Chiãu Kull v giĂ cừa mổun
1.1.1 ành nghắa Mởt dÂy giÊm cĂc iảan nguyản tố cừa v nh R: p 0 ⊃ ⊃ p n ữủc gồi l mởt xẵch nguyản tố cõ ở d i n.
Kẵ hiằu SpecR l têp cĂc iảan nguyản tố cừa R Khi õ SpecR ữủc gồi l phờ cừa v nh R.
Cho p thuộc SpecR, chiều cao của p được xác định bởi độ cao của các yếu tố nguyên tố với p 0 = p Để hiểu rõ ht(p), ta xem I là một lý thuyết của R Khi I được nâng lên, chiều cao của I được xác định bởi ht(I) = inf{ht(p) | p ∈ SpecR, p ⊇ I}.
Cên trản tĐt cÊ cĂc ở d i cừa xẵch nguyản tố trong R ữủc gồi l chiãuKull cừa v nh R, kẵ hiằu l dimR.
Cho M l mởt R - mổun Khi õ dim(R/Ann R M) ữủc gồi l chiãu Kull cừa mổun M, kẵ hiằu l dimM.
1.1.2 ành nghắa Kẵ hiằu Supp(M) l têp cĂc iảan nguyản tố cừa R sao cho M p 6= 0 Têp Supp(M) ữủc gồi l giĂ cừa mổun M.
Ta cõ Ann R (x) v Ann R (M) l nhỳng iảan cừa R, Ann R (M) gồi l linh hõa tỷ cừa mổun M Hỡn nỳa, náu M l R- mổun hỳu hÔn sinh thẳ
Sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ
Trong không gian R, một ánh nghĩa được định nghĩa qua việc cho R là một giao hoán, có thứ tự và một M là R-môđun Đặc trưng của một yếu tố p trong R được gọi là một yếu tố nguy hiểm, có thể được mô tả bằng cách xác định một yếu tố nguy hiểm liền kề với M, sao cho p = Ann_R(x) = {r ∈ R : rx = 0} cho mọi x thuộc M.
Têp cĂc iảan nguyản tố liản kát cừa M ữủc kẵ hiằu bði Ass R M (hay cỏn ữủc kẵ hiằu ỡn giÊn l AssM).
1.2.2 ành lẵ GiÊ sỷ R l v nh giao hoĂn, cõ ỡn và v M l R - mổun. Khi â c¡c kh¯ng ành sau óng:
(i) Iảan nguyản tố p l iảan nguyản tố liản kát cừa M khi v ch¿ khi M chựa mởt mổun con M 0 sao cho M 0 ∼= R/p
(ii) Cho 0→ M 0 → M → M 00 → 0 l dÂy khợp cĂc R - mổun Khi õ:
(iii) PhƯn tỷ tối Ôi cừa têp {Ann R x : x 6= 0, x ∈ M} l iảan nguyản tố liản kát cừa M Náu R l v nh Noether v M 6= 0 thẳ AssM 6= ∅ Hỡn nỳa, náu M l R - mổun Noether thẳ AssM l têp hỳu hÔn.
1.2.3 ành nghắa Cho R l v nh giao hoĂn v M l R - mổun.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các đặc điểm của các số hữu tỉ và số vô tỉ trong tập hợp số thực R Đối với mỗi số thực r, nếu r thuộc R nhưng không thuộc Q, thì sẽ tồn tại một số nguyên n sao cho r^n thuộc Q Điều này dẫn đến việc xác định rằng Q là một tập hợp có cấu trúc chặt chẽ, trong khi các số vô tỉ tạo thành một tập hợp phong phú hơn Kết quả là, chúng ta có thể phân loại các số thành hai nhóm: số hữu tỉ và số vô tỉ, với mỗi nhóm có những tính chất và ứng dụng riêng trong toán học.
(ii) Mổun con N 6= M cừa M ữủc gồi l nguyản sỡ náu tỗn tÔi mởt iảan nguyản tố p cừa R sao cho Ass(M/N) = {p} Khi õ ta cụng nõi N l p - nguyản sỡ.
(iii) Cho N l mổun con cừa M Mởt phƠn tẵch nguyản sỡ cừa N l mởt biºu diạn
N = M1 ∩M2 ∩ Mn, trong õ M i l cĂc mổun con p i - nguyản sỡ cừa M PhƠn tẵch trản ữủc gồi l thu gồn náu cĂc p i l ổi mởt rới nhau v khổng cõ M i n o thứa.
Khi M = R và R là không gian Noether, bất kỳ một không gian vector nào cũng có thể phân tách thành các không gian con nguyên thủy Điều này cho phép xác định các yếu tố liên quan đến không gian vector thông qua việc phân tách các không gian con, từ đó tạo ra sự liên kết giữa các yếu tố trong không gian vector và các không gian con tương ứng.
1.2.5 ành lẵ Cho M l mởt R - mổun Noether v N l mổun con cừa
(i) N cõ sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ thu gồn.
NáuN được xác định là giao của các tập hợp N1, N2, , Nn, trong khi vN là giao của các tập hợp N01, N02, , N0m Các phần tử trong tập hợp N bao gồm các phần tử từ các tập hợp Ni, với i chạy từ 1 đến n, và các phần tử từ các tập hợp Ni0, với i chạy từ 1 đến m Tập hợp {p1, , pn} không thuộc vào phần tử của giao các tập hợp nguyển sỡ của N Hình thức này cho thấy sự liên kết giữa các tập hợp và cách thức chúng tương tác với nhau.
Cho N = N1 ∩ N2 ∩ ∩ Nn, trong đó mỗi Ni là một phần tử trong tập hợp nguyển sỡ, với i = 1, n là phân tách nguyển sỡ của N Nếu pi là phần tỷ tối thiểu trong tập Ass(M/N), thì nó liên quan đến các phần tử Ni trong phân tách nguyển sỡ của N.
Mằnh ã cho R là một không gian Noether, M là R - mô hình hủy hôn sinh và N là mô hình con của M Khi N là mô hình con nguyản sỡ, thì với mỗi a ∈ R, phép nhân bði a trản M/N là lớn cĐu hoặc lụy linh Trong trường hợp này, tiếp pAnn(M/N) là một iảan nguyản tố p và N là p - nguyản sỡ.
Biºu diạn thự cĐp cừa mổun trản v nh giao hoĂn
Giá trị sỹ M là một hàm số trong không gian R, với mỗi phần tử x thuộc R, chúng ta có thể hiểu rằng hàm ϕ x,M là một ánh xạ từ M đến M Hàm này được định nghĩa qua mối quan hệ giữa x và M, trong đó ϕ x,M(m) = xm Đặc biệt, ϕ x,M được gọi là hàm lũy thừa nếu tồn tại một số nguyên dương n sao cho ϕ x^n,M = 0.
Chú ỵ rơng têp hủp cĂc phƯn tỷ x ∈ R sao cho ϕ x,M lụy linh l mởt iảan cừa R, gồi l côn lụy linh cừa M, kẵ hiằu l 0 nản ta cõ m ∈/ Ass(M) v vẳ thá ∃r ∈ m vợi r khổng l ữợc khĂc cừa khổng trản M GiÊ sỷ ngữủc lÔi l H m d (M) = 0 ta s³ tẳm thĐy sỹ mƠu thuăn Thêt vêy, náu d = 1 ta cõ
Do õ, grade M m = 1 v iãu n y l mƠu thuăn theo ành lỵ 1.6.4 GiÊ sỷ d > 1 Vợi mội r ∈ m khổng l ữợc cừa khổng trản M, mổun M/rM 6= 0, hỳu hÔn sinh v cõ dim(M/rM) =d−1 Tứ dÂy khợp ngưn:
0 →M −→ r M → M/rM → 0 ta cõ dÂy khợp d i cĂc mổun ối ỗng iãu àa phữỡng:
H m d−1 (M) −→ r H m d−1 (M) →H m d−1 (M/rM) → 0 vợi giÊ thiát H m d (M) = 0 Do õ, vợi mội r ∈ m khổng l ữợc cừa khổng trản M, ta cõ
H m d−1 (M)/rH m d−1 (M) ∼= H m d−1 (M/rM) v chúng khĂc 0 theo giÊ thiát quy nÔp Suy ra H m d−1 (M) 6= 0.
Bữợc tiáp theo cƯn chựng minh m ∈ Att(H m d−1 (M)) Ta s³ giÊ sỷ ngữủc lÔi rơng m ∈/ Att(H m d−1 (M)) v s³ tẳm ra sỹ mƠu thuăn Khi õ, theo ành lỵ trĂnh nguyản tố, m * ( [ p∈Att(H m d−1 (M ))) p)∪( [ q∈Ass(M ) q).
Vẳ vêy, tỗn tÔi r1 ∈ m khổng l ữợc cừa khổng trản M v H m d−1 (M) r1H m d−1 (M), iãu n y mƠu thuăn vợi H m d−1 (M/r1M) 6= 0 Nhữ vêy m ∈
Att(H m d−1 (M)) Cho p 1 , ,p t l cĂc th nh phƯn cổ lêp cừa Att(H m d−1 (M)). Cụng theo ành lỵ trĂnh nguyản tố, tỗn tÔi r 2 ∈ m\( t
Vẳ r2 ∈ m v r2 khổng l ữợc cừa khổng trản M nản ta cõ
H m d−1 (M)/rH m d−1 (M) ∼= H m d−1 (M/r2M), v theo giÊ thiát quy nÔp thẳ H m d−1 (M/r2M) 6= 0 v
Att(H m d−1 (M/r 2 M)) ⊆ {p ∈ Att(H m d−1 (M/r 2 M)) : r 2 ∈ p} Để chứng minh điều này, chúng ta cần xem xét rằng d > 1, từ đó dẫn đến việc khẳng định rằng H m d (M) khác không Kết thúc bước quy nạp, do M không chứa một con cõ chiãu b² lớn hơn d, chúng ta cần chứng minh rằng Att(H m d (M)) = Ass(M).
Ta xét một đại số M với độ lớn m ≥ 1 và mọi r ∈ m, ta có dim(M/rM) = d − 1 và H^i(M/rM) = 0 theo định lý của Grothendieck Từ đó, có thể khẳng định rằng các mối liên hệ giữa các cấu trúc đại số là rất quan trọng trong lý thuyết đồng sinh.
0 →M −→ r M → M/rM → 0 ta suy ra H m d (M) =rH m d (M) Do â, theo [7, ành lþ 7.2.11]: m\( [ p∈Ass(M ) p) ⊆ m\( [ q∈Att(H m d (M ))) q).
Cho q ∈ Att(H m d (M)) Theo quan hằ bao h m nõi trản v ành lỵ trĂnh nguyản tố ta cõ q ⊆ p vợi p n o õ trong Ass(M) Do H m d l mởt h m tỷ
R-tuyán tẵnh nản ta cõ:
Do d = dimR/(0 :M) = dimR/p nản suy ra q = p Do õ:
Ngữ lôi, lĐy p ∈ Ass(M) sao cho dim R/p = d Theo ảnh lỵ và sự phân tách nguyên sỡ, tồn tại một mổun con p-nguyên sỡ của M, ta không thể hiểu l Q Khi M/Q là R-mổun hỳu hÔn sinh khĂc khổng, thì Ass(M/Q) = {p} Chú ý rằng M/Q không thể có một mổun con n nào khác khổng mà có chiều nhọ hỡn d Chứng minh tứỡng tỹ nhữ trản cho M/Q, ta có: H m d (M/Q) 6= 0.
Do õ, Att(H m d (M/Q)) = {p} Do dimQ < d + 1, theo ành lỵ triằt tiảu cừa Grothendick ta cõ H m d+1 (Q) = 0 Do õ tứ dÂy khợp
0 →Q → M → M/Q→ 0 cÊm sinh mởt to n cĐu
Theo [5, ành lỵ 7.2.5] ta cõ p = Att(H m d (M/Q)) ⊆ Att(H m d (M)) Vẳ vêy Ass(M/Q) ⊆ Att(H m d (M)) iãu n y kát thúc chựng minh Ass(M/Q) Att(H m d (M)) ành lỵ ữủc chựng minh ho n to n.
2.1.3 Hằ quÊ Cho (R,m) l v nh Noether àa phữỡng vợi m l iảan tối Ôi duy nhĐt, M 6= 0 l mởt R - mổun hỳu hÔn sinh vợi chiãu Krull dimM = d > 0 Khi õ H m d (M) khổng hỳu hÔn sinh.
Chứng minh rằng theo tài liệu [5, hình 7.1.3] và [5, hình 7.2.12], các yếu tố trong hệ thống H m d (M) có thể ảnh hưởng đến sự tồn tại của các sinh vật Điều này cho thấy rằng H m d (M) đóng vai trò quan trọng trong việc duy trì sự sống trong môi trường khắc nghiệt.
Trữớng hủp giĂ l iảan tũy ỵ v mổun l hỳu hÔn sinh
h¤n sinh ành lỵ sau Ơy l mởt trong hai kát quÊ chẵnh trong [6], nõ l mởt mð rởng cừa ành lỵ 2.1.2.
2.2.1 ành lẵ Cho (R,m) l v nh Noether àa phữỡng v a l mởt iảan tũy ỵ cừa R GiÊ sỷ M 6= 0 l mởt R - mổun hỳu hÔn sinh cõ chiãu d. Khi â
Att(H a d (M)) = {p ∈ Ass(M)|cd(a, R/p) =d} trong õ, cd(a, K) l chiãu ối ỗng iãu cừa R-mổun K ối vợi iảan a, nghắa l cd(a, K) = sup{i ∈ Z|H a i (K) 6= 0}.
Chựng minh Náu d = 0 thẳ M cõ ở d i hỳu hÔn v do õ
GiÊ sỷ d > 0 Náu H a d (M) = 0 thẳ vá trĂi cừa ¯ng thực trong ành lỵ l têp rộng v do cd(a,m) < d nản vá phÊi cừa ¯ng thực õ cụng l têp réng.
Để xác định rằng chúng ta có thể thiết lập ràng buộc d > 0 và H a d (M) không bằng 0, ta gọi N là mổun con lợn nhĐt của M với cd(a, N) nhỏ hơn d Nếu có hai mổun con M1 và M2 của M thỏa mãn cd(a, M1) nhỏ hơn hoặc bằng t và cd(a, M2) nhỏ hơn hoặc bằng t, thì cd(a, M1 + M2) cũng nhỏ hơn hoặc bằng t Điều này chứng tỏ rằng N được xác nhận và ràng buộc d là hợp lệ.
0→ N →M →M/N → 0 ta cõ cd(a, M) = cd(a, M/N) Ró r ng rơng M/N khổng cõ mổun con L khĂc khổng vợi cd(a, L) < cd(a, M) Vẳ vêy,
Hỡn nỳa, náu p ∈ Supp(M/N) vợi cd(a, R/p) =d thẳ d= cd(a, R/p) 5 dimR/p 5 dimM/N 5 d.
Do â p ∈ Ass(M/N) v Ass(M/N) = {p ∈ Supp(M/N)|cd(a, R/p) =d}.
H a d (N) →H a d (M) →H a d (M/N) → H a d+1 (N) hai mổun cuối bơng 0, nản H a d (M) ∼= H a d (M/N) Do õ bơng cĂch x²t M/N thay thá cho M, ta cõ thº giÊ thiát M khổng cõ mổun con khĂc 0
N vợi cd(a, N) < d BƠy giớ ta cƯn chựng minh Att(H a d (M)) = Ass(M). Náu r /∈ S p∈Ass(M ) p thẳ tứ dÂy khợp
0 →M −→ r M → M/rM → 0 ta cõ dÂy sau cụng khợp
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các yếu tố liên quan đến hàm đồng nhất và sự liên kết giữa các không gian Đầu tiên, ta có cd(a, R/p) < d, dẫn đến việc rH a d (M) = H a d (M) và r không thuộc S p∈Att(H a d (M)) Điều này cho thấy rằng tập hợp Att(H a d (M)) không chứa các phần tử trong Ass(M) Hơn nữa, với Ass(M) là hữu hạn, ta có thể kết luận rằng p thuộc Att(H a n (M)) không thể nằm trong Ass(M) theo cách mà p không tương đương với q trong Ass(M) Cuối cùng, ta có hàm đồng nhất H a d (−) là hàm tỷ R-tuyến tính, từ đó suy ra rằng Ann(M) là bao gồm Ann(H a d (M)) và p Do đó, ta có mối quan hệ giữa các đại lượng d = cd(a, R/p), dimR/p, dimM/N và d.
Để chứng minh rằng Att(H a d (M/T)) thuộc Ass(M/T), giả sử p ∈ Ass(M) Khi đó, tồn tại một mảnh con p - nguyển sở T của M sao cho Ass(M/T) = p Điều này dẫn đến cd(a, M/T) = cd(a, R/p) = d Mảnh M/T không thể chứa bất kỳ mảnh con L khác với cd(a, R/p) < d Do đó, theo chứng minh đã trình bày, ta có Att(H a d (M/T)) thuộc Ass(M/T) Vậy, chúng ta có sự tồn tại của dãy khợp Att(H a d (M)).
Att(H a d (M/T)) → 0 ta câ p j Att(H a d (M/T)) j Att(H a d (M)) Suy ra ành lỵ ữủc chựng minh p dửng ành lỵ trản vợi a = m ta nhên ữủc ngay ành lỵ 2.1.2 l kát quÊ chẵnh trong [8] m chúng tổi  trẳnh b y trong Mửc 2.1.
2.2.2 Hằ quÊ Cho (R,m) l v nh Noether àa phữỡng GiÊ sỷ M l R - mổun hỳu hÔn sinh khĂc khổng cõ chiãu d Khi õ
Chựng minh Sỷ dửng tẵnh chĐt cd(m, R/p) = dim(R/p).
Giá sỉ R là một nhẫn Noether, và theo hình lý Lichtenbaum-Hartshorne, các yếu tố nguyên tố tối thiểu q của Rb có thể được mô tả thông qua H a d (M) Hơn nữa, nếu d là chiều cao của a(R/b q) và b² lớn hơn d, thì sự tồn tại của các yếu tố nguyên tố gần kề của mỗi Artin H a d (R) sẽ dẫn đến sự thu hút của những nguyên tố q của Rb với dim(R/b q) = d.
2.2.3 Hằ quÊ Cho (R,m) l v nh Noether àa phữỡng cõ chiãu d, a l mởt iảan cừa R, Rb l bao Ưy ừ m - adic cừa R Khi õ
= {q∩R|q ∈ SpecR,b dim(R/b q) =d,dimR/b aRb+q = 0}. Chựng minh Suy ra tứ ành lỵ 2.2.1.
Hằ quÊ sau Ơy cừa ành lỵ 2.2.1 cho thĐy rơng têp cĂc nguyản tố gưn kát cừa R - mổun hỳu hÔn sinh M ch¿ phử thuởc v o Supp(M).
2.2.4 Hằ quÊ Cho M, N l cĂc R- mổun hỳu hÔn sinh trản v nh Noether àa ph÷ìng sao cho dimM = dimN = d v Supp(M) = Supp(N) Gi£ sû a l mởt iảan cừa v nh R Khi õ Att(H a d (M)) = Att(H a d (N)).
Chựng minh Ta cõ p ∈ Ass(M) vợi cd(a, R/p) = d khi v ch¿ khi p ∈ Ass(R/AnnM) vợi cd(a, R/p) =d, bði vẳ trong trữớng hủp n y ta cõ d = cd(a, R/p) 5 dimR/p 5 dimR/AnnM = d.
Tứ õ ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Hằ quÊ sau Ơy l ành lỵ Lichtenbaum-Hartshorne cho mổun.
Hẳn có thể khẳng định rằng, giảng sư (R,m) là một nhẫn Noether và M là một R-module hữu hạn sinh với dim(M) = d Khi xét Att(H, d(M)) = {q ∩ R | q ∈ SpecR, b dim(R, b q) = d, dimR/b aRb + q = 0}, trong đó S = R/Ann(M) và Sb là bao hàm từ cừa S đối với iảan cỹc Ôi Chứng minh cho điều này cho thấy rõ ràng mối liên hệ giữa S - mổun T.
Sỷ dửng Hằ quÊ 2.2.4 v ành lỵ ởc lêp trong ối ỗng iãu àa phữỡng, ta câ
Do õ tứ Hằ quÊ 2.2.3 ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Trữớng hủp giĂ l iảan tũy ỵ v mổun khổng hỳu hÔn sinh
2.3.1 ành lẵ GiÊ sỷ (R,m) l v nh Noether àa phữỡng, a l iảan cừa
R GiÊ sỷ M 6= 0 l R - mổun (khổng nhĐt thiát hỳu hÔn sinh) sao cho dimM = dimR = d Khi õ H a d (M) l mổun biºu diạn ữủc v
Chựng minh Trữợc hát chúng ta x²t têp hủp cĂc nguyản tố gưn kát Chúng ta cõ thº giÊ thiát rơng H a d (M) 6= 0 Cho
Khi õ tỗn tÔi mổun con N cừa M sao cho
Do d+ 1 > dim(N) ta câ H a d+1 (N) = 0 M°t kh¡c
H a d (N) = lim−→H a d (N i ), trong đó {N i |i ∈ I} là tập hợp các mảng con hầu hết sinh của N Với bất kỳ k i ∈ I, ta không có H a d (N i ) = 0 Thật vậy, nếu dim(N i ) < d thì không có gằn chứng minh Nếu dim(N i ) = d thì theo định lý 2.2.1 chúng ta có
M°t khĂc N i l mổun con cừa N nản AssN i ∩X = ứ Do õ H a d (N i ) = 0.
Tứ õ suy ra H a d (N) = 0 Vẳ vêy, H a d (M) ∼= H a d (M/N) Nhữ vêy bơng cĂch x²t M/N thay thá cho M ta cõ thº giÊ thiát rơng
B¥y gií chùng minh t÷ìng tü ành lþ 2.2.1 ta câ
Tứ õ suy ra têp Ass(M) l hỳu hÔn v náu p ∈ Att(H a d (M)) thẳ p j q vợi q ∈ Ass(M) n o â B¥y gií do d= cd(a, R/q) 5 dimR/q 5 dimR = d,cd(a, R/q) 5 dimR/p 5 dimR ta cõ p = q iãu n y ch¿ ra rơng Att(H a d (M)) j Ass(M).
Tiáp theo chúng ta chựng minh mổun H a d (M) l biºu diạn ữủc GiÊ sỷ Ass(M) = {p 1 , ,p n } Ta s³ chựng minh bơng phữỡng phĂp quy nÔp theo d.
Giá sỉ là một phần quan trọng trong việc quản lý tài sản Để đảm bảo rằng Ass(Li) = {pi} và Ass(M/Li) = Ass(M)\{pi}, cần chứng minh rằng Att(Had(Li)) j {pi} và Att(Had(Li)) j Ass(M)\{pi} Khi đó, Att(Had(Li)) sẽ là {pi} - một tập hợp hợp lệ hoặc không hợp lệ Việc này giúp xác định sự tương thích trong cấu trúc tài sản.
H a d (L i ) − ϕ → i H a d (M) →H a d (M/L i ) → 0, ϕi(H a d (Li)) l {p i } - thự cĐp ho°c khổng.
Náuϕi(H a d (Li)) = 0 vợi mởt sốin o õ thẳ H a d (N) = 0 Vẳ vêyH a d (M) ∼H a d (M/L i ) s³ biºu diạn ữủc theo giÊ thiát quy nÔp Vẳ vêy ta cõ thº giÊ thiát ϕ i (H a d (L i )) 6= 0 vợi mồi i Do õ ta cõ
2.3.2 Hằ quÊ GiÊ sỷ (R,m) l v nh Noether àa phữỡng, M l R - mổun khĂc khổng (khổng nhĐt thiát hỳu hÔn sinh) sao cho dimM = dimR = d. Khi õ H m d (M) l mổun biºu diạn ữủc v
Chựng minh p dửng cd(m, R/p) = dim(R/p) v ành lỵ 2.3.1.
Vẵ dử sau Ơy ch¿ ra rơng sỹ bao h m trong ành lỵ 2.3.1 l ng°t.
2.3.3 Vẵ dử GiÊ sỷ (R,m) l v nh Noether àa phữỡng vợi dimR = d > 0.Chồn mởt iảan nguyản tố p cừa R sao cho dimR/p = d Khi õ ta cõ cd(m, R/p) =d v H m d (E(R/p)) = 0.
Nội dung chính của luận văn trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu trong bài báo của M I Dibaei và S Yassemi Dựa vào các tài liệu tham khảo, luận văn đã tổng hợp những vấn đề nổi bật và đưa ra những phân tích sâu sắc về các khía cạnh liên quan.
Trình bày chứng minh ảnh hưởng và tác động của các yếu tố gắn kết trong mối quan hệ với giá trị liên kết của các quốc gia là rất quan trọng Nghiên cứu này cung cấp cái nhìn sâu sắc về mối quan hệ giữa các yếu tố này và sự phát triển kinh tế, như đã được nêu trong bài báo của I.
Tránh bẫy kết quả của lâm độ rỗng của ảnh lỹ nội trản và tiếp diện nguyền tố gắn kết của mổn ối ống dẫu àa phưởng cấp cao nhất với giá lĩa tủy y trong trường hợp mổn ban ưu l hỳu hôn sinh học khổng nhất thiát hỳu hôn sinh.
[1] Nguyạn Tỹ Cữớng (2003), GiĂo trẳnh Ôi số hiằn Ôi, NXB Ôi hồc Quốc gia H Nởi.
[2] Dữỡng Quốc Viằt (2008), Cỡ sð lỵ thuyát mổun, NXB Ôi hồc sữ ph¤m.
[3] Dữỡng Quốc Viằt (2008), Lỵ thuyát chiãu, NXB Ôi hồc sữ phÔm.
[4] M F Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to commuta- tive Algebra, Reading, Mass.
[5] M P Brodmann and R Y Sharp (1998), Local cohomology an ange- braic introduction with geometric applications, Cambridge university prees.
[6] I G Dibaei and S Yassemi (2005), Attached primes of ther top local cohomology modules with respect to an ideal, Arch Math 84, 292- 297.
[7] I G Macdonald (1973), Secondary representation of modules over a commutative ring, Mathematica 11, 23-43.