Đồ thị hàm số trùng phương cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi hàm số có 3 điểm cực trị sao cho 2 giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số trái dấu với nhau.. a Khảo sát sự [r]
(1)TÀI LI U THAM KH O OÂn thi THPT Quoác gia Môn Toán 2015 GV: Dương Phước Sang (2) (3) M CL C Phần 1: Hàm số và số bài toán có liên quan A Tóm tắt lý thuyết 1,2,3,11,14 B Bài tập minh hoạ C Bài tập rèn luyện 16 Phần 2: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit 23 A Tóm tắt lý thuyết 23, 26 B Bài tập minh hoạ 24 C Bài tập rèn luyện 29 Phần 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng 32 A Tóm tắt lý thuyết 32 B Bài tập minh hoạ 35 C Bài tập rèn luyện 41 Phần 4: Phương pháp toạ độ không gian 45 A Tóm tắt lý thuyết 45,46,47,53,54 B Bài tập minh hoạ 48 C Bài tập rèn luyện 58 Phần 5: Số phức 67 A Tóm tắt lý thuyết 67 B Bài tập minh hoạ 68 C Bài tập rèn luyện 71 Phần 6: Khối đa diện, khối tròn xoay 73 A Tóm tắt lý thuyết 73 B Bài tập minh hoạ 74 C Bài tập rèn luyện 80 Phần 7: Phương trình lượng giác 85 A Tóm tắt lý thuyết 85 B Bài tập minh hoạ 87 C Bài tập rèn luyện 90 (4) Phần 8: Tổ hợp – Xác suất & Nhị thức Newton 95 A Tóm tắt lý thuyết 95 B Bài tập minh hoạ 96 C Bài tập rèn luyện 100 Phần 9: Phương pháp toạ độ mặt phẳng 109 A Tóm tắt lý thuyết 109 B Bài tập minh hoạ 110 C Bài tập rèn luyện 113 Phần 10: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 127 A Tóm tắt lý thuyết 127 B Bài tập minh hoạ 128 C Bài tập rèn luyện 136 Phần 11: Bất đẳng thức, giá trị lớn & giá trị nhỏ 150 A Tóm tắt lý thuyết 150 B Bài tập minh hoạ 151 C Bài tập rèn luyện 155 Phụ lục: Phương pháp xét dấu biểu thức chứa biến 164 Phụ lục: Một số vấn đề tam thức bậc hai 165 Phụ lục: Một số vấn đề toạ độ mặt phẳng 167 Phụ lục: Bảng công thức đạo hàm 168 Phụ lục: Bảng công thức lượng giác 169 (5) KH O SÁT HÀM S §1 HÀM S VÀ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN B C BA VÀ HÀM S TRÙNG PH NG I Sơ đồ khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đa thức Hàm số bậc ba: y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) Hàm số trùng phương: y = ax + bx + c (a ≠ 0) Tập xác định : D = ℝ Tính lim y và lim y Dùng y ′′ tìm điểm uốn Tính y ′ Vẽ bảng biến thiên Lập bảng giá trị Cho y ′ = tìm x (nếu có) Nêu tính đơn điệu và cực trị Vẽ đồ thị và nêu nhận xét x →−∞ x →+∞ 1) Hình dáng đồ thị hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d Số nghiệm phương trình y ′ = a>0 y y ′ = có nghiệm phân biệt y x O O x Đồ thị hàm số luôn có điểm cực trị x Đồ thị hàm số luôn ĐB luôn NB y y y ′ = có nghiệm kép vô nghiệm Sự biến thiên và cực trị a<0 O x O Đồ thị hàm số bậc ba luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng 2) Hình dáng đồ thị hàm số trùng phương y = ax + bx + c Số nghiệm phương trình y ′ = a>0 a<0 y y y ′ = có nghiệm phân biệt x O O Đồ thị hàm số có điểm cực trị x y y y ′ = có nghiệm Cực trị x O O Đồ thị hàm số có điểm x cực trị Đồ thị hàm số trùng phương luôn nhận trục tung làm trục đối xứng Nếu đồ thị hàm số trùng phương có điểm cực trị thì chúng tạo thành đỉnh tam giác cân Th.S Dương Phước Sang 0942.080383 (6) II Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị Đưa phương trình F (x , m ) = dạng f (x ) = b(m ) (*) (C ) : y = f (x ) là đồ thị hàm số y = f (x ) đã vẽ Đặt d : y = b(m ) là đường thẳng nằm ngang qua A(0;b(m )) Kết quả: Phương trình (*) có nghiệm ⇔ (C ) và d có điểm chung ⇔ ⋯ Phương trình (*) có nghiệm ⇔ (C ) và d có điểm chung ⇔ ⋯ Phương trình (*) có nghiệm ⇔ (C ) và d có điểm chung ⇔ ⋯ III Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y y = f ′(x )(x − x ) + y (*) Một số cách xác định hệ số góc tiếp tuyến: y0 M0 Tiếp tuyến đồ thị (C ) : y = f (x ) x có hệ số góc k = f ′(x ) O Tiếp tuyến song song với △ : y = ax + b có hệ số góc k = a x0 x Tiếp tuyến vuông góc với △ : y = ax + b có hệ số góc k = − (a ≠ 0) a Tiếp tuyến tạo với trục hoành góc ϕ có hệ số góc k = ± tan ϕ Dạng (phương trình tiếp tuyến TẠI điểm) Đặc biệt lưu ý Xác định đủ ba giá trị x 0, y và f ′(x ) Dùng công thức (*) để viết phương trình tiếp tuyến Dạng (phương trình tiếp tuyến biết trước hệ số góc k ) Xác định hệ số góc k từ giả thiết bài toán Dùng công thức f ′(x ) = k để xác định x tìm y0 Tiếp tuyến đồ thị TẠI điểm khác hoàn toàn với tiếp tuyến đồ thị ĐI QUA điểm Dùng công thức (*) để viết phương trình tiếp tuyến Dạng (phương trình tiếp tuyến thoả điều kiện nào đó cho trước) Đặt x = a tính y = f (a ) và f ′(x ) = f ′(a ) Viết phương trình tiếp tuyến d (C ) M (a; f (a )) theo công thức y = f ′(a )(x − a ) + f (a ) Dùng điều kiện đề cho để xác định a Từ đó viết phương trình tiếp tuyến IV Điều kiện xác lập cực trị hàm số bậc ba và hàm số trùng phương Dấu hiệu nhận biết cực trị đạo hàm cấp hai f ′(x ) = ⇒ f (x ) đạt cực đại x f ′′(x ) < f ′(x ) = ⇒ f (x ) đạt cực trị x f ′′(x ) ≠ f ′(x ) = ⇒ f (x ) đạt cực tiểu x f ′′(x ) > f ′′(x ) = : phải vẽ bảng biến thiên Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (7) Sự tồn cực trị hàm số bậc ba và hàm số trùng phương Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d có cực trị ⇔ y ′ = có nghiệm phân biệt Nếu hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d có cực trị thì có cực đại và cực tiểu Hàm số trùng phương y = ax + bx + c có cực trị ⇔ y ′ = có nghiệm phân biệt Hàm số trùng phương y = ax + bx + c có cực trị ⇔ y ′ = có nghiệm V Sự tương giao đồ thị hàm số và đường thẳng Số giao điểm (C ) : y = f (x) và d : y = kx + b với số nghiệm phương trình f (x) = kx + b Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành điểm phân biệt và hàm số có điểm cực trị cho giá trị cực trị tương ứng trái dấu với Đồ thị hàm số trùng phương cắt trục hoành điểm phân biệt và hàm số có điểm cực trị cho giá trị cực đại và cực tiểu hàm số trái dấu với BÀI TẬP MINH HOẠ VỀ HÀM SỐ BẬC BA Ví dụ 1.1: Cho hàm số y = x − x + a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x − 6x + 8m = (1) Với giá trị nào m thì phương trình (1) có đúng nghiệm dương ? c) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) điểm trên (C ) có hoành độ – Bài giải Câu a: y = x − x + (1) Tập xác định : D = R Cho y ′ = ⇔ x − x = ⇔ x = x = Đạo hàm: y ′ = x − x Giới hạn: lim y = −∞ ; x →−∞ Bảng biến thiên: 2 lim y = +∞ Hàm số bậc ba x →+∞ x −∞ y′ + 0 – +∞ + +∞ y –∞ lim y = +∞ x →+∞ cùng dấu với hệ số a –1 Hàm số (1) đồng biến trên khoảng (–∞; 0) và (4;+∞) nghịch biến trên khoảng (0;4) Hàm số (1) đạt cực đại xCĐ = ⇒ yCĐ = ; đạt cực tiểu xCT = ⇒ yCT = – Th.S Dương Phước Sang 0942.080383 (8) y ′′ = x − Cho y ′′ = ⇔ x − = ⇔ x = ⇒ y = y 4 Điểm uốn đồ thị là I (2;1) Bảng giá trị: x –2 y –1 –1 Đồ thị hàm số (1) là đường cong nhận điểm -2 O -1 I (2;1) làm tâm đối xứng (như hình vẽ) x Câu b: Ta có (1) ⇔ x − 6x = −8m ⇔ x − x = −m ⇔ x − x + = − m 8 (C ) : y = x − x + Đặt thì số nghiệm (1) với số giao điểm (C ) và d d : y = − m (1) có đúng nghiệm ⇔ (C ) và d có đúng điểm chung y ⇔ −1 < − m < ⇔ < m < (1) có đúng nghiệm ⇔ (C ) và d có đúng điểm chung − m = −1 ⇔ ⇔ − m = m = m = 17 -2 -1 O x -1 (1) có đúng nghiệm ⇔ (C ) và d có đúng điểm chung − m < −1 ⇔ ⇔ − m > y=3-m m > m < Đặc biệt: (1) có đúng nghiệm dương ⇔ (C ) và d có đúng điểm chung bên phải Oy 3 −m ≥ ⇔ ⇔ − m = −1 m ≤ m = (lưu ý: phương trình có thể có nhiều nghiệm số nghiệm dương phải là nhất) Câu c: Với x = −2 ta có y = y(−2) = −1 và y ′(x ) = y ′(−2) = Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) điểm M (−2; −1) là y = (x + 2) − ⇔ y = x + 2 Ví dụ 1.2: Cho hàm số y = −x + 3x − 3x a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) song song với đường thẳng y = – 3x c) Tìm các giá trị k để đường thẳng y = kx – 2k – cắt (C ) điểm phân biệt d) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) biết tiếp tuyến đó qua gốc toạ độ O Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (9) Bài giải Câu a: y = −x + 3x − 3x Tập xác định: D = R Cho y ′ = ⇔ −3x + 6x − = ⇔ x = Đạo hàm: y ′ = −3x + 6x − Giới hạn: lim y = +∞ x →−∞ Bảng biến thiên: ; x −∞ y′ y lim y = −∞ y x →+∞ – +∞ +∞ – −1 O –∞ Hàm số (5) nghịch biến trên R và không đạt cực trị x -1 -2 y ′′ = ⇔ −6x + = ⇔ x = ⇒ y = −1 Điểm uốn : I(1;–1) Bảng giá trị: 0 x y −1 −2 Đồ thị hàm số là đường cong nhận điểm I(1;–1) làm tâm đối xứng (như hình vẽ) Câu b: Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = – 3x nên có hệ số góc k = y ′(x ) = −3 (trong đó x là hoành độ tiếp điểm) ⇔ −3x 02 + 6x − = −3 ⇔ 3x 02 − 6x = ⇔ x = x = Với x = thì y = Phương trình tiếp tuyến (C ) O(0;0) có phương trình y = −3(x − 0) + ⇔ y = −3x (song song với d) Với x = thì y = −2 Phương trình tiếp tuyến (C ) M(2;– 2) có phương trình y = −3(x − 2) − ⇔ y = −3x + (trùng với d) Như có tiếp tiếp song song với d là y = – 3x Câu c: Hoành độ giao điểm (nếu có) (C ) và ∆ : y = kx − 2k − là nghiệm phương trình −x + 3x − 3x = kx − 2k − ⇔ (x − 2)(−x + x − 1) = k (x − 2) x = (1) ⇔ (x − 2)(x − x + + k ) = ⇔ x − x + + k = (2) Đặt g(x ) = x − x + + k (C ) và ∆ cắt điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) có nghiệm x 1, x 2, x phân biệt ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác △g > −3 − 4k > ⇔ ⇔ ⇔ k ∈ (−∞; − ) \ {−3} g (2) ≠ + k ≠ Vậy với k ∈ (−∞; − ) \ {−3} thì (C ) và ∆ cắt điểm phân biệt Th.S Dương Phước Sang 0942.080383 (10) Câu d: Hàm số y = −x + 3x − 3x có đạo hàm y ′ = −3x + 6x − Giả sử x = a, đó y = −a + 3a − 3a và y ′(a ) = −3a + 6a − Phương trình tiếp tuyến d đồ thị hàm số x = a có dạng y = (−3a + 6a − 3)(x − a ) − a + 3a − 3a HàmChú số bậc ý ba Tiếp tuyến qua O khác với tiếp tuyến O Để tiếp tuyến trên qua gốc toạ độ O thì = (−3a + 6a − 3)(0 − a ) − a + 3a − 3a Giải phương trình trên ta các nghiệm: a = a = , từ đó ta có hai tiếp tuyến y = −3x và y = − x Ví dụ 1.3: Tìm các giá trị tham số m để hàm số sau đây đạt cực tiểu x = −2 y = x + (m − m + 2)x + (3m + 1)x − Bài giải x + (m − m + 2)x + (3m + 1)x − (1) Đạo hàm cấp một: y ′ = x + 2(m − m + 2)x + (3m + 1) ⇒ y ′(−2) = −m + 4m − Đạo hàm cấp hai: y ′′ = 2x + 2(m − m + 2) ⇒ y ′′(−2) = 2m − 2m y= Tập xác định : D = R Hàm số đạt cực đại x = −2 nên y ′(−2) = ⇔ −m + 4m − = ⇔ m = m = Với m = thì y ′′(−2) = 12 > ⇒ hàm số đạt cực tiểu x = −2 Với m = thì y ′′(−2) = (ta chưa khẳng định tồn cực trị hàm số) Ta có y ′ = x + 4x + = (x + 2)2 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ hàm số không đạt cực trị Vậy với m = thì hàm số đạt cực tiểu x = −2 Ví dụ 1.4: Cho hàm số y = (m + 1)x + 3mx + (3 − m )x − a) Tìm các giá trị m để hàm số có cực đại cực tiểu b) Với giá trị nào m thì hàm số có các điểm cực trị cùng dương c) Với giá trị nào m thì các điểm cực trị x 1, x thoả mãn x + x + x 1x + = Bài giải Câu a: Hàm số y = (m + 1)x + 3mx + (3 − m )x − có tập xác định D = R y ′ = 3(m + 1)x + 6mx + (3 − m ) y ′ = ⇔ 3(m + 1)x + 6mx + (3 − m ) = Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ phương trình y ′ = có hai nghiệm x1, x phân biệt 3(m + 1) ≠ ay ′ ≠ ⇔ ⇔ ⇔ m ∈ (−∞; 1− 13 ) ∪ (1+ 13 ; +∞) \ {−1} 4 12m − 6m − > △y′ ′ > Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (11) Câu b: Hàm số có các điểm cực trị cùng dương ⇔ y ′ = có hai nghiệm dương phân biệt 12m −6m −9>0 ′ m ∈ (−∞; 1− 13 ) ∪ ( 1+ 13 ; +∞) △ > y ′ 4 − m >0 ⇔ S > ⇔ m + ⇔ m ∈ (−1; 0) ⇔ m ∈ (−1; 1−4 13 ) −m m ∈ (−1; 3) P > >0 3(m + 1) Câu c: Theo kết giải câu a thì hàm số có các điểm cực trị x 1, x và m ∈ (−∞; 1− 13 ) ∪ (1+ 13 ; +∞) \ {−1} (*) Do x 1, x là hai nghiệm phương trình y ′ = nên theo định lý Viét ta có x1 + x = −6m 3(m + 1) Từ đó x + x + x 1x + = ⇔ − và x 1x = −m 3(m + 1) 6m 3−m + +3=0 3(m + 1) 3(m + 1) ⇔ −6m + − m + 9(m + 1) = ⇔ 12 + 2m = ⇔ m = −6 (thoả điều kiện (*)) Vậy m = – là giá trị tham số cần tìm Ví dụ 1.5: Cho hàm số y = x + 3mx + m + Tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số có các điểm cực trị A, B cho đường thẳng AB qua điểm C (1;0) Bài giải Hàm số y = x + 3mx + m + có tập xác định D = R y ′ = 3x + 6mx = 3x (x + 2m ) y ′ = ⇔ x = x = −2m Hàm số có điểm cực trị ⇔ phương trình y ′ = có nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ Các điểm cực trị đồ thị hàm số là A(0; m + 1) và B(−2m; 4m + m + 1) Với C(1;0) ta có AC = (1; −m − 1) và AB = (−2m; 4m ) , từ đó Đường thẳng AB qua điểm C ⇔ AB và AC cùng phương với ⇔ −2m 4m = ⇔ 2m + 2m = 4m ⇔ 2m(m − 1) = ⇔ m = m = ±1 −m − So với điều kiện m ≠ ta nhận m = ±1 là các giá trị tham số cần tìm Ví dụ 1.6: Tìm m để hàm số y = (m – 1)x – (m + 1)x + (m – 2)x + nghịch biến trên ℝ Bài giải Hàm số y = (m – 1)x – (m + 1)x + (m – 2)x + có tập xác định D = R Đạo hàm y ′ = 3(m − 1)x − 2(m + 1)x + (m − 2) có biệt thức △y′ ′ = −2m + 11m − Th.S Dương Phước Sang 0942.080383 (12) Hàm số nghịch biến trên ℝ ⇔ y ′ ≤ 0, ∀x ∈ ℝ (*) Ta cần xét trường hợp: Nếu m = thì y ′ ≤ ⇔ −4x − ≤ ⇔ x ≥ − (ta loại m = vì (*) không xảy ra) ay ′ < 3(m − 1) < Nếu m ≠ thì y ′ ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ ⇔ m ∈ (−∞; ] ⇔ 2 △′ ≤ −2m + 11m − ≤ y′ Vậy m ∈ (−∞; ] là các giá trị tham số cần tìm Ví dụ 1.7: Tìm điều kiện m để y = x − 3x + mx − 2m + nghịch biến trên khoảng (0 ; 3) Bài giải Hàm số nghịch biến trên khoảng ⇔ y ′ ≤ 0, ∀x ∈ (0; 3) ⇔ 3x − 6x + m ≤ 0, ∀x ∈ (0; 3) ⇔ m ≤ −3x + 6x , ∀x ∈ (0; 3) (*) Xét hàm số g(x ) = −3x + 6x với x ∈ (0; 3) , đó g ′(x ) = −6x + = ⇔ x = x −∞ (0 g ′(x ) g(x ) + 3) +∞ – Như vậy, Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;3) –9 ⇔ m ≤ g(x ), ∀x ∈ (0; 3) ⇔ m ≤ −9 Ví dụ 1.8: Tìm các giá trị m để đường thẳng d : y = – x + cắt đồ thị (C ) : y = x + mx + điểm phân biệt A(0;1), B, C cho tiếp tuyến (C ) B và C vuông góc với nhau? Bài giải Hoành độ giao điểm (nếu có) (C ) và d : y = – x + là nghiệm phương trình x + mx + = −x + ⇔ x (x + mx + 1) = ⇔ x = g(x ) = x + mx + = (C ) cắt d điểm phân biệt ⇔ g (x ) = có nghiệm phân biệt x 1, x khác m − > △g > ⇔ ⇔ ⇔ g (0) ≠ ≠ m < −2 (I) m > (với điều kiện đó ta có x 12 + mx1 + = và x 22 + mx + = ) Các điểm chung (C ) và d là A(0;1), B(x 1; −x + 1),C (x ; −x + 1) Tiếp tuyến (C ) B và C vuông góc với và y ′(x ).y ′(x ) = −1 ⇔ (3x12 + 2mx1 )(3x 22 + 2mx ) = −1 ⇔ (−mx − 3)(−mx − 3) = −1 ⇔ m 2x 1x + 3m(x1 + x ) + 10 = (*) Thay hệ thức Viét x + x = −m và x 1x = vào (*) ta giải m = ± (thỏa (I)) Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (13) BÀI TẬP MINH HOẠ VỀ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG Ví dụ 1.9: Cho hàm số y = x − 2mx + m − m (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số m = b) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) biết tiếp tuyến cắt trục hoành và trục tung theo thứ tự các điểm A và B cho OB = 24.OA c) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị tạo thành đỉnh tam giác vuông Bài giải Câu a: Với m = ta có hàm số y = x − 2x với tập xác định: D = R Cho y ′ = ⇔ 4x − 4x = ⇔ x = x = ±1 Đạo hàm: y ′ = 4x − 4x Giới hạn: lim y = +∞ Hàm số bậcphương ba Hàm số trùng x →±∞ Bảng biến thiên: x −∞ y′ – +∞ y –1 + 0 – +∞ lim y = +∞ + x →±∞ +∞ –1 cùng dấu với hệ số a –1 Hàm số đồng biến trên khoảng (–1;0), (1;+∞) và nghịch biến trên khoảng (–∞;–1), (0;1) y Hàm số đạt cực đại xCĐ = với yCĐ = − đạt cực tiểu xCT = ± với yCT = –1 Bảng giá trị: x y − –1 –1 0 –1 -1 O x -1 Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng (như hình vẽ) y Câu b: Gọi α là góc hợp tiếp tuyến và trục hoành B Khi đó tiếp tuyến có hệ số góc k = ± tan α = ± OB = ±24 OA ′ 4x − 4x = 24 y (x ) = 24 x0 = ⇔ ⇔ ⇔ 4x − 4x = −24 y ′(x ) = −24 x = −2 α A x O Giải tiếp ta tiếp tuyến thoả đề là y = 24x − 40 và y = −24x − 40 Câu c: Hàm số y = x − 2mx + m − m có tập xác định D = ℝ y ′ = 4x − 4mx = 4x (x − m ) Cho y ′ = ⇔ 4x(x − m) = ⇔ x = ∨ x = m Hàm số có điểm cực trị ⇔ phương trình y ′ = có nghiệm phân biệt ⇔ m > Khi đó, điểm cực trị đồ thị hàm số là: A(0;m2 – m), B(− m ; −m) , C ( m ; −m) Suy ra, AB = (− m ; − m 2) , AC = ( m ; − m 2) và AB = AC Từ đó để ∆ABC vuông thì AB.AC = Giải tiếp đối chiếu điều kiện ta nhận m = Th.S Dương Phước Sang 0942.080383 (14) Ví dụ 1.10: Cho hàm số y = mx − (m − 2)x + 2m − (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số m = b) Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt c) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị tạo thành đỉnh tam giác vuông Bài giải Câu a: Với m = ta có hàm số y = x + x − với tập xác định: D = R Cho y ′ = ⇔ 4x + 2x = ⇔ x = Đạo hàm: y ′ = 4x + 2x x −∞ y′ – +∞ y Bảng biến thiên: ( lim y = +∞) x →±∞ 0 +∞ y + +∞ –1 Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞), nghịch biến trên khoảng (–∞;0) Hàm số đạt cực tiểu xCT = với yCT = và không đạt cực đại Bảng giá trị: x y –1 0 O 1 -1 Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng (như hình vẽ bên đây) x -1 Câu b: Hoành độ giao điểm (C ) và trục hoành (nếu có) là nghiệm phương trình mx − (m − 2)x + 2m − = (1) Đặt t = x ≥ ta mt − (m − 2)t + 2m − = (2) (C ) cắt trục hoành điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm t1, t2 dương phân biệt △ > ⇔ S > ⇔ P > −7m + 8m + > ⇔ m ∈ ( 4−2 (m − 2)m > (2m − 3)m > Câu c: y = mx − (m − 2)x + 2m − ⇒ 11 ; 0) y ′ = 4mx − 2(m − 2)x = 2x 2mx − (m − 2) Cho y ′ = ⇔ x = 2mx − (m − 2) = Đặt g(x ) = 2mx − (m − 2) Hàm số có điểm cực trị ⇔ phương trình y ′ = có nghiệm phân biệt ⇔ phương trình g (x ) = có nghiệm phân biệt khác ∆g > ⇔ ⇔ g(0) ≠ Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 8m(m − 2) > ⇔ m ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞) −m + ≠ 10 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (15) §2 HÀM S NH T BI N I Sơ đồ khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số biến y= Tìm tập xác định D ax + b (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) cx + d Tính lim y và lim y x →−∞ Tính y ′ và xét dấu y ′ trên D Suy tính đơn điệu hàm số và khẳng định hàm Vẽ bảng biến thiên x →+∞ suy tiệm cận ngang Tính lim y và ( ) x → −d − ( ) x → −d c Lập bảng giá trị lim y + c suy tiệm cận đứng số không có cực trị Vẽ đồ thị và nêu nhận xét Hình dáng đồ thị hàm số biến y′ > y′ < y y O O x x Đồ thị hàm số biến luôn nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng II Sự đơn điệu hàm số biến trên khoảng ax + b đồng biến trên khoảng K ⊂ D ⇔ f ′(x ) > 0, ∀x ∈ K (không có dấu “=” ) cx + d ax + b Hàm số y = nghịch biến trên khoảng K ⊂ D ⇔ f ′(x ) < 0, ∀x ∈ K (không có dấu “=” ) cx + d Hàm số y = III Một số công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ( ) d M, ∆ = a.x M + b.yM + c a + b2 (với ∆ : ax + by + c = ) ( ) ( ) d M , ∆1 = x M − x d M , ∆2 = yM − y (với ∆1 : x = x ) (với ∆2 : y = y ) IV Một số dạng toán tương tự với dạng toán hàm số bậc ba Phương trình tiếp tuyến dạng 1, dạng 2, dạng (xem lại cách giải trình bày trang 2) Xét tương giao đồ thị hàm số với đường thẳng (xem lại trang 3) Th.S Dương Phước Sang 11 0942.080383 (16) BÀI TẬP MINH HOẠ VỀ HÀM SỐ NHẤT BIẾN Ví dụ 2.1: Cho hàm số y = 2x −1 và họ đường thẳng dm : y = m − 4x x −1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) biết tiếp tuyến tạo với Ox, Oy tam giác cân c) Tìm các giá trị m để đường thẳng dm cắt đồ thị (C ) điểm phân biệt Bài giải Câu a: y = 2x −1 (3) x −1 ax +b cx +d Tập xác định: D = R\{1} ′ = ad −cb (cx +d )2 −1 < 0, ∀x ≠ (x −1)2 Hàm số (3) nghịch biến trên khoảng (−∞;1) , (1; +∞) và không có cực trị Đạo hàm: y ′ = Tiệm cận đứng là ∆1 : x = , tiệm cận ngang là ∆2 : y = y Do lim y = −∞; lim y = +∞ và lim y = x →1− x →1+ Bảng biến thiên: x →±∞ x −∞ y′ Bảng giá trị: – – +∞ y +∞ –∞ x –1 y 1 2 3 -1 O x Đồ thị hàm số gồm nhánh nhận điểm I (1;2) làm tâm đối xứng (như hình vẽ) Câu b: Tiếp tuyến tạo với hai trục toạ độ tam giác cân nên tạo với trục Ox góc 45 Từ đó hệ số góc tiếp tuyến đó là k = ± tan 45 = ±1 ⇔ y ′(x ) = ±1 ⇔ −1 (x − 1) = ±1 ⇔ −1 (x − 1)2 = −1 ⇔ x = x = Đến đây giải tiếp ta tìm hai tiếp tuyến y = −x + và y = −x + Câu c: Hoành độ giao điểm (nếu có) (C ) và dm là nghiệm phương trình 2x − = m − 4x (điều kiện x ≠ ) x −1 ⇒ 2x − = (x − 1)(m − 4x ) ⇔ 4x − (m + 2)x + m − = Đặt g(x ) = 4x − (m + 2)x + m − dm cắt (C ) điểm phân biệt ⇔ phương trình g (x ) = có nghiệm phân biệt khác m − 12m + 20 > ∆g > ⇔ ⇔ ⇔ m ∈ (−∞;2) ∪ (10; +∞) g(1) ≠ ≠ : luôn đúng Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 12 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (17) x + m −1 có đồ thị là (C m ) x −m a) Tìm các giá trị m để đồ thị (C m ) hàm số cắt đường thẳng y = 2x – hai điểm Ví dụ 2.2: Cho hàm số y = M, N phân biệt cho tam giác OMN vuông O b) Tìm các giá trị m để tiếp tuyến (C m ) x = có hệ số góc đạt giá trị lớn Bài giải Câu a: Hoành độ giao điểm (nếu có) (C m ) và d : y = 2x − là nghiệm phương trình x + m −1 = 2x − (điều kiện x ≠ m ) x −m ⇒ x + m − = (x − m )(2x − 3) ⇔ 2x − 2(m + 2)x + 2m + = Đặt g(x ) = 2x − 2(m + 2)x + 2m + d cắt (C m ) điểm phân biệt ⇔ g (x ) = có nghiệm x 1, x phân biệt khác m m + > 0: luôn đúng ∆g′ > ⇔ ⇔ ⇔m≠ g(m ) ≠ − 2m + ≠ Đặt M (x 1;2x1 − 3), N (x ;2x − 3) ⇒ OM = (x1;2x − 3), ON = (x ;2x − 3) Tam giác OMN vuông O ⇔ OM ON = ⇔ x1x + (2x − 3)(2x − 3) = ⇔ 5x 1x − 6(x + x ) + = ⇔ Câu b: y = 2m + 1 − 6(m + 2) + = ⇔ m = − (nhận) 2 x + m −1 −2m + ⇒ y′ = x −m (x − m )2 Tiếp tuyến (C m ) có hệ số góc k = y ′(3) = Xét hàm số g (m ) = −2m + (3 − m )2 −2m + (3 − m )2 (điều kiện m ≠ 3) với m ≠ m = : loại Ta có g ′(m ) = Cho g ′(m ) = ⇒ 2m − 2m − 12 = ⇔ m = −2 (3 − m ) Giới hạn: lim g(m ) = và lim g(m ) = −∞ 2m − 2m − 12 m → 3± m →±∞ Bảng biến thiên: m −∞ g ′(m ) + −2 – + g (m ) −∞ −∞ Như hệ số góc k = g(m ) đạt giá trị lớn kmax = Th.S Dương Phước Sang +∞ 13 m = −2 0942.080383 (18) §3 Đ TH C A HÀM S CH A D U GIÁ TR TUY%T Đ I f (x ) neáu f (x ) ≥ f (x ) = −f (x ) neáu f (x ) < (C ) : y = f (x ) (C ) : y = f (x ) Giữ nguyên phần đồ thị (C ) nằm phía trên Ox Lấy đối xứng với phần còn lại (C ) qua Ox (C ) : y = u(x ) v(x ) y = f (|x |) là hàm số chẵn Giữ nguyên phần đồ thị nên có đồ thị nhận trục (C ) ứng với u(x ) ≥ tung làm trục đối xứng Lấy đối xứng với phần (C ) : y = f ( x ) còn lại (C ) qua Ox Giữ nguyên phần đồ thị u(x )v(x ) neáu u (x ) ≥ u (x ) v (x ) = −u (x )v (x ) neáu u (x ) < (C ) nằm bên phải Oy Lấy đối xứng với phần đã giữ lại đó qua Oy BÀI TẬP MINH HOẠ Ví dụ 3.1: Từ đồ thị hàm số y = x – 2x hình 1, hãy suy đồ thị hàm số y = |x – 2x 2| Hướng dẫn Đặt (C ) : y = x − 2x và (C ′) : y = x − 2x x − 2x Do x − 2x = −(x − 2x ) x − 2x ≥ x − 2x < nên Với x − 2x ≥ thì (C ) và (C ′) trùng Với x − 2x < thì (C ) và (C ′) đối xứng qua Ox Như dựa vào (C ) ta vẽ (C ′) hình đây y y Hình -1 O Hình − 2 x − -1 x -1 -1 Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia O 14 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (19) Ví dụ 3.2: Từ đồ thị hàm số y = 2x −1 (hình 3) hãy suy đồ thị hàm số y = 2x −1 x −1 x −1 Hướng dẫn Đặt (C ) : y = 2x −1 và (C ) : y = 2x −1 x −1 x −1 2x −1 2x − ≥ x −1 2x − = nên Do 2x −1 x −1 2x − < − x −1 Với x ≥ thì (C ) và (C ′) trùng Với x < thì (C ) và (C ′) đối xứng qua Ox Như dựa vào (C ) ta vẽ (C ′) hình đây y y y = 2x −1 y = 2x −1 x −1 x −1 Hình Hình 3 2 O O x -1 x -2 Ví dụ 3.3: Từ đồ thị (C ) : y = 2x − 9x + 12x − hãy vẽ đồ thị (C ′) : y = x − 9x + 12 x − Hướng dẫn Với x ≥ thì x − 9x + 12 x − = 2x − 9x + 12x − đó (C ′) ≡ (C ) x ≥ Ngoài y = x − 9x + 12 x − là hàm số chẵn nên (C ′) nhận Oy làm trục đối xứng Từ đó ta có đồ thị (C ′) hình đây (C ′) :y = 2|x |3 – 9x + 12|x | – (C ) : y = 2x – 9x + 12x – Hình y y 1 O O x -3 Th.S Dương Phước Sang Hình x -3 15 0942.080383 (20) Bài tập rèn luyện Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau đây: a) y = x + 6x + 9x + b) y = 4x − 18x + 24x − c) y = −4x + 3x + 1 d) y = − x + 2x − 3x 3 x + x − 2x + h) y = 4x − 12x + 9x − 1 x − 3x − i) y = (x + 1)2 (2 − x ) e) y = g) y = −x + 3x − 3x + 2 3 x + x − x− 3 f) y = j) y = − x + x − 2 k) y = m) y = x − 2x − n) y = −x + 4x − o) y = −4x + 8x − 1 p) y = − x + 2x + s) y = x − x + 4 v) y = x − 2x + x − x2 − 1 t) y = + 2x − x 2 2 w) y = x − x + 3 r) y = l) y = x +x +1 x + x2 − 2 u) y = x − x + 4 x) y = x − 3x + 2 q) y = Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau đây: a) y = 2x +2 x +3 b) y = 2x −4 x −4 e) y = 2−x x f) y = i) y = 2x +2 1−x j) y = c) y = 3−x x −1 d) y = x +3 g) y = 2x −1 2x +1 h) y = 2x +2 2x −1 + x −1 k) y = − 2x + x x +2 l) y = 2x −3 2x Cho hàm số y = x − 6x + 9x − a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số b) Tìm các giá trị m để phương trình x − 6x + 9x + − m = có nghiệm phân biệt c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) giao điểm (C ) với trục tung d) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x − Xác định tọa độ các giao điểm đồ thị (C ) với tiếp tuyến vừa tìm e) Tìm các giá trị k để đường thẳng y = kx – cắt đồ thị (C ) điểm phân biệt 1 Cho hàm số y = x + x − 2x − 3 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình 2x + 3x − 12x + 6m = (1) Khi nào phương trình (1) có đúng nghiệm dương (HD: ý → xét giao điểm bên phải Oy) c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) vuông góc với đường thẳng x + 4y − = d) Xác định tọa độ các điểm M thuộc đồ thị (C ) hàm số cho tiếp tuyến (C ) M qua A(–2;2) (HD: đặt x = a , viết pttt (C ) x = a cho tiếp tuyến qua A) Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 16 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (21) Cho hàm số y = (m − 1)x + 3(3m − 2)x + (9m − 7)x + a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số m = b) Biện luận theo a số nghiệm phương trình 2x − 9x + 9a = c) Tìm các giá trị a để phương trình 2x − 9x + 9a = có đúng nghiệm dương d) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) vuông góc với đường thẳng 3x + 4y + = e) Tìm các giá trị k để đường thẳng d : y = kx − 3k + cắt đồ thị (C ) điểm A,B,C phân biệt Với giá trị nào k thì các điểm A,B,C cùng nằm phía bên phải trục tung f) Tìm các giá trị m để hàm số có các điểm cực trị x1, x thoả mãn x 12 + x 22 − 4x 1x = m 9m Cho hàm số y = x − x + − 8 a) Tìm các giá trị tham số m để tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm trên đồ thị có hoành độ – song song với đường thẳng y = 5x (HD: biết x = −1 , viết pttt đồ thị hàm số dùng điều kiện song song hai đường thẳng để xác định giá trị m ) b) Tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số có các điểm cực trị A, B cho chúng cách khoảng (HD: ý → cho y ′ = tìm A, B cho AB = tìm m) c) Tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm d) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số m = e) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc 27 f) Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ tất các tiếp tuyến (C ) HD: tìm giá trị nhỏ hệ số góc tức là f ′(x ) , từ đó tìm hoành độ x g) Từ đồ thị (C ) hãy suy đồ thị hàm số y = x − x + Cho hàm số y = 2x – 3mx + (m – 1)x + (1), với m là tham số thực a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) hàm số m = 1, suy đồ thị hàm số y = 2x − 3x + b) Tìm điểm M thuộc (C ) cho tiếp tuyến (C ) M song song với d : y = 12x + c) Tìm các giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến trên toàn trục số d) Tìm m để đường thẳng y = −x + cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt Cho hàm số y = x – 2x + (1 – m)x + m (1) có đồ thị (C m ) Tìm các giá trị tham số m để a) Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;2) b) Hàm số có điểm cực trị nhỏ c) (C m ) cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x 2, x cho x 12 + x 22 + x 32 < Tìm các giá trị m để hàm số y = x − 3mx + (m − 1)x + đạt cực tiểu x = 10 Tìm các giá trị m để hàm số y = (m − m − 2)x + mx + 4x − đạt cực đại x = 11 Tìm các giá trị m để hàm số y = x − 2(m − 1)x + (2m − m + 2)x + m − có cực trị Khi nào các điểm cực trị x1, x thoả mãn hệ thức x + x + 4x1x = (HD: ý → dùng Viét) Th.S Dương Phước Sang 17 0942.080383 (22) 2 12 Cho hàm số y = x − mx − 2(3m − 1)x + Tìm các giá trị tham số m để hàm số có 3 cực đại, cực tiểu x1, x2 cho x1.x + 2(x + x ) = (HD: ý → dùng hệ thức Viét) 13 Tìm các giá trị tham số m để hàm số y = mx − 3(m + 1)x + 3(2m + 1)x − có các điểm cực trị x1, x thoả mãn hệ thức 3x 1x − 2(x1 + x ) = (HD: ý → dùng hệ thức Viét) 14 Cho điểm A(1;1) và hàm số y = x − 3mx + 4m Tìm các giá trị m để hàm số có cực trị Gọi B và C là các điểm cực trị đồ thị hàm số Tìm m để tam giác ABC vuông A 15 Cho điểm A(2;3) Tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + có hai điểm cực trị B và C cho tam giác ABC cân A 16 Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + m có hai điểm cực trị A, B cho a) A, B cách khoảng b) A, B nằm cùng phía so với trục hoành 17 Tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = 2x – 3(m + 1)x + 6mx có hai điểm cực trị A và B cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 18 Tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x – 3mx + 3m3 có hai điểm cực trị A và B cho tam giác OAB có diện tích 48 19 Tìm các giá trị m để hàm số y = – x + 3x + 3(m2 – 1)x – 3m2 – có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đồ thị hàm số cách gốc toạ độ O 20 Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị hàm số y = x − 3x + điểm A, B, C phân biệt cho BC = 2 đó A(2; 4) 21 Cho hàm số y = 4x − 6mx + Tìm m để đường thẳng d : y = – x + cắt đồ thị hàm số điểm A(0;1), B và C cho B và C đối xứng qua đường phân giác thứ 22 Tìm các giá trị m để trên đồ thị (C ) : y = mx + (m − 1)x + (3m − 4)x + có điểm M cho tiếp tuyến đồ thị M vuông góc với đường thẳng y = x + 2014 23 Tìm m để đường thẳng d qua điểm A(– 1; 0) với hệ số góc m cắt đồ thị (C ) hàm số y = x − 3x + ba điểm A, B, C cho tam giác OBC có diện tích 24 Cho hàm số y = x + 2mx + (3m − 1)x + có đồ thị (C m ) Gọi △ là tiếp tuyến (C m ) điểm có hoành độ Tìm các giá trị tham số m để △ qua gốc tọa độ O 25 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(2;2), cắt đồ thị (C ) : y = −x + 3x − hai điểm B, C khác A cho tiếp tuyến (C ) B và C có tích hệ số góc đạt giá trị nhỏ 26 Tìm m để đồ thị hàm số y = x + 3x + m có hai điểm cực trị A và B góc AOB = 1200 27 Tìm các giá trị m để hàm số y = (m + 2)x − 4(2m − 1)x + (6m − 3)x + m − có cực trị Với giá trị nào m các điểm cực trị hàm số cùng dấu với Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 18 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (23) mx − (1) với m là tham số x +1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số m = 28 Cho hàm số y = b) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) giao điểm (C ) với đường thẳng d : x + y – = c) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc d) Xác định tọa độ các điểm thuộc đồ thị (C ) cách đường thẳng y = 2x – khoảng e) Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = x – điểm phân biệt có hoành độ x 1, x thỏa mãn x 12 + x 22 + x + x = x −1 x −1 , từ đó vẽ y = x +1 x +1 b) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x – 29 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số y = c) Tìm các giá trị k để đường thẳng d : y = kx + k cắt đồ thị (C ) điểm phân biệt Với giá trị nào k thì các giao điểm (C ) và d có hoành độ dương? d) Xác định toạ độ các điểm M trên đồ thị (C ) cho M cách trục toạ độ e) Xác định tọa độ các điểm N thuộc đồ thị (C ) cho khoảng cách từ điểm N đến đường tiệm cận đứng (C ) gấp lần khoảng cách từ N đến đường tiệm cận ngang (C ) x −3 30 Cho hàm số y = có đồ thị (C ) và họ đường thẳng dk : y = kx + k 2−x a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số b) Tìm điểm M thuộc (C ) biết tiếp tuyến (C ) M song song với đường thẳng x + y + = c) Gọi d là tiếp tuyến đồ thị (C ) giao điểm (C ) với trục hoành Tính diện tích tam giác chắn tiếp tuyến d và hai đường tiệm cận đồ thị (C ) d) Tìm các giá trị k để đường thẳng dk cắt đồ thị (C ) điểm A, B phân biệt cho i) A và B nằm cùng phía cho với trục tung ii) A và B nằm cách trục hoành e) Xác định toạ độ các điểm M thuộc đồ thị (C ) biết khoảng cách từ điểm M đến trục hoành gấp lần khoảng cách từ điểm M đến trục tung f) Tìm tất các điểm trên đồ thị (C ) có tọa độ là các số nguyên x −4 x −4 31 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số y = , từ đó vẽ (C ′) : y = x −1 x −1 b) Xác định toạ độ các điểm M thuộc đồ thị (C ) cho khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng (C ) gấp ba lần khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận ngang (C ) c) Tìm các giá trị m để đường thẳng d : y = mx – m + cắt đồ thị (C ) điểm A, B phân biệt Với giá trị nào m thì tam giác OAB là tam giác vuông O d) Xác định tọa độ các điểm M thuộc đồ thị (C ) cho tiếp tuyến (C ) M cắt trục hoành điểm có hoành độ −8 Th.S Dương Phước Sang 19 0942.080383 (24) (m + 1)x − 2m − (1) với m là tham số thực và đường thẳng d : y = a – x x −m a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số ứng với m = 32 Cho hàm số y = c) Tìm các giá trị m để hàm số luôn đồng biến trên khoảng tập xác định hàm số d) Tìm các giá trị tham số m để tiếp tuyến đồ thị hàm số giao điểm đồ thị với trục hoành song song với đường thẳng y = 2x (Đáp số: m = 1) e) Tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số (1) và đường thẳng y = x – cắt hai điểm A, B phân biệt nằm khác phía so với trục hoành f) Xác định tọa độ điểm M trên đồ thị (C ) cho tổng khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận (C ) đạt giá trị nhỏ 2x − hai điểm x −1 phân biệt có hoành độ x 1, x thoả mãn x 12 + x 22 + x + x = (HD: ý → dùng hệ thức Viét) x −3 Tìm các giá trị k để đường thẳng d : y = kx + k cắt đồ thị (C ) : y = hai điểm 2−x phân biệt nằm cùng phía so với trục tung (HD: x và x cùng dấu, tức là ∆ > và P > ) x +2 Tìm toạ độ các điểm N thuộc đồ thị hàm số y = cho khoảng cách từ điểm N đến x −1 trục tung gấp đôi khoảng cách từ điểm N đến trục hoành (HD: x N = yN ) 2x − Tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = và đường thẳng y = x + m cắt x +1 hai điểm A, B cho chúng cách khoảng 2 x +3 Tìm các giá trị tham số m để đường thẳng d : y = 2x + 3m cắt đồ thị hàm số y = x +2 hai điểm A, B cho tam giác OAB vuông O 2x + Tìm các giá trị k để đường thẳng y = kx + 2k + cắt đồ thị hàm số y = điểm x +1 A, B phân biệt cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành 2x + Tìm các giá trị tham số m để đường thẳng y = –2x + m cắt đồ thị hàm số y = x +1 hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích 33 Tìm các giá trị m để đường thẳng y = mx + m + cắt đồ thị (C ) : y = 34 35 36 37 38 39 x +2 biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, 2x + trục tung các điểm A, B cho tam giác OAB cân O x +1 41 Tìm các giá trị tham số m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị (C ) : y = x −1 điểm A, B phân biệt cho tiếp tuyến (C ) các điểm A và B song song với 40 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 3x + biết tiếp tuyến cắt trục hoành và x +2 trục tung theo thứ tự hai điểm A, B phân biệt cho OA = 2OB x +3 và đường thẳng y = + m – x cắt 43 Tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x −2 hai điểm A,B phân biệt cho tam giác OAB có góc O là góc nhọn 42 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 20 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (25) 4 x − 4x + a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số 44 Cho hàm số y = b) Tìm các giá trị m để phương trình x − 3x + log m = có nghiệm phân biệt c) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) song song với đường thẳng d : y = 120x – 2015 d) Tìm các giá trị tham số a để phương trình sin x − sin2 x + a = có nghiệm 45 Cho hàm số y = −2x + 2mx − m + có đồ thị (C m ) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số ứng với m = b) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) vuông góc với đường thẳng x – 48y + 24 = c) Tìm các giá trị tham số m để đồ thị (C m ) cắt trục hoành điểm phân biệt d) Tìm các giá trị m để (C m ) có điểm cực trị tạo thành đỉnh tam giác vuông e) Tìm các giá trị a để phương trình 2x − 4x + = a có nghiệm lớn 46 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số y = −x − x + b) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x – 6y = c) Từ đồ thị (C ) hãy suy đồ thị (C ′) hàm số y = (x + 3) − x 47 Cho hàm số y = x − 2mx + 2m − (1) a) Tìm các giá trị m để hàm số (1) có ba điểm cực trị Với giá trị nào m thì các điểm cực trị A, B, C đồ thị hàm số (1) lập thành đỉnh tam giác có diện tích b) Tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt Với giá trị nào m thì điểm phân biệt đó có ba điểm có hoành độ nhỏ c) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số m = d) Xác định toạ độ điểm M trên đồ thị (C ) cho M có toạ độ nguyên đồng thời tiếp tuyến đồ thị (C ) M cắt trục hoành và trục tung các điểm A, B với OB = 4OA e) Tìm các giá trị tham số a để phương trình x − 4x + = a có nghiệm f) Gọi B và C là các điểm cực tiểu đồ thị (C ) Xác định tọa độ các điểm M thuộc (C ) cho tam giác MAB vuông M 48 Tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x – 2mx + có ba điểm cực trị A, B, C cho tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trực tâm 49 Tìm các giá trị tham số m để hàm số y = (m – 1)x – 2(m2 – 2)x + a) Có điểm cực trị b) có điểm cực đại 50 Tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x – 2(m + 1)x + m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông Th.S Dương Phước Sang 21 0942.080383 (26) 51 Tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x – 2(m + 1)x + m có điểm cực trị A, B, C cho OA = BC ; đó A là điểm thuộc trục tung 52 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 4x b) Tìm điều kiện tham số m để phương trình x 2|2 – x 2| = m có đúng nghiệm ? 53 Tìm các giá trị m để đường thẳng y = –1 cắt đồ thị hàm số y = x – (3m + 2)x + 3m bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ 54 Tìm các giá trị m để hàm số y = mx + (m2 – 9)x + 10 (1) có điểm cực trị 55 Tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + 2m − có điểm cực trị tạo thành đỉnh tam giác có diện tích 56 Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số y = x − 2(1 − m )x + m + có điểm cực trị tạo thành đỉnh tam giác có diện tích đạt giá trị lớn 57 Tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x − mx + m − cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn −2 58 Tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + có ba điểm cực trị A, B, C cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua điểm D( ; ) 59 Xác định toạ độ điểm A thuộc đồ thị (C ) hàm số y = 5 x4 − 3x + tiếp tuyến đồ thị (C ) A cắt (C ) hai điểm B, C phân biệt khác A cho AC = 3AB (trong đó B là điểm nằm hai điểm A và C ) 60 Tìm m để đồ thị hàm số y = x − (3m + 1)x + 2(m + 1) có điểm cực trị tạo thành đỉnh tam giác nhận O làm trọng tâm 61 Tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2(m − m + 1)x + m − có điểm cực tiểu và khoảng cách chúng ngắn 62 Tìm các giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + m − m có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác tù với góc lớn 120 63 Cho hàm số y = x − x + có đồ thị là (C ) Gọi △ là đường thẳng qua điểm cực đại đồ thị (C ) đồng thời có hệ số góc k Tìm các giá trị hệ số góc k để tổng khoảng cách từ các điểm cực tiểu (C ) đến △ đạt giá trị nhỏ 64 Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số y = x − 3(m + 1)x + 9m + 3m cắt đường thẳng y = 7m bốn điểm A, B, C, D phân biệt cho AB = BC = CD 65 Với giá trị nào tham số m thì đồ thị hàm số y = x – (m + 4)x + cắt trục hoành bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 22 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (27) PH NG TRÌNH, B T PH §1 PH NG TRÌNH M NG TRÌNH, B T PH & LÔGARIT NG TRÌNH M I Các tính chất luỹ thừa: Với các số a > và b > ta có (a m ) = a m.n n a m a n = a m +n am an =a m −n an =a (a.b )n = a n b n n n −n n b a = a b −n m am = a n an a = n b b II Phương trình, bất phương trình mũ bản: với số a > và số b > ta có a f (x ) = b ⇔ f (x ) = loga b a ≠1 a>1 a f (x ) < b ⇔ f (x ) < loga b a f (x ) > b ⇔ f (x ) > loga b a<1 a f (x ) < b ⇔ x > loga b a f (x ) > b ⇔ f (x ) < loga b III Công thức giải đã cùng số a ≠1 a f (x ) = a g (x ) ⇔ f (x ) = g (x ) a>1 a f (x ) < a g (x ) ⇔ f (x ) < g (x ) a f (x ) > a g (x ) ⇔ f (x ) > g (x ) a<1 a f (x ) < a g (x ) ⇔ f (x ) > g (x ) a f (x ) > a g (x ) ⇔ f (x ) < g (x ) IV Một số trường hợp có thể đặt ẩn phụ Dạng phương trình Phương pháp giải m.a 2.f (x ) + n.a f (x ) + p = đặt t = a f (x ) thì a f (x ) = t 2 m.a f (x ) + n.a −f (x ) + p = đặt t = a f (x ) thì a −f (x ) = m.a f (x ) + n.b f (x ) + p = với ab = m (a ) f (x ) + n (ab ) f (x ) + p (b ) f (x ) đặt t = a f (x ) thì b f (x ) = =0 t (do ab = 1) t chia vế phương trình cho b f (x ) m.a f (x ) + n.a g (x ) + p.a h (x ) = chia vế phương trình cho a h(x ) (trong đó f (x ) + h(x ) = 2.g(x ) ) V Công thức lôgarit hoá phương trình mũ a f (x ) = b g (x ) ⇔ loga a f (x ) = loga b g (x ) ⇔ f (x ) = g(x ) loga b Th.S Dương Phước Sang 23 0942.080383 (28) BÀI TẬP MINH HOẠ Ví dụ 1.1: Giải các phương trình và bất phương trình sau đây: 2 a) 8x −2x +2 = 4x +x +1 b) ( + 2)x −4x < ( − 2)6−x c) 9x − 2.32x −1 + 3x −1.3x +2 = 15 d) 5x +2 − 5.2x +1 ≥ 2.5x +1 − 2x +3 Bài giải 2 2 Câu a: 8x −2x +2 = 4x +x +1 ⇔ 23(x −2x +2) = 22(x +x +1) ⇔ 3(x − 2x + 2) = 2(x + x + 1) ⇔ 3x − 8x − 2x + = ⇔ (3x − 2)(x − 2x − 2) = ⇔ x = x = ± Vậy phương trình có các nghiệm x = và x = ± 3 Câu b: Ta có ( + 2)x −4x < ( − 2)6−x ⇔ ( + 2)x −4x < ( + 2)x −6 ⇔ x − 4x < x − ⇔ x − 5x + < ⇔ x ∈ (2; 3) Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (2; 3) 32x 3x + 3x = 15 3 x x x x x 10 ⇔ − + 3.9 = 15 ⇔ (1 − + ) = 15 ⇔ = 15 ⇔ 9x = 3 Vậy bất phương trình có nghiệm x = log9 ( ) Câu c: Ta có 9x − 2.32x −1 + 3x −1.3x +2 = 15 ⇔ 9x − ⇔ x = log9 ( ) 2 Câu d: Ta có 5x +2 − 5.2x +1 ≥ 2.5x +1 − 2x +3 ⇔ 25.5x − 10.2x ≥ 10.5x − 8.2x ⇔ 25.5x − 10.5x ≥ 10.2x − 8.2x ⇔ 15.5x ≥ 2.2x ⇔ ( ) ≥ x Vậy bất phương trình có nghiệm x ≥ log 2 ( ) 15 ⇔ x ≥ log ( 152 ) 15 Ví dụ 1.2: Giải các phương trình và bất phương trình sau đây: a) 25x + 23.5x − 50 = b) 21+x + 22−x − = c) (2 + 3)x + (2 − 3)x = d) 3.16x + 2.81x = 5.36x e) 3.32x − 8.3x − ≤ f ) 7x − 2.71−x + > Hướng dẫn giải và đáp số Câu a: Ta có 25x + 23.5x − 50 = ⇔ 52x + 23.5x − 50 = t = −25 < (loại) Đặt t = (t > 0), phương trình trở thành t + 23t − 50 = ⇔ t = (thoả t > 0) x Với t = thì = ⇔ x = log5 x Vậy phương trình có tập nghiệm S = {log5 2} −6 = Câu b: Ta có 21+x + 22−x − = ⇔ 2.2x + x Hướng dẫn: đặt t = 2x (t > 0) Đáp số: x = x = Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 24 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (29) Câu c: Ta có (2 + 3)x + (2 − 3)x = ⇔ (2 + 3)x + Hướng dẫn: đặt t = (2 + 3)x (t > 0) (2 + 3)x =4 (do (2 + Đáp số: x = x = – x x 2x x 16 81 36 9 ⇔ Câu d: Ta có 3.16 + 2.81 = 5.36 ⇔ + = 4 16 16 16 x x x x ) 3)(2 − 3) = x 9 − + = x 9 9 ⇔ = = ⇔ x = x = 4 Câu e: Xét 3.32x − 8.3x − ≤ Đặt t = 3x (t > 0) bất phương trình trở thành 3t − 8t − ≤ ⇔ − ≤ t ≤ 3 So với điều kiện t > ta nhận < t ≤ , đó 3x ≤ ⇔ x ≤ Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞;1] Câu f: Ta có 7x − 2.71−x + > ⇔ 7x − 7x +5>0 Đáp số: S = (log7 2; +∞) Hướng dẫn: đặt t = 7x (t > 0) Ví dụ 1.3: Giải các phương trình và bất phương trình sau đây: x +x −1 a) x +x −2 + > 10.3 b) tan2 x + cos x 2 c) 4sin x + 2cos x = + −3 = Bài giải 2 2 Câu a: Ta có 9x +x −1 + > 10.3x +x −2 ⇔ 9.9x +x −2 − 10.3x +x −2 + > 2 2 ⇔ 9.32(x +x −2) − 10.3x +x −2 + > ⇔ 3x +x −2 > 3x +x −2 < ⇔ x + x − > x + x − < −2 ⇔ x ∈ (−∞; −2) ∪ (−1; 0) ∪ (1; +∞) Câu b: Ta có tan2 x tan2 x ⇔2 2 + cos x − = ⇔ tan x + 21+ tan x − = + 2.2 tan2 x tan2 x =1 2 −3 = ⇔ ⇔ tan2 x = ⇔ x = k π (k ∈ ℤ) 2tan x = −3 : ptvn 2 2 Câu c: 4sin x + 2cos x = + ⇔ 22 sin x + 21−sin x = + ⇔ 22 sin x + 2 Đặt t = 2sin x (1 ≤ t ≤ 2) phương trình trở thành t + = + t 2sin x =2+ ⇔ t − (2 + 2)t + = ⇔ (t − 2)(t + 2t − 2) = (*) Do t ≥ nên t + 2t − ≥ , từ đó (*) ⇔ t = ⇔ 2sin x = ⇔ sin2 x = ⇔ cos 2x = ⇔ 2x = π + k π ⇔ x = π + k π (k ∈ ℤ) Th.S Dương Phước Sang 25 0942.080383 (30) §2 PH NG TRÌNH, B T PH NG TRÌNH LÔGARIT I Các định nghĩa và tính chất lôgarit Với số < a ≠ ta định nghĩa a x = b ⇔ x = loga b Với số < a ≠ ta có các tính chất sau đây log b = lg b = log10 b (b > 0) log n (n ≠ 0, b > 0) ln b = loge b loga (m n ) = loga m + loga n (m,n > 0) loga = loga m = loga m − loga n (m,n > 0) loga a = loga b = loga (a α ) = α loga b = loga (b α ) = α.loga b (b > 0) loga b = loga c logc b log a a α a (b > 0) n (b m ) = m ⋅ loga b ( ) n logb c logc b (0 < c ≠ 1, b > 0) logc a (0 < b ≠ 1) logb a (0 < c ≠ 1, b > 0) logb a b = ⋅ loga b (b > 0) a =b loga x logb y = loga y.logb x loga b α (b > 0) ( ) loga f (x ) Đặc biệt: 2n =c = 2n loga f (x ) 2n ( (0 < b ≠ 1, c > 0) ) loga f (x ) 2n (0 < b ≠ 1) = loga f (x ) II Phương trình, bất phương trình lôgarit bản: xét < a ≠ loga f (x ) = b ⇔ f (x ) = ab a≠1 a>1 loga f (x ) < b ⇔ < f (x ) < ab a<1 loga f (x ) < b ⇔ f (x ) > ab loga f (x ) > b ⇔ f (x ) > ab loga f (x ) > b ⇔ < f (x ) < ab III Công thức giải đã cùng số: xét < a ≠ a≠1 f (x ) = g(x ) loga f (x ) = loga g(x ) ⇔ f (x ) > g(x ) > (tuỳ bài mà chọn) a>1 f (x ) < g(x ) loga f (x ) < loga g (x ) ⇔ f (x ) > f (x ) > g(x ) loga f (x ) > loga g(x ) ⇔ g(x ) > a<1 f (x ) > g(x ) loga f (x ) < loga g (x ) ⇔ g(x ) > f (x ) < g(x ) loga f (x ) > loga g(x ) ⇔ f (x ) > Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 26 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (31) BÀI TẬP MINH HOẠ Ví dụ 2.1: Giải các phương trình và bất phương trình sau đây: a) log23 x + log c) log x −2 = b) log2 x + logx ≤ x + − log0,5 (3 − x ) = log8 (x − 1)3 e) log (x − 2x + 1) = log2 (2 − x ) − x ≥0 x −1 d) log5 (x + 1) + log 0,2 f) log (x − 2) + log7 (x − 4)2 < Hướng dẫn giải và đáp số Câu a: Với điều kiện x > ta có log23 x + log x − = ⇔ log23 x + log3 x − = (1) Đặt t = log3 x thì phương trình (1) trở thành 4t + 2t − = ⇔ t = −1 t = Với t = −1 thì log3 x = −1 ⇔ x = Với t = thì log x = ⇔ x = 3 2 So với điều kiện x > ta nhận hết các nghiệm nêu trên Câu b: Với < x ≠ ta có log2 x + logx ≤ ⇔ log2 x + logx ≤ t <0 2 t − 3t + ≤ ⇔ t + ≤ (với t = log2 x ) ⇔ ≤ ⇔ log2 x t t ≤ t ≤ Thay t = log2 x vào giải tiếp đối chiếu với điều kiện < x ≠ ta nhận x ∈ (0;1) ∪ [2; 4] ⇔ log2 x + Câu c: log x + > x + > x < x + − log0,5 (3 − x ) = log8 (x − 1)3 (3) ĐK: − x > ⇔ − x > ⇔ x > x − > (x − 1) > Ta có (3) ⇔ log2 (x + 1) + log2 (3 − x ) = log2 (x − 1) ⇔ log2 (x + 1)(3 − x ) = log2 (x − 1) ⇔ (x + 1)(3 − x ) = x − ⇔ x − x − = ⇔ x = 1± 17 So với điều kiện < x < ta nhận x = 1+ 17 làm nghiệm phương trình x + > Điều kiện : x ⇔ x ∈ (−1; 0) ∪ (1; +∞) > x − x x x2 − x −1 Bất phương trình (4) ⇔ log5 (x + 1) ≥ log5 ⇔ x +1≥ ⇔ ≥0 x −1 x −1 x −1 x Câu d: log5 (x + 1) + log 0,2 ≥ (4) x −1 Giải bất phương trình trên kết hợp với điều kiện ta nhận x ∈ [ 1− ; 0) ∪ [ 1+ ; +∞) x − 2x + > x ≠ Câu e: log (x − 2x + 1) = log2 (2 − x ) − (5) Điều kiện : ⇔ − x > x < 2 Khi đó (5) ⇔ log2 (x − 1)2 + = log(2 − x ) ⇔ log2 (2 x − ) = log2 (2 − x ) 2(x − 1) = − x x = ⇔ x −1 = −x ⇔ ⇔ 2(x − 1) = x − x = So với điều kiện ≠ x < ta nhận hai nghiệm x = Th.S Dương Phước Sang 27 và x = 0942.080383 (32) Ví dụ 2.2: Giải các phương trình và bất phương trình sau đây: a) log2 (x + c) log5x log x b) log3 (3x − 1) log3 (3x +1 − 3) ≥ ) = log6 x + + log25 x < x d) log3x +2 (1 − x ) + log 3x +2 (1 − x ) ≤ e) log 3x +7 (9 + 12x + 4x ) + log2x + (21 + 23x + 6x ) = Hướng dẫn giải và đáp số Câu a: Ta có log2 (x + log x log6 x ) = log6 x + ⇔ log2 (x + ) = log6 x + Đặt t = log6 x ⇔ x = 6t Thay vào phương trình ta log2 (6t + 32t ) = 2t + ⇔ 6t + 32t = 22t +1 ⇔ 6t + 9t = 2.4t Hướng dẫn: chia vế phương trình cho 4t Đáp số: x = Câu b: Ta có log3 (3x − 1).log3 (3x +1 − 3) ≥ ⇔ log3 (3x − 1).log3 3(3x − 1) ≥ ⇔ log3 (3x − 1) + log3 (3x − 1) ≥ ⇔ log23 (3x − 1) + log (3x − 1) − ≥ Đáp số: x ∈ (0; log3 10 ] ∪ [log3 4; +∞) Hướng dẫn: đặt t = log3 (3x − 1) Câu c: Với điều kiện < x ≠ ta có log5x log5 − log5 x x + log2 x < ⇔ + log5 x < ⇔ + log25 x < log5 (5x ) + log5 x x Hướng dẫn: đặt t = log5 x Đáp số: x ∈ ( ; ) ∪ (1; 5) 25 Câu d: log3x +2 (1 − x ) + log 3x +2 (1 − x ) ≤ (4) Điều kiện : x ∈ (− 23 ;1) \ {− 13 } Khi đó (4) ⇔ log 3x +2 (1 − x )(1 − x ) ≤ ⇔ log 3x +2 (x − x − x + 1) ≤ (6') Hướng dẫn: xét trường hợp theo số 3x + Giải trường hợp 3x + > ta x ∈ (−∞; 1− Giải trường hợp 3x + < ta x ∈ [ 1− 5 ] ∪ [0; 1+ ; 0] ∪ [ 1+ 5 ] ; +∞) Kết hợp với điều kiện x ∈ (− 23 ;1) \ {− 13 } ta nhận x ∈ [ 1− ; − ) ∪ [0;1) < 2x + ≠ Câu e: log2x + (21 + 23x + 6x ) + log 3x +7 (9 + 12x + 4x ) = (5) Điều kiện < 3x + ≠ Khi đó (5) ⇔ log2x + (2x + 3)(3x + 7) + log3x +7 (2x + 3)2 = ⇔ log2x +3 (3x + 7) + Hướng dẫn: đặt t = log2x + (3x + 7) Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 28 −3 = log2x + (3x + 7) Đáp số: x = − Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (33) Bài tập rèn luyện Giải các phương trình và bất phương trình sau đây: 1) 25x + 23.5x − 50 = 2) 32x −1 − 3x −1 − = 3) 36x − 3x +1.2x − = 4) 5.9x − 33−x 9x −1 = 14 5) 4x +1 + 2x +4 < 2x +2 + 16 6) 23x +1 − 7.22x + 7.2x < 7) 2.7x + 71−x − = 8) 22−x − 2x +1 + = 9) 32x − 2.31−2x + = 10) 32+x + 32−x = 30 11) 52x +2 − 51−2x + 20 > 12) 9x + 3.22−2x < 3x 23−x 13) 3.4x − 2.6x = 9x 14) 6.9x − 13.6x + 6.4x = 15) 27x + 12x = 2.8x 16) 4.3x − 9.2x = 6x 17) 2x −1(2x + 3x −1 ) ≥ 9x −1 18) 32x +4 + 45.6x < 9.22x +2 17) 5x +1 − 3.5x −1 = 550 18) 4.3x +2 + 5.3x = 40 + 7.3x +1 19) 52x + 17.7x = 52x 17 + 7x 20) 2x −1 − 3x < 2x + 3x −1 − 2x +2 1 21) 2.5x − 4x +1 − 5x +1 − 4x > 22) (2 + 3)x + (2 − 3)x = 14 23) ( + 3)x + ( − 3)x = 24) (5 + 24)x + (5 − 24)x = 10 25) ( + 5)x + ( − 5)x = 26) (7 − 3)x − 3(2 − 3)x + ≤ 27) (7 − 3)x − 3(2 + 3)x + < Giải các phương trình và bất phương trình lôgarit sau: (đưa cùng số giải nhé!) 1) log2 x + log4 x − log8 x − = 2) log23 x + log9 x + log27 x − = 3) log25 x + log0,2 x − log 4) log22 x − log x + log x − = 5) log23 x + log x +3=0 x − log 3x − = 6) log22 x − log 7) log22 x + log0,5 (2x ) + > 9) x + log2 2x + = 8) log22 x − log (2x ) − log0,5 x ≤ = 3− − log x + log x 10) 11) log22 (2 − x ) − log (2 − x ) − = + =1 + log x − log x 12) log22 (x + 1) + log 13) log3 (x + 3) + log3 (x − 1) = 15) log5 (x − 1)(x + 4) + log5 2 x +1 +2 > 14) log2 (2x − 3) + log2 (x − 1) < x −1 =2 x +4 16) log(x + 2x − 3) + log x +3 <0 x −1 17) log6 (x + x ) + log6 (2x − 1) = log6 (2x + 2) 18) log7 (x + 3) = log7 (7x − x ) − log7 (x − 1) 19) log(x − 2) + log(x − 3) + log = 20) log2 (x − 1) + log2 (x + 3) = log2 10 − 21) log5 (1 − x ) + log5 (x + 3) + ≤ log5 10 22) log4 (x + 3) − log4 (x − 1) ≥ − log4 23) log(x − 9) + log 2x − = 24) log9 (x + 8) − log3 (x + 26) + = 25) log2 (x − 2) − log 0,125 3x − > 26) log3 (x + 2x ) < + log (x − 2) Th.S Dương Phước Sang 29 0942.080383 (34) Giải các phương trình và bất phương trình lôgarit sau: (đưa cùng số giải nhé!) 1) log5 x − logx 125 − = 2) log9 x + logx = 3) logx log2x = log4x 4) logx + log 5) log2 (3x − 1) + logx + > + log2 (x + 1) 7) log (x + 3) + log (x − 1)4 = log 6) log4 (x − 1) + 26 = + + log3 x log3 3x − 13) log x + 12 x ≥ log2 x (x + 2) + log2 x +2 15) log2 (4x + 15.2x + 27) ≥ log0,5 17) log3 (8.6x − 4x +1 ) < 2x + 10.log x > log2x +1 8) log (x − 3)2 + = log 4x 9) + log(x − 1)2 − log(x + 1) > log(1 − x ) 11) = + log2 x + 2 − x + log x 10) log(x + 3) − log(x − 2) < log(0, 4) 12) + −3 > log2 2x log2 x 14) 1 log (x + 3) + log9 (x − 1)8 = log 9x 16) log3 + log x (x − 2) = 4.2 −3 x ( ) 18) log + x − x − < Giải các phương trình và bất phương trình lôgarit sau: 1) 9x −2x 3) 4x − 7) + 2.3x x −5 log3 x −2x −3 = − 12.2x −1− − 5.2 log3 x x −5 2) 7.22(x +8=0 −1 15) 2sin x +4 ≤0 8) 2 x 12) 2x 25) 27) 32x x − 13.6 +6x −9 x + 6.4 + 4.15x x −1 − 6.2 < 51+ log9 x −x x −1 +5 x −1 +8= − 22+x −x − = 2 =6 16) 4cos 2x + 4cos 19) (2 + 3)cot x + (2 − 3)cot x = 14 x 6.9 log3 x − 40.2x + 12 = 10) x +2 − 4− x − 64 < − 2.54−x − 123 = + 4.2cos +1) 4) + 25 9) x − 51− x + = 11) 5x =3 20) (7 + 3)sin x + (7 − 3)sin x = 26) 4log x +1 − 6log x = 2.3log x +2 =0 + 3x −5 x = 3.52x 4 28) 8.3 x + x + 91+ x = x +6x −9 29) 3(1 + 5)x − ( − 1)x = 2x +1 30) (3 + 5)x + (3 − 5)x − 7.2x = 31) (5 − 21)x + 7(5 + 21)x > 2x +3 32) (3 + 5)x + 16(3 − 5)x ≤ 2x +3 +1 33) 32x 35) 22 x + −x − 28.3x − 5.2 +x + 91+x = x + +1 34) 22x + 2x +4 > 36) 37) 3.2x + x + 41+ x − 4x > Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia +1 x +4 − 9.2x +x − 8.3x + + 22x +2 = x +4 − 9x +1 ≤ 38) 4x + 4−x + 2x + 2−x = 10 30 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (35) Giải các phương trình và bất phương trình sau đây: x −1 1) 4x − x +1 + 22x −1 − 3 2) 42x + x +2 + 2x = 42+ x +2 + 2x +4x −4 ≥0 3) ( − 1)x + ( + 1)x − 2 = 5) 2x +x − 4.2x −x 4) 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = − 22x + = 6) 22x −5x +2 + 4x − 8x + = + 26x −13x +5 7) log2 x + log (1 − x ) = 12 log (x − x + 2) 8) log2 (8 − x ) + log 0,5 ( + x + − x ) = 2 9) log2x −1(2x + x − 1) + logx +1(2x − 1)2 = 11) log2 (4x + 15.2x + 27) + log2 13) log 4.2 − x =0 10) logx + (3 − x − 2x + 1) − = 12) log0,7 log6 x +x x +4 < ( ) x + x + = log2 ( 5x + + 3x + 2) 14) (log2 x − 2) x log (x + 1) − = 15) log5 (4x + 144) − log5 < + log5 (2x −2 + 1) 16) log5 (13x − 4x − 5) = log25 (3x + 1) ( ) 17) log2 (x − x − 1) + log2 (x + x − 1) = 18) logx log (9x − 72) ≤ 19) logx (cos x − sin x ) = logx (cos x + cos 2x ) 20) logx (5x − 18x + 16) ≤ 21) log2x 64 + log 16 − = 22) logx + log4x − 12 log16x = x 23) log 3 x3 log2 x − log = + log2 x x 24) log2x x − 14 log16x x + 40 log4x x = 25) log2 x (x − 1)2 + log2 x log2 (x − x ) − = 26) log22 x − log2 x log 3x + log x = 27) logx (4x − 4x + 1) − log1−2x (x − 2x ) = 28) log (3x − 1) < x 29) log29 x = log x log ( 2x + − 1) 30) logx + log3 x = log x −2 31) 33) 21−x + − 2x ≤0 2x − 35) 22 x +3 −x −6 34) + 15.2 x +3 −5 ) 43) 2.5x 25x − x −1 +1 + +2 x Th.S Dương Phước Sang = 2x − 40) log x −x +2 >3 2x 4x + 2x − ≤4 38) 12.3x + 3.15x − 5x +1 = 20 39) log3 + log2 (1 + log2 x ) = 41) 5x + 36) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x < 2x 37) 24x − 3.23x + 2x +1 − = ( + log3 x + 32) 52x −10−3 x −1 − 4.5x −5 < 51+3 x −1 x −2 + 16 = 10.2 x (x + 3) = logx +5 (x + 3) 42) 23x − 9.2x − 23(x −1) + 18 2x =2 22x −4x +4 8x 44) = 3x − x − 2x + 18 2x −1 + 21−x + 31 0942.080383 (36) NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN & NG D NG I Bảng nguyên hàm và nguyên hàm mở rộng ∫ 1.dx = x + C ∫ a.dx = ax + C ∫ x α dx = ∫ (ax + b)α dx = ∫ dx = ln x + C x ∫ ln ax + b dx = +C ax + b a x α+1 +C α +1 ∫ dx = x + C x ∫ ∫ ax + b dx = +C ax + b a ∫ 1 dx = − ⋅ +C a ax + b (ax + b)2 ∫ e x dx = e x + C ∫ eax +b dx = ∫ cos x dx = sin x + C ∫ ∫ sin x dx = − cos x + C ∫ ∫ ∫ x .dx = − cos2 x sin x +C x (ax + b)α+1 ⋅ +C a α +1 .dx = tan x + C ∫ eax +b +C a sin(ax + b) cos(ax + b ).dx = +C a cos(ax + b) sin(ax + b).dx = − +C a tan(ax + b ) dx = +C a cos (ax + b) .dx = − cot x + C ∫ sin (ax + b) .dx = − cot(ax + b) +C a II Phương pháp nguyên hàm phần ∫ u.dv = u.v − ∫ v.du Vài dạng tích phân phần thông dụng: (với P (x ) là đa thức theo biến x) Gaëp ∫ f (x ) lnn (ax + b).dx (khoâng coù Gặp Gặp Gặp dx keøm theo) x u = P (x ) ta đặt ∫ P (x ).eax +b dx , ∫ sin(mx + n ) dx , P (x ) cos( mx + n ) ∫ sin(mx + n ) dx , eax +b mx + n cos( ) Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia n u = ln (ax + b ) ta đặt dv = f (x ).dx dv = eax +b dx 32 u = P (x ) sin(mx + n ) ta đặt dv = cos(mx + n ) dx sin(mx + n ) u = ta đặt cos(mx + n ) dv = eax +bdx Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (37) III Phương pháp nguyên hàm đổi biến số ∫ f t(x ) t ′(x )dx = F t(x ) + C Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng: Dạng tích phân ∫ α.t(x )+ β.t ′(x ) dx t(x ) ∫ f e t (x ) t ′(x )dx Đặc điểm nhận dạng ( ) ∫ f (t(x )) t ′(x ).dx Cách đặt Đặt biểu thức mẫu t = t(x ) Đặt biểu thức phần số mũ t = t(x ) Đặt biểu thức dấu ngoặc t = t(x ) Đặt biểu thức chứa t = n t(x ) Đặt biểu thức chứa lnx t = ln x ∫ f ( n t(x ) ) t ′(x )dx dx ∫ f (ln x ) x ∫ f (sin x ) cos xdx Gặp cos x dx kèm biểu thức theo sin x t = sin x ∫ f (cos x ).sin xdx Gặp sin x dx kèm biểu thức theo cos x t = cos x ∫ f (tan x ) ⋅ dx2 Gặp dx kèm biểu thức theo tan x cos2 x t = tan x ∫ f (cot x ) ⋅ dx2 Gặp dx kèm biểu thức theo cot x sin2 x t = cot x ∫ f (eax ).eax dx ∫ f (x α )x k α−1dx cos x sin x Gặp eax dx kèm biểu thức theo eax t = eax Gặp x k α−1dx (k ∈ ℤ) kèm biểu thức theo x α t = xα Đôi thay cách đặt t = t (x ) t = m.t (x ) + n ta gặp thuận lợi IV Công thức Newton-Leibnitz (tính tích phân xác định) b ∫a ( ) a = F (b) − F (a) f (x )dx = F (x ) b V Công thức tích phân phần b ∫a ( ) a − ∫a v.du udv = u.v b b VI Công thức tích phân đổi biến số ∫a ( ) b Th.S Dương Phước Sang f t (x ) t ′(x ).dx = 33 t (b ) ∫ t(a ) f (t ).dt 0942.080383 (38) VII Công thức tính diện tích hình phẳng y = f (x ) ; y = g(x ) Hình phẳng (H ) giới hạn có diện tích S = x = a, x = b (a < b) b ∫a y y f (x ) − g(x ) dx y y = f (x ) y = f (x ) y = f (x ) a O H2 b x a O H1 S1 = y = g(x ) b ∫a S2 = f (x ) dx y = g(x ) b ∫a b x a H3 f (x ) − g(x ) dx S3 = b ∫a b x c O b f (x ) dx − ∫ g(x ) dx c Trục hoành có phương trình g (x ) = , trục tung có phương trình x = Chú ý: Để tính b ∫a s(x ) dx ta xét dấu s(x ) trên đoạn [a;b] để khử dấu | | Nếu s(x ) ≠ 0, ∀x ∈ (α; β ) thì β ∫α s(x ) dx = β ∫ α s(x ).dx Để tính diện tích hình phẳng giới hạn ít ba đường (C ) : y = f (x ), (C ) : y = g(x ) và (C ) : y = h(x ) , tốt ta vẽ hình phẳng đó lên hệ trục toạ độ từ hình vẽ xây dựng công thức để tính diện tích hình phẳng này VIII Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay y = f (x ) ; truïc Ox Hình phẳng (H ) giới hạn quay quanh Ox tạo thành vật thể có thể tích x = a, x = b (a < b) b V = π ∫ f (x ) dx a y = f (x ) y = f (x ) y = f (x ) y = g(x ) c a b V1 = π ∫ f (x ) dx a V2 = π ∫ b a f (x ) − g (x ) dx ( với f (x ).g(x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a;b ]) Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia y = g(x ) b 34 b b 2 V3 = π ∫ f (x ) dx − π ∫ g (x ) dx a c Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (39) Ví dụ 1: Chứng minh F (x ) = ln (x + x + ) là nguyên hàm f (x ) = x +1 trên ℝ Bài giải Ta có F ′(x ) = (x + ′ x + 1) 1+ x2 + x2 + = = x + x2 + x + x2 + = x + x2 + x2 + + x x Vậy F (x ) = ln (x + x + ) là nguyên hàm hàm số f (x ) = Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm F (x ) hàm số f (x ) = 4e x + 3x xe x = f (x ), ∀x ∈ ℝ x2 + 1 x +1 trên ℝ thoả mãn điều kiện F (1) = Bài giải 4e x + 3x Theo giả thiết F (x ) là nguyên hàm hàm số f (x ) = F (x ) = ∫ 4e x + 3x xe x dx = 4 ∫ x + 3e xe x −x nên −x dx = ln x − 3e + C Do F (1) = nên ln − 3e−1 + C = ⇔ − 3e −1 + C = ⇔ C = 3e −1 4e x + 3x Vậy F (x ) = ln x − 3x + là nguyên hàm f (x ) = thoả mãn điều kiện F(1) = e e xe x Ví dụ 3: Xác định các hệ số a, b, c để hàm số F (x ) = (ax + bx + c).e −x là nguyên hàm hàm số F (x ) = (2x − 5x + 2).e −x trên R Bài giải Ta có F ′(x ) = (2ax + b)e −x + (ax + bx + c)(−e −x ) = −ax + (2a − b)x + b − c e−x F (x ) là nguyên hàm f (x ) trên R ⇔ F ′(x ) = f (x ), ∀x ∈ ℝ ⇔ [−ax + (2a − b )x + b − c ]e Ví dụ 4: Tính tích phân I = – ∫0 2x − 5x 2x + 2x + x x −3 – −6x −6x − 3 Th.S Dương Phước Sang −x −a = a = −2 = (2x − 5x + 2)e , ∀x ∈ ℝ ⇔ 2a − b = −5 ⇔ b = b − c = c = −1 −x 2x − 5x dx 2x + Bài giải Ta có I = ∫0 2x − 5x dx = 2x + ∫ x − + 2x + dx 2 3 x = − 3x + ln 2x + = ln − 2 35 0942.080383 (40) Ví dụ 5: Tính tích phân sau đây: I = Ta viết ∫1 11 − x dx (2x − 1)(3x + 2) quy đồng nhóm số hạng 11 − x A B = + (2x − 1)(3x + 2) 2x − 3x + tử thức theo luỹ thừa x (3A + 2B )x + (2A − B ) (2x − 1)(3x + 2) 3A + 2B = −1 Đồng hệ số tử thức phân thức: ⇔ 2A − B = 11 A = B = −5 Bài giải Ta có I = ∫1 11 − x dx = (2x − 1)(3x + 2) ∫1 3 3 − dx = ln 2x − − ln 3x + 2x − 3x + 2 5 3 3 19 = ln − ln11 − ln − ln = ln − ln 11 2 3 Ví dụ 6: Tính tích phân sau đây: I = Ta viết 11 − x (2x − 1)2 A = (2x − 1)2 + ∫1 11 − x (2x − 1)2 dx quy đồng nhóm số hạng B 2x − tử thức theo luỹ thừa x 2Bx + (A − B ) (2x − 1)(3x + 2) 2B = −1 Đồng hệ số tử thức phân thức: ⇔ A − B = 11 A = 21 B = − Bài giải Ta có I = ∫1 11 − x (2x − 1)2 dx = ∫1 3 21 1 21 dx = − − ⋅ − ln 2x − ⋅ (2x − 1) 2x − 4(2x − 1) 21 21 21 = − − ln − − − ln1 = − ln 20 A= Ví dụ 7: Tính các tích phân C = ∫ (3x D= − x ) ln xdx ∫0 (x + 1)e xdx B= ∫ x ln(x + 1)dx E= ∫0 ∫0 π π (x − 1)cos 2xdx (1 − x sin x )dx Bài giải Câu a: A = ∫0 u = x + Đặt choïn dv = e xdx (x + 1)e xdx ( A = (x + 1)e x Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia ) 1 du = dx ta có v = e x ( ) − ∫ e xdx = 2e − − e x 36 =e Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (41) Câu b: B = ∫0 π u = x − Đặt choïn dv = cos 2xdx (x − 1)cos 2xdx π du = dx Khi đó, v = sin 2x ( ) B = (x − 1) sin 2x − ∫ sin 2xdx = ( π − 1) sin 2π − + cos 2x 3 2 0 π ( ) π = ( π − 1) + − − = ( π − 1) − Câu c: C = ∫ (3x 4 u = ln x du = dx x Đặt chọn Khi đó, dv = (3x − 1)dx v = x − x − x )ln xdx 2 C = (x − x )ln x − ∫ (x − x ) dx = ln − ∫ (x − 1)dx 1 1 x 1 2 2 = ln − x − x = ln − + = ln − 3 3 3 du = dx u = ln(x + 1) x + Khi đó, Đặt chọn Câu d: D = ∫ 2x ln(x + 1)dx = dv x dx v = x 2 x D = x ln(x + 1) − ∫ dx = ln − ∫ 0 x +1 1 Câu e: E = ∫0 π Với I = dx x − + x +1 1 = ln − x − x + ln x + = ln − − + ln = 2 (1 − x sin x )dx = ∫0 π ∫0 π 1.dx − ∫ π () x sin xdx = x π −∫ π π A= Ví dụ 8: Tính các tích phân 41+ ∫2 x sin xdx = π −I du = dx u = x Đặt chọn Khi đó, dv = sin x dx v = − cos x x sin xdx ( I = −x cos x + ∫ cos xdx = + sin x 0 C = π ln x dx x ln x D= ∫0 π = Vậy E = B= tan x dx ∫1 ) π E= dx x (x + 2)2 ∫0 π x cos x dx x sin x + cos x 2 ∫0 π π − I = −1 2 x x + 1.dx Bài giải Câu a: A = ∫0 π tan x dx = ∫0 π sin x dx cos x Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇒ − dt = sin xdx Đổi cận: x = π ⇒ t = x =0⇒t =1 Như A = −∫ Th.S Dương Phước Sang dt = t ∫ 11 t ( ) dt = ln t 37 1 = ln − ln = ln 2 0942.080383 (42) ∫0 Câu b: B = π x cos x dx x sin x + cos x Đặt t = x sin x + cos x ⇒ dt = (x sin x + cos x )′dx Đổi cận: x = π ⇒t = hay dt = x cos xdx π x =0⇒t =1 Như B = Câu c: C = 41+ ∫1 π dt = t ∫1 π ( ) = ln π2 − ln = ln π2 dx x Đổi cận: x = ⇒ t = ln ln x dx x ln x ∫2 π dt = ln t t Đặt t = ln x ⇒ dt = x = ⇒ t = ln Như C = ln + t ∫ ln dx = t ln ∫ ln ( ln 1 + dt = (t + ln t ) ln t ) ( ) ( ) ( ) = ln + ln(ln 4) − ln + ln(ln 2) = ln + ln(ln 4) − ln(2 ln 2) = ln ∫1 Câu d: D = 3x dx = dx ∫ x (x + 2)2 x (x + 2)2 Đặt t = x + ⇒ dt = 3x 2dx Đổi cận: x = ⇒ t = 10 x =1⇒t = 10 10 1 10 1 1 2 Vậy D = ∫ dt = − − dt = ln t − − ln t + ∫ 3 (t − 2)t 12 t − t t 12 t 3 = Câu e: E = 2 ∫0 1 1 1 2 12 ln − ln − ln10 + − ln − ln + = 12 12 12 180 x x + 1.dx = 2 ∫0 x x + 1.xdx Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ 2tdt = 2xdx hay tdt = xdx Đổi cận: x = 2 ⇒ t = x =0⇒t =1 Vậy E = ∫ (t − 1).t.tdt = Ví dụ 9: Tính tích phân I = ∫0 ∫1 3 198 596 1 (t − t )dt = t − t = + = 5 15 15 x dx x + x2 + Bài giải Ta có I = ∫0 x dx = x + x2 + Xét I = Xét I = ∫0 ∫ ( x ) x + − x dx = ∫0 x x + 1.dx − ∫ x 2dx 1 x 2dx = x = 0 ∫0 x x + 1.dx Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ 2tdt = 2xdx hay tdt = xdx 38 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (43) Đổi cận: x = ⇒ t = x =0⇒t =1 I1 = ∫1 t.tdt = ∫1 5 5 −9 5 −1 1 Vậy I = I − I = t dt = t = 1 Ví dụ 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau đây: a) (C ) : y = x − 3x , trục hoành, x = –1 và x = b) (P ) : y = −x − và (C ) : y = 2x − x c) (C ) : y = x − x và (P ) : y = x − x Bài giải Câu a: Diện tích cần tìm là : S = ∫ −1 y x − 3x dx Cho x − 3x = ⇔ x = ; x = ± (chú ý : − ∉ [−1;2] ) Bảng xét dấu –1 x x − 3x Như vậy, S = ∫ −1 0 + (x − 3x )dx − ∫ 3 – O -1 (x − 3x )dx 3 1 1 = x − x − x − x = (đvdt) 4 −1 0 Câu b:Phương trình hoành độ giao điểm (P ) và (C ) : y -2 Bảng xét dấu: ∫ −2 x − 3x − dx –2 .x x − 3x − 4 x O −x − = 2x − x ⇔ x − 3x − = ⇔ ⋯ ⇔ x = ±2 Diện tích cần tìm là S = x 2 – 1 96 ⇒ S = −∫ (x − 3x − 4)dx = − x − x − 4x = −2 5 −2 Câu c:Phương trình hoành độ giao điểm (P ) và (C ) : y x − x = x − x ⇔ x + x − 2x = ⇔ x = ∨ x = ∨ x = −2 Diện tích cần tìm là S = Bảng xét dấu ∫ −2 x x − x − 2x ⇒S = ∫ −2 x + x − 2x dx –2 + 0 -2 x – (x + x − 2x )dx − ∫ (x + x − 2x )dx 0 1 1 1 37 = x + x − x − x + x − x = 4 12 −2 Th.S Dương Phước Sang 39 0942.080383 (44) Ví dụ 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau đây (C ) : y = x − 4x + và d : y = x + Bài giải y Phương trình hoành độ giao điểm (C ) và d là x − 4x + = x + ⇔ x = x = Dựa vào đồ thị hàm số ta có diện tích cần tìm là S= Bảng xét dấu ∫ (x + − x x Vậy, S = ∫0 + x − 4x + 2 ) − 4x + dx – + O x (5x − x )dx + ∫ (x − 3x + 6)dx + ∫ (5x − x )dx 3 109 5 1 5 = x − x + x − x + 6x + x − x = 2 1 0 3 3 Ví dụ 12: Tính thể tích vật thể sinh quay hình (H ) quanh trục hoành, biết hình (H ) giới hạn các đường sau đây : (C ) : y = e x x , trục hoành và đường thẳng x = Bài giải Hoành độ giao điểm (C ) với trục hoành : e x x = ⇔ x = Thể tích cần tìm : V = π ∫ (e x x ) dx = π ∫ xe dx 2x u = x du = dx Đặt chọn dv = e 2xdx v = e 2x 11 π π ⇒ V = xe 2x − π ∫ e 2xdx = (e + 1) 2 Ví dụ 13: Tính thể tích vật thể sinh quay hình (H ) quanh trục hoành, biết hình (H ) giới hạn các đường sau đây : (C ) : y = x , d : y = x – và trục hoành Bài giải Hoành độ giao điểm (C ) với trục hoành: x =0⇔x =0 Hoành độ giao điểm d với trục hoành: x − = ⇔ x = Hoành độ giao điểm (C ) với trục hoành: = π ∫ xdx − π ∫ Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia x Thể tích cần tìm là V = π ∫ ( x )2dx − π ∫ (x − 2)2 dx O x − ≥ x = x − ⇔ ⇔x =4 x = (x − 2)2 y 4 16π 1 1 (x − 2) dx = π x − π (x − 2)3 = 3 2 40 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (45) Bài tập rèn luyện Tính các tích phân sau đây: 1) 5) 9) ∫0 ∫0 (2x + 1)e x dx π ∫1 13) ∫ 17) ∫ 2) ∫0 (x − π) cos 2xdx π 3) 6) e 10) ∫ (2x + 1) ln xdx ln x 14) ∫ dx x2 π e ln xdx x cos(x + π )dx 18) ∫ x −1 2 x2 π x cos(2x − π6 )dx 22) ∫ (x + x ) cos xdx 7) ∫0 (1 − x )e x dx ∫0 (1 + 2x )sin 2xdx 8) π 11) ∫ ln(x + 1)dx 1 4x 15) ∫ ln xdx π 21) ∫ (x − 1)e 2x dx −1 e 2x 4) ∫ −1 (3x + 1)e ∫0 dx (2x − 1) sin xdx 12) ∫ 2x ln(x − 1)dx 16) ∫ dx π −x ln(x + 1) x2 π dx 19) ∫ 2x sin(x − π4 )dx 20) ∫ x ln(2x + 1)dx 0 e π 23) ∫ e x sin xdx 24) ∫ ln2 xdx Tính các tích phân sau đây: 1) 5) 9) 2x + ∫0 x2 + x + ∫0 ∫0 13) ∫ 17) ∫ 21) ∫ π sin x e π (1 + sin x ) x x + 4dx π ln2 x dx x sin x cos xdx 25) ∫ x (x − 1) 2015 dx 29) ∫ π sin2 x tan xdx + ex ln ∫0 x + ex ∫1 dx 10) ∫ e1+ 6) cos xdx 2) dx cos x ∫0 (2x + 1)e 2x dx 2x cos xdx 14) ∫ 18) ∫ 22) ∫ 26) ∫ 30) ∫ e e x −x 3) dx .(2x − 1)dx (2 + ln x )2 dx x π −π e cos x dx + sin x dx e x ln x π −π ∫0 7) ∫ π 11) ∫ 3x dx (x − 1)3 ln(x + 1) dx x +1 π sin 2x sin xdx x x + 1.dx 27) ∫ e 31) ∫ e sin x sin 2xdx −2 0 x x + 1dx π ∫1 + x2 ∫ (x 20) ∫ 24) ∫ 32) ∫ 12) ∫ .sin 2x dx 28) ∫ x3 dx + x )e x dx x (x + 2) 2 dx x2 + dx x 2 15) ∫ dx 16) ∫ −1 + + 3x π cos x 4) 23) ∫ sin xdx sin x dx + cos x (1 + tan2 x )e tan x dx 8) 19) ∫ π + ln x dx x e π tan xdx π −π tan xdx ln e x +e dx x Tính các tích phân sau đây: 1) 5) π ∫0 ∫1 (1 + x cos x )dx (x − ln x )dx 2) 6) π ∫0 ∫0 xe x + ln x dx x 10) ∫ 13) ∫ (e x + ln x )dx 14) ∫ 9) ∫1 3 Th.S Dương Phước Sang π (cos x + x sin x )dx 3) (2x + tan x )dx e2 + x ln x π (x π x2 ∫ −1 7) ∫ π (cos3 π 11) ∫ dx + cot x )sin xdx 15) ∫ 41 (e x − xe −x )dx x + sin x )dx 8) 1 x e x − dx x (1 + x )2 4) + x2 e ∫ (1 + 2x ln x )dx ∫ (e 12) ∫ x + x )2dx x +e x x dx dx 16) ∫ (x + x )e 4x dx 0942.080383 (46) Tính các tích phân sau đây: 1) ∫0 e x (3e −x − 5)dx 5) ∫ e 2x − dx −1 ex 9) ∫0 13) ∫ 17) ∫ π cos 3x cos xdx π ln e 2x +1 e +1 x dx 21) ∫ (1 − xe )dx x ∫0 x (x − 1)2dx 3) e −x 6) ∫ e + .dx 7) cos2 x 10) ∫ (x + 1)cos xdx 14) ∫ 25) ∫ 2) 18) ∫ x π π π e 15) ∫ + ln x dx x 19) 22) ∫ x (1 + cos x )dx 29) ∫ (1 − 2x sin x )dx 30) ∫ (2x − 1)ln x dx 33) ∫ 37) ∫ 41) ∫ 45) ∫ 49) ∫ ln e x e x + 3.dx 34) ∫ + ln x dx x 38) ∫ 32 3x + dx x (x + 1) 1 2 1 53) ∫ (4x + 1)e xdx 57) ∫ 61) ∫ 65) ∫ e dx x (ln x + 1) π −π 39) ∫ 43) ∫ π tan2 x − cos2 x sin2 x dx 47) ∫ 2t − t dt t 51) ∫ sin 2x sin x dx sin 2x dx + cos x x tan2 xdx 66) ∫ 70) ∫ π cos 2x − dx cos x π (x + 1) sin 2xdx sin 5x sin xdx 12) ∫ sin x cos xdx 16) ∫ 24) ∫ x (1 − x ) dx −1 (1 + x )e x − x xe x 1 dx 28) ∫ π −π π −π π π cos2 xdx sin xdx cos xdx sin x + tan2 xdx 3x − 4x dx −1 x −2 1 32) ∫ ln(x + 1)dx 3x + 1.dx − 1)2 x dx ∫1 20) ∫ 1 + x dx 2 x n 2 x + ln2 x dx x π cos4 x + sin x cos x 2x − dx x +1 48) ∫ + te t t −t dt 55) ∫ sin2 x cos2 xdx π sin 2x dx sin x + e 63) ∫ x (x ln x + 2)dx 67) ∫ 71) ∫ π −1 cos5 x dx + sin x 42 52) ∫ ln (e x ex − ln + 1)e xdx dx x ( x + 2) ln e 2x dx (e x + 4)3 e2 ln x dx x (ln x + 2) 56) ∫ (xe x + 3)dx 60) ∫ π tan x cos2 x dx 64) ∫ x 3e x dx 68) ∫ e ln x dx x x − 3x + dx 72) ∫ x ln(x + 5)dx 75) ∫ ln(x − x )dx 40) ∫ dx 44) ∫ 3 74) ∫ x ln(1 + x )dx Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 8) π 59) ∫ 58) ∫ π 2 x x + dx x 1 + x dx 2 x ∫ (x 69) ∫ (4x − 1)ln xdx 73) ∫ 54) ∫ 1 35) ∫ x (e x + cos x )dx 36) ∫ − x dx (x cos x − 2)dx 62) ∫ (x − 4x + 1)dx 2x − dx 2x + π 50) ∫ 4) π x (x + 1) 46) ∫ π3 x ln x + dx x e π sin 3t.sin t.dt −π π sin 4x dx π + sin 2x dx π x 3dx x2 + 42) ∫ 27) ∫ 31) ∫ π π 12 π ∫1 23) ∫ 0 ∫ −2 (2x − 1)cos xdx (e x − 1)2e xdx −1 11) ∫ π π ∫0 cos 4x cos 2xdx 4x − 4x − 3x − x − dx 26) ∫ dx x +1 2x + ln 76) ∫ ln e x + 3.dx Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (47) Tính các tích phân sau đây: 1) 4) 7) ∫0 x − x 2dx x ∫0 x +1 13) ∫ 16) ∫ 19) ∫ 22) ∫ dx x +2 dx x +1 ∫0 10) ∫ 2) x 2e x + dx x xe x + + x ex + π dx 34) ∫ 37) ∫ 40) ∫ 43) ∫ 46) ∫ x3 x + 3x + ln ln 32) ∫ 35) ∫ dx dx −1 + x + x2 + 1 e + 2.e x −x −3 dx ln(tan x ) dx sin 2x x + sin x dx + cos x π 49) ∫ (cos3 x − 1) cos2 xdx 52) ∫ 55) ∫ π π x sin x + (x + 1) cos x dx x sin x + cos x sin 2x + sin x dx + cos x Th.S Dương Phước Sang x x dx x x2 + x (x − 3)dx −1 x + + x + x (x + 1) 39) ∫ 41) ∫ 47) ∫ 50) ∫ 53) ∫ 56) ∫ 33) ∫ dx sin x − cos x dx + sin 2x π π − x sin x cos x 42) ∫ dx x 2dx 45) ∫ e (x − 2) x π + sin x ln dx + cos x ln + 2e x 43 dx dx e x e 2x + e π ln(1 + tan x )dx 2e 2x − −1 e 2x + ( x + − x − ) dx −3 π x + cos x cos2 x x2 dx 57) ∫ dx dx 1−x4 π + x sin x cos2 x dx π sin x + cos x dx + sin x cos x π π π dx sin x sin(x + π3 ) sin x + cos x dx sin x + cos x π x + cos x −π − sin2 x 54) ∫ dx cos x − sin x dx + cos x π 51) ∫ e (x + 1) x + + e x + 2x e x ln π −x dx x2 48) ∫ e x − 1.dx 30) ∫ 36) ∫ π π 44) ∫ 27) ∫ dx 2x + + 4x + 38) ∫ x +1 ∫0 24) ∫ ∫0 21) ∫ dx cos2 x x − x 2dx 18) ∫ dx π ∫0 12) ∫ 29) ∫ − ln x dx x + ln x 1 (2x − 1) ln x + dx x ln x + π + e x sin x 15) ∫ dx + e x cos x e (x + 1) 9) dx e 6) 26) ∫ x x + 3dx xe xdx π π π e +1 23) ∫ x cos3 x dx + sin x 31) ∫ x +3 ln e x − 20) ∫ ∫0 3) dx dx x −2 x −1 25) ∫ ln(1 + x )dx 28) ∫ 8) 17) ∫ x e ∫1 sin 2x (1 + sin x ) dx 10 π 5) 11) ∫ ∫0 − x dx + x ln x dx x π − sin x 14) ∫ dx + cos x π sin(x + π4 )dx (1 + sin x )e x dx + cos x dx x3 +1 x3 + x dx 0942.080383 (48) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau đây: 1) y = 2x − 3x 2, Ox, x = và x = 2) y = x − 2x − 3, y = x + 1, Oy và x = 3) y = x − 12x và y = x 4) y = x + 11x − và y = 6x 5) y = x và y = 4x x 6) y = (e + 1)x vaø y = (1 + e )x 4x − và hai trục toạ độ 2x + ln x và x = e 9) y = x , y = x + x 11) y = lnx , x = e–1, x = e và trục hoành + ln x , trục hoành và x =e x 2 10) y = x vaø y = − x 4 12) y = x − |x | + và trục hoành 13) y = |x − 4x + | vaø y = x + 14) y = 2x , x + y = và trục hoành 8) y = 7) y = 2x − , tiệm cận ngang đồ thị (C ), trục tung và đường thẳng x = x +1 16) Đồ thị (C ) : y = x − và tiếp tuyến đồ thị (C ) điểm có tung độ –2 15) Đồ thị (C ) : y = Tính thể tích vật thể tròn xoay quay hình phẳng (H ) sau quanh trục hoành: 1) y = x − 3x , trục hoành, x = và x = 2) y = cos x , trục hoành, x = và x = π 3) y = tan x , trục hoành, x = và x = 4) y = − e x , trục hoành và x = π , trục hoành, x = và x = 2−x 7) y = 2x − x và y = x 6) y = e x x , trục hoành và x = 9) y = x − 3x và y = x – 10) y = x − 4x và trục hoành 11) y = x ln(1 + x ) , trục hoành và x = 12) y = x , y = x – và trục hoành 13) y = 2x , x + y = và trục tung 14) y = 2x , x + y = và trục tung 5) y = 8) y = − x và y = 1 + 2x thỏa mãn điều kiện F(–1) = x Tìm nguyên hàm F (x ) hàm số f (x ) = x (2 − x )2 thỏa mãn điều kiện F(–1) = Tìm nguyên hàm F (x ) hàm số f (x ) = 10 Tìm nguyên hàm F (x ) hàm số 11 Tìm nguyên hàm F (x ) hàm số 12 Tìm nguyên hàm F (x ) hàm số 13 Tìm nguyên hàm F (x ) hàm số (1 − 2x )2 f (x ) = thỏa mãn điều kiện F(–1) = x f (x ) = (2 − tan x )cos x biết F(π) = 1 + ln x f (x ) = thỏa mãn điều kiện F(e ) = x2 f (x ) = (4x + 1)e x thoả mãn điều kiện F(1) = –e (1 + x ln x )e x thỏa mãn điều kiện F(1) = –e x 15 Chứng minh F (x ) = e x (x + 1) là nguyên hàm hàm số f (x ) = e x (x + 1)2 trên ℝ 14 Tìm nguyên hàm F (x ) hàm số f (x ) = 16 Chứng minh F (x ) = x ln x − x + là nguyên hàm hàm số f (x ) = ln x trên ℝ + + cos 4x là nguyên hàm cùng hàm số 17 CMR F (x ) = sin x + cos4 x và G (x ) = 18 Tìm a, b, c để F (x ) = (ax + bx + c)e x là nguyên hàm f (x ) = (x − 3)e x trên ℝ Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 44 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (49) PH NG PHÁP TO §1 TO Đ Đ TRONG KHÔNG GIAN C A ĐI M – TO Đ C A VÉCT Hệ trục toạ độ Gồm trục hoành Ox, trục tung Oy và trục cao Oz với véctơ đơn vị i , j , k thoả i = j = k = và i j = j k = i k = Toạ độ điểm M (x M ; yM ; z M ) ⇔ OM = x M i + yM j + z M k Trung điểm I Trọng tâm G Trọng tâm G đoạn thẳng AB tam giác ABC tứ diện ABCD x = x A + x B I yA + yB yI = z + z = A z B I x + x B + xC x = A G yA + yB + yC yG = z + z + zC B z = A G x + x B + xC + x D x = A G yA + yB + yC + yD yG = z z zC + z D + + B z = A G Hình chiếu vuông góc điểm M (x M ; yM ; z M ) : Trên trục Ox là M 1(x M ; 0; 0) Trên mp (Oxy ) là M 12 (x M ; yM ; 0) Trên trục Oy là M (0; yM ; 0) Trên mp (Oxz ) là M 13 (x M ; 0; z M ) Trên trục Oz là M (0; 0; z M ) Trên mp (Oyz ) là M 23 (0; yM ; z M ) Toạ độ véctơ a = (a1; a2 ; a ) ⇔ a = a1.i + a2 j + a k AB = (x B − x A; yB − yA; z B − z A ) Cho a = (a1; a2 ; a ) và b = (b1;b2 ;b3 ) và số k ∈ ℝ a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2 ; a ± b3 ) k a = (ka ; ka ; ka ) a1 = b1 a = b ⇔ a2 = b2 a = b 3 a cùng phương với b ⇔ tồn số thực t cho a = t.b (giả sử b ≠ ) Đặc biệt: b1b2b3 ≠ thì a cùng phương với b ⇔ a1 b1 = a2 b2 = a3 b3 Lưu ý: Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ AB và BC cùng phương Ba điểm A,B,C không thẳng hàng ⇔ AB và BC không cùng phương Th.S Dương Phước Sang 45 0942.080383 (50) Tích vô hướng hai véctơ (kết tính toán là số) Với a = (a1; a2 ; a ) vaø b = (b1;b2 ;b3 ) thì a b = a1.b1 + a2 b2 + a b3 a = a12 + a22 + a 32 AB = (x B − x A )2 + (yB − yA )2 + (z B − z A )2 a ≠ a ⊥ b ⇔ a b = , với b ≠ a b Tích có hướng hai véctơ (Kết là véctơ có toạ độ gồm số) cos(a , b ) = a b a = (a1; a2 ; a ) a2 a a a1 a1 a2 Với thì [a, b ] = ; ; b = (b ;b ;b ) b b b b b b 3 1 2 Ứng dụng 1: (tính chất véctơ) a và b cùng phương với ⇔ [a , b ] = A, B, C thẳng hàng ⇔ AB, BC cùng phương ⇔ [AB, BC ] = A,B,C,D đồng phẳng ⇔ AB, AC , AD đồng phẳng ⇔ [AB, AC ].AD = Ứng dụng 2: (diện tích) SABCD = [AB, AD ] S ∆ABC = (thể tích) B D Diện tích tam giác ABC : Ứng dụng 3: A Diện tích hình bình hành ABCD C B A [AB, AC ] C B Thể tích khối hình hộp ABCD.A′ B ′C ′D ′ Vhh = [AB, AD ].AA′ Thể tích khối tứ diện ABCD: VABCD C A D' B' C' A' Thể tích khối lăng trụ ABC A′ B ′C ′ : Ứng dụng 4: [AB, AC ].AA′ B C Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d (khoảng cách) d ( △, M ) = u△,MA u△ Khoảng cách hai đường chéo d (△1, △2 ) = Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia u ,u M M u1,u2 46 C' A' = [AB, AC ].AD VABC A′ B ′C ′ = D B' A M H Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (51) §2 PH NG TRÌNH M T C U, M T PH NG VÀ Đ "NG TH NG I Phương trình mặt cầu Mặt cầu (S ) tâm I (a;b; c) , bán kính R có phương trình I R (x − a )2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = (R = a + b2 + c2 − d ) II Phương trình mặt phẳng Mặt phẳng (P ) qua M (x ; y ; z ) có vtpt nP = (A; B;C ) có phương trình A(x − x ) + B(y − y ) + C (z − z ) = n M0 P Nếu (P ) có phương trình Ax + By + Cz + D = thì n = (A; B;C ) là vtpt (P ) Nếu (P )€(Q ) với (Q ) : ax + by + cz + d = thì (P ) : ax + by + cz + d ′ = (d ′ ≠ d ) z Nếu (P ) qua A(a; 0; 0), B(0;b; 0),C (0; 0; c) với abc ≠ thì y (P ) : x + + z = a b c C Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( ) d M ,(P ) = y B O A x M Ax M + ByM + Cz M + D A2 + B + C H P III Phương trình đường thẳng Đường thẳng d qua điểm M (x ; y ; z ) và có véctơ phương u = (a;b; c) có: Phương trình tham số: Phương trình chính tắc: u x = x + at y = y + bt (t ∈ ℝ) z = z + ct x − x0 a = y − y0 b = z − z0 c d M0 (giả sử abc ≠ ) Nếu d € ∆ thì d nhận véctơ phương u∆ ∆ làm véctơ phương tức là ud = u∆ Nếu d ⊥ (P ) thì d nhận véctơ pháp tuyến nP (P ) làm véctơ phương tức là ud = nP Nếu d = (P ) ∩ (Q ) thì d có véctơ phương u = [nP , nQ ] Th.S Dương Phước Sang 47 0942.080383 (52) BÀI TẬP MINH HOẠ Ví dụ 2.1: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt cầu (S ) các trường hợp sau: a) (S ) có tâm I (0 ; – ; 3) và qua điểm A(2 ; ; –1) b) (S ) có đường kính MN với M ( 1; ; – 2) và N (– ; – ; 4) c) (S ) có tâm I (0 ; 2; – 6) đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z + = d) (S ) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC đó A(1 ; ; 1), B(2 ; 1; 2), C (0 ; ; – 6) e) (S ) có tâm I nằm trên trục tung đồng thời (S ) qua hai điểm A(2 ; ; –1) và T (–1; – ; 2) f) (S ) qua A(1; ;1), B (0 ; – 1;1), C (2 ; ; 0) và có tâm I thuộc (β ) : x − 2y + 3z − = y +3 g) (S ) qua A(3; ; – 4), B (4 ; ; 0) đồng thời tâm I thuộc đường thẳng d : x −2 = = z −1 −2 −1 Bài giải Câu a: Ta có IA = (2;2; −4) ⇒ IA = 22 + 22 + (−4)2 = 24 B I (S ) có tâm I (0 ; – ; 3) và qua A nên có bán kính R = IA = 24 2 A Vậy phương trình mặt cầu (S ) : x + (y + 1) + (z − 3) = 24 Câu b: Ta có MN = (−4; −6;6) ⇒ MN = (−4)2 + (−6)2 + 62 = 22 C N I Gọi I là trung điểm đoạn MN thì I (–1;1;1) (S ) có đường kính MN nên có tâm I và bán kính R = MN = 22 M B Vậy phương trình mặt cầu (S ) : (x + 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 22 Câu c: (S ) có tâm I (0 ; 2; – 6) đồng thời tiếp xúc với (P ) : x − 2y + 2z + = 0 − 2.2 + 2(−6) + nên có bán kính R = d I ,(α) = =5 12 + (−2)2 + 22 Vậy phương trình mặt cầu (S ) : x + (y − 2)2 + (z + 6)2 = 25 P ( C I ) Câu d: Giả sử (S ) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = (a + b + c − d > 0) là mặt cầu qua các điểm O( ; ; 0), A(1; ; 1), B (2 ; 1; 2), C (0 ; ; – 6) Khi đó d = và 11 − 2a − 6b − 2c = − 4a − 2b − 4c = ⇔ 40 − 4b + 12c = 2a + 6b + 2c = 11 4a + 2b + 4c = ⇔ 4b − 12c = 40 a = 92 b = 13 10 29 c = − 10 O A C B Vậy phương trình mặt cầu (S ) : x + y + z − 9x − 13 y + 29 z = 2 Câu e: Giả sử (S ) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = (a + b + c − d > 0) là mặt cầu có tâm I (a;b; c) ∈ Oy đồng thời qua A(2 ; ; –1) và T (–1; – ; 2) Khi đó a = c = a = c = − 2b + d = ⇔ b = −1 ⇒ (S ) : x + y + z + 2y − = 14 + 6b + d = d = −8 Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 48 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (53) Câu f: Giả sử (S ) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = (a + b + c − d > 0) là mặt cầu qua A(1; ;1), B (0 ; –1;1), C (2 ; ; 0) và có tâm I thuộc (β ) : x − 2y + 3z − = Khi đó − 2a − 4b − 2c + d = + 2b − 2c + d = ⇔ 13 − 4a − 6b + d = a − 2b + 3c − = a = 72 b = − ⇒ (S ) : x + y + z − 7x + y + z − = c = − d = −2 Câu g: Giả sử (S ) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = (a + b + c − d > 0) là mặt cầu qua hai điểm A(3; ; – 4), B(4;5; 0) cho tâm I (S ) thuộc đường thẳng d Khi đó 29 − 6a − 4b + 8c + d = (*) 41 − 8a − 10b + d = y +3 = z −1 nên a = + t, b = −3 − 2t, c = − t (**) Do I ∈ d : x −2 = −2 −1 Thay (**) vào (*) ta t = −1 vaø d = −43 ⇒ a = 1, b = −1, c = Vậy phương trình mặt cầu (S ) : x + y + z − 2x + 2y − 4z − 43 = Ví dụ 2.2: Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt phẳng (P ) các trường hợp : y −3 a) (P ) qua điểm A(2 ; – 1; 3) đồng thời vuông góc với đường thẳng d : x +1 = = z −1 −1 b) (P ) là mặt phẳng trung trực đoạn thẳng MN đó M (1; ; – 5) và N (3 ; ; 2) c) (P ) là mặt phẳng qua ba điểm A(2; −1;1), B(3;2; −2),C (0;2;1) d) (P ) là mặt phẳng qua điểm M (1; ; 0) đồng thời song song với (Q ) : x − 3y + 4z − = e) (P ) qua A(3 ; ; 7) và vuông góc với (α) : x + y + z − = lẫn (β ) : 2x − y + 4z + = f) (P ) qua A(– 1; ; 2), B (1 ; ; – 2) và vuông góc với mặt phẳng (α) : 2x − y + 2z + = y g) (P ) chứa đường thẳng d : x −1 = = z −1 và vuông góc với mặt phẳng (α) : 2x − y + z + = 2 Bài giải y −3 Câu a: Đường thẳng d : x +1 = = z −1 có véctơ phương ud = (2; −1;2) −1 d ud Mặt phẳng (P ) qua điểm A(2 ; – 1; 3) và vuông góc với d A nên (P ) có véctơ pháp tuyến n = ud = (2; −1;2) P Phương trình mặt phẳng (P ) : 2.(x − 2) − 1.(y + 1) + 2.(z − 3) = ⇔ 2x − y + 2z − 11 = Câu b: Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MN thì I (2; 3; − ) Do (P ) là mặt phẳng trung trực đoạn MN nên (P ) qua điểm I (2; 3; − ) và có véctơ pháp tuyến nP = MN = (2;2;7) Phương trình mp (P ) : 2(x − 2) + 2(y − 3) + 7(z + Th.S Dương Phước Sang 49 3) = I M N P ⇔ 4x + 4y + 14z + = 0942.080383 (54) AB = (1; 3; −3) Câu c: Ta có BC = (−3; 0; 3) ⇒ AB, BC 1 −3 −3 = ; ; = (9; 6; 9) 3 −3 −3 Mặt phẳng (P ) qua ba điểm A(2; −1;1), B(3;2; −2),C (0;2;1) B A C nên (P ) có véctơ pháp tuyến n = AB, BC = (9; 6;9) P Phương trình mp (P ) : 9(x − 0) + 6(y − 2) + 9(z − 1) = ⇔ 3x + 2y + 3z − = Câu d: Do (P ) song song với (Q ) : x − 3y + 4z − = nên phương trình (P ) có dạng (P ) : x − 3y + 4z + D = (D ≠ −1) M Ngoài (P ) qua điểm M (1; ; 0) nên − 3.3 + 4.0 + D = ⇔ D = ≠ −1 P Q Vậy phương trình mặt phẳng (P ) : x − 3y + 4z + = Câu e: (α) : x + y + z − = có véctơ pháp tuyến n α = (1;1;1) (β ) : 2x − y + 4z + = có véctơ pháp tuyến n β = (2; −1; 4) Do (P ) vuông góc với (α) và (β ) nên (P ) có véctơ pháp tuyến n = nα , n β = −1 1 ; 4 1 ; 2 −1 = (5; −2; −3) P nβ A nα α β Mặt phẳng (P ) qua A(3 ; ; 7) và có vtpt n = (5; −2; −3) nên (P ) có phương trình 5(x − 3) − 2(y − 0) − 3(z − 7) = ⇔ 5x − 2y − 3z + = Câu f: Ta có AB = (2; 3; −4) và (α) : 2x − y + 2z + = có vtpt nα = (2; −1;2) Mặt phẳng (P ) qua A, B và vuông góc với (α) nên (P ) có vtpt n = AB, n α − −4 2 = ; ; −1 2 2 −1 nα α = (2; −12; −8) Mặt phẳng (P ) có phương trình : B A P 2(x + 1) − 12(y − 0) − 8(z − 2) = ⇔ x − 6y − 4z + = y Câu g: Đường thẳng d : x −1 = = z −1 qua M (1;0;1), có véctơ phương ud = (3;2;2) 2 Mặt phẳng (α) : 2x − y + z + = có vtpt nα = (2; −1;1) Mặt phẳng (P ) chứa d và vuông góc với (α) nên (P ) có véctơ pháp tuyến n = ud , n α = −1 2 ; 1 3 ; 2 −1 = (4;1; −7) α nα M d Mặt phẳng (P ) có phương trình : 4(x − 1) − (y − 0) − 7(z − 1) = P ud ⇔ 4x − y − 7z + = Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 50 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (55) Ví dụ 2.3: Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình đường thẳng d biết a) d qua hai điểm A(1; ; –1) và B (0 ; 1; 2) y −1 = z b) d qua điểm M (3; –1; 0) đồng thời song song với đường thẳng x +1 = −3 c) d qua điểm A(1; –1; 2) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (α) : x − y − 2z + = d) d là giao tuyến hai mặt phẳng (α) : x − 2y + 2z − 30 = và (β ) : 2x − y − = x = −5t e) d qua M(1; ; –1) và vuông góc với hai đường thẳng d1 : y = −2 + 8t , d2 z = + 3t x = t : y = −1 − 2t z = f ) d qua A(1; –1; 2) đồng thời song song với hai mặt phẳng (α) : x − y + = 0, (β ) : 3x + y − z − = Bài giải Câu a: Đường thẳng d qua A(1; ; –1) và B (0 ; 1; 2) nên có vtcp u = AB = (−1; −2; 3) y −3 Phương trình chính tắc d : x −1 = = z +1 −1 −2 y −1 x + z Câu b: Do d€△ : = = nên d nhận vtcp u△ = (2; 4; −3) △ làm vtcp cho d −3 y +1 Phương trình chính tắc d : x −3 = = z −3 Câu c: Do d ⊥ (α) : x − y − 2z + = nên d nhận vtpt n α = (1; −1; −2) (α) làm vtcp cho d y +1 Phương trình chính tắc d : x −1 = = z −2 −1 −2 i x = ta y = −1 và z = 14 x − 2y + 2z − 30 = Câu d: Từ hệ cho Như 2x − y − = i x = −2 ta y = −5 và z = 11 Đặt A(0 ; –1; 14), B (–2 ; – ; 11) thì A, B ∈ (α) ∩ (β ) hay A, B ∈ d d qua A và B nên có vtcp u = AB = (−2; −4; −3) hay u ′ = (2; 4; 3) y +1 Phương trình chính tắc d : x = = z −14 Câu e: Hai đường thẳng d1, d2 có vtcp u1 = (−5; 8; 3), u2 = (1; −2; 0) Do d vuông góc với d1, d2 nên d có véctơ phương u = [u1, u2 ] = −2 ; −5 −5 ; 1 −2 = (6; 3;2) y Phương trình chính tắc d : x −1 = = z +1 Câu f: Hai mặt phẳng (α) và (β ) có vtpt là nα = (1; −1; 0), n β = (3;1; −1) Do d song song với hai mặt phẳng (α) và (β ) nên d có véctơ phương 0 −1 u = nα , nβ = ; −1 −1 ; −1 = (1;1; 4) y +1 Phương trình chính tắc d : x −1 = = z −2 Th.S Dương Phước Sang 51 0942.080383 (56) Ví dụ 2.4: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S ) và mặt phẳng (P ) có phương trình (S ) : x + y + z − 2x + 6y − 8z − 23 = ; (P ) : 2x + 3y − 6z − 18 = a) Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với mp (P ) đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S ) b) Viết phương trình mặt phẳng (β ) song song với mp (P ) đồng thời cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r = Bài giải Câu a: Mặt cầu (S ) có tâm I (1; −3; 4) và bán kính R = 12 + (−3)2 + 42 − (−23) = Do mặt phẳng (α) song song với (P ) nên phương trình (Q ) có dạng 2x + 3y − 6z + D = (D ≠ −18) Do mặt phẳng (α) và mặt cầu (S ) tiếp xúc với nên ( ) d I ,(α) = R ⇔ 2.1 + 3.(−3) − 6.4 + D 22 + 32 + (−6)2 I R =7 α ⇔ D − 31 = 49 ⇔ D − 31 = ±49 ⇔ D = 80 (do D ≠ −18) Vậy phương trình mặt phẳng (α) : 2x + 3y − 6z + 40 = Câu b: Do (β )€(P ) nên phương trình (β ) có dạng 2x + 3y − 6z + D ′ = (D ′ ≠ −18) ( ) Đặt d = d I ,(β ) và r = ta có R = r + d ⇔ d = R − r = ( ) ⇔ d I ,(β ) = ⇔ 2.1 + 3.(−3) − 6.4 + D 22 + 32 + (−6)2 =5 ⇔ D = 66 D = – (nhận hai giá trị) I R βP r Vậy (β ) : 2x + 3y − 6z + 66 = (β ) : 2x + 3y − 6z − = Ví dụ 2.5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz hãy viết phương trình mặt phẳng (P ) qua hai điểm A(1 ; 2; 3), B (– 2; ; – 1) và cách hai điểm C (0 ; ; 1), D (– ; – ; 5) Bài giải Do (P ) qua điểm A(1 ; 2; 3) nên (P ) có phương trình : a(x − 1) + b(y − 2) + c(z − 3) = Do (P ) qua điểm B (– 2; ; – 1) nên −3a + b − 4c = ⇔ b = 3a + 4c ( ) ( ) Do d C ,(P ) = d D,(P ) nên −a − b − 2c 2 a +b +c = −5a − 5b + 2c a + b2 + c2 (1) (2) Thay (1) vào (2) ta 4a + 6c = 20a + 18c ⇔ 3c = −4a c = – a Với 3c = – 4a ta chọn a = 3; c = −4 ⇒ b = −7 Khi đó (P ) : 3x − 7y − 4z + 23 = Với c = – a ta chọn a = 1; c = −1 ⇒ b = −1 Khi đó (P ) : x − y − z + = Vậy có mặt phẳng thoả đề là (P1 ) : 3x − 7y − 4z + 23 = ; (P2 ) : x − y − z + = Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 52 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (57) §3 V$ TRÍ T NG Đ&I GI'A CÁC Đ "NG VÀ M T I Vị trí tương đối mặt phẳng và mặt cầu Không giao Tiếp xúc với H P Cắt theo đường tròn r = R2 − d P H R R I I I R P ( ) ( d I ,(P ) > R ) r ( d I ,(P ) = R ) d I ,(P ) < R II Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho mặt phẳng (P ) : Ax + By + Cz + D = có vtpt nP = (A; B;C ) và qua điểm M P và mặt phẳng (Q ) : A′ x + B ′y + C ′z + D ′ = có vtpt nQ = (A′; B ′;C ′) và qua điểm MQ nP cuøng phöông nQ A B C D (P )€(Q ) ⇔ ⇔ = = ≠ ñieåm M ∉ (Q ) A′ B ′ C ′ D ′ P (nếu A′, B ′,C ′, D ′ ≠ ) nP cuøng phöông nQ A B C D (P ) ≡ (Q ) ⇔ ⇔ = = = ñieåm M ∈ (Q ) A′ B ′ C ′ D ′ P (nếu A′, B ′,C ′, D ′ ≠ ) MP P Q MP Q (P ) cắt (Q ) ⇔ nP không cùng phương nQ (chú ý thêm: (P ) ⊥ (Q ) ⇔ nP ⊥ nQ ) III Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho đường thẳng d1 qua điểm M 1(x1; y1; z1 ) có véctơ phương u1 = (a1;b1; c1 ) đường thẳng d2 qua điểm M (x ; y2 ; z ) có véctơ phương u2 = (a2 ;b2 ; c2 ) M1 ∈ d2 u1 , u2 cùng phương Xét M và d2 Xét cùng phương u1 và u2 u1 , u2 không cùng phương M1 ∉ d2 KQ = Tính u1, u2 M 1M KQ ≠ d1 ≡ d2 d1€d2 d1 cắt d2 d1 chéo d2 Để tìm toạ độ giao điểm hai đường thẳng d1, d2 cắt ta viết phương trình tham số d1 và d2 (theo tham số khác nhau) Lập hệ phương trình tạo nên chúng để tìm t1, t2 Cuối cùng thay t1 vào phương trình tham số d1 để tìm toạ độ giao điểm Th.S Dương Phước Sang 53 0942.080383 (58) IV Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng x = x + at Cho đường thẳng d : y = y + bt (1) và mặt phẳng (P ) : Ax + By + Cz + D = (2) z = z + ct Thay (1) vào (2) ta phương trình (*) theo t Tuỳ theo số nghiệm phương trình (*) ta suy vị trí tương đối đường thẳng d và mặt phẳng (P ) , cụ thể Lưu ý: d ⊥ (P ) ⇔ ud và nP cùng phương với ( ud là vtcp d và nP là vtpt (P ) ) Thay nghiệm t = t0 phương trình (*) vào hệ (1) ta toạ độ giao điểm d và (P ) V Các công thức tính khoảng cách Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 M1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng A M0 d22 d M2 ( ) d d1, d2 = [u , u ] M M u ,u H ( ) d A, d = [u, AM ] u VI Các công thức tính góc nQ Q d1 nP u2 u1 d ud nP d2 φ P Góc hai mặt phẳng: Góc hai đường thẳng: P cos((P ),(Q )) = cos(nP , nQ ) = cos(d1, d2 ) = cos(u1, u2 ) = Góc đường thẳng và mặt phẳng: sin(d,(P )) = cos(u , n ) = d P Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 54 nP nQ nP nQ u1.u2 u1 u2 ud nP ud nP Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (59) Ví dụ 3.1: Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (α) sau đây x +1 y z −4 d: = = và (α) : x − 3y − 2z − = −1 Bài giải x = −1 + t x +1 y z −4 − t (*) Đường thẳng d : = = có phương trình tham số y = −1 z = + 3t Thay x, y, z từ (*) vào phương trình x − 3y − 2z − = mặt phẳng (α) ta −1 + t − 3(−t ) − 2(4 + 3t ) − = ⇔ −11 − 2t = ⇔ t = − 11 Thay t = − 11 trở lại vào (*) ta x = − 13 ; y = 11 ; z = − 25 2 2 Vậy giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (α) là điểm H (− 13 ; 11 ; − 25) 2 Ví dụ 3.2: Trong không gian Oxyz hãy xác định toạ độ các điểm sau đây: a) Hình chiếu vuông góc điểm M (1; ; –1) lên mặt phẳng (α) : x + y − z + = b) Hình chiếu vuông góc điểm M (2; –1 ; 5) lên đường thẳng d : x +1 = y = z −2 Bài giải Câu a: Gọi d là đường thẳng qua điểm M (1; ; –1) và vuông góc với (α) : x + y − z + = Khi đó d nhận vtpt nα = (1;1; −1) (α) làm vtcp cho d x = + t Phương trình tham số d : y = + t (*) z = −1 − t d M H α Thay (*) vào phương trình x + y − z + = (α) ta + t + + t + + t + = ⇔ t = −2 Hình chiếu vuông góc M lên (α) là giao điểm H d và (α) , đó H (–1 ; ; 1) Câu b: Gọi (α) là mặt phẳng qua điểm M (2; –1 ; 5) và vuông góc với d : x +1 = y = z −2 Khi đó d nhận vtcp ud = (2;1; 3) d làm vtpt cho (α) Phương trình (α) : 2(x − 2) + 1(y + 1) + 3(z − 5) = ⇔ 2x + y + 3z − 18 = (1) x = −1 + 2t Phương trình tham số d : y = t (*) z = + 3t d H α M Thay (*) vào phương trình (1) (α) ta 2(−1 + 2t ) + t + 3(2 + 3t ) − 18 = ⇔ t = Hình chiếu vuông góc M lên d là giao điểm H d và (α) , đó H (1 ; ; 5) Th.S Dương Phước Sang 55 0942.080383 (60) x −2 y z +1 x −1 y + z = = vaø △ : = = −1 −4 −6 a) Chứng minh △1 và △ song song với Tính khoảng cách chúng Ví dụ 3.3: Cho hai đường thẳng △ 1: b) Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng △1 và △ Bài giải Câu a: △1 qua điểm M 1(2; 0; −1) và có véctơ phương u1 = (2; 3; −1) △1 qua điểm M (1; −2; 0) và có véctơ phương u2 = (−4; −6;2) Do u2 = −2u1 nên u1 vaø u2 cùng phương với M1 ⇒ △ và △ song song với trùng Ngoài M ∉ △ nên △1 và △ song song với M2 −6 2 −4 −4 −6 = (−2;2;2) Ta có M 1M = (−1; −2;1) ⇒ u2, M 1M = ; ; −2 1 −1 −1 −2 u2, M 1M (−2)2 + 22 + 22 42 d (△1, △2 ) = d (M 1, △2 ) = = = 14 u2 (−4)2 + (−6)2 + 22 Câu b: Gọi (α) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song △1 và △ , đó (α) qua M 1(2; 0; −1) và có vtpt n = u2, M 1M = (−2;2;2) M2 Vậy phương trình mặt phẳng (α) : u2 M1 −2(x − 2) + 2(y − 0) + 2(z + 1) = ⇔ x − y − z − = Đặc biệt lưu ý: véctơ pháp tuyến mặt phẳng phải là véctơ khác với véctơ-không x + y + z −1 x −6 y −2 z −7 = = vaø △ : = = −1 3 a) Chứng minh △1 và △ chéo Tính khoảng cách chúng Ví dụ 3.4: Cho hai đường thẳng △1: b) Viết phương trình đường vuông góc chung △1 và △ Bài giải Câu a: △1 qua điểm M 1(−1; −2;1) , có véctơ phương u1 = (2; −1; 3) △1 qua điểm M (6;2; 7) và có véctơ phương u2 = (1; 3; 5) −1 3 ; Do [u1, u2 ] = 5 2 −1 = (−14; −7;7) ≠ ; 1 A u1 u2 B ⇒ u1 vaø u2 không cùng phương ⇒ △1 và △ cắt chéo u , u M M = −14.7 − 7.4 + 7.6 = −84 ≠ −84 u1,u2 M 1M = =2 Vậy △ và △ chéo với d (△1, △2 ) = u ,u (−14)2 +(−7)2 +72 Ta có M 1M = (7; 4; 6) ⇒ Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 56 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (61) x = −1 + 2t1 x = + t2 Câu b: Phương trình tham số △1: y = −2 − t1 vaø △ : y = + 3t2 z = + 3t z = + 5t Xét điểm A ∈ △ vaø B ∈ △ thì A(−1 + 2a; −2 − a;1 + 3a ) vaø B(6 + b;2 + 3b;7 + 5b) AB = (7 − 2a + b; + a + 3b;6 − 3a + 5b ) AB ⊥ △ AB.u1 = AB là đường vuông góc chung △1 và △ ⇔ ⇔ AB ⊥ △ AB.u2 = 2(7 − 2a + b) − (4 + a + 3b) + 3(6 − 3a + 5b) = −14a + 14b = −28 ⇔ ⇔ ⇔ 1(7 − 2a + b) + 3(4 + a + 3b) + 5(6 − 3a + 5b) = −14a + 35b = −49 a = b = −1 Như A(1; −3; 4), B(5; −1;2), AB = (4;2; −2) , từ đó đường vuông góc chung △1 và △ là đường thẳng AB : x −1 y + z − = = −2 Ví dụ 3.4: Cho hai mặt phẳng (α) : 2x − y + 2z − = và (β ) : 4x − 2y + 4z + = a) Chứng minh (α) và (β ) song song với Tính khoảng cách chúng x +1 y z −1 b) Xác định toạ độ các điểm M thuộc đường thẳng d : = = cho −2 khoảng cách từ điểm M đến mp (α) lần khoảng cách từ điểm M đến mp (β ) Bài giải −1 −1 = = ≠ nên hai mặt phẳng (α) và (β ) song song với −2 4.1 − 2.1 + 4.0 + Trên (α) ta lấy điểm A(1;1; 0) đó d (α),(β ) = d A,(β ) = = 2 + (−2) + Câu a: Do ( ) ( ) x = −1 + 3t x +1 y z −1 Câu b: Đường thẳng d : = = có phương trình tham số d : y = −2t (t ∈ ℝ) −2 z = + 2t Xét điểm M ∈ d ta có M (−1 + 3t ; −2t ;1 + 2t ) ( ) ( ) Theo giả thiết ta có d M ,(α) = 2d M ,(β ) ⇔ 2.(−1 + 3t ) − (−2t ) + 2.(1 + 2t ) − 22 + (−1)2 + 22 = 2⋅ 4.(−1 + 3t ) − 2(−2t ) + 4.(1 + 2t ) + 42 + (−2)2 + 42 ⇔ 2.(−1 + 3t ) − (−2t ) + 2.(1 + 2t ) − = 4.(−1 + 3t ) − 2(−2t ) + 4.(1 + 2t ) + 12t − = 24t + t = − ⇔ ⇔ 12t − = 24t + ⇔ t = − 12t − = −24t − 18 Vậy có điểm thoả đề là M (−2; ; ) và M (− ; − ; ) 3 Th.S Dương Phước Sang 57 9 0942.080383 (62) Bài tập rèn luyện Xác định toạ độ tâm và tính bán kính các mặt cầu sau đây: a) (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 5)2 = b) (x − 2)2 + (y + 1)2 + z = 12 c) x + y + z − 2x − 2y + 6z + = d) 2x + 2y + 2z − 2x + 8z + = Viết phương trình mặt cầu (S ) các trường hợp sau đây: a) (S ) có tâm I (3 ; – ; 2) và qua điểm M (4 ; ; – 3) b) (S ) có tâm A(– ; – ; 1) và qua điểm B (5 ; – ; 1) c) (S ) có tâm T (– 1; ;2) và qua tâm I mặt cầu (S ) : x + y + z + 4y − 3z − = d) (S ) có đường kính MN đó M (1 ; – ; 4) và N ( ; – ; – 2) e) (S ) có đường kính IK đó I (0 ; ; – 2) và K ( ; – ; 4) f) (S ) có đường kính OA đó A (– ; ; – 6) g) (S ) có tâm I (2 ; – ; 1) đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng (α) : 2x − 3y + 6z + = h) (S ) có tâm I (1 ; – ; – 2) đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng (β ) : 2x − 2y + z + = i) (S ) có tâm I (4 ; ; – 3) đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng (γ ) : 3x − y − 2z + 10 = j) (S ) qua gốc toạ độ và các điểm A(2 ; ; 3), B (1; ; – 4), C (1; –3 ; –1) k) (S ) qua gốc toạ độ đồng thời cắt Ox, Oy, Oz A(4 ; ; 0), B (0; – ; 0), C (0; ; 5) l) (S ) qua A(2 ; ; 1), B(1; 0; 0), C (1 ; ; 1) và có tâm I thuộc mặt phẳng x + y + z − = Viết phương trình mặt phẳng (P ) các trường hợp sau đây: x +1 y −3 z = = −1 b) (P ) qua điểm A(– 1; 2; 6) và vuông góc với đường thẳng MN với M (1; 2; 3), N (4;– 5;1) x −2 y z +1 c) (P ) vuông góc với đường thẳng d : = = điểm trên d có hoành độ −1 d) (P ) là mặt phẳng trung trực đoạn thẳng BC đó B (1; – ; – 1) và C (1 ; ; 3) a) (P ) qua điểm M(2;2;1) đồng thời vuông góc với đường thẳng d : e) (P ) là mặt phẳng trung trực đoạn thẳng IM đó I (2; – ; 2) và M (1 ; ; 0) f) (P ) qua điểm K (3; ; – 2) đồng thời song song với mặt phẳng (γ ) : 2x − y − 2z + = g) (P ) qua điểm M (1; – ; – 1) đồng thời song song với mặt phẳng (α) : 3x − 2y + 2z − = h) (P ) qua ba điểm A (2; ; – 1), B (– 1; ;1) , C (0 ; 5; 2) không thẳng hàng i) (P ) chứa tam giác MNP với toạ độ các đỉnh M (– 1; 2; 0), N (0; – ; 2), P (1; 2; 5) j) (P ) qua A(1; ; 2) và vuông góc với (α) : x − y + z − = lẫn (β ) : 3x − y + z − = k) (P ) qua hai điểm A(2 ; 1; 1), B (–1 ; – ; –3) và vuông góc với mặt phẳng x + y + z − = x = − t l) (P ) qua điểm M (1; – ; – 1) đồng thời song song với d1 : y = + t vaø d2 z = −1 Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 58 x = −2 + 2t : y = + t z = − 2t Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (63) x = − t m) (P ) chứa hai đường thẳng cắt d1 : y = 3t vaø d2 z = + t x = −3 + t : y = − t z = x y +1 z −1 x −2 y z = = , d2 : = = song song với −1 −2 x −1 y + z − o) (P ) qua điểm M (0;3;1) và chứa đường thẳng d : = = −2 x −2 y +1 z x −1 y + z −1 p) (P ) chứa đường thẳng d1 : = = và song song với d2 : = = −1 −1 q) (P ) tiếp xúc với mặt cầu (S ) : (x − 1)2 + (y + 1)2 + z = điểm H (3 ; 1; –1) thuộc (S ) n) (P ) chứa đường thẳng d1 : r) (P ) là tiếp diện (S ) : x + y + z − 4x + 2y − 3z − = giao điểm (S ) với tia Ox s) (P ) chứa trục hoành đồng thời vuông góc với mặt phẳng (α) : 2x + 3y − z + = Viết phương trình tham số đường thẳng d các trường hợp sau đây: a) d qua hai điểm A(– 1; 2; 6) và B (0 ; ; 2) x −1 y + z = = −1 c) d qua điểm I (3; ; – 2) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (α) : 2x − y − 2z + = b) d qua điểm M (2; – ; – 1) và song song với đường thẳng ∆ : d) d là giao tuyến hai mặt phẳng (α) : x − y + z − = và (β ) : 2x − y + 4z + = e) d qua điểm C (–1 ; ; –1) đồng thời vuông góc với với hai đường thẳng ∆1 : x −3 y +1 z x +1 y z −2 và ∆2 : = = = = −1 −2 1 f) d qua B (–2 ; ; 1) và song song với (α) : 2x + y − 2z + = lẫn (β ) : x − y + 3z − = g) d qua điểm A( 1; –2; 4) đồng thời song song với giao tuyến hai mặt phẳng (α) : x + 3y − = và (β ) : 2x − y + z − = h) d qua điểm K(4 ; ; 1), nằm mặt phẳng (α) và vuông góc với đường thẳng △ với x +3 y −3 z (α) : 2y − z + = và ∆ : = = −1 Cho hai mặt phẳng (α) : 2x − y − 2z − = và (β ) : 2x − y − 2z + = a) Chứng minh (α) và (β ) song song với Tính khoảng cách chúng x −2 y z −1 b) Xác định điểm I thuộc đường thẳng d : = = cho I cách (α) và (β ) −1 Cho hai mặt phẳng (α) : 2x + ky + 3z − = và (β ) : mx − 6y − 6z + = a) Tìm các giá trị k và m để hai mặt phẳng (α) và (β ) song song với b) Chứng minh (α) và (β ) cắt k = m = Viết phương trình giao tuyến chúng Cho hai mặt phẳng (α) : 3x + 2y + mz − = và (β ) : nx − 4y − 8z + = a) Tìm các giá trị m và n để hai mặt phẳng (α) và (β ) song song với b) Chứng minh (α) và (β ) cắt m = n = Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua điểm A(1;1;2) đồng thời chứa giao tuyến (α) và (β ) trường hợp đó Th.S Dương Phước Sang 59 0942.080383 (64) x y −1 z + = = 2 a) Chứng minh d và (α) song song với Tính khoảng cách chúng Cho mặt phẳng (α) : 2x − y − 2z + = và đường thẳng d : b) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d đồng thời vuông góc với mặt phẳng (α) c) Xác định toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc điểm A(1; ; – 1) lên mặt phẳng (α) x −2 y z +1 Cho mặt phẳng (α) : 2x − 3y − 6z + = và đường thẳng ∆ : = = −2 a) Chứng minh ∆ và (α) vuông góc với Xác định toạ độ giao điểm chúng b) Xác định toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc điểm A(2;2;1) lên mặt phẳng (α) c) Xác định toạ độ điểm K là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (α) y −4 z −4 = và mặt phẳng (α) : x + 2y − 2z − = 10 Cho đường thẳng d : x −1 = −1 −2 a) Chứng minh d và (α) cắt không vuông góc với b) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (α) vuông góc với đường thẳng d giao điểm d với (α) c) Viết phương trình mặt cầu (S ) có bán kính tiếp xúc với mặt phẳng (α) cho tâm I mặt cầu (S ) là điểm thuộc đường thẳng d 11 Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau đây: x = + t a) d : y = + t z = − t x = + 2t ′ và d ′ : y = −1 + 2t ′ z = − 2t ′ x = −3 + 2t x = + t ′ y = −1 − 4t ′ ′ b) d : y = − + t và d : z = + 4t z = 20 + t ′ 2t ′ x = −1 + t x = −1 − 2t ′ x = −1 + t x = c) d : d) d : y = − t và d ′ : y = + t ′ y = − t và d ′ : y = − 2t ′ z = z = −1 + 3t ′ z = 3t 3t z = + 6t ′ x y −1 z + x y −2 z −1 = 12 Cho hai đường thẳng △ : = = và △′ : = −6 2 a) Chứng minh △ và △′ vuông góc với không cắt Tính d (△,△′) b) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng △ đồng thời song song với △′ x −1 y + z −2 x +2 y z −1 = = 13 Cho hai đường thẳng △ : và △′ : = = −3 −4 −4 a) Chứng minh △ và △′ song song với Tính khoảng cách chúng b) Viết phương trình mặt phẳng chứa △ và △′ x − y −2 z −1 x −1 y + z − 14 Cho hai đường thẳng △ : = = và △′ : = = −3 −2 Chứng minh △ và △′ đồng phẳng Viết phương trình mặt phẳng chứa chúng x −1 y −2 z x −2 y −2 z 15 Cho bốn đường thẳng d1 : = = ; d2 : = = −2 −4 x y z −1 x −2 y z −1 d3 : = = và d4 : = = 1 2 −1 Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 60 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (65) a) Chứng minh d1 và d2 song song Viết phương trình mặt phẳng chứa chúng b) Chứng minh tồn đường thẳng cắt bốn đường thẳng d1, d2, d3, d4 Viết phương trình đường thẳng đó 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các điểm A(2; 0; –1), B(3 ; 2; 3), C(–1; 1; 1) a) Chứng minh A, B, C là đỉnh tam giác Tính diện tích tam giác ABC b) Xác định toạ độ đỉnh D và toạ độ tâm I hình bình hành ABCD c) Viết phương trình mặt phẳng chứa ∆ABC và phương trình đường cao ∆ABC d) Viết phương trình mặt cầu tâm M qua điểm B biết AM = 2OB − AC 17 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(2;2;–1),B(2;1;0),C(1;1;–1) và A′(4; 0; −3) a) Chứng minh ABC là tam giác và điểm A′ không thuộc mặt phẳng (ABC ) b) Xác định toạ độ các điểm B ′ và C ′ để ABC A′ B ′C ′ là hình lăng trụ 18 Trong không gian với hệ toạ độ (O, i , j , k ) cho tứ diện ABCD có toạ độ các đỉnh thoã mãn A(2; 4; −1), OB = i + j − k , C (2; 4;3), AD = (0; −2;0) a) Chứng minh các đường thẳng AB, AC và AD đôi vuông góc với b) Tính thể tích khối tứ diện ABCD và diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 19 Cho mặt phẳng (P ) : 2x − 2y + z + = và mặt cầu (S ) : (x − 1)2 + (y + 3)2 + (z − 4)2 = 36 a) Viết phương trình mặt cầu tâm A(2;–1;3) tiếp xúc với mặt phẳng (P ) b) Viết phương trình mặt phẳng song song với (P ) đồng thời qua tâm I mặt cầu (S ) c) Viết phương trình mặt phẳng song song với (P ) đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S ) 20 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các điểm A(5;3;–1), B(2;3;–4), C(1;2;0), D(3;1;–2) a) Chứng minh ABCD là tứ diện có các cặp cạnh đối diện vuông góc với b) Viết phương trình mặt cầu (S ) ngoại tiếp tứ diện ABCD và tiếp diện (S ) A 21 Trong không gian Oxyz cho điểm I (–2 ; 1; 1) và mặt phẳng (α) : x + 2y − 2z + = a) Viết phương trình mặt cầu (S ) tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (α) b) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm I đồng thời song song với mặt phẳng (α) c) Viết phương trình đường thẳng qua điểm I đồng thời vuông góc với mặt phẳng (α) 22 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các điểm A(3;–1; 2), B(2 ; 1; 0), C (1;–3 ; 1) a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân Viết phương trình mặt phẳng chứa ∆ABC b) Chứng minh OABC là tứ diện Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC 23 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các điểm A(1; –1; 3), B (3 ; ; 1), C (0 ; ; 0) a) Chứng minh ABC là tam giác vuông Tính diện tích tam giác ABC b) Tính khoảng cách từ điểm D(1;1;1) đến mặt phẳng (ABC ) và thể tích tứ diện ABCD Th.S Dương Phước Sang 61 0942.080383 (66) 24 Cho mặt cầu (S ) : x + y + z − = và mặt phẳng (α) : x + 2y − 2z + = a) Chứng minh mặt cầu (S ) và mặt phẳng (α) tiếp xúc với b) Viết phương trình mặt phẳng (β ) song song với (α) và tiếp xúc với mặt cầu (S ) Xác định toạ độ tiếp điểm mặt cầu (S ) và mặt phẳng (β ) đó 25 Trong không gian Oxyz cho điểm M(1; ; 2) và mặt phẳng x + y + z − = a) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) b) Viết phương trình mặt phẳng (β ) qua điểm M đồng thời song song với mặt phẳng (α) c) Viết phương trình mặt phẳng (γ ) đối xứng với (α) qua M 26 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các điểm A(–2;6;3), B(1;0;2), C(0;2;–1), D(1;4;0) Chứng minh BCD là tam giác vuông, từ đó tính thể tích khối chóp ABCD 27 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M(1;4;2) và mặt phẳng (α): x + y + z – = a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc điểm M trên mặt phẳng (α) b) Tìm tọa độ điểm M ′ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (α) c) Viết phương trình mặt phẳng (β) đối xứng với mặt phẳng (α) qua điểm M 28 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các điểm A(1;–1;3), B(3;0;1), C(0;4;5) a) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua đỉnh A và vuông góc với cạnh BC ∆ABC b) Xác định toạ độ điểm H là chân đường cao xuất phát từ đỉnh A tam giác ABC c) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng BC 29 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng d : mặt cầu (S ) : (x + 1)2 + (y + 5)2 + (z − 1)2 = 14 x y −1 z = = và a) Tìm tọa độ điểm B đối xứng với điểm A qua đường thẳng d b) Chứng tỏ đường thẳng d và mặt cầu (S ) tiếp xúc với x = t x −5 y −2 z −3 cắt 30 Chứng minh hai đường thẳng d : = = y = −11 + 2t và d ′ : z = 16 − t Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng d và d ′ đó x −1 y − z − 31 Cho mặt phẳng (α) : 3x – 2y – z + = và đường thẳng ∆ : = = a) Chứng tỏ ∆ và (α) song song với Tính khoảng cách chúng b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng ∆ lên mặt phẳng (α) x = t x = + t ′ 32 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng d : y = + 2t và y = −2 + t ′ z = − t ′ z = + 3t Chứng minh d và d ′ chéo Tính khoảng cách chúng Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 62 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (67) x − y −2 z −1 x −1 y + z − = = và d2 : d2 : = = −3 −2 Chứng minh d1 và d2 cùng nằm trên mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng đó x y 34 Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;2;1) và đường thẳng d : = = z + không qua A a) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm A và chứa đường thẳng d 33 Cho hai đường thẳng d1 : b) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt d x −1 y + z −5 35 Cho hai đường thẳng d1 : = = và d2 −3 x = + 3t : y = + 2t z = − 2t a) Chứng minh d1 và d2 cắt Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2 b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng d1 và d2 đồng thời cắt hai đường thẳng đó 36 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d : (α) : x − 2y + z − = và điểm điểm A(3;1;0) thuộc (α) x +1 y −6 z −2 = = , mặt phẳng −2 −2 a) Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d cho AM có độ dài 13 b) Xác định toạ độ điểm N thuộc d cho N cách (α) khoảng c) Chứng minh đường thẳng d và mặt phẳng (α) vuông góc với d) Tìm toạ độ các điểm I và H trên đường thẳng d cho tam giác AHI vuông cân I e) Tìm toạ độ các điểm B, C trên đường thẳng d cho tam giác ABC vuông cân A y 37 Cho hai đường thẳng d1 : x = = z ; d2 1 x = −1 − 2t : y = t (t ∈ ℝ) Tìm cặp điểm M, N z = + t thuộc d1 và d2 cho MN song song với (α) : x − y + z − = và MN = 38 Viết phương trình mặt cầu (S ) các trường hợp sau đây: a) (S ) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(6 ; – ; 3), B (0 ; 1; 6), C (2 ; ; –1), D (1 ; 1; 1) b) (S ) qua ba điểm A(1; ; – 4), B (1; – ; 1), C (2 ; ; 3) và có tâm I nằm trên mặt phẳng Oxy y −1 c) (S ) qua A(3 ; –1; 2), B(1 ; 1; –2) và có tâm I thuộc đường thẳng x + = = −z d) (S ) qua hai điểm A(3;–1;2), B(1;1;–2) đồng thời (S ) có tâm thuộc trục Oz 39 Viết phương trình đường thẳng d các trường hợp bên dưới: a) d là đường trung trực đoạn thẳng BC mp (OBC ) với B (0 ; ; 0), C (2 ; ; –1) x +1 y +2 z −2 = = −2 x −4 y +3 z −4 x −2 y z +1 c) d qua A(3;0;9), cắt đường thẳng ∆1 : = = và ∆2 : = = −1 1 x −3 y +3 = = z và cắt ∆ d) d nằm mp(α) : 3x – y + z – = 0, vuông góc với ∆ : −1 b) d qua A(0;2;–1), song song với (α) : 3x – y + z – = và cắt ∆ : Th.S Dương Phước Sang 63 0942.080383 (68) 40 Viết phương trình mặt phẳng (P ) các trường hợp đây: a) (P ) qua ba điểm A(3;0;0), B(1;2;1), C (0;0;c) cho ∆ABC có diện tích b) (P ) qua hai điểm A(3 ; ; 0), B(2; –1 ; 2) đồng thời cắt trục tung điểm C cho tứ diện ABCD có thể tích 12 đó D(1;2;1) c) (P ) qua A(1;2;1), B(–2; 1; 3) đồng thời cách hai điểm C(2;–1; 1) và D(0;3; 1) d) (P ) qua điểm M (1; 2;1) đồng thời cắt các tia Ox, Oy, Oz các điểm A, B, C cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ 41 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x − 2y + z − = và điểm A thoả OA = i − j Tìm tọa độ điểm M thuộc (P ) cho AM vuông góc với OA và độ dài [PL.TN-2014] đoạn AM lần khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P ) y 42 Cho mp (P ) : 2x + y − 2z − = và đường thẳng d : x −2 = = z +3 Tìm tọa độ giao điểm −2 d và (P ) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P ) [ĐH-A-2014] y +1 43 Cho điểm A(1;0;–1) và đường thẳng d : x −1 = = z Viết phương trình mặt phẳng qua 2 −1 A và vuông góc với d Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A lên d [ĐH-B-2014] 44 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 6x + 3y − 2z − = và mặt cầu (S ) : x + y + z − 6x − 4y − 2z − 11 = Chứng minh (P ) và (S ) cắt theo giao tuyến là đường tròn (C ) Tìm tọa độ tâm H đường tròn (C ) [ĐH-D-2014] y +1 z +2 45 Cho đường thẳng △ : x −6 = = và điểm A(1; ; 3) Viết phương trình mp (P ) qua −3 −2 A và vuông góc với △ Tìm toạ độ điểm M thuộc △ cho AM = 30 [ĐH-A-2013 (CB)] 46 Cho mặt phẳng (P ) : 2x + 3y + z − 11 = , mặt cầu (S ) : x + y + z − 2x + 4y − 2z − = Chứng minh (P ) tiếp xúc với (S ) Tìm tiếp điểm (P ) và (S ) [ĐH-A-2013 (NC)] 47 Cho điểm A(3 ; ; 0) và mặt phẳng (P ) : 2x + 3y − z − = Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (P ) Tìm toạ độ điểm đối xứng A qua (P ) [ĐH-B-2013 (CB)] y −2 z −3 48 Cho các điểm A(1 ; –1 ; 1), B (–1; ; 3) và đường thẳng △ : x +1 = = Viết phương −2 trình đường thẳng qua A, vuông góc với hai đường thẳng AB và △ [ĐH-B-2013 (NC)] 49 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P ) : x + y + z − = và các điểm A(–1 ; –1 ; –2) , B (0; ; 1) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc điểm A trên mặt phẳng (P ) Viết phương trình mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P ) [ĐH-D-2013 (CB)] 50 Cho điểm A(–1 ; ; –2) và mp (P ) : x − 2y − 2z + = Tính khoảng cách từ A đến (P ) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A đồng thời song song với (P ) [ĐH-D-2013 (NC)] y 51 Cho đường thẳng d : x +1 = = z −2 và điểm I (0 ; ; 3) Viết phương trình mặt cầu (S ) có 1 tâm I và cắt d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông I [ĐH-A-2012 (CB)] Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 64 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (69) y 52 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : x +1 = = z −2 , mặt phẳng 1 (P ) : x + y − 2z + = và điểm A(1; – 1; 2) Viết phương trình đường thẳng △ cắt d và (P ) các điểm M, N cho A là trung điểm đoạn thẳng MN [ĐH-A-2012 (NC)] y 53 Cho đường thẳng d : x −1 = = z và hai điểm A(2 ; 1; 0), B (–2 ; ; 2) Viết phương trình mặt −2 cầu qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d [ĐH-B-2012 (CB)] 54 Cho A(0;0;3), M(1;2;0) Viết phương trình mp (P ) qua A và cắt các trục Ox, Oy B và C cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM [ĐH-B-2012 (NC)] 55 Cho mặt phẳng (P ) : 2x + y − 2z + 10 = và điểm I (2;1;3) Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt (P ) theo đường tròn có bán kính [ĐH-D-2012 (CB)] y +1 z 56 Cho đường thẳng d : x −1 = = và hai điểm A(1;–1;2), B(2;–1;0) Xác định toạ độ điểm −1 M thuộc đường thẳng d cho tam giác AMB vuông M [ĐH-D-2012 (NC)] 57 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x − y − z + = và hai điểm A(2 ; ; 1), B (0 ; –2 ; 3) và Tìm điểm M thuộc (P ) cho MA = MB = [ĐH-A-2011 (CB)] 58 Cho mặt cầu (S ) : x + y + z − 4x − 4y − 4z = và điểm A(4;4;0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB ) biết điểm B thuộc mặt cầu (S ) và tam giác OAB [ĐH-A-2011 (NC)] y +1 59 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng △ : x −2 = = z và mặt phẳng −2 −1 (P ) : x + y + z − = Gọi I là giao điểm △ và (P ) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt 60 61 62 63 phẳng (P ) cho IM vuông góc với △ và IM = 14 [ĐH-B-2011 (CB)] y −1 z +5 Cho đường thẳng △ : x +2 = = và hai điểm A(– ; 1; 1), B(– ; – 1; 2) Tìm toạ độ −2 điểm M thuộc đường thẳng △ cho tam giác MAB có diện tích [ĐH-B-2011 (NC)] y Cho đường thẳng d : x +1 = = z −3 và điểm A(1; ; 3) Viết phương trình đường thẳng △ −2 qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox [ĐH-D-2011 (CB)] y −3 z Cho đường thẳng △ : x −1 = = và mp (P ) : 2x − y + 2z = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc △ , bán kính và tiếp xúc với mặt phẳng (P ) [ĐH-D-2011 (NC)] y Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng △ : x −1 = = z +2 và mặt phẳng −1 (P ) : x − 2y + z = Gọi C là giao điểm △ và (P ) , M là điểm thuộc △ Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P ) biết MC = [ĐH-A-2010 (CB)] y −2 z + 64 Cho đường thẳng △ : x +2 = = và điểm A(0;0;– 2) Tính khoảng cách từ A đến △ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt △ B và C cho BC = [ĐH-A-2010 (NC)] y −1 z 65 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng △ : x = = Xác định toạ độ 2 điểm M trên trục hoành cho khoảng cách từ M đến △ OM [ĐH-B-2010 (NC)] Th.S Dương Phước Sang 65 0942.080383 (70) 66 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1 ; ; 0), B(0;b;0), C(0;0;c), đó b, c dương và mặt phẳng (P ) : y − z + = Xác định b và c biết mặt phẳng (ABC ) vuông góc với mặt phẳng (P ) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC ) [ĐH-B-2010 (CB)] 67 Cho (P ) : x + y + z − = và (Q ) : x − y + z − = Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P ) và (Q ) cho khoảng cách từ O đến (R) [ĐH-D-2010 (CB)] x −3 y y −1 z 68 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng △ 1: = = z và △ : x −2 = = 1 2 Tìm điểm M thuộc △1 cho khoảng cách từ M đến △ [ĐH-D-2010 (NC)] 69 Cho mặt cầu (S ) : x + y + z − 2x − 4y − 6z − 11 = và mp (P ) : 2x − 2y − z − = Chứng minh mặt phẳng (P ) và mặt cầu (S ) cắt theo đường tròn Xác định [ĐH-A-2009 (CB)] y −3 z +1 y 70 Cho hai đường thẳng chéo △1: x +1 = = z +9 , △ : x −1 = = và mặt phẳng 1 −2 (P ) : x − 2y + 2z − = Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng △1 cho khoảng toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó cách từ M đến △ và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P ) [ĐH-A-2009 (NC)] 71 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(–2;1;3), C(2;–1;1) và D(1;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A, B cho khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P ) khoảng cách từ điểm D đến (P ) [ĐH-B-2009 (CB)] 72 Cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z − = và hai điểm A(–3;0;1), B(1;–1;3) Trong các đường thẳng qua điểm A và song song với mặt phẳng (P ) hãy viết phương trình đường thẳng mà [ĐH-B-2009 (NC)] khoảng cách từ B đến đường thẳng đó đạt giá trị nhỏ 73 Cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mp (P ) : x + y + z − 20 = Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với (P ) [ĐH-D-2009 (CB)] y −2 74 Cho đường thẳng △ : x +2 = = z và mp (P ) : x + 2y − 3z + = Viết phương trình 1 −1 đường thẳng d nằm (P ) cho d cắt △ và vuông góc với △ [ĐH-D-2009 (NC)] y [ĐH-A-2008] 75 Cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d : x −1 = = z −2 2 a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc điểm A trên đường thẳng d b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d cho khoảng cách từ A đến (α) lớn 76 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0 ; 1; 2), B (2 ; – ; 1), C (– ; ; 1) [ĐH-B-2008] a) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z − = cho MA = MB = MC 77 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(3 ; 3; 0), B (3 ; ; 3), C (0 ; ; 3), D (3 ; ; 3) [ĐH-D-2008] a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D b) Xác định toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 66 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (71) S PH C I Các khái niệm và phép toán liên quan đến số phức Đơn vị ảo i là số thoả : i = −1 i = −i i4 = a ∈ ℝ : phần thực Số phức là số cĩ dạng z = a + bi đó b ∈ ℝ : phaàn aûo Số phức z = bi gọi là số ảo (tức là z có phần thực a = 0) Số phức liên hợp z = a + bi ký hiệu là z = a − bi Mô-đun số phức z = a + bi ký hiệu là |z | = a + b a = a ′ Hai số phức : a + bi = a ′ + b ′i ⇔ b = b ′ Biểu diễn hình học z = a + bi trên mặt phẳng phức Oxy là điểm M (a;b) Phép cộng : (a + bi ) + (a ′ + b ′i ) = (a + a ′) + (b + b ′)i (a + bi ) − (a ′ + b ′i ) = (a − a ′) + (b − b ′)i Phép trừ : Phép nhân : (a + bi ).(a ′ + b ′i ) = (aa ′ − bb ′) + (ab ′ + a ′b)i Phép chia : a + bi (a + bi )(a ′ − b ′i ) = (nhân tử và mẫu cho số liên hợp mẫu) a ′ + b ′i (a ′ + b ′i )(a ′ − b ′i ) Phép nghịch đảo : 1 = ⋅z z |z | Mỗi số thực △ âm có bậc hai phức là: ± △ i Một số lưu ý: z =z z + z = 2a ∈ ℝ z − z = 2bi : ảo |z | = | z | z z = |z |2 z ∈ℝ ⇔z =z II Giải phương trình bậc hai hệ số thực (khi △ < 0) trên tập số phức Cho phương trình bậc hai az + bz + c = (a, b, c ∈ R và a ≠ 0) Tính △ = b – 4ac và ghi kết dạng ( △ i )2 Kết luận phương trình có nghiệm phức: z = Lưu ý: −b − i △ −b + i △ và z = 2a 2a Công thức nghiệm trên đây sử dụng biệt thức △ < Công thức nghiệm theo △′ : z = Th.S Dương Phước Sang −b ′ − i △′ −b ′ + i △′ và z = a a 67 0942.080383 (72) BÀI TẬP MINH HOẠ Ví dụ 1: Xác định phần thực, phần ảo và tính môđun các số phức sau đây: c) + i 3−i b) (3 – 4i)2 a) z = (2 + 4i)(3 – 5i) + 7(4 – 3i) d) z = 3+i (1 + i )(2 − i ) Bài giải Câu a: Ta có z = (2 + 4i)(3 – 5i) + 7(4 – 3i) = – 10i + 12i – 20i + 28 – 21i = 54 – 19i Phần thực z là 54 |z | = 542 + (−19)2 = 3277 Phần ảo z là – 19 Câu b: Ta có z = (3 – 4i)2 = – 24i + 16i = – 24i – 16 = – – 24i Phần thực z là – |z | = (−7)2 + (−24)2 = 25 Phần ảo z là – 24 (2 + i )(3 + i ) + 2i + 3i + i = = + 5i − = + i Câu c: Ta có z = + i = 2 3−i (3 − i )(3 + i ) 10 2 −i Phần thực z là 2 3+i 3+i Câu d: Ta có z = = = + i =1 (1 + i )(2 − i ) − i + 2i + + i Phần thực z là |z | = + = 2 2 Phần ảo z là |z | = 12 + 02 = Phần ảo z là Ví dụ 2: Tìm các cặp số thực x, y cho 2x + yi − + 2i = xi − y + + 4i Bài giải 2x + yi − + 2i = xi − y + + 4i ⇔ (2x − 3) + (y + 2)i = (2 − y ) + (x + 4)i 2x − = − y 2x + y = x = ⇔ ⇔ ⇔ y + = x + x − y = −2 y = Ví dụ 3: Tìm môđun số phức z biết z là nghiệm phức phương trình đây a) 3iz + (3 – i)(1 + i) = b) 2iz + = 5z + 4i Bài giải Câu a: Ta có 3iz + (3 – i)(1 + i) = ⇔ 3iz + + 3i – i – i = (−2 −2i )(−i ) ⇔ 3iz + + 3i – i + = ⇔ 3iz = –2 – 2i ⇔ z = −2 −2i = 3i −3i 2 ⇔ z = − + i ⇒ |z | = − + = 2 3 3 Câu b: Ta có 2iz + = 5z + 4i ⇔ 5z – 2iz = – 4i ⇔ 5(z – 2i) = – 4i (3 − 4i )(5 + 2i ) 15 + 6i − 20i − 8i ⇔ z = − 4i = = = 23 − 14 i 2 − 2i (5 − 2i )(5 + 2i ) 29 29 − 4i 2 ⇒ |z | = 23 + − 14 = 29 29 29 29 Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 68 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (73) Ví dụ 4: Giải các phương trình sau đây trên tập ℂ số phức: a) –z + z – = b) z + 2z – = c) z + = Bài giải Câu a: – z + z – = ⇔ z – z + = (1) Ta có, △ = 12 − 4.1.2 = −7 < ⇒ bậc hai △ là ± 7.i Vậy phương trình (1) có nghiệm phức phân biệt z = − 7i = − i và z = + 7i = + i 2 2 2 Câu b: z + 2z – = (2) Đặt t = z 2, phương trình (2) trở thành: t = Từ đó, t + 2t – = ⇔ t = −3 Vậy, phương trình (2) có nghiệm phức phân biệt : z = z = ±1 ⇔ z = −3 z = ± 3.i z = , z = −1 , z = 3i vaø z = − 3i z = −1 Câu c: z + = (3) ⇔ (z + 1)(z − z + 1) = ⇔ (*) z − z + = Giải (*) : ta có △ = (−1)2 − 4.1.1 = −3 < ⇒ bậc hai △ là ± 3i có nghiệm phức phân biệt: z = + 3i ; z = − 3i 2 Vậy, phương trình (3) có nghiệm phức phân biệt (*) z = –1, z = + i và z = − 3i 2 Ví dụ 5: Giải các phương trình sau đây trên tập ℂ số phức: a) iz + 5z = 11 − 17i c) |z |2 + z = z + i b) |z | − 2z = −3 + 6i Bài giải Câu a: Đặt z = a + bi (a,b ∈ R) thì z = a − bi , từ đó iz + 5z = 11 − 17i ⇔ i(a + bi ) + 5(a − bi ) = 11 − 17i ⇔ ia + bi + 5a − 5bi = 11 − 17i ⇔ (5a − b) + (a − 5b)i = 11 − 17i 5a − b = 11 a = ⇔ ⇔ ⇒ z = + 4i b = a − 5b = −17 Câu b: Đặt z = a + bi (a,b ∈ R) thì z = a − bi và |z | = a + b , từ đó |z | − 2z = −3 + 6i ⇔ a + b − 2(a − bi ) = −3 + 6i ⇔ a + b − 2a + 2bi = −3 + 6i 2 a + b − 2a = −3 ⇔ ⇔ 2b = Th.S Dương Phước Sang a + = 2a − ⇔⋯⇔ b = 69 a=4 ⇒ z = + 3i b = 0942.080383 (74) Câu c: Đặt z = a + bi (a,b ∈ R) thì z = a − bi và |z | = a + b , từ đó |z |2 + z = z + i ⇔ ( a + b2 ) + (a + bi )2 = a − bi + i ⇔ a + b + a + 2abi − b = a − bi + i ⇔ 2a + 2abi = a + (1 − b)i 2a = a a = a = ∨ a = a = ⇔ ⇔ ⇔ ∨ 2ab = − b (2a + 1)b = b = b = Vậy có số phức thoả đề bài là z = i z = + i 2 Ví dụ 6: Biểu diễn tập hợp các số phức thoả mãn điều kiện đây lên mặt phẳng phức: a) z + = b) z + i = z − − 3i c) z − + z + = Bài giải Câu a: Đặt z = x + yi (x , y ∈ ℝ) , đó M (x ; y) là điểm biểu diễn z y z + = ⇔ x + yi + = ⇔ (x + 1) + yi = ⇔ (x + 1)2 + y = ⇔ (x + 1)2 + y = 22 -1 x O Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho z thoả z + = là đường tròn (x + 1)2 + y = 22 với tâm I (– 1;0) và bán kính R = Câu b: Đặt z = x + yi (x , y ∈ ℝ) , đó M (x ; y) là điểm biểu diễn z z + i = z − − 3i ⇔ x + yi + i = x + yi − − 3i y ⇔ x + (y + 1)i = (x − 2) + (y − 3)i ⇔ x + (y + 1)2 = (x − 2)2 + (y − 3)2 B A ⇔ x + (y + 1)2 = (x − 2)2 + (y − 3)2 O x ⇔ 4x + 8y − 12 = ⇔ x + 2y − = Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho z thoả z + i = z − − 3i là đường thẳng x + 2y − = Câu c: Đặt z = x + yi (x , y ∈ ℝ) , đó M (x ; y) là điểm biểu diễn z z − + z + = ⇔ x + yi − + x + yi + = ⇔ (x − 2) + yi + (x + 2) + yi = ⇔ (x − 2)2 + y + (x + 2)2 + y = ⇔ MF1 + MF2 = với F1(−2; 0), F2 (2; 0) 2a = ⇔ M ∈ (E ) với (E ) là elip có ⇔ c = a = ⇒ b2 = a − c2 = c = y Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho z thoả z − + z + = là elip (E ) : x2 25 + Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia y2 = với a = vaø b = 70 x − 52 -2 O Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (75) Bài tập rèn luyện Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun các số phức sau đây: 1) 3(1 + 5i ) + 2(2 – i ) 2) 2(3 – 5i ) – 4(2 + i ) 3) 2(7 – 3i ) – 5(– – 4i ) 4) (2 + 4i )i + 2(4 – 3i ) 5) (1 – 4i )i – 3(–1 + 2i ) 6) (1 – 2i )i – 4i (3 + 2i ) 7) (2 + 4i)(3 – 2i) – 7i 8) (2 – 3i)(1 – 5i) – 3(1 – i ) 9) (1 – i )(2 + i ) – (1 + 3i )i 10) (1 + 2i)2 – (2 – 3i)i 11) (2 – 3i)2 – (1 – 3i)(5 – 2i) 12) (1 + 2i )2 + (1 − 2i )2 13) (1 + 3i )2 − ( − i )2 14) (2 – i )(1 + i )i – 3(2 + i) 15) (2 + i )2i + 4(1 + 3i) 11 − 2i + 5(1 − i ) − 2i 11 + 7i 19) 3(1 − i )2 − − 3i (3 − 4i )(1 + 3i ) + − 3i − 2i 4(1 + 2i ) − (1 − i )(1 − 3i ) 20) − 9i 17 − i −i + 3⋅ 3+i i (2 + i )(1 − 2i ) 21) (2i − 1)i − 1+i 22) (5 − i ) − (2 − 4i ) 23) (4 + 5i ) − (4 + 3i ) 2015 24) (3 − 2i ) + (1 + 2i )i (1 − 2i )( + i ) − 4i 25) − 3i (9 + i ) + (1 + i )(4 − 3i ) 26) + 2i 27) + 3i + − 3i − 2i + 2i 16) 18) 2015 Tính môđun số phức z thoả mãn phương trình sau đây: 1) 3z + – i = + 4i 2) 2iz + (2 – i )2 = + 3i 3) (2 – i )z = (1 – i )(3 – 2i ) 4) (1 – i )z + – i = 2z + i 5) (3 – i )z – + 2i = + iz 6) (1 + 2i )z = – (1 – z )i 7) − 2i z = + i 8) + i z = −1 + 3i − 2i 2−i 9) 10) (2 − i )z + i = + 2i 11) 2i.z − = 5.z − 9i 12) (3 − 2i )2 (z + i ) = 3i 13) z − i = + i 2 14) 1+i 17) 2+i z + − 3i = − 2i − 3i (2 − i )z + i iz + = 15) + 7i + 13 + 4i = z −i + 2i 2i Giải các phương trình sau trên tập số phức: 1) z + = 2) 4z + = 3) z – 4z + = 4) 2z + 2z + = 5) z + 2z + 17 = 6) z – 3z + = 7) 3x – x + = 8) x – 4z + 11 = 9) 2t – 3t + = 10) (z – 2)2 + z (z + 3) = 11) (3 + iz)2 + (2 – 6i)z = 12 12) 3z − 2z = 13) z + 4z = 14) z + 7z = 4z 15) z + = 16) z + 2z – = 17) 2z + 3z − = 18) 9z – 16 = 19) 2z + 4z + = 20) 2(2z – 1)2 + z (17z + 6) = 21) z (z + 1)(z + 2) = (1 + i )3 1−i Tính giá trị biểu thức z + i.z biết z = Cho z = + 3i Tìm phần thực, phần ảo và môđun số phức ω = z + 7i Cho z = + 3i, z = + i Tính giá trị các biểu thức : Th.S Dương Phước Sang 71 z 1.z 22 iz + ; z1 − z vaø z1 − 3z 0942.080383 (76) c) z = i(1 – i )2 Tìm số phức nghịch đảo : a) z = – 4i b) z = (1 + 3i)(2 – i ) Cho z 1, z là hai nghiệm phức phương trình z – 4z + = CMR z 12 + z 22 = Cho z 1, z là hai nghiệm phức phương trình 5z – 2z + = CMR z + z = z1.z 10 Cho z 1, z là hai nghiệm phức phương trình 3z – 2z + = Tính A = z1 + z + z1.z 11 Cho z 1, z là hai nghiệm phương trình 3z – 2z + = ( z có phần ảo âm) Tính z1 + 2z 12 Cho z 1, z là hai nghiệm phương trình 5z – 2z + = ( z có phần ảo âm) Tính iz − z 13 Hãy tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận số phức z = − i làm nghiệm 14 Tìm số nghịch đảo số phức z biết z có phần thực và phần ảo cho |z | = 2 15 Tìm z = m + (m – 1)i và z ′ = 2n + (2 − 3n )i với m,n ∈ R biết a) z = z ′ b) z + z ′ = + 7i 16 Cho số phức z = m + (m + 1)i đó m ∈ R Tìm z và z biết |z | = 17 Cho số phức z = (m – 1) + (m + 1)i đó m ∈ R Tìm z biết z z = 10 18 Cho số phức z = 2m + (m + 2)i đó m ∈ R Tìm z biết z có phần thực – 19 Tìm các cặp số thực (x ; y ) thoả mãn điều kiện cung cấp đây: a) (2x + 3) + (y + 2)i = x − (y − 4)i b) (2x − y ) + (2 − y )i = (x + 2) + (y + 4)i c) 3x − 5x − (x − 1)(y + 1)i = 3i d) x + (2y − 1)i ( ) − 24i ∈ ℕ với x , y ∈ ℤ 20 Tìm các số phức z thoả mãn các phương trình đây: 1) z + 2z = + 2i 2) 3z + 2z = + 2i 3) iz + 3z = + 5i 4) 2iz + = 5z + 4i 5) i.z + 2z = − 5i 6) z − 3i.z = − 3i 7) z + 4z − = 8) 2z + |z | −3 = 9) z − (2 + 3i )z = − 9i 10) 2z + 3(1 − i )z = − 9i 11) z = |z |2 + z 12) z + (2 + i )z = + 5i 14) z − + i − = 15) 13) 5(z + i ) = −i z +1 z 16) (2z − 1)(1 + i ) + (z + 1)(1 − i ) = − 2i iz − (1 + 3i )z = |z | 1+i 17) (3z − z )(1 + i ) − 5z = 8i − 21 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z trên mặt phẳng phức biết a) |z + i | = b) |z − 1| = |z | c) |z + 1| = |z − i | d) |z + z | +i(z + z ) = 2z e) |z − i | = |(1 + i )z | f ) 2|z − i | = | z − z + 2i | g) |z − (3 + 2i )(1 − i )| ≤ h) |z + (1 − 3i )| = | z + − 2i | i) (z − + i )2 ∈ ℝ 22 Tìm số phức z thoả mãn |z + 2i | = |z − + i | và z +1−i là số ảo z + 2i 23 Trong các số phức z thoả mãn |z − − 4i | = |z − 2i | hãy tìm số có môđun nhỏ Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 72 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (77) KH I ĐA DI N VÀ KH I TRÒN XOAY M TS CÔNG TH C TÍNH TOÁN HÌNH H C I Đường cao tam giác đều, đường chéo hình vuông Tam giác có cạnh a thì có độ dài đường cao là h = a Hình vuông có cạnh a thì có độ dài đường chéo a Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông a thì có cạnh huyền a II Hệ thức lượng tam giác A A c c b b h ma c' B b' a H C Hệ thức lượng tam giác vuông a = b + c − 2bc cos A a = b2 + c2 bc = ah b = b ′.a c = c ′.a h = b + c h= Định lý sin (cho tam giác) a b c = = = 2R sin A sin B sin C bc b + c2 Định lý trung tuyến ma = a h = b ′.c ′ C Định lý côsin (cho tam giác) (giả sử △ABC vuông A) M a B ma2 b2 + c2 a = − III.Tính diện tích đa giác A Diện tích tam giác ABC : S△ABC S△AB ′C ′ Tỉ số diện tích hai tam giác: S△ABC = a a Diện tích hình vuông: Th.S Dương Phước Sang B S hv = a C a c1 h b b b φ Diện tích hình thang: S h.thang = (a + b)h Diện tích hình b.hành: S hbh = ab sin ϕ Diện tích hình chữ nhật: S hcn = ab Diện tích hình thoi: B' AB ′ ⋅ AC ′ AB AC c2 a C' 1 abc = a.ha = bc sin A = = pr = p(p − a )(p − b)(p − c) 2 4R S h.thoi = c1.c2 Diện tích hình b.hành: S hbh = a.ha 73 0942.080383 (78) CÔNG TH C TÍNH TOÁN V I KH I ĐA DI N & KH I TRÒN XOAY I Thể tích khối chóp và khối lăng trụ VS A′ B ′C ′ Vh.choùp = B.h = SA′ ⋅ SB ′ ⋅ SC ′ SA SB SC VS ABC S S h C' A' A B B Vlaêng truï = B.h E H A B' h B D C C B II Diện tích, thể tích khối nón, khối trụ, khối cầu Vnón = S đáy h Vk.caàu = πR Vtrụ = S đáy h O r h l I I h r R l r M S xq.noùn = πrl S xq.truï = 2πrl S đáy.nón = πr S đáy.trụ = πr S m.caàu = 4πR S III Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ I Là điểm I cách tất các đỉnh hình Là giao điểm trục d đường tròn ngoại tiếp mặt đáy và mặt phẳng trung trực cạnh bên hình đó D A B C Là giao điểm trục đường tròn ngoại tiếp các mặt hình đó BÀI TẬP MINH HOẠ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 60 a) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và góc hợp đường thẳng AB với mp (SAC ) b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD ) Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 74 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (79) Bài giải S Câu a1: Do SA ⊥ (ABCD ) nên SA là đường cao hình chóp và H hình chiếu vuông góc SC lên (ABCD ) là AC, từ đó (SC ,(ABCD )) = (SC , AC ) = SCA ⇒ SCA = 60 A SA Tam giác SAC vuông C có tan SCA = AC 60° O C B ⇒ SA = AC tan SCA = a tan 60 = a Vậy VS ABCD = D 1 a3 SABCD SA = (a ).a = (đvtt) 3 Câu a2: Từ SA ⊥ (ABCD ) ta suy SA ⊥ BO ⊂ (ABCD ) BO ⊥ SA Do nên BO ⊥ (SAB ) ⇒ (AB,(SAC )) = (AB, AO ) = BAO = 45 BO ⊥ AC CD ⊥ SA Câu b: Vẽ AH ⊥ SD H ∈ SD Do nên CD ⊥ (SAD ) ⇒ CD ⊥ AH ⊂ (SAD ) CD ⊥ AD AH ⊥ SD Do nên AH ⊥ (SCD ) ⇒ d A,(SCD ) = AH = AH ⊥ CD ( SA.AD ) SA + AD = a 42 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thang vuông A và D, cạnh CD = a, AB = AD = 2a, mặt bên SAD cân S đồng thời nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Biết góc (SBC ) và (ABCD ) 60 Tính theo a a) Thể tích khối chóp S.ABCD b) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC ) Bài giải S Câu a: Do (SAD ) ⊥ (ABCD ) nên hình chóp S.ABCD có đường cao SH ⊂ (SAD ), tức là SH ⊥ (ABCD ) và H ∈ AD Ngoài △SAD cân S nên H là trung điểm cạnh AD BC ⊥ SH Vẽ HI ⊥ BC I ∈ BC Do nên BC ⊥ SI , BC ⊥ HI A H C BC I 2a A Hình thang ABCD có SABCD = (AB + CD ).AD = 3a 2 Suy S ∆HBC = SABCD − S∆HAB − S ∆HCD = 3a , từ đó IH = 60° D từ đó ((SBC ),(ABCD )) = (SI , HI ) = SIH ⇒ SIH = 60 2S ∆HBC B B a H a = 3a = 3a a 5 D I a C Tam giác SHI vuông H có SH = IH tan SIH = 3a tan 60 = 3a 15 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là V = 3a ⋅ 3a 15 = 3a Th.S Dương Phước Sang 75 5 15 (đvtt) 0942.080383 (80) 1 3a 15 a 15 S ∆ABC SH = ⋅ a ⋅ = 3 5 Câu b: S ∆ABC = SABCD − S ∆ACD = 2a ⇒ VS ABC = 6a 1 6a ⇒ S ∆SBC = BC SI = a = 3a 2 3V a 15 Như d A,(SBC ) = S ABC = S ∆SBC ∆SIH có SI = SH + IH = ( ) Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên a, đường cao SO, góc mặt bên và mặt đáy 60 Gọi K là trung điểm cạnh SA Tính thể tích khối chóp S.ABC và S.OBK Bài giải Câu a: Do S.ABC là hình chóp nên có đường cao SO qua trọng tâm O △ABC Gọi H là trung điểm cạnh BC Do ∆SBC cân S và ∆ABC nên BC ⊥ SH ⇒ ((SBC ),(ABC )) = (SH , AH ) = SHA ⇒ SHA = 60 BC ⊥ AH S Đặt AB = 2x thì AH = x và OH = AH = x 3 SH = SB − BH = a − x K Tam giác SOH vuông O có a cos SHA = OH ⇔ OH = SH cos SHA A SH ⇔ x = a − x ⇔ x = a 21 O 2x C 600 H B Tam giác SOH tiếp tục có SO = OH tan SHA = x 3 Như VS ABC = BC AH SO = 2x x 3.x = x = 3a 49 Câu b: Áp dụng định lý tỉ số thể tích ta có VS KBO VS ABO = SK ⋅ SB ⋅ SO = ⇒ VS BOK = VS ABO SA SB SO (1) Áp dụng định lý diện tích tam giác ta có S ∆ABO = AB ⋅ AO ⋅ S ∆ABH = AB ⋅ AO ⋅ ⋅ S ∆ABC = S ∆ABC ⇒ VS ABO = VS ABC (2) AB AH AB AH Từ (1) và (2) ta suy VS BOK = VS ABC = a 3 98 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy ABC là tam giác vuông A, BC = 2a, AC = a Mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính theo a : a) Thể tích khối chóp S.ABC b) Khoảng cách hai đường thẳng SA và BC c) Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 76 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (81) Bài giải Câu a: Do (SAB ) ⊥ (ABC ) nên hình chóp S.ABC có đường cao SH ⊂ (SAB ) S tức là SH ⊥ (ABC ) và H ∈ AB Do △SAB nên H là trung điểm cạnh AB Tam giác ABC vuông A có AB = BC − AC = a ⇒ S△ABC = AB.AC = a.a = a 2 Tam giác SAB có cạnh AB = a nên có đường cao SH = a Thể tích khối chóp S.ABC : V = S△ABC SH = a (đvtt) 2a B z S S Hình C H Câu b: Tính khoảng cách hai đường thẳng SA và BC Hình K A I a A a C C y 2a H 2a H D a A B B x Giải theo phương pháp cổ điển → có cách tiếp cận (xem hình 1) Dựng điểm D cho ACBD là hình bình hành đó BC€(SAD ) ( ) ( ) ( ) ⇒ d SA, BC = d BC ,(SAD ) = d B,(SAD ) ( ) Đến đây ta có hướng để tính d B,(SAD ) (theo kiểu đã giải ví dụ 1b và ví dụ 2b) Hướng 1: tính khoảng cách theo kiểu dựng hình ( ) ( ) ( dựng HI , HK nhö hình veõ ) Đổi d B,(SAD ) = 2d H ,(SAD ) → d B,(SAD ) = 2HK Hướng 2: tính khoảng cách dựa vào công thức thể tích ( ) d B,(SAD ) = VS ABD S ∆SAD löu yù raèng V =V cần tính SD để S ∆SAD ABD S ABC S → đáp số: a 15 Giải phương pháp toạ độ → tự gắn thêm hệ toạ độ (xem hình 2) Gắn hệ toạ độ Axyz với A(0;0;0), B(a;0;0), C (0; a 3; 0), H (a ; 0; 0) ⇒ S (a ; 0; a ) 2 SA = (− a ; 0; − a ) 2 ⇒ SA, BC = ( 3a ; a ; − a ) ⇒ SA, BC = a 15 Ta có 2 2 BC = (−a; a 3; 0) ⇒ SA, BC AB = 3a AB = (a; 0; 0) SA, BC AB Như d SA, BC = SA, BC ( Th.S Dương Phước Sang ) 3a = 22 a 15 77 = a 15 0942.080383 (82) Câu c: Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, O là trung điểm BC Lấy điểm T cho OHGT là hình chữ nhật ∆ABC vuoâng taïi A Ta có ⇒ OT€GH ,GH ⊥ (ABC ) S OA = OB = OC OT ⊥ (ABC ) ⇒ TA = TB = TC (1) G ∆SAB GS = GA = GB ⇒ Ta có GT€OH ,OH ⊥ (SAB ) GT ⊥ (SAB ) T A C O H ⇒ TS = TA = TB (2) B Từ (1) và (2) ta suy TA = TB = TC = TS ⇒ T là tâm mặt cầu (S ) ngoại tiếp S.ABC Ta có OH = AC = a và OT = GH = SH = a ⇒ TH = OT + OH = a 30 6 2 4 a 30 5πa 30 = Mặt cầu (S ) có bán kính nên (S ) có thể tích V(S ) = πR = π 3 27 Ví dụ 5: Cho lăng trụ ABC A′ B ′C ′ có mặt đáy là tam giác cạnh a 3, hình chiếu vuông góc đỉnh A′ lên mặt phẳng (ABC ) trùng với trọng tâm G tam giác ABC, hai cạnh AA′ và BC lăng trụ cách khoảng 3a a) Chứng minh mặt bên BCC ′B ′ lăng trụ ABC A′ B ′C ′ là hình chữ nhật b) Tính theo a thể tích khối ABC A′ B ′C ′ và diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A′ ABC c) Tính góc hợp hai đường thẳng chéo AG và A′ C Bài giải Câu a: Gọi H là trung điểm cạnh BC thì BC ⊥ AH (do ∆ABC đều) Kết hợp với BC ⊥ A′ G ta BC ⊥ (AGA′) ⇒ BC ⊥ AA′ ⊂ (AGA′) Mà BB ′€AA′ nên BC ⊥ BB ′ A' Ngoài BCC ′B ′ là hình bình hành nên ta suy BCC ′B ′ là hình chữ nhật B' E K Câu b1: Vẽ HK ⊥ AA′ K ∈ AA′ I Do HK ⊂ (AGA′) nên BC ⊥ HK ⊂ (AGA′) , từ đó A d (AA′, BC ) = HK ⇒ HK = 3a C Đặt h = GA′ thì AA′ = GA + GA′ = h + a C' 2 G H B Tam giác AMA′ có HK AA′ = GA′.AH ⇔ h = a 3 Thể tích lăng trụ ABC A′ B ′C ′ là V = BC AH GA′ = a 3a a = 9a (đvtt) Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 78 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (83) Câu b2: Gọi E là trung điểm cạnh AA′, gọi I là điểm trên A′ G cho IE ⊥ AA′ Khi đó ta có IA = IA′ (vì IE là đường trung trực AA′ ) GA = GB = GC Do nên IA = IB = IC IG ⊥ (ABC ) Từ đó IA = IB = IC = IA′ hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A′ ABC Do ∆A′ EI ~ ∆A′ GA nên IA′ = EA′ ⇒ IA′ = AA′.EA′ = 2a.a = 2a AA′ GA′ GA′ a 3 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A′ ABC là S = 4π.IA′2 = 16πa Câu c: Tính góc hợp hai đường thẳng AG và A′ C Hình z A' A' H' K I A x C G Hình B' E K B' E K C' C' C A G H B y H B Giải theo phương pháp cổ điển → dựng góc cần tính (xem hình 1) Gọi H ′ là trung điểm cạnh B ′C ′ , đó A′ H ′€AH vaø A′ H ′ = AH = 3a Do A′.ABC là hình chóp nên A′ C = A′ A = 2a ∆H ′C ′C vuông C ′ nên H ′C = CC ′2 + H ′C ′2 = a 19 ′ ′2 ′ ′ ∆A′ H ′C có cos H ′A′ C = A H +A C −H C = ⇒ H ′A′ C ≈ 75 31’21” 2A′ H ′.H ′C Vậy (AG, A′ C ) = (A′ H ′, A′ C ) = H ′A′ C ≈ 75 31’21” Giải phương pháp toạ độ → tự gắn thêm hệ toạ độ (xem hình 2) Gắn hệ toạ độ Hxyz với H(0;0;0), A( 3a ; 0; 0),C (0; − a ; 0),G (a ; 0; 0) ⇒ A′(a ; 0; a 3) 2 2 Ta có AG = (−a; 0; 0) và A′ C = (− a ; − a ; −a 3) ⇒ AG A′ C = a 2 Ngoài AG = AH = a vaø A′ C = AA′ = 2a AG A′ C Từ cos(AG, A′ C ) = cos(AG, A′ C ) = AG A′ C 2 (do A′.ABC là hình chóp đỉnh A′) = a2 a.2a = ta suy (AG, A′ C ) ≈ 75 31’21” Nhận xét: phương pháp toạ độ không gian khá hiệu các bài toán tính góc và khoảng cách Th.S Dương Phước Sang 79 0942.080383 (84) Bài tập rèn luyện Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD = 3a , hình chiếu vuông góc đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD ) là trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD ) Cho hình lăng trụ ABC A′ B ′C ′ có mặt đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc điểm A′ trên mặt phẳng (ABC ) là trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A′ C và mặt đáy 60 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A′ B ′C ′ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC ′A′) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A, mặt bên SBC là tam giác cạnh a và mặt phẳng (SBC ) vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách hai đường thẳng SA, BC Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy còn SC tạo với đáy góc 45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD ) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông A, ABC = 30 , SBC là tam giác cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, BAD = 120 , M là trung điểm cạnh BC và SMA = 45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC ) Cho lăng trụ ABC A′ B ′C ′ có AB = a và đường thẳng A′ B tạo với đáy góc 60 Gọi M và N là trung điểm các cạnh AC và B ′C ′ Tính theo a thể tích khối lăng trụ và độ dài đoạn thẳng MN Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng (ABC ) là điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC ) 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách hai đường thẳng chéo SA và BC theo a Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 80 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (85) 10 Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H là hình chiếu vuông góc điểm A trên cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH ) Tính thể tích khối chóp S ABH theo a 11 Cho hình hộp đứng ABCD.A′ B ′C ′D ′ có đáy ABCD là hình vuông, A′ AC là tam giác vuông cân, A′ C = a Tính theo a thể tích khối tứ diện ABB ′C ′ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD ′) 12 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân A, AB = a 2, SA = SB = SC Góc đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC ) 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC theo a 13 Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 30 , mặt bên SBC là tam giác có cạnh 2a a) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mp (SBC ) b) Gọi H là hình chiếu vuông góc điểm A lên cạnh SC Tính góc hợp AH và BC 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với cạnh a, hai mặt phẳng (SAB ) và (SAD ) cùng vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SB tạo với mặt phẳng (SAC ) góc 30 a) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD b) Gọi M là trung điểm cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBE ) 15 Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thang vuông A và D với AD = CD = a, AB = 3a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy còn cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 45 a) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mp (SBC ) b) Tính góc và khoảng cách hai cạnh AD và SC hình chóp S.ABCD 16 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A và cạnh bên SC = 2a Hình chiếu vuông góc đỉnh S trên mặt phẳng (ABC ) là trung điểm M cạnh AB, góc đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC ) là 60 a) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mp (SBC ) b) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AB và SC 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật; mặt bên SAB có cạnh 2a và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy; cạnh bên SD tạo với mặt đáy góc 30 a) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và góc tạo (SBD ) với mặt đáy b) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD ) 18 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A′ B ′C ′ có đáy là tam giác vuông A với AC = a, góc ACB = 60 , đường thẳng BC ′ hợp với mặt phẳng (ACC ′A′) góc 30 Th.S Dương Phước Sang 81 0942.080383 (86) a) Tính theo a thể tích khối ABC A′ B ′C ′ và khoảng cách từ điểm B ′ đến mp (ABC ′) b) Gọi M là trung điểm cạnh AC Tính góc và khoảng cách BH và AC ′ 19 Cho lăng trụ ABC A′ B ′C ′ có mặt phẳng (B ′AC ) hợp với mặt đáy góc 60 , tam giác B ′AC có diện tích a Tính theo a thể tích khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ và khoảng cách hai đường thẳng chéo AB ′, A′ C ′ 20 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a; cạnh bên và cạnh đáy kề với nó hợp với góc 45 Gọi K là chân đường phân giác xuất phát từ đỉnh B tam giác SAB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khối chóp S KBC 21 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh bên a, mặt bên hợp với mặt đáy góc 60 a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD ) b) Gọi P là hình chiếu vuông góc điểm A lên cạnh SD Tính thể tích khối chóp APCD 22 Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SB tạo với mặt đáy góc 60 Biết BC = 2a, AC = a và ABC = 120 Hãy tính theo a các giá trị sau đây a) Thể tích khối chóp S.ABC b) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC ) 23 Cho lăng trụ ABC A′ B ′C ′ có tất các cạnh a, chân đường vuông góc hạ từ A′ trên mặt đáy (ABC ) trùng với trung điểm cạnh BC Hãy tính theo a a) Thể tích khối lăng trụ ABC A′ B ′C ′ và góc hợp cạnh bên với mặt đáy lăng trụ b) Thể tích khối ABC ′A′ và khoảng cách hai đường thẳng AC , BA′ 24 Cho hình hộp ABCD.A′ B ′C ′D ′ có BB ′ = a , mặt đáy là hình thoi cạnh a, góc BAD = 60 , chân đường vuông góc kẻ từ B ′ xuống mặt phẳng (ABCD ) trùng với tâm mặt đáy a) Tính góc hợp cạnh bên và mặt đáy hình hộp b) Tính theo a thể tích khối hộp và tổng diện tích các mặt hình hộp 25 Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, mặt đáy là tam giác cân B, góc ABC = 120 , cạnh bên SC hợp với mặt đáy góc 30 Tính thể tích khối chóp S.ABC ; khoảng cách hai đường thẳng SB, AC và diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC 26 Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, đường chéo BD = 2a, hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mặt đáy là điểm H thuộc đường chéo AC cho HC = 2HA Gọi K là giao điểm hai đường thẳng BH và AD Biết SBK là tam giác vuông, hãy tính theo a thể tích khối chóp S.KHCD và khoảng cách đường thẳng AD, SC 27 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên a đồng thời hợp với mặt đáy góc 60 Gọi M là hình chiếu vuông góc đỉnh C lên cạnh SA Tính theo a thể tích khối chóp S.MBC và khoảng cách hai đường thẳng chéo SB, MC Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 82 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (87) 28 Cho lăng trụ ABC A′ B ′C ′ có mặt đáy ABC là tam giác vuông A, AB = a, BC = 2a Mặt bên ABB ′A′ là hình thoi, mặt bên BCC ′B ′ nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, ngoài hai mặt bên hợp với góc 45 a) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC ′B ′) b) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A′ B ′C ′ 29 Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thang vuông A và B, AB = BC = 2a, mặt bên SCD là tam giác vuông C, mặt bên SAB là tam giác đồng thời nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính góc hợp mặt phẳng (SCD ) với mặt đáy ; tính theo a thể tích khối chóp S ABCD 30 Cho lăng trụ đứng ABCD.A1B1C 1D1 có đường cao AA1 = a , mặt đáy ABCD là hình bình hành với góc BAD = 45 , các đường chéo AC và BD1 tạo với mặt đáy các góc 45 và 60 Tính theo a thể tích khối tứ diện ACB1A1 31 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng (SAB ) và (SAC ) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC ) Gọi M là trung điểm AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC ) và (ABC ) 60 , hãy tính thể tích khối chóp S.BCNM và tính khoảng cách hai đường thẳng AB và SN theo a 32 Cho lăng trụ ABCD.A1B1C 1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu vuông góc điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD ) trùng với giao điểm AC và BD Góc hai mặt phẳng (ADD1A1 ) và (ABCD ) 60 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD ) 33 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC ) vuông góc với mặt phẳng (ABC ) Biết SB = 2a và SBC = 30 , hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC ) 34 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC ), góc hai mặt phẳng (SBC ) và (ABC ) 30 Gọi M là trung điểm cạnh SC Tính theo a thể tích khối chóp S ABM 35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N là trung điểm các cạnh AB và AD; H là giao điểm CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD ) và SH = a Tính theo a thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách hai đường thẳng chéo DM , SC Th.S Dương Phước Sang 83 0942.080383 (88) 36 Cho lăng trụ tam giác ABC A′ B ′C ′ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A′ BC ) và (ABC ) 60 Gọi G là trọng tâm tam giác A′ BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC 37 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD ) là điểm H thuộc đoạn BC, AC = 4AH Gọi CM là đường cao tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm cạnh SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a 38 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB ) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc đường thẳng SC và mặt phẳng đáy 45 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD 39 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông A và D ; AB = AD = 2a, CD = a, góc hai mặt phẳng (SBC ) và (ABCD ) 60 Gọi I là trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI ) và (SCI ) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD ) , tính thể tích khối chóp S ABCD theo a 40 Cho lăng trụ tam giác ABC A′ B ′C ′ có BB ′ = a, góc đường thẳng BB ′ và mặt phẳng (ABC ) 60 ; tam giác ABC vuông C và BAC = 60 Hình chiếu vuông góc điểm B ′ lên mặt phẳng (ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính theo a thể tích khối tứ diện A′ ABC 41 Cho lăng trụ đứng ABC A′ B ′C ′ có mặt đáy ABC là tam giác vuông B, AB = a, AA′ = 2a, A′ C = 3a Gọi M là trung điểm cạnh A′ C ′, I là giao điểm AM và A′ C Tính theo a thể tích khối IABC và khoảng cách từ A đến (IBC ) 42 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N và P là trung điểm các cạnh SA, SB và CD Chứng minh đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP 43 Cho lăng trụ ABC A′ B ′C ′ có độ dài cạnh bên 2a, mặt đáy ABC là tam giác vuông A, AB = a, AC = a và hình chiếu vuông góc đỉnh A′ trên mặt phẳng (ABC ) trùng với trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A′ ABC và tính côsin góc hai đường thẳng AA′ , B ′C ′ 44 Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a và mặt phẳng (SAB ) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB và BC Tính theo a thể tích khối chóp S BMDN và tính côsin góc hai đường thẳng SM , DN Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 84 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (89) PH NG TRÌNH L NG GIÁC Phương trình lượng giác đặc biệt sin x = ⇔ x = π + k 2π (k ∈ ℤ) cos x = ⇔ x = k 2π (k ∈ ℤ) sin x = −1 ⇔ x = − π + k 2π (k ∈ ℤ) cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π (k ∈ ℤ) sin x = ⇔ x = k π cos x = ⇔ x = π + k π (k ∈ ℤ) (k ∈ ℤ) cot x = ⇔ cos x = tan x = ⇔ sin x = Phương trình lượng giác u = v + k 2π sin u = sin v ⇔ (k ∈ ℤ) u = π − v + k 2π u = v + k 2π cos u = cos v ⇔ (k ∈ ℤ) u = −v + k 2π tan u = tan v ⇔ u = v + k π cot u = cot v ⇔ u = v + k π (k ∈ ℤ) (k ∈ ℤ) Lưu ý 1: điều kiện có nghiệm phương trình lượng giác sin x = a có nghiệm ⇔ −1 ≤ a ≤ cos x = a có nghiệm ⇔ −1 ≤ a ≤ tan x = a luôn có nghiệm cot x = a luôn có nghiệm Lưu ý 2: công thức giải phương trình lượng giác theo giá trị lượng giác ngược x = arcsin a + k 2π sin x = a ⇔ x = π − arcsin a + k 2π (với −1 ≤ a ≤ ) x = arccos a + k 2π cos x = a ⇔ x = − arccos a + k 2π (với −1 ≤ a ≤ ) tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ cot x = a ⇔ x = arc cot a + kπ Lưu ý 3: cách xử lý dấu trừ đứng kề trước giá trị lượng giác − sin α = sin(−α) − tan α = tan(−α) − cot α = cot(−α) Ngoại lệ: − cos α = cos(π − α) Lưu ý 4: cách thay đổi loại hàm số lượng giác sin α = cos( π − α) cos α = sin( π − α) tan α = cot α = cot( π − α) tan( π − α) Phương trình bậc hai hàm số lượng giác a sin2 x + b sin x + c = , đặt t = sin x (điều kiện kèm theo là −1 ≤ t ≤ ) a cos2 x + b cos x + c = , đặt t = cos x (điều kiện kèm theo là −1 ≤ t ≤ ) a tan2 x + b tan x + c = , đặt t = tan x (không ghi điều kiện gì kèm theo ) a cot2 x + b cot x + c = , đặt t = cot x (không ghi điều kiện gì kèm theo ) Th.S Dương Phước Sang 85 0942.080383 (90) Phương trình đẳng cấp bậc hai sin x và cos x a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = Nếu thay cos x = và sin2 x = vào phương trình nhận mệnh đề sai thì ta ghi “ cos x = không thoả phương trình suy cos x ≠ ” Sau đó chia vế phương trình cho cos2 x và tiếp tục giải phương trình theo tan x Nếu “ cos x = thoả phương trình ” ta ghi nhận nghiệm x = π + k π (k ∈ ℤ) Sau đó xét cos x ≠ , chia vế phương trình cho cos2 x và giải tiếp Lưu ý: vế phải phương trình d ≠ không phải 0, cụ thể là: a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d Ta biến đổi: d = d (sin2 x + cos2 x ) đưa dạng đã xét trên (vế phải 0) Phương trình bậc sin x và cos x (phương trình cổ điển) a sin x + b cos x = c Chia vế phương trình cho a + b ta phương trình: a a + b2 sin x + b cos x = a + b2 a + b2 b → sin α a + b2 c Thay vào phương trình ta được: sin x cos α + sin α cos x = a + b2 c ⇔ sin(x + α) = a + b2 Chọn số α hợp lý để đổi a → cos α ; a + b2 c 2 Lưu ý: Điều kiện để phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm là a + b ≥ c Phương trình đối xứng sin x và cos x a(sin x + cos x ) + b sin x cos x + c = Đặt t = sin x + cos x = sin x + π (điều kiện: − ≤ t ≤ ) Bình phương vế ta suy được: sin x cos x = t − Thay biểu thức trên vào phương trình, sau đó ta giải tìm t tìm x Lưu ý: phương trình a(sin x − cos x ) + b sin x cos x + c = có cách giải tương tự Đặt t = sin x − cos x = sin x − π ( − ≤ t ≤ ) Bình phương vế ta suy được: sin x cos x = − t Thay biểu thức trên vào phương trình, sau đó ta giải tìm t, tìm x Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 86 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (91) BÀI TẬP MINH HOẠ Ví dụ 1: Giải các phương trình sau đây: a) sin2 x + sin x − = b) cos2 x + cos x + = c) sin x − cos x − = d) cos 2x + sin x + = e) cos 4x = sin2 2x + cos 2x f) 8(sin x + cos x ) = cos 8x + Bài giải x = π + k 2π sin x = − : ptvn ⇔ (k ∈ ℤ) Câu a: sin x + sin x − = ⇔ π sin x = = sin ( ) x = 3π + k 2π 4 x = π + k 2π cos x = −1 ⇔ Câu b: cos2 x + cos x + = ⇔ (k ∈ ℤ) cos x = − = cos ( 2π ) x = ± 2π + k 2π 3 Câu c: sin2 x − cos x − = ⇔ 3(1 − cos2 x ) − cos x − = ⇔ −3 cos2 x − cos x + = cos x = x = ± arccos + k 2π ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ) cos x = −1 x = π + k 2π Câu d: cos 2x + sin x + = ⇔ − sin2 x + sin x + = ⇔ −2 sin2 x + sin x + = x = − π + k 2π sin x = − π ⇔ ⇔ sin x = sin (− ) ⇔ (k ∈ ℤ) π x = sin x = : ptvn + π k Câu e: cos 4x = sin2 2x + cos 2x ⇔ cos 2.(2x ) = sin2 2x + cos 2x ⇔ cos2 2x − = 2(1 − cos2 2x ) + cos 2x ⇔ cos2 2x − cos 2x − = cos 2x = : ptvn 2x = 2π + k 2π x = π + kπ 3 ⇔ ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ) π π cos 2x = − = cos 2x = − + k 2π 2x = − π + k π 3 ( ) Câu f : 8(sin6 x + cos6 x ) = cos 8x + ⇔ − sin2 2x = ( 2cos2 4x − 1) + 2 − ⇔ − sin 2x = cos 4x ⇔ − cos 4x = cos2 4x ⇔ cos2 4x − cos 4x − = ⇔ cos 2x = −1 (do | cos 2x | ≤ 1) ⇔ 2x = π + k 2π ⇔ x = π + k π (k ∈ ℤ) Ví dụ 2: Giải các phương trình sau đây: a) b) 4(sin x + cos4 x ) + sin 4x = sin x − cos x = c) sin x + cos x = 6(sin 2x − cos 2x ) d) sin2 x − sin 2x = − cos x Bài giải Câu a: sin x − cos x = ⇔ sin x cos π − cos x sin π = 8 6 π π π 11 π ⇔ sin x − = sin ⇔ x = + k 2π x = + k 2π (k ∈ ℤ) 12 12 sin x − cos x = ⇔ ( Th.S Dương Phước Sang ) 87 0942.080383 (92) Câu b: 4(sin x + cos x ) + sin 4x = ⇔ (1 − sin 2x ) + sin 4x = 2 ⇔ − sin 2x + sin 4x = ⇔ cos 4x + sin 4x = −1 ⇔ cos 4x + sin 4x = − 2 2 π + 4x = − π + k 2π x =− π +k π 12 (k ∈ ℤ) ⇔ sin ( π + 4x ) = sin ( − π ) ⇔ ⇔ 6 π + 4x = π + k 2π x = π +k π 6 Câu c: sin x + cos x = 6(sin 2x − cos 2x ) ⇔ sin x + cos x = sin (2x − π ) 3 x + π = 2x − π + k 2π x = 5π − k 2π 12 ⇔ sin (x + π ) = sin (2x − π ) ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ) x + π = 5π − 2x + k 2π x = 13π + k 2π 36 2 Câu d: sin x − sin 2x = − cos x ⇔ − sin x + sin 2x = cos x ⇔ cos 2x + sin 2x = cos x ⇔ cos 2x + sin 2x = cos x ⇔ cos ( π − 2x ) = cos x ⇔ 2 π − 2x = x + k 2π x = π − k 2π (k ∈ ℤ) ⇔ π − 2x = −x + k 2π x = π − k 2π 3 Ví dụ 3: Giải các phương trình sau đây: a) sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x b) sin x + cos 3x = cos 2x c) cos2 x + cos2 3x = cos2 2x + cos2 4x d) sin x − cos 2x + cos x = Bài giải Câu a: Ta có sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x ⇔ sin 2x + (sin 3x + sin x ) = cos 2x + (cos 3x + cos x ) ⇔ sin 2x + sin 2x cos x = cos 2x + cos 2x cos x ⇔ (1 + cos x )(sin 2x − cos 2x ) = x = ± 2π + k 2π + cos x = ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ) π x = +k π sin 2x − cos 2x = Câu b: Ta có sin x + cos 3x = cos 2x ⇔ sin x + (cos 3x − cos 2x ) = ⇔ sin x − sin 5x sin x = 2 ⇔ sin x cos x − sin 5x sin x = ⇔ sin x ( cos x − sin 5x ) = 2 2 2 π π π ⇔ ⋯ ⇔ x = k 2π ; x = + k x = − k π (k ∈ ℤ) 2 2 + cos x + Câu c: Ta có cos x + cos 3x = cos 2x + cos 4x ⇔ + cos 6x = 1+ cos 4x + 1+ cos 8x 2 2 ⇔ cos 6x + cos 2x = cos 8x + cos 4x ⇔ cos 4x cos 2x = cos 6x cos 2x ⇔ cos 2x (cos 4x − cos 6x ) = ⇔ cos 2x sin 5x sin x = cos 2x = ⇔ sin 5x = ⇔ sin x = Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 88 x = π +k π (k ∈ ℤ) π x = k Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (93) Câu d: Ta có sin x − cos 2x + cos x = ⇔ sin x (1 − cos2 x ) − (2 cos2 x − cos x − 1) = ⇔ sin x (1 − cos x )(1 + cos x ) − (cos x − 1)(2 cos x + 1) = ⇔ (1 − cos x ) sin x + sin x cos x + cos x + = ⇔ (1 − cos x ) 2(sin x + cos x ) + (sin x + cos x )2 = ⇔ (1 − cos x )(sin x + cos x )(sin x + cos x + 2) = x = k 2π cos x = (k ∈ ℤ) ⇔ ⇔ sin x + cos x = π + kπ x = − Ví dụ 4: Giải các phương trình sau đây: b) a) − tan x (cot x + sin x ) + cos x = sin 7x + sin 2x = cos 4x − sin 3x c) sin 4x cos 4x cos x cos x − = + cos x sin x cot x tan x Bài giải Câu a: − tan x (cot x + sin x ) + cos x = (*) Với điều kiện: sin x ≠ vaø cos x ≠ ta có sin x (*) ⇔ − − tan x sin x + cos x = ⇔ − sin x + cos x = cos x ⇔ cos x − sin2 x + cos2 x = ⇔ cos2 x + cos x − = ⇔ cos x = −1 cos x = sin x ≠ cos x ≠ ±1 Do ⇔ nên nhận cos x = ⇔ x = ± arccos + k 2π (k ∈ ℤ) 5 cos x ≠ cos x ≠ sin 7x + sin 2x = cos 4x − (*) Với điều kiện: sin 3x ≠ ⇔ x ≠ k π (k ∈ ℤ) ta có Câu b: sin 3x (*) ⇔ sin 7x + sin 2x = cos 4x sin 3x − sin 3x ⇔ sin 7x + sin 2x = sin 7x − sin x − sin 3x ⇔ sin 3x + sin x + sin 2x = y ⇔ sin 2x cos x + sin 2x = ⇔ sin 2x (2 cos x + 1) = ⇔ ⋯ ⇔ x = k π x = ± 2π + k 2π (k ∈ ℤ) π Đối chiếu với x ≠ k (k ∈ ℤ) ta nhận x = π + k π (k ∈ ℤ) Câu c: x sin 4x cos 4x cos x cos x (2) Điều kiện: x ≠ k π (k ∈ ℤ) − = + cos x sin x cot x tan x sin 4x sin x − cos 4x cos x cos x tan x + cos x cot x = sin x cos x tan x cot x − cos 5x cos x ⇔ = sin x + ⇔ − cos 5x = sin2 x cos x + cos3 x sin x cos x sin x x = π −k π ⇔ cos(π − 5x ) = cos x ⇔ (k ∈ ℤ) x = π − k π (2) ⇔ Đối chiếu với điều kiện x ≠ k π y x (k ∈ ℤ) ta nhận các nghiệm x = ± π + k π , x = π + k π (k ∈ ℤ) Th.S Dương Phước Sang 89 0942.080383 (94) Bài tập rèn luyện Giải các phương trình lượng giác sau đây: 1) sin2 x − sin x − = 2) sin2 x + sin x + = 3) sin2 x + sin x − = 4) cos2 x − cos x − = 5) cos2 x − cos x + = 6) sin2 3x + sin 3x − = 7) sin2 (x − π ) + sin (x − π ) = 8) cos2 (2x + π ) + 7cos (2x + π ) + = 9) cos2 2x − cos 2x − = 10) cos2 4x + cos 4x − = 13) tan2 x − tan x + = 14) cot2 x − 3 cot x + = 11) tan2 ( x − π ) − tan ( x − π ) + = 12) 2 cos2 x − (2 + ) cos x + = 3 3 15) cos x − cos x − = 16) 10 sin x − 31 sin2 x + = 17) sin 2x − sin2 2x + = 18) tan x − tan x − = Giải các phương trình lượng giác sau đây: 1) − cos x + sin2 x = 2) − cos2 x − sin x = 3) sin2 x − cos x − = 4) cos2 x + sin x − = 5) cos2 x + sin x − = 6) sin2 x − cos2 x − sin x + = 7) cos2 x − sin2 x − cos x + = 8) sin2 2x − cos2 2x + cos 2x = 9) cos 2x + sin x − = 10) cos 2x + cos x + = 11) cos 2x − cos x − = 12) cos 2x − sin x = 13) cos 2x + sin x + = 14) cos 4x − cos 2x − = 15) cos 2x + sin x + = cos2 x 16) cos 4x = sin2 2x + cos 2x 17) cos 3x cos x − sin2 2x + cos2 x = 18) sin2 2x + sin2 x − cos 2x − = Giải các phương trình lượng giác sau đây: 1) sin x − cos x = −1 2) sin x + cos x = 3) sin x + cos x = − 4) cos x − sin x = 5) sin 2x + cos 2x = 6) cos 3x − sin 3x = 7) sin 2x − cos 2x = − 8) cos 2x + sin 2x = 9) sin 5x − cos 5x = 10) sin 4x − cos 4x = −2 11) 12) cos x − sin x + = sin 3x + cos 3x + = 13) cos 2x + sin 2x = − 14) sin 2x − cos 2x = 15) cos x − sin x = 16) sin x − cos x = −1 17) sin 3x − cos 3x = 18) cos 3x − sin 3x = −1 Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 90 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (95) Giải các phương trình lượng giác sau đây: 1) sin 2x + cos 2x = sin x 2) sin 3x − cos 3x = sin x 3) sin x = sin 5x − cos x 5) 4) sin 2x − cos 2x = 2 cos x sin 2x + cos 2x = cos x 6) sin x = 2 sin x cos x − cos x 7) sin 2x − cos x = 3(cos 2x + sin x ) 8) cos 3x + sin x = 3(cos x − sin 3x ) 9) cos 2x + sin 2x + sin x − cos x = 10) sin x + cos x = 6(sin 2x − cos 2x ) 11) sin2 x + sin 2x = 12) sin2 x − sin 2x = − cos x 13) 4(sin x + cos4 x ) + sin 4x = 14) sin 2x = cos x − cos 2x 15) sin 2x + cos 2x = sin 3x 16) sin 8x − cos 6x = 3(sin 6x + cos 8x ) Giải các phương trình lượng giác sau đây: 1) sin x + sin x cos x − cos2 x = 2) sin2 x − sin x cos x − cos2 x = 3) sin2 x + sin x cos x + cos2 x = 4) sin2 x − sin x cos x − cos2 x = 5) sin2 x − sin x cos x − cos2 x = 6) sin2 x − sin x cos x − cos2 x = 7) sin2 x − sin 2x + cos2 x = 8) sin2 x − sin x cos x + cos2 x = 9) sin2 x − sin 2x + cos2 x = 10) sin2 x + 3 sin 2x − cos2 x = 11) 12) 5(sin x + cos x ) − sin 2x + = 2(sin x + cos x ) = + sin x cos x 13) sin x + cos x − sin x cos x + = 14) 2(sin x + cos x ) = + sin x cos x 15) sin x cos x = sin x − cos x 16) sin 2x + 6(sin x − cos x ) + = Giải các phương trình lượng giác sau đây: 1) sin x + sin 2x = 2) cos x + sin x = cos 2x 3) cos 2x = 6(cos x − sin x ) 4) cos 2x + (1 + cos x )(sin x − cos x ) = 5) (sin x − 1)(1 + cos x ) = cos2 x 6) (cos x + 1)(1 − sin x ) = sin2 x 7) cos2 x (cos x − 1) = 2(1 + sin x )(sin x + cos x ) 18) sin x cos x + − cos x = sin x 9) cos 2x + sin 2x + sin x − cos x = 10) cos3 x + cos2 x + sin x − = 11) sin 3x + sin 5x + sin 7x = 12) cos 4x + cos 2x + cos x = 13) sin x − cos 2x = sin 3x 14) sin x + cos 3x = cos 2x 15) cos 3x + cos 2x − cos x − = 16) + cos x + cos 2x + cos 3x = 17) sin2 x + sin2 3x = cos2 2x + cos2 4x 18) cos2 x + cos2 3x = cos2 2x + cos2 4x 19) sin 2x = + cos x + cos 2x 20) sin x − cos 2x + cos x = 21) cos x + cos 2x − cos 3x + = sin x sin 2x 22) + sin x sin 3x = cos 2x 23) 2(cos 4x − sin x cos 3x ) = sin 4x + cos 2x 24) cos x − sin x = cos x sin2 x 25) cos2 4x + sin 10x = 26) cos2 x − sin x − sin 2x = Th.S Dương Phước Sang 91 0942.080383 (96) Giải các phương trình lượng giác sau đây: 1) (2 cos 3x + 2).cot (x − π ) = 2) tan x cos x + = cos x + tan x 3) sin x − = 3(1 − sin x ) tan2 x 4) sin x cot 2x = cos 3x 5) (2 − sin2 2x ) sin 3x cos x 7) tan ( 3π − x ) + 2 cos 4x + tan x = cot x sin 2x cos 2x + sin2 x − sin 2x 8) cot x − = + tan x 10) − tan x (tan x + sin x ) + cos x = 1 + = 12) cos x sin 2x sin 4x = tan x + 6) sin x =2 + cos x 9) cos 2x + cos x (2 tan2 x − 1) = 11) cos3 2x = cos 3x cos x + sin 2x − sin 2x 13) sin x cos 2x + sin x = cos2 x (1 − tan2 x ) 16) sin x + cos x 1 = cot 2x − sin 2x sin 2x 1) sin x + cos x = + sin 2x 2) 2(sin x − cos x ) = − sin 2x 3) + tan x = 2 sin (x + π ) 4) cos ( π − x ) + sin 2x = 5) sin 3x + cos 2x − sin x = 6) sin 5x + cos2 x = 7) cos 2x + sin x = sin 3x 8) 9) sin 3x + cos 3x − sin x + cos x = cos 2x 10) cos 4x + 12 sin2 x − = 11) sin 2x + 2 cos x + sin (x + π ) + = 12) sin (2x − π ) + sin x + = 15) cos 2x + cot 2x + sin 4x =2 cot2x − cos 2x 14) tan x + cot x = 2(cot2x + sin 2x ) Giải các phương trình lượng giác sau đây: 4 3 sin 2x + cos 2x = cos x − 13) sin x + cos 2x − cos x = 14) sin 2x + cos 2x = 6(sin x − cos x ) 15) cos 2x + sin x = 3(cos x − sin 2x ) 16) cos 2x − sin x = sin 2x + cos x 17) sin2 x + sin 2x = 18) cos 3x + sin 2x − cos 2x = sin x − cos x 19) cos3 x + sin x + sin2 x = 20) (2 sin x − 1)(2 sin 2x + 1) = − cos2 x 21) + sin x + cos 3x = cos x + sin 2x + cos 2x 22) + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 23) sin2 x + sin2 2x + sin2 3x = 24) sin2 x + sin2 2x = sin2 3x 25) sin 2x + cos 2x − sin x + cos x − = 26) sin 2x + cos 2x = sin2 x − cos2 x 27) sin2 x − cos 2x = + cos2 (x − 3π ) 28) sin ( 3x − π ) = sin 2x sin (x + π ) 29) sin (2x + 5π ) − cos (x − π ) = + sin x 2 4 π 30) cos (x − ) + cot x = cot2x 31) cos 2x cos x − cos 2x + sin x + cos x = 32) cos3 x + cos 2x − sin x + = 33) cos 2x + sin 2x + sin x − cos x = 34) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 35) sin x − sin x = cos3 x − cos x + cos 2x 36) + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 37) 2(cos x + sin x )cos x = cos x − sin x + 38) cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = 39) (sin 2x + cos 2x )cos x + cos 2x = sin x Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 40) sin 2x − cos 2x + sin x − cos x − = 92 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (97) 41) 43) 45) + sin 2x + cos 2x 42) sin 2x + cos x − sin x − =0 tan x + = cos x 44) (1 − sin x ) cos x = (1 + sin x )(1 − sin x ) sin2 x cos x + sin 2x cos x − sin 4x =0 sin x + 46) + cot2 x = sin x sin 2x (1 + sin x + cos 2x ) sin (x + π ) + tan x tan2 x + tan x tan x + = sin (x + π ) 47) cos 5x cos 3x + 2(8 sin x − 1)cos x = 48) 49) 3(2 cos2 x + cos x − 2) = (2 cos x − 3)sin x 50) (1 + sin x ) cos x = + sin x + cos x 51) sin x (1 + cos 2x ) + sin 2x = + cos x 52) tan x = cot x + cos2 2x 53) sin (2x − π ) = sin (x − π ) + 54) sin (x + π ) − sin (2x − π ) = 2 4 cos 5x − sin 3x cos 2x − sin x = 2 55) 3sin x + cos 2x + sin 2x = sin x cos x 1 π + = sin ( − x ) 57) sin x sin (x − 3π ) 58) 59) sin 3x − cos 3x = sin 2x 60) sin2 2x + sin 7x − = sin x 61) ( sin x + cos x ) + cos x = 62) sin ( 5x − π ) − cos ( x − π ) = cos 3x 63) 2 sin (x − π ) cos x = 12 64) cot x + sin x (1 + tan x tan x ) = 56) 4(sin x + cos x ) + cos 4x + sin 2x = 2 65) 1 + + cot 2x = sin 2x + sin x sin x sin 2x 2 sin 2x cos 2x + = tan x − cot x cos x sin x 66) 4 2(cos6 x + sin6 x ) − sin x cos x =0 − sin x 67) cos x + sin4 x + cos (x − π ) sin ( 3x − π ) = 68) sin (2x − π ) + sin x + = 4 69) (1 − tan x )(1 + sin 2x ) = + tan x 70) (2 sin x − 1) tan2 2x = 3(1 − cos2 x ) 71) cos 2x + (1 + cos x )(sin x − cos x ) = 72) cos3 x + sin x + sin2 x = 73) sin3 x + sin2 x + sin 2x + cos x = 74) cos2 3x cos 2x − cos2 x = 75) sin 2x + cos 2x + sin x − cos x − = 76) cos 3x − sin 2x = 3(cos 2x − sin 3x ) (4 ) ( 9x 77) cos 3x + sin 7x = sin2 π + 5x −2 cos2 78) 4sin − cos 2x = + 2cos x − 79) cos 2x + cos4 x − = 81) tan ( π + x ) − 3tan2 x = cos2x − cos2 x 83) sin 3x + cos 2x = + sin x cos 2x 80) cos 2x + cos x (2 tan2 x − 1) = − sin x 82) = cot2 x + cos x 84) + sin x + cos x + tan x = 85) (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x ) = sin 2x − sin x 86) sin x − = 3(1 − sin x ) tan2 x 87) 4(sin x + cos3 x ) = cos x + sin x 88) sin x + cos3 x = sin x − cos x 89) sin x cos 2x + sin 2x cos x = sin 4x cos x 90) sin 4x sin 7x = cos 3x cos 6x 91) sin x + sin 2x = 3(cos x + cos 2x ) 92) cos 3x + cos 2x = − sin x sin 2x 93) cos 2x + cos3 x − cos 3x = 94) + cos x − cos 2x = sin x + sin 2x 95) cos (x + π ) + cos (x + π ) = cos (x + π ) Th.S Dương Phước Sang x 96) sin2 (x − π ) = sin2 x − tan x 4 93 3π ) 0942.080383 (98) 97) 2(1 + sin x ) = 99) cos2 x (cos x − 1) sin x + cos x cos6 x + sin6 x tan 2x = cos2 x − sin2 x 1 100) = + 2 cos(x + π ) cos x sin x 98) sin x − sin 2x = cos x − cos 2x 101) cos2 x − cos2 2x = + cos 4x 102) cos 4x − cos6 x + cos2 x + = 103) sin 4x sin 2x + sin 9x sin 3x = cos2 x cos 2x + sin2 x − sin 2x 105) cot x − = + tan x 107) cos 3x − cos 2x + cos x − = 104) + cos x = tan x (tan x + sin x ) 106) cot x − tan x + sin 2x = sin 2x 108) cos x cos 7x = cos 3x cos 5x cos 3x + sin 3x 109) sin x + + sin 2x 111) sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x (2 − sin2 2x )sin 3x cos4 x 112) tan x + cot2x = sin 2x 113) sin 2x − cos 2x = sin x + cos x − 114) sin 3x = cos x cos 2x (tan2 x + tan 2x ) 115) sin x + cos x = + tan x 116) sin 2x + tan x = = cos 2x + ( 10 117) sin4 (x + π ) + sin (x − π ) + sin4 x = 119) 2(1 + cot2x cot x ) = 48 − 110) tan x + = ) ( 10 118) sin 3π − x = sin π + 3x 120) 2 ) sin x + cos4 x = (tan x + cot x ) sin 2x sin2 x cos4 x 121) sin 2x − cos 2x = sin x + cos x − 122) sin2 x + sin2 3x − cos2 2x = x x 123) + tan2 x + tan x + cot x + = 124) sin + cos4 = − sin x 2 sin x 125) cos x + sin 10x = + cos 28x sin x 126) cot x + 2 sin2 x = (2 + 2) cos x 127) + tan x + cos 2x = 128) sin x + cot x = sin 2x + 129) cos3 x − sin x = cos2 x − sin2 x 130) sin x − cos3 x = sin 2x cos x 131) sin x + cos x + cos 2x = sin x cos x 132) sin x + cos4 x − = 133) cot4 x = cos3 2x + 134) sin x + cos x = + tan x 135) cos x cos 2x = + cos 2x + cos 3x 136) 4(sin x + cos4 x ) + sin 4x = 137) sin x + sin 2x + sin 3x = 138) tan x + tan 2x = −3 sin 3x cos 2x 140) sin 4x − cos 6x = sin ( 21π + 10x ) 139) sin 5x − cos (x + 5π ) = sin (2x − π ) 2 3 141) cos x + sin 2x = cos x 142) + cos x − sin x = sin 2x 143) tan x − cot x = 4(sin x + cos x ) 144) cos3 x + sin x = cos 2x 145) sin x cos x cos 2x = sin 8x 146) cos3 x − sin x = sin x + cos x 147) cos3 x + sin 2x = cos x 148) sin 2x + sin (x − π ) = 149) 2(sin x + cos x ) cos x = + cos 2x 150) sin 2x (cot x + tan 2x ) = cos2 x 151) cos2 2x + cos 2x = sin2 2x cos2 x 152) cos2 x + sin x + cos x = 153) cos3 x + sin x = sin 2x + sin x + cos x 154) cos 3x − cos 2x = Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 94 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (99) T H P - XÁC SU T - NH TH C NEWTON Một số công thức tính toán Ank = n, k ∈ ℕ n! (ĐK: ) n ≥ k (n − k )! C nk = n, k ∈ ℕ n! (ĐK: ) n ≥ k k !(n − k )! đếm đủ k thừa số đếm đủ k thừa số n(n − 1)⋯(n − k + 1) k! Ank = n(n − 1)⋯(n − k + 1) C nk = Pn = n ! (n ∈ ℕ∗ ) C nk = C nn −k +1 ; C nk + C nk +1 = C nk + Khai triển nhị thức Newton n (a + b ) = (1 + x ) = C n0 + C n1x + C n2x + ⋯ + C nn x n n n ∑ C nk a n −k bk Số hạng thứ k là Tk = C nk −1.a n −k +1.b k −1 k =0 C n0 + C n1 + C n2 + ⋯ + C nn = 2n Các quy tắc đếm sử dụng bài toán tổ hợp – xác suất a) Quy tắc cộng: Một công việc có thể thực phương án khác đó phương án có m cách thực còn phương án có n cách Khi đó có (m + n ) cách thực công việc đã nêu b) Quy tắc nhân: Một công việc buộc phải thực qua công đoạn Có m cách thực bước và với cách thực bước ta có n cách làm bước Khi đó có (m × n ) cách thực công việc đã nêu c) Phân biệt cách sử dụng số hoán vị - số chỉnh hợp & số tổ hợp: Có Pn cách đem thứ tự Có n phần tử Có Ank cách Lấy phận gồm k phần tử không xếp thứ tự gì Có C nk cách Xác suất biến cố và công thức xác suất Với n(Ω) là số kết có thể xảy phép thử, n(A) là số kết thuận lợi cho biến cố A P (A) = n(A) n(Ω) Xác suất biến cố đối : P (A) = − P (A) Với hai biến cố A, B độc lập ta có P (AB ) = P (A).P (B ) Th.S Dương Phước Sang 95 0942.080383 (100) BÀI TẬP MINH HOẠ Ví dụ 1: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton 2n 2x − x biết n là số tự nhiên thoả hệ thức An3 + C n1 = 8C n2 + 49 Bài giải Với điều kiện: n ∈ ℕ và n ≥ ta có An3 + C n1 = 8C n2 + 49 n n(n − 1) ⇔ n(n − 1)(n − 2) + = + 49 1! 2! ⇔ n(n − 1)(n − 2) + n = 4n(n − 1) + 49 ⇔ n − 3n + 2n + n = 4n − 4n + 49 ⇔ n − 7n + 7n − 49 = ⇔ n = (thoả điều kiện) Với n = ta có nhị thức Newton 14 14 k 14 2x − = k k 214−k (−1)k x 14−2k C 14 (2x )14−k − = ∑ C 14 ∑ x x k =0 k =0 Số hạng chứa x khai triển là số hạng thoả điều kiện 14 − 2k = ⇔ k = 3 Vậy hệ số số hạng chứa x khai triển là C 14 211.(−1)3 = −745472 Ví dụ 2: Lớp 12C có 40 bạn đó có 19 bạn nam và 21 bạn nữ Hỏi a) Giáo viên có bao nhiêu cách phân công bạn lớp lên bảng giải bài tập nhà b) Giáo viên có bao nhiêu cách phân công bạn lớp trực cổng trường c) Giáo viên có bao nhiêu cách phân công bạn nam quét lớp học d) Giáo viên có bao nhiêu cách phân công bạn nữ làm tổ trưởng tổ lớp e) Giáo viên có bao nhiêu cách phân công bạn nam và bạn nữ chuẩn bị sân lễ f) Giáo viên có bao nhiêu cách phân công bạn cùng phái tham gia kéo cờ Phân tích đề bài Câu a: Phải thấy cách phân công A,B,C lên giải bài 1,2,3 khác với cách phân công A,B,C lên giải bài 2, 3,1 Do đó việc phân công giải bài tập hiểu việc “chọn và thứ tự” cho học sinh từ 40 em Công thức cần áp dụng để kết đúng là A40 Câu b: Cách phân công em A,B,C trực cổng trường giống cách phân công em C , B, A trực cổng không có gì thay đổi Do đó việc phân công này là việc “chọn mà không thứ tự” cho em học sinh từ 40 em Công thức cần áp dụng là C 40 Câu c: Việc phân công bạn cùng quét lớp học là hành động “chọn mà không thứ tự” đó công thức cần áp dụng là C nk nhiên cần chú đối tượng chọn phải là nam Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 96 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (101) Câu d: Việc phân công bạn làm tổ trưởng là việc “chọn và xếp thứ tự” bạn vào vị trí Do 4 bạn chọn phải là nữ nên phải chọn từ nhóm 21 bạn Đáp số đúng là A21 Câu e: Đề yêu cầu phân công đến em lớp nên lần phân công đây là bước nhỏ Bước 1: phân công em nam chuẩn bị sân lễ, có C 19 cách chọn Bước 2: phân công em nữ chuẩn bị sân lễ, có C 21 cách chọn Gặp bài phải chia nhỏ bước để chọn ta dùng quy tắc nhân Câu f: Có yêu cầu bạn lên kéo cờ phải cùng giới tính nên ta thấy có trường hợp cần xét Trường hợp 1: phân công em cùng là nam lên kéo cờ, có C 19 cách chọn Trường hợp 1: phân công em cùng là nam lên kéo cờ, có C 19 cách chọn Đây là bài chia trường hợp không phải chia nhỏ bước chọn nên ta dùng quy tắc cộng Ví dụ 3: Từ hộp đựng cầu đen, cầu trắng và cầu đỏ người ta chọn ngẫu nhiên lần để lấy cầu Tính xác suất để các cầu lấy a) Tất có màu trắng b) Không có cầu nào màu đen c) Có đúng cầu màu trắng d) Có ít cầu có màu đỏ Bài giải Câu a: Từ cái hộp đựng 13 cầu, lấy ngẫu nhiên cầu cho ta số kết có thể xảy là n(Ω) = C 13 = 715 Đặt A là biến cố “4 cầu lấy có màu trắng” Để A xảy ta cần chọn cầu từ cầu màu trắng, từ đó n(A) = C 64 = 15 Vậy xác suất biến cố A là P (A) = n(A) = 15 = n (Ω) 715 143 Câu b: Đặt B là biến cố “4 cầu lấy không có cầu nào màu đen” Để B xảy ta cần chọn cầu từ cầu không có màu đen, từ đó n(B ) = C 84 = 70 Vậy xác suất biến cố B là P (B ) = n(B ) = 70 = 14 n(Ω) 715 143 Câu c: Đặt C là biến cố “4 cầu lấy có đúng cầu màu trắng” Để C xảy ta cần chọn cầu từ màu trắng và cầu từ cầu đỏ và đen n(C ) = C 62C 72 = 315 ⇒ P (C ) = n(C ) = 315 = 63 n(Ω) 715 143 Câu d: Đặt D là biến cố “4 cầu lấy có ít cầu màu đỏ” D không xảy cầu không có màu đỏ, muốn ta phải chọn cầu từ 4 11 cầu đen-trắng, đó n(D ) = C 11 ⇒ n(D ) = C 13 − C 11 = 385 Vậy xác suất biến cố D là P (D ) = Th.S Dương Phước Sang n(D ) = 385 = n(Ω) 715 13 97 0942.080383 (102) Ví dụ 4: Từ các chữ số 0,1,3,4,5,7,9 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số cho a) Số đó có chữ số b) Số đó có chữ số đôi khác c) Số đó là số chẵn d) Số đó chẵn và có chữ số đôi khác Bài giải Câu a: Đặt X = {0;1;3;4;5;7;9} Xét số abcd (a, b, c, d ∈ X , a ≠ 0) Số cách chọn a là : (cách) Số cách chọn c là : (cách) Số cách chọn b là : (cách) Số cách chọn d là : (cách) Vậy có 6.7.7.7 = 2058 số có chữ số lập từ tập hợp X Câu b: Đặt X = {0;1;3;4;5;7;9} Xét số abcd (a ≠ 0, a, b, c, d ∈ X , chúng khác nhau) Số cách chọn a là : (cách) Số cách chọn c là : (cách) Số cách chọn b là : (cách) Số cách chọn d là : (cách) Vậy có 6.6.5.4 = 720 số có chữ số đôi khác lập từ tập hợp X Câu c: Đặt X = {0;1;3;4;5;7;9} Xét số abcd ⋮ (a, b, c, d ∈ X , a ≠ 0, d chaün) Số cách chọn d là : (cách) Số cách chọn b là : (cách) Số cách chọn a là : (cách) Số cách chọn c là : (cách) Vậy có 2.6.7.7 = 588 số chẵn có chữ số lập từ tập hợp X Câu d: Đặt X = {0;1;3;4;5;7;9} Xét số abcd /⋮ (a ≠ 0, a, b, c, d ∈ X , chúng khác và d lẻ) Số cách chọn d là : (cách) Số cách chọn b là : (cách) Số cách chọn a là : (cách) Số cách chọn c là : (cách) Vậy có 5.5.5.4 = 500 số lẻ có chữ số đôi khác lập từ tập hợp X, từ đó Có 720 – 500 = 220 số chẵn có chữ số đôi khác lập từ tập hợp X Lưu ý: câu d còn cách giải khác đó là cách chia trường hợp (xét số abc sau đó xét số abc 4) Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có chữ số khác lập từ X = {1;3;4;5;6;9} a) Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp S ta nhận số lẻ b) Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp S ta nhận số chẵn Bài giải Câu a: Mỗi cách “chọn và thứ tự” phần tử từ phần tử X cho ta số có chữ số khác nhau, đó tập hợp S có A63 = 120 phần tử Nếu xét số abc /⋮ (a, b, c ∈ X , chúng khác nhau) thì số cách chọn c,a,b tương ứng là: 4,5,4 Như tập hợp S có 4.5.4 = 80 phần tử là số lẻ và 40 phần tử là số chẵn Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 98 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (103) Chọn ngẫu nhiên phần tử từ tập S có 120 phần tử cho ta số kết có thể xảy là n(Ω) = C 120 = 120 Đặt A là biến cố “số chọn là số lẻ” Do S có 80 số lẻ nên n(A) = C 80 = 80 Vậy xác suất biến cố A là P (A) = n(A) = 80 = n(Ω) 120 Câu b: Chọn ngẫu nhiên phần tử từ tập S có 120 phần tử cho ta số kết có thể xảy là n(Ω) = C 120 Đặt B là biến cố “2 số chọn là số chẵn” Do S có 40 số chẵn nên n(B ) = C 40 C 40 n(B ) Vậy xác suất biến cố B là P (B ) = = = 13 n (Ω) C 120 119 Ví dụ 5: Chứng minh C 20n + C 22n 32 + C 24n 34 + ⋯ + C 22nn 32n = 22n −1(22n + 1) Bài giải ( Ta có khai triển + x ) 2n = C 20n + C 21n x + C 22n x + C 23n x + ⋯ + C 22nn x 2n 42n = C 20n + C 21n + C 22n 32 + C 23n 33 + ⋯ + C 22nn 32n (1) Cho x = ta được: Cho x = −3 ta được: (−2)2n = C 20n − C 21n + C 22n 32 − C 23n 33 + ⋯ + C 22nn 32n (2) Cộng vế theo vế (1) và (2) ta 42n + 22n = 2C 20n + 2C 22n 32 + 2C 24n 34 + ⋯ + 2C 22nn 32n (3) Tiếp tục chia vế (3) cho ta 22n −1(22n + 1) = C 20n + C 22n 32 + C 24n 34 + ⋯ + C 22nn 32n Ví dụ 6: Tìm số tự nhiên n để C n0 + 2C n1 + 3C n2 + ⋯ + (n + 1)C nn = 1280 Bài giải ( Ta có khai triển + x ) ( x 1+x n ) n = C n0 + C n1x + C n2x + ⋯ + C nn x n Nhân vế cho x ta = xC n0 + x 2C n1 + x 3C n2 + ⋯ + x n +1C nn (1) Lấy đạo hàm hai vế (1) theo biến x ta (1 + x ) n ( + nx + x ) n −1 = C n0 + 2xC n1 + 3x 2C n2 + ⋯ + (n + 1)x nC nn Cho x = ta 2n + n.2n −1 = C n0 + 2C n1 + 3C n2 + ⋯ + (n + 1)C nn = 1280 Hàm số f (x ) = 2x + x 2x −1 có f ′(x ) = 2x ln + 2x −1 + x 2x −1 ln > 0, ∀x > Từ đó phương trình f (n ) = 1280 có nhiều nghiệm n ∈ ℕ Mà f (8) = 1280 nên n = là giá trị thoả đề bài Th.S Dương Phước Sang 99 0942.080383 (104) Bài tập rèn luyện Giải các phương trình, bất phương trình và hệ phương trình sau đây: 1) An3 + 5An2 − 21n = 2) 72An1 − An3+1 = 72 3) 2An2 + 50 ≥ A22n 4) C 23n = 20C n2 5) C n2 − 2C n3−1 + 3n = 6) 2(C n1 + C n2 + C n3 ) < 7n 7) An2−2 + C n2 = 101 8) C n5+3 = 5An3+1 9) 4C n4−1 − 4C n3−1 = 5An2−2 10) 2C n2 +1 + 3An2 < 30 11) An3 + 2C n2 ≤ 9n 12) An3 + C nn −2 = 14n 13) C nn+−12 + 2C n3−1 = 7(n − 1) 14) An3−1 + C nn−−13 < 16n 15) 14P3C nn−−13 ≥ An4+1 16) (n − 5)C n4 + 2C n3 ≤ 2An3 17) A2n − An2 ≤ C n3 + 10 n 18) An2 C nn −1 = 48 n n +2 n +1 + C 14 = 2C 14 19) C n2n+−2 = 2C nn −1 + C nn −2 + 20) C 14 21) Ann+−12 ≥ 2Pn C n2−1 Tìm hệ số x khai triển nhị thức Newton (x + 2)19 thành đa thức Tìm hệ số x khai triển nhị thức Newton (x − 3)9 thành đa thức Tìm hệ số x khai triển nhị thức Newton (2x − 1)12 thành đa thức Tìm hệ số x 20 khai triển nhị thức Newton (x + 2x )16 thành đa thức Tìm hệ số x 18 khai triển nhị thức Newton (x − x )12 thành đa thức Tìm hệ số x khai triển nhị thức Newton x + thành tổng x Tìm số hạng không chứa x khai triển các nhị thức Newton sau đây 16 b) x − x 12 f ) x − x a) x + x d) x − x 10 16 h) x + x 1 g) x + x 12 e) x − x 12 c) x + x Tìm hệ số x khai triển P (x ) = (2x + 1)7 − (x − 2)8 thành đa thức ẩn x 11 1 x − + x + 10 Tìm hệ số x khai triển biểu thức A(x ) = x x2 11 Tìm hệ số x khai triển P (x ) = (x − x )5 − x (1 + x )8 thành đa thức ẩn x n 12 Tìm hệ số x khai triển nhị thức Newton 2x + , x ≠ biết n là số x nguyên dương thoả mãn hệ thức C n2 + 2An2 + n = 112 n 13 Tìm hệ số x khai triển nhị thức Newton x − , x ≠ biết n là số x nguyên dương thoả mãn hệ thức 4C n3+1 + 2C n2 = An3 n 3 14 Tìm hệ số x khai triển nhị thức Newton − x , x ≠ biết n là số x n −6 nguyên dương thoả mãn hệ thức C n −4 + nAn = 454 n 15 Tìm hệ số x khai triển nhị thức Newton 23 + x , x > biết n là số x nguyên dương thoả mãn hệ thức C nn++41 − C nn+ = 7(n + 3) Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 100 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (105) 16 Với n là số nguyên dương thoả mãn hệ thức 22 + 143 = , hãy tìm số hạng chứa x n Cn 3C n khai triển nhị thức Newton (1 − 3x )2n 17 Với n là số nguyên dương thoả mãn hệ thức An2 − C nn+−11 = , hãy tìm số hạng chứa x 18 19 20 21 khai triển biểu thức P (x ) = x (1 − 2x )n + x (1 + 3x )2n thành đa thức ẩn x n 1 Khi khai triển nhị thức Newton x + theo thứ tự bậc giảm dần x thì tổng hệ số x các số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ ba 46 Tìm hệ số tự khai triển n Khi khai triển nhị thức Newton x + theo thứ tự bậc giảm dần x thì tổng hệ số x ba số hạng đầu tiên 33 Tìm số hạng chứa x khai triển n 3 Tìm số hạng chính khai triển nhị thức Newton − x , x > biết x tổng tất các hệ số khai triển 1024 3n Tìm hệ số x khai triển nhị thức Newton x + 2n biết n là số nguyên dương thoả mãn hệ thức An3 + 6C n2 − 4C n1 = 100 ( 22 Tìm hệ số x khai triển x x + x ) n biết C n3 + C n2 = 1330 23 Tìm hệ số x khai triển biểu thức P (x ) = 2x (1 − 3x )5 − 3x (1 + 2x )7 n 24 Tìm hệ số khai triển nhị thức Newton 2x − 33 biết n là số nguyên x x dương thoả mãn hệ thức C n3 − C nn−−13 = C nn−−12 C n1 + n 25 Biết hệ số số hạng thứ tư khai triển x + 70 Hãy xác định số 2x x hạng không chứa x khai triển đó ( ) thành đa thức ẩn x Tìm hệ số x khai triển biểu thức P (x ) = (1 + x (1 − x )) thành đa thức ẩn x Tìm hệ số x khai triển biểu thức P (x ) = (1 + x + 3x ) thành đa thức ẩn x 26 Tìm hệ số x khai triển biểu thức P (x ) = + 2x + 3x 27 28 14 10 n biết n là số tự nhiên thoả mãn điều kiện C n1 + C n2 + C n3 + ⋯ + C nn = 255 29 Cho đa thức P (x ) = (1 + x ) + 2(1 + x )2 + 3(1 + x )3 + ⋯ + 20(1 + x )20 Khai triển P (x ) thành đa thức ta P (x ) = a + a1x + a2x + a 3x + ⋯ + a20x 20 hãy xác định a15 ( ) 30 Cho khai triển (1 + 2x )10 x + x + = a + a1x + a2x + ⋯ + a14x 14 Hãy xác định a6 ( 31 Tìm hệ số x khai triển P (x ) = − x − 3x ) n biết C n2 + 6n + = An2+1 32 Cho khai triển (x + 1)10 (x + 2) = a + a1x + a2x + + a11x 11 Hãy xác định a5 và a10 33 Quy ước số hạng thứ i khai triển (a + b)n = n ∑ C nka n −kbk là số hạng ứng với k = i – k =0 Hãy tìm các giá trị x để số hạng thứ khai triển đây 224 x −1 − log (3x −1 +1) 2log2 +7 + Th.S Dương Phước Sang 101 0942.080383 (106) 34 Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên viên bi từ hộp đựng 15 viên bi khác nhau? 35 Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên người từ nhóm người gồm nam và nữ ? 36 Có bao nhiêu cách dán tem khác lên bì thư khác (mỗi tem dán vào bì) ? 37 Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho bạn học sinh vào bàn dài có chỗ ngồi ? 38 Từ 20 học sinh ưu tú lớp, giáo viên chủ nhiệm cần chọn ban đại diện lớp gồm lớp trưởng, lớp phó và tổ trưởng Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách để chọn? 39 Lớp 12C có 43 học sinh gồm 23 bạn nam và 20 bạn nữ a) Có bao nhiêu cách phân công bạn lớp lên bảng giải bài tập (mỗi bạn giải bài) ? b) Có bao nhiêu cách cử bạn lớp tham gia ngày hội ứng dụng công nghệ thông tin ? c) Có bao nhiêu cách phân công ngẫu nhiên bạn nam lớp tham gia giải chạy việt dã ? d) Có bao nhiêu cách phân công bạn nữ kiểm tra tập bài tập tổ (mỗi bạn kiểm tổ) ? 40 Có bao nhiêu cách chọn viên bi từ hộp đựng viên bi xanh khác và 11 viên bi trắng khác với điều kiện kèm theo đây: a) viên bi chọn cách tuỳ ý ? b) viên bi chọn có cùng màu xanh ? c) viên bi chọn có cùng màu trắng ? d) viên bi chọn có đủ loại màu ? e) Chọn đúng viên bi trắng ? f) Số viên bi trắng chọn là số lẻ ? 41 Từ tổ học sinh gồm nam và nữ, giáo viên chủ nhiệm cần chọn em tham gia vào các trò chơi nhà trường Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn học sinh a) Học sinh chọn cách tuỳ ý b) Học sinh chọn toàn là nam c) Học sinh chọn toàn là nữ d) Nhóm chọn phải có đủ nam và nữ e) Có đúng em nữ chọn f) Có ít em nữ chọn 42 Từ hộp kẹo chứa viên kẹo sữa khác nhau, viên kẹo dẽo và viên kẹo đậu phộng khác nhau, người ta lấy viên để tặng cho em học sinh giải đúng bài tập Hỏi có cách tặng kẹo cho các em a) Kẹo chọn cách tuỳ ý b) Học sinh muốn ăn kẹo đậu phộng c) Có ít loại kẹo tặng d) Có em không ăn kẹo dẽo 43 Trên kệ sách thầy A có sách hàm số khác nhau, sách đại số khác và sách hình học khác Một hôm có học sinh đến chơi nhà thầy A và có ý định xin thầy A cho mượn sách (mỗi học sinh xin thầy cho mượn sách) Nếu đồng ý cho các em mượn sách, thầy A có bao nhiêu cách mượn a) Cả em muốn mượn sách hàm số ? b) Không em nào muốn mượn sách đại số ? c) Em X muốn mượn sách hình học ? d) Ba em xin mượn loại sách khác ? Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 102 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (107) 44 Chọn ngẫu nhiên viên bi bình đựng viên bi đen và viên bi trắng Tính xác suất để a) viên bi lấy có màu khác b) viên bi lấy có cùng màu đen c) viên bi lấy có cùng màu trắng d) viên bi lấy có cùng màu 45 Từ hoa hồng vàng, hoa hồng đỏ và hoa hồng trắng, người ta muốn chọn ngẫu nhiên đoá hoa hồng để làm thành bó hoa Tính xác suất để a) Chỉ có hoa hồng đỏ chọn b) Hoa hồng vàng không chọn c) Hoa chọn có cùng màu d) Hoa đỏ và vàng không chọn chung 46 Lớp 12C gồm 19 em nữ và 26 em nam Thầy tổng giám thị cần chọn từ lớp em để tham gia cùng thầy kiểm tra việc thực quy định đồng phục các lớp (mỗi bạn chịu trách nhiệm kiểm tra khối lớp) Tính xác suất để a) Chỉ có học sinh nam chọn b) Chỉ có học sinh nữ chọn c) Có ít bạn nữ chọn d) Ba em chọn có đủ nam và nữ 47 Lớp 12C có 43 học sinh gồm 23 bạn nam và 20 bạn nữ Hỏi a) Có bao nhiêu cách chọn đội kéo co từ lớp gồm bạn nam và bạn nữ ? b) Có bao nhiêu cách phân công bạn nam và bạn nữ lên thư viện xếp lại kho sách ? c) Có bao nhiêu cách chọn em nữ tham gia gói quà và em nữ khác tham gia nhảy dây ? d) Có bao nhiêu cách phân công bạn nữ trực lớp vào ngày cuối tuần đó có bạn quét lớp, bạn lau cửa và bạn còn lại giặt các rèm màn, mặt trải bàn ? e) Có bao nhiêu cách phân công bạn trực cổng trường cho có đủ nam, nữ chọn ? 48 Chọn ngẫu nhiên viên bi bình đựng viên bi đen và viên bi trắng Tính xác suất để a) Có đúng viên bi đen lấy b) Các viên bi lấy có cùng màu c) Số bi đen lấy nhiều bi trắng d) Có ít bi trắng lấy 49 Rút tuỳ ý 13 lá bài từ bài 52 lá Tính xác suất để đúng lá chuồn, lá và lá rô 50 Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp gồm 50 số tự nhiên: ; ; ; 4; … ; 50 Tính xác suất để a) Trong số đó có số chia hết cho b) Có ít số là số chính phương 51 Lấy viên bi từ bình đựng viên bi trắng, viên bi đen và viên bi đỏ Tính xác suất để a) Lấy viên bi cùng màu b) viên bi lấy có màu khác c) Có ít viên bi trắng lấy d) Có đúng màu bi lấy 52 Một lớp học có 40 học sinh, đó có: 15 học sinh giỏi Toán, 10 học sinh giỏi Lý và học sinh giỏi môn Toán lẫn Lý Chọn ngẫu nhiên học sinh từ lớp Tính xác suất để a) Cả hai em giỏi môn Toán-Lý b) Cả hai em không giỏi Toán và Lý c) Mỗi em giỏi hai môn d) Có ít em không giỏi Toán Th.S Dương Phước Sang 103 0942.080383 (108) 53 Từ các chữ số 1;2;4;5;7;8;9 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số cho a) Các chữ số chọn cách tuỳ ý b) Các chữ số đôi khác c) Hai chữ số kề phải khác d) Số lập là số chẵn 54 Từ các chữ số 0;1;3;4;6;7;8;9 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số cho a) Các chữ số chọn cách tuỳ ý b) Các chữ số đôi khác 55 Từ các chữ số 0;2;3;5;7;8;9 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác biết a) Số lập là số lẻ b) Số lập là số chẵn c) Số lập là số bắt đầu 23 d) Số lập phải có mặt chữ số 56 Từ các chữ số 0;1;3;4;6;8 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác biết a) Số lập là số lẻ b) Số lập là số chẵn c) Số lập luôn có mặt chữ số d) Số lập là số bé 300 e) Số lập là số chia hết cho f) Số lập là số chia hết cho 57 Từ các chữ số 0;2;3;5;6;7;9 người ta lập số tự nhiên có chữ số Tính xác suất để số đó a) Có các chữ số đôi khác b) Là số lẻ có các chữ số đôi khác c) Có các chữ số kề khác d) Là số luôn có mặt hai chữ số và 58 Từ các chữ số 0;1;4;5;6;8 người ta lập số tự nhiên có chữ số khác Tính xác suất để a) Số đó không bé 500 b) Số đó chia hết cho c) Số đó chia hết cho d) Số đó chia hết cho 59 Gọi E là tập hợp các số tự nhiên có chữ số đôi khác lập từ các chữ số 1;2;3;4;7 a) Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên phần tử từ tập E ta nhận số chẵn b) Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên phần tử từ tập E ta nhận số chẵn c) Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên phần tử từ tập E ta nhận đúng số chẵn d) Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên phần tử từ tập E ta nhận số chia hết cho 60 Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có chữ số phân biệt lập từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7 a) Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên phần tử từ tập S ta nhận số chia hết cho b) Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên phần tử từ tập S ta nhận số chẵn c) Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên phần tử từ tập S ta nhận số lớn 2015 d) Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên phần tử từ tập S ta nhận số lớn 2015 61 Người ta lấy ngẫu nhiên chữ số từ các chữ số 0;1;2;3;5 để xếp thành dãy số theo hàng ngang Tính xác suất để dãy số tạo a) Lập thành số có chữ số b) Lập thành số lớn 300 có chữ số c) Lập thành số chẵn có chữ số d) Lập thành số chia hết cho Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 104 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (109) 62 Bốn bạn nam và bốn bạn nữ xếp ngẫu nhiên vào dãy ghế dài (trong bạn vừa nêu có bạn tên An và bạn tên Bình) Tính xác suất để a) Nam ngồi thành nhóm kề và nữ ngồi thành nhóm kề b) Nữ ngồi thành nhóm kề c) Nam và nữ ngồi xen kẽ với d) Hai bạn An & Bình luôn ngồi cạnh e) An và Bình ngồi đầu dãy ghế 63 Xếp ngẫu nhiên học sinh giỏi Hoá học, học sinh giỏi Toán và học sinh giỏi tiếng Anh vào dãy ghế dài để tham dự buổi báo cáo phương pháp nghiên cứu khoa học Tính xác suất để a) Bạn học sinh giỏi tiếng Anh ngồi bạn học sinh giỏi Toán b) Bạn học sinh giỏi tiếng Anh ngồi bạn học sinh giỏi Hoá học 64 Năm bạn nam và năm bạn nữ xếp ngẫu nhiên vào 10 ghế xếp thành dãy đối diện a) Tính xác suất để hai bạn ngồi đối diện có giới tính khác b) Tính xác suất để hai bạn ngồi đối diện có giới tính giống c) Tính xác suất để hai bạn A, B định trước ngồi kề đối diện với 65 Một trường THPT có 18 học sinh giỏi toàn diện, đó có học sinh khối 12, học sinh khối 11 và học sinh khối 10 Từ 18 em học sinh nói trên nhà trường muốn chọn ngẫu nhiên em để tham dự trại hè Tính xác suất để khối có ít học sinh chọn 66 Một đề thi gồm 40 câu hỏi trắc nghiệm, câu có phương án trả lời đó có phương án đúng Một bạn học sinh không học bài nên chọn đáp án bạn chọn cách tuỳ ý mong hưởng vận may Tính xác suất để bạn đúng câu hỏi? 67 Lớp 12C có 39 học sinh gồm 23 em nam và 16 em nữ đó Thanh là nam sinh hát hay và Lan là nữ sinh mắc bệnh tim Chọn ngẫu nhiên học sinh lớp giao lưu với lớp bạn a) Tính xác suất để nhóm học sinh chọn có nam b) Tính xác suất để nhóm học sinh chọn có đủ nam lẫn nữ không có Lan c) Tính xác suất để có nam lẫn nữ chọn đó có Thanh và không có Lan 68 Một người cần gọi điện thoại cho bạn gấp lại quên chữ số cuối số điện thoại và nhớ hai chữ số đó khác Tính xác suất để người đó gọi lần đúng số cần gọi ? 69 Có 20 thẻ đánh số từ đến 20 Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên thẻ ta nhận thẻ ghi số lẻ, thẻ ghi số chẵn đó có thẻ ghi số chia hết cho 70 Một kệ sách có sách Toán khác nhau, sách Lý khác nhau, sách Hoá khác Tính xác suất để lấy ngẫu nhiên sách từ kệ sách ta nhận sách không đủ ba môn học? Th.S Dương Phước Sang 105 0942.080383 (110) 71 Sắp xếp ngẫu nhiên bạn nam đó có bạn Nguyên và bạn nữ đó có bạn Mai ngồi vào bàn dài có chỗ ngồi Tính xác suất để a) Các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ b) Nam ngồi phía, nữ ngồi phía c) Bạn Nguyên và bạn Mai ngồi cạnh d) Có bạn ngồi chen vào Nguyên và Mai 72 Một hộp đựng thẻ đánh số từ đến Rút ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để a) Từ số ghi trên các thẻ rút có thể viết số chẵn gồm có chữ số b) Từ số ghi trên các thẻ rút có thể viết số chia hết cho 73 Gieo hai súc sắc cân đối, đồng chất và quan sát số chấm xuất Tính xác suất để a) Tổng số chấm trên hai súc sắc là b) Tổng số chấm trên súc sắc là số lẻ 74 Một đơn vị vận tải có 10 xe ô tô đó có xe tốt Điều động cách ngẫu nhiên xe công tác Tính xác xuất để xe điều động có ít xe tốt 75 Một tổ gồm học sinh nam và học sinh nữ Tính xác suất để a) Khi chọn ngẫu nhiên người ta nhóm có đúng em nữ b) Khi chia 12 bạn thành nhóm nhỏ thì nhóm có đúng em nữ 76 Có hai hộp đựng các viên bi khác màu Hộp thứ đựng 19 viên bi gồm viên bị trắng và 15 viên bi đen Hộp thứ hai đựng 14 viên bi đó gồm viên bi trắng, viên bi đen và viên vàng Từ hộp người ta lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để a) Lấy viên bi trắng và viên bi đen b) Lấy viên bi khác màu 77 Một người viết lá thư khác để gửi cho bốn người A,B,C,D Vì không cẩn thận nên người đã bỏ bốn lá thư đã viết vào phong bì đã ghi các địa A,B,C,D mà không kiểm tra nội dung thư và địa người nhận có khớp hay không Tính xác suất để a) Có đúng lá thư gửi đúng địa cần gửi b) Không có thư nào gửi đúng địa cần gửi 78 Một hộp chứa 12 thẻ có ghi số đó có thẻ ghi số 1, thẻ ghi số và thẻ ghi số 10 Rút ngẫu nhiên thẻ từ hộp Tính xác suất để a) Tổng các số ghi trên thẻ là 32 b) Tổng các số ghi trên thẻ bé 50 79 Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp các số tự nhiên có chữ số khác và khác Tính xác suất để số chọn chia hết cho 80 Một túi có cầu đỏ và cầu xạnh Chọn ngẫu nhiên từ túi đó cầu Tính xác suất để cầu lấy có cầu màu đỏ và cầu màu xanh 81 Một hộp chứa cầu màu đỏ, cầu màu xanh và cầu màu vàng Tính xác suất để lấy ngẫu nhiên cầu từ hộp ta nhận đúng cầu màu đỏ đồng thời a) Số cầu màu xanh là số lẻ Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia b) Có không quá cầu màu vàng lấy 106 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (111) 82 Có 10 người khách bước ngẫu nhiên vào cửa hàng có quầy hàng Tính xác suất để 10 người khách có người cùng bước vào quầy hàng số 83 Một đội văn nghệ gồm học sinh nam và học sinh nữ khối lớp 10; học sinh nam và học sinh nữ khối 11 Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên học sinh từ đội văn nghệ ta chọn học sinh có nam lẫn nữ, có học sinh khối 10 lẫn học sinh khối 11 84 Một đoàn tàu có toa đậu sân ga (mỗi toa có thể chứa đến người) Có hành khách từ sân ga lên tàu, người độc lập với chọn cách ngẫu nhiên lên toa a) Tính xác suất để người lên ngồi cùng toa tàu b) Tính xác suất để người lên ngồi trên toa tàu khác c) Tính xác suất để có toa chứa người, toa chứa người và toa chứa người 85 Xếp ngẫu nhiên nam và nữ vào dãy ghế kê sẵn theo hàng ngang a) Tính xác suất để năm người xếp ngồi kề b) Tính xác suất để nam ngồi kề nhau, nữ ngồi kề và nhóm có ít ghế trống 86 Từ nhà toán học nam, nhà toán học nữ và nhà vật lý nam người ta lập ngẫu nhiên đoàn công tác gồm người Tính xác suất để đoàn công tác chọn có nam và nữ, có nhà lý lẫn nhà toán học 87 Cho nửa đường tròn đường kính AB, trên đó bố trí điểm phân biệt không trùng với A và B Trên đường kính AB bố trí điểm phân biệt không trùng với A và B (như hình vẽ) B A a) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là điểm số 12 điểm đã bố trí b) Có bao nhiêu đường thẳng qua hai số 12 điểm đã bố trí 88 Cho đa giác có 20 đỉnh Lấy ngẫu nhiên đỉnh từ 20 đỉnh đa giác để vẽ tam giác a) Tính xác suất để tam giác vẽ có cạnh chung với đa giác đã cho ? b) Tính xác suất để tam giác vẽ không có cạnh nào chung với đa giác đã cho ? 89 Một đa giác có bao nhiêu đỉnh thì có 27 đường chéo ? 90 Một đa giác lồi có bao nhiêu đỉnh thì số đường chéo gấp đôi số cạnh ? 91 Cho n điểm phân biệt trên đường tròn Tìm n để số tam giác có đỉnh lấy từ các điểm gấp hai lần số đoạn thẳng có đầu mút lấy từ các điểm ? 92 Lần lượt nối điểm lấy từ n đỉnh đa giác lồi để các tam giác Biết số tam giác có cạnh chung với đa giác lồi là 70 Tìm số tam giác không có cạnh chung với đa giác lồi ? 93 Cho hai đường thẳng song song d và d ′ Trên d cho 10 điểm phân biệt, trên d ′ cho n điểm phân biệt (n ≥ 2) Biết có 2800 tam giác lấy đỉnh từ n + 10 điểm đã cho, hãy tìm n Th.S Dương Phước Sang 107 0942.080383 (112) 94 Tính giá trị biểu thức M = An4+1 + 3An3 biết C n2+1 + 2C n2+2 + 2C n2+ + C n2+ = 179 (n + 1)! 95 Chứng minh các mệnh đề sau đây luôn đúng n +1 1 a) k + k +1 = k n + C n +1 C n +1 Cn An2 + 2Pn b) Pn + −2 = n 2014 96 Chứng minh C 2015 + 32C 2015 + 34C 2015 + ⋯ + 32014C 2015 = 22014 (22015 − 1) 97 Tìm n biết C 21n +1 − 2.2C 22n +1 + 3.22C 23n +1 − 4.23C 24n +1 + ⋯ + (2n + 1).22n C 22nn++11 = 2005 2014 2015 98 Tính tổng S = 12C 2015 + 22C 2015 + 32C 2015 + ⋯ + 20142C 2015 + 20152C 2015 22 23 2n 121 99 Tìm số nguyên dương n thoả C n0 + C n1 + C n3 + C n4 + ⋯ + C nn = n +1 n +1 1 1 1 100 Tính tổng S = C 2015 − C 2015 + C 2015 − ⋯ + C 2014 − C 2015 2017 2015 2018 2015 1 1 1023 101 Tìm số nguyên dương n thoả C n0 + C n1 + C n2 + C n3 + ⋯ + C nn = n +1 10 n 102 Tìm hệ số x khai triển nhị thức x + biết n là số nguyên dương thoả x C n1 + 2C n2 + 3C n3 + ⋯ + (n − 1)C nn −1 + nC nn = 64n n 103 Tìm hệ số x 20 khai triển x + với n là số nguyên dương thoả mãn hệ thức x3 1 1 C n0 − C n1 + C n2 − ⋯ + (−1)n C nn = n +1 13 ( 104 Tìm hệ số x 10 khai triển − x + x − x ) n với n là số nguyên dương thoả mãn C 2nn++11 + C 2nn++21 + ⋯ + C 22nn+1 = 255 3n 105 Tìm hệ số x 21 khai triển x − với n là số nguyên dương thoả mãn x C 20n +1 + C 21n +1 + C 22n +1 ⋯ + C 2nn +1 = 1024 ( 106 Tìm hệ số x khai triển + x + 2x ) n với n là số nguyên dương thoả mãn C 22n + C 24n + C 26n + ⋯ + C 22nn = 511 n +2 107 Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển biểu thức (x + 1) x − x k −2 n là số tự nhiên thoả mãn hệ thức 3C n 20 ( k −3 + = Ak 10 biết ) 1 108 Sau khai triển và rút gọn thì A = x − + x − gồm bao nhiêu số hạng x x 109 Khai triển nhị thức Newton ( 3+45 ) n có bao nhiêu số hạng hữu tỷ biết C 41n +1 + C 42n +1 + ⋯ + C 42nn+1 = 2496 − Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 108 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (113) PH NG PHÁP TO Đ TRONG M T PH NG Phương trình đường thẳng Đường thẳng d qua điểm M (x ; y ) có véctơ pháp tuyến n = (a;b ) thì có phương trình a(x − x ) + b(y − y ) = Đường thẳng d qua điểm M (x ; y ) có véctơ phương u = (u1; u2 ) thì có Phương trình chính tắc : x − x0 u1 Đường thẳng qua điểm A và B: x = x + u1t Phương trình tham số : y = y + u t y − y0 = u2 x − xA xB − xA = y − yA yB − yA ( x A ≠ x B vaø yA ≠ yB ) y Đường thẳng d cắt Ox, Oy A(a;0) và B(0;b) khác O có phương trình x + = a b Cho hai đường thẳng △ 1: a1x + b1y + c1 = vaø △ : a2x + b2y + c2 = cắt Khi đó các đường phân giác góc tạo △ và △ có phương trình a1x + b1y + c1 a12 + b12 =± a2x + b2y + c2 a22 + b22 Cho đường thẳng △ : ax + by + c = và hai điểm A(x A; yA ) và B(x B ; yB ) Khi đó, Hai điểm A và B nằm khác phía so với △ ⇔ (ax A + byA + c )(ax B + byB + c ) < Hai điểm A và B nằm cùng phía so với △ ⇔ (ax A + byA + c )(ax B + byB + c ) > Hình chiếu vuông góc H điểm M (x ; y ) lên đường thẳng △ : ax + by + c = có toạ độ x H = x − a.t0 và yH = y − b.t0 với t0 = ax +by +c a +b 2 Phương trình đường tròn Dạng 1: (x − a )2 + (y − b)2 = R2 Dạng 2: x + y − 2ax − 2by + c = y Phương trình chính tắc elip B1 b M 2 y (E ) : x + = a b -a -c A1 F1 c O a F2 A2 Độ dài trục lớn A1A2 = 2a Độ dài trục bé B1B2 = 2b Tiêu cự F1F2 = 2c Tiêu điểm F1(−c; 0), F2 (c; 0) với c = a − b (a > b) Tâm sai e = c < Bốn đỉnh A1(−a; 0), A2 (a; 0), B1(0;b), B2 (0; −b) a Đường chuẩn x = ± a e B2 -b Bán kính qua tiêu MF1 = a + ex M ; MF2 = a − ex M Điều kiện để đường thẳng Ax + By + C = tiếp xúc với (E ) là A2a + B 2b = C Th.S Dương Phước Sang x 109 0942.080383 (114) BÀI TẬP MINH HOẠ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh A(–2;3), đường cao CH nằm trên đường thẳng có phương trình 2x + y – = 0, đường trung tuyến BM nằm trên đường thẳng 2x – y + = Xác định toạ độ đỉnh B và C tam giác ABC Hướng dẫn A Có toạ độ điểm A và ph.trình CH ta viết ph.trình cạnh AB H Có phương trình AB và BM ta tìm toạ độ điểm B M Tham số hoá toạ độ M và C để tìm toạ độ chúng Bài giải C B Do AB ⊥ CH : 2x + y − = và AB qua A(–2;3) nên AB có phương trình x − 2y + c ′ = và −2 − 2.3 + c ′ = ⇒ AB : x − 2y + = x − 2y + = ⇒ B(2; 5) Do B = AB ∩ BM nên toạ độ B là nghiệm hệ phương trình 2x − y + = Do M ∈ BM : 2x − y + = và C ∈ CH : 2x + y − = nên toạ độ M và C có dạng M (m;2m + 1), C (c; − 2c) m = 2m = −2 + c ⇒ C (3;1) Do M là trung điểm cạnh AC nên ⇔ 2(2m + 1) = + − 2c c = Ví dụ 2: Tam giác ABC có cạnh BC = 2, đường cao AH : x + y – = 0, phân giác CD có phương trình x + 3y + = 0, cạnh AC qua điểm M (0; −14) Tìm toạ độ đỉnh A, B, C Hướng dẫn Trước tiên ta cần tìm toạ độ điểm M ′ đối xứng với M qua CD A Có M ′ và phương trình AH ta viết phương trình BC D Có phương trình BC và CD, ta tìm toạ độ điểm C M Có toạ độ điểm M và C, ta viết phương trình cạnh AC Có phương trình AC và AH, ta tìm toạ độ điểm A B H M' C Tham số hoá toạ độ điểm B dùng diện tích tam giác ABC để tìm toạ độ B Bài giải Gọi M ′ là điểm đối xứng với M qua CD : x + 3y + = Khi đó MM ′ ⊥ CD và MM ′ qua M ⇒ MM ′ có phương trình 3x − y + c1 = và 3.0 − (−14) + c1 = ⇒ MM ′ : 3x − y − 14 = x + 3y + = ⇒ I (4; −2) Gọi I là trung điểm MM ′ thì I = CD ∩ MM ′ ⇒ toạ độ I thoả 3x − y − 14 = Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 110 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (115) 2.4 = + x M ′ ⇔ M ′(8;10) Do I là trung điểm MM ′ nên 2.(−2) = −14 + y ′ M ′ Cạnh BC qua M và vuông góc với AH : x + y – = nên BC có phương trình x − y + c2 = vaø − 10 + c2 = ⇒ BC : x − y + = x − y + = Do C = BC ∩ CD nên toạ độ đỉnh C là nghiệm hệ ⇒ C (−2; 0) x + 3y + = Cạnh AC qua M(0;–14) và C(–2;0) nên có phương trình x − (−2) y −0 = ⇔ 7x + y + 14 = 0 − (−2) −14 − 7x + y + 14 = ⇔ A(−3; 7) Điểm A = AH ∩ AC nên toạ độ A là nghiệm hệ x + y − = Do B ∈ BC : x − y + = nên điểm B có toạ độ B(b;b + 2) ⇒ BC = |b + | Do BC = nên |b + | = ⇒ b = b = −6 ⇒ B(2; 4) B(−6; −4) Ta nhận B(–6;–4) vì điểm B(2; 4) và điểm A(–3;7) nằm cùng phía so với CD : x + 3y + = Vậy A(–3;7), B(–6;–4), C (−2; 0) là các điểm cần tìm Ví dụ 3: Cho tứ giác nội tiếp ABCD có toạ độ các đỉnh A(–2;1), C(5;–6), đường chéo BD có phương trình x − 3y − = Biết ABCD có diện tích 42, xác định toạ độ B và D Hướng dẫn Có toạ độ các điểm A,C và phương trình đường thẳng BD A ta có thể tính khoảng cách từ các điểm A,C đến BD D H Có diện tích ABCD ta tính độ dài đường chéo BD B Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD, tham số hoá I toạ độ điểm I sử dụng hệ thức R = IH + HB để tìm I C B và D là giao điểm BD và đường tròn ngoại tiếp tứ giác Bài giải − 3.(−6) − Ta có d A, BD = −22− 3.1 − 25 = 10 và d C , BD = = 10 2 + (−3) + (−3) ( ( ) ( ) ) ( ) Do S ABCD = S △ABD + S △CBD nên BD.d A, BD + BD.d C , BD = SABCD 2 ⇔ BD ( ) 10 + 10 = 42 ⇔ BD = 10 Gọi I(a;b) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD thì IA = IC ⇔ IA2 = IC (a + 2)2 + (b − 1)2 = (a − 5)2 + (b + 6)2 ⇔ a − b − = ⇔ b = a − ⇒ I (a; a − 4) Gọi H là trung điểm đoạn BD thì HB = BD = 10 và IB = IA = (a + 2)2 + (a − 5)2 Th.S Dương Phước Sang 111 0942.080383 (116) a − 3(a − 4) − − 2a 10 + (−3) (7 − 2a )2 45 2 2 Theo định lý Pytagore IB = IH + HB ⇔ (a + 2) + (a − 5) = + ⇔a =1 10 ⇒ I (1; −3) và IA = ( ) IH = d I , BD = 2 = Đường tròn ngoại tiếp ABCD có phương trình (x − 1)2 + (y + 3)2 = 25 x − 3y − = B(−4; −3) B(5; 0) Toạ độ B và D là nghiệm hệ ⇔ (x − 1)2 + (y + 3)2 = 25 D(5; 0) D(−4; −3) Ví dụ 4: Cho tam giác ABC với đỉnh A(–2; –1), trực tâm H(2;1), cạnh BC = Gọi B ′,C ′ là chân đường cao kẻ từ B và C Viết phương trình cạnh BC biết trung điểm M cạnh BC thuộc đường thẳng x – 2y – = 0, M có tung độ dương và B ′C ′ qua điểm N(3; – 4) Hướng dẫn Cần phải phát B ′,C ′ cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác (các tứ giác đó là AB ′HC ′ vaø BCB ′C ′ ) B' I Trước tiên ta tham số hoá toạ độ M viết phương trình N C' các đường tròn đường kính AH và BC H Có phương trình đường tròn ta viết phương trình B ′C ′ Sử dụng giả thiết B ′C ′ qua N ta tìm toạ độ M A B M C Cuối cùng viết phương trình đường thẳng BC qua M và vuông góc với AH Bài giải Gọi I là trung điểm đoạn AH ta có I(0;0), ngoài AH = 42 + 22 = nên đường tròn (C ) đường kính AH có phương trình : x + y = Do M ∈ d : x − 2y − = nên M (2m + 1; m ) với m > 0, ngoài BC = nên đường tròn (C ) đường kính BC có phương trình : (x − 2m − 1)2 + (y − m )2 = Do B ′,C ′ cùng thuộc (C ) và (C ) nên toạ độ B ′,C ′ thoả hệ phương trình 2 x + y = ⇒ 2(2m + 1)x + 2my − 5m − 4m − = (x − 2m − 1)2 + (y − m )2 = Từ đó B ′C ′ có phương trình 2(2m + 1)x + 2my − 5m − 4m − = Do B ′C ′ qua N(3;– 4) nên 2(2m + 1).3 + 2m(−4) − 5m − 4m − = ⇔ −5m + = ⇔ m = (do m > 0) ⇒ M (3;1) Đường thẳng BC qua M(3;1) và vuông góc với AH nên có véctơ pháp tuyến AH = (4;2) Vậy phương trình BC là 4(x – 3) + 2(y – 1) = hay 2x + y – = Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 112 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (117) Bài tập rèn luyện Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A với A(3;5), B (7;1) và đường thẳng BC qua điểm M(2;0) Tìm toạ độ đỉnh C Đáp số: C (– 3;–1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh A(2;– 4), B (0;2) và điểm C thuộc đường thẳng 3x – y + = Biết tam giác ABC có diện tích và điểm C có toạ độ là các số nguyên Hãy xác định tọa độ đỉnh C Đáp số: C(0;1) C ( ;2 ) 3 Cho hai điểm A(2;5) và B(5;1) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d Đáp số: x – = 7x + 24y – 134 = Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với cạnh BC và các đường cao BI, CK có phương trình là 7x + 5y – = 0, 9x – 3y – = 0, x + y – = Viết phương trình cạnh AB và xác định toạ độ đỉnh A tam giác ABC Đáp số: AB : x – y = 0, A(2;2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B(– 4;– 5), hai đường cao AH và CK có phương trình 5x + 3y – = 0, 3x + 8y + 13 = Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC và tìm toạ độ đỉnh A tam giác ABC Đáp số: 3x – 5y – 13 = và A(–1; 3) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh A(4;–1), đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ cùng đỉnh có phương trình là 2x – 3y + 12 = và 2x + 3y = Hãy viết phương trình cạnh BC Đáp số: BC : 9x + 11y + = Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh B(2;– 7), đường cao AH và đường trung tuyến CM có phương trình 3x + y + 11 = 0, x + 2y + = Xác định toạ độ các đỉnh còn lại tam giác ABC Đáp số: A(– 4;1), C (5; – 6) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh A(– 5;2) và hai đường trung tuyến BM, CN có phương trình là 5x + 4y = 0, 3x – y = Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC tam giác Đáp số: BC : 8x + 3y – 17 = Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh B(–2;2), đường cao AH và đường phân giác góc C có phương trình x + y – = và 3x – y = Xác định toạ độ đỉnh A và đỉnh C tam giác ABC Đáp số: A(3; –1), C (2; 6) 10 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh C (4; 3), phân giác góc A có phương trình x + 2y – = và trung tuyến AM : 4x + 13y – 10 = Viết phương trình cạnh AB và xác định toạ độ đỉnh B Đáp số: x + 7y + = , B(–12;1) 11 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh A(2;–1) và đường phân giác góc B và góc C có phương trình x – 2y + = 0, x + y + 3= Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC Th.S Dương Phước Sang 113 Đáp số: BC : 4x – y + = 0942.080383 (118) 12 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh A(0;4), trực tâm H(1; 2) và trọng tâm G ( ; ) Hãy xác định toạ độ các đỉnh B và C ĐS: (9;1) và (–1; – 4) 3 13 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A có toạ độ đỉnh A(–2;2), đường phân giác góc B có phương trình x – y – = Biết tam giác ABC có diện tích 60, hãy xác định toạ độ các đỉnh B và C Đáp số: B(–7; –8), C(9;0) 14 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm A(1;2), đường trung tuyến BM có phương trình 2x + y + = và đường phân giác góc C có phương trình x + y – = Hãy viết phương trình đường thẳng BC Đáp số: BC : 4x + 3y + = 15 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có M (2;1) là trung điểm cạnh AC, H (0; – 3) là chân đường cao xuất phát từ đỉnh A và E (23 ; –2) là điểm thuộc đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C Xác định toạ độ đỉnh B tam giác ABC biết đỉnh C có hoành độ dương và điểm A thuộc đường thẳng 2x + 3y – = Đáp số: B(–3;4) 16 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;1), đường cao AH : 2x – y + = 0, các đỉnh B, C thuộc đường thẳng x + 2y – = Biết tam giác ABC có diện tích Hãy xác định toạ độ đỉnh B và đỉnh C Đáp số: (3; –1) và (–1;1) 17 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm cạnh AB, đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A có phương trình 7x – 2y – = và 6x – y – = Viết phương trình cạnh AC Đáp số: 3x – 4y + = 18 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có H (–1; –1) là hình chiếu vuông góc điểm C lên AB, phân giác góc A và đường cao kẻ từ B có phương trình x − y + = 0; 4x + 3y − = Hãy tìm toạ độ đỉnh C Đáp số: C (− 10 ; ) 19 Cho tam giác ABC có C(4;–1), đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh có phương trình là 2x – 3y + 12 = 0, 2x + 3y = Viết phương trình các cạnh tam giác ABC Đáp số: 9x + 11y + = 0, 3x + 2y – 10 = 0, 3x + 7y + = 20 Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB : 3x – y + = 0, AC : 3x + 5y – 17 = và trọng Đáp số: 3x − 7y − = tâm G(0;1) Viết phương trình cạnh BC 21 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho tam giác ABC có AB = 5, điểm C (−1; −1), đường thẳng AB : x + 2y – = và trọng tâm G tam giác thuộc đường thẳng x + y − = Đáp số: ( 4; − ) , (6; − ) Xác định toạ độ các đỉnh A và B 2 22 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng △1: 7x + y = 0, △ : x − y + = và điểm A(–1;3) Viết phương trình đường tròn (C ) qua điểm A đồng thời tiếp xúc với △ vaø △ Đáp số: (C ) : (x + 2)2 + (y − 4)2 = (C ) : (x + 3)2 + (y − 1)2 = Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 114 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (119) 23 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy hãy viết phương trình đường tròn (C ) qua A(–1;2) đồng thời cắt △ : 3x − 4y + = theo đường kính BC cho tam giác ABC có diện tích 2,5 2 2 Đáp số: (C ) : (x + 1) + (y − 1) = (C ) : (x + ) + (y − 43 ) = 25 25 24 Cho đường tròn (C ) : x + y − 2x − 6y + = và điểm M(–3;1) Gọi A, B là tiếp điểm các tiếp tuyến kẻ từ M tới (C ) Viết phương trình đường thẳng AB Đáp số: 2x + y – = 25 Cho hai đường thẳng d1 : 4x − 3y + 14 = 0, d2 : 3x + 4y + 13 = và điểm M(–2;2) Viết phương trình đường tròn (C ) qua M tiếp xúc với d1 và cắt d2 theo dây cung AB = Đáp số: (C ) : (x − 2)2 + (y + 1)2 = 25 (C ) : (x + 6)2 + (y − 5)2 = 25 26 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng △1: x − y + = 0, △ : x + 7y + = Hãy viết phương trình đường tròn (C ) tiếp xúc với △1 M(1;2) đồng thời tiếp xúc với △ Đáp số: (C ) : (x + 3)2 + (y − 6)2 = 32, (C ) : (x − 2)2 + (y − 1)2 = 27 Cho hai đường thẳng d1 : 3x + y = 0, d2 : 3x − y = Gọi (C ) là đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 B và C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình đường tròn (C ) biết tam giác ABC có diện tích và điểm A có hoành độ dương 2 Đáp số: (C ) : (x + ) + (y + ) = 28 Cho đường tròn (C ) : x + y − 2x + 4y + = Gọi (C ′) là đường tròn có tâm I(5;1) và cắt 2 (C ) hai điểm M, N cho MN = Hãy viết phương trình đường tròn (C ′) Đáp số: (C ′) : (x − 5)2 + (y − 1)2 = 28 − 29 Viết phương trình đường tròn có bán kính 2, tâm I thuộc đường thẳng d1 : x + y − = và cắt đường thẳng d2 : 3x + 4y − = hai điểm A, B cho AIB = 120 Đáp số: (C ) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = (C ) : (x − 11)2 + (y + 8)2 = 30 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : x + y − 6x − 2y + = và đường thẳng d : x – 2y – = Viết phương trình đường thẳng △ song song với d cho △ cắt (C ) theo dây cung BC có độ dài Đáp số: x – 2y + = x – 2y – = 31 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : (x − 1)2 + (y + 1)2 = 25 và điểm M(7;3) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M đồng thời cắt đường tròn (C ) hai điểm A, B phân biệt cho MA = 3MB Đáp số: y – = 12x – 5y – 69 = 32 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy hãy viết phương trình đường thẳng d qua M(3;–1) cho d cắt (C ) : x + y − 2x − 4y − 11 = theo dây cung ngắn Đáp số: 2x – 3y – = 33 Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I ( ; ) và trung điểm cạnh AD là 2 M(3;0) Xác định toạ độ các đỉnh ABCD Th.S Dương Phước Sang 115 Đáp số:A(2;1),B(5;4),C(7;2),D(4;–1) 0942.080383 (120) 34 Cho A(–5;11), B(7;7) và hai đường thẳng d1 : 2x − y − = 0, d2 : x + 3y − = Tìm toạ độ điểm C ∈ d1, D ∈ d2 cho ABCD là hình bình hành Đáp số: C (1; 1), D(–11; 5) 35 Cho hình thoi ABCD có phương trình đường chéo AC là x + 7y – 31 = 0, hai đỉnh B và D thuộc các đường thẳng x + y – = 0, x – 2y + = Xác định toạ độ các đỉnh A và C biết hình thoi có diện tích 75 và x A < Đáp số: A(–18;7), C (17; 2) 36 Cho tứ giác lồi ABCD có hai cạnh AD và CD vuông góc với nhau, toạ độ đỉnh A(2;0), C (7;5) Biết đường chéo BD có phương trình 5x + y – = và diện tích tứ giác ABCD 15 Xác định toạ độ điểm B biết x D < Đáp số: B (2; – 2) 37 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có toạ độ tâm I ( ; 0) , đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình x – 2y + = và AB = 2AD Biết x A < , hãy xác định Đáp số: A(−2; 0), D(−1; −2) toạ độ các đỉnh A và D hình chữ nhật 38 Cho hình thoi ABCD có cạnh Biết toạ độ đỉnh A(1; 5), hai đỉnh B, D nằm trên đường thẳng x – 2y + = Xác định toạ độ B, C, D Đáp số: B(–2;1), C(3;1), D (6; 5) 39 Cho hình chữ nhật ABCD có AB : x – 2y + = 0, BD : x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC qua M(2;1) Tìm toạ độ các đỉnh A,C hình chữ nhật Đáp số: A(3;2), C (4; 3) 40 Cho hình thoi ABCD có tâm I nằm trên đường thẳng x + y – = 0, toạ độ đỉnh A(0; –1), B(2;1) Xác định toạ độ các đỉnh C và D biết yC > Đáp số: C (0;2), D(–2;1) 41 Cho hình thoi ABCD có tâm I (2;1), AC = 2BD, điểm M (0; ) ∈ AB và điểm N (0; 7) ∈ CD Đáp số: B (− ; ) Biết điểm B có tung độ dương Tìm toạ độ điểm B 5 42 Cho hình thoi ABCD có hai cạnh AB và CD nằm trên hai đường thẳng x – 2y + = và x – 2y + = Biết M (– 3; 3) thuộc AD và điểm N(–1;4) thuộc BC Viết phương trình các đường thẳng chứa cạnh AD và BC hình thoi ĐS: x + 2y – = 0, 11x – 2y + 19 = 43 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD, phương trình đường thẳng DG : 4x – 2y + = 0, đường chéo BD có phương trình 5x – 3y + = và đỉnh C (0;2) Tìm toạ độ đỉnh A,B,D Đáp số: A(1;1), B(2;4), D(–1; –1) 44 Cho hai điểm N(2;–5) và I (2; ) Tìm trên ∆ : 3x − 4y + = hai điểm M và P đối xứng qua I cho tam giác MNP có diện tích 15 Đáp số: (0;1) và (4;4) 45 Cho A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), D(3;5) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng 3x – y – = cho tam giác MAB và MCD có diện tích Đáp số: M (−9; −32) hay M ( ;2 ) ( 46 Cho tam giác ABC có đỉnh A(0;4), trọng tâm G ; 3 định toạ độ các đỉnh B và C biết x B < xC Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 116 ) và trực tâm trùng với gốc toạ độ Xác Đáp số: B(−1; −1),C (5; −1) Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (121) 47 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d : x – 3y – = và đường tròn (C ) : x + y − 4y = Xác định toạ độ điểm M thuộc (C ) và toạ độ điểm N thuộc d cho Đáp số: M(4;0), N(2;2) M ( 38 ; ) , N (− ; ) M và N đối xứng qua điểm A(3;1) 5 5 48 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d : x – y = và điểm M(2;1) Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt trục hoành điểm A, cắt đường thẳng d điểm B cho tam giác AMB vuông cân M Đáp số: x + y – = 3x + y – 12 = 49 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M(3;0) và hai đường thẳng d1 : 2x − y − = 0, d2 : x + y + = Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt d1, d2 A và B cho M là trung điểm đoạn thẳng AB Đáp số: 8x − y − 24 = 50 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho ba đường thẳng d1 : 3x − y − = 0, d2 : x + y − = 0, d3 : x − = Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết B ∈ d1; D ∈ d2 ; A,C ∈ d3 Đáp số: B(2;2), D(4;2); A(3;3),C(1;3) C(3;3),A(1;3) 51 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có toạ độ đỉnh D ( 3; ) , đường ( phân giác góc BAC có phương trình ∆ : x − y + = 0, điểm I ; 2 cạnh CD Xác định toạ độ điểm B ) là trung điểm Đáp số: B(2; 4) 52 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có diện tích 4, các đỉnh A(1;0), B(0;2); tâm I ABCD thuộc đường thẳng y = x Xác định toạ độ các đỉnh C và D Đáp số: C(–1;0), D(0; –2) C ( ; ) , D ( ; ) 3 3 53 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình thoi ABCD có cạnh 5, toạ độ đỉnh A(1;5), hai đỉnh B và D nằm trên đường thẳng d : x – 2y + = Xác định toạ độ các đỉnh B, C, D Đáp số: B(–2;1), C(3;1), D(6;5) B(6;5), C(3;1), D(–2;1) 54 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB : x – 2y + = 0, BD : x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC qua điểm M(2;1) Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D Đáp số: A(3;2), B ( 21 ; 13 ) ,C (4; 3), D ( 14 ; 12 ) 5 5 55 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d1 : x − y − = 0, d2 : 2x − y − = Tìm N ∈ d1, M ∈ d2 cho OM ON = Đáp số: M(0;– 4), N(0;–2) M (6;2), N ( ; ) 5 56 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân A với các đường thẳng AB và BC có phương trình x + 2y – = 0, 3x – y + = Viết phương trình cạnh AC biết đường thẳng AC qua điểm M(1;–3) Đáp số: 2x + 11y + 31 = 57 Cho điểm A(2;2) và các đường thẳng x + y – = 0, x + y – = Tìm các điểm B ∈ d1,C ∈ d2 cho tam giác ABC vuông cân A Th.S Dương Phước Sang Đáp số: B(–1;3), C(3;5) đổi lại 117 0942.080383 (122) 58 Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB : 2x – y – = 0, tâm I thuộc đường thẳng ∆ : 3x − y − = 0, điểm M (1; 1) là điểm thuộc đường chéo AC Biết hai đường chéo hợp với góc α cho cos α = Tìm toạ độ các đỉnh hình chữ nhật Đáp số: A(3; 3), B ( ; ) ,C (−1; −1), D ( ; ) 5 5 59 Xác định toạ độ các đỉnh B và C tam giác ABC biết hình chiếu C lên đường thẳng AB là điểm H (−1; −1), đường phân giác góc A có phương trình x – y + = và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y – = Đáp số: B ( 0; ) ,C (− 10 ; ) 3 60 Cho tam giác ABC có đỉnh B(– 4;1), trọng tâm G(1;1) và đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x – y – = Tìm toạ độ các đỉnh A và C Đáp số: A(4;3), C (3; –1) 61 Cho tam giác ABC cân A(6; 6), đường thẳng qua trung điểm các cạnh AB, AC có phương trình x + y – = Tìm toạ độ các đỉnh B và C biết E (1; – 3) thuộc đường cao xuất phát từ đỉnh C tam giác ABC Đáp số: B(0; – 4), C (– 4;0) B(– 6;2), C (2; – 6) 62 Cho tam giác ABC có A(1;4), phương trình đường cao BH : x – 2y + = 0, phương trình đường phân giác CD : x + y – = Tìm hai đỉnh B và C Đáp số: B(–3;3), C (3;0) 63 Cho tam giác ABC có đỉnh A(2;–1) và phương trình đường phân giác đỉnh B và C tam giác là x – 2y + = 0, x + y + = Viết phương trình cạnh BC Đáp số: 4x – y + = 64 Cho tam giác ABC có điểm B(2;–1), đường cao AH : 3x – 4y + 27 = 0, đường phân giác CD : x + 2y – = Xác định toạ độ các đỉnh A vàC Đáp số: A(– 5;3), C (–1;3) 65 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác góc A là x − y = 0, phương trình đường cao hạ từ đỉnh C là 2x + y + = 0, cạnh AC qua điểm M(0;–1) và AB = 2AM Tìm toạ độ đỉnh B Đáp số: B(1;1) B (− ; ) 5 66 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh C(4;2), đường phân giác góc B có phương trình 2x – y + = và đường phân giác ngoài góc A có phương trình x – y + = Xác định toạ độ đỉnh B tam giác ABC Đáp số: B(–2; –1) 67 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân A, cạnh đáy BC có phương trình x + y + = Phương trình đường cao kẻ từ B là x – 2y – = Điểm M(2;1) thuộc đường cao vẽ từ C Viết phương trình cạnh AB và AC ĐS: x + 2y + = và 6x + 3y + = 68 Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm cạnh AB, N là điểm thuộc AC cho AN = 3NC Viết phương trình cạnh CD biết M(1;2), N(2;–1) Đáp số: y + = 3x – 4y – 15 = 69 Cho hình vuông ABCD có BD : x + 2y = 0, đỉnh A thuộc đường thẳng x – y – = 0, đường thẳng CD qua M (6;– 8) Tìm toạ độ tâm I hình vuông Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 118 Đáp số: I (0;0) I (4; –2) Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (123) 70 Cho tam giác ABC cân A(–1;3), D là trung điểm cạnh BC Một đường tròn qua hai điểm A, D đồng thời cắt AB và AC M(–1;5) và N(3;9) Viết phương trình đường thẳng BC Đáp số: (5 − 13)x + (1 + 13)y − 50 + 13 = 71 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : x + y − 8x + 6y + 21 = và đường thẳng d : x + y – = Xác định toạ độ các đỉnh B và D hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (C ) biết đỉnh A thuộc vào đường thẳng d Đáp số: (2; – 5) và (6; –1) 72 Trong mặt phẳng với toạ độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn có phương trình x + y − 2x − 4y = , M ( ;2) là điểm thuộc đường thẳng BC Xác định toạ độ đỉnh A tam giác ABC Đáp số: A(– 3;0) A(– 3;4) 73 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân A, đỉnh B thuộc đường thẳng d : x – 4y – = 0, cạnh AC song song với d Đường cao kẻ từ A có phương trình x + y + = 0, điểm M(1;1) nằm trên đường thẳng AB Tìm toạ độ đỉnh C Đáp số: C (− ; − 11 ) 13 74 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD cho CN = 2ND Biết toạ độ điểm M ( 11 ; ) và phương trình 2 đường thẳng AN : 2x – y – = Xác định toạ độ đỉnh A Đáp số: A(4;5), A(1;–1) 75 Cho hình vuông ABCD có A(2; – 4), đỉnh C thuộc đường thẳng 3x + y + = Đường thẳng DM : x – y – = với M là trung điểm AB Xác định toạ độ B,C,D biết xc < Đáp số: B(– 4; –2), C (–2;4), D(4;2) 76 Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình các cạnh AC : x + 3y = 0, AD : x – y + = 0, đường thẳng BD qua điểm M (− ;1) Tìm toạ độ các đỉnh hình chữ nhật 77 Viết phương trình các cạnh BC và CD hình chữ nhật ABCD biết AB = 2BC, đường thẳng AB qua điểm M(– 4;3), đường thẳng BC qua điểm N(0;9), đường thẳng AD qua điểm P(12;–1), đường thẳng CD qua điểm Q(18;6) Đáp số: 3x + y – = 0, x – 3y = 78 Hình chữ nhật ABCO có phương trình đường phân giác góc A là x – y + = Tìm toạ độ điểm B biết điểm A có hoành độ âm và tam giác ABC có diện tích ĐS: B(–2;3) 79 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có đường phân giác góc ABC qua trung điểm M AD, đường thẳng BM có phương trình x – y + = 0, điểm D thuộc đường thẳng x + y – = 0, điểm E(–1;2) thuộc cạnh AB và điểm B có hoành độ âm Xác định toạ độ các đỉnh hình chữ nhật đó Đáp số: A(–1;4), B(–1;1), D(5; 4) 80 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình thoi ABCD có I(1;–2) là giao điểm hai đường chéo AC và BD ; AC = 2BD ; M(–5; –4) là điểm thuộc đường thẳng AB, N(–5;16) là điểm thuộc đường thẳng CD Tìm toạ độ điểm B Th.S Dương Phước Sang 119 ĐS: B(–2; –8), B (− 28 ; 272 ) 15 0942.080383 (124) 81 [A-2014] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm cạnh AB và N là điểm thuộc đoạn là điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD biết M(1;2) và N(2;–1) Đáp số: 3x – 4y – 15 = 82 [B-2014] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD, điểm M(–3;0) là trung điểm cạnh AB, điểm H(0;–1) là hình chiếu vuông góc B trênAD và G ( ; ) là trọng tâm tam giác BCD Tìm toạ độ B và D Đáp số: B(–2;3), D(2;0) 83 [D-2014] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A là điểm D(1;–1) Đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình 3x + 2y – = 0, và tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y – = Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC tam giác Đáp số: x – 2y – = 84 [A-2013-CB] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có toạ độ đỉnh A(– 4;8), C là điểm thuộc đường thẳng d có phương trình 2x + y + = Gọi M là điểm đối xứng với điểm B qua C, N là hình chiếu vuông góc B trên đường thẳng MD Xác định toạ độ các điểm B và C biết N(5;– 4) Đáp số: B(– 4;–7) và C (1;–7) 85 [A-2013-NC] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình x – y = Một đường tròn (C ) có bán kính R = 10 cắt đường thẳng d hai điểm A và B phân biệt cho AB = Tiếp tuyến đường tròn (C ) A và B cắt điểm thuộc tia Đáp số: (x − 5)2 + (y − 3)2 = 10 Oy Viết phương trình đường tròn (C ) 86 [B-2013-CB] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình thang cân ABCD có đường chéo vuông góc với và AD = 3BC Đường thẳng BD có phương trình x + 2y – = và tam giác ABD có trực tâm là H(–3;2) Tìm toạ độ C và D Đáp số: C (–1;6), D(4;1) D(–8;7) 87 [B-2013-NC] Tam giác ABC có H ( 17 ; − ) là chân đường cao hạ từ A, D(5;3) là chân đường 5 phân giác góc A và M(0;1) là trung điểm cạnh AB Tìm toạ độ đỉnh C ĐS: C (9;11) 88 [D-2013-CB] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có điểm M (− ; ) là 2 trung điểm cạnh AB, điểm H(–2;4) và điểm I(–1;1) là chân đường cao kẻ từ B và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm toạ độ điểm C Đáp số: C(4;1) C(–1;6) 89 [D-2013-NC] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : (x − 1)2 + (y − 1)2 = và đường thẳng d : y – = Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm (C ), N và P thuộc d, đỉnh M và trung điểm cạnh MN thuộc (C ) Tìm toạ độ đỉnh P Đáp số: P(–1;3) P(3;3) 90 [A-2012-CB] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD cho CN = 2ND Giả sử M ( 11 ; ) và đường thẳng 2 AN có phương trình 2x – y – = Tìm toạ độ điểm A Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 120 Đáp số: A(1;–1) A(4;5) Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (125) 91 [A-2012-NC] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : x + y = Viết phương trình chính tắc elip (E ) biết (E ) có độ dài trục lớn đồng thời (E ) cắt (C ) điểm tạo thành đỉnh hình vuông 3y Đáp số: x + =1 16 16 92 [B-2012-CB] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d : x – y – = và các đường tròn (C ) : x + y = 4, (C ) : x + y − 12x + 18 = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường tròn (C ), tiếp xúc với đường thẳng d và cắt đường tròn (C ) điểm Đáp số: (x − 3)2 + (y − 3)2 = phân biệt A và B cho AB vuông góc với d 93 [B-2012-NC] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình thoi ABCD có AC = 2BD, đường tròn tiếp xúc với các cạnh hình thoi có phương trình x + y = Viết phương trình chính tắc elip (E ) qua các đỉnh A,B,C,D biết A thuộc Ox y2 Đáp số: x + =1 20 94 [D-2012-CB] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC và AD có phương trình x + 3y = và x – y + = 0, đường thẳng BD qua điểm M (− ;1) Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C,D Đáp số: A(–3;1), B(1; –3),C(3;–1),D(–1;3) 95 [D-2012-NC] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d : 2x – y + = Viết phương trình đường tròn (C ) có tâm thuộc đường thẳng d, cắt trục hoành điểm A và B, cắt trục tung điểm C và D cho AB = CD = Đáp số: (x + 3)2 + (y + 3)2 = 10 96 [A-2011-CB] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d : x + y + = và đường tròn (C ) : x + y − 4x − 2y = Gọi I là tâm đường tròn (C ), M là điểm thuộc d Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C ) (A và B là các tiếp điểm) Tìm toạ độ điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích 10 Đáp số: M(2;–4) M(–3;1) 2 x + y = 97 [A-2011-NC] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho elip (E ) có phương trình Tìm toạ độ các điểm A, B thuộc (E ) có hoành độ dương cho tam giác OAB cân O và có diện tích lớn Đáp số: A( 2; ), B( 2; − ) A( 2; − ), B( 2; ) 2 2 98 [B-2011-CB] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng ∆ : x − y − = và d : 2x – y – = Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng d cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ điểm M cho OM.ON = Đáp số: N (0; −2) N ( ; ) 5 99 [B-2011-NC] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B( ;1) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng D, E , F Biết D(3;1), A có tung độ dương và EF : y – = Tìm toạ độ điểm A Đáp số: A (3; 13 ) 100 [D-2011-CB] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh B(–4;1), trọng tâm G(1;1), đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x – y – = Xác định toạ độ các đỉnh A và C Th.S Dương Phước Sang Đáp số: A(4;3) và C(3;–1) 121 0942.080383 (126) 101 [D-2011-NC] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : x + y − 2x + 4y − = và điểm A(1;0) Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C ) hai điểm M, N cho tam giác AMN vuông cân A Đáp số: y = y = −3 102 [A-2010-CB] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d1 : 3x + y = 0, d2 : 3x − y = Gọi (T ) là đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 B và C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình đường tròn (T ) biết tam giác ABC có diện tích và điểm A có hoành độ dương ( Đáp số: (T ) : x + ) ( 2 + y+3 ) =1 103 [A-2010-NC] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6;6), đường thẳng qua trung điểm các cạnh AB và AC có phương trình x + y – = Tìm toạ độ các đỉnh B và C biết điểm E (1; −3) nằm trên đường cao qua đỉnh C tam giác đã cho Đáp số: B(0;–4), C(–4;0) B(–6;2), C(2; –6) 104 [B-2010-CB] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông A có đỉnh C(–4;1), phân giác góc A có phương trình x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích tam giác ABC 24 và đỉnh A có hoành độ dương Đáp số: BC : 3x – 4y + 16 = 2 y 105 [B-2010-NC] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(2; 3) và elip (E ) : x + = Gọi F1 và F2 là các tiêu điểm (E ) (F1 có hoành độ âm), M là giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E ) , N là điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2 ( Đáp số: (T ) : (x − 1) + y − 3 ) =1 106 [D-2010-CB] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3;–7), trực tâm H(3;–1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(–2;0) Xác định toạ độ đỉnh C biết C có hoành độ dương Đáp số: C ( 65 − 2; ) 107 [D-2010-NC] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm A(0;2) và ∆ là đường thẳng qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên ∆ Viết phương trình đường thẳng ∆ biết Đáp số: ( − 1)x ± khoảng cách từ H đến trục hoành AH − 2.y = 108 [A-2009-CB] Cho hình chữ nhật ABCD có I(6;2) là giao điểm hai đường chéo AC và BD, M(1;5) là điểm thuộc cạnh AB, trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng d có phương trình x + y – = Viết phương trình cạnh AB Đáp số: y = x – 4y + 19 = 109 [A-2009-NC] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : x + y + 4x + 4y + = và đường thẳng ∆ : x + my − 2m + = Gọi I là tâm đường tròn (C ) Tìm m để ∆ cắt (C ) hai điểm phân biệt A và B cho tam giác IAB có diện tích lớn Đáp số: m = m = 15 Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 122 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (127) 110 [B-2009-CB] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : 5x + 5y − 20x + 16 = và hai đường thẳng ∆1 : x − y = 0, ∆2 : x − 7y = Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính đường tròn (C ) biết (C ) tiếp xúc với ∆1, ∆2 và tâm K (C 1) thuộc đường tròn (C ) Đáp số: K ( ; ) , R = 2 5 111 [B-2009-NC] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân A(–1;4) và các đỉnh B,C thuộc đường thẳng ∆ : x − y − = Xác định toạ độ các điểm B và C biết diện tích tam giác ABC 18 Đáp số: B ( 11 ; ) ,C ( ; − ) B ( ; − ) ,C ( 11 ; ) 2 2 2 2 112 [D-2009-CB] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A tam giác ABC có phương trình 7x – 2y – = và 6x – y – = Viết phương trình đường thẳng AC Đáp số: 3x – 4y + = 113 [D-2009-NC] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : (x − 1)2 + y = Gọi I là tâm đường tròn (C ) Xác định toạ độ điểm M thuộc (C ) cho IMO = 30 Đáp số: M ( 23 ; ± 23 ) 114 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có toạ độ tâm H(–5;–5), G(–1;–2) là trọng tâm tam giác ABD Viết phương trình đường thẳng chứa chéo BD biết AB và AD là các tiếp tuyến đường tròn x + y – 4x + 2y = Đáp số: x – 8y – 35 = 115 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(1;7), đường phân giác góc B có phương trình x + y – = và điểm B(–3;4) Viết phương trình đường thẳng AC biết diện tích tam giác ABC gấp bốn lần diện tích tam giác IAC và AC cắt trục hoành điểm có hoành độ là số nguyên Đáp số: 3x + 4y – 39 = 116 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân A, đường thẳng AC có phương trình 3x – y – = Gọi H là trung điểm cạnh BC , D là hình chiếu vuông góc H trên cạnh AC, M là trung điểm HD Đường thẳng BD qua điểm E(8;–5), đường thẳng AM có phương trình 11x – 7y – = Tìm toạ độ các đỉnh A, B,C Đáp số: A(3;4), B(–3;2), C(1; –2) 117 Cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với H, M (−5; − 16 ) là điểm nằm trên cạnh AB cho AB = 3AM , N là trung điểm đoạn thẳng HC Biết toạ độ đỉnh C(1; 6) và phương trình đường thẳng ND là 3x + 4y – 12 = 0, hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại hình thang ABCD Đáp số: A(–4;–9), B(–7;2), C(8;–3) 118 Cho tam giác ABC vuông cân A có N là điểm trên cạnh BC cho NC = 2NB Biết toạ độ điểm N(–3;–2) và phương trình trung tuyến CM : x + y + = và điểm C có hoành độ dương, xác định toạ độ các đỉnh tam giác ABC Th.S Dương Phước Sang 123 Đáp số: A(2;3), B(–7;0), C(5;–6) 0942.080383 (128) 119 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M là trung điểm cạnh BC, G là trọng tâm tam giác ABM, D(0;3) là điểm trên đoạn MC cho GA =GD Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AB tam giác ABC biết đỉnh A có hoành độ âm và phương trình đường thẳng AG là 3x – 4y – 13 = Đáp số: x – 3y – 11 = 120 Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M là trung điểm cạnh AC, đường thẳng qua A vuông góc với BM cắt BC E(2;1) Biết trọng tâm tam giác ABC là G(2;2) Tìm toạ độ ba đỉnh tam giác ABC biết A có hoành độ lớn Đáp số: A(3;3), B(0;3), C(3;0) 121 Cho tam giác ABC có M là điểm trên cạnh AC cho AB = 3AM, D là hình chiếu vuông góc điểm C lên đường thẳng BM , I(1;–1) là trung điểm đoạn thẳng MC Biết phương trình đường thẳng CD : x – 3y – = và E ( ; ) là điểm thuộc đường thẳng BC và C có hoành độ dương Xác định toạ độ các đỉnh A, B,C Đáp số: A(–2; –1), B(–2;2), C(3; –1) 122 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD với C (3;– 3), M là trung điểm cạnh BC, đường thẳng DM có phương trình x – y – = Điểm A có hoành độ âm và thuộc đường thẳng 3x + y – = Tìm toạ độ các đỉnh B và D Đáp số: B(–3; –1), D(5;3) 123 Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm cạnh AB, N là điểm trên cạnh BC cho BC = 4BN Biết N(–2;–1), phương trình đường thẳng DN : 3x + y – 13 = và điểm D có tung độ âm, xác định toạ độ các đỉnh hình vuông Đáp số: A(–4;–7),B(0;5),C(12;1),D(8;–11) 124 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân A Biết cạnh huyền nằm trên đường thẳng x + 7y – 31 = 0, điểm M (2; −3) thuộc đường thẳng AB, điểm N (1; ) thuộc đường thẳng AC Xác định toạ độ các đỉnh tam giác ABC Đáp số: (–1;1), (3;4), (–4;5) (4; − ) , (− ; ) ,(10; 3) 2 125 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : x + y − 2x + 4y − 20 = và đường thẳng d : 3x + 4y – 20 = Chứng minh d và (C ) tiếp xúc với Một tam giác ABC có đỉnh A thuộc (C ), các đỉnh B và C thuộc d, trung điểm cạnh AB thuộc (C ) Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C biết trực tâm tam giác ABC trùng với tâm I đường tròn (C ) và điểm B có hoành độ dương Đáp số: A(–2;–5), B(12;–4), C (0;5) 126 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (T ) có phương trình (x − 1)2 + (y + 2)2 = 25, D(–2; –2), E(1;2) là chân đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC Tìm toạ độ A,B,C biết A có tung độ âm Đáp số:A(5; −5), B ( 29 ; 193 ) ,C (− 114 ; − 34 ) 65 65 29 29 127 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn x + y = 25, đường thẳng AC qua điểm K(2;1) Hai đường cao BM và CN Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C biết A có hoành độ âm và MN : 4x – 3y + 10 = Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia Đáp số: A(–4;3), C(5;0), B(0;5) B(–3; –4) 124 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (129) 128 Cho tam giác ABC có chân đường phân giác hạ từ A là D(1; –1), phương trình tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là x + 2y – = Giả sử M ( 13 ; − ) là trung điểm BD Tìm toạ độ các điểm A và C biết A có tung độ dương ĐS: A(1; 3), C(–15; –9) 129 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có toạ độ trực tâm H(2;2), tâm đường tròn ngoại tiếp I(1;2), M(1;1) là trung điểm cạnh BC và điểm B có hoành độ âm Xác định toạ độ các đỉnh tam giác ABC Đáp số: A(2;4), B(–1;1), C(3;1) 130 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (T ) : x + y − x − 9y + 18 = và hai điểm A(4;1), B(3;–1) Xác định toạ độ các điểm C và D thuộc đường tròn (T ) cho tứ giác Đáp số: 2x – y + = 2x − y + = ABCD là hình bình hành 131 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Gọi I là trung điểm AH Đường thẳng vuông góc với BC C cắt BI D Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết phương trình cạnh BC : x – y – = và D(–1; –1), đỉnh A thuộc đường thẳng d : 3x − 2y + = Đáp số: (x + 5)2 + (y + 7)2 = 50 132 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình thang ABCD vuông A và D có AB = AD, CD = 2AB Gọi E là điểm trên cạnh AB cho AB = 3AE, lấy điểm F thuộc cạnh BC cho tam giác DEF cân E, phương trình đường thẳng EF là 2x + y – = Tìm toạ độ các đỉnh hình thang ABCD biết D thuộc đường thẳng d : x + y = và A có toạ độ nguyên thuộc đường thẳng 3x + y – = Đáp số: A(1;5), B(4;2), C(4;–4), D(–2;2) 133 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB và cạnh bên BC nhau, AB = 2CD Gọi E, F là trung điểm các cạnh AD và BC Biết toạ độ điểm E(0;–3), đường thẳng AF có phương trình x + y – = và điểm A có hoành độ dương, hãy xác định toạ độ các đỉnh hình thang ABCD Đáp số: A(7;–4), B(3;8), C(–9;4), D(–7;–2) 134 Cho hình vuông ABCD có N(2;3) là trung điểm cạnh BC, đường trung tuyến AM tam giác ADN có phương trình x + y + = Xác định toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD Đáp số: A(–9;6), B(1;8), C(3; –2), D(–7;–4) A(5;–8), B(7;2), C(–3;4), D(–5;–6) 135 Cho hình vuông ABCD có điểm E(1;2) là trung điểm cạnh CD Gọi F là điểm thuộc đoạn AC cho CF = 3AF Biết phương trình đường thẳng BF : x – 3y – = 0, hãy viết phương trình cạnh AB Đáp số: y + = 3x – 4y – 15 = 136 Cho hình chữ nhật ABCD có điểm H(1;2) là hình chiếu vuông góc điểm A lên cạnh BD, điểm M ( ; ) là trung điểm cạnh BC, đường trung tuyến AN tam giác ADH có phương trình 4x + y – = Viết phương trình cạnh BC Th.S Dương Phước Sang 125 Đáp số: 2x + y – 12 = 0942.080383 (130) 137 Cho hình vuông ABCD có E là trung điểm cạnh AD và H ( 11 ; − ) là hình chiếu vuông góc B lên đường thẳng CE, M ( ;− 5 ) 5 là trung điểm BH Xác định toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết A có hoành độ âm Đáp số: A(–1;2), B(–1;–2), C(3;–2), D(3;2) 138 Cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : x + 3y + = và điểm A(1;5) Gọi M là điểm nằm trên tia đối tia CB cho MC = 2BC, N là hình chiếu vuông góc B trên đường thẳng MD Tìm toạ độ điểm B và C biết N (− ; ) Đáp số: B(5;–1), C(2;–3) 2 139 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD, phương trình cạnh AB : x – y + = Gọi N là điểm trên cạnh CD cho NC = 3ND, điểm M ( ; ) là trung điểm cạnh BC, khoảng cách từ 2 B đến đường thẳng AN Tìm toạ độ điểm A biết x A > Đáp số: N ( 166 ;1 + 166 ) 140 Cho ba điểm A(2; 3), B(5;2), C(8;6) Tìm điểm D thuộc đường thẳng d : x – y + = để hình vuông MNPQ có các cạnh MN, NP, PQ, QM qua các điểm A, B, C, D cho MNPQ có diện tích đạt giá trị lớn Đáp số: D(7;10) D(–27; –24) 141 Cho hình vuông ABCD có tâm I(1;–1) Gọi M là điểm trên cạnh CD cho MC = 2MD Xác định toạ độ các đỉnh hình vuông biết AM có phương trình 2x – y – = Đáp số: A(1;–3), B(–1;–1), C (1;1), D(3;–1) và trường hợp khác 142 Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB : x – 2y – = 0, đường chéo AC qua điểm M(2;1), phương trình đường chéo BD : x – 7y +14 = Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C và D Đáp số: A(1; 0), B(11; 5), C(6;5), D(– 4;0) 143 Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh BC : 4x – 3y – = 0, AD : 4x – 3y – 17 = 0, tâm I nằm trên đường thẳng x + y + = Viết phương trình cạnh AB biết BC = 3CD Đáp số: 3x + 4y + 26 = 3x + 4y – 16 = 2 144 [D-2005] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm C(2;0) và elip (E ) : x + y = Tìm toạ độ các điểm A, B thuộc (E ) biết A, B đối xứng qua trục hoành và tam giác ABC (7 ) (7 ) (7 ) (7 Đáp số: A ; − , B ; A ; , B ; − 7 7 ) 2 16 145 [D-2002] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho elip (E ) : x + y = Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy cho đường thẳng MN tiếp xúc với (E ) Xác định toạ độ M và N để MN có độ dài nhỏ Đáp số: (–2;–1), (–2;1), (2;–1), (2;1) 2 146 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho elip (E ) : x + y = và các điểm A(–3;0), I(–1;0) Tìm toạ độ các điểm B,C ∈ (E ) cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( ) ( ) ( ) ( Đáp số: B − ; , B − ; − B − ; − , B − ; 5 5 5 5 ) 147 Cho hình thoi ABCD có phương trình hai cạnh AB : x + 2y – = 0, 2x + y + = Đoạn thẳng BD chứa điểm M(1;2) Tìm toạ độ đỉnh B hình thoi Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 126 Đáp số: B(4; –1) Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (131) PH H NG TRÌNH, B T PH PH NG TRÌNH NG TRÌNH Đ I S & VÔ T Công thức biến đổi giải phương trình và bất phương trình vô tỷ a) Áp dụng với thức bậc hai f (x ) ≥ f (x ) = g (x ) ⇔ f (x ) = g(x ) f (x ) ≥ f (x ) < g(x ) ⇔ f (x ) < g(x ) g (x ) ≥ f (x ) = g (x ) ⇔ f (x ) = g (x ) a (x )g(x ) ≥ a(x ) f (x ) = g(x ) ⇔ a (x )f (x ) = g (x ) g (x ) < f (x ) ≥ f (x ) > g (x ) ⇔ g (x ) ≥ f (x ) > g (x ) f (x ) ≥ f (x ) < g (x ) ⇔ g (x ) > f (x ) < g (x ) Với điều kiện f (x ) ≥ ; g (x ) ≥ và h(x ) ≥ ta có thể áp dụng các biến đổi sau ( h(x ) ⇔ ( h(x ) ⇔ ( ) g(x ) ) g(x ) ) f (x ) + g(x ) = h(x ) ⇔ f (x ) + g(x ) = h(x ) f (x ) + g(x ) > f (x ) + > h(x ) < h(x ) f (x ) + g(x ) < f (x ) + Chú ý: nên lấy luỹ thừa bậc chẵn hai vế phương trình bất phương trình hai vế phương trình bất phương trình đó luôn luôn không âm b) Áp dụng với thức bậc lẻ f (x ) = g (x ) ⇔ f (x ) = g(x ) f (x ) = g(x ) ⇔ f (x ) = g (x ) f (x ) < g(x ) ⇔ f (x ) < g (x ) f (x ) < g(x ) ⇔ f (x ) < g (x ) f (x ) > g(x ) ⇔ f (x ) > g (x ) f (x ) > g(x ) ⇔ f (x ) > g (x ) Công thức biến đổi giải phương trình và bất phương trình chứa dấu | | f (x ) = g(x ) f (x ) = g (x ) ⇔ f (x ) = −g(x ) g (x ) ≥ f (x ) = g (x ) ⇔ f (x ) = ±g(x ) f (x ) < g (x ) f (x ) < g(x ) ⇔ f (x ) > −g(x ) f (x ) > g(x ) f (x ) > g(x ) ⇔ f (x ) < −g(x ) Th.S Dương Phước Sang 127 0942.080383 (132) BÀI TẬP MINH HOẠ Ví dụ 1: Giải bất phương trình (x + 4) − x ≥ (x + 1) − 2x − x Bài giải (x + 4) − x ≥ (x + 1) − 2x − x − x ≥ ⇔ x ∈ [−4;2] Điều kiện: − 2x − x ≥ Lưu ý: với điều kiện nêu trên thì vế trái bất phương trình đã cho luôn luôn không âm vế phải bất phương trình có âm Phép bình phương hai vế chưa áp dụng bài toán này Muốn thực bình phương vế ta phải xét riêng hai trường hợp Trường hợp 1: x ∈ [−4; −1] thì (x + 1) ≤ ⇒ (x + 1) − 2x − x ≤ ≤ (x + 4) − x (bất phương trình nghiệm đúng với x ∈ [−4; −1] ) Trường hợp 2: x ∈ (−1;2] hai vế bất phương trình không âm nên (x + 4) − x ≥ (x + 1) − 2x − x ⇔ (x + 4)2 (2 − x ) ≥ (x + 1)2 (8 − 2x − x ) ⇔ (8 − 2x − x )(x + x − 3) ≤ ⇔ x ∈ (−∞; −4] ∪ −1− 13 ; −1+ 2 −1+ 13 Với điều kiện xét x ∈ (−1;2] ta nhận x ∈ −4; Như bất phương trình đã cho có nghiệm x ∈ −4; −1+ 13 ∪ {2} Nhận xét: Phép bình phương vế tương đương hai vế không âm 13 ∪ [2; +∞) ∪ {} Bất phương trình ví dụ có thể đưa dạng tích Dưới đây là cách giải ấy: Với điều kiện x ∈ [−4;2] ta có (x + 4) − x ≥ (x + 1) − 2x − x − 2x − x = ⇔ − 2x − x x + − (x + 1) ≥ ⇔ x + − (x + 1) ≥ − 2x − x = x = −4 ∨ x = x = x +1 < ⇔ ⇔ x < −1 ⇔ x + ≥ −1+ 13 x ≤ − + 13 −1 ≤ x ≤ x + ≥ (x + 1)2 Đến đây kết hợp điều kiện đầu bài ta nhận tập nghiệm S = −4; −1+ 13 ∪ {2} Nhận xét: Nếu h(x ) ≥ 0, ∀x ∈ D sau đã đặt điều kiện cho bất phương trình có nghĩa ta có h(x ) = h(x ).f (x ) ≥ ⇔ f (x ) ≥ Ví dụ 2: Giải bất phương trình Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia h(x ) = h(x ).f (x ) ≤ ⇔ f (x ) ≤ 2x (1 − 2x + ) < x −2 128 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (133) Bài giải 2x + ≥ x ≥ − Dùng lượng liên hợp biểu thức mẫu ta có Điều kiện: ⇔ − 2x + ≠ x ≠ (1 − 2x (1 + 2x + ) 2x 2x + ) ⇔ < x −2 ⇔ (−2x ) x + + 2x + < x −2 ⇔ x (1 + < x −2 ⇔ 2x + ) 2x < x −2 2x + − x + 3x + < (*) x Lưu ý: Việc quy đồng hai vế thường áp dụng giải bất phương trình có ẩn mẫu lúc thực phép quy đồng hai vế chúng ta không bỏ mẫu chung (trừ mẫu chung là biểu thức luôn dương với giá trị biến số x) Như để giải bất phương trình (*) ta buộc phải xét riêng hai trường hợp x > và x < thực xét dấu tử thức và mẫu thức vế trái nhân dấu chúng lại trên bảng xét dấu từ đó chọn tập nghiệm phù hợp để kết luận Dưới đây là cách giải thứ hai vừa nêu: Đặt t(x ) = 2x + − x + 3x + Xét bất phương trình t(x ) < ⇔ 2x + < x − 3x − 2x + ≥ 2x + ≥ −2 ≤ x < 1− ⇔ x − 3x − > ⇔ x − 3x − > ⇔ x > 2x + < (x − 3x − 1)2 x (x − 4)(x − 2x − 1) > Bảng xét dấu: x −∞ − t(x ) x VT 1− – – + | 0 + – – | +∞) + + + | – + – Như (*) ⇔ x ∈ (1 − 2; 0) ∪ (4; +∞) Đây là các nghiệm bất phương trình đã cho Ví dụ 3: Giải phương trình 7x + + 7x − + 49x + 7x − 42 = 181 − 14x Bài giải Điều kiện: x ≥ 7x + + 7x − + 49x + 7x − 42 = 181 − 14x Đặt t = 7x + + 7x − ≥ ⇒ t = 14x + + 49x + 7x − 42 ⇒ 49x + 7x − 42 = t − 14x − t = 13 (nhaän) Thay vào phương trình ta t + t − 14x − = 181 − 14x ⇔ t + t − 182 = ⇔ t = −14 (loại) Với t = 13 ta có 7x + + 7x − = 13 ⇔ 14x + + 49x + 7x − 42 = 169 84 − 7x ≥ ⇔ 49x + 7x − 42 = 84 − 7x ⇔ ⇔ x = (thoả x ≥ ) 2 49x + 7x − 42 = (84 − 7x ) Th.S Dương Phước Sang 129 0942.080383 (134) Ví dụ 4: Giải phương trình x + + 22 − 3x = x + Bài giải Nhận xét: phép bình phương vế (2 lần) khó mà giải phương trình này ! Ta xét cách giải: Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 22 Cách 1: x + + 22 − 3x = x + Ta có x + + 22 − 3x = x + ⇔ ( x + − 1) + ( 22 − 3x − ) = x − x +1 −3x − + = (x − 1)(x + 1) x +2 +1 22 − 3x + ⇔4 ⇔ (x + 1) − − x + 1 = x + + 22 − 3x + ⇔ x = −1 − −x +1 = x +2 +1 22 − 3x + Xét hàm số g (x ) = − − x + liên tục trên đoạn [−2; 22 ] ta có x +2 +1 22 − 3x + −2 g ′(x ) = − − < 0, ∀x ∈ (−2; 22 ) 2 x +2 x +2 +1 22 − 3x 22 − 3x + ( ) ( ) ⇒ g (x ) giảm liên tục trên đoạn [−2; 22 ] Mà x = thoả phương trình g (x ) = nên g (x ) = có nghiệm x = Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = –1 và x = Cách 2: x + + 22 − 3x = x + Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 22 Ta có x + + 22 − 3x = x + ⇔ 12 x + + 22 − 3x = 3x + 24 ⇔ (3 x + − x − ) + (3 22 − 3x + x − 14 ) = 3x − 3x − −x + x + −x + x + + = 3(x − x − 2) x + + x + 22 − 3x + 14 − x −1 −1 ⇔ (x − x − 2) ⋅ + −3 = x + + x + 22 − 3x + 14 − x ⇔ 4⋅ ⇔ x − x − = ⋅ −1 −1 + − < 0, ∀x ∈ [−2; 22 ] 3 x + + x + 22 − 3x + 14 − x Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = –1 và x = 2 (1) y + 2xy − x + 2x = Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 3x − 2y − + (x + 2)(y + 4) = (2) Bài giải Ta biến đổi (1) ⇔ y − x + 2xy + 2x = ⇔ (y − x )(y + x ) + 2x (y + x ) = ⇔ (y + x )(y − x + 2x ) = ⇔ y = −x y = x − 2x Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 130 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (135) (x + 2)2 (2 − x ) = −2x − 3x + Với y = −x phương trình (2) trở thành x = −2, y = −4 −2 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ 1 (x + 2)2 (4x − 3x − 1) = (1 − 2x )(x + 2) x = − , y = − 16 −2x − 3x + ≥ ⇔ (x + 2) (2 − x ) = Với y = x − 2x phương trình (2) trở thành 3x − 2(x − 2x ) − + (x + 2)(x − 2x + 4) = ⇔ 3(x + 2) − 2(x − 2x + 4) + (x + 2)(x − 2x + 4) = ⇔ 3⋅ x +2 x − 2x + + x +2 x − 2x + −2 = ⇔ x +2 x − 2x + = ⇔ 9(x + 2) = 4(x − 2x + 4) ⇔ x = 17 ± 321 Cũng từ 9(x + 2) = 4(x − 2x + 4) ta suy 9x + = 4(x − 2x ) = 4y từ đó y = 169 ± 321 2 32 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x ; y ) sau: ( (−2; −4) , − ; − 16 ) , ( 17+8 321 ; 169+329 321 ) , ( 17−8 321 ; 169−329 321 ) 3y − 5y + + = (1) x Ví dụ 6: Giải hệ phương trình x + + xy y + = (2) Bài giải Điều kiện: x ≥ −1 Từ (1) ta suy − = 3y − 5y + > ⇒ x < x Từ (2) ta suy y.(−x ) y + = x + ≥ ⇒ y ≥ (do x < 0) Do x = −1 và y = không thoả hệ phương trình nên x + > và y > , từ đó x + + xy y + = ⇔ xy y + = −4 x + ⇔ ⇔ y2 + x + − y − (y + 4) y = ⇔ x + − = − x +1 x +1 y y y2 + y2 + ⇔f Do f ′(t ) = + t2 x −4 = x + y y2 + ( ) x +1 = f ( , đó f (t ) = t − , t > ) t +4 y y2 > 0, ∀t > nên f (t ) tăng liên tục trên khoảng (0; +∞) Chính vì ( )⇔ +4 −4 = −y − (*) 2 x y +4 y y +4 y = 2, x = − 2 2 Thay (*) vào (1) ta 3y − 5y − y − + = ⇔ 2y − 5y + = ⇔ y = , x = − 16 17 1 16 vaø (x ; y ) = ; − Vậy hệ phương trình có các nghiệm (x ; y ) = 2; − f ( ) x +1 = f y ( Th.S Dương Phước Sang y x +1 = ) 131 ⇔x = (2 ⇔ 17 ) 0942.080383 (136) x (1) + 6y + x − 2y = y Ví dụ 7: Giải hệ phương trình 2y − = x − 10y + (2) Bài giải Điều kiện: x ≥ 2y, y ≥ Quy đồng bỏ mẫu vế phương trình (1) ta 2y + 6y + y x − 2y = x ⇔ 6y + y x − 2y = x − 2y (1′) Chia vế phương trình (1′) cho y ta x − 2y x − 2y x − 2y x − 2y 6+ = ⇔ −6 = − y y y y x − 2y ⇔ = (do y > 0) ⇔ x = 9y2 + 2y y Thay vào (2) ta 2y − = 9y − 8y + ⇔ ( 2y − − 1) = 9y − 8y − 2(y − 1) = (y − 1)(9y + 1) ⇔ (y − 1) − (9y + 1) = (*) 2y − + 2y − + 4 Do y ≥ nên ≤ < (9y + 1) ⇒ − (9y + 1) < Từ đó 2y − + 2y − + ⇔2 (*) ⇔ y − = ⇔ y = ⇒ x = 11 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y ) = (11;1) 3 (1) x + x − − = y Ví dụ 8: Giải hệ phương trình + y − y (3x + 1) = (2) Bài giải 3 x + x − − = (1) x + x − − = y y Chia vế (2) cho y ta ⇔ + y − y (3x + 1) = (2) + − − 3x = y y x + x − − 3z = Đặt z = ta hệ phương trình Trừ vế theo vế ta z + z − − 3x = y (1) (2) x − z + 4x − 4z = ⇔ (x − z )(x + xz + z + 4) = 2 ⇔ x = z (do x + xz + z + = (x + z ) + 3z + > 0) 1 x = y = x = z y x Như ⇔ ⇔ x + x − − 3z = 2(x + 1)(x − x − 1) = x = −1 ∨ x = 1± ( ) ( Hệ phương trình có nghiệm (x ; y ) là (−1; −1) , 1+ ; −1 , 1− ; − −1 Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 132 2 ) Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (137) + =0 x + y + 6xy − (x − y ) Ví dụ 9: Giải hệ phương trình − =0 2y + x −y Bài giải 2 2 +9 =0 + =0 x + y + 6xy − 2(x + y ) − (x − y ) + 2 (x − y ) (x − y ) Ta có (*) ⇔ − =0 − =0 2y + (x + y ) + x − y + x −y x − y a = x + y Đặt b = x − y + x −y 2 2a − [b − 2] + = (1) (|b | ≥ 2) Thay vào hệ (*) ta a + b − = (2) Từ phương trình (2) ta suy b = − a , thay vào (1) ta (4 2a − − a ) 2 + + = ⇔ a + a + 25 = ⇔ a = − ⇒ b = 16 Với b = ta có x − y + = ⇔ 2(x − y )2 − 5(x − y ) + = ⇔ x − y = x − y = 2 x −y x = − x + y = − x = x + y = − 8 Như ⇔ x − y = y = − 13 y = − x − y = 2 8 5x + 2xy + 2y + 2x + 2xy + 5y = 3(x + y ) Ví dụ 10: Giải hệ phương trình 2x + y + + 7x + 12y + = 2xy + y + Bài giải Do 5x + 2xy + 2y + 2x + 2xy + 5y = (2x )2 + (x + y )2 + y + (2y )2 + (x + y )2 + x ≥ (2x + 2y )2 + (2x + 2y )2 + (x + y )2 ≥ 3(x + y ) Nên từ (1) ta suy x = y ≥ Từ đó, 3x + + 19x + = 2x + x + ⇔ 3x + − + 2.( 19x + − 3) = 2x + x − 3(x − 1) 38(x − 1) + = (x − 1)(2x + 3) 3x + + (19x + 8)2 + 3 19x + + 38 =0 ⇔ (x − 1) + − (2 x + 3) 3 (19x + 8) + 19x + + 3x + + ⇔ Do x ≥ nên 38 + − (2x + 3) ≤ (*) 3x + + (19x + 8) + 3 19x + + (dấu “=” (*) xảy và x = 0) Vậy hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm: (0;0) và (1;1) Th.S Dương Phước Sang 133 0942.080383 (138) Ví dụ 11: Tìm các giá trị m để phương trình 3x + 2x + = m(x + 1) x + có nghiệm thực? Bài giải Ta có 3x + 2x + = m(x + 1) x + ⇔ (x + 1)2 + 2(x + 1) = m(x + 1) x + (*) Vì x = −1 không thoả (*) nên x ≠ −1 Chia vế (*) cho (x + 1) x + ta (x + 1)2 (x + 1) x + x +1 Với t = Ngoài lim x →−∞ x +1 x +1 +2 x +1 x →−∞ Bảng biến thiên t(x ) : (x + 1) x + 1+1 x − 1+1 x (−∞ t ′(x ) x2 + 1−x (x + 1) lim x +1 x →+∞ x2 x2 + =m x +1 +2⋅ và t ′ = ⇔ x = = −1 và x +1 1+1 = lim x →+∞ x 1+1 +∞) + x +1 =m ⇔ (x ∈ ℝ) ta có t ′ = = lim x2 + =1 x2 – t(x ) –1 Dựa vào bảng biến thiên t(x ) ta có t ∈ (−1; 2] Như phương trình đã cho có nghiệm có nghiệm t ∈ (−1; ] \ {0} t 2 t2 − ′ Xét hàm số f (t ) = t + , t ∈ (−1; ] \ {0} có f (t ) = − = ≤ 0, ∀t ∈ (−1; ] \ {0} t t t2 Bảng biến thiên: ] +∞ t −∞ (–1 – – f ′(t ) –3 +∞ f (t ) −∞ 2 ⇔ phương trình m = t + Như phương trình đã cho có nghiệm và m < – m ≥ 2 Ví dụ 12: Tìm các giá trị m để phương trình m 2x + = x + m có nghiệm ? Bài giải Ta có m 2x + = x + m ⇔ m Xét hàm số f (x ) = ( x 2x + − ) 2x + − = x ⇔ m = x 2x + − (*) liên tục trên ℝ có 2(36 − x ) f ′(x ) = ( 2x + 9 + 2x + )( ) 2x + − Cho f ′(x ) = ⇔ 36 − x = ⇔ x = ±6 Ngoài lim f (x ) = lim x →−∞ x →−∞ x 2x + − Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia =− ; lim f (x ) = lim x →+∞ 134 x →+∞ x 2x + − = Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (139) Bảng biến thiên x (−∞ f ′(x ) – –6 + +∞) – f (x ) − −3 Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm và m = ± − − ≤ m ≤ 2 x + xy + y = m + Ví dụ 13: Tìm các giá trị m để hệ phương trình có nghiệm ? x 2y + xy = m + Bài giải S = x + y Đặt hệ trở thành P = xy S + P = m + đó S và P là hai nghiệm phương trình PS = m + X − (m + 2)X + (m + 1) = ⇔ X = X = m + Như S = 1, P = m + S = m + 1, P = m ≤ − ≥ 4(m + 1) Hệ phương trình đã cho có nghiệm ⇔ S ≥ 4P ⇔ ⇔ (m + 1) ≥ m ≥ x + y + x + y = Ví dụ 14: Tìm các giá trị m để hệ phương trình có nghiệm ? xy(x + 1)(y + 1) = m Bài giải a = x + x = (x + ) − ≥ − 4 Đặt hệ trở thành )2 − ≥ − b = y + y = ( y + 4 b = − a a + b = ⇔ ab = m m = 8a − a (*) Do b ≥ − nên − a ≥ − ⇒ a ≤ 33 ⇒ a ∈ − ; 33 = K 4 4 Như hệ phương trình đã cho có nghiệm ⇔ phương trình m = 8a − a có nghiệm a ∈ K ⇔ f (a ) ≤ m ≤ max f (a ) với f (a ) = 8a − a a ∈K a ∈K Hàm số liên tục trên đoạn K = − ; 33 có f ′(a ) = − 2a = ⇔ a = ∈ K 4 Do f (4) = 16, f (− ) = f ( 33 ) = − 33 nên f (a ) = − 33 ; max f (a ) = 16 4 16 16 a ∈K a ∈K Vậy − 33 ≤ m ≤ 16 là các giá trị tham số cần tìm 16 Th.S Dương Phước Sang 135 0942.080383 (140) Bài tập rèn luyện Giải các phương trình và bất phương trình sau đây: a) x + 3x − 9x + = b) x + x + = c) d) 4x + 7x + = x + 2x − + x − 3x + = e) (3x + 1) x + = 3x + 2x + f) g) h) x − x + x + 2x = 2x x + − − x = − 2x i) x + + x + − x + = j) x + − x + + x + − x + = k) x + ≤ x + l) x2 − x − < + x m) x + x − x − 12 < n) 2x + + x − x − ≤ o) 3x + x − ≥ x + p) 2x + 5x − > − x q) r) x + − x + ≤ x x + − x −1 < x −2 + x − 3x + <2 x 1 ≤ u) 2x − 2x + 3x − t) x − x + = s) − x + x x + = − 2x − x v) x + 3x + − x2 − x + −1 4x x +3 >1 Giải các phương trình và bất phương trình sau đây: 3x + 5x + − 3x + 5x + = a) b) x − 2x − + 2x − x = x − 2x − c) (x + 1)2 + x 2x + = d) 5x + 10x + > − 2x − x e) 2x + 4x + 3 − 2x − x > f ) x (x − 4) 4x − x + (x − 2)2 < g) 2x + x + + x + x + x = h ) 2x + + x + = 3x + 2x + 7x + i) + x − − x + 4 − x = 10 − 3x j) x + − x + ≤ 5x − x + 5x + k) x x +1 −2 >3 x +1 x l) x 1 +2 + < (HD: = − + 1) x x −1 x x + x < 2x + + x 2x 3x ≤0 o) x − + x2 − n) q) − 4x + x + ≥ 8x r) 10x − 9x − 8x 2x − 3x + + = s) x + − x − = x − t) x + = 2x + m) Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia + x < 2x + +2 x 2x p) x + 2x x − 136 = 8x + (chia vế cho x) x Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (141) Giải các phương trình và bất phương trình sau đây: x − 3x + + x = 2x − + 2x − 2x b) x + x + < x − + x + x − + a) c) (x + 3) 10 − x = x − x − 12 e) x − = (x + 5) d) (2x − 2)2 2x − ≤ 2x − 3x + x +3 x −3 x2 − 3x − > − x 3x − f) g) x + + x + = + x + 3x + h) 2x − + x + x + = x + 3x i) j) (1 − − x ) − x = x 5x − + 3x − = x − k) 14 x + ≥ 3x + 23 + x − l ) 4x + − 3x − < x + m) − − 4x < x n) o) 3x − 14x − + 3x + − − x < p) 2x − 5x − ≤ x − + − x q) 3(2 + x − 2) = 2x + x + r) 5x − + − x < 2x + 3x − 2x < 2x + − 2x + Giải các phương trình và bất phương trình sau đây: 1) (2x − 11x ) − 2x ≤ (2x − 5x − 18) x 2) x − x2 − + x + x2 − = 3) 4x − x − x = 3x + 4) 2x + x + − x + x + = x 5) 2x (3 − + 2x ) 6) < x + 21 7) − x = − 2x + + 2x 9) 11) 51 − 2x − x <1 1−x x − 5x − − 1 ≤ x −1 x + x +x − x − x +x x = 8) x + + 2x + = x − x − 10) + x − = x + 2x − x x x 12) 2x + − 2x 2x − x + − <1 13) 2x + − x + 2x − x = 14) x + x − = 2x − 3x − 15) 16) x + 2x − + x − 2x − = x + 5x + x + 2x + = x + 17) x + 2x + x + + 2x x + = ( ) ( 18) 4x + 2x − x + = 8x 2x − x ) 20) 2x − 6x + − x ≤ x − = 6x − 13x + 22) 12x − 19) 4x x + x − + − x − ≥ 9x 21) 9x ( 3x + − 1) 23) + 1−x > 3x 1−x 9x + 16 < 2x + − 2 − x 24) 2x + x > 11 + 14 x −2 25) (x + 1) x + + (x + 6) x + ≥ x + 7x + 12 26) x − x − + 3x + ≤ Th.S Dương Phước Sang 137 0942.080383 (142) 27) 29) x + x −1 + x −2 x −1 = 31) x +3 28) x + x −1 + x −2 x −1 ≥ 2x + + 6x + > 2x − 30) x + 24 + 12 − x = x + + x + x ≤ + 3x + 32) 24 + x + 12 − x ≤ 33) x + + x − 4x + ≥ x 34) + x − − x + (1 + x )(8 − x ) = x2 35) + x + − x ≥ − 36) 37) (x + 1)2 + (x − 1)2 = x − 38) (x − 2x + 3) x + 3x + = 2(x + 3) x 39) (x + 1) x − 2x + = x + 40) 5x − 16x + + (x + 1) x + 3x − 41) x + 6x − 2x + = (5x − 1) x + 42) 43) x − + − x ≥ 2x − 13x + 17 45) 2x + 17 ≤ 2x + + x − 5x + + 13x x +x +4 ≥6 x + 3x + + 2x − = 3x + 44) 2(x − 3x + 2) = x + x 46) 4x − + − x ≥ x 1 48) − + x − ≥ x x x x2 + x + + x2 − ≤ x +4 x2 + 47) 2x 49) (x + 1) x − 2x + = x + 50) x + + x − = 51) x − 3x + (x + 2)3 − 6x = 52) x + ( − x + ) x = + x + 53) 2x + x −1 1 = 1− + x − x x x 54) 2x + 4x = x +3 55) (4x − 1) x + = 2x + 2x + 56) ( x + − x + 1)(x + x + 4x + 3) = 2x 57) x + + x − 4x + ≥ x 58) 3 − x − + x = 59) 2(x − 3x + 2) = x + 60) 2x + 5x − = x − 61) 5x + 14x + − x − x − 20 = x + 62) 2x − 5x + = 2(x − 21x − 20) 63) x + 2x + 2x − = 3x + 4x + 65) x− x − 2(x − x + 1) 64) 7x − 10x + 14 = x + 66) ≥1 67) x − x + x x − < 69) x + 2x 2x + 68) 70) −1 = x +1 −2 x ≤ 2 x +1 − x 2x + 12x + − 2x − > x + 1 + =2 x − x2 ( ) 72) x + − x = − − x 71) x + (1 − x ) = x − 2x Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 138 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (143) 74) x = 4 4x + + 73) 4x + x < (2x + 1) 4x + 75) 3x + 3x − 1 + ≤0 − 2x x +1 x +2 = x +1 −2 2x + − 76) 77) x − 15x + 78x − 141 ≥ 2x − 78) (x + 5) x + + = 3x + 79) 2x + x − 2x − ≥ 2(2x + 1) 2x + 80) x + 2x − 5x − > (3x + 4) 3x + 81) (x − 3) x + + (x + 3) − x ≤ 4x 82) 83) x + x (1 + x + 1) < + x 84) x − x + x x − 9x − 20 = 85) 1 = x + x− x x x − 2x + > 3x + + x + 86) (2x + 2)(5x + 1) = x − 3x + 3x + x x + + x − + x − 16 − 10 > 87) 3x − − − 2x − 2x + 5x = 88) 89) 8x − − 4x + ≥ (2x + 6) 2x − 90) 2(x − 2) 91) (2x − 3) x + 3x − 10x + 12 = 92) 2x + 23 = 4x − + 2x + 93) 94) (x − 2) 3x + 3x = x + + − 2x x + − x ≥ 2x − ( ) x + + 2x − = 3x − 95) (3 − 8x ) 2x + = 3x + x + 96) x − + − x > 2x − 7x − x −7 4−x ≥ x +1 x −1−2 x + 98) x + + x + 2x = 97) 99) 2x x − x + + 3x + = 2x + 2x + 100) 27 x x x2 + x −1 + x − x2 + = x2 − x + 101) 4x + 12 + x − = 4(x 5x − + − 5x ) 102) 13 x − x + x + x = 16 Giải các hệ phương trình sau đây: (4x + 1)x + (y − 3) − 2y = 1) 2 4x + y + − 4x = x − y + 3y − 3x − = 2) 2 x + − x − 2y − y + = x + + x − − y + = y 3) x + 2x (y − 1) + y − 6y + = x + 21 = y − + y 4) 2 y + 21 = x − + x (3 − x ) − x = 2y 2y − 5) 2x 2y + y = 2x + x 4x + + y + = 6) x + xy = y 10 + y x + 3x = y − 3y + 7) 3x + − y − = x − 3x + (5 − 3y ) 3y − + = 8) x − − y = y − y − Th.S Dương Phước Sang 139 0942.080383 (144) (2015 − 3x ) − x = (2012 − 6y ) − 2y 9) 7x − 8y + 14x − 18y = x + 6x + 13 − x + y − y = − y + x − x 10) x + + − y = x + y − 2y − 2x + y − 3xy + 3x − 2y + = 11) 4x − y + x + = 2x + y + x + 4y 2 x − y − x y + xy − 2xy − x + y = 12) x − y = x − 2y x − x y − xy + x + y y − y = (1 − y ) x − y + x = + (x − y − 1) y 14) 13) 2x + y − = − 2x − 2y 2y − 3x + 6y + = x − 2y − 4x − 5y − 2x + 2y y + x = x y + y x + 2y + y xy + x − = 15) 16) 2x − x 2y + x + y − 2xy − y = x + y + + 5y − = x + y + 5x 2y − 4xy + 3y − 2(x + y ) = 17) xy(x + y ) + = (x + y )2 xy + x + y = x − 2y 18) x 2y − y x − = 2x − 2y 3y = y + x2 19) x +2 3x = y2 1 x − x = y − y 20) 2y = x + x + y − xy = 21) x + + y + = x + y + x 3y + xy + xy = − 22) x + y + xy(1 + 2x ) = − xy + x + = 7y 23) 2 x y + xy + = 13y x + + y(y + x ) = 4y 24) (x + 1)(y + x − 2) = y ( ) (x − y )(y − 1) = x − + y − x + y = xy + x + y 25) 26) x − y = 2 (x + 4y − 5) x − + = 5(x − 1) y − 1 3(x + y ) + = 2(10 − xy ) ( x − y ) 27) =5 2x + x −y 3xy = x + y + 28) x y2 + = 2 (y + 1) (x + 1) x + y − x − y = 12 29) xy(x − 1)(y − 1) = 36 (x + y )(1 + xy ) = 5xy 30) (x + y )(1 + x 3y ) = 20x 3y x + y + x + y = y x 31) x y2 x + y + + =4 y x xy + + x + y = 13 xy y x 32) x y xy − − + = 12 xy y x Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 140 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (145) (x + y )2 − + = x2 33) x (x + y + 1) = x + 2x 3y + x 2y = 2x + 34) x + 2xy = 6x + x (y + 1)(x + y + 1) = 3x − 4x + 35) xy + x + = x x (y + 1) = 6y − 36) x 4y + 2x 2y + y(x + 1) = 12y − x + y + xy + = 4y 37) y(x + y )2 = 2x + 7y + 2x + y(x + 1) = 4x 38) 5x − 4x = y x + y − xy = 39) 4x + y = 4x + y x − xy + y = 40) 2x − 9y = (x − y )(3xy + 1) x − 3x (y − 1) + y + y(x − 3) = 41) x − xy − 2y = (x − y )(x + y + y ) = x (y + 1) 42) x + 4x = + (y + 2) x + x − x + y − xy − y − xy = x 43) x − 4y − + y + = x − 2y = xy − x + 2y 44) (y + 1) 3(x + y ) − (x + 3) x − y = 6x − 3xy + x + y = 45) 3x + y + 3x + y = (xy + 1)x + (x + 1)2 = x 2y + 5x 46) 4x 3y + 7x + 2x y + = 2x + 2x − y + xy = 47) 2x − − y − + = 2x − 8xy − xy + 4y = 48) 16x + 2x − 8y + = x = − x + y 49) 3x + y = x y (x + 3) (x + 1)2 + (x + 1) y + + y = 50) x + (2 + x ) y + = (xy + 1)3 = 2y (9 − 5xy ) 51) xy(5y − 1) = + 3y x (x + 1)(2x + y ) = 52) x + 3x + y = x + y + x − y = 12 53) 2 2y x − y = 12 x y + + y x + = 7xy 54) x x + + y y + = x + y + x + xy + y = 55) x + 2x + − y = (x − 2x + x )(1 + y − 2y ) = 16y 56) 2x 2y − 2xy + y − 10y + = Th.S Dương Phước Sang 141 0942.080383 (146) 3(y + y )(x − 3) = (x − 1) x − + x − 57) 2y + 2y + x − = (1 − 2y ) x − − y + = 58) y y + x − + x − = xy(y + 1) + y + = 4y 59) xy (x + 2) + + y = y2 x + 5y = 2 60) x − y x 2+ y x − 5y =5 5x + y + xy 2y + 2x − x = − x − y 61) y + 2x = + 2xy + x (3 − x ) − x − 2y 2y − = 62) x + + y + = (x + 2) y + = (x + 1)2 63) 2x 2y + y = 2x + x 3x − 2x − + 2x x + = 2y y + 64) x + 2y = 2x + (x + + x )(y + + y ) = 65) x + + 22 − 3x = y + 2y − 2x + x = + x − y 66) 2 2 2x + y + + 2x − y + = x + 2 x + x − 2x + = 3y + y + 67) x − y − 3x + 3y + = 2 (x + x + 4)( y + + y ) = 68) − x − 4x y = 12y + 4xy 3(x − y) = y + 3y − 69) 3(y − x ) = x + 3x − 2x = y(1 + x ) 70) 2y = x (1 + y ) x + xy + x + = 71) (x + 1)2 + 3(y + 1) = 2( x 2y + 2y − xy ) x − 8x = y + 2y 72) x − = 3y + −20y − 3y + 3xy + x − y = 73) x + y − 3y = x + xy + 2x + 2y = 16 74) (x + y )(4 + xy ) = 32 y − xy + = 75) x + y + 2x + 2y + = x + 7y = (x + y )2 + x 2y + 7x + 76) 3x + y + 8y + = 8x x + y + xy = 77) x + y = x + 3y x + y = 2(2x − y ) 78) x − y = 2(x + y ) 2y(x − y ) = 3x 79) x (x + y ) = 10y 27x 3y + 7y = 80) 9x 2y + y = 6x Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 142 ( ) Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (147) (8x − 3) 2x − − y − 4y = 81) 4x − 8x + 2y + y = 2y − (x + + x )(y + + y ) = 82) x 6x − 2xy + = 4xy + 6x + 3x + x +y 83) 7y − x +y x y + 2y + x = 4xy 84) + + x = x xy y = = 2x − 2y + (2x + 1)(y + 1) = 85) 3y + = 8x − 2y − 8(x + y ) − 3xy = 2y + x 86) − x + − y = 2x − y + x + x + = y + y − 87) x + y − xy = xy + 4y + = x (x + 2) 88) x + y + = 2y − y x + + y2 = x + 1+x 89) x 2 + x + + y = y 12(x + xy + y ) + = 85 + ( x y ) 90) = 13 6x + x +y x − x 3y + x 2y = 91) x 3y − x + xy = 3x − + 4(2x + 1) = y − + 3y 92) (x + y )(2x − y ) + 3(2x + y ) + = x − 5y + + y − 7x + = 93) y(y − x + 2) = 3x + (x − y )2 + x + y = y 94) x − 4x 2y + 3x + y = 2 = 51 4(x − xy + y ) + ( x − y ) 95) (2x − 7)(x − y ) + = x (x + y ) = 96) y y + y = + x + x 3x + (9 − y )x − 3xy = 97) x + 9x − 2y = 2y − x = 2(x − 1)2 + 98) 2(y − x ) + = x −1 x + y + = 25y − 2x 99) x + y + = y(18 − x ) 2x + x + x + = 2y + y + 2y + 100) x + 2y − 2x + y − = x + = (3y − x )(y + 1) 101) x +5 = xy − 2y − 3y − − 2y + =1 2 x x + y − 102) 4x x + y + = 22 y (x + x )y − 4y + y + = 103) x 3y + x 2y − 4y + xy + = (x + y )(x + y + 1) = 25(y + 1) 104) x + xy + 2y + x − 8y = Th.S Dương Phước Sang ( 143 ) 0942.080383 (148) 2x − y = y − 2x + (y − 2) x + − x y = 105) 106) x − 2y = y − 2x x + 1( y + 1) = (y − 3)(1 + x + y − 3x ) x y + = +1 x xy 107) y x xy + y xy = 78 x + + x + y − = y 108) 2xy + y = 8y + = 5x − 3y = x − 3xy 109) x − x = y − 3y x − 2y − xy = 110) x − + 4y − = 3(x + y ) = 10xy − 111) (2x − 2y + 3) x − y + (x + y ) − = (x − y ) 3x + 3x − y = 6x + 3y − 112) x y − = 3x − y + 3y x + y + x − y = 113) y + x − y − x = x − 6x 2y + 9xy − 4y = 114) x − y + x + y = y − 2xy + 7y + x = 7x + 115) 3y + 13 − 15 − 2x = x + x + y = 116) y − 1(x + y − 1) = (y − 2) x + y 1 x + =y+ 2 x +1 y +1 117) 9x + = 3x + 2x − y y2 y = x + 1− + y + x y 118) 2y + 3xy + = 5y + x xy x (3y + 55) = 64 119) xy(y + 3y + 3) = 12 + 51x x − 3x 2y − 4x + 4y + 16xy = 16y 120) x − 2y + x + y = (x + 1)2 + xy + 2y − 17 = 121) (x + y )(xy + 4) = 32 2x − y = + xy + x 122) x − y = x + 4y = y + 16x 123) + y = 5(1 + x ) x − x − y − = 124) y + x + 2y x − xy = y + (y − 3)x − 4y = −3 125) x − + − y = 12x + 3y − xy = 16 126) 4x + + y + = xy + x − = 3y 127) x 2y − x = 2y x + y − = 128) x + 2x + y + 2(x + 1) y − = 29 Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 144 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (149) x 12 − y + y(12 − x ) = 12 129) x − 8x − = y − y + 2y − 3x = (x − y + 2) x − y 130) x + 2y − 2xy − 4y + = y − x − x + y − = (2x + 1) 2x − 131) x − 2y − x + 2y + = x − 7x + 6y = (6 − y ) − y 132) 2x − + − 2y = 4x + xy − 6x (x + 1)y + = 2xy (y − 1) 133) xy (3xy − 2) = xy (x + 2y ) + 2x − − y(1 + 2x − 1) = −8 134) y + y 2x − + 2x − 13 = 6x y = (x − 1)2 + 135) x + 4x − 3x 2y − 9xy 3y − x = x + 3y 2xy x + = x2 + y x − 2x + 136) 2xy = y2 + x y + y − 2y + 2x + y(x + 1) = 4x 137) 5x − 4x = y x − 2xy + x + y = 138) 2 x − 4x y + 3x + y = y(y + 2x 3y + 1) = 10x 139) 6 y (1 + 4x y ) = 20x x + 3xy + 49 = 140) 2 x − 8xy + y = 8y − 17x 2xy x + y + =1 x +y 141) x + y = x − y 1 + =2 ( x + y ) x + y y + x 142) x + y = 24 6x − (x − x )y − (y + 12)x + = 143) 5x − (x − 1)2 y − 11x + = x 2y − 2x + y = 144) y − 3x − 3y + = (1 − x ) − x 1 x − = y − x y 145) 2y = x + y10 + y + y = x4 x2 x5 146) 10 2 x + x y (x + y ) = 2 y + x − 12y + = (x + 17) 12 147) x 2x x3 x2 y + = + − 8y 3y x x + + = y y 148) x x + + = y y 2x + x = 2x 2y + y 149) x + 12x + 12 y + = 3y − x − 4x + y = 5(2x − y ) xy 150) x + y = y + + y = x − x − 151) 12y + x − 4y − x = x (4y − 1) x + − 2y = 2x + 152) x + x 2y + y = Th.S Dương Phước Sang ( 145 ) 0942.080383 (150) Tìm các giá trị m để phương trình, bất phương trình sau đây có nghiệm 1) + x + (4 − x )(2x − 2) = m + ( − x + 2x − ) ĐS: ≤ m ≤ 2) x + (m + 2)x + = (m − 1) x + 4x ĐS: m ≥ 3) m x + ≤ x + − m ĐS: m ≤ 4) m ( x − 2x + + 1) + x (2 − x ) ≤ 0, x ∈ 0;1 + ĐS: m ≤ 5) ĐS: m ≥ + x + 1−x + x + 1−x ≤ m 6) x − + m x + = x − ĐS: −1 ≤ m ≤ 7) x + 2x + − x + = m ĐS: < m ≤ 8) 2x + 2x + − x + − x = m ĐS: + ≤ m < + x + − x = −x + 9x + m ĐS: − ≤ m ≤ 10 9) 37 −1 ≤m ≤ 18 19 −1 10) x − m + − x = 3m ĐS: 11) + x + − x = (1 + x ) (1 − ) = m ĐS: ≤ m ≤ + 12) + x + − x − m − + 2x − x ≤ 13) + x + (4 − m ) x − = (m − 1) x − 14) x2 + x + + x2 − x + = m 15) m ( 16) x + − x = m + 4x − x ĐS: 2 − 16 ≤ m ≤ 2 ĐS: m ≥ ĐS: m ≥ ( ) + x − − x + = + x + + x − − x ĐS: m ∈ −2 5; −4 ĐS: m ∈ [5; 6] 17) x − x − + x + x − = m ( ĐS: m ≥ ) 18) (m − ) + x + = x − m ĐS: m ≥ 19) −x + 4x + 21 − −x + 3x + 10 = m ĐS: m ∈ [ 2; ] 20) 2x − 2mx + + = x ĐS: m ≥ 11 21) x x + x + 12 = m ( − x + − x ) ĐS: 15 − ≤ m ≤ 12 22) 8x + 4x + 13 = m(2x + 1) x + ĐS: m > 24) m(x + 4) x + = 5x + 8x + 24 ĐS: m < −5, m ≥ 25) mx − x − ≤ m + ĐS: m ≤ 1+ Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 146 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (151) Tìm các giá trị m để phương trình sau đây có số nghiệm thoả yêu cầu: 1) − x − x + 2x + = m có nghiệm ĐS: m ∈ [−4; −2 2) ∪ {1} 2) (x + − x ) − x − x + − 3m = có nghiệm ;2 ĐS: m ∈ 3) 2x − x + m2 = (m − ) (x + − x ) có nghiệm ĐS: m ∈ [2 − 2;2 ) 4) 10x + 8x + = m (2x + 1) x + có nghiệm ĐS: m ∈ (−5; −4) ∪ 4; 12 ĐS: 2m = −3 ∨ m > 12 6) 3x + − − x = m(4x − 1) có nghiệm ĐS: m = 21 , < m ≤ 21 7) x = −x + 9x + 9m − − x có nghiệm ĐS: ≤ m ≤ 10 2 8) x − 5x − x = m − − x − có nghiệm 9) ( x + x − ) m x + 10) 11) 12) 14 7 ĐS: m ∈ ( 10 − 11 ; 196 10 + 16 x2 − x = có nghiệm ĐS: −16 < m < −11 x −1 x + mx + = 2x + có nghiệm ĐS: m ≥ x − 13x + m = − x có nghiệm ĐS: m < −11 ∨ m = x − 4x + = m + 4x − x có nghiệm dương ĐS: m ∈ (−3; 5) ) 2 Tìm các giá trị m để bất phương trình sau đây có nghiệm thoả yêu cầu: 1) ( + x ) (6 − x ) ≤ x − 2x + m , ∀x ∈ [−4; 6] 2) x ( − x ) + m ( x − 4x + + ) ≥ , ∀x ∈ [2; + ] ĐS: m ∈ [−6; +∞ ) ĐS: m ≥ − 3) x − 3x + ≥ m − x − 3x + , ∀x ∈ [3; +∞ ) ĐS: m ≤ + 4) x + − x + m 3x − x − ≤ , ∀x ∈ [ 0; ] ĐS: m ≤ 6−2 5) x − 2x − (m − 1) x + m ≥ , ∀x ∈ [−4; 6] x ĐS: m ≤ 6) (x + 1) + m ≤ x x + + , ∀x ∈ [0;1] ĐS: −9 ≤ m ≤ 7) 5x − 3x + ≥ m x + x + , ∀x ∈ ℝ ĐS: m ≤ x − x − > a có nghiệm (a > 0) ĐS: < a < 8) ( x − 13x + m + x − = có nghiệm 5) ) 9) mx − x − ≤ m + có nghiệm ĐS: m ≤ 10) x + 2m ≤ 4x − x có nghiệm ĐS: m ≤ − Chứng minh với m > phương trình x + 2x − = m (x − ) có nghiệm phân biệt Th.S Dương Phước Sang 147 0942.080383 (152) 10 Tìm các giá trị tham số m để hệ phương trình sau đây có nghiệm x + y + xy = m a) x 2y + xy = 3m − x + + y + = m b) x + y = m − 4m + x + + y + = x y c) 1 3 x + + y + = 15m − 10 x y x − + y = d) 2 x + y − 2x = 3m + 2x − (y + 2)x + xy = m e) x + x − y = − 2m x + (y + 2)x + 2xy = −2m − f) x + 3x + y = m x − + 3y = m g) y − + 3x = m x − 12x − y + 6y = 16 h) 4y − y = 4x + − x + m 2x − y + m = i) y + xy = 3(x + 1)2 + y − m = j) x + xy = x + + y + = m k) x + y = 2m − xy (x + ) (y + ) = 5m − l) x + y + 2x + 2y = 2m x + − y + = m m) x + y = 3m x + y = n) x x + y y = − 3m 2x − (y + 2)x + xy = m o) x + x − y = − 2m p) Đáp số bài 10 a) m ≤ 21 ∨ m ≥ + b) m ≥ ∨ ≤ m ≤ c) m ≥ 22 ∨ ≤ m ≤ d) − ≤ m ≤ 13 e) m ≤ 2− f) m ∈ [−2; +∞) g) m ≥ h) −16 ≤ m ≤ i) m ≤ ∨ m > j) m ∈ −4; − 15 ∪ 20 ;12 k) m = ∨ m ∈ [2; ] l) m ∈ ;2 ∪ [ 3; +∞ ) 7 m) m ∈ 3− 21 ; 3+ 21 n) ≤ m ≤ 4 2 o) m ≤ 2− Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 148 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (153) 11 Tìm các giá trị m để hệ phương trình sau đây có số nghiệm kèm theo 2x − y − m = có nghiệm a) x + xy = ĐS: m > 3y − m x + = b) có nghiệm x + y + = m x + x2 + ĐS: m = −1 ∨ m = 2 x y − x + y = c) có nghiệm m x + y − x 2y = ( ) ĐS: m = x + 2mxy + (m + 1) y = m d) có nghiệm 2 x + (m + 1) xy + 2y = 2m − ĐS: m ∈ +2 13 ;2 x + xy + y = m + e) có nghiệm x y + y 2x = m + ĐS: m ≤ − ∨ m ≥ x + y = m f) có nhiều nghiệm (x + 1) y + xy = m (y + ) ĐS: m > 2 x = y + 7x − mx g) y = x + 7y − my có nghiệm ĐS: m > 16 x + xy + y = m + h) có nghiệm 2x + xy + 2y = m ĐS: m = 21 2 x y + m = y i) có nghiệm xy + m = x ĐS: m < ∨ m > x + xy + y = 2m + j) có nghiệm x y + y 2x = m + m ĐS: m = x + − y = m + k) có nghiệm y + − x = m + ĐS: m = − ) 27 3(x + 1)2 + y = m l) có nghiệm xy = − x x − 3y + x 2y + 2y + = m) có nghiệm x + 4x − y + + 2x − = m x + y + x − y = + 2xy n) có nghiệm x + y − = 2mx − m Th.S Dương Phước Sang ( 149 ĐS: m ∈ (−4; − 15 ) ∪ ( 20 ;12 ĐS: m ≥ − 31 ĐS: − ≤ m ≤ − 0942.080383 (154) B T Đ NG TH C GIÁ TR L N NH T & GIÁ TR NH NH T Một số bất đẳng thức cổ điển a) Bất đẳng thức CauChy a + b ≥ ab (a, b ≥ 0) a + b + c ≥ 3 abc (a, b, c ≥ 0) (dấu “=” xảy ⇔ a = b ) (dấu “=” xảy ⇔ a = b = c ) b) Bất đẳng thức Bunyakovski (ax + by ) ≤ (a + b )(x + y ) (dấu “=” xảy ⇔ a : b = x : y ) (ax + by + cz ) ≤ (a + b + c )(x + y + z ) (dấu “=” xảy ⇔ a : b : c = x : y : z ) c) Bất đẳng thức véctơ u +v ≤ u + v và u v ≤ u v (dấu “=” xảy ⇔ u và v cùng hướng) u −v ≤ u +v và u v ≥ − u v (dấu “=” xảy ⇔ u và v ngược hướng) Một số bất đẳng thức khác thường sử dụng (cần chứng minh ) 1 + ≥ a b a +b 1 + + ≥ a b c a +b +c (a, b > 0) (a, b, c > 0) (dấu “=” xảy ⇔ a = b ) (dấu “=” xảy ⇔ a = b = c ) 2ab a +b a + b2 (a, b > 0) ≤ ab ≤ ≤ a +b 2 (a + b + c )2 a + b2 + c2 ≥ ≥ ab + bc + ca n a n + bn a +b ≥ (a, b > 0) 2 (dấu “=” xảy ⇔ a = b = c ) (1 + a )(1 + b2 ) ≥ (a + b ) (dấu “=” xảy ⇔ a = b ) 1 + a2 1+a + + 1 + b2 1 +b 2 (dấu “=” xảy ⇔ a = b ) (dấu “=” xảy ⇔ a = b ) ≥ + ab (ab ≥ 1) (dấu “=” xảy ⇔ a = b ∨ ab = ) ≤ + ab (ab ≤ 1) (dấu “=” xảy ⇔ a = b ∨ ab = ) (a, b > 0) (dấu “=” xảy ⇔ a : b = x : y ) (a, b, c > 0) (dấu “=” xảy ⇔ a : b = x : y ) (a, b ∈ [0;1]) (dấu “=” xảy ⇔ a = b = ) x y2 (x + y )2 + ≥ a b a +b x y2 z2 (x + y + z )2 + + ≥ a b c a +b +c 1 + ≤ 2 + ab 1+a +b +a + +b ≥ + +a +b Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia (dấu “=” xảy ⇔ ab = ) 150 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (155) Giá trị lớn và giá trị nhỏ a) Định nghĩa f (x ) ≤ M , ∀x ∈ K M = max f (x ) ⇔ x ∈K ∃x ∈ K : f (x ) = M 0 f (x ) ≥ m, ∀x ∈ K m = f (x ) ⇔ x ∈K ∃x ∈ K : f (x ) = m 0 b) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số trên đoạn Khẳng định hàm số y = f (x ) liên tục trên đoạn [a;b ] Tính đạo hàm y ′ Cho y ′ = để tìm các nghiệm xi ∈ [a;b ] và các số x j ∈ [a;b ] làm cho y ′ không xác định Tính các f (xi ), f (xj ) và hai giá trị đặc biệt là f (a ), f (b) Chọn số lớn và số nhỏ bước tương ứng làm max f (x ) và f (x ) x ∈[a ;b ] x ∈[a ;b ] c) Ứng dụng vào bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nhiều biến Từ biểu thức nhiều biến F (x , y, z ) ta biến đổi đặt ẩn phụ để biểu thức theo biến (kèm điều kiện cho biến mới) từ đó tìm F (x , y, z ) , max F (x , y, z ) Gặp biểu thức F = F t (x , y ) ta đặt t = t (x , y ) (và đánh giá điều kiện cho t) P (x, y ) Gặp biểu thức F = , đó P (x , y ),Q(x , y ) là các đa thức đẳng cấp bậc n theo hai Q(x , y ) biến x,y ta đặt y = tx (t ∈ ℝ) xét x ≠ Gặp biểu thức F chứa a + b , a2 + b , ta đặt t = a + b (| t | ≥ 2) b a b a b a Gặp biểu thức đối xứng với x, y ta đặt S = x + y, P = xy với S ≥ 4P Dùng phương pháp để điều kiện giả thiết vào biểu thức F Giữ vai trò biến, xem các biến còn lại tham số BÀI TẬP MINH HOẠ Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ hàm số f (x ) = x + 11 + + trên khoảng (0; +∞) 2x x Bài giải Cách 1: Xét hàm số f (x ) = x + 11 + + trên khoảng (0; +∞) có 2x x f ′(x ) = 2x x + − 11 x + − 28 2x x + Cho f ′(x ) = ⇔ 2x x + − 11 x + − 28 = (x > 0) Đặt t = x + > ⇒ x = t − , phương trình f ′(x ) = trở thành 2t − 25t − 28 = ⇔ (t − 4)(2t + 8t + 7) = ⇔ t = (do t > 0) Th.S Dương Phước Sang 149 0942.080383 (156) Như f ′(x ) = ⇔ x + = ⇔ x + = 16 ⇔ x = ⇔ x = (do x > 0) Bảng biến thiên: (0 x f ′(x ) – +∞) + +∞ f (x ) Dựa vào bảng biến thiên ta suy +∞ f (x ) = f (3) = 15 15 x >0 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski ta + x 7 7 7 (9 + 7) ≥ + ⇒ + ≥ + ⇒ + ≥ + x x 2x x x 11 9 15 + + ≥ x + + ≥ x + = 2x x x 2 x Dấu “=” xảy và : = : vaø x = ⇔ x = ⇔ x = (do x > 0) x x Vậy f (x ) = f (3) = 15 Suy f (x ) = x + x >0 Ví dụ 2: [D-2009] Cho hai số không âm x và y thoả mãn x + y = Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức S = (4x + 3y )(4y + 3x ) + 25xy Bài giải Ta có S = (4x + 3y )(4y + 3x ) + 25xy = 16x 2y − 2xy + 12 x +y = ≥ xy , đó 2 Nếu đặt t = xy thì t ∈ 0; ( t = ⇔ xy = ; t = ⇔ xy = ⇔ x = y = ) 4 2 Xét hàm số S = f (t ) = 16t − 2t + 12 liên tục trên đoạn 0; có Vì x ≥ 0, y ≥ nên theo bất đẳng thức CauChy ta có f ′(t ) = ⇔ 32t − = ⇔ t = ∈ t ∈ 0; 16 f (0) = 12 ; f ( ) = 191 16 16 ; f ( ) = 25 Vậy giá trị lớn S là Smax = 25 x = y = 2 x = 2+ ; y = 2− 4 giá trị nhỏ S là Smin = 191 xy = ⇔ 16 16 2− ; y = 2+ x = 4 Ví dụ 3: [B-2008] Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn hệ thức x + y = Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức P = x + 6xy + 2xy + 2y Bài giải Thay = x + y vào P ta P = x + 6xy x + y + 2xy + 2y = x + 6xy x + 2xy + 3y Nếu x = thì y = và P = Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 150 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (157) Xét x ≠ , đặt y = tx , thay vào P ta P = Xét hàm số f (t ) = 6t + 3t + 2t + f ′(t ) = x + 6tx x + 2tx + 3t 2x = 6t + 3t + 2t + xác định trên ℝ −18t + 6t + 2 (3t + 2t + 1) , f ′(t ) = ⇔ t = − t = 3 Ngoài lim y = nên ta có Như bảng biến thiên f (t ) sau: P = −3 đạt và x →±∞ t f ′(t ) −2 −∞ – + – 3 f (t ) 2 x + y = ⇔ y = − x +∞ x = ± 13 y = − x max P = đạt và −3 2 x = ± x + y = 13 ⇔ y = x y = x 3 Ví dụ 4: Cho hai số thực x, y lớn Tìm giá trị nhỏ biểu thức x − x + y3 − y2 P= + 2(x + y ) − 16 xy (x − 1)(y − 1) Bài giải Ta có P = x + y − (x + y ) + 2(x + y ) − 16 xy xy − (x + y ) + Đặt s = x + y vaø p = xy với s ≥ 4p ta P= s − 3ps − (s − 2p) + 2(s − 2p) − 16 p p −s +1 s − s − (3s − 2)p ⇒P = + 2s − p − 16 p p −s +1 Do x , y > nên s > và p > , kết hợp với s ≥ 4p hay (−4 p ) ≥ (−s ) ta P= ≥ ⇒P ≥ 4s − 4s + (3s − 2)(−4 p) + 2s − p − p p − 4s + 4s − 4s + (3s − 2)(−s ) s − 4s + + 2s − s − s 2 s + s − 8s với s > (*) s −2 s2 + s − 8s, với s > s −2 s − 4s s , f ′(s ) = ⇔ s = (do s > 2) f ′(s ) = + s − = ( s − 4) + 2 (s − 2) (s − 2) Xét hàm số f (s ) = Th.S Dương Phước Sang 151 0942.080383 (158) Dựa vào bảng biến thiên và (*) ta Ngoài lim f (s ) = +∞ nên ta có s →+∞ P ≥ f (s ) ≥ −8, ∀s > bảng biến thiên f (s ) sau: s f ′(s ) – + +∞ +∞ s = x + y = Xét ⇔ ⇔x =y =2 x = y x = y +∞ Khi đó P = −8 f (s ) Vậy P = −8 xảy ít −8 x =y =2 Ví dụ 5: Cho hai số thực x, y thoả mãn 2x (1 − x ) ≥ y(y − 1) Tìm giá trị lớn biểu thức P = (2x + y )2 − x + y + + 2x + 2xy − Bài giải Ta có P = (2x + y )2 − x + y + + 2x + 2xy − ≤ (2x + y )2 − 2x + y + 2x + 2xy − (1) Từ giả thiết 2x (1 − x ) ≥ y(y − 1) ta suy 2x − x ≥ x + y − y ≥ 2xy − y ⇒ 2xy − ≤ y − (x − 2x + 1) ⇒ 2xy − ≤ y (2) Kết hợp (1) và (2) ta P ≤ (2x + y )2 − 2x + y + 2x + y x x y2 (x + x + y )2 Cũng từ giả thiết 2x − 2x ≥ y − y ta suy 2x + y ≥ + + ≥ 1 1+1+1 hay (2x + y ) ≤ 3(2x + y ) ⇔ ≤ 2x + y ≤ (3) (4) Kết hợp (3) và (4) ta P ≤ 3(2x + y ) − 2x + y + 2x + y = 4(2x + y ) − 2x + y Xét hàm số f (t ) = 4t − 6t trên đoạn [0; ] ta tìm max f (t ) = f [0; ] ( ) = 12 − t = 2x + y = ⇔ ⇔x =y =1 Như P ≤ f (t ) ≤ 12 − và P = 12 − ⇔ = x = y x = y = Do đó giá trị lớn biểu thức P là max P = 12 − x = y = Ví dụ 6: Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn + x + + 2y + + 2z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2x + y + z Bài giải Do y, z ≥ nên P = 2x + y + z = 2x + (y + z ) − 3yz (y + z ) ≤ 2x + (y + z ) (1) Ta cần tìm hướng đánh giá (y + z ) với biểu thức theo biến số x Trước tiên ta kiểm tra bất đẳng thức + a + + b ≥ + + a + b (a, b ≥ 0) (2) Thật vậy, (2) ⇔ + a + b + (1 + a )(1 + b) ≥ + a + b + + a + b ⇔ (1 + a )(1 + b ) ≥ + a + b ⇔ + a + b + ab ≥ + a + b (đúng với a, b ≥ ) Dấu “=” (2) xảy và ab = Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 152 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (159) Áp dụng bất đẳng thức (2) vào giả thiết bài toán ta = + x + + 2y + + 2z ≥ + + x + 2y + + 2z ≥ + + + x + 2y + 2z ⇒ + x + 2(y + z ) ≤ ⇒ y + z ≤ − x2 (3) x Kết hợp (1) và (3) ta P ≤ 2x + − Trở lại với điều kiện, x , y, z ≥ nên từ (3) ta tiếp tục suy ≤ x ≤ 2 x Xét hàm số f (x ) = 2x + − trên đoạn [0;2 2] ta tìm max f (x ) = f (0) = 64 [0;2 ] Do đó P ≤ f (x ) ≤ 64 và P = 64 ⇔ x = y = 0,z = ∨ x = z = 0, y = Vậy giá trị lớn biểu thức P là max P = 64 x = y = 0,z = ∨ x = z = 0, y = Ví dụ 7: Cho a, b, c là ba số dương Tìm giá trị lớn biểu thức P= a + b2 + c2 + − (a + 1)(b + 1)(c + 1) Bài giải (x + y )2 ta (a + b)2 (c + 1)2 (a + b + c + 1)2 2 a +b +c +1 ≥ + ≥ ⋅ 2 2 1 ⇒ ≤ (1) a + b2 + c2 + a + b + c + Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức CauChy dạng x + y ≥ (x + y + z )3 ta 27 (a + b + c + 3)3 (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≤ (2) 27 27 Kết hợp (1), (2) so sánh vào P ta P ≤ − a + b + c + (a + b + c + 3)3 27 Đặt t = a + b + c + > ta P ≤ − t (t + 2)3 27 Xét hàm số f (t ) = − trên khoảng (1; +∞) t (t + 2)3 81 f ′(t ) = − , f ′(t ) = ⇔ 81t = (t + 2)2 ⇔ t = (do t > 1) (t + 2) t Áp dụng bất đẳng thức CauChy dạng xyz ≤ Bảng biến thiên f (s ) sau: t f ′(t ) + f (t ) – Như P ≤ f (t ) ≤ +∞ Ngoài ta ta có thể chứng minh P = ⇔a =b =c =1 Vậy giá trị lớn P là max P = Th.S Dương Phước Sang 153 0942.080383 (160) Bài tập rèn luyện Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ các hàm số: 2) f (x ) = x − 5x + 10x − 1, x ∈ [−1;2] 1) f (x ) = x − 5x + 5x + 1, x ∈ [−1;2] 3) f (x ) = 2x + 3x + , x ∈ [0;2] x +1 6) f (x ) = (x − 1)2e −x , x ∈ [0;2] x − 8x + 4) f (x ) = x2 + 5) f (x ) = 2(x − 2)e x + 2x − x 2, x ∈ [0;2] 7) f (x ) = x − ln(1 − 2x ), x ∈ [−2; 0] 8) f (x ) = x ln x − 2x + 2,[1;e ] 9) f (x ) = x + − x 10) f (x ) = (x + 1)ln(x + 1), x ∈ [− ;2 ] 11) f (x ) = ln(x − 3x + 6) − ln(x − 1), x ∈ [2; 4] 12) f (x ) = x ln x , x ∈ 14 ; 12 e e 13) f (x ) = ln x + + ln2 x , x ∈ [1;e ] 14) f (x ) = ln (x + x + 1) − 2x , x ∈ [0;2] 15) f (x ) = 2x − 9x + 12x + , x ∈ [−1; 4] 16) f (x ) = 2x +1 + (x − 6x )ln 2, x ∈ [−1;2] 17) f (x ) = x +1 x +1 18) f (x ) = , x ∈ [−1;2] 20) y = 22 + 4x − x − + 2x − x 19) f (x ) = 21 + 4x − x − 10 + 3x − x 2 1+ x +3 , x ∈ (1;6] x −1 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ các hàm số: 1) f (x ) = 3) f (x ) = 5) f (x ) = 7) f (x ) = 9) f (x ) = x −1 x2 2x + x −1 2) f (x ) = 2x − x 4) f (x ) = x + − x2 + x3 + x2 + x (x + 1)2 x − x (x − 1) + x − x −1 +1 + sin x + cos6 x 6) f (x ) = + sin x + cos x cos4 x + sin2 x sin x + cos2 x sin (x − π ) sin x + + 2cos x , x ∈ π ; π 8) f (x ) = x − 1−x + x + 1−x + cos x sin x (2cos x − sin x ) , x ∈ ( 0; π − 4x − + x − 4a + + x + 10) f (x ) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + x 4y HD: y rút từ giả thiết vào biểu thức P để dùng phương pháp hàm số Cho số dương x và số thực y thoả mãn x − xy + = và 2x + 3y ≤ 14 Tìm giá trị lớn Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = và giá trị nhỏ biểu thức P = 3x 2y − xy − 2x (x − 1) HD: y rút từ giả thiết vào biểu thức P để dùng phương pháp hàm số x + y2 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức T = , biết x + y ≠ x + xy + 4y Cho các số x, y thuộc đoạn [1; 2] Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức x2 P= x + xy + y Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 154 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (161) Cho x + xy + y ≤ Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức P = x + xy + 2y P HD: tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức từ đó cho kết luận x + xy + y Cho x , y, z > thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ 1 P = 2xyz + + + x y z HD: áp dụng CauChy để biến đổi, đánh giá và giải theo ẩn phụ t = xyz Cho các số dương x, y thoả mãn x + y + z ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P = x +y +z + + + x y z HD: dùng bất đẳng thức phụ để so sánh P với biểu thức theo biến t = x + y + z 10 Cho các số dương x, y thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 1 + + + 2xyz x y z 11 Cho các số thực x, y thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ P = x + y + z + xy + yz + zx HD: biến đổi P theo t = x + y + z , dùng Bunyakovski vào giả thiết để tìm điều kiện cho t 12 Cho các số x, y không âm thoả mãn x + y = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ x y P= + y +1 x +1 HD: Có thể dùng phương pháp biến đổi và giải theo ẩn phụ t = xy (có dùng CauChy) Ngoài có thể giải theo hai ẩn phụ là tổng s và tích p với s ≥ 4p 13 Cho các số x, y thoả mãn x + y + xy = x + y + Tìm giá trị lớn và nhỏ xy P= x +y +1 HD: Dùng phương pháp biến đổi P theo t = x + y, dùng CauChy tìm điều kiện cho t Ngoài có thể giải theo hai ẩn phụ là tổng s và tích p với s ≥ 4p 14 Cho các số x, y dương thoả mãn x + y = Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức 1 P= − xy x + y HD: Biến đổi P theo t = xy dùng CauChy vào giả thiết bài toán để tìm điều kiện cho t 1 15 Cho x, y là các số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = xy + + (x − y )2 x y y x HD: Biến đổi và giải P theo t = + , dùng CauChy để điều kiện cho t x y 16 Cho các số x, y dương thoả mãn x + y = 2(x + y ) + Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x (x − 2) + y(y − 2) HD: đặt hai ẩn phụ phù hợp, biến đổi giả thiết để tìm điều kiện và vào biểu thức P Th.S Dương Phước Sang 155 0942.080383 (162) 17 Cho các số x, y thoả mãn x + 4y = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức (x + 1)2 + 4y(x + y + 1) P= x + 2(y + 1) HD: giải theo t = x + 2y, dùng Bunyakovski vào giả thiết để điều kiện − ≤ t ≤ 18 Cho các số x, y, z không âm thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = xy + yz + zx + x +y +z HD: giải theo t = x + y + z, dùng Bunyakovski vào giả thiết để tìm điều kiện cho t 19 Cho các số x, y dương thoả mãn 3xy + = x + y + Tìm giá trị lớn biểu thức xy 16 P = x 2y + x + y2 + HD: giải theo t = xy, dùng CauChy vào giả thiết để suy điều kiện cho t 20 Cho các số x, y dương Tìm giá trị lớn P = xy + x + 9x 2y x + 8y HD: tử thức và mẫu thức P đẳng cấp bậc theo biến x và y 21 Cho các số a, b, c thuộc đoạn [1;2] Tìm GTNN P = (a + b)2 c + 4(ab + bc + ca ) HD: tử thức và mẫu thức P đẳng cấp bậc theo biến c và (a + b) 22 Cho các số x, y khác thoả mãn x + y = 2x 2y + xy giá trị lớn và nhỏ + x y HD: rút xy từ giả thiết thay vào P để biểu thức có tử và mẫu đẳng cấp bậc P= 23 Cho các số x, y thoả mãn x + y = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức P = x (x + 2) + y (y + 2) + 3(x + y )(xy − 4) HD: giải theo tổng s và tích p với s ≥ 4p , dùng giả thiết để suy −2 ≤ s ≤ 24 Cho các số x, y không âm thoả mãn x + y = Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức P = x (x + x + x + y ) + y(y + y + x + y ) HD: giải theo tổng s và tích p với s ≥ 4p , dùng giả thiết để suy ≤ p ≤ 503 xy 2 26 Cho các số x, y thoả mãn x + y = + xy Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ 25 Cho các số x, y dương thoả mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ P = 8(x + y ) + P = (x + y − 2)xy x + y4 27 Cho 2(x + y ) = + xy Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ P = + 2xy 2 28 Cho x , y > thoả mãn x + y + = 2(x + y ) + xy Tìm giá trị lớn và nhỏ 2 P = 2xy + xy − Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 156 x +y Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (163) 29 Cho hai số thực x, y thoả mãn x + 4y = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ P = x + 8y − 3xy 30 Cho các số x , y ≥ thoả mãn 4(x + y + xy ) ≤ + 2(x + y ) Tìm giá trị lớn A = xy + x + y − x − y 31 Cho các số x ≥ 1, y ≥ thoả mãn 3(x + y ) = 4xy Tìm giá trị lớn và nhỏ 1 1 P = x + y + + x y 32 Cho các số dương x, y thoả mãn x 2y + xy = x + y + 3xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức (1 + 2xy )2 − 2xy 2 33 Cho x, y phân biệt thoả mãn (x − 2) + (y + 2) − 2xy ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x − y − (x − y )(7 + 3xy ) + + 4xy x −y 34 Cho các số dương x, y thoả mãn x + y + xy = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y2 + A= 4x 4y + + 2xy − − 3xy 1+y 1+x 35 Cho các số thực x, y thoả mãn x − y + y − x = Tìm giá trị lớn và nhỏ A = (x + y )3 − 12(x − 1)(y − 1) + xy HD: dùng Bunyakovski đổi giả thiết thành x + y = giải theo tổng s và tích p 36 Cho các số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2(x + y + z ) − 4xyz − 9x HD: dùng CauChy và Bunyakovski để đánh giá với y, z để dồn biểu thức sang biến x 37 Cho các số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + 8z HD: dùng Bunyakovski đánh giá với x, y để dồn biểu thức sang biến z 1 + x xy xy , thay giả thiết vào biểu thức dùng phương pháp hàm số 38 Cho các số dương x, y thoả mãn 3x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ A = HD: dùng CauChy cho 39 Cho các số dương x, y thoả mãn x + 2y − xy = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x2 y2 P= + + 8y + x u2 v2 (u + v )2 HD: chứng minh và áp dụng bất đẳng thức phụ + ≥ a b a +b 40 Cho các số thực x, y thuộc khoảng (0;2) Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2(x + y ) + x − y + y − x HD: giải theo ẩn phụ t = x + y ∈ (0;2 2) Th.S Dương Phước Sang 157 0942.080383 (164) 41 Cho các số dương x, y thoả mãn x + (y − 1)2 + z ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2(x + z )y + x + y2 + z + HD: giả thiết suy 2y + ≥ 2x + 4y + 2z Biến đổi giải theo t = x + y + z = xy + Tìm giá trị lớn biểu thức xy 2 P= + − 2 + 2xy 1+x 1+y 42 Cho các số dương x, y thoả mãn x + y + HD: dùng CauChy để đánh giá P và giả thiết để giải bài toán theo xy 43 Cho x, y thoả mãn x + y = x − + 2y + Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức P = x + y + 2(x + 1)(y + 1) + − x − y HD: giải theo x + y, dùng Bunyakovski để tìm điều kiện cho x + y 44 Cho x , y, z ≥ thoả mãn 3(x + y + z ) = x + y + z + 2xy Tìm giá trị lớn biểu thức x2 x P= + (x + y ) + x x + z u2 v2 (u + v )2 HD: giả thiết suy x + y + z ≤ , dùng x ≥ và + ≥ để biến đổi P theo x a b a +b 45 Cho các số dương x, y, z thoả mãn x + y + z ≤ 34 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 HD: giải theo xyz x y3 z3 46 Cho x + y − = 2x − + y + Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức P = (x + y )(y + z )(z + x ) + + + HD: giải theo x + y x +y 47 Cho các số dương x, y, z thoả mãn x + y + z ≤ 2(y + 1) Tìm giá trị lớn biểu thức S = (x + y )2 − − x − y + HD: t = x + y + z x +y +z +1 48 Cho các số dương x, y, z thoả mãn x + y ≤ z Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2xy + 2yz + 1 P = (x + y + z ) + + 4x 4y 4z ( a + b ) x +y HD: áp dụng a + b ≥ nhiều lần để biến đổi biểu thức P theo t = z 2 49 Cho x , y, z ≥ thoả mãn < (x + y ) + (y + z ) + (z + x ) ≤ 18 Tìm giá trị lớn P = x + y2 + z − (x + y + z )4 3(xy + yz + zx ) HD: dùng giả thiết chứng minh ≤ x , y, z ≤ biến đổi P theo x + y + z 50 Cho các số dương x, y, z thoả mãn x + y + z ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức P = 3(x + y + z ) + (x + 5y )(y + 5z )(z + 5x ) HD: áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski và CauChy để biến đổi P theo x + y + z Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 158 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (165) 51 [A-2014] Cho x , y, z ≥ thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức x2 y +z + yz P= + − x + yz + x + x + y + z + HD: Dùng (x − y − z )2 ≥ để chứng minh x + yz + x + ≥ x (x + y + z + 1) Biến đổi để chứng minh (x + y + z )2 ≤ 4(1 + yz ) Cuối cùng dùng ẩn phụ t = x + y + z và chứng minh ≤ t ≤ để tìm max P 52 [B-2014] Cho a, b, c ≥ thoả mãn (a + b)c > Tìm giá trị nhỏ biểu thức a b c + + b +c a + c 2(a + b ) P= HD: chứng minh a 2a ≥ và b +c a +b +c b 2b ≥ a +c a +b +c 53 [D-2014] Cho hai số x, y thoả mãn ≤ x ≤ và ≤ y ≤ Tìm giá trị nhỏ P= x + 2y x + 3y + + y + 2x y + 3x + + 4(x + y − 1) HD: chứng minh x ≤ 3x − và y ≤ 3y − Đặt ẩn phụ t = x + y với ≤ t ≤ 54 [A-2013] Cho a, b, c > thoả mãn (a + c)(b + c) = 4c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 32a (b + 3c)3 + 32b (a + 3c )3 − a + b2 c a b , y = và đổi điều kiện giả thiết c c (u + v )3 Áp dụng bất đẳng thức u + v ≥ P ≥ (x + y − 1)3 − x + y 55 [B-2013] Cho a, b, c là các số dương Tìm giá trị lớn biểu thức HD: Đổi biến x = P= 2 a +b +c + − (a + b ) (a + 2c)(b + 2c) HD: chứng minh (a + b) (a + 2c )(b + 2c ) ≤ 2(a + b + c ) 56 [D-2013] Cho x, y là các số dương thoả mãn xy ≤ y − Tìm giá trị lớn biểu thức P= x +y x − xy + 3y − x − 2y 6(x + y ) x ≤ y 57 [A-2012] Cho x, y, z là các số thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức HD: sử dụng xy ≤ y − để chứng minh t = P = 3|x −y| + 3|y −z | + 3|z −x | − 6x + 6y + 6z HD: Chứng minh 3t ≥ t + 1, ∀t > và áp dụng |a | + |b | ≥ |a + b | để chứng minh (|x − y| + |x − y| + |x − y|) Th.S Dương Phước Sang ≥ (|x − y|2 + |x − y|2 + |x − y|2 ) 159 0942.080383 (166) 58 [B-2012] Cho x, y, z là các số thực thoả mãn x + y + z = và x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x + y + z 5 2x − x ) ( 2 Dùng (x + y + z ) = để chứng minh 2x − = 2yz CauChy để tìm điều kiện cho x HD: Biến đổi P = x + (y + z )(y + z ) − y 2z (y + z ) = ⋯ = 59 [D-2012] Cho x, y, z là các số thực thoả mãn (x − 4)2 + (y − 4)2 + 2xy ≤ 32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y + 3(xy − 1)(x + y − 2) HD: Biến A theo t = x + y chứng minh ≤ t ≤ để tìm giá trị nhỏ cho A 60 [A-2011] Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [1; 4] thoả mãn x ≥ y, x ≥ z Tìm giá trị nhỏ x y z + + 2x + 3y y + z z + x 1 HD: Chứng minh + ≥ với a, b > và ab ≥ áp dụng hợp lý cho P + a + b + ab x Dùng ẩn phụ t = ∈ [1;2] để tìm giá trị nhỏ cho P y biểu thức P = 61 [B-2011] Cho a, b là các số dương thoả mãn 2(a + b ) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị a b3 a b2 nhỏ biểu thức P = + − + b3 a3 b a a b a b HD: dùng giả thiết chứng minh + ≥ Biến đổi P theo t = + b a b a 62 [B-2010] Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = (a 2b + b 2c + c 2a ) + (ab + bc + ca ) + a + b + c HD: giải theo ẩn phụ t = ab + bc + ca (có chứng minh ≤ 3t ≤ ) 63 [A-2009] Cho x, y, z là các số dương thoả mãn x (x + y + z ) = 3yz Chứng minh (x + y ) 3 + (x + z ) + (x + y ) (y + z ) (z + x ) ≤ (y + z ) HD: đặt a = x + y, b = x + z , c = y + z ⇒ c = a + b − ab chứng minh 4c ≤ (a + b)2 64 [B-2009] Cho x, y, z là các số thực thoả mãn (x + y )3 + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ A = (x + y + x 2y ) − (x + y ) + HD: dùng giả thiết và CauChy chứng minh x + y ≥ ⇒ x + y ≥ 65 [D-2009] Cho x , y, z ≥ thoả mãn x + y = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ S = (4x + 3y )( 4y + 3x ) + 25xy HD: đặt t = xy ∈ [0; 14 ] 66 [B-2008] Cho x, y, z là các số thoả mãn x + y = Tìm giá trị lớn và nhỏ P= Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 2(x + 6xy ) + 2xy + 2y 160 HD: đặt t = x y Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (167) 67 [D-2008] Cho x, y là các số thực không âm Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ P= (x − y )(1 − xy ) (1 + x )2 (1 + y )2 HD: áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối a − b ≤ a + b , ∀a, b ≥ 68 [A-2007] Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn xyz = Tìm giá trị nhỏ P= x (y + z ) y (z + x ) z2 + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y HD: áp dụng CauChy cho các tử thức và đặt ẩn phụ là các mẫu thức 69 [B-2007] Cho x, y, z là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ x P = x + yz y + y + zx z + z + xy t2 + ,t > t 1 70 [A-2006] Cho x , y ≠ và (x + y )xy = x + y − xy Tìm giá trị lớn A = + x y 1 HD: giải theo ẩn phụ a = , b = x y 1 71 [A-2005] Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn + + = Tìm giá trị lớn x y z 1 A= + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z HD: viết lại P và sử dụng x + y + z ≥ xy + yz + zx Xét hàm số f (t ) = 1 1 16 + + + ≥ , ∀a, b, c, d > a b c d a +b +c +d 72 [B-2005] Chứng minh với x ∈ ℝ ta có HD: chứng minh và áp dụng bất đẳng thức x x x 12 15 20 x x x + + ≤ + + 73 [D-2005] Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = Chứng minh + x + y3 + y3 + z3 + z3 + x3 + + ≥3 xy yz zx 74 [A-2003] Cho các số dương x, y, z thoả mãn x + y + z ≤ Chứng minh x2 + Th.S Dương Phước Sang x + y2 + y 161 + z2 + z2 ≥ 82 0942.080383 (168) PH NG PHÁP XÉT D U M T BI U TH C CH A BI N A Đa thức đơn giản - thường sử dụng Nhị thức bậc Tam thức bậc hai Đa thức bậc ba QUY TẮC XÉT DẤU ĐA THỨC ĐƠN GIẢN BẬC BẬC BẬC Nếu có đủ nghiệm phân biệt Nếu có đủ nghiệm phân biệt “trong trái – ngoài cùng” “trái – cùng – trái – cùng” Nếu có nghiệp kép vô nghiệm Nếu có nghiệm “lấy dấu hệ số a” “trước trái – sau cùng” “trước trái – sau cùng” Gặp các trường hợp khác tốt ta sử dụng “phương pháp khoảng” B Đa thức bậc n - có đủ n nghiệm phân biệt Ô cuối cùng phía bên phải bảng xét dấu luôn cùng dấu với hệ số a (bậc cao nhất) Dấu “+” và dấu “–“ nằm xen kẽ bảng xét dấu đa thức xét C Xét dấu biểu thức f (x ) phương pháp khoảng Cho f (x ) = để tìm các nghiệm x i (nếu có) và các x j làm cho f (x ) không xác định Điền các số x i và x j vừa tìm vào bảng xét dấu theo đúng thứ tự từ bé đến lớn Sau phân chia ô cho bảng xét dấu, để điền dấu cho ô nào đó ta lấy số x ô đó thay vào biểu thức f (x ) để xác định dấu cần điền vào Thực điền dấu trên nào các ô điền dấu đầy đủ là xong (lưu ý: không phải lúc nào các ô có dấu xen kẽ với nhau) x x1 x2 x3 x4 x5 f (x ) thay vào lấy x ô Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 162 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (169) M TS V N Đ CÓ LIÊN QUAN Đ N TAM TH C B!C HAI I Tam thức bậc hai không đổi dấu trên R Cho tam thức bậc hai h(x ) = ax + bx + c (a ≠ 0) a > a < h(x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ h(x ) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ △ ≤ △ ≤ Lưu ý: Biến đổi trên đây sử dụng a ≠ và mệnh đề vế trái có ký hiệu ∀x ∈ ℝ Nếu hệ số a có chứa tham số và a = có thể xảy ta phải xét thêm trường hợp a = II Dấu các nghiệm số phương trình bậc hai Với h(x ) = ax + bx + c thì dấu các nghiệm phương trình h(x ) = xét sau: Phương trình h(x ) = có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < △ > Phương trình h(x ) = có hai nghiệm phân biệt cùng dấu ⇔ P > △ > Phương trình h(x ) = có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ P > S > △ > ⇔ P > S < Phương trình h(x ) = có hai nghiệm âm phân biệt Lưu ý: Khi áp dụng các biến đổi trên đây ta không cần chú ý đến điều kiện a ≠ Để việc giải bất phương trình đơn giản ta cần nhớ thêm: m(x ) > ⇔ m(x ).n(x ) > n(x ) m(x ) < ⇔ m(x ).n(x ) < n(x ) m(x ).n(x ) ≥ m(x ) ≥ ⇔ n(x ) ≠ n(x ) m(x ).n(x ) ≤ m(x ) ≤ ⇔ n(x ) ≠ n(x ) III Ứng dụng đếm số nghiệm phương trình bậc ba đặc biệt Cho phương trình bậc hai h(x ) = ax + bx + c = (a ≠ 0) Khi đó, △ > (x − x 0).h(x ) = có nghiệm ph.biệt ⇔ h(x) = có nghiệm ph.biệt khác x ⇔ g h(x 0) ≠ h(x ) = coù nghieäm phaân bieät △ > h h(x ) = (với nghiệm x 0) (x − x 0).h(x ) = có nghiệm phân biệt ⇔ ⇔ △h = h(x ) = coù nghieäm keùp khaùc x h(x 0) ≠ △ < h h(x ) = voâ nghieäm (x − x 0).h(x ) = có nghiệm ⇔ ⇔ △h = h(x ) = coù nghieäm keùp baèng x h(x 0) = Đặc biệt: phương trình ax + cx = có nghiệm phân biệt ⇔ ac < Th.S Dương Phước Sang 163 0942.080383 (170) Lưu ý: Nếu phương trình anx n + an −1x n −1 + an −2x n −2 + ⋯ + a1x + a = ⇔ (x − x 0)(bn −1x n −1 + bn −2x n −2 + ⋯ + b1x + b0) = thì các hệ số bn −1, bn −2, , b0 có thể tìm theo sơ đồ đây (gọi là sơ đồ Hoócne) x0 × an + an −1 + an −2 + an −3 bn −1 bn −2 bn −3 bn −4 … + a0 × × × IV Ứng dụng đếm số nghiệm phương trình trùng phương Với t = x (t ≥ 0), phương trình ax + bx + c = (1) (a ≠ 0) trở thành at + bt + c = (2) (a ≠ 0) △ > S > ⇔ Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ (2) có nghiệm < t1 < t2 P > S > Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ (2) có nghiệm = t1 < t2 ⇔ P = ac < (2) coù nghieäm t < < t Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ ⇔ △ = S > (2) coù nghieäm keùp döông S ≤ Phương trình (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t1 ≤ t2 = ⇔ P = △ ≥ S < (2) coù nghieäm t ≤ t < ⇔ Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ (2) voâ nghieäm P > △< Phương trình (1) có nghiệm theo thứ tự lập thành cấp số cộng ⇔ (2) có hai nghiệm t1, t2 dương phân biệt thoả mãn t2 = 9t1 Lưu ý: cho trước số a > Với nghiệm dương t < a phương trình (2) ta tìm hai nghiệm x ∈ (− a ; a ) Với nghiệm t > a (2) ta tìm nghiệm x < − a và nghiệm x > a Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia 164 Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (171) M TS V N Đ V TO# Đ TRONG M%T PH&NG I Toạ độ điểm và toạ độ véctơ x +x y +y Trung điểm I đoạn thẳng AB có toạ độ: I A B ; A B x +x +x y +y +y Trọng tâm G tam giác ABC có toạ độ: G A B C ; A B C 3 ( ) Toạ độ véctơ: AB = x B − x A ; yB − yA Từ đó AB = (x B − x A )2 + (yB − yA )2 II Đường thẳng và số vấn đề có liên quan Nếu đường thẳng d có vtcp u = (u1; u2 ) với u1 ≠ thì d có hệ số góc k = u2 u1 Đường thẳng d qua M (x ; y ) có vtpt n = (a;b) có phương trình tổng quát a(x − x ) + b(y − y ) = Đường thẳng AB có phương trình x − xA xB − xA = y − yA yB − yA (điều kiện: x A ≠ x B và yA ≠ yB ) Đường thẳng d qua A(x A; yA ) với hệ số góc k có phương trình y = k (x − x A ) + yA ( )( ) A và B nằm khác phía so với d : ax + by + c = ⇔ ax A + byA + c ax B + byB + c < I ∈ d A và B đối xứng với qua đường thẳng d ⇔ (I là trung điểm đoạn AB) AB ⊥ d Cho hai đường thẳng d1 và d2 có véctơ pháp tuyến là n1 và n2 Khi đó, d1 ⊥ d2 ⇔ n1.n2 = cos(d1, d2 ) = n1.n2 n1 n2 Cho hai đường thẳng d1 và d2 có hệ số góc là k1 , k2 Khi đó, k − k2 d1 ⊥ d2 ⇔ k1.k2 = −1 tan (d1, d2 ) = 1 + k1.k2 / d2 ) (với d1 ⊥ Khoảng cách từ điểm M (x ; y ) đến đường thẳng △ : ax + by + c = là d (M ; △) = ax + by + c a + b2 Đặc biệt: d (M ;Ox ) = y và d (M ;Oy ) = x III Diện tích tam giác Diện tích tam giác ABC (vuông A): S△ABC = AB.AC Diện tích tam giác ABC (dùng khoảng cách): với △ là đường thẳng chứa cạnh BC ta có S△ABC = BC d (A, △) Diện tích tam giác ABC (dùng toạ độ véctơ): trước tiên ta cần tính toạ độ véctơ AB và BC AB = (x ; y ) 1 thì S△ABC = x 1y2 − x 2y1 Nếu BC = (x ; y ) 2 Th.S Dương Phước Sang 165 0942.080383 (172) B'NG QUY T)C VÀ CÔNG TH C Đ#O HÀM Quy tắc tính đạo hàm (u + v )′ = u ′ + v ′ u v ′ u ′v − v ′u = v2 (uv )′ = u ′v + v ′u 1 u (ku )′ = k u ′ ′ u′ = − u2 ( f u(x ) )′ = f ′ u(x ) u ′(x ) Đạo hàm hàm số hợp Đạo hàm hàm số thường gặp (c )′ = (x n )′ = n.x n −1 (u n )′ = n.u n −1.u ′ ( x )′ = x ′ = − x x u′ u )′ = u u′ ′ = − u u ( sin x )′ = cos x ( sin u )′ = u ′ cos u ( cos x )′ = − sin x ( cos u )′ = −u ′ sin u ( tan x )′ = ( cos2 u u′ ( cot u )′ = − sin u cos2 x ( cot x )′ = − sin x ax + b cx + d ad − cb ′ = (cx + d ) au + b cu + d (ex )′ = ex (ln x )′ = u′ ( tan u )′ = ad − cb ′ = ⋅ u′ (cu + d ) (eu )′ = eu u ′ (ln u )′ = x (a u )′ = u ′.a u ln a (ax )′ = ax ln a (loga x )′ = (loga u )′ = x ln a Tài liệu ôn tập kỳ thi Quốc gia u′ u 166 u′ u ln a Dành cho học sinh 12C2 & 12C11 (173) B'NG CÔNG TH C L ,NG GIÁC I Công thức sin α cos α cos α cot α = sin α tan α cot α = tan α = sin2 α + cos2 α = 1 = + tan2 α cos α = + cot2 α sin α II Công thức cộng sin(a ± b ) = sin a cos b ± cos a sin b cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b tan a ± tan b tan(a ± b) = ∓ tan a tan b III Công thức nhân đôi cos 2α = cos2 α − sin2 α = cos2 α − = − sin2 α sin 2α = sin α cos α tan α tan 2α = − tan2 α Công thức nhân đôi bổ sung tan α sin 2α = + tan2 α cos 2α = IV Công thức nhân ba sin 3α = sin α − sin α cos 3α = cos α − cos α tan 3α = − tan2 α + tan2 α tan α − tan α − tan2 α V Công thức hạ bậc + cos 2α − cos 2α − cos 2α sin2 α = tan2 α = 2 + cos 2α VI Công thức biến đổi tổng thành tích Công thức bổ sung cos2 α = sin a + sin b = sin a +b cos a −b sin a + cos a = sin a + π 2 a + b a − sin a − sin b = cos sin b 2 a + b a cos a + cos b = cos cos −b 2 a + b a cos a − cos b = −2 sin sin −b 2 tan a ± tan b = sin a − cos a = sin a − π cos a + sin a = cos a − π sin(a ± b) cos a.cos b cos a − sin a = cos a + π VII Công thức biến đổi tích thành tổng cos a cos b = cos(a − b) + cos(a + b) sin a sin b = cos(a − b) − cos(a + b) sin a cos b = sin(a − b) + sin(a + b) VIII Một số công thức khác + sin 2a = (sin a + cos a )2 sin4 a + cos4 a = − sin2 2a − sin 2a = (sin a − cos a )2 sin6 a + cos6 a = − sin2 2a Th.S Dương Phước Sang 167 0942.080383 (174)