phổ thơng: Hình Chọn hệ trục tọa độ Oxyz (hình 7) cho: O ≡ B (0; 0; 0); C (1; 0; 0); B(0; 0; 1); A (0; 1; 0); A(0; 1; 1); C(1; 0; 1); D (1; 1; 0); D(1; 1; 1) Khi đó, phương trình tham số đường thẳng AC1 qua C1 nhận AC1 làm vectơ phương là: x =1+t y = −t t ∈ ℝ z = −t 50 Phương trình tham số đường thẳng B1D1 là: x = t′ y = t′ t′ ∈ ℝ z=0 Do M ∈ AC nên tọa độ điểm M có dạng (1 + t; -t; -t), N ∈ B D nên tọa độ điểm N có dạng (t’; t’; 0) Suy MN⃗ = (t − t − 1; t + t; t), A D⃗ = (1; 0; 1) MN//A1D ⇒ t=− t −t−1= ⇔ ⇒ M(2⁄3 ; 1⁄3 ; 1⁄3); N(1⁄3 ; 1⁄3 ; 0) t + t = t = Bài toán 13: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Chứng minh đường chéo AB1, A BC1, CA1 song song với mặt C b⃗ a⃗ B phẳng c⃗ Định hướng cao cấp: Bốn điểm A, B, C, A1 không đồng phẳng hệ điểm độc lập Khi đó, A; AB⃗, AC⃗, AA ⃗ mục C1 A1 tiêu afine Từ dẫn tới việc sử dụng hệ tọa độ afine A; AB⃗, AC⃗, AA ⃗ để giải toán chứng tỏ B1 Hình AB ⃗, BC ⃗, CA ⃗ khơng đồng phẳng Cách giải phổ thông Đặt AB⃗ = a⃗, AC⃗ = b⃗, AA ⃗ = c⃗ Giả sử AB ⃗, BC ⃗, CA ⃗ đồng phẳng tồn cặp số thực (m, n) thỏa mãn: AB ⃗ = mBC ⃗ + n CA ⃗ Ta có: AB ⃗ = AA ⃗ + AB⃗ = c⃗ + a⃗, BC ⃗ = BB ⃗ + BC⃗ = AA ⃗ + AC⃗ − AB⃗ = c⃗ + b⃗ − a⃗, CA ⃗ = CC ⃗ + CA⃗ = c⃗ − b⃗ Suy ra: c⃗ + a⃗ = m c⃗ + b⃗ − a⃗ + n c⃗ − b⃗ ⇔ (1 + m)a⃗ + (n − m)b⃗ + (1 − m − n)c⃗ = 0⃗ 51 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi 1+m= Vì a⃗, b⃗, c⃗ không đồng phẳng nên n − m = Hệ vô nghiệm tức 1−m−n= không tồn cặp số (m, n) thỏa mãn để AB ⃗, BC ⃗, CA ⃗ đồng phẳng Vậy AB1, BC1, CA1 song song với mặt phẳng Bài tốn 14: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ BD Chứng minh AD ⊥ BC A Định hướng cao cấp: Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng c⃗ a⃗ hệ điểm độc lập Khi đó, A; AB⃗, AC⃗, AD⃗ mục b⃗ tiêu afine Từ dẫn tới việc sử dụng hệ tọa độ afine B để giải tốn D Cách giải phổ thơng: C Xét tứ diện ABCD (hình 9) Hình Đặt AB⃗ = a⃗, AC⃗ = b⃗, AD⃗ = c⃗ Ta có: AB ⊥ CD ⇒ AB⃗ CD⃗ = ⇒ a⃗ c⃗ − b⃗ = ⇒ a⃗ c⃗ = a⃗ b⃗ AC ⊥ BD ⇒ AC⃗ BD⃗ = ⇒ b⃗(c⃗ − a⃗) = ⇒ b⃗ c⃗ = b⃗ a⃗ Xét AD⃗ BC⃗ = c⃗ b⃗ − a⃗ = c⃗ b⃗ − c⃗ a⃗ = a⃗ b⃗ − a⃗ b⃗ = ⇒ AD ⊥ BC 3.6 Bài tập tương tự Bài toán 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân AB = AC = a, BAC = 120°, cạnh bên BB’ = a Gọi I trung điểm CC’ Chứng minh tam giác AB’I vng A Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) Bài toán 2: Cho hình vng ABCD Các điểm P Q tương ứng nằm cạnh AB BC cho BP = BQ Giả sử H chân đường vng góc hạ từ B xuống PC Chứng minh DHQ = 90° Bài tốn 3: a) Chứng minh diện tích tứ giác lồi khơng lớn nửa tổng tích cạnh đối nhau: S ≤ (AB CD + BC AD) 52 b) Chứng minh đẳng thức a) đạt tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vng góc với Bài tốn 14: Chứng minh tam giác đường trung tuyến đường phân giác, tam giác cân Bài tốn 4: Chứng minh đoạn thửng nối trung điểm hai cạnh đối tứ giác lồi, nửa tổng hai cạnh cịn lại, tứ giác hình thang hình bình hành Bài tốn 5: Đa giác A1…An nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R; X điểm Chứng minh A1X2 + … + AnX2 = n(R2 + d 2) Trong d = OX Bài toán 6: Cho tứ giác ABCD điểm E trung điểm AB, K trung điểm CD Chứng minh trung điểm đoạn thẳng AK, CE, BK DE đỉnh hình bình hành Bài tốn 7: Đường trịn S tiếp xúc với cạnh AB BC tam giác cân ABC điểm P K, đồng thời tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh trung điểm đoạn PK tâm đường trịn nội tiếp ∆ABC Bài tốn 8: Cho tam giác ABC Mỗi cạnh chia làm ba phần Nối điểm chia với đỉnh đối diện cạnh ta sáu đường thẳng tạo nên hình lục giác Chứng minh đường chéo hình lục giác đồng quy điểm 53 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Q trình nghiên cứu khoa luận chúng tơi xác lập số mối liên hệ toán học cao cấp tốn học phổ thơng vấn đề tập hợp ánh xạ, không gian vectơ, không gian vectơ Ơclit, không gian afine, không gian Ơclit giải số dạng tập toán học phổ thông cách sử dụng mối liên hệ xác lập Nội dung đề tài chương chúng tơi trình bày cẩn thận cụ thể, chi tiết để thuận lợi cho việc vận dụng Với mong muốn giúp sinh viên tự nhìn nhận giải tốt tốn phổ thơng dựa vào kiến thức toán học cao cấp học đại học Đề tài cơng trình nghiên cứu khoa học đầu tay Mặt khác đề tài tiến hành thân người thực sinh viên sư phạm, chưa có nhiều kinh nghiệm khai thác dạng toán bậc học phổ thơng Do đó, nội dung đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót, thân cịn hạn chế mặt thời gian phạm vi nghiên cứu Ngồi mối liên hệ chúng tơi xác lập toán học cao cấp toán học phổ thơng cịn có nhiều mối liên hệ nhiều vấn đề nhiều dạng tốn sử dụng mối liên hệ để giải Thơng qua đề tài tơi nhận thấy phát triển tốn học khơng ngừng tốn học phổ thơng móng, sở để phát triển tốn học cao cấp Vì giáo viên phổ thơng tương lai, cố gắng rèn luyện nghiên cứu, học tập khơng ngừng để làm tốt nhiệm vụ nhằm tạo dựng cho em học sinh móng thật vững Do lực thân hạn chế thời gian nghiên cứu có hạn nên khóa luận chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận đóng góp q thầy, giáo bạn sinh viên để đề tài dần hồn thiện có hữu ích 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đào Tam, Giáo trình Hình học sơ cấp, NXB Đại học sư phạm, 2005 [2] Đào Tam – Mai Văn Tư - Hồ Quang Vinh, Phát triển lực định hướng giải toán cho học sinh lớp khiếu phổ thông qua việc khai thác tiềm tốn học phổ thơng tốn học đại, Vinh, 2000 [3] Hồng Xn Sính, Đại số đại cương, NXB Giáo dục, 1995 [4] Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), SGK Hình học 10, NXB Giáo dục, 2000 [5] Văn Như Cương - Tạ Mân, Hình học afine hình học ơclit, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [6] Văn Như Cương (chủ biên), SGK Hình học 11, NXB Giáo dục, 2000 [7] Văn Như Cương (chủ biên), SGK Hình học 12, NXB Giáo dục, 2000 [8] Vũ Tuấn (chủ biên), SGK Đại số 10, NXB Giáo dục Việt Nam, 2000 [9] V.V Praxolov, Các toán hình học phẳng, NXB Hải Phịng, 1996 [10] http:// www.ebook.edu.vn 55 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi LỜI CẢM ƠN Trước hết xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thạc sĩ Lê Thị Thu Hằng, giảng viên khoa Sư phạm Tự nhiên trường ĐH Hà Tĩnh, người bỏ nhiều cơng sức tận tình hướng dẫn tơi hồn thành khóa luận, người mà tơi xem gương phải noi theo nghiên cứu khoa học Tôi xin trân trọng cảm ơn q thầy tổ Tốn - khoa SP tự nhiên tận tình truyền thụ cho kiến thức, trang bị cho hành trang quan trọng để tự tin bước vào nghiệp trồng người Lời cảm ơn chân thành xin gửi đến bạn thân yêu lớp K3 SP Toán, người chia sẻ khó khăn vui buồn với tơi suốt bốn năm học Cuối xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Mẹ người động viên tơi nhiều q trình hồn thành khóa luận Hà Tĩnh, ngày tháng năm 2014 SINH VIÊN Nguyễn Thị Hải 56 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Những kết khóa luận chưa cơng bố hình thức Tơi hồn toàn chịu trách nhiêm trước nhà trường cam đoan Hà Tĩnh, ngày 22 tháng năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Hải 57 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương MỐI LIÊN HỆ GIỮA TOÁN HỌC CAO CẤP VÀ TOÁN HỌC PHỔ THÔNG ĐỐI VỚI LÝ THUYẾT TẬP HỢP, ÁNH XẠ 1.1 Lý thuyết tập hợp 1.2 Lý thuyết ánh xạ Chương MỐI LIÊN HỆ GIỮA THCC VÀ THPT ĐỐI VỚI KHÔNG GIAN VECTƠ, KHÔNG GIAN VECTƠ ƠCLIT, KHÔNG GIAN AFINE, KHÔNG GIAN ƠCLIT 15 2.1 Không gian vectơ 15 2.2 Không gian vectơ Ơclit 22 2.3 Không gian afine 27 2.4 Không gian Ơclit 32 Chương THỰC HÀNH GIẢI TỐN PHỔ THƠNG TRÊN CƠ SỞ SỬ DỤNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA TOÁN HỌC CAO CẤP VÀ TỐN HỌC PHỔ THƠNG 40 3.1 Dạng Sử dụng tương đương afine để giải toán 40 3.2 Dạng Sử dụng tích vơ hướng KGVT Ơclit để giải tốn 42 3.3 Dạng Sử dụng bất biến afine, Ơclit để giải toán 44 3.4 Dạng Sử dụng tập hợp, ánh xạ tập hợp hình học để giải tốn 47 3.5 Dạng Sử dụng hệ tọa độ để giải toán 48 3.6 Bài tập tương tự 52 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 58 ... tốn phổ thơng sở sử dụng mối liên hệ toán học cao cấp tốn học phổ thơng Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Chương MỐI LIÊN HỆ GIỮA TOÁN HỌC CAO CẤP VÀ TỐN HỌC PHỔ... trung học, sinh viên cần phải hiểu mối quan hệ tốn học cao cấp với tốn học phổ thơng để từ giúp cho sinh viên - người giáo viên tương lai tự tìm thấy khai thác khả vận dụng toán học cao cấp dạy học. .. đề tài gồm ba chương Chương 1: Mối liên hệ toán học cao cấp tốn học phổ thơng lý thuyết tập hợp, ánh xạ Chương 2: Mối liên hệ toán học cao cấp tốn học phổ thơng khơng gian vectơ, không gian vectơ