Nhận xét: Đối với các ví dụ trên, ta có thể giải được nhiều cách, tuy nhiên ở đây các ví dụ đều chỉ ra sử dụng phương pháp tách hạng tử bx dựa vào cách hướng dẫn ở trên để thực hành giải[r]
(1)MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐATHỨC THÀNH NHÂN TỬ Chú ý: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành tích đa thức PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG Trong đa thức các hạng tử có nhân tử giống thì ta có thể đưa làm nhân tử chung theo công thức sau: A.B + A.C = A(B + C) a/ Các ví dụ: Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 2x – 4y Giải : Ta có : 2x – 4y = 2.x – 2.2y = 2( x – 2y) Nhận xét : Ở đây nhân tử chung là đó ta có thể đưa ngoài làm nhân tử chung theo công thức A.B + A.C = A(B + C) dạy, cần chú ý học sinh xác định nhân tử chung Sau ví dụ và nhận xét, giáo viên cho học sinh tiếp tục thực ví dụ Ví dụ2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3(a – b) – 5a(b – a) Giải : Ta có : 3(a – b) – 5a(b – a) = 3(a – b) + 5a (a – b) = (a – b)(3 + 5a) Nhận xét : Ở ví dụ đa thức cần phân tích có hai hạng tử là 3(a – b) và – 5a(b – a) nhìn qua ta chưa thấy nhân tử chung Ta có thể đổi dấu – 5a(b – a) thành 5a (a – b) để xuất nhân tử chung đặt nhân tử chung Khi dạy học sinh thông qua ví dụ, giáo viên có thể đưa thêm ví dụ để rèn luyện cho học sinh thành thạo các bước phân tích Ví dụ3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2y)2 – 10y(x – 2y) Giải : Ta có : 5x(x – 2y)2 – 10y(x – 2y) = 5(x – 2y)2.x – 5(x – 2y).2y (Nhân tử chung đây là 5(x – 2y)) = 5(x – 2y)[x (x – 2y) – 2y] = 5(x – 2y)( x2 – 2xy – 2y) Nhận xét: Đối với các ví dụ trên sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung giáo viên cần chú ý cho học sinh cách tìm nhân tử chung với đa thức có hệ số nguyên sau: (2) + Hệ số là ƯCLN các hệ số nguyên dương các hạng tử + Các lũy thừa chữ có mặt hạng tử với số mũ lũy thừa là số mũ nhỏ nó b/ Bài tập tự luyện: Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a, 4x – 16y b, a2 + ab – a c, 6x(x – y ) – 8y (y – x ) d, 7x2 – 14xy2 + 21x2y2 Bài 2: Tìm x biết x3 +2x = Bài 3: Chứng minh n2(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho với số nguyên n c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện: Các bước giải và kết sau: Bài 1: a, 4x – 16y = 4(x – 4y) b, a2 + ab – a =a(a + b -1) c, 6x(x – y) – 8y (y – x) = 2(x –y ).3x + 2(x – y).4y = 2(x –y )(3x + 4y) d, 7x2 – 14x y2 + 21x2y2 = 7x.x – 7x.2y2 + 7x.3xy2 = 7x(x – 2y2 + 3xy2) Bài 2: Ta có : x3 + 2x = x(x2 + ) = x = x2 + = + x=0 + x2 + = (vô lý vì x2 với x) Vậy x = Ta có: n2(n + 1) + 2n(n + 1) = n n (n + 1) + 2n(n +1) = n( n + 1)(n + 2) Khi n Z thì n( n + 1)(n + 2) là tích ba số nguyên liên tiếp nên 2; mà(2,3) =1 đó n( n + 1)(n + 2) Bài 3: PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC Các đẳng thức đáng nhớ : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A + B) (A – B) A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A+B)3 (3) A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB + B2) Phương pháp này chủ yếu là vận dụng các đẳng thức để phân tích, học sinh phải học thuộc các đẳng thức a/ Các ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a2 – 6ab + 9b2 Giải : Ta có : a2 – 6ab + 9b2 = a2 – 2.a 3b + (3b)2 = ( a – 3b)2 Nhận xét: Ở đây ta đã viết các hạng tử thứ và thứ ba đa thức dạng lũy thừa để áp dụng đẳng thức bình phương hiệu Qua ví dụ này học sinh chú ý đa thức có ba hạng tử, đó có hai hạng tử viết dạng lũy thừa thì ta nghĩ đến đẳng thức bình phương hiệu bình phương tổng Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – Giải : Ta có : x2 – = x2 – 32 = (x – 3)(x + 3) Nhận xét: Để áp dụng đẳng thức thì hạng tử thứ hai đa thức phải viết dạng lũy thừa = 2.Khi đó đẳng thức sử dụng là hiệu hai bình phương Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x – y)2 – (y – t)2 Giải: Ta có: (x – y)2 – (y – t)2 = [(x – y ) + (y – t )][(x – y ) – (y – t )] = (x – y + y – t )(x – y – y + t) = (x – t )(x – 2y + t) Nhận xét: Từ ví dụ trên ta chú ý áp dụng đẳng thức A – B2 =(A + B)(A – B) B là đa thức thì viết A – B ta phải dùng thêm dấu ngoặc để không sai dấu b/ Bài tập tự luyện: Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a, x2 – 4y2 b, (3x – y)2 – (x + 2y)2 c, 8x3 +12x2y + 6xy2 + y3 Bài 2: Tính nhanh a, 1052 – 25 b, 452 + 402 – 152 + 80.45 Bài 3: Rút gọn biểu thức (4) a, ( 3x – 1)2 + 2(3x –1)(2x + 1) + (2x + 1)2 b, (6x + )2 + (6x -1 )2 – 2(6x + )( 6x - ) c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện: Một số bước giải và kết quả: Bài : a, x2 – 4y2 = x2 – (2y)2 = (x + 2y)(x – 2y) b, (3x – y)2 – (x + 2y)2 = [(3x – y ) + (x + 2y)][(3x – y ) – (x + 2y)] = (3x – y + x + 2y )(3x – y – x – 2y) = (4x + y )(2x – 3y) 2 c, 8x +12x y + 6xy + y = (2x)3 + 3.(2x)2y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3 Bài 2: a, 1052 – 25 = 1052 – 52 = (105 + 5)(105 – 5) = 110.100 = 11000 b, 452 + 402 – 152 + 80.45 = (452 + 2.40.45 + 402) – 152 = (45 + 40)2 – 152 = 852 – 152 = (85 + 15) (85– 15) = 100.70 = 7000 Bài 3: a (3x – 1)2 + 2(3x –1)(2x + 1) + (2x + 1)2 = [(3x –1) + (2x + 1)]2 = (3x – + 2x + )2 = (5x)2 = 25x2 b (6x + )2 + (6x -1 )2 – 2(6x + )( 6x - ) = [(6x + ) – ( 6x - )]2 = (6x + – 6x + )2 = PHƯƠNG PHÁP NHÓM CÁC HẠNG TỬ : a/ Các ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2) – x + Giải : Ta có : 5x(x – 2) – x + = 5x(x – 2) – (x – ) (5) = (x – 2) (5x – 1) Nhận xét : Với ba hạng tử đa thức trên ta có thể nhóm hai hạng tử thứ hai và thứ ba với ta nhân tử chung là x – Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – x – y2 – y Giải : Ta có : x2 – x – y2 – y = (x2 – y2) – (x + y ) = (x + y ) (x – y) – (x + y ) = (x + y )(x – y – 1) Nhận xét: Hạng tử thứ và thứ ba là dạng đẳng thức nên ta nhóm hai hạng tử đó với nhau,vậy thì hai hạng tử còn lại nhóm thành nhóm Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – y2 + 6x + Giải: Ta có: x2 – y2 + 6x + = (x2 + 6x + 9) – y2 = (x + 3)2 – y2 = (x + + y)(x + – y) Nhận xét : Nếu ta tiếp tục nhóm hai hạng tử thành nhóm thì không phân tích đa thức trên thành nhân tử Như ta có thể nhóm ba hạng tử x , 6x , thành nhóm để đưa đẳng thức, tiếp tục sử dụng đẳng thức hiệu hai bình phương để ta phân tích Sau ví dụ, giáo viên cho học sinh làm số bài tập sau : b/ Bài tập tự luyện : Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a x2 + 4x – y2 + b 3x2 – 3xy – 5x + 5y c x3 – 2x2 + x – xy2 d x2 – + (x – 2)2 Bài : Làm tính chia a (x2 – y2 + 6x + ) : (x + y + 3) b (x2 – 3x + xy – 3y ) : (x + y) Bài : Chứng minh x2 - 2xy + y2 + > với số thực x và y c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện: Các bước giải giáo viên mong đợi học sinh thực sau: Bài : a x2 + 4x – y2 + = (x2 + 4x + 4) – y2 = (x + 2)2 – y2 = (x + + y ) (x + – y) b 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x (x – y) – (x – y) (6) = (x – y) (3x – 5) c x3 – 2x2 + x – xy2 = x(x2 - 2x + – y2) = x[(x2 - 2x + 1) – y2] = x[(x – 1)2 – y2] = x(x – + y )(x – – y) d x2 – + (x – 2)2 = (x – 2)(x + 2) + (x + 2) = (x + ) (x – + ) = (x + ) (x – 1) Bài 2: a (x2 – y2 + 6x + ) : (x + y + 3) Ta có : x2 – y2 + 6x + = (x2 + 6x + 9) – y2 = (x + 3)2 – y2 = (x + + y )(x + – y) Do đó (x + + y )(x + – y) : (x + + y ) = x + – y x2 – 3x + xy – 3y = (x2 – 3x) + (xy – 3y) = x (x – 3) + y(x – 3) = (x – 3) (x + y) Do đó (x – 3x + xy – 3y) : (x + y) = x – Bài : Ta có : x2 - 2xy + y2 + = (x2 - 2xy + y2) + = (x – y)2 + Vì (x – y)2 với x, y R nên (x – y)2 + > với x, y R b Ta có: Nhận xét : Phương pháp nhóm các hạng tử là phương pháp mà học sinh sai sót và nhầm lẫn nhầm từ cách nhóm các hạng tử không hợp lý dẫn đến quá trình phân tích không thực nhóm các hạng tử với mà có dấu trừ thì hay sai dấu, vì mà giáo viên cần chú ý rèn luyện kỹ vận dụng cách nhóm cho học sinh 4.PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ KHÁC Chú ý :Ở phương pháp này có nhiều cách tách khác nhau, với tam thức bậc hai ax2 + bx + c (a 0) có thể tách hạng tử có bậc cao tách hạng tử tự thông thường ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho : b1 + b2 = b b1 b2 = a c Trong thực hành ta có thể làm sau : Bước 1: Tìm tích a.c Bước 2: Phân tích a.c thành tích hai số nguyên cách (7) Bước : Chọn thừa số có tích a.c nói trên mà có tổng b - Đối với các đa thức bậc lớn ta dùng phương pháp nhẩm nghiệm a/ Các ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 -10x +16 Giải: Ta có x2 -10x +16 = x2 – 2x – 8x + 16 = (x2 – 2x) – (8x – 16) = x(x – ) – 8(x - 2) = (x – 2)(x – 8) Nhận xét: Ở đây ta đã tách -10x thành -2x và -8x, sau đó dùng phương pháp nhóm và đặt nhân tử chung Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 - x – Giải: Ta có x2 – x – = x2 – 3x + 2x – = (x2 – 3x )+ (2x – 6) = x(x – 3) + 2(x – 3) = (x – 3)(x + 2) Nhận xét : Ở đây ta đã tách -x thành -3x và 2x, sau đó dùng phương pháp nhóm và đặt nhân tử chung Ví dụ 3: Tìm x biết : x2 + 5x + = Để tìm x trước hết ta phân tích đa thức x2 + 5x + thành nhân tử Giải : Ta có x2 + 5x + = x2 + 2x + 3x + = (x2 + 2x )+ (3x + 6) = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3) Nên x + 5x + = (x + 2)(x + 3) = x + = x + = + x + = x = -2 + x + = x = -3 Vậy x = -2; -3 Nhận xét: Đối với các ví dụ trên, ta có thể giải nhiều cách, nhiên đây các ví dụ sử dụng phương pháp tách hạng tử bx dựa vào cách hướng dẫn trên để thực hành giải bài toán, nhằm giúp học sinh biết vận dụng phương pháp tách, rèn luyện kỹ sử dụng phương pháp nhóm và đặt nhân tử chung ,đặc biệt phải chú ý đến bước sử dụng phương pháp nhóm đó chính là phối hợp các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử Sau giáo viên dạy học sinh thông qua ví dụ cụ thể phương pháp tách hạng tử, cho học sinh làm bài tập tự luyện sau: b/ Bài tập tự luyện : Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a 16x – 5x2– b x2 – 7x + 12 (8) c 2x2 + 3x – d 4x2 – 3x – Bài 2: Chứng minh a x(x – 6) + 10 > b -x2 - x - < Bài 3: Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức A = x2 – 6x + 11 B = 2x2 + 10x – C = 5x – x2 c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện: Các lời giải ngắn gọn yêu cầu học sinh thực được: Bài : a – 5x2 +16x – = -5x2 + 15x + x – = (-5x2 + 15x) + (x – 3) = -5x(x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (-5x + 1) b x – 7x + 12 = x2 – 3x – 4x + 12 = (x2 – 3x) – (4x – 12) = x(x – 3) – 4(x – 3) = (x – )(x – ) c 2x + 3x – = 2x2 + 5x – 2x – = (2x2 + 5x )– (2x + 5) = x(2x + 5) – (2x + 5) = (2x + 5) (x – 1) d 4x2 – 3x – = 4x2 – 4x + x – = (4x2 – 4x)+( x – 1) = 4x(x – 1) + (x – 1) = (x – 1)(4x + 1) Bài 2: a Ta có b Ta có Bài : a Vậy Amin x(x – 6) + 10 = x2 – 6x + 10 = x2 – x + 32+ = (x – 3)2 + > x 1 -x2 - x - = -[( x2 + 2.x +( )2 + ] = – [(x + ) + ] < A = x2 – 6x + 11 = x2 – x + 32+ = (x – 3)2 + 2 = x = Ta có : (9) 25 25 b B = 2x + 10x – = 2(x + 5x ) – = 2(x + 2.x + – ) –1 25 = 2(x + )2 – –1 27 27 = – + 2(x + ) – x 27 Vậy Bmin = – x = - 2 5 25 c C = 5x – x = - [x – 2.x + ( ) ]+ 2 25 25 = – (x – ) 25 Vậy Cmax = x = MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ THỂ GIẢI ĐƯỢC NHIỀU CÁCH HOẶC TRONG MỘT CÁCH CÓ PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x2 + 6xy + 3y2– 3z2 Giải : Ta có 3x2 + 6xy + 3y2– 3z2 = 3(x2 + 2xy + y2– z2) (Đặt nhhân tử chung ) = [( x2 + 2xy +y2) – z2] (Nhóm) = 3[(x + y)2– z2] ( Dùng đẳng thức ) = 3(x + y + z)(x + y– z) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 -10x +16 Giải : Cách 1: Ta có x2 -10x +16 = x2 – 2x – 8x + 16 (Tách -10x thành -2x và -8x) = (x – 2x) – (8x – 16) = x(x – ) – 8(x - 2) = (x – 2)(x – 8) Cách 2: Ta có x -10x +16 = x2 – – 10x + 20 (Tách 16 thành -4 và 20 ) = (x – 4) – (10x – 20) = (x – 2) (x + 2) – 10 (x – 2) = (x – 2) (x + – 10) = (x – 2) (x – 8) Cách 3: Ta có x -10x +16 = x2 – 4x + – 6x + 12 (Tách -10x thành -4x và -6x ;16 thành và 12) = (x2 – 4x + 4) – (6x – 12) = (x – 2)2 – 6(x – 2) = (x – 2) (x – – 6) (10) = (x – 2) (x – ) Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x2 – 3x – Giải : Cách1: 4x2 – 3x – = 3x2– 3x + x2 – (Tách 4x2 thành3x2 và x2 ) = 3x(x – 1) + (x +1)(x– 1) = (x – 1)(3x + x +1) = (x – 1)(4x + 1) Cách : 4x2 – 3x – = 4x2 – 4x + x – (Tách -3x thành -4x và x) = (4x – 4x) + ( x – 1) = 4x(x – 1) + (x – 1) = (x – 1)(4x + 1) Cách : 4x2 – 3x – = 4x2– – 3x + (Tách -1 thành -4 và 3) = 4(x – 1) – 3( x –1) = 4(x – 1)(x + 1) – (x – 1) = (x – 1)(4x + 1) Nhận xét : Một bài toán có thể có nhiều lời giải khác cuối cùng có chung kết Như các tiết luyện tập, giáo viên có thể cho học sinh giải số bài tập các dạng khác nhau, sử dụng các phương pháp khác nhau, sau đó nhận xét và so sánh, lời giải nào hay và ngắn gọn Giáo viên cho học sinh làm số bài tập sau : b/ Bài tập tự luyện : Bài : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a x3 – 2x2y + xy2 – 9x b 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 c x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y Bài : Tìm x biết a 7x – 6x2 – = c 2x2 + 3x – = b 16x – 5x2 – = PHƯƠNG PHÁP ĐẶT BIẾN SỐ PHỤ Phân tích đa thức thành nhân tử đôi ta phải dùng biến phụ việc phân tích đơn giản a/ Các ví du: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) +128 Giải : Ta có A = x(x +10)(x + 4)(x + 6) +128 = (x2 + 10x )(x2 + 10x + 24) +128 Đặt x2 + 10x + 12 = y Khi đó đa thức đã cho trở thành : (11) (y – 12)(y +12) +128 = y2 -144 +128 = y2 - 16 = (y - 4)(y + 4) = (x2 + 10x + 8)(x2 + 10x + 16) Nhận xét : Ở đây ta đã dùng biến phụ là y = x2 + 10x + 12 Như dùng biến phụ để phân tích đa thức thành nhân tử thì sau phân tích xong ta phải đổi biến cũ * Ta có bài toán tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x + a) (x + b )(x + c)(x + d) + m - Đối với bài toán này thường dùng phương pháp đặt biến số phụ chú ý : + Khi a + b = c + d thì ta ghép [(x + a)(x + b)] ; [(x + c )(x + d)] ab cd và đặt y = x + (a + b)x + + Khi a + c = b + d thì ta ghép [(x + a)(x + c)] ; [(x + b)(x + d)] ac bd và đặt y = x2 + (a + c)x + + Khi a + d = b + c thì ta ghép [(x + a)(x + d)] ; [(x + b)(x + c)] ad bc Và đặt y = x + (a + d)x + Áp dụng bài toán tổng quát giáo viên cho học sinh làm ví dụ sau : Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử x(x – 1)(x + 1)(x + 2) – 24 Giải : Ta có A = [x(x + 1)][(x – 1)(x + 2)] – 24 (Do + = -1+ 2) = (x2 + x )(x2 + x – 2) – 24 Đặt x2 + x – = y Đa thức đã cho có dạng : (y +1) (y – 1) – 24 = y2 – – 24 = y2– 25 = (y – 5)(y + 5) = (x2 + x + – 5)(x2 + x + + 5) = (x2 + x – 4)( x2 + x + 6) b/ Bài tập tự luyện : Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a (x + 2) (x – 2)( x2 – 10) – 72 b (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 c (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 Bài : Giải phương trình (6x + )2(3x + 4) ( x + 1) = Bài : Tìm giá trị nhỏ A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện: Các bước giải và kết cần hướng dẫn cho học sinh: (12) Bài 1: a Ta có : (x + 2) (x – 2)( x2 – 10) – 72 = (x2 – 4)( x2 – 10) – 72 Đặt x2 – = y, đa thức trên trở thành : (y – 3)( y + 3) – 72 = y2 – – 72 = y2 – 81 = (y – )(y + 9) Vậy (x + 2) (x – 2)( x – 10) – 72 = (x2 – + 9) (x2 – – 9) = (x2 + ) (x2 – 16) = (x2 + 2) (x + 4) (x – 4) b (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 = [(x – 7) (x – 2)][ (x – 5) (x – 4) ] - 72 = (x2 – 9x + 14)( x2 – 9x + 20) - 72 Đặt x2 – 9x + 17 = y Đa thức trở thành (y – 3)(y + 3) – 72 Làm tương tự câu a ta kết sau: (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 = (x2 – 9x + 26)( x2 – 9x + 8) = (x2 – 9x + 26)(x – 8) (x – 1) c Đặt a – b = x ; b – c = y; c – a = z suy x + y + z = hay z = -(x + y) Từ đó đa thức có dạng : x3 + y3 + z3 = x3 + y3 – (x + y)3 = (x + y)(x2 – xy + y2) – (x + y)(x2 + 2xy + y2) = (x + y)[(x2 – xy + y2) – (x2 + 2xy + y2) = (x + y)(x2 –xy + y2 – x2 – 2xy – y2 ) = -3xy(x + y) = 3xyz Vậy B = 3(a – b)(b – c)(c – a) Qua bài trên ta suy : Nếu có X + Y + Z = ta luôn có X3 + Y3 + Z3 = 3XYZ Bài : Giải phương trình (6x + )2(3x + 4) ( x + 1) = (6x + )2(3x + 4) ( x + 1) 12 = 12 (6x + )2(6x + 8) ( 6x + 6) = 72 Đặt 6x + = y, phương trình trở thành y2(y + 1)( y – 1) = 72 y4 – y2 – 72 = y4 – 9y2 + 8y – 72 = y2(y2 – 9) + 8(y2 – 9) = (y2 – 9)(y2 + 8) = y = -3 y = 5 Với y = -3 x = 2 Với y = x = 5 2 Vậy phương trình có nghiệm là và (13) Bài : Ta có : A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = [(x – 1)(x + 6)][( x + 2)(x + 3)] = (x2 + 5x – 6)( x2 + 5x + 6) Đặt x2 + 5x = y đó A = y2 – 36 -36 Amin = -36 x2 + 5x = x = , x = -5 PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Mệnh đề : Nếu hai đa thức A và B thì các hạng tử cùng bậc hai đa thức đó phải có hệ số a/ Các ví dụ: Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2x3 – 5x2 + 8x – Giải : Ta có 2x3 – 5x2 + 8x – = 2x3 – x2 – x2+ 2x + 6x – = (2x3 – x2) – (4 x2– 2x) + (6x – 3) = x2(2x – 1) – 2x(2x – 1) + 3(2x – 1) = (2x – 1) (x2– 2x+ 3) Nhận xét : Đa thức bậc ba ví dụ phân tích thành tích nhị thức bậc và tam thức bậc hai, đó ta còn có cách giải tổng quát sau : Với đa thức bậc : a1x3 + b1x2 + c1x + d1 (a1 0) ta luôn phân tích thành tích nhị thức bậc và tam thức bậc hai sau : a1x3 + b1x2 + c1x + d1 = (ax + b ) (cx2 + dx + m) (*) a1x3 + b1x2 + c1x + d1 = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm ac a1 ad bc b am bd c1 bm d1 Đồng các hệ số với ta được: Giải ta tìm các giá trị a, b, c, d, m, thay vào vế phải (*) ta có kết cần tìm.(Ta có thể chọn các giá trị cho thỏa mãn bài toán) Ap dụng : Bài toán ví dụ ta có cách giải khác sau : Ta có 2x3 – 5x2 + 8x – = (ax + b ) (cx2 + dx + m) 2x3 – 5x2 + 8x – = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm Đồng thức ta có : ac = 2, ad + bc = -5, am + bd = 8, bm = -3 Giả thiết a > (nếu a < thì ta đổi dấu hai nhân tử ) đó a = a = Xét a = c = 1, 2d +b = -5 , 2m + bd = , bm = -3 , b có thể 1; 3 Xét b = -1 thì m = , d = -2 thỏa mãn các điều kiện trên Vậy a = 2, c = 1, b = -1, m = 3, d = -2 ta có : 2x3 – 5x2 + 8x – = (2x – 1)(x2 – 2x + 3) (14) Ví dụ2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử x3+ 3x2 + 3x + Giải: Đặt x3 + 3x2 + 3x + = (ax + b ) (cx2 + dx + m) x3 + 3x2 + 3x + = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm ac 1 ad bc 3 am bd 3 Đồng thức ta có: bm 2 Giả thiết a > (nếu a < thì ta đổi dấu hai nhân tử ) đó a = Xét a = c = 1, d + b = , m + bd = , bm = , b có thể 1 ; 2 Xét b = thì m =1, d = thỏa mãn các điều kiện trên Vậy a =1, c = 1, b = 2, m = 1, d = ta có : x3 + 3x2 + 3x + = (x + 2)(x2 + x + 1) Nhận xét: Khi sử dụng phương pháp hệ số bất định dựa vào mối quan hệ các hệ số để ta đưa các giá trị tương ứng a,c từ đó ta tìm các giá trị các hệ số còn lại b/ Bài tập tự luyện : Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử phương pháp dùng hệ số bất định a 2x3 – 12x2 + 17x – b 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + Bài : Tìm số nguyên a cho đa thức (x + a)(x – 5) + phân tích thành (x + b)(x + c) với b, c là các số nguyên Bài 3: Tìm số nguyên m cho đa thức (x + m)(x + 5) + phân tích thành (x + a)(x + b) với a, b là các số nguyên c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện: Các lời giải mong đợi học sinh trình bày được: Bài : a Đồng đa thức này với đa thức cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm ta : ac = 2, ad + bc = -12, am + bd = 17, bm = -2 Giả thiết a > (nếu a < thì ta đổi dấu hai nhân tử ) đó a = a = Xét a = c = 2, d + 2b = -12 , m + bd = 17, bm = -2, b có thể 1 ; 2 Xét b = -2 thì m = 1, d = -8, thỏa mãn các điều kiện trên Vậy a = 1, b = -2,c = 2, d = -8, m = 2x3 – 12x2 + 17x – = (x – 2)(2x2 – 8x + 1) Đa thức 3x2 – 22xy– 4x + 8y + 7y2 + phân tích thành nhân tử có dạng (3x + ay + b)(x + cy + d) Phép nhân này cho ta kết 3x2 + (3c + a)xy + (3d +b)x + (ad + cb)y + acy2 + bd b (15) Đồng đa thức với đa thức 3x2 –22xy– 4x + 8y + 7y2 + ta : 3c + a = -22; 3d + b = -4 ; ad + cb = 8; ac = 7; bd = Từ bd = và 3d + b = -4 nên b = d = -1 ac = mà a + c = -8 nên c = -7, a = -1 Thỏa mãn 3c + a = -22 Vậy a = b = d = -1; c = -7 Nên 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + = (3x - y - 1)(x - 7y - 1) Bài : Với x ta có (x + a)(x – 5) + = (x + b)(x + c) (1) Khi x = thì = (5 + b)(5 + c) Vì b, c là nguyên nên (5 + b)(5 + c) là tích hai số nguyên Số viết dạng tích hai số nguyên hai cách 1.2 (-1).(-2) Giả sử b c ta xét hai trường hợp : 5 b 1 5 c 2 b c * Thay vào (1) ta dược (x + a)(x – 5) + = (x – 3)(x – 4) với x Với x = thì a = -2 Vậy đa thức phân tích thành (x – 2)(x – 5) + = (x – 4)(x – 3) 5 b 5 c b c * Thay vào (1) ta (x + a)(x – 5) + = (x – 7)(x – 6) với x Với x = thì a = -8 Vậy đa thức phân tích thành (x – 8)(x – 5) + = (x – 7)(x – 6) Bài 3: Bài này giáo viên yêu cầu học sinh tự giải Kết quả: (x + 9)(x + 5) + = (x + 8)(x + 6) với m = (x +1)(x + 5) + = (x + 2)(x + 4) với m = C/ MỘT SỐ SAI SÓT CỦA HỌC SINH VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC: Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy số học sinh tiếp thu khá dễ dàng các nội dung trên, nhờ cụ thể hóa các phương pháp nên học sinh biết cách vận dụng vào giải bài tập Tuy nhiên, còn số học sinh còn sai xót, làm bài thiếu chính xác và cần phải khắc phục, chẳng hạn như: chưa biết đặt nhân tử chung, nhóm các số hạng với còn hay sai dấu … Sau đây là ví dụ minh họa: Bài giải học sinh Những sai sót Bài giải đúng (16) và cách khắc phục Bài toán 1: Phân tích đa thức 3x2 – 6x thành nhân tử Học sinh : Thiếu sót : 2 Ta có: 3x – 6x = 3(x – x ) Học sinh : Cả hai học sinh đặt nhân Ta có: 3x – 6x = x(3x – ) tử chung nhiên còn thiếu Ta có: 3x2 – 6x = 3x(x - 2) Cụ thể :Ở học sinh 1thiếu nhân tử x Ở học sinh thiếu nhân tử Khắc phục : Nhắc lai cách tìm nhân tử chung Bài toán 2: Phân tích đa thức x2 – y2 + 4x + thành nhân tử Giải: Học sinh : Ta có : x2 – y2 + 4x + = (x – y2) + (4x + 4) = (x + y) (x – y ) + 4(x + 1) Học sinh : Ta có : x2 – y2 + 4x + = (x2 + 4x) + (4 – y2) = x (x + 4) + (2 – y) (2 + y) Sai sót : Cả học sinh sử dụng cách nhóm không hợp lý, nên bước không thể phân tích Khắc phục : Gv cần lưu ý cho hs nhóm các hạng tử thích hợp đó là : + Mỗi nhóm có thể phân tích + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm thì quá trình phân tích phải tiếp tục Bài toán 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a x2 – 9y2 Sai sót : a b (x – y ) – (2y – z)2 Học sinh 1, có lời giải sai, Ta có : x2 – y2 + 4x + =(x2 + 4x + 4) – y2 = (x – 2)2 – y = (x – + y)(x – – y ) (17) Giải: Học sinh : Ta có : x2 – 9y2 = (x + 9y)( x – 9y) Học sinh : Ta có : (x – y )2 – (2y – z)2 = (x – y + 2y – z)(x – y – 2y – z ) = (x + y – z)(x – 3y – z ) học sinh đã định hướng đẳng thức áp dụng Ta có : x2 – 9y2 chưa = x2 – (3y)2 = (x + 3y )(x – 3y ) Khắc phục: Ta có : * Chú ý 9y chưa viết (x – y )2– (2y – z)2 dạng lũy thừa, 9y2 = [(x – y) +( 2y – z)][(x – (9y)2 y) – (2y –z)] * Khi hạng tử B = (x – y + 2y – z)(x – y – đẳng thức là đa thức thì 2y + z ) viết =(x + y – z )(x - y + z) A – B ta phải dùng thêm dấu ngoặc * Trong quá trình giảng dạy, xuất trường hợp học sinh mắc phải sai lầm, tuỳ theo đối tượng mà giáo viên chấn chỉnh, uốn nắn có biện pháp, phương pháp phù hợp với mục đích các em học sinh hiểu bài và biết cách vận dụng giải bài tập (18)