CHUYÊN ĐỀ 1 TỌA ĐỘ PHẲNG Trong các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng thường gặp các yêu cầu như tìm tọa độ một điểm, một vectơ, tính độ dài một đoạn thẳng, số đo góc giữa hai vectơ, quan hệ cùng phương hoặc vuông góc giữa hai vectơ, 3 điểm thẳng hàng. Ta vận dụng các kiến thức cơ bản sau đây: Cho a = ( , = ta có: G b G ) G G G G ) 1 2 a, a ( 1 2 b, b a = G b G ⇔ 1 2 1 2 a = b a = b ⎧ ⎨ ⎩ a + = ( , ) b 1 1 a + b 2 2 a + b a – = ( , ) b 1 1 a - b 2 2 a - b k a = (k , k ) (k G 1 a 2 a ∈ R) α + = ( + a G β b G α 1 a β 1 b , α 2 a + β 2 b ) a . = + G G b 1 a 1 b 2 a 2 b . Với các quan hệ về độ dài ta có: a = ( , ) G 1 a 2 a ⇒ a G = 22 1 2 a + a () () AA BB A x, y Bx, y ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⇒ AB JJJG = ( – , – ) B x A x B y A y và AB = ()() 22 BA BA x - x y - y+ . Với quan hệ cùng phương hoặc vuông góc ta có: a + = 0 G G G G ⊥ b ⇔ 1 a 1 b 2 a 2 b cùng phương a b ⇔ G G sin( a, b) = 0 ⇔ – = 0 1 a 2 b 2 a 1 b ⇔ 1 1 a b = 2 2 a b ( , 1 b 2 b ≠ 0) A, B, C thẳng hàng ⇔ AB JJJG cùng phương AC JJJG ⇔ BABA CACA x - x y - y x - x y - y = 0 . Với việc tìm góc của hai vectơ ta có: - Góc hình học tạo bởi hai vectơ a G , b G được suy từ công thức: cos( n a, b G G ) = 11 22 ab + a b a.b G G (1) - Số đo góc đònh hướng của hai vectơ a G , b G ngoài (1) còn được suy thêm từ một trong hai công thức: G G sin( a, b) = 12 1 G G 2 a b - a b a.b G G tg( a , b) = 12 1 11 2 2 2 a b - a b ab + a b Ngoài ra trong các bài toán về tọa độ phẳng ta có thể áp dụng các kết quả sau đây: . M( , ) là trung điểm của đoạn thẳng AB M x M y ⇔ 2 2 AB M AB M x + x x = y + y y = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ . G( , ) là trọng tâm của G x G y Δ ABC ⇔ 3 3 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ AB G AB G x + x + x x = y + y + y y = C C . I( , ) và J( , ) là chân đường phân giác trong và ngoài của góc A trong ABC thì: I x I y J x J y Δ IB IC JJG JJG = − JJJG JB JC JJJG = − AB AC . Với A( , ), B( , ), C( , ) thì diện tích tam giác ABC là: A x A y B x B y C x C y S = 1 2 Δ với Δ = BABA CACA x - x y - y x - x y - y Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2, –1), B(0, 3), C(4, 2). a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua B. b) Tìm tọa độ điểm M để 2 + 3 AM JJJJG BM JJJJG - 4 CM JJJJG = 0 G c) Tìm tọa độ điểm E để ABCE là hình thang có một cạnh đáy là AB và E nằm trên Ox. d) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC. Δ e) Chứng tỏ H, G, I thẳng hàng. Giải a) D là điểm đối xứng của A qua B B là trung điểm của AD ⇔ ⇔ AD B AD B x + x x = 2 y + y y = 2 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ hay D(–2, 7) ⇔ () () −−⎧ ⎪ ⎨ − ⎪ ⎩ DBA DBA x = 2x x = 2 0 2 = 2 y = 2y y = 2 3 + 1 = 7 − JJJJG JJJJG b) Ta có: 2 + 3 BM – 4 CM AM JJJJG = 0 G = ( 0, 0 ) ⇔ ()()( ) ()()() −−−−⎧ ⎪ ⎨ −− − ⎪ ⎩ MMM MMM 2x 2 + 3x 0 4x 4 = 0 2 y + 1 + 3 y 3 4 y 2 = 0 ⇔ hay M(–12, –1) − ⎧ ⎨ − ⎩ M M x =12 y =1 c) ABCE là hình thang có đáy AB và E nằm trên Ox. ⇔ E y = 0 CE ⎧ ⎪ ⎨ ΑΒ ⎪ ⎩ JJJG JJJG // ⇔ E EE y = 0 x - 4 y - 2 = 0 - 2 3 + 1 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⇔ hay E(5, 0) E E y = 0 x = 5 ⎧ ⎨ ⎩ d) H là trực tâm của ABC Δ ⇔ AH BC BH AC ⊥ ⎧ ⎨ ⊥ ⎩ ⇔ AH.BC = 0 BH.AC = 0 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ JJJJG JJJG JJJJG JJJG ⇔ ()()()( ) ()()()() 412 42 321 0 −−++−=⎧ ⎪ ⎨ −−+−+= ⎪ ⎩ HH HH x2 0 y x0 y 30 239 HH HH xy xy −−= ⎧ ⎨ +−= ⎩ ⇔ 490 0 ⇔ 18 7 9 7 H H x y ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ hay H 18 7 9 , 7 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ G là trọng tâm ABC ta có: Δ 204 2 33 132 4 33 ABC G ABC G xxx x yyy y ++ ++ ⎧ == ⎪ ⎪ ⎨ ++ −+ + ⎪ == ⎪ ⎩ 3 = = hay G 4 2 3 , ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ + I là tâm đường tròn ngoại tiếp Δ ABC ⇔ IA = IB = IC ⇔ 22 22 IA IB IA IC ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ ⇔ ()( )()( ()( )()( 222 222 2103 2142 III III xyx xyx ⎧ −+−−=−+− ⎪ ⎨ −+−−=−+− ⎪ ⎩ ) ) 2 2 I I y y 0 0 ⇔ 484 4615 II II xy xy −+ −= ⎧ ⎨ +−= ⎩ ⇔ 24 12 14 7 19 14 I I x y ⎧ == ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ hay I 12 19 714 , ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ e) Ta có : = HG JJJJG 41 721 , ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ và HI JJJG = 61 714 , ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ ⇒ 4 7 6 7 − − = 1 21 1 14 = 2 3 ⇒ cùng phương với HG JJJJG HI JJJG ⇒ H, I, G thẳng hàng. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho A(2, 2 3 ), B(1, 3 3 ), C (-1, 3 ) . Tính cos ( AO JJJG , AB JJJG ) vaứ dieọn tớch tam giaực ABC. Giaỷi Ta coự: AO JJJG = (2, 2 3 ), AB JJJG = (1, 3 ) = ( a 1 ;a 2 ) cos( AO JJJG , AB JJJG ) = 26 41213. + + = 1 2 JJJG AC = (3, 3 ) = = ( b 1 ; b 2 ) 12 21 1 2 = ABC Sabab = 1 1333 2 ()( ) () = 2 3 * * * CHUYÊN ĐỀ 3 ĐƯỜNG THẲNG I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, muốn viết phương trình một đường thẳng ta cần phải biết: () Δ 1) ( qua điểm M 0 (x 0 , y 0 ) và có vectơ chỉ phương a ) Δ G = (a 1 , a 2 ) sẽ có: . Phương trình tham số : (t 0 02 xx ta yy ta =+ ⎧ ⎨ =+ ⎩ 1 ∈ R) . Phương trình chính tắc : 0 1 xx a − = 0 2 yy a − (a 1 , a 2 ≠ 0) Từ phương trình chính tắc ta có thể đổi thành dạng phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 (A 2 + B 2 > 0) 2) ( qua điểm M 0 (x 0 , y 0 ) và có 1 pháp véctơ là (a,b) có phương trình : a(x – x 0 ) + b(y – y 0 ) = 0 ) Δ 3) i) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có dạng Ax + By + C = 0 với A 2 + B 2 > 0 (1) ii) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có dạng x = x 0 hoặc y = kx + m (2). Ta dễ dàng thấy (1) và (2) là tương đương. + (2) ⇔ kx –y + m = 0 ⇒ (2 ) thỏa (1) với A = k, B = - 1 , C = m. + Nếu B = 0 ⇒ =− C x A , có dạng x = x 0 với x 0 = − C A . Nếu B ≠ 0 ⇒ =− − A C yx BB , có dạng y = kx + m. 3) ( qua hai điểm A(x A , y A ), B(x B , y B ) có phương trình : ) Δ A BA xx xx − − = A BA yy yy − − nếu 0− −≠ BABA (x x )(y y ) 1 Nếu ( qua A(a, 0) ∈ Ox và B(0, b) ) Δ ∈ Oy với a.b ≠ 0; ta nói ( ) Δ có đoạn chắn a, b với phương trình: x a + y b = 1 * Ghi chú: Nếu đề bài toán yêu cầu ta viết phương trình của đường thẳng, thông thường ta nên viết phương trình ở dạng tổng quát và lưu ý : () Δ : Ax + By + C = 0 thì ( ) Δ có : . một pháp vectơ = (A, B) n G G . một vectơ chỉ phương a = (–B, A) . hệ số góc k = tg( , ) = Ox JJJG Δ A B − . () ( ′ Δ // () Δ ⇒ ) ′ Δ : Ax + By + C 0 = 0 . () ( ′ Δ ⊥ () Δ ⇒ ) ′ Δ : Bx – Ay + C 0 = 0 Ta tìm được C 0 nếu biết thêm một điểm nằm trên ( ) ′ Δ . Ngoài ra khi viết phương trình của một đường thẳng ( ) Δ theo hệ số góc k, bài toán có thể bò thiếu nghiệm do trường hợp ( ) Δ ⊥ x ′ x (hệ số góc k không tồn tại), do đó ta phải xét thêm trường hợp có phương trình x = C để xem đường thẳng () Δ ( ) Δ này có thỏa mãn điều kiện của đầu bài không. Ghi chú - Nếu n = (A, B) là 1 pháp véc tơ của đường thẳng G ( ) Δ thì k. n = (kA, kB) cũng là pháp véc tơ của G ( ) Δ với mọi số thực k ≠ 0. - Nếu là 1 véc tơ chỉ phương của đường thẳng 12 =a(a,a) JG ( ) Δ thì k. cũng là véc tơ chỉ phương của 12 =a(ka,ka) JG ( ) Δ với mọi số thực k khác 0. II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Để xét vò trí tương đối của hai đường thẳng ta cần nhớ Cho (d 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 và (d 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 Đặt : 2 D = 11 22 A B A B ; D x = 11 22 BC BC ; D y = 1 22 CA CA 1 thì : D ≠ 0 ⇔ (d 1 ) cắt (d 2 ) tại I 1 x I y D x D D y D ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ D = 0 và D x 0 hoặc D y ≠ ≠ 0 ⇔ (d 1 ) // (d 2 ) D = D x = D y = 0 ⇔ (d 1 ) ≡ (d 2 ) hoặc với A 2 , B 2 , C 2 0 ta có : ≠ 1 2 A A ≠ 1 2 B B ⇔ (d 1 ) cắt (d 2 ) 1 2 A A = 1 2 B B ≠ 1 2 C C ⇔ (d 1 ) // (d 2 ) 1 2 A A = 1 2 B B = 1 2 C C ⇔ (d 1 ) ≡ (d 2 ) Ghi chú 11 22 BC BC = 11 22 − CB CB ; 11 22 CA CA = 11 22 − A C A C III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Để tìm góc giữa hai đường thẳng, ta gọi α là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng (d 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 (d 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 thì cos α = 12 12 222 1122 2 A ABB A B.A B + ++ IV. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Để tìm khoảng cách từ điểm M(x M , y M ) đến đường thẳng () Δ : Ax + By + C = 0 ta áp dụng công thức : 3 d(M, Δ ) = 22 MM AxByC AB + + + Khoảng cách đại số từ đường thẳng ( ) Δ đến điểm M(x M , y M ) là : t = 22 MM AxBy AB ++ + C G Đặt pháp vectơ = (A, B) có gốc lên n ( ) Δ thì : . t > 0 nếu điểm M và n nằm cùng một bên đối với G ( ) Δ . t < 0 nếu điểm M và n nằm khác bên đối với G ( ) Δ Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi 2 đường thẳng (d 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 và (d 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 là : 11 22 11 1 A xByC AB ++ + = ± 222 22 22 A xByC AB + + + Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với A(–2, 1), B(4, 3), C(2,–3) a) Tìm phương trình tham số và tổng quát cạnh BC. b) Tìm phương trình đường cao AH. c) Tìm phương trình đường thẳng qua A(–2, 1) và song song với BC. Giải a) Đường thẳng qua cạnh BC nhận BC JJJG = (–2, –6) hay (1,3) làm vectơ chỉ phương và qua B(4, 3) nên có phương trình tham số : (t 4 33 =+ ⎧ ⎨ =+ ⎩ xt yt ∈ R) ⇔ 4 1 − x = 3 3 − y (phương trình chính tắc) ⇔ 3x – y – 9 = 0 là phương trình tổng quát của BC. b) Δ ABC có đường cao AH ⊥ BC : 3x – y – 9 = 0 ⇒ pt AH : x + 3y + C 1 = 0 4 A(–2, 1) ∈ AH –2 + 3(1) + C 1 = 0 ⇔ ⇔ C 1 = –1 Vậy pt AH : x + 3y – 1 = 0 c) Đường thẳng Au // BC ⇒ pt Au : 3x – y + C 2 = 0 A(–2, 1) ∈ Au ⇔ 3(–2) – 1 + C 2 = 0 ⇔ C 2 = 7 Vậy pt Au : 3x – y + 7 = 0 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với A(1, –1), B(–2, 1), C(3, 5). a) Viết phương trình đường vuông góc AH kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác ABC. b) Tính diện tích tam giác ABK. Giải a) K là trung điểm của AC ⇔ 2 2 2 2 AC K AC K xx x yy y + ⎧ = = ⎪ ⎪ ⎨ + ⎪ = = ⎪ ⎩ hay K(2, 2) Phương trình cạnh BK : 2 22 x − −− = 2 12 y − − ⇔ x – 4y + 6 = 0 AH ⊥ BK pt AH : 4x + y + C 0 = 0 ⇒ A(1, - 1) ∈ AH 4(1) + (–1) + C 0 = 0 ⇔ ⇔ C 0 = –3 hay AH : 4x + y – 3 = 0 b) Diện tích tam giác ABK là S = 1 2 AH.BK với AH = A(BK) d = 146 17 + + S = ⇒ 1 2 . 11 17 . 22 41+ = 11 2 ( đvdt ). Ví dụ 3 : ( Đề dự trữ khối A năm 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có trọng tâm G 41 (;) 33 , phương trình đường thẳng BC là và phương trình đường thẳng BG là 24xy−−=0 0 748xy− −= .Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. 5 [...]... ⎣ ⎢ 11 ⎣ ⎛ 43 27 ⎞ ;− ⎟ ⎝ 11 11 ⎠ Vậy C (7; 3) hay C ⎜ − Ví dụ7 ( Đề DỰ TRỮ KHỐI D -2003) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A (1; 0) và hai đường thẳng lần lượt chứa các đường cao vẽ từ B và C có phương trình tương ứng là : x – 2y + 1 = 0 và 3x + y – 1 = 0.Tính diện tích của tam giác ABC BÀI GIẢI: Vì AC ⊥ BB' ⇒ phương trình AC : 2x + y + m = 0 A(1; 0) ∈ AC ⇒... tọa độ thì cách giải được thu gọn hơn vì biết trước được 1 đường phân giác trong kẻ từ gốc tọa độ Đường phân giác còn lại được tìm thông qua tìm chân đường phân giác trong như đã trình bày ở trên 6 2/ Nếu đề bài cho biết phương trình 3 cạnh của tam giác ABC thì từ phương trình 3 cạnh đó, ta tìm được tọa độ các điểm A, B, C bằng cách giải hệ phương trình tọa độ giao điểm và sử dụng cách giải như phần... lưu ý thêm 2 bài toán thường gặp : Bài 1 : Cho (C1) và (C2) ở ngoài nhau Tìm quỹ tích những điểm M từ đó vẽ được đến (C1) và (C2) những đoạn tiếp tuyến bằng nhau Cách giải : • M Gọi MA và MB (như hình vẽ) là 2 tiếp tuyến từ M đến (C1) và (C2) Ta có : MA = MB ⇔ MA2 = MB2 ⇔ PM /( C1 ) = PM /(C2 ) A• •B (C1) (C2) Do đó quỹ tích M là trục đẳng phương của (C1) và (C2) 7 Bài 2 : Tìm tiếp điểm M của hai đường... d tiếp xúc với E ⇔ 4(−2)2 + 1.(−3)2 = (10 + 3n)2 5 ⇔ 3n2 + 20n + 25 = 0⇔ n = – 5 hay n= − 3 5 n = − : loại vì khi đó d trùng với d1 3 Vậy N(5; −5) *** 5 CHUYÊN ĐỀ 6 HYPEBOL Để giải các bài toán có liên quan đến đường hypebol ta cần nắm vững các vấn đề cơ bản sau: Hypebol (H) có tâm O, hai trục đối xứng là x′ x, y′ y Hypebol có tiêu điểm trên x′ x Phương trình chính tắc x2 y2 – 2 =1 a2 b với c2 = a2... 2 2 2 ⇔ 5x – 2y – 13 = 0 Tóm lại có hai tiếp tuyến qua điểm N(1, 4) là x = 1, và *** 3 5x – 2y – 13 = 0 CHUYÊN ĐỀ 2 ĐƯỜNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG Các bài toán về phần đường và phương trình đường thường yêu cầu xác đònh quỹ tích các điểm trong mặt phẳng tọa độ theo những điều kiện cho trước, quỹ tích này là một đường mà ta phải tìm phương trình của nó dựa vào đònh nghóa: F(x, y) = 0 là phương trình của... trình tham số của đường (L) Từ phương trình tham số, ta khử t thì có thể trở về dạng F(x, y) = 0 Lưu ý việc giới hạn của quỹ tích tuỳ theo các điều kiện đã cho trong đầu bài Ví du1: Trong mặt phẳng Oxy cho A(2, 1), B(–3, 2) Tìm quỹ tích điểm M để ( MA + MB ) AB = 1 Giải Gọi (L) là quỹ tích phải tìm M( x M , y M ) ∈ (L) ⇔ ( MA + MB ) AB = 1 ⇔ [ (2 – x M ) + (–3 – x M ) ] (–3 – 2) + (1 – y M + 2 – y M ) (2... = 3 6 3 6 ⎧x0 = 3 ⎪ ⇒ ⎨ 12 y0 = − = −2 6 ⎪ 6 ⎩ Vậy 2 tiếp điểm phải tìm là (3; 2 6 ) và (3; –2 6 ) Ví du2( ĐỀ DỰ TRỮKHỐI A –2003) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho parabol (P) có phương trình y2 = x và điểm I (0; 2) Tìm tọa độ hai điểm M, N thuộc (P) sao cho IM = 4 IN Giải Gọi M(m2; m) ∈ (P), N(n2; n) ∈ (P) ⎯→ IM = (m2; m – 2) ⎯→ IN = (n2; n – 2) ⎯→ ⇒ 4 IN = (4n2; 4n – 8) 4... = 6 ⎩ ⇒ M1(4; −2), N1(1; 1), M2(36; 6), N2(9; 3) Ví du 3 ( ĐỀ DỰ TRỮKHỐI A –2003) :Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho x2 y2 elip (E): + = 1 M(−2; 3); N(5; n) Viết phương trình các đường thẳng d1, d2 qua M và tiếp xúc 4 1 với (E) Tìm n để trong số các tiếp tuyến của (E) đi qua N có một tiếp tuyến song song với d1 hoặc d2 Giải 1) Viết phương trình các đường thẳng qua M tiếp xúc với... A-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x – y = 0 và d2 : 2x + y – 1 = 0.Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành Giải A ∈ d1 ⇔ A (m; m) C ∈ d2 ⇔ C (n; 1 – 2n) Vì B, D ∈ Ox và ABCD là hình vuông nên : ⎧m = n ⎩ m = 2n − 1 A và C đối xứng nhau qua Ox ⇔ ⎨ ⎧m = 1 ⎩n = 1 ⇔ ⎨ Suy ra A(1; 1), C(1; -1) Gọi (C)... y2 + = 1 Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với 4 1 nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều Giải Giả sử A (a, 4 − a2 4 − a2 ) ∈ (E) ⇒ B (a, − ) ∈ (E) 2 2 Và điều kiện: –2 < a < 2 Do A,B đối xứng qua Ox nên ta có: ΔCAB đều ⇔ CA2 = AB2 4 − a2 = 4 – a2 ⇔ 7a2 – 16a + 4 = 0 4 ⇔ a = 2 (loại) hay a = 2 7 Nên tọa độ của A và B là: ⎛2 4 3⎞ ⎛2 4 3⎞ ⎛2 4 3⎞ ⎛2 4 . phương tích đối với (C 1 ) và (C 2 ) và có phương trình là : 2(a 1 – a 2 )x + 2(b 1 – b 2 )y + c 1 – c 2 = 0 2/ Ứng dụng : Trong chương trình Hình học lớp. ngoài nhau. Tìm quỹ tích những điểm M từ đó vẽ được đến (C 1 ) và (C 2 ) những đoạn tiếp tuyến bằng nhau. Cách giải : Gọi MA và MB (như hình vẽ) là 2 tiếp