KIẾN THỨC CƠ SỞ
Đa tạp khả vi
Chương 2: Một số tính chất hình học của nhóm Lie
Chương này trình bày những khái niệm cốt lõi trong luận văn, bao gồm các tính chất cơ bản của nhóm Lie con, trường vectơ bất biến trái trên nhóm Lie, đạo hàm của liên thông tuyến tính trên nhóm Lie, và sự tác động của nhóm Lie lên đa tạp.
Chương 2 được trình bày trong 3 mục:
2.2 Trường vectơ bất biến trái trên nhóm Lie
2.3 Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính trên nhóm Lie
Luận văn này được hoàn thành vào tháng 10 năm 2014 tại Khoa Toán, Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy vì sự hỗ trợ quý báu trong quá trình nghiên cứu.
Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo bộ môn Hình học – Tôpô, cũng như các giảng viên trong khoa Toán và khoa sau đại học Trường Đại học Vinh, những người đã tận tâm giảng dạy và hỗ trợ tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ban giám hiệu trường THPT Tân Kỳ 3, cùng với bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã luôn động viên và hỗ trợ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Liên thông tuyến tính
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản về đa tạp khả vi, bao gồm định nghĩa và ví dụ minh họa Chúng tôi cũng đề cập đến vectơ tiếp xúc, trường vectơ trên đa tạp và một số tính chất cơ bản liên quan đến liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi.
Trong suốt luận văn này, ta luôn giả thiết rằng M là một không gian tôpô Hausdoff với cơ sở đếm được
Một bản đồ của M, hay hệ tọa độ địa phương của M, được định nghĩa là một cặp (U, φ), trong đó U là một tập mở trong M và φ là một phép đồng phôi từ U đến V, với V là tập mở trong không gian n.
Hai bản đồ ( U 1 , 1 ) và ( U 2 , 2 ) của M được gọi là phù hợp nếu ánh xạ
là một vi phôi ( trong trường hợp U 1 U 2 , ta quy ước ( U 1 , 1 ) và
Một họ bản đồ U , I được gọi là một alat của M nếu hai bản đồ bất kỳ của họ trên phù hợp và
+ Một atlat cực đại của M được gọi là một cấu trúc khả vi của M
+ M được gọi là đa tạp khả vi n-chiều nếu trên M đã được trang bị một cấu trúc khả vi
Một atlat cực đại của M là atlat không nằm trong bất kỳ atlat nào khác Hai atlat của M được coi là phù hợp khi mỗi bản đồ trong atlat này tương ứng với một bản đồ trong atlat kia Sự phù hợp giữa hai atlat này là điều hiển nhiên.
MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA NHÓM LIE
Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính trên nhóm Lie
Luận văn này được thực hiện vào tháng 10 năm 2014 tại Khoa Toán, Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy vì sự hỗ trợ quý báu trong quá trình hoàn thành luận văn.
Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo trong bộ môn Hình học – Tôpô, cũng như các giảng viên trong khoa Toán và khoa sau đại học Trường Đại học Vinh, những người đã tận tâm giảng dạy và hỗ trợ tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ban giám hiệu trường THPT Tân Kỳ 3, cùng với bạn bè, đồng nghiệp và gia đình, những người đã luôn động viên và hỗ trợ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu kiến thức cơ bản về đa tạp khả vi, bao gồm định nghĩa và ví dụ minh họa Chúng tôi cũng đề cập đến vectơ tiếp xúc, trường vectơ trên đa tạp, cùng với các tính chất cơ bản của liên thông tuyến tính trong bối cảnh đa tạp khả vi.
Trong suốt luận văn này, ta luôn giả thiết rằng M là một không gian tôpô Hausdoff với cơ sở đếm được
Một bản đồ của M, hay hệ tọa độ địa phương của M, được định nghĩa là một cặp (U, φ), trong đó U là một tập mở trong M và φ là một phép đồng phôi từ U đến V, với V là một tập mở trong n.
Hai bản đồ ( U 1 , 1 ) và ( U 2 , 2 ) của M được gọi là phù hợp nếu ánh xạ
là một vi phôi ( trong trường hợp U 1 U 2 , ta quy ước ( U 1 , 1 ) và
Một họ bản đồ U , I được gọi là một alat của M nếu hai bản đồ bất kỳ của họ trên phù hợp và
+ Một atlat cực đại của M được gọi là một cấu trúc khả vi của M
+ M được gọi là đa tạp khả vi n-chiều nếu trên M đã được trang bị một cấu trúc khả vi
Một atlat cực đại của M là atlat không nằm trong bất kỳ atlat nào khác Hai atlat của M được coi là phù hợp khi mỗi bản đồ của atlat này tương ứng với một bản đồ trong atlat kia Điều này dẫn đến việc hợp của hai atlat phù hợp cũng tạo thành một atlat của M, từ đó khẳng định rằng trên M luôn tồn tại cấu trúc khả vi theo nguyên lý cực đại.
Trong thực hành, khi cần chỉ ra một cấu trúc khả vi của M, chúng ta thường sử dụng một atlat với số lượng bản đồ tối thiểu Trên cùng một M, có thể trang bị nhiều cấu trúc khả vi khác nhau để hình thành các đa tạp khả vi đa dạng.
Ta xét M = S 2 A x y z ( , , ) 3 ( x 2 y 2 z 2 1 Khi đó S 2 là một đa tạp khả vi 2-chiều với cấu trúc khả vi sau đây:
+) U 1 , 1 là một bản đồ của S 2
Giả sử A x y ( , 1 1 , 1 x 1 2 y 1 2 ) ; B x y ( , 2 2 , 1 x 2 2 y 2 2 ) U 1 và 1 ( ) A 1 ( ) B khi đó :
Từ (1) và (2) ta suy ra 1 là song ánh
1 là phép chiếu từ U 1 lên V 1 nên 1 là ánh xạ liên tục (3)
là liên tục vì các hàm tọa độ của nó liên tục (4)
Từ (3) và (4) ta thấy rằng 1 là phép đồng phôi từ U 1 V 1 , vậy U 1 , 1 là một bản đồ của S 2
Chứng minh tương tự ta cũng có U V i , i là bản đồ của S 2 , i 2, 6
Thật vậy, ở trên ta đã chỉ ra U 1 , 1 và U 3 , 3là các bản đồ của S 2 Ta đặt
Ta nhận thấy 13 là một song ánh
Vì f f 1 , 2 khả vi nên 13 khả vi
Khi đó 13 1 khả vi Chứng minh tương tự như trên ta thu được các cặp còn lại: U i , i và U j , j phù hợp i j , 1, 6
Xét các đa tạp khả vi M với cấu trúc khả vi U , I và đa tạp N với cấu trúc khả vi U , J, ánh xạ liên tục f M : N p được gọi là khả vi tại p M nếu f 1 khả vi tại ( ) p, với điều kiện rằng U chứa p và U chứa f p ( ) Hơn nữa, ánh xạ f được xem là khả vi trên M nếu f khả vi tại mọi điểm p thuộc M.
+) Giả sử : J M t ; ( ) t là cung khả vi ( J là khoảng mở trong và
được gọi là véctơ tiếp xúc với
tại p (ở đây ( ) p là tập hợp tất cả các hàm số khả vi tại p)
+) Mỗi véc tơ v tiếp xúc với cung tại điểm p thì ta củng nói v tiếp xúc với M tại p
+) Trong bản đồ U , của M, p U thì ( ) p ( p 1 , , p n ) n Ta nói
( p 1 , , p n ) là tọa độ của p đối với ( , ) U
Như vậy, trong bản đồ U , thì đường cong ( ) t đi qua điểm p được cho bởi ( ) t ( ( ), , x t 1 x t n ( )), với ( ( ), , x t 1 0 x t n ( )) 0 p
Ta đưa vào T M p hai phép toán :
T M p cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian vectơ n-chiều
Chứng minh: +) Ta thấy rằng với hai phép toán trên T M p ( ) là một không gian vectơ Ở đây, ta chứng minh
là cơ sở của T M p ( ) Thật vậy: e i T M p ; i 1, , n (vì e i là vectơ tiếp xúc với đường cong
Ta xét v T M p ( ), giả sử v tiếp xúc với ( ) t tại p ( ) t 0 ta có:
là một hệ sinh của T M p ( )
Từ (1) và (2), ta thấy rằng
Chú ý: Trong trường hợp M = n Giả sử 0, , , e 1 e n là mục tiêu tự nhiên của n và vectơ gốc p là
Mỗi vectơ thông thường có gốc p trong không gian n là một vectơ tiếp xúc với đa tạp n tại điểm p, trong đó mỗi e i đại diện cho một phép đạo hàm riêng trên đa tạp n.
Một trường vectơ tiếp xúc trên M là một ánh xạ
Chú ý: +) Với mỗi trường vectơ tiếp xúc X và mỗi f ( M ), ta có X(f) là một hàm số từ M R, được xác định bởi X(f) (p) = Xp(f); p
+) Trong hệ tọa độ địa phương ( U , ), ta có
ở đây X i là hàm số xác định trên U
+) X được gọi là khả vi nếu X i khả vi i =1 , , n , ( U , )
Ta ký hiệu: B M ( ) { X X | là trường vectơ tiếp xúc khả vi trên M} Hai phép toán trên B M ( ) được cho bởi:
1.1.6 Nhận xét a) B M ( )cùng với hai phép toán nói trên lập thành một môđun trên ( M ) Thật vậy : +) Trường vectơ O của B M ( ) là ánh xạ o p : o
+) Mỗi X B(M),X : p X p , đều có phần tử đối X p : X p
Tất cả các tiên đề còn lại của môđun đều được thỏa mãn Mỗi trường vectơ tiếp xúc X của M tương ứng với một phép đạo hàm trên không gian hàm số (M) Cụ thể, với X thuộc B M ( ), ta có những kết quả đáng chú ý.
Giả sử X Y , B M ( ) Tích Lie của X Y , là một trường vectơ tiếp xúc trên
M được kí hiệu X Y , và được xác định:
1.1.8 Mệnh đề (xem [3]) a) X Y , Y X , ; (tính phản xứng của tích Lie) b) X Y , , Z Y Z , , X Z X Y , , 0; X Y Z , , B M ( ) ; (hệ thức Jacôbi của tích Lie)
Chứng minh: Tính chất a) được suy ra từ định nghĩa tích Lie của hai trường vectơ Ở đây ta kiểm tra hệ thức Jacôbi của tích Lie
Cho ánh xạ khả vi f: M → N, ánh xạ tiếp xúc tại điểm p ∈ M được ký hiệu là f*|_p: T_pM → T_{f(p)}N Ánh xạ này được xác định như sau: với v là vectơ tiếp xúc với đường cong γ(t) ⊆ M tại p = γ(0), thì f*|_p(v) là vectơ tiếp xúc với đường cong tương ứng trong không gian N.
| ( ) p f | p f v J v ở đây J f | p là Jacôbi của f tại p và
Chứng minh: Giả sử trong hệ tọa độ đia phương ( U , ) của M,
và trong hệ tọa độ địa phương ( V , ),
p t t n k n t t n n k k i p i p i i t t i i n k k n d d f v f t y x t x t y x t x t dt dt dy y dy y x t x t dt dt x x y y x x y y x x
1.1.11 Nhận xét (xem [3]) a) f | : p T M p T f p ( ) N là ánh xạ tuyến tính b) v f p ( ) ( ) g f | ( )( ) p v g v gf ( ), g ( ) N
+) Nhận xét a) được suy ra từ mệnh đề 1.10
Ta chú ý rằng trong trường hợp f là vi phôi, X B M ( ) thì f X là trường vectơ tiếp xúc của N
Giả sử f M : N ; p f p ( ) là vi phôi khi đó, f X Y , f X f Y ,
Một liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi M, đó là ánh xạ
1.2.2 Ví dụ a) Giả sử M = 3 , ta xét X Y D Y X 1 X Y ; X Y , B ( 3 ), n n
và D là đạo hàm thông thường của các trường vectơ trong 3 Khi đó là một liên thông tuyến tính
b) Giả sử S là một mặt trong 3 Ta đặt X Y D Y X T , X Y , B S ( ) ; (Ở đây D Y X T là thành phần tiếp xúc với S của D Y X ) Khi đó X Y là liên thông tuyến tính trên S
Cho là liên thông tuyến tính trên M và ánh xạ song tuyến tính
S B M B M B M Khi đó S cũng là một liên thông tuyến tính trên M
Chứng minh: Ta kiểm tra 4 tiên đề của một liên thông tuyến tính đối với ~ Thật vậy, với mọi X Y Z , , B M ( ), ta có:
Giả sử , ( M ) và 1 , , 2 là liên thông tuyến tính trên M Khi đó,
là liên thông tuyến tính trên M nếu và chỉ nếu 1
+) Điều kiện cần: Giả sử là liên thông tuyến tính trên M thì
Từ (1) và (2) ta suy ra 1
+) Điều kiện đủ: Ta cần chứng minh là liên thông tuyến tính trên M với 1
Rõ ràng, thỏa mãn các điều kiện T1, T2, T3 Ở đây, ta kiểm tra T4 Với
Bây giờ ta xét vi phôi f M : N Với là liên thông tuyến tính trên M, ta đặt ( f ) X Y f X Y ; ở đây X f X Y , f Y ; X Y ~ , ~ B N ( )
1.2.5 Định lý (xem [5]) f là liên thông tuyến tính trên N
1.2.6 Mệnh đề (xem [3]) a) ( X Y ) phụ thuộc vào Y tại lân cận của điểm p b) ( X Y ) p Phụ thuộc X p tại từng điểm
Chứng minh: a) Trước hết ta chứng minh nếu Y | U 0, U mở trong M thì X Y 0 Thật vậy, với p U , ta chọn f ( M ) và tập đóng V trong M, sao cho
b) Giả sử X p ( ) 0, U , là bản đồ chứa p Khi đó
E i là cơ sở của B U ( ) và X p i ( ) 0, i 1, n
Chương II MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA NHÓM LIE
Một tập hợp G khác rỗng được gọi là nhóm Lie nếu nó thỏa mãn ba điều kiện: thứ nhất, G là một đa tạp khả vi với hệ bản đồ U , I; thứ hai, G là một nhóm với phép toán nhân: : G G G; ( , )a b a b .; và thứ ba, các phép toán và :GG a; a 1 là các ánh xạ khả vi.
2.1.2 Ví dụ a) Giả sử G R n , với phép toán cộng thông thường Khi đó R n là một nhóm
R n là một đa tạp khả vi với cấu trúc được xây dựng từ tập bản đồ
và là các ánh xạ khả vi Như vậy R n là nhóm Lie b) Giả sử G G n R ( , ) A a ( ) | ij n A | 0, a ij R là nhóm nhân với phép nhân hai ma trận
G là một đa tạp khả vi với cấu trúc khả vi cảm sinh từ đa tạp
( ), ( ) n ij ij ij ik kj k
Khi đó các ánh xạ và là các ánh xạ khả vi
+ Mỗi a G ta chú ý tới các ánh xạ sau đây:
Ta nhận thấy rằng L a và R a là các vi phôi từ GG Ta gọi L a và R a tương ứng là các phép tịnh tiến trái và tịnh tiến phải theo a trong G
+ Giả sử F là tập đóng trong G Khi đó aF đóng trong G; a G
Thật vậy, aF = L a (F) Do L a vi phôi bên L a (F) đóng
+ F mở trong G, G Khi đó U F mở trong G
Do aF = L a (F) nên aF mở Từ đó ta suy ra
+ Ta đặt ad a :G G x; axa 1 ; x G Khi đó ad a là vi phôi trên G Thật vậy: ad x a ( ) axa 1 L R a a 1 ( ) x
Do L R a , a 1 là các vi phôi trên G nên ad a là vi phôi trên G
+ Với hai phần tử bất kỳ ,p q G đều tồn tại a G , sao cho R p a ( )q Thật vậy: Ta xét ap q 1 Khi đó R p a ( ) p p q( 1 ) q
Từ nhận xét này, ta thấy rằng một nhóm Lie G là một không gian thuần nhất
Một tập con HG được gọi là nhóm Lie con của G nếu thỏa mãn:
2) H là một đa tạp con của G
Ví dụ: G R 3 là một nhóm Lie với phép cộng thông thường
Khi đó H là một nhóm Lie con của G
H là nhóm con với phép cộng thông thường của G R 3
H là đa tạp con với cấu trúc cảm sinh từ G R 3
Giả sử H là nhóm Lie con mở của G Khi đó H đóng trong G
Thật vậy, nếu có z(yHH)
y z h 1 H; điều này mâu thuẫn với yH
Theo giả thiết H mở trong G, ta có thể kết luận rằng yH cũng mở trong G Điều này cho thấy yH là lân cận mở của y và yH nằm trong (G H\) Như vậy, G\H được chứng minh là tập mở trong G.
Từ mệnh đề trên, ta nhận thấy rằng, nếu G là một nhóm Lie liên thông thì G không có một nhóm Lie con thực sự mở trong G
Cho G và G’ là hai nhóm Lie và f là một ánh xạ từ G và G’ f được gọi là đồng cấu Lie nếu f khả vi và f đồng cấu nhóm
Một đồng cấu Lie :f G G' được gọi là đẳng cấu Lie nếu f song ánh
+ Với mỗi a G thì các ánh xạ ad a , L a , R a là các đẳng cấu Lie
+ Ta ký hiệu D = {f | f đẳng cấu Lie: GG} Khi đó D là một nhóm với phép toán hợp thành các đẳng cấu Lie
+ Giả sử là đẳng cấu Lie từ G vào G’
Bây giờ ta xét sự tác động của nhóm Lie lên đa tạp M
Ta nói một nhóm Lie G tác động lên M nếu có ánh xạ
:G M M; ( , )g x gx; g G x M , thỏa mãn các điều kiện sau:
1) là ánh xạ khả vi từ G M vào M
2) ex = x, x M , ở đây e là đơn vị của G
Ta ký hiệu: Với mỗi x G S , x : g G gx x S x được gọi là nhóm con ổn định của x
G x gx g G G x được gọi là quỹ đạo của x
Ví dụ: Ta lấyG G n R M( , ), R n và
( , )A x A x Khi đó là ánh xạ khả vi
A : R n R n , x Ax; A là vi phôi (vì A là một phép biến đổi tuyến tính có ma trận A; mà |A| 0)
Ta lấy A =I, I là ma trận đơn vị Khi đó Ix = x; x M
A(Bx) = (A.B)(x) (vì phép nhân các ma trận có tính chất kết hợp)
Như vậy, G n R( , ) tác động lên R n
Giả sử G tác động lên M Khi đó S x là nhóm con đóng của G
Trước hết ta chứng minh S x là nhóm con của G
Ta tiếp tục chứng minh S x đóng trong G
Thật vậy, ta đặt H G S\ x , ta cần chứng minh H mở trong G
Do M là T2 - không gian nên {x} đóng trong M Do đó M \{ }x mở trong M
Ta đặt U M \{ } x Như vậy U là tập mở trong M chứa g(x)
Do là ánh xạ khả vi từ G × M vào M (theo định nghĩa 2.9) nên tồn tại hai tập mở V và W tương ứng của g và của x sao cho ( V W)U
Nếu G tác động lên M, thì tập
N h G id h G h x x với x M } là ước chuẩn đóng của G
+ Trước hết ta chứng minh N là ước chuẩn của G Thật vậy:
Ta xét: hN g, G, ta có: ghg 1 (x) = g(h(g 1 (x)))
ghg 1 N Vậy N là ước chuẩn của G + Bây giờ ta chứng minh N đóng
Do M là T2-không gian, nên {y} đóng trong M Do đó U M \{ } y mở trong M Như vậy U là lân cận mở chứa g y ( )
Do là ánh xạ khả vi từ G M M , nên có lân cận mở V của g và lân cận mở W của y, sao cho ( , W) V U
2.2 Trường vectơ bất biến trái trên nhóm Lie
Cho G là một nhóm Lie Khi đó trường vectơ X B(G) được gọi là trường vectơ bất biến trái trên G nếu và chỉ nếu:
G = R n , với a R n ; khi đó: L a : R n R n p a p; p R n với p(x 1 , , x n ) và a(a 1 , , a n ) thì
Ta có Jacôbi của L a tại p là:
Nếu X(X 1, , X n ) là trường vectơ bất biến trái trên R n thì với a n , ta có:
X là trường vectơ song song trên R n
Ngược lại, mọi trường vectơ song song trên R n đều là trường vectơ bất biến trái
Như vậy, X là trường vectơ bất biến trái trên R n khi và chỉ khi X là trường vectơ song song trên R n
Ta ký hiệu G = {X | X là trường vectơ bất biến trái trên G} Khi đó G là một đại số Lie trên trường số thực
[X, Y] G Đại số Lie G được gọi là đại số Lie của nhóm Lie G
Bây giờ ta chú ý tới đẳng cấu Lie từ nhóm Lie G vào nhóm Lie G’
Giả sử e là đơn vị của G và e’ là đơn vị của G’ Ta có mệnh đề sau:
Cho X, X’ tương ứng là hai trường vectơ bất biến trái trên G và G’ và
Giả sử là đẳng cấu Lie từ GG'
Khi đó: * là đẳng cấu Lie từ G G’
Do đẳng cấu Lie từ GG' nên * có ánh xạ ngược là ( 1 ) * Vậy * song ánh
Giả sử X G và (a) = a với a G , ta có:
Giả sử ánh xạ : G T e G; X X e (với e là đơn vị của G) Khi đó là một đẳng cấu tuyến tính
Ta chứng minh là một đồng cấu: X, Y G và , R, ta có: ( X Y) ( X Y) e X e Y e
Vậy là ánh xạ tuyến tính
Bây giờ ta chứng minh song ánh:
- Với X, Y G và giả sử (X) = (Y), ta suy ra X e = Y e
- Với v T G e Ta xét trường vectơ X trên G xác định bởi X e = v;
Hơn nữa (X) = v Từ đó ta có toàn ánh
Từ mệnh đề trên, ta nhận thấy rằng:
2) Để mô tả đại số Lie G của G ta thường mô tả không gian T e G
GG n R A a A G là một nhóm Lie với phép nhân các ma trận và đơn vị
Giả sử ( ) t I A t ( ); (0) I , A t ( ) G n R ( , ); t J J ( là khoảng mở trong )
Ngược lại, với X M n (R), ta xét đường cong x(t) = I + t.X, với t đủ nhỏ (và | tX | < 1) Khi đó ( )x t G n R( , );t
( ) t dx t X dt Vậy ta có đại số Lie của nhóm Lie G n R( , ) là G= M n (R)
2.3 Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính trên nhóm Lie
Trong bài viết này, chúng ta giả định rằng là một liên thông tuyến tính trên đại số Lie G và B(G), với G là tập hợp các trường vectơ và B(G) là tập hợp các trường vectơ bất biến trái trên G.
Giả sử là liên thông tuyến tính trên G Đạo hàm Lie của theo trường vectơ X B(G), được ký hiệu L X và được xác định như sau:
Giải: Áp dụng các công thức = D, x Y = D x Y, [X, Y] = D x Y D Y X và
2.3.3 Mệnh đề a) Với , R và X,Y B(G) thì L X Y L X L Y b) Giả sử là vi phôi từ G G
Giả sử X bất biến trái trên G Khi đó
Thật vậy, ta áp dụng mệnh đề trên cho = L a , ta có:
Trong trường hợp này, ta nói a *
2.3.5 Định lý (xem [7]) Ánh xạ L X : B(G) × B(G) B(G), (Y, Z) L X (Y, Z); là một ánh xạ song tuyến tính Để chứng minh định lý trên, ta cần bổ đề sau:
Ta trở lại chứng minh Định lý 2.3.5
Trước hết, ta chứng minh L X tuyến tính đối với biến Y
Ta tiếp tục chứng minh L X tuyến tính với biến Z
Giả sử G = R n , = D và X là trường vectơ bất biến trái trên R n
Do X bất biến trái trên G = R n , nên X = (a 1, , a n), a i R (theo ví dụ
Từ (1) và (2) ta suy ra:
Cho G = R 2 , = D, X = (1, 2), Y(Y, 1), Z(0, x) Khi đó ta có: