Vành và môđun phân bậc

Môđun phân bậc

1.2.1 Định nghĩa Cho (G, +) là một vị nhóm con của vị nhóm cộng giao hoán (G * ,+),

Một vành G - phân bậc là một cấu trúc toán học, trong đó một R-môđun M được gọi là G*-phân bậc nếu tồn tại một tập hợp các nhóm con cộng của M, ký hiệu là {Mβ | β ∈ G*}, thỏa mãn các điều kiện nhất định.

Người ta thường gọi M  là thành phần thuần nhất phân bậc  của M và kí hiệu là   M  Dễ thấy rằng M và họ   M   G * đều là các R 0 -môđun

R - môđun phân bậc là một cấu trúc toán học, trong đó phần tử x thuộc M β được xem là phần tử thuần nhất bậc β, ký hiệu là deg x = β Theo quy ước, phần tử 0 được coi là một phần tử thuần nhất bậc tùy ý Một R - môđun con N của M được gọi là môđun con phân bậc hoặc môđun con thuần nhất nếu thỏa mãn điều kiện nhất định.

   iii) Một môđun con N của M được gọi là thừa nhận được nếu từ

  với x   M  ,sẽ kéo theo các thành phần thuần nhất x  đều nằm trong N

 - môđun phân bậc và : M M' là một đồng cấu R-môđun  được gọi là một đồng cấu phân bậc hay thuần nhất bậc  nếu   M   M '    với mọi

 Nếu đồng cấu  là thuần nhất bậc nào đó, thì người ta gọi tắt là đồng cấu thuần nhất hay đồng cấu phân bậc

1.2.4 Ví dụ Cho M là môđun phân bậc trên vành phân bậc Cho p Kí hiệu M(p) là môđun M nhưng với phân bậc

M(p) i = M p + i Khi đó M(p) cũng là môđun phân bậc trên R Ta nói M(p) là môđun dịch chuyển của M và p là số dịch chuyển

Các kết quả dưới đây là tương tự như trong vành và chứng minh của chúng cũng giống như chứng minh các mệnh đề tương tự trong vành

Định lý 1.2.5 khẳng định rằng nếu N là một môđun con của môđun phân bậc M, thì ba mệnh đề sau đây là tương đương: (i) Môđun con N là thừa nhận được; (ii) Môđun con N là thuần nhất; và (iii) Môđun con N được sinh ra từ tập hợp các phần tử thuần nhất của M.

Nếu L và N là các môđun con thuần nhất của một R-môđun phân bậc M, và I là một iđêan thuần nhất của R, thì tổng L + N, giao L ∩ N, và IL đều là các môđun con thuần nhất của M Thêm vào đó, nếu n thuộc Z, thì các kết quả này vẫn được duy trì.

(L: N) là một iđêan thuần nhất của R

Khi đó nếu N là một R-môđun con phân bậc của M thì M

Nlà một R-môđun phân bậc và

 -môđun phân bậc và :M M'là một đồng cấu thuần nhất R-môđun Khi đó Ker,Im tương ứng là các môđun con thuần nhất của M, M’

Mệnh đề 1.2.9 nêu rõ rằng, cho hai vành G-phân bậc R và S, mỗi đồng cấu vành f từ R đến S sẽ tạo ra một cấu trúc R-môđun trên S Cấu trúc này được xác định bởi công thức r * s = f(r)s với mọi r thuộc R và s thuộc S Hơn nữa, S sẽ trở thành một R-môđun phân bậc nếu và chỉ nếu f là một đồng cấu thuần nhất bậc 0.

Chứng minh S là một R - môđun phân bậc khi và chỉ khi  , G ta có:

    R  * S   f     R      S   S    Điều này xảy ra khi và chỉ khi

      , f R   R  hay f là đồng cấu thuần nhất bậc 0 W

Vành và môđun Rees

Định nghĩa về lọc các iđêan trong vành giao hoán có đơn vị R được đưa ra như sau: Một họ F = {I_n} với n ≥ 0 được gọi là lọc các iđêan của R nếu nó thỏa mãn hai điều kiện Thứ nhất, R phải bao hàm tất cả các iđêan trong họ, tức là R = I_0 ⊇ I_1 ⊇ ⊇ I_n Thứ hai, mỗi iđêan I_m phải chứa iđêan I_n cho mọi m và n, nghĩa là I_m ∩ I_n ⊆ I_{m+n}.

Lọc F được gọi là lọc tách được nếu

Cho F    I n n  0 là một lọc các iđêan của vành R Khi đó F sinh ra các vành phân bậc:

 gọi là Đại số Rees của lọc F

  gọi là vành phân bậc liên kết của lọc F

  với I n = R khi n0gọi là Đại số Rees mở rộng của lọc F

   là vành phân bậc với phép nhân được hiểu là

      với mọi m, n nên tồn tại đẳng cấu thuần nhất bậc 0 từ G(F) đến

   Do đó người ta còn viết G(F) 0 1 n n n n

  là một dạng biểu diễn của G(F)

Giả sử m là một iđêan cực đại của vành R và J là một iđêan m - nguyên sơ

 JR F được gọi là fiber cone của lọc F theo iđêan J và có dạng biểu diễn phân bậc là F J (F) 0 n n n n

Lọc F    I n n  0 được gọi là một lọc Noether nếu

 là một vành Noether Đặc biệt, nếu F    I n n  0 là một lọc I-adic sinh bởi iđêan I của vành R thì:

    gọi là Đại số Rees

   gọi là vành phân bậc liên kết

      với I n = R khi n < 0 gọi là Đại số Rees mở rộng của I

   gọi là fiber cone của I theo J Bốn vành phân bậc này đều được gọi là các vành nổ theo tâm I

1.3.2 Định lý Cho I là một iđêan của một vành Noether R, m là một iđêan cực đại của R và J là một iđêan m - nguyên sơ Khi đó các vành:

Vì R là một vành Noether, iđêan I là iđêan hữu hạn sinh Do đó, R(I) và R[IT] đều là các đại số hữu hạn sinh trên R, dẫn đến việc chúng đều là các vành Noether Hơn nữa, G(I) và F J (I) cũng là các vành thương của R[I], do đó chúng cũng thuộc loại vành Noether.

Cho M là một R-môđun, một họ W    M n n  0 các R-môđun con của M được gọi là một lọc tương thích với lọc F =   I n n  0 các iđêan của R, nếu họ

W đồng thời thỏa mãn ba điều sau: i) M 0 = M ii) M n+1 M n , n 0 iii) I M n m M n m  ,m n,

Với một lọc W    M n n  0 các R - môđun con của một R - môđun M, tương thích với một lọc F =   I n n  0 các iđêan của R Khi đó ta thu được một

  ; cùng với một G(F) - môđun phân bậc: 1

  , với phép nhân ngoài được hiểu là

1.3.3 Định nghĩa Cho M là một R-môđun và I là một iđêan của R Họ

W = M ≥ các môđun con của M được gọi là một I-lọc nếu W = {M_n | n ≥ 0} là một lọc tương thích với lọc I-adic F = {I_n | n ≥ 0} Một I-lọc được coi là ổn định hay lọc I-ổn định khi IM_n = M_{n+1} với mọi n đủ lớn.

Mệnh đề 1.3.4 trình bày rằng, cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R và I là một iđêan của R, nếu W = {M_n | n ≥ 0} là một I-lọc của M, thì hai mệnh đề sau đây là tương đương: i) {M_n | n ≥ 0} là một I-lọc ổn định; ii) R(W) là một R(I)-môđun phân bậc Noether.

Theo Định lý 1.3.2, R(I) là vành Noether, từ đó suy ra rằng R(W) là một R(I)-môđun phân bậc Noether nếu và chỉ nếu R(W) là một R(I)-môđun hữu hạn sinh Điều này có nghĩa là R(W) sẽ trở thành một R(I)-môđun hữu hạn sinh khi tồn tại một số nguyên dương n.

          Đẳng thức này xảy ra nếu và chỉ nếu M n k  I M k n , k 1 hay   M n m  0 là một I-lọc ổn định W

Hệ quả cho môđun hữu hạn sinh M trên vành Noether R cho thấy rằng nếu I là một iđêan của R và W là một lọc I-ổn định của M, thì với môđun con N của M, ta có thể xác định V là một lọc I-ổn định của N Điều này được chứng minh bằng cách kiểm tra rằng V là một I-lọc, dẫn đến R(V) trở thành một R(I)-môđun con của R(W) Do W là lọc I-ổn định của M, kết luận này khẳng định tính chất quan trọng của các lọc trong ngữ cảnh môđun và vành Noether.

Mệnh đề 1.3.4 thì R(W) là một R(I)-môđun Noether Vì vậy R(V) cũng là một

R(I)-môđun Noether Do đó, theo Mệnh đề 1.3.4, ta được V là một lọc I-ổn định của N W

Từ hệ quả này ta có ngay hệ quả sau đây

Hệ quả của Bổ đề Artin-Rees cho thấy rằng, với môđun hữu hạn sinh M trên vành Noether R và iđêan I của R, nếu N là môđun con của M, thì tồn tại một số nguyên m đủ lớn sao cho điều kiện liên quan đến I và N được thỏa mãn.

Vành và môđun phân bậc liên kết

1.4.1 Giới hạn ngƣợc Xét một dãy các nhóm {A n } và các đồng cấu f n+1 : A n+1  A n

Ta gọi chúng là một hệ ngược Khi đó nhóm tất cả các dãy (a n ), trong đó a n 

A n và f n+1 (a n+1) = a n được gọi là giới hạn ngược của hệ ngược nói trên và được ký hiệu là lim n n

1.4.2 Đầy đủ I- adic Cho R là một vành và I là một iđêan của vành R Ta xét

R như một vành tôpô với cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan I n , với n =

0,1,2 Chú ý rằng cơ sở lân cận của một phần tử tuỳ ý rR gồm các lớp ghép r I n với n = 0, 1,2 Tôpô xác định bằng cách này trên R được gọi là tôpô I-adic

Ta có hệ ngược {R/I n R} và giới hạn ngược của hệ ngược này được kí hiệu là R

 là một vành và gọi là đầy đủ I-adic của vành R Nếu R  R

 thì R được gọi là vành đầy đủ theo tôpô I- adic

Chẳng hạn, nếu R k x [ ] với k là một trường và x là biến và I =(x) là iđêan của R sinh bởi x thì R

= [[ ]]k x là vành các chuỗi lũy thừa hình thức Nếu

R I  p với p là một số nguyên tố thì R

 là vành các số nguyên p-adic

(các phần tử của nó là các chuỗi vô hạn

Cho M là một R – môđun Ta có hệ ngược {M/I n M} và giới hạn ngược của hệ ngược này được kí hiệu là M

 -môđun và gọi là đầy đủ I-adic của R-môđun M

1.4.3 Định nghĩa Cho vành R và I là iđêan của R

 với I 0 = R Khi đó G R I ( )là vành phân bậc, trong đó phép nhân được định nghĩa như sau: với mỗi x n I n , kí hiệu x n là ảnh của x n trong I n n 1

I  ; định nghĩa x x m n là x x m n , nghĩa là ảnh của x m x n trong I m n m n 1

  Lưu ý rằng x x m n không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện Vành G R I ( ) được gọi là vành phân bậc liên kết (vành G R I ( ) còn được ký hiệu là G(R))

(ii) Cho M là R - môđun và (M n ) là I - lọc của M, tức là một dãy các môđun con

M M M  M  thỏa mãn IM n  M n+1, với mọi n Ký hiệu:

  Khi đó G(M) là G(R)-môđun và gọi là môđun phân bậc liên kết Ta kí hiệu n  

Định lý 1.4.4 khẳng định rằng, với R là vành Noether và I là iđêan của R, thì G I (R) cũng là vành Noether Hơn nữa, G I (R) đồng isomorph với G I ˆ (R) Cuối cùng, nếu M là R-môđun hữu hạn sinh và (M n) là I-lọc ổn định của M, thì G(M) trở thành G I (R)-môđun phân bậc hữu hạn sinh.

Chứng minh (i) Vì R là vành Noether, I hữu hạn sinh, giả sử I được sinh bởi x 1 ,…, x s Đặt x i là ảnh của x i trong I 2

RI là vành Noether nên theo Định lý cơ sở Hilbert G(R) là vành Noether

I   I  nên ta có đẳng cấu vành phân bậc G I (R) 

M  I M  r Do đó G(M) được sinh ra bởi

 là vành Noether và bị triệt tiêu bởi I, nên nó là một R

I-môđun hữu hạn sinh Do đó

 bị triệt tiêu bởi một số phần tử hữu hạn (chẳng hạn là R

I-môđun) Vì vậy G(M) là hữu hạn sinh như

Sau đây chúng ta sẽ thấy rằng đầy đủ I-adic của vành Noether là vành

Noether Trước khi đi đến chứng minh, chúng ta cần bổ đề sau

1.4.5 Bổ đề Cho :AB là một đồng cấu của các nhóm lọc, nghĩa là

Trong bài viết này, chúng ta xem xét các đồng cấu cảm sinh giữa các nhóm phân bậc và nhóm mở rộng, với G( ) : ( ) G A G B( ) Đặc biệt, nếu G( ) là đơn ánh thì đồng cấu  cũng sẽ là đơn ánh; và nếu G( ) là toàn ánh, thì đồng cấu  sẽ là toàn ánh.

Chứng minh Xét biểu đồ giao hoán của chuỗi khớp sau:

Từ đó ta có dãy khớp sau:

Bằng cách sử dụng quy nạp, ta có thể chứng minh rằng Kerαn = 0 trong trường hợp i) hoặc Cokerαn = 0 trong trường hợp ii) Hơn nữa, trong trường hợp ii), chúng ta cũng có thêm những kết quả quan trọng khác.

Ker  Ker là toàn ánh W

Mệnh đề 1.4.6 đề cập đến một vành R, một iđêan I của R và một R-môđun M, trong đó (M n) là I-lọc của M Giả sử R có tính đầy đủ theo tôpô I-adic và M là Hausdorff trong lọc tôpô của nó, điều này có nghĩa là n 0 n.

M  ); G(M) là G(R)-môđun hữu hạn sinh Khi đó M là

Chứng minh Chọn một tập hữu hạn các phần tử sinh của G(M) và tách chúng ra thành những thành phần thuần nhất, i (1 i ), i có cấp n(i) và là ảnh của

( ). i n i x M Cho F i là R- môđun với I-lọc ổn định được cho bởi F k i I k n i  ( ) và đặt

Phép ánh xạ phần tử sinh của mỗi F_i tới x_i được định nghĩa là đồng cấu \(\phi: F \rightarrow M\) của các nhóm lọc, và \(G(\cdot): \phi G F \rightarrow G M(\cdot)\) là đồng cấu của mô đun G(R) Kết quả là phép ánh xạ này là toàn ánh, theo ii) của Bổ đề 1.4.5, điều này chứng tỏ rằng \(\phi\) là toàn ánh.

Vì F là tự do và R = ˆR, nên α là đẳng cấu Mặt khác, vì M là không gian Hausdorff, nên β là đơn ánh Tính toàn ánh của φ dẫn đến tính toàn ánh của φ, điều này có nghĩa là x₁,…,xᵣ sinh ra M là R-môđun.

1.4.7 Hệ quả Với giả thiết của Mệnh đề 1.4.6, nếu G(M) là G(R)-môđun

Noether thì M là R-môđun Noether

Chứng minh: Ta phải chỉ ra rằng mỗi môđun con M’ của M là hữu hạn sinh

Cho M' n = M' ∩ M n, trong đó (M' n) là I-lọc của M', và phép nhúng M' n → M n tạo thành đồng cấu nội xạ M' n M' n + 1 → M n M n + 1, từ đó hình thành phép nhúng của G(M’) trong G(M) Vì G(M) là Noether nên G(M’) là hữu hạn sinh M’ là Hausdorff vì M' n ⊆ M n = 0 Do đó, theo Mệnh đề 1.4.6, M’ là hữu hạn sinh.

1.4.8 Định lý Nếu R là vành Noether, I là iđêan của R thì đầy đủ I-adic R ˆ của R là vành Noether

Theo Định lý 1.4.4, G I (R) = G I ˆ ( ˆR) là một vành Noether Áp dụng Hệ quả 1.4.7, chúng ta có thể mở rộng vành R, dẫn đến M Rˆ, được lọc bởi ˆI n và do đó là không gian Hausdorff.

1.4.9 Hệ quả Nếu R là vành Noether thì vành chuỗi lũy thừa hình thức B =

R[[x 1 ,…,x n ]] n biến là vành Noether Nói riêng, k[[x 1 ,…,x n ]] (k là trường) là vành Noether

Chứng minh Theo Định lý cơ sở Hilbert thì R[x 1 ,…,x n ] là vành Noether Vì B là đầy đủ của R[x 1 ,…,x n ] theo tôpô (x 1 ,…,x n ) – adic nên theo định lý trên B là vành Noether W

Sự phân tích nguyên sơ của môđun phân bậc 24

Sự phân tích nguyên sơ của môđun

Trong phần này, chúng tôi sẽ cung cấp kiến thức cơ bản về phân tích nguyên sơ của môđun trên vành giao hoán, nhằm tạo nền tảng cho việc trình bày nội dung chính của Chương ở các phần tiếp theo.

Với mỗi xM ta ký hiệu Ann x R  aR ax0  (hoặc Ann(x) nếu không chú ý vào vành R)

2.1.1 Định nghĩa Cho M là một Rmôđun ta gọi iđêan nguyên tố p của

R là một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu một trong hai điều kiện tương đương sau được thoả mãn:

(i) Tồn tại phần tử x M sao cho Ann   x = p ;

(ii) M chứa một môđun con đẳng cấu với R/p

Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là Ass R M hoặc Ass M nếu không tập trung sự chú ý đến vành R

2.1.2 Định nghĩa Cho R là vành giao hoán và M là một R - môđun

(i) Môđun con N  M của M được gọi là nguyên sơ nếu tồn tại một iđêan nguyên tố p của R sao cho Ass(M/N) = {p} Khi đó ta cũng nói N là p – nguyên sơ

Cho N là môđun con của M, phân tích nguyên sơ của N được biểu diễn dưới dạng N = M1 ∩ M2 ∩ ∩ Mn, trong đó Mi là các môđun con p_i-nguyên sơ của M Phân tích này được gọi là thu gọn khi các p_i là đôi một phân biệt và không có môđun con Mi nào thừa.

2.1.3 Chú ý (i) Nếu Q là một môđun con p–nguyên sơ của M thì p =

Nếu M1 và M2 là các môđun con p-nguyên sơ của M, thì giao của chúng, M1 ∩ M2, cũng là một môđun con p-nguyên sơ của M Do đó, mọi phân tích nguyên sơ của môđun con N có thể được quy về một phân tích thu gọn.

Khi M là R và R là vành Noether, khái niệm iđêan nguyên sơ tương đương với khái niệm môđun con nguyên sơ Định lý sau đây khẳng định rằng mọi môđun con của môđun Noether đều có sự tồn tại của phân tích nguyên sơ, và tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết có thể được xác định thông qua một phân tích nguyên sơ thu gọn.

2.1.4 Định lý Cho M là R-môđun Noether và N là môđun con của M

(i) N có sự phân tích nguyên sơ thu gọn;

(ii) Nếu N N 1 N 2   N n và N  N 1  N 2    N n  là hai phân tích nguyên sơ thu gọn của N trong đó N là i p i - nguyên sơ, i 1, 2, , nvà N i  là p’ i - nguyên sơ, i 1, 2, ,m thì n = m và {p 1 ,…, p n } = {p ’ 1 ,…, p ’ n } Vì thế

{p 1 ,…, p n } không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ thu gọn của N Hơn nữa ta có {p 1 ,…, p n } = Ass(M/N)

(iii) ChoN  N 1 N 2   N n trong đó, N là i p i - nguyên sơ, i 1, 2, ,n là phân tích nguyên sơ thu gọn của N Nếu p i là phần tử tối tiểu trong tập

Ass M N thì môđun con N tương ứng không phụ thuộc vào sự phân tích i nguyên sơ thu gọn của N

2.1.5 Định lý Cho M là một môđun khác 0, hữu hạn sinh trên một vành

Noether R khi đó tồn tại một dãy các môđun con

0 = M 0  M 1  …  M n-1  M n = M và một họ các iđêan nguyên tố p 1 , …, p n của R sao cho

Sự phân tích nguyên sơ của môđun phân bậc

  là một vành phân bậc, với bậc nguyên không âm và

  là một R-môđun phân bậc Với Q là một môđun con của M, ta kí hiệu Q * là môđun con phân bậc cực đại của M chứa trong Q

2.2.1 Định lý Mọi iđêan nguyên tố liên kết p của M đều là một iđêan nguyên tố thuần nhất và là linh hóa tử của một phần tử thuần nhất của M, tức là p = Ann(x) với x là một phần tử thuần nhất nào đó của M

Giả sử p thuộc AssM và p = Ann(x) với x thuộc M \ {0} Khi đó, x có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các phần tử thuần nhất với bậc tăng theo thứ tự tự nhiên, tức là x = x_e + + x_d, trong đó x_e khác 0 Đầu tiên, cần chứng minh rằng p là một phần tử thuần nhất Nếu p = 0, điều này là hiển nhiên Trong trường hợp p khác 0, giả sử a là một phần tử khác 0 thuộc p, thì cũng giống như x, a có thể được viết dưới dạng a = a_r + + a_s với a_r khác 0.

Bởi (2), ta có \( a^x r + 1 e = -a^x r e + 1 \) Nhân hai vế của đẳng thức này với \( a^r \) và kết hợp với (1), ta được \( a^{a^x r + 1} r e = -a^x r^2 e + 1 = 0 \) Tiếp tục làm tương tự, ta thu được \( a^x r e = a^x r^2 e + 1 = a^x r^3 e + 2 = = a^{r d} e - 1 + x d = 0 \) Từ đó suy ra \( a^{r d} e - 1 + x = 0 \), tương đương với \( a^r \in p \) Vì vậy, \( (a - a^x r) = 0 \) Bằng cách làm tương tự với \( (a - a^r) \), ta nhận được \( a^{r + 1} \in p \), cuối cùng thu được tất cả các \( a^i \in p \) Do vậy, \( p \) là một iđêan thuần nhất Đặt \( I_j = Ann(x^j) \) thì \( p \subset I_j \).

  pvà p là một iđêan nguyên tố, nên tồn tại chỉ số j để I j  p Do đó p Ann x( ) j W

2.2.2 Hệ quả pAssM khi và chỉ khi tồn tại một đơn cấu thuần nhất từ

Chứng minh    Vì p  AssM nên theo Định lý 2.2.1, tồn tại một phần tử thuần nhất x bậc  của M để p = Ann(x) Khi đó đồng cấu

: h RM r rx là một đồng cấu thuần nhất bậc có Ker h = p Vì vậy h cảm sinh ra một R- đơn cấu thuần nhất bậc từ R / p vào M

   Theo Định nghĩa 2.1.1 (ii), p là iđêan nguyên tố liên kết của R-môđun

M khi và chỉ khi tồn tại một đơn cấu R-môđun từ R /p tới M Do đó giả sử tồn tại h: R / p Mlà một đơn cấu thuần nhất Khi đó pAssM W

Từ hệ quả trên và Định lý 2.1.5 ta có ngay kết quả sau đối với môđun phân bậc

2.2.3 Định lý Cho M là một môđun khác 0, hữu hạn sinh trên một vành phân bậc Noether R Khi đó tồn tại một dãy các môđun con

0 = M 0  M 1  …  M n-1  M n = M và một họ các iđêan nguyên tố thuần nhất p 1 ,…, p n của R sao cho

M  đẳng cấu thuần nhất với R / p i với mọi i = 1, …, n, đồng thời

2.2.4 Bổ đề Một môđun con phân bậc N của M là một môđun con nguyên sơ nếu và chỉ nếu N M và với mọi phần tử thuần nhất aR và y M

 N có ayN, thì tồn tại một số nguyên dương n để a M n N

Chứng minh Giả sử aR x, M thỏa mãn ax N x N

  Vì xN, nên ta luôn viết được x   x' x e x d với x'N,x j M x j , e N Giả sử

 e d  a x  x N Do N là môđun con thuần nhất nên a x r e N Bởi giả thiết đã cho của N, tồn tại n 1 1 để a M r n 1 N Kết hợp với

 e d  a x  x N, ta suy ra  aa r   n 1 x e   x d N Điều này dẫn đến

Trong một không gian số tự nhiên N, tồn tại một số nguyên dương n, với n ≥ 1, để a^n thuộc N Điều này cho thấy có ít nhất một số n2 ≥ 1 sao cho a^(r+n) thuộc N Qua một quá trình hữu hạn, chúng ta có thể xác định một số n0 ≥ 1 sao cho a^M(i) thuộc N với mọi i từ 0 đến r Kết quả là tồn tại một số n ≥ 1 sao cho a^M(n) thuộc N, điều này chứng minh rằng N là một mô-đun con nguyên sơ Ngược lại, điều này cũng dễ dàng nhận thấy.

2.2.5 Mệnh đề Nếu Q là một môđun con p-nguyên sơ của M thì Q * là một môđun con p * -nguyên sơ

Chứng minh: Lấy bR y, M là những phần tử thuần nhất bất kì sao cho

Do Q* được sinh ra bởi tất cả các phần tử thuần nhất của Q, nên y không thuộc Q* Vì b y không thuộc Q và y không thuộc Q cùng với Q nguyên sơ, nên tồn tại n ≥ 1 để b M thuộc Q Cần lưu ý rằng b M n 1 là một mô đun con phân bậc của Q.

1 * b M n Q Vậy Q * là môđun con nguyên sơ Tiếp theo ta cần chứng minh

  p * Với a là phần tử bất kì trong p * thì ap, vì vậy tồn tại n để a M n Q Lại do a n M là môđun phân bậc, nên a M n Q * hay ar M (Q * )

   Ngược lại, từ Q * là một iđêan thuần nhất, nên

Q là một môđun phân bậc, do đó Ann M *

  là một iđêan thuần nhất, dẫn đến Ann M *

  cũng là một iđêan thuần nhất Mặt khác ta có

  p Nhớ lại rằng p * là một iđêan thuần nhất cực đại chứa trong , nên Ann M *

2.2.6 Hệ quả Cho M là một môđun phân bậc trên vành phân bậc R và N là một môđun con phân bậc của M Khi đó ta có

2.2.7 Định lí Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R và N là một môđun con thuần nhất của M Giả sử N Q 1 Q 2   Q h là một phân tích nguyên sơ của N và p 1 , p 2 ,…, p h là các iđêan nguyên tố sao cho Q i là p i -nguyên sơ với i= 1, 2,…, h Khi đó ta có các khẳng định sau: i) NQ 1 * Q 2 *   Q h * cũng là một phân tích nguyên sơ của N ii) Nếu N Q 1 Q 2   Q h là một phân tích thu gọn, thì p i = p * i với mọi i=1,…,h và NQ 1 * Q 2 *   Q h * cũng là một phân tích nguyên sơ thu gọn iii) Nếu N Q 1 Q 2   Q h là một phân tích thu gọn và nếu P i là phần tử cực tiểu trong { p 1 , p 2 ,…, p h }, thì Q i là một môđun con thuần nhất của M

Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.5, ta có Q i * là p * i -nguyên sơ Theo giả thiết

NQ Q  Q nên N Q i Nhưng N là môđun con thuần nhất nên

NQ Q  Q Q Q  Q N i) Vì phân tích nguyên sơ N Q 1 Q 2   Q h là thu gọn, nên tập {p 1 , p 2 ,…, p h } là tập các iđêan nguyên tố liên kết của M / N Do đó theo Định lý

2.2.1, ta suy ra p i = p * i , i Từ Mệnh đề 2.2.5, ta suy ra Q i * là p i -nguyên sơ Lại do phân tích N Q 1 Q 2   Q h là thu gọn nên phân tích

Phân tích N = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qh là một phương pháp thu gọn nguyên sơ Do đó, với việc N = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qh là một phân tích thu gọn và pi là giá trị cực tiểu trong tập {p1, p2, , ph}, theo Định lý 2.1.4, Qi sẽ là duy nhất.

N Q Q  Q cũng là một phân tích nguyên sơ thu gọn, nên ta suy ra Q i Q i * , do đó Qi là môđun con phân bậc của M W

Theo định lý đã nêu, nếu N là một môđun con thuần nhất của M, thì luôn tồn tại một phân tích nguyên sơ cho N, bao gồm toàn bộ các môđun con thuần nhất.